Obsah 1 ZÁKLADNÍ POJMY LINEÁRNÍ ALGEBRY 3 1.1 Úvod do maticového počtu ....................... 3 1.2 Základní operace s maticemi....................... 8 1.3 Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi.......... 22 1.4 Zavedení pojmu inverzní matice..................... 27 1.5 Základní poznatky z této kapitoly.................... 33 2 Ülohy k procvičení 34 3 Lineární prostor 39 3.1 Příklady lineárních prostorů....................... 41 4 Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod 53 4.1 Elementární transformace matic..................... 62 4.2 Určení hodnosti matice ......................... 76 5 Báze vektorového prostoru 86 6 Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru 94 1* First • P'rev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 7 Determinanty 107 7.1 Zavedení pojmu determinantu matice.................. 107 8 Vlastnosti determinantů 120 8.1 Použití determinantů........................... 133 8.2 Cramerovo pravidlo........................... 134 9 Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů 138 10 Ülohy k procvičení 143 11 Ülohy k procvičení 148 12 Systémy lineárních rovnic 152 12.1 Ekvivalentní systémy rovnic....................... 152 12.2 Převod na systém s horní schodovitou maticí soustavy......... 153 12.3 Gaussova eleminační metoda....................... 172 12.4 Jordánova eliminační metoda....................... 175 12.5 Výpočet inverzní matice k regulární matici řádu n Jordánovou metodou 178 2* First • P'rev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1. ZÁKLADNÍ POJMY LINEÁRNÍ ALGEBRY 1.1. Úvod do maticového počtu Nechť M je množina nějakých objektů a n je přirozené číslo. Každou skupinu n objektů z množiny M, v níž se nějaké objekty mohou i opakovat, budeme zkráceně nazývat n—ticí objektů z množiny M. Jestliže v takovéto skupině objektů záleží na jejich pořadí, mluvíme o uspořádané skupině objeků z M. Uspořádané skupiny objektů budeme zapisovat většinou do řádků (a oddělovat navzájem čárkou nebo mezerou) nebo do sloupců. Při zápisu do řádku budeme na i—té místo zleva klást i—tý objekt a při zápisu do sloupců budeme i—tý objekt zapisovat do i—tého řádku shora. Jestliže množinou M je množina reálných čísel, mluvíme o n—ticích reálných čísel, resp. o uspořádaných n—ticích reálných čísel. Zápis (1, 3, 7, 0) značí tutéž neuspořádanou skupinu čísel jako zápis (7, 1, 0, 3). Avšak oba tyto zápisy vyjadřují dvě navzájem různé uspořádané skupiny čtyř reálných čísel. Definice 1.1 Matici typu (m,n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu m • n reálných čísel zapsaných do m řádků a n sloupců. Každé z těchto čísel budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznačili, že tato čísla vytvářejí matici, budeme tuto skupinu čísel dávat do závorek. Řádky jsou seřazeny shora dolu, sloupce zlava doprava. Jako příklad si uveďme matici typu (2, 5): 2 4 6 7 7\ (1) 0 2 8 10/ 3»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit Označování. Matice budeme označovat většinou velkými tučně vytištěnými písmeny, např. A. Prvek matice , umístěný v jejím i-tém řádku a v j-tém sloupci, budeme většinou označovat malým písmenem, které odpovídá označení matice, s indexy i, j, umístěnými u jeho pravého dolního rohu. Tedy aij bude značit prvek matice A v jejím i-tém řádku a v j-tém sloupci. Nemůže-li dojít k omylu, lze čárku mezi oběma indexy vynechat a nechat mezi nimi jenom mezeru, takže místo a^j lze psát dij. Označíme-li A uvedenou matici, můžeme psát: 2 4 6 7 7 A=\ I. (2; 0 2 8 10 V této matici je tedy např. a\ß = 6 prvek umístěný v prvém řádku a v třetím sloupci a prvek ö2,5 = 0. je její prvek ve druhém řádku a v pátém sloupci. Jestliže matice A je matice typu (m,n), kde m, n jsou obecná čísla, zapíšeme ji takto: / a\A ... B, jestliže aij > bij pro všechna i = 1,2,... ,m, j = 1, 2,... ,n. • řekneme, že matice A je větší než matice B, a píšeme A > B, jestliže cmj > bij pro všechna i = 1,2,... ,m, j = 1,2, ...,n. • řekneme, že matice A je rovna matici B, a píšeme A = B, jestliže (lij = bij pro všechna i = 1,2,... ,m, j = 1,2, ...,n. Uveďme si tyto příklady: Příklad 1.3 Nechť \ B ) / 8 2 -2 \ 3 0 3 2 2 0 \ / 1 2 -3 \ 2 0 3 2 2 -5 Přesvědčte se, že A < B. Příklad 1.4 Přesvědčte se, že mezi maticemi A, B , kde / 1 2 -3 \ /20-3\ 2 0 3 2 2-5 V B I \ 2 8 3 0 0 0 neklatí žádná z relací <,<,>,>, 7• First »Prev »A/exí »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit 1.2. Základní operace s maticemi Zaveďme si tyto operace s maticemi. Sečítání dvou matic. Začněme s motivačním příkladem. Příklad 1.5 Nechť podnik vyrábí výrobky V^V^, V3 ve dvou provozovnách. Plán výroby výrobků Vi, Vži V& v první provozovně podniku je pro i—tý kvartál (kde i = 1,2,3, 4) charakterizován i—tým řádkem matice A, prvek a,, j značí plánovanou výrobu výrobku V j v i—těm kvartálu. Plán výroby výrobků V\, V2, V3 ve druhé provozovně podniku je pro i—tý kvartál (kde i = 1,2,3, 4) charakterizován i—tým řádkem matice B, prvek bij značí plánovanou výrobu výrobku Vj v i—těm kvartálu. Tedy ( 01,1 01,2 «1,3 \ 02,1 02,2 02,3 0.3,1 0.3,2 0.3,3 \ 04,1 04,2 04,3 / B I 6l,l &1,2 &1,3 \ &2,1 &2,2 &2,3 &3,1 &3,2 &3,3 V &4,1 &4,2 &4,3 / Pokud závod vyrábí uvedené výrobky pouze v těchto dvou provozovnách, lze charakterizovat plán výroby výrobků V\, V2, Ví celého podniku pro jednotlivé kvartály maticí C, jejíž prvek aj = ahj + bij představuje plán výroby výrobku V j v i-tém kvartálu celého podniku. Tedy / 01,1 + &1,1 «1,2 + &1,2 01,3 + &1,3 \ «2,1 + &2,1 02,2 + &2,2 «2,3 + &2,3 «3,1 + &3,1 03,2 + &3,2 «3,3 + &3,3 V «4,1 + &4,L «4,2 + &4,2 «4,3 + &4,3 / O*First •Prev •Next •Last • Go Back »Full Screen »Close »Quit C je matice, kterou je popsán plán výroby výrobků V\, V2, Vs v celém pdniku v jedtlivých kvartálech. Z tohoto příkladů je patrno, že má smysl definovat součet dvou matic A, B téhož typu podle následující definice. Definice 1.2 Součet dvou matic. Nechť matice A, B jsou téhož typu (m,n). Součtem matic A a B budeme rozumět matici C typu (m,n); pro jejíž prvky Cíj, i = 1,... ,m, j = 1,... ,n7 platí chj ahj * vij' Pro operaci sečnám matic budeme používat symbolu „ + ". Píšeme pak C = A + B. Příklad 1.6 Nechť A, B jsou matice typu (3,3) / 1 0 -3 \ / 7 2 -1 \ V 6 1 3 -2 0 -3 / B \ 3 5 1 5 0 2 / Potom matice C = A + B je I 1 0 -3 \ / 7 2 -1 \ C \ 6 1 3 -2 0 -3 + / V 3 5 1 5 0 2 / / 8 2 -4 \ 9 6 3 1 5 -1 V / Násobení matice číslem. Uveďme si motivační příklad pro zavedení násobení matice číslem. P»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Příklad 1.7 Nechť C je matice, která popisující cenu v $ tří druhů zboží X\, V2, V3 ve čtyřech různých zemích Zi,Z2,Zs, Z4. / 230 450 100 \ C (6) D (7) 200 420 90 210 430 80 V 235 435 95 / Zde Cij značí cenu zboží V j v $ v zemi Z,,. Chceme-li vyjádřit cenu jednotlivých výrobků v uvažovaných zemích v Kč, stačí násobit každý prvek matice C stejným číslem, daným kurzem dolaru. Vzniklou matici označíme D. Počítáme-li 20Kč za jeden $, dostáváme matici / 4600 9000 20000 \ 4000 8400 1800 4700 8700 1900 V 8225 15225 3325 / udávající cenu jednotlivých výrobků v uvažovaných zemích v Kč. To nás motivuje k zavedení definice součinu čísla a matice takto: Definice 1.3 Násobení matice číslem. Necht A je matice typu (m,n) a a je reálné číslo. Potom součinem matice A a čísla a rozumíme matici C, pro jejíž prvky atj platí 1, ...,m, j = l,...,n. •". Píšeme pak C = a • A. Symbol „■" lze 10»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Cij = a • üij pro 1 Pro násobení matice číslem budeme používat symbol vynechat, takže můžeme psát C = ciA. Příklad 1.8 Nechť a = 3 a nechť A je matice typu (3,3 / 1 O -3 \ V 6 1 -2 O 3 -3 / Potom l 1 O -3 \ C = a- A = 3- V 6 1 -2 O 3 -3 / / 3 O -9 \ 18 3 9 -6 O -9 \ Rozdíl dvou matic. (Odečítání dvou matic). Nechť A, B jsou matice téhož typu. Potom definujme A — B jako matici A + (—1) • B. Součin dvou matic. Začněme s motivační úlohou. Následující tabulka charakterizuje výrobu v čokoládovně při výrobě „5" druhů výrobků, označených jako V\, V2, V3, V4, V5. K výrobě „lkg" jednotlivých výrobků jsou potřebné suroviny S\ (tuk), S2 (kakao), S3 (cukr) v tabulce uvedených množstvích. Označme ay množství suroviny Si v kg potřebné na výroby „lkg" výrobku Vj. Podle tabulky je tedy např. na výrobu „lkg" výrobku V3 zapotřebí 02,3 = 0,1 kg suroviny S2, to jest kakaa. Vynecháme-li záhlaví v tabulce, jedná se o uspořádanou skupinu 15 čísel, zapsaných do tří řádků a pěti sloupců. Jde tedy o matici typu (3, 5). Označíme ji A. Jak bylo již řečeno, <2y značí množství suroviny Si v kg potřebné na výroby „lkg" výrobku Vj. 11 • First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Vx v2 v3 v, Vb tuk 0,00 0,4 0,3 0,6 0,6 kakao 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 cukr 0,10 0,2 0,2 0,1 0,2 Tabulka 1: Tabulka pro výrobu v čokoládovně Je tedy / 0,00 0,4 0,3 0,6 0,6 \ 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 0,10 0,2 0,2 0,1 0,2 Označme nyní X následující matici typu (5,4) V / x / #1,1 xíj2 xí;i xÍA \ X2,í ^2,2 ^2,3 X2A #3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 #4,1 ^4,2 ^4,3 XÍA \ X5,í X^2 ^5,3 ^5,4 / p—tf sloupec matice X, p = 1, 2, 3,4, je uveden p—tf plán výroby. To znamená, že se uvažuje výroba výrobků VÍ7V2j V3, V4, V5 v množstvích x\#, x2,Pl xs,P, x^p, x^p. Vypočítejme nyní spotřebu i—té suroviny Si v p—tém plánu výroby. Při tomto plánu výroby se spotřebuje na výrobu Xj:P výrobků Vj množství ay • Xj:Pkg suroviny Si. Tedy na výrobu všech výrobků V\, V2, V3, V4, V5 se spotřebuje v p—tém plánu výroby surovina Si v množství 12»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Ui,p — a>i,l • Xl,p + Oí,2 • %2,p + 0>i,3 • %3,p + di,4 • X^p + d^ • X^p. Z těchto hodnot yiiP utvořme dále matici Y typu (3,4), v nímž y^p značí množství suroviny Si v kg potřebné k výrobě všech výrobků Vj,j = 1,2,3,45 v požadovaných množstvích XjjP, j = 1, 2, 3,45 v p—tém plánu výroby. Poznámka. V našem případě jsme uvažovali matici X typu (5, 4) a matice A typu (3, 5),matice Y je pak typu (3,4). Lehce nahlédneme, že úvahy lze rozšířit na případ, kdy matice A je typu (m, k), kde m je počet surovin a A; je počet výrobků. Matice Y je typu (m, n), kde n je počet plánů výroby. Tento příklad nás vede k zavedení sočinu dvou matic. Matici Y nazýváme součinem matice A maticí X v tomto pořadí. Příklad. Pro plán výroby, daný maticí / 250 \ 120 X = 150 85 V 80 / / 0,00 0,40 0,3 0,6 0,60 \ 0,05 0,20 0,10 0,10 0,00 0,10 0,20 0,20 0,10 0,20 13»F/rsí »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit a maticí \ / dostáváme 2/1,1 1/2,1 1/3,1 0, 00 • 250 + 0, 4 • 120 + 0, 3 • 150 + 0, 6 • 85 + 0, 6 • 80, 0, 05 • 250 + 0, 2 • 120 + 0,1 • 150 + 0,1 • 85 + 0,0 • 80, 0,10 • 250 + 0, 2 • 120 + 0, 2 • 150 + 0,1 • 85 + 0, 2 • 80. Vyčíslením obdržíme y\^ = 192, 2/2,1 = 60, y^i = 103. Tedy / 192.0 \ Y \ 60.0 103.5 / Tento příklad nás inspiruje k zavedení pojmu součinu dvou matic A, B touto definicí. Definice 1.4 (Součin matic). Nechť A je matice typu (m,k) a B je matice typu (k,n). Potom součinem matic A a B v tomto pořadí je matice C typu (m,n); pro jejíž prvky Cy, i = 1,... ,m, j = 1,..., n , platí Cij k,n J \ Cm,í CU Cj.l • • • C-i j -m j Prvek q j matice C počítáme pro všechna i = 1,..., m, j = 1,... n takto Cl,r Ci \ í,n / "*J ö«,i • &ij + • • • + a^s • baj + ... + ai:k • bk, Tento vztah lze zapsat jako ChJ — ^s=íai,s ' b sj- 'ir 17»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Příklad 1.9 Určete matici C = A B, jestliže í 1 2 3 4 \ 0 7 8 5 4 3 2 9 \ B í 1 -3\ 2 -5 8 3 V -i i / Poněvadž A je matice typu (3,4) a B je matice typu (4,2), fee vypočíst součin C = AB. (Počet řádků matice A je roven počtu slopců matice B, tj. „4". Podle definice součinu dvou matic dostáváme I 25 0 \ V 7 C = 73-6 17 -12 A^apř. pri>eÄ; C2,i dostaneme jako součin druhého řádku matice A, to jest řádku (0,7,8,5) a prvního sloupce matice B, to jest sloupce í 1\ 2 8 ÍO*First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Výpočtem dostáváme c2)1 = 0-l + 7-2 + 8-8 + 5- (-1) = 73. Zaměnitelné matice. Obecně matice A • B není rovna matici B • A. Dokonce může nastat případ, že A B existuje, avšak B • A neexistuje. Jestliže pro nějaké matice A, B platí A B = B A, potom matice A, B se nazývají zaměnitelné. Příklad 1.10 Je-li např. matice A typu (3,4) a matice B je typu (4, 3), potom A- B je matice typu (3, 3). Avšak B • A je matice typu (4, 4). Jsou tedy matice AB, BA různých typů a tedy, aniž bychom jejich součiny počítali, vidíme, že jsou navzájem různé. Matice A, B nejsou tedy v tomto případě zaměnitelné. Příklad 1.11 Nechť ( 1 2 \ B = Potom f 1 3 \ / 8 10 AB=[ , BA=( V1 V V1 2 Vidíme, že A B ^ B A, takže tyto matice A, B nejsou zaměnitelné. Příklad 1.12 Nechť A=l I S=l 1/3"5/3V x -1/6 4/3 / 19»First •Prev »Next »Last • Go Back »Full Screen »Close »Quit Pro tyto matice platí A B = B A 1 O O 1 Dané matice A, B jsou tedy zaměnitelné. Matice transponovaná. Definice 1.5 (Matice transponovaná.) Necht A je matice typu (m,n). Potom matici, jejíž i-tý sloupec je roven i-tému řádku matice A, i = 1,2,..., m, nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji značit AT. Matice AT je tedy typu (n,m). Příklad 1.13 Nechť 1 2 3 4 5 6 l\ 4\ 2 5 V3 6 y O transponované matici součinu dvou matic platí tato věta. Věta. 1.1 (Transponovaná matice součinu matic.) Necht A, B jsou takové matice, že existuje AB. Potom platí (A • B)T = BT ■ AT. 20»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Potom \T Submatice. Zaveďme si pojem submatice následující definicí. Definice 1.6 (Submatice) Nechť A je matice typu (m,n) a nechť u = (ii,...,ip) je taková uspořádaná p—tice přirozených čísel, že 1 < %\ < ... < ip < m, p < m. Dále nechť v = (ji,... ,jq) je taková uspořádaná q—tice přirozebých čísel,že že 1 < ji < ... < jq < n, q < n. Potom matici, která vznikne z matice A vypuštěním všech řádků s řádkovými indexy, které patří do u a vypuštěním všech sloupců matice A se sloupcovými indexy, které patří do v, nazýváme submaticí matice A a značíme ji A^vy, jestliže některý z vektorů u, v má jenom jedno číslo, stačí uvést toto číslo bez závorek. Například, jestliže u = (i) a v = (j), lze závorky vypustit a psát pouze Aij. (Tedy Aij značí submatici, která vznikne z matice A vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce.) Příklad 1.14 Nechť Položme u = (2), v dostaneme submatici / 1 2 4 5 \ 5 7 2-1 4 10 2 j (4). Potom vypuštěním druhého řádku a čtvrtého sloupce matice A \ 1-2,4 1 2 4 4 1 0 21»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 1.3. Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi Čtvercová matice. Matici A typu (n, n) budeme nazývat čtvercovou maticí řádu n. Místo čtvercová matice řádu n stačí říkat matice řádu n, poněvadž o řádu matice mluvíme jen u čtvercových matic. Např. matice / 1 2 3 \ V 4 5 6 7 8 9 je čtvercová matice řádu 3. Nulová matice. Matici typu (m,n) budeme nazývat nulovou maticí typu (ra,n), jestliže všechny její prvky jsou rovny nule. Budeme ji značit 0. Příklad 1.15 Matice 0 / 0 0 0 o \ 0 0 0 0 0 0 0 0 v / je nulová matice typu (3,4). Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Nechť A je matice typu (m,n). Budeme říkat, že její prvky a,ij leží na hlavní diagonále a její prvky a^j, pro něž je i + j = n + 1, leží na vedlejší diagonále. 22»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Příklad 1.16 Nechť ( \ 1 O -5 -2 3 1 \ -3 8 5 O 4 2 y Potom prvky (1, —3,4) leží na hlavní diagonále a prvky (1,8,0) leží na vedlejší diagonále. Jednotková matice. Řekneme, že čtvercová matice E řádu n je jednotková, jestliže všechny její prvky na hlavní diagonále jsou rovny číslu 1 a všechny ostatní její prvky jsou rovny 0. Chceme-li zdůraznit její řád n, označíme ji En. Příklad 1.17 Matice í 1 0 0 \ 0 1 0 0 0 1 \ je jednotková matice řádu 3. Diagonální matice. Řekneme, že čtvercová matice A je diagonální, jestliže všechny její nenulové prvky leží na hlavní diagonále. Příklad 1.18 Matice í 1 0 0 \ 0 2 0 0 0 3 \ je diagonální maticí. 23»F/rsí »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Horní trojúhelníková matice. Řekneme, že čtverová matice A řádu n je horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny 0. Dolní trojúhelníková matice. Řekneme, že čtvercová matice A řádu n je dolní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad hlavní diagonálou jsou rovny 0. Horní schodovitá matice. Nechť A je matice typu (m,n). Řekneme, že matice A je horní schodovitá matice, jestliže existuje takové přirozené číslo h < n, že ke každému i, i = l,2,...,/i, existuje nejmenší s, tak, že a^Si ^ 0 a si < S2 < • • • < s/í a zbývající řádky h + 1,... , m jsou nulové. Příklad 1.19 Matice /l234567\ A 0 0 12 3 4 5 yO 0 0 0 0 0 9/ je horní schodovitou matici. V tomto příkladě je zřejmě s\ = 1, S2 = 3, S3 = 7. Poznámka. Schodovitou matici můžeme definovat ekvivalentně takto. Matice A typu (m,n) je horní schodovitá matice, jestliže pro každé dva řádkové indexy p, q matice A platí: • Nechť p-tf řádek matice A je nenulový a g-tý řádek matice A je nulový, potom p < q. • Nechť p-tf a q-tf řádek matice A jsou nenulové a nechť aPjS je první nenulový prvek matice A v p-tém řádku a aq^s je první nenulový prvek v g-tém řádku matice A. Jestliže p < q, potom je Sp < sq. 24»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit • Poněvadž budeme mluvit jen o horních schodovitých maticích, můžeme slovo „horní" vynechávat. Pravidla pro počítání s maticemi. Pro zavedené operace s maticemi platí vztahy uvedené v následující větě. Věta. 1.2 Pravidla I. (Pro počítání s maticemi.) Nechť A,B,C,0 jsou matice téhož typu, kde 0 je matice nulová, a nechť a, ß G M. Potom platí A + B = B + A, (12) (A + B) + C = A + (B + C), (13) A + 0 = A, (14) A-A = 0, (15) 1-A = A, (16) a-{ß-A) = {a-ß)-AJ (17) (a + ß)-A = a- A + ß- A, (18) a-{A + B) = a-A + a-B. (19) Věta. 1.3 Pravidla II. (Pro počítání s maticemi.) Nechť typy matic A, B, C, 0 (nulová matice), E (jednotková čtvercová matice) jsou takové, že operace ve vztazích (20)—(25) mají význam. 25»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Potom platí 0-A = = o, A-0 = 0, E A = = A, A E = = A, (A-B)-C = = A (B-C), (A + B)-C = = A C + B C C-iA + B) -- = C A + C B (20) (21) (22) (23) (24) (25) Poznámka. Jak jsme si již dříve uvedli, obecně neplatí že součin A.B je roven B.A. Dále víme, že jestliže pro matice A, B platí AB = 0, nemusí být žádná z matic A, B nulovou maticí. Např. Příklad 1.20 Matice A /l234567\ 0 0 12 3 4 5 0 0 0 0 0 0 9 \ / je horní schodovitou matici. V tomto příkladě je zřejmě s\ = 1, S2 = 3, s$ = 7. 26»F/rsí »Prev »A/exí »/.asi »Go Back »Full Screen »Close »Quit 1.4. Zavedení pojmu inverzní matice V lineární algebře má velký význam pojem inverzní matice k dané matici. Tento pojem si nyní zavedeme následující definicí. Později si řekneme něco o existenci inverzní matice k dané matici a seznámíme se s řadou vlastností inverzních matic a naučíme se nalézt k dané matici matici inverzní. Definice 1.7 (Inverzní matice) Matice B se nazývá inverzní k matici A, jestliže B A = A B = E. (26) Matici inverzní k matici A budeme značit A~l. Věta. 1.4 (Vlastnosti inverzní matice) Necht je dána matice A a necht k ní existuje matice inverzní A~l. Potom platí a) Matice A a matice A~l jsou čtvercové matice téhož řádu. b) Inverzní matice A~l je jednoznačné určena. c) K matici A~l existuje matice inverzní a platí (A-1)-1 = A. d) Jestliže A, B jsou čtvercové matice téhož řádu n a jestli k nim existují matice inverzní A~l, B~l, potom k matici A • B existuje matice inverzní a platí (A • B)~l = B~l • A~l. Důkaz a) Toto tvrzení je bezprostředním důsledkem (26). b) Nechť B, C jsou inverzní k A. Potom A B = B A = E, A C = C A = E. 27»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Odtud C = E C = {B A) C = B {A C) = B E = B. Tedy B=C. c) Toto tvrzení je bezprostředním důsledkem definice inverzní matice. d) Podle vět 1.2, 1.3 platí {B-1 A-1) ■ (AB) = B-\A-lA)B. Poněvadž A~l A = E) dostáváme odtud (B'1 A'1) (AB) = Bl E B = BlB = E. Podobně dokážeme, že (AB) ■ (B-1 A-1) = E. ^ Je tedy B~l A~l inverzní matici k matici AB. Řešení maticové rovnice. Věta. 1.5 (Řešení maticové rovnice A • X = B) Nechť A je daná čtvercová matice řádu n, k níž je známá matice inverzní A~l. Necht B je matice typu (n, m). Potom existuje právě jedna matice X typu (n, m) pro níž platí X = A~l ■ B. (27) Důkaz. Jak již bylo dříve dokázáno, inverzní matice A je určena jednoznačně. Vynásobíme-li (1.5) maticí A~l zleva, dostáváme A"1 • (A • x) = A"1 • B (28) 28»F/rst »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Podle pravidel o počítní s maticemi odtud dostáváme (A"1 • A) • x = A"1 ■ B. Poněvadž (A-1 -A) = Ea,E-X = X, dostáváme odtud (27). Dokažme ještě, že matice X je určena jednoznačně. Předpokládejme, že existují dvě matice :X,2X, pro něž platí AlX = B, A2X = B. Odečtením těchto vztahů dostáváme A (:X-2X) = 0. Vynásobením tohoto vztahu maticí A-1 zleva dostáváme [X-2X = 0, takže :X = 2X. Má tedy rovnice A X = B právě jedno řešení X = A-1 • B. Příklad 1.21 Nalezněte řešení rovnice A X = B, jestliže I 1 5 2 \ 3 4 1 0 1 4 B /26\ 39 78 \U14/ \'0/ 29*'First »Prev »Next »Last • (29) Go Back • Full Screen • Close • Quit a znáte-li k matici A matici inverzní í \ 5 13 6 13 h\ 4 13 4 39 5 39 1 13 1 39 11 39 / Řešení. Podle předcházející věty má daná maticová rovnice právě jedno řešení a to X í \ 5 6 1 13 13 13 4 13 4 39 5 39 1 1 11 13 39 39 /26\ 39 V78y Výpočtem dostáváme X / 14 \ -6 V 21/ V této kapitole popsaný aparát maticového počtu použijeme nyní k matematické formulaci následující úlohy, která patří do úloh lineárního programování. Tyto úlohy jsou velice významnou aplikací lineární algebry. Úlohy tohoto typu se řeší většinou pomocí počítačů a k jejich řešení jsou vypracovány speciální programy. My se nebudeme zde zabývat otázkou jak se řeší, ale jenom otázkou, jak se dá úloha matematicky formulovat a jak se připraví data pro vstupní hodnoty těchto programů. 30»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Příklad 1.22 Čokoládovna vyrábí 5 druhů výrobků. Jsou to výrobky, které označíme V\, V2, V3, V4, Vj>. Ä" výrobě potřebujeme suroviny tuk, kakao a cukr. Tyto suroviny jsou k dispozici v omezených množstvích, v uvedném pořadí 1500 kg7 300 kg7 450 kg na jeden den. Spotřeba surovin v kilogramech na 1 kg výrobku je dána tabulkou 1.2 na straně 12. Odbytové ceny jednotlivých výrobků v uvedném pořadí jsou 20 Kč, 120 Kč, 100 Kč, I40 Kč, 40 Kč. Úkolem je stanovit takový denní výrobní plán, aby hodnota výroby byla maximální. Výrobky jsou vyráběny technologicky nezávisle na sobě navzájem. Výroba se tedy uskutečňuje ve formě pěti výrobních procesů, které však nejsou navzájem zcela izolované, neboť společně spotřebovávají výrobní zdroje, jeden proces na úkor druhého. Matematická formulace úlohy. Pro účely matematické formulace zaveďme 5 nezávisle proměnných: nechť Xj označuje množství výrobku Vj v kg, jež bude vyráběno za den, kde j = 1, 2, 3,4, 5. Hledáme tedy hodnoty x j > 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, vyhovující nerovnostem 0,4aľ2 + 0,3z3 + 0,6aľ4 + 0,6aľ5 < 1500 0,05aľi + 0,2rr2 + 0, lx3 + 0, lxA < 300 (30) 0,10xi + 0,2rr2 + 0,2rr3 + 0, lx4 + 0,2rr5 < 450 Víme, že při výrobě x j výrobků Vj, j = 1, 2, 3, 4, 5, bude odbytová cena výroby rovna z = 20aľi + 120aľ2 + 100rr3 + 140rr4 + 40rr5- (31) Naší úlohu můžeme tedy formulovat takto : Nalezněte taková nezáporná čísla Xj, j = 1, 2, 3,4, 5, která vyhovují nerovnostem (30) a pro něž funkce (31) nabývá svého maxima. Tato úloha je tedy popsána maticí A, vektorem m množství surovin, která jsou k dispozici, a vektorem b odbytových cen výrobků a vektorem x počtu výrobků 31 »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit / 0,00 0,4 0,3 0,6 0,6 \ 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 0,10 0,2 0,2 0,1 0,2 V x Potom (30) lze zapsat jako jako a funkce (31) lze zapsat jako m / Xi\ x2 x3 X4 \^5 / Ax < m z = b • x. J1 í 20 \ 120 100 140 V 40 y :32; (33) Naši úlohu můžeme vyslovit takto: Nalezněte vektor x > 0 vyhovující (32), který minimalizuje funkci (33). Matice A, vektory ra, b a požadavek, že vektor XT = (xi,X2,X3,X4,X5) > 0, jsou vstupními údaji programu, kterým se výpočet realizuje. Dostáváme Xí = 0, x2 = 0, x3 = 1000, xA = 2000, x5 = 0. 32»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit 1.5. Základní poznatky z této kapitoly ■ Zavedení pojmu matice, typ matice, značení prvků matic, prvky na hlavní a na vedlejší diagonále. ■ Relace <,<,>,>,= mezi maticemi. ■ Operace s maticem : sečítání matic, násobení matice reálným číslem. ■ Součin dvou matic. ■ Zaměnitelné matice. ■ Matice transponovaná. Matice transponovaná součinu dvou matic. ■ Submatice. Vytváření submatic. Označování submatic. ■ Speciální matice. Matice čtvercová, matice nulová, matice jednotková, horní a dolní trojúhelníková matice, horní schodovitá matice. ■ Pravidla pro počítání s maticemi. ■ Zápis systémů lineárních rovnic v maticové notaci. Co je to matice soustavy, co je to matice rozšířená, co je to vektor pravých stran. Co se rozumí pod pojmem řešení systému lineárních rovnic? Příklady, kdy systém má jedno řešení, kdy nemá žádné řešení, kdy má více řešení. ■ Co je to inverzní matice? Vlastnosti inverzních matic. ■ Řešení systému lineárních rovnic, jestliže známe matici inverzní k matici soustavy. 33»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit 2. Ülohy k procvičení Úloha 1. Nechť A je matice 1 -3 0 1 2 4 \ 7 -2 -2 5 / Určete a) její typ, b) matici k ní transponovanou A c) určete matice F = A A T T D = AT A rp d) zjistěte, zda matice A, A jsou zaměnitelné. [a) typ (3, 4), b) / iT C / D \ 2 -3 -3 10 9 -8 2 -7 9 -8 57 -16 V 2\ -7 -16 1 -3 2 4 1 0 7 -2 0\ 1 -2 5/ / quadF 45 / 34»F/rsí »Prev »A/exí V d) nejsou zaměnitelné.] Úloha 2. Zapište v maticové notaci systém lineárních rovnic 2X\ + 3X2 — %3 = 4 3X\ — 5X2 + %3 = -1 X\ — 3X2 + Xs = -1 Napište matici soustavy a matici rozšířenou. [Označme Í2 3 V1 3 -5 -3 -l\ [Alb) li 3 V1 3 -5 -3 1 1 ■1 I 1 I 1 I 4\ -1 / 4\ -1 V"1/ x l Xl\ x2 \x3J Potom daný systém rovnic lze psát v maticové notaci takto: A • x = b, A je matice soustavy a (Al \vekb) je matice rozšířená.] Úloha 3. Nechť / 1 2 3 \ 4 5 6 7 8 9 35• First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit V / a nechť E3 je jednotková matice a A je proměnná. Napište matici B = A - XE3. B /1-A 2 3 \ 4 5-A 6 7 8 9-A Úloha 3. Zjistěte, zda vektory V / x 1 V1/ jsou řešením systému lineárních rovnic z úlohy 2. / 4\ / l\ x Í0\ 1 V2/ [A-1x= -1 V-1/ rovnic] Úloha 4. Nechť A-*x -3 V"1/ tedy \c jea^c není řešením uvažovaného systému lineárních / 1 2 3 \ V 4 1 0 -2 0 1 B / -1 2 3 \ 4 -7 -12 / V -2 4 7 L 36»F/rsí »Prev »A/exí •Last • Go Back •Full Screen »Close »Quit /o\ • Fulri a) Dokažte, že B A = E, A B = E. Jak nazýváme matici BI b) Nalezněte řešení rovnice A x = b užitím matice B. (Obě strany daného systému rovnic násobte zleva maticí B.) [a) B je inverzní k matici A, b) B • (A • x) = B ■ 6, (B • A) • x = B • 6, E • x = B • b, takže x = B b= ( 8 -31 18 )T] Úloha 5. Zapište následující systém nerovnic užitím maticové notace #1 + ^2 < 3, — X\ + 2ľ2 < 0, :r2 > 0. Znázorněte graficky množinu bodů [^í,^], které těmto nerovnicím vyhovují. [Položme / 1 l\ /3\ X\ \ -1 1 0 -1 / 0 V0/ x x2 Potom daný systém nerovnic lze zapsat takto: A • x < b. Hledaná množina je šedá oblast na obr.11.] Úloha 6. Určete vektory /, x tak, aby funkce y = 2x\ + 3aľ2 + 4aľ3 + x^ se dala pomocí nich zapsat ve tvaru f-x. [f = (2, 3, 4,1)T, x = (xh x2, x3, x4)T] 37'• First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit 2!2" Obrázek 1: Hledaná množina bodů 38*First »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 3. Lineární prostor Na množině matic téhož typu jsme měli zavedeny operace sečítání matic a násobení matic reálnými čísly. V následující definici zavedeme nový pojem „vektorový prostor". Nyní budeme uvažovat množinu P,(ne nutně množinu matic,) na níž jsou zavedeny dvě operace, sečítání dvou jejich prvků a násobení jejich prvků reálnými čísly. Budeme požadovat, aby tyto operace splňovaly jisté vlastnosti. Definice 3.1 (Definice vektorového prostoru) Nechť P je množina. Označme symbolem „+"oi nazveme ji sečítáním, kterou ke každým dvěma prvkům a, b G P je přiřazen prvek a + b G P . Dále označme symbolem „•" operaci, nazveme ji násobením, kterou ke každému prvku a G P a ke každému reálnému číslu a G M je přiřazen prvek a- a G P. Nechť tyto operace mají následující vlastnosti: Jestliže a,b,c G P , potom a + b = b + a, (34) a + {b + c) = {a + b) + c. (35) Existuje prvek 0 G P tak, že pro všechna x G P platí x + 0 = x. (36) Ke každému x G P existuje (—x) G P tak, že x + (-x) = 0. (37) 39»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Pro všechna x, y G P a pro všechna ö,^£t platí 1-x = x, (38) a-(ß-x) = (aß) ■ x, (39) (a + ß)-x = a-x + ß-x, (40) a • (x + y) = a- x + a- y. (41) Potom množinu P s těmito operacemi „+" a „•" nazývame lineárním, nebo též vektorovým prostorem. Budeme jej značit P. Prvek O nazýváme jeho nulovým prvkem. Poznámka. Symbol „•" pro násobení lze vynechat, pokud nemůže dojít k omylu. Místo a G P lze psát a G P. Místo a + (—6) lze psát a — b. Důsledek 1. Ze vztahů (34), (35) vyplývá, že a + (b + c) = a + (c + b) = b + (a + c) = b+(c + a) = = c + (a + b) = c + (b + a) = (a + b) + c = (b + a) + c = = (a + c) + b= (c + a) + b= (b + c) + a = (c + b) + a Není proto nutno psát závorky a stačí psát a + b + c. Dokažme např., že a + (b + c) = (b + a) + c. Podle (35) je a + (b + c) = (a + 6) + c. Podle (34) je a + 6 = 6 + a, takže (a + b) + c = (6 + a) + c. Je tedy a + (b + c) = (b + a) + c. Podobně budeme psát c\ • hc + ... + cn • '"x, kde \ľ, ...,"x G P a c\,..., cn jsou libovolné konstanty, aniž bychom psali závorky. 40»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 3.1. Příklady lineárních prostorů Aritmetický vektorový prostor. Věta. 3.1 (Aritmetický vektorový prostor V«) Nechť n G N a necht W1 je množina uspořádaných n-tic reálných čísel (nezáleží na tom jak jsou zapsány, zda do řádků nebo do sloupců), na níž jsou zavedeny operace sečítání „ + " a násobení „." takto: Nechť a = (<2i,..., an), b = (61,..., bn) G Wn . Položme a + b = c, kde c = (ci,..., cn) je taková uspořádaná skupina reálných čísel, že Ci = clí + b{ pro i = 1,... n. Nechť a = [a\)..., an) G Mn a a je reálné číslo. Potom a • a = d, kde d = (di,..., dn) je taková uspořádaná skupina reálných čísel, že di = otuí pro í = 1,..., n. Potom množina Wn s těmito operacemi sečítání „+" a násobení „■" je vektorovým prostorem. Budeme jej nazývat aritmetickým vektorovým prostorem a značit Vn. 41 »F/rst »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Důkaz si proveďte jako cvičení. Stačí prověřit splnění vlastnosti operací sečítání a násobení uvedené v definici (3.1). Poznámka 1. Prvky tohoto prostoru budeme nazývat aritmetické vektory, stručně jen vektory a většinou je budeme označovat malými tučně zapsanými písmeny. Číslo na i-iém místě vektoru a budeme značit a,, a nazývat i—tou složku vektoru a. Vypíšeme-li složky aritmetického vektoru do řádku, bude-li to nutné, nazveme jej řádkovým aritmetickým vektorem. Analogicky zavádíme pojem sloupcového aritmetického vektoru. Vektor, jehož všechny složky jsou rovny 0, budeme nazývat nulovým vektorem a značit 0. Vektor a G Vn budeme též nazývat n-rozměrným vektorem a. Poznámka 2. Jestliže chceme zdůraznit způsob zápisu složek vektoru do řádku (sloupce), budeme mluvit o řádkovém (sloupcovém) vektoru. Poznámka 3. Je-li a = (<2i,<22, • • •,««), potom číslo \Ja\ + a\ + ... + ö| budeme nazývat velikostí vektoru a a značit I a I. Poznámka 4. Kdybychom v definici prostoru Vn uvažovali místo množiny W1 množinu uspořádaných n-tic reálných čísel, zapsaných do sloupců, dostali bychom prostor matic typu (n,l), který značíme MP'1. Kdybychom v definici Vn uvažovali místo uspořádaných n-tic reálných čísel množinu uspořádaných n-tic reálných čísel, zapsaných do řádků, dostali bychom prostor matic typu (l,n), který značíme M1,w. Poznámka 5. Komu obecná definice vektorového prostoru dělá velké potíže, ať si pod pojmem vektorového prostoru P představí vždy aritmetický vektorový prostor Vn. 42• First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Vektorový prostor volných vektorů. V předcházejícím studiu na gymnáziu jste pracovali s volnými vektory. Zopakujme si napřed ve stručnosti pojem volného vektoru a operace s volnými vektory a to tak, jak se tyto pojmy zavádějí na gymnáziích. Definice 3.2 (Volné vektory) Množinu všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejný směr a stejnou velikost, nazveme nenulovým volným vektorem a množinu všech nulových orientovaných úseček nulovým volným vektorem. Každá orientovaná úsečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a reprezentuje jej. Volné vektory budeme označovat písmenem se šipkou nahoře, např. ~čt. Nulový volný vektor budeme označovat symbolem 0 . Délku každé orientované úsečky, která reprezentuje volný vektor ~čt, budeme nazývat velikostí volného vektoru 7? a budeme ji značit \Ht\. Věta. 3.2 (Vektorový prostor volných vektorů) N echt U je množina volných vektorů. Označn symbolem „+" operaci, nazveme ji sečítáním, kterou ke každým dvěma volným vektorům Ht, b je přiřazen volný vektor, označme jej 1Ž, který dostaneme takto: Zvolme libovolný bod A. Necht AÉ je orientovaná úsečka, která reprezentuje volný vektor ~čt. Necht orientovaná úsečka reprezentuje volný vektor b , potom orientovaná úsečka AČ reprezentuje volný vektor ~č\ Píšeme pak ~čt + b = "ŕ?. Označme dále symbolem „•" operaci, nazveme ji násobením, kterou ke každému volnému vektoru ~čt e U a libovolnému reálnému číslu a G IR je přiřazen volný vektor, označme jej d , který dostaneme takto: Necht orientovaná úsečka AÉ reprezentuje volný vektor ~čt. Označme D takový bod na přímce__ určené body A, B , že velikost \AĎ\ orientované úsečky AĎ je \a\-\AĚ\ 439 First 9 P rev 9 Next 9 Last 9 Go Back 9 Full Screen 9 Close 9 Qu it a směr AĎ je stejný jako směr ~čt, je-li a > O a opačný, je-li a < 0. Potom množina U s takto zavedenými operacemi „+" a „•" tvoři vektorový prostor ve smyslu definice 3.1, to znamená, že jsou splněny vztahy (34)—(41). Budeme jej značit U. Na obr. 2 je znázorněno sečítání dvou volných vektorů ~ŕ?, b . Vektor ~čt je reprezentovaný orientovanou úsečkou PQ a volný vektor b je reprezentovaný orientovanou úsečkou RS. Jejich součtem je volný vektor 7? = ~čt + b reprezentovaný orientovanou úsečkou ÄÔ. R S Obrázek 2: Sečítání volných vektorů Na obr. ?? je znázorněno násobení volného vektoru ~čt reálným číslem. Volný vektor ~čt je reprezentován orientovanou úsečkou PQ. Volný vektor a = 2, 5-~äľ je reprezentován orientovanou úsečkou AÉ a volný vektor if = — 2, 5 • ~čt je reprezentován orientovanou úsečkou UĎ. Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovině. V předcházející definici jsme uvažovali volné vektory nezávisle na souřadném systému, byly uvažovány v tzv. invariantním tvaru. 44»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit # P ' Q Obrázek 3: Násobení volného vektoru číslem Pojednejme nyní o prostom V2 volných vektoru v rovině, v níž je zaveden kartézský souřadný systém. Označme Xi,x2 souřadné osy kartézského souřadného systémuv rovině. Jak je dobře známo, ke každému bodu P v kartézském souřadném systému roviny je přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel [pi,P2\- Číslo p\ nazýváme jeho první souřadnicí a číslo p2 nazýváme jeho druhou souřadnicí. Naopak, každou uspořádanou dvojici reálných čísel [pi,P2\ lze považovat za souřadnice právě jednoho bodu P v rovině. Není tedy nutno striktně rozlišovat mezi bodem v rovině a uspořádanou dvojicí reálných čísel. Označme U2 množinu všech volných vektorů v této rovině s uvedenými operacemi sečítání volných vektorů v rovině a násobení volných vektorů v rovině reálnými čísly. Uvažujme dvě orientované úsečky PQ, Ku (viz. obr. 4), kde P = P[php2}} Q = Q[qhq2], R = R[n,r2], U = U[uhu2}. Každá z těchto orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor "č? G U2, když a jenom když qi-pi=ui-r1 A Q2-P2 = u2- r2. (42) Vztah mezi prostorem V2 a prostorem volných vektorů v rovině. Zaveďme si nyní zobrazení T prostoru V2 do prostoru W2 takto: Nechť volný vektor Ht G V2 je reprezentován 4 5» First mPrev m Next »Last • Go Back •Fullscreen • Close »Quit Obrázek 4: Zobrazení V2 do orientovanou úsečkou PQ, kde Označme Potom definujme P = P\PhP2], Q = Q[ kde 2/ = (2/1, 2/2) e ¥2, T( "^ + ~rf) = (xi + 2/1, £2 + 2/2). Poněvadž a?+ í/ = Oi +3/1,22 + 2/2), platí T(^ + y) = x + y, takže skutečně zobrazení T zachovává sečítání 47»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Obrázek 5: Zobrazení zachovává sečítání Dokažme nyní, že zobrazení T zachovává násobení Nechť 1Ě G U2 a nechť a je libovolné reálné číslo. Nechť volný vektor "ä? je reprezentován orientovanou úsečkou Ö?, kde O = [0,0], X = [^1,2^2] a nechť volný vektor a • "af je reprezentován orientovanou úsečkou 0^, kde ř/ = ř7[a • x\,a • X2}. Viz obr. 6. Je tedy Tí^ «A/ * «A/ Kxux2j T (a • If) = (a • #1, a • X2). 48»F/rsí »Prev »A/exí »/.asi • Go Back • Full Screen •Close •Quit M CvT.o u To x Oj 2 o\ X\ OLX\ Poněvadž je Obrázek 6: Zobrazení zachovává násobení a • x\,a • X2) = et • \X\1X2) = a • x. T(a~x^) = a • x. Tedy skutečně zobrazení T zachovává násobení Vzhledem k vlastnostem zobrazení T není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi vektorovým prostorem V2 a vektorovým prostorem U2. 49»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit Vektor a = (01,02) si můžeme představit jako množinu všech takových orientovaných úseček P$,P=\pu p2],Q=[qi , q2], v kartézském souřadném systému v rovině, že q\ - Pi = a\ A q2- P2 = a2. Volné vektory v kartézském souřadném systému v třírozměrném prostoru. Podobně uvažujme prostor volných vektorů V3 ve třírozměrném prostoru, v němž je zaveden kartézský souřadný systém. Jak je dobře známo, ke každému bodu P je přiřazena uspořádaná trojice reálných čísel [pi,P2,P3\- Číslo p\ nazýváme jeho první souřadnicí, číslo p2 nazýváme jeho druhou souřadnicí a číslo p3 nazýváme jeho třetí souřadnicí. Naopak, každou uspořádanou trojici reálných čísel [Pí,P2,P3\ lze považovat za bod P o souřadnicích [pi,P2,P3\ v našem souřadném systému. Není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi pojmem bod v prostoru a uspořádanou trojicí reálných čísel. Uvažujme dvě orientované úsečky PQ, UK, kde P = P[pup2lp3}} Q = Q[qhq2,q3\, U = U[ui,u2,U3], R = JR[ri,r2,r3]. Každá z těchto dvou orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor ~čt G U3, když a jenom když qi - Pí = n - u\ A q2-p2 = r2-u2 A q3 - p3 = r3 - u3. (43) Vztah mezi prostorem Y3 a prostorem volných vektorů v třírozměrném prostoru. Zaveďme si nyní zobrazeni T prostoru V3 do prostoru W3 takto: Nechť volný vektor ~čt G U3 je reprezentován orientovanou úsečkou PQ, kde P = P\pi,P2jPs\, Q = Q[qi,^2,#3]• Označme a-i = qi-Ph (Í2 = q2~ P2, «3 = qs ~ Ps- 50»F/rsí »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Položme a= (ai,a2,a3) G V3. Definujme T(lt) = a. (44) Toto zobrazení nezávisí na volbě orientované úsečky, kterou je volný vektor reprezentován. Existuje k němu inverzní zobrazení. Analogicky jako pro rovinný případ se dá dokázat, že toto zobrazení T zachovává sečítání vektorů a násobení vektorů reálnými čísly. Podobně jako ve dvourozměrném případě dojdeme k tomuto závěru: Vektor a = (ai,a2, 03) si můžeme představit jako množinu všech takových orientovaných úseček P§, P = [Ph P2, p3], Q — [Ol 1021 m,l u>m,2 ar I hr I Příklad 4-1 Uvažujme systém lineárních algebraických rovnic x\ + 3aľ2 — 3aľ3 4:X\ + 5aľ2 + 2aľ3 ■12, -6. (48) Označme-li A matici soustavy tohoto systému rovnic, b vektor pravých stran a x vektor neznámých tohoto systému rovnic, je 1 3 -3 4 5 2 12 -6 x x2 Matice rozšířená je rovna (A\b) = ( 1 3 —3 &-12\\\noalign{\medskip>4&5&2& —6 ) . Daný systém rovnic lze tedy zapsat jako A x = b. 55»First »Prev »A/exí »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Zaveďme si nyní pojem řešení systému lineárních rovnic. Definice 4.I Vektor0x nazveme řešením systému lineárních rovnic A x = b. jestliže A -°x = b. (To jest, jestliže vektor °x vyhovuje rovnici A • x = b). Vraťme se k příkladu J^.l. Označme í 3\ X -4 2x i 0\ -2 V 2/ x (■i\ o V1/ Zřejmé A -lx = 6, A ■ 2x A-Áx O 14 ŕb. Jsou tedy vektory he, hc řešením uvažovaného systému (48), avšak :ix není jeho řešením. Lehce se přesvědčíme, že vektor I 6-3c\ -6 + 2-c x \ I je řešením uvažovaného systému rovnic (48) pro každé reálné c. 56»First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Příklad 4-2 Uvažujme systém lineárních rovnic Xl - 2x2 = 3, (49) 2xľ - 4:X2 = 5. (50) Tento systém rovnic nemá řešeni. Skutečně, předpokládejme, že a,ß jsou taková čísla, že X\ = a, X2 = ß vyhovovují první rovnici, tedy, že platí a-2- ß = 3. Potom by bylo 2-Q-4- ß = Q a ne 2 • a — 4 * /5 = 57 takže X\ = a, X2 = ß nevyhovuje druhé rovnici. Poznámka. Později budeme řešit obecně otázku, kdy systém lineárních rovnic má jedno řešení, kdy má nekonečně mnoho řešení a kdy nemá vůbec žádné řešení. Pro usnadnění práce můžeme každé rovnici ahixi + ... + ah„xn = b%, i = 1,... ,n. (51) přiřadit vektor Zřejmě součtu i—té a j — té rovnice tohoto systému odpovídá pak vektor (ahi + ajti,...,ah„ + bh„\{b% + b3). 57*First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit a násobku i—té rovnice číslem a odpovídá vektor {aahi,...,aah„\ab%. To nám umožňuje nahradit řadu operací s lineárními rovnicemi odpovídajícími operacemi s vektory. K řešení nahoře uvedeného problému použijeme dále zaváděné pojmy: lineární kombinace vektorů (lineární kombinace rovnic), lineární nezávislost a lineární závislost vektorů (rovnic). S pojmy lineární kombinace vektorů a lineární závislost vektorů se setkáme i v jiných úlohách. Definice 4-2 (Lineární kombinace vektorů) Nechť n e N, n > 2, he,...,"x jsou vektory z vektorového prostoru P a c\,..., cn jsou reálná čísla. Potom vektor X = C\ lx + ... + cn nx nazveme lineární kombinací vektorů he,... ,nx. Říkáme též, že vektor x je lineárně závislý na vektorech hc,..., '"x. Říkáme též, že vektory x, hc,..., "x. jsou lineárně závislé. Příklad 4.3 Nechť ^ = (2,3,-1), 2x = (5,2,6), 3x = (9,8,4) jsou vektory z prostoru ¥3. Poněvadž 2 • lx + 2x = 2 • (2, 3, -1) + (5, 2, 6) = (4, 6, -2) + (5, 2, 6) = (9, 8,4) = :ix, je vektor hc lineární kombinací vektorů hc,hc a je tedy na nich lineárně závislý. 58»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Lineární závislost a lineární nezávislost vektorů. Nechť \c,..., '"x, n > 1 je skupina vektorů z vektorového prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže ani jeden z nich není lineární kombinaci ostatních. Jestliže tyto vektory nejsou lineárně nezávislé, řekneme, že jsou lineárně závislé. Jestliže skupina vektorů obsahuje jediný vektor, potom řekneme že nenulový vektor je lineárně nezávislý a nulový vektor je lineárně závislý. Lineární nezávislost skupiny pro případ, že skupina obsahuje libovolný počet vektorů, lze tedy zavést takto. Definice 4-3 (Lineární nezávislost skupiny vektorů.) N echt lx)... ^ je skupina vektorů z vektorového prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže c\ lx + ... + cn nx = 0 ^=> c\ = c2 = ... = cn = 0. (52) Jestliže vektory hc}... ^x nejsou lineárně nezávislé, jsou lineárně závislé. Lineární závislost vektorů lze vyjádřit též takto. Poznámka. Vektory \c,... ,'"x z vektorovém prostoru P jsou lineárně závislé, jestliže existují taková čísla c\, C2>..., cn, z nichž alespoň jedno je různé od 0, že c\ \c + ... + cn "x = 0. Příklad 4-4 Ukažme, že vektory lx = (1,4,-4), ^x = (1,2,0), 3x = (1,5, —2) z prostoru V3 jsou lineárně nezávislé. Skutečně, ze vztahu c\ ■ lx + c2 • 2x + c3 • 3x = 0 dostáváme Cl-(l,4,-4) + c2-(l 2,0) + c3-(l,5,-2) = (0,0,0), O if» First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit to jest (ci + c2 + c3,4ci + 2c2 + 5c3, -4ci + 0c2 - 2c3) = (0,0,0). yl&y rovnost mezi těmito vektory platila, musí koeficienty Ci,c2,c3 vyhovovat systému lineárních rovnic ci + c2 + c3 = 0, (53) 4Cl + 2c2 + 5c3 = 0, (54) -4ci + 0c2-2c3 = 0. (55) Jak se lehce přesvědčíme, má systém rovnic (53)—(55) jediné řešení c\ = c2 = c3 = 0. Jsou tedy dané vektory lineárně nezávislé. Poznámka a) Vektor O je lineárně závislý, neboť aO = O pro každé aei b) Vektory ho,... ,™x, n > 1, jsou lineárně závislé, když a jenom když alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních z nich. (Dokažte!) Příklad Jf.,5 Vektory (1,2,3), (-1,2,0), (1,6,6) jsou lineárně závislé. Lehce nahlédneme, že 2-(l,2,3) + (-l,2,0) = (l,6,6). Vektor (1,6,6) jsme vyjádřili jako lineární kombinaci zbývajících dvou vektorů. 60»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Zavedme si nyní pojem hodnosti skupiny n vektorů následující definicí. Hodnost skupiny vektorů má zásadní význam při vyšetřování řešitelnosti systému lineárních rovnic. Definice 4-4 (Hodnost skupiny vektorů)NechťX = (\c,..., nx)) je skupina n vektorů z prostoru P. Maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve skupině X nazveme hodností skupiny vektorů X. Budeme ji značit h(X). Poznámka. Nechť A je matice typu (m,n). Na matici A se můžeme dívat jako na uspořádanou m-tici řádkových vektorů z vektorového prostoru Vn, resp. jako na uspořádanou n-tici sloupcových vektorů z vektorového prostoru Vm. Aplikováním definice hodnosti na řádky matice dostáváme řádkovou hodnost matice a aplikováním definice hodnosti na sloupce matice dostáváme sloupcovou hodnost matice. Později ukážeme, že pro každou matici je sloupcová hodnost rovna její řádkové hodnosti. Pokud to nedokážeme a výslovně neřekneme o jakou hodnost se jedná, budeme mít na mysli řádkovou hodnost. Příklad 4-6 Určete řádkovou hodnost matice / 1 2 3 4 \ 5 6 7 8 y 6 8 10 12 y Označme he, he, :ix postupně první, druhý a třetí řádek matice A. Tedy lx 2x 3x (1 2 3 4), (56) (5 6 7 8). (57) ( 6 8 61» First < 10 12 ) . • Prev »Next • Last • Go Back • Full Screen • Close (58) • Quit Zřejmé vektor :ix je lineárne závislý na vektorech hcjhc, neboť 3x = lx + ZĽ a vektory \c, \ľ jsou lineárne nezávislé. Skutečné, kdyby tyto vektory byly lineárne závislé, byl by jeden z nich násobkem druhého. To znamená, existovalo by takové číslo a, žeby2x = a\c to jest, platilo by (5 6 7 8 ) =a( 1 2 3 4). Takové číslo a však evidentné neexistuje. Vektory \c, \ľ jsou tedy lineárne nezávislé. Tedy mezi vektory \c, \ľ, :ix jsou pravé dva lineárne nezávislé vektory. Řádková hodnost matice A je tedy rovna 2. Úkol. Dokažte si, že horní schodovitá matice má řádkovou hodnost rovnu počtu jejich nenulových řádků. 4.1. Elementární transformace matic Zavedeme si nyní několik elementárních transformací, jimiž se uspořádaná skupina vektorů, označme ji X, z daného vektorového prostoru P, převede na jinou uspořádanou skupinu vektorů z téhož vektorového prostoru. Příkladem uspořádané skupiny vektorů jsou například řádky matice, které jsou tvořeny vektory z aritmetického vektorového prostoru. Později si ukážeme jak využít tyto transformace např. při řešení těchto úloh: ■ Určit hodnost matice. ■ Vypočítat hodnotu determinantu matice. ■ Řešit systémy lineárních algebraických rovnic. 62»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Napřed definujme základní elementární transformace Ti, T2 a z nich vytvoříme tak zvané odvozené elementární transformace. Definice 4.5 (Základní elementární transformace) NechťF je vektorový prostor. NechťX = (hc,..., "x) je uspořádaná skupina n vektorů z P. Definujme transformace (zobrazeni) Til (i, a), H2(i takto: Transformace 7íl(i,a). Transformací Y = Hl{i,a)X. (59) se k uspořádané skupině vektorů X = (\c,... ,™x) z P přiřadí uspořádaná skupina vektorů Y = ft/,...,^) zP takto: ky := kx pro k ^ i a %y := a • %x. (60) (To znamená, že vektor %x násobíme číslem a a ostatní vektory ponecháme bez změny.) Transformace TÍ2(i,j). Transformací Y = T2(il3)X (61) se k uspořádané skupině vektorů X = (\c,... }'"x) z P přiřadí uspořádaná skupina vektorů Y = (V>...,^/) z F takto: ky := kx pro k ^ j a jy := 3x + jy (62) (To znamená, že k j—tému vektoru ^x se přičte i—tý vektor %x a ostatní vektory se ponechají bez změny.) 63»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Příklad 4.7 Nechť A je matice typu (3,4) íl 3 4 \ V 5 6 7 8 9 10 11 12 / (63) Utvořme matici B typu (3,4) tak, že její druhý řádek je roven druhému řádku matice A násobenému číslem (—3) a ostatní řádky matice B jsou rovny odpovídajícím řádkům matice A. Takto vzniklá matice je matice í 1 2 3 4\ B = -15 -18 -21 -24 9 10 11 12 Matice B vznikla z matice A transformací clH'1(2, —3). Píšeme \ I B = Hl{2, -3)A7resp.AHl(27 -3) B. Odvozené elementární transformace Nechť P je vektorový prostor. Definujme následující transformace (zobrazení) H3(iJ)jm(iJaJ;j)JH5(i,aJjß),ß^0. skupin vektorů X z P na skupiny vektorů z P. Transformace 7íZ(i,j). Transformací Y = H3(i,j)X, iŕj, (64) 64»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit se k uspořádané skupině vektorů X = (1x,...,tc)zP přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů y = (V,...^)zP, že y := jx} jy := tc, |/ := X pro ft ^ i, j (65) To znamená, že skupina vektorů Y^ vznikne ze skupiny vektorů X výměnou i—tého a j—tého vektoru. Místo (64) lza psát X mtší) Y. Příklad. Nechť X / 1 2 3\ 0 3 1 2 1 4 VO 3 1/ potom Y:=?Í3(1,2)X /O 3 1 \ 1 2 3 2 1 4 \1 2 3/ Transformace 7í4:(i,a,j). Transformací (66) se k uspořádané skupině vektorů X = (1x,...,tc)zP přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (fy,...,^)zP, že •fy := a b? + 4r, a ky = kx, ft ^ j. 6Š >F/rsí »Prev »A/exí »/.asi • Go Back •Full Screen • Close •Quit To znamená, že skupina vektorů Y vznikne ze skupiny vektorů X tak, že k j—tému vektoru se připočte a—násobek i—tého vektoru a ostatní vektory se ponechají bez změny. Místo (66) lze psát X H4(i,a,j) Y. Příklad. Nechť X :: /l 0 2 2 3 1 3 3\ 1 4 1/ potom Y :=?Í4(25-3,3)X / 1 2 3\ 0 3 1 2 -8 1 VO 3 1/ Transformace H5(i,a,j,ß), i ^ j, a/0, ß ^ 0. Transformací y = W5(i,Q,j,/3)X, Mi, /J^o (67) se k uspořádané skupině vektorů X = (1x,...,tc)zP přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů y = (V,...^)zP, že ^ := tt tc + /Pa?, a ky = kx} k ^ j. To znamená, že skupina vektorů y vznikne ze skupiny vektorů X tak, že k ß—násobku j—tého vektoru se připočte a—násobek i—tého vektoru a ostatní vektory se ponechají bez změny. Místo (67) lze psát X H4(i,a,j,ß) Y. 66»F/rsí »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Příklad. Nechť X :: / 1 2 3\ O 3 1 2 1 4 \0 3 1/ potom Y :=?Í5(2,3,4,-1)X /O 3 1 \ 1 2 3 2 1 4 V o 6 2 y Věta. 4.1 Transformace H3(i,j), H4:(i,a,j), ß ^ 0 H5(i,a,j,ß), ß ^ 0 jsou elementární, to znamená, že jsou vytvořeny postupným aplikováním elementárních transformací Til (i, a), H2(i,j). Omezíme se pouze na důkaz, že transformace H3(i,j) je elementární. V popisu budeme sledovat jenom vektory na í té a na j-té pozici v uspořádané skupině vektorů. Schematicky lze tento postup znázornit takto í '■ \ í lx T2{j,i) Jx \ l / \ \ 1x + JX Jx í nu, ) \ lx + JX Jx \ T2{iX J 67«First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit / ; \ %x +jx %x ri(j,-r ( \ \ %x +jx — x ( ■■ \ T2{3)i) Jx ■x ( ■■ \ -n(i,-i; Jx "X v '• / V : / V : / V : / Je tedy skutečné transformace H3(i,j)X elementární. Hodnost skupiny vektorů. Zabývejme nyní se otázkou porovnání hodnosti skupiny vektorů X z P a hodnosti skupiny vektorů ľzP, která vznikla ze skupiny vektorů X elementárními transformacemi. Ukážeme, že tyto hodnosti jsou stejné. Věta. 4.2 Nechť f je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P X = {lx)...)mx). Označme Y uspořádanou skupinu m vektorů z P7 definovanou vztahem Y = ni{i,a)X, kde a G M, a ^ 0, 1 < i < m . Potom uspořádané skupiny vektorů X, Y mají stejnou hodnost. Důkaz. Označme h = h(X) hodnost uspořádané skupiny vektorů X. Dokažme napřed, že h(Y) > h. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že ve skupině X jsou vektory , . . (68) 68»F/rst »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 'Xy, h ^ h. Dospěli jsme k závěru, že pro 1 < i < h je h{X) < h(Tl{i,a)X) = h(Y). (72) 69»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Předpokládejme nyní, že h < i < m. Transformací Y = Hl(i,a)X se vektory (68) nemění, takže h(Y) > h(X). Dospěli tedy k dílčímu výsledku, že h(X) < h(Y) = h{Tl(i, a)X, pro všechna i, a ^ 0. (73) Poněvadž X = Tl{i,l/a)Y, je podle (73) h{Y) < h{Tl{i, l/a)Y = h{X). (74) Ze vztahů (73),(74) dostáváme, že h(X) = h(Y). Věta. 4.3 Nechť f je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P X = (íxJ,..Jmx). Označme Z uspořádanou skupinu vektorů z P definovanou vztahem Z = T2(i,j)Xt kde i,j G {l,...,ra}, i^j. Potom X, Z mají stejnou hodnost. 70»F/rsí •Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Důkaz. Označme h hodnost X, tedy h = h(X). Poněvadž hodnost X není závislá na pořadí vektorů, bez újmy na obecnosti budeme předpokládat, že ve skupině X je prvních h vektorů lineárně nezávislých a zbývající vektory jsou jejich lineárními kombinacemi. Předpokládáme tedy, že vektory lx,...,hx (75) jsou lineárně nezávislé a vektory h+lx,...;mx (76) jsou jejich lineárními kombinacemi. Napřed dokážeme, že platí nerovnost h{X) < h{Z), (77) Poněvadž h(X) = h, nerovnost (77) bude dokázána, nalezneme-li v Z h lineárně nezávislých vektorů. Budeme je hledat v následujících případech pro různá umístění vektorů lx^x v uspořádané skupině X. 1° Předpokládejme, že i..... tJL>..... tJL>..... tJL>..... tJL> j. I i y J Transformací T2(i,j)X se vektory (79) transformují na vektory Z =(1x,...^x,...,Cx+Jx),...,hx,...,mx). (80) 71*First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Dokažme, že prvních h vektorů v Z je lineárně nezávislých. Položme ci • lx + ... + ... + a ■ lx + ... + Cj- Cx + Jx) + ... + ch ■ hx = 0. (81) Úpravou dostáváme ci ■ ľx + ... + (cj + q) ■ lx + ... + Cj ■ Jx + ... + ch ■ hx = 0. (82) Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů (75) dostáváme odtud systém rovnic Cj + Ci = 0, Ck = 0 pro A; =l,.../i, & ^ i (83) Odtud plyne zejména Cj = 0. Poněvadž q + Cj = 0 je i q = 0. Je tedy ci = 0,..., Ch — 0, takže prvních k vektorů v (80) je lineárně nezávislých. 2° Předpokládejme, že 1 < j < h < i. V tomto případě je -/\- — l vL>..... tJL>..... tJL>..... tJL>..... tJL> j. Tyto vektory se transformují transformací TÍ2(i,j)X na systém vektorů Z ={lx1...1{jx + lx)1...1hx1...1lx1...1mx). (84) Položme cx ■ lx + ... + Cj • {3x + "x) + ... + ch ■ hx = 0. (85) Vektor %x je dle předpokladu lineární kombinací vektorů lx)..., "x, takže existují taková čísla ßi,...ßh, že 'lx = ßx ■ lx + ... + ßj- jx + ... + ßh ■ hx. (86) 72»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Dosaďme za %x do (85). Dostáváme ci • lx + ... + cj- (Jx + ßi ■ lx + ... + ft ■ Jx + ... + ßh ■ hx) + ... + ch ■ hx = 0. Po úpravě dostáváme (ci + Cj • ßi) ■ lx + ... + Cj ■ (1 + ßj) ■ jx + ... + (cft + Cj ■ ßh) -hx = 0. (87) Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů hc,..., x je ci + CiA = 0, ..., cj ■ (1 + ft) = 0,..., (ch + Cj ■ ßh) = 0. (88) Mohou nastat dva případy: a) ßj ^ — 1, b) ft = — 1. a) to jest ft ^ —1. Ze vztahu q • (1 + ft) = 0 vyplývá, že Cj=0. Z (88) tedy dostáváme Ck = 0 pro & = 1,... h. Jsou tedy vektory (85) lineárně nezávislé, takže h(X) < h(Y). b) Nechť ft = — 1. V tomto případě ze vztahu c j • (1 + ft) = 0 vyplývá, že Cj může být libovolné číslo. Vektory (85) jsou tedy v tomto případě lineárně závislé. Ukážeme, že v tomto případě jsou však vektory vL>..... tJL> > vL>......... tJL> > vL>. I Oř/J lineárně nezávislé. Položme c\ ■ lx + ... + Cj_i • 3~lx + ci+i • j+íx + ... + Ch ■ hx + a ■ {x = 0. (90) Dosadíme-li sem za tc vztah (86) pro ft = —1, dostáváme po úpravě (ci + q • ft) • lx + ... + (cj_i + q • ft-i) • J_1a? + + (cj+i + Q-ft+i) -^+1a? + ... ... + (ch + c, • ßh) ■hx + ...-ct-iX = 0. (91) 7 O* First mPrev m Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Poněvadž vektory (75) jsou lineárně nezávislé, dostáváme z (91) tento systém rovnic: d = 0, ck + Ci-ßk = 0 (92) pro k = 1, 2,..., j — 1, j + 1,..., h. Odtud dostáváme, že Ci, C2, . . . , Cj_i, Cj+i, . . . , Ch-, ci jsou rovny nule. Jsou tedy vektory (89) skutečně lineárně nezávislé. 3° Nechť j > h. V tomto případě se vektory (75) transformací Z = T2(i,j)X nezměnily, jsou tedy lineárně nezávislými. Je tedy i v tomto případě h(Z) > h(X). Zatím jsme dospěli k tomuto výsledku. Nechť X je uspořádaná skupina m vektorů. Potom uspořádaná skupina m vektorů Y Y = ni(i,a)X, l h(X). Je-li tedy U uspořádaná skupina vektorů, vytvořena postupným aplikováním těchto dvou tranformací (elementárních transformací), má hodnost h(U) pro níž platí h{X) < h(U). (93) Tohoto poznatku využijeme k důkazu, že h(Z) > h(U). Nechť tedy Z = T2(i,j)X. Položme A = TI (i, -1)Z, B = H2{i, j)A, U = Hl(i, -l)B. 7'4»First »Prev »A/exí »Last • Go Back •Full Screen • Close •Quit Potom U = X. Tedy X jsme získali z Z elementární transformací, takže podle toho co jsme uvedli, je h(X) > h(Z). (94) Odtud a ze vztahu h(X) < h(Z) dostáváme, že h(X) = h(Z), což je vztah, který jsme chtěli dokázat. Věta. 4.4 Nechť f je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P x = (V..,^). Označme Y uspořádanou skupinu m vektorů z P7 která vznikla z X elementární transformaci. Potom skupiny vektorů X, Y mají stejnou hodnost. Důkaz. Poněvadž každá elementární transformace vzniká postupným aplikováním základních elementárních transformací, je tvrzení věty bezprostředním důsledkem vět (4.2), (4.4). Na základě těchto výsledků můžeme vyslovit následující větu. Uvažme, že matici lze považovat za uspořádanou skpinu řádkových aritmetických vektorů. Je tedz následující věta speciálním případem předcházejících úvah. Věta. 4.5 (O hodnosti matice) Nechť A je matice typu (m,n). Potom ■ Matice Hl(i,a)A, kde a ^ 0 je matice, která vznikne z matice A tak, že její i-tý řádek vynásobíme číslem a a ostatní řádky ponecháme beze zmeny I5*First mPrev »Next »Last • Go Back •Full Screen • Close »Quit ■ Matice T2(i,j)A je matice, která vznikne z matice A tak, že k jejímu j-tému řádku přičteme její i-tý řádek a ostatní řádky ponecháme beze změny. ■ Matice H3(i,j)A je matice, která vznikne z matice A tak, že vzájemně vyměníme její i-tý a j-tý řádek a ostatní řádky ponecháme beze změny. ■ Matice H4(i, a, j, ß)A, kde ß ^ O je matice, která vznikne z matice A tak, že její j-tý řádek nahradíme součtem ß— násobku jejího j — tého řádku a a—násobku jejího i—tého řádku a ostatní řádky ponecháme bez změny. Postupným aplikováním těchto transformací na matici A dostaneme matici, která má stejnou řádkovou hodnost jako matice A. Sloupcovou hodnost matice určíme podle analogické věty, která vznikne z věty 4.5 tak, že v ní slova „řádek" nahradíme slovy „sloupec". 4.2. Určení hodnosti matice Nechť X je nenulová schodovitá matice. Potom její hodnost je rovna počtu jejich nenulových řádků. Uvedli jsme si, že matice Y, která vznikne z matice X elementárními transformacemi, má stejnou hodnost jako matice X. Popišme tedy výpočtový postup jak elementárními transformacemi transformovat danou matici J/Ona horní schodovitou matici. Transformace matice X na horní schodovitou matici Nechť X je nenulová matice typu (m,n), která není ve schodovitém tvaru. Její transformaci na matici schodovitého tvaru, označíme ji opět X, provedem takto. Začátek Next *Last • Go Back • Full Screen • Close *Quit BI. Budeme vytvářet i-tý řádek hledané matice schodovitého tvaru. B2. K číslu i určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice X, v jehož řádcích i, i + 1,..., m je alespoň jeden nenulový prvek. Toto pořadové číslo sloupce označme s». B3. Zvolme p G {i,..., m}, pro než je xP}Si ^ 0. (je-li takových p více, zvolíme jedno z nich), p-tý řádek matice X nazveme hlavním řádkem. B4. Je-li p^í, vyměníme navzájem p-tý a i-tý řádek metice X. Po této výměně je i-tý řádek hlavním řádkem. Je-li p = i, je již i-tý řádek hlavním řádkem. B5. Provedeme nyní takové elementární 'transformace, aby po jejich realizaci byly prvky Xi+\r%).. rovny 0. Toho dosáhneme např. elementárními transformacemi X :=H4:(i,-xj7Si,j,xhSi)X pro ty indexy j = i + 1,... , m pro něž Xj:Sj ^ 0. B6. Jestliže matice X není ještě ve schodovitém tvaru, položme \í := i + II a přejdeme zpět na Bl. Je-li X ve schodovitém tvaru, je transformace ukončena. Hodnost dané matice je pak rovna počtu nenulových řádků schodovité matice. Příklad 4.8 Určete řádkovou hodnost matice X /O 1 3 2 3\ 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 \.u 3 2 • Prev 4/ • Next »Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit užitím její transformace na horní schodovitou matici. Řešení. Položme X :- m n 5. / O 1 3 2 3 \ 0 2 6 4 1 0 0 0 12 V O 1 3 2 4/ V následujícím popisu výpočtového postupu bude označení Bl-i,... ,B6-i znamenat úkony Bl— B6 pro dané i. Začátek Bl-1 Budeme vytvářet i-tý (první) řádek hledané schodovité matice. B2-1 K číslu i (to jest k číslu i = 1) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce, v jehož řádcích i,..., m (to jest v jehož řádcích 1,2,3,4) je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy Si := 2 (s\ = 2). B3-1 Zvolíme hlavní řádek. V s i-tém sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulové prvky v řádcích 1,2,4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 1, který zvolíme jako hlavní. B4-1 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, neprovádíme výměnu řádku p s řádkem i. B5-1 Provedeme nyní takové elementární tranformace matice X, aby po jejich realizaci byly v Si-tém sloupci (to jest ve druhém sloupci) v řádcích i + 1,... ,m (to jest v řádcích 2, 3, 4) nulové prvky. (Prvky ^2,2,^3,2,^4,2 eliminujeme). Toho dosáhneme např. elementárními 78*First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit transformacemi X := 7-ŕ4(i, -xj}8i,j,XitSl)X, proj = i + l,...,m, je-li xJ:Sj ^ 0. Poněvadž i = 1, Si = 2, m = 47 eliminaci provedeme elementárními transformacemi X :=/H4(l,-xi;2,J,aľij2)X, pro j = 2,3,4. To znamená, že prvek Xj^ Vro každé j G {2,3,4} eliminujeme tak, že hlavní řádek (to jest první řádek) vynásobíme číslem (—2^,2) cl přičteme jej k j-tému řádku vynásobeného číslem X\fi- • Položme j := i + 1 (tedy pro j = 2) dostáváme X:=?í(l,-a2;2,2,a1;2)X. Po této transformaci je druhý řádek matice X roven X(2,:) = -2 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 - 5) a ostatní řádky matice X se nemění. • Položme j := j + 1. Je tedy j = 3. Poněvadž XjiH = 07 (to jest x^2 = Q), eliminaci není třeba provádět a přejdeme k dalšímu řádku. • Položme j := j + 1. Je tedy j = 4. Poněvadž Xjr?i = 1^0, (to jest 2^2 7^ Oj provedeme elementární transformaci X:=?í4(l,-a4,2,4,ai)2)X. Po íeto transformaci je čtvrtý řádek matice X roven X(4,:) = -1 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). 79» First m P rev V Next • Last • Go Back •Fullscreen • Close •Quit Ostatní řádky matice X se nemění. X ( O 1 3 2 3 \ 0 0 0 0-5 0 0 0 1 2 V O O O O 1 / B6-1 Poněvadž obdržená matice X ještě není horní schodovitou matici, položíme i:=i + '\\ a přejdeme na bod BI. Bl-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhý řádek horní schodovité matice. B2-2 K číslu i (to jest k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo Si (to jest S2) sloupce, v jehož řádcích i,...,m (to jest v jehož řádcích 2,3,4,) je nenulový prvek. Je to čtvrtý sloupec. Položíme tedy Si := 4 (s2 = 4.). B3-2 Zvolíme hlavní řádek. V si-tém sloupci (to jest ve 4- sloupci) je v řádcích 2,3,4 nenulový prvek jen v řádku 3. Jeho pořadové číslo označíme p. Tento řádek zvolíme za hlavní řádek. Je tedy p := 3. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek řádek p, kde p ^ i, provedeme v matici X výměnu 80»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit x řádku p s řádkem i. (Tedy výměnu druhého a třetího řádku.) Dostáváme tak matici / O 1 3 2 3 \ OOOl 2 0 0 0 0-5 V O O O O 1 / B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v Šitém sloupci (to jest ve čtvrtém sloupci) v řádcích i + 1,..., m (to jest v řádcích 3, 4) nulové prvky. (Prvky 2:3,4,2:4,4 eliminujeme.) Avšak v tomto případě jsou prvky 2:3,4,2:4,4 rovny O, takže eliminaci není třeba provádět . Je tedy výsledná matice v tomto kroku ( O 1 3 2 3 \ 0 0 0 1 2 0 0 0 0-5 V O O O O 1 ) B6-2 Obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, proto položíme a přejdeme na bod Bl. B1-3 Je tedy i = 3. To znamené, že budeme vytvářet třetí řádek hledané schodovité matice. B2-3 K číslu i (to jest k číslu i = ?>) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s^), v jehož řádcích i,..., m (to jest v jehož řádcích 3,4^ je nenulový prvek. Je to pátý sloupec. Položme tedy Si := 5 ($3 = 5). 81»First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit X x B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V s {-tém sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou nenulové prvky v řádcích 3, 4- Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 47 který zvolíme jako hlavní. B4-3 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p ^ i, provádíme výměnu řádku p s řádkem i. Po této výměně je ( O 1 3 2 3 \ OOOl 2 0 0 0 0 1 V O O O O -5 / B5-3 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v Si-tém sloupci (to jest v pátém sloupci) v řádcích i + 1,... ,m (to jest v řádku 4) nulové prvky. (Prvek x 4^ eliminujeme.) Toho lze dosáhnout např. elementární transformací X:=m{3}-x^)}^x^)X. Výpočtem dostáváme X(4,:) = 5 • (O O O O 1) + 1 • (O O O O - 5) = (O O O O 0). Je tedy / O 1 3 2 3 \ 0 0 0 12 0 0 0 0 1 X V o o o o o / 82»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit B6-3 Poněvadž obdržená matice je již horní schodovitou matici, je transformace dané matice na horní schodovitou matici již ukončen. Poněvadž obdržená schodovitá matice má celkem tři nenulové řádky, je její hodnost a tedy i hodnost zadané matice rovna 3. Tedy h(X) = 3. Příklad 4.9 Určete hodnost skupiny vektorů ^ = (10 -12), 2a=(0 12-l), 3a = (013-6). Řešení. Úloha je ekvivalentní s úlohou nalezení řádkové hodnosti matice / 1 0 -1 2 \ V 0 1 0 1 2 3 -1 -6 / Tuto hodnost hledejme transformací matice A elementárními ransformacemi na horní schodovitou matici postupem popsaným na str. 76. Položme Ľ Bl-1 Budeme vytvářet i-tý řádek (1. řádek) schodovité matice. B2-1 K číslu i = 1 určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice A, v jehož řádcích 1, 2, 3 je alespoň jeden prvek různý od 0. Je to v prvním sloupci. Pokládáme tedy s\ := 1. B3-1 Hledáme nyní řádek matice A, v jehož sloupci s pořadovým číslem s\ = 1 je nenulový prvek. To jest, hledáme p G {1,2,3}, pro něž je ap>Sl ^ 0. Je to pro p = 1. Položme tedy p := 1. Řádek p = 1 volíme za hlavní. 8'3*First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit B4-1 Poněvadž p = i, neprovádíme výměnu p-tého a i-tého řádku. První řádek je hlavním. B5-1 Poněvadž všechny prvky v prvním sloupci počínaje druhým řádkem, jsou nulové (tj. prvky aj,i = O Pro J' = 2, 3), přejdeme k B6-1. B6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto položíme a jdeme zpět k bodu Bl. B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet 2. řádek schodovité matice. B2-2 K číslu i (tj. k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce Si (to jest S2), v jehož řádcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy S2 := 2. B3-2 Zvolíme hlavní řádek. Ve sloupci s pořadovým číslem S2 (tj. ve druhém sloupci) hledáme index j, j > i, tak, aby üjjS2 ^ 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Položíme p := 2. Bude tedy p-tý řádek hlavním řádkem. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, neprovádíme vzájemnou výměnu p-tého a i-tého řádku. Je tedy i-tý řádek hlavním řádkem. B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace, aby po jejich realizaci byly v Si-tém sloupci (ve druhém sloupci) v řádcích i + 1,..., m (to jest v řádku 3) nulové prvky. Toho dosáhneme např. elementární transformací A:=^4(2,-a3,2,3,a2,2)A. Výpočtem dostáváme A(3,:) = -1(0 12 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (O O 1 - 5). 84*First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Celkem dostáváme íl O O 1 y o o -1 2 1 2\ -1 "5/ B6-2 Dosažená matice A je horní schodovitá matice. Poněvadž má tři nenulové řádky, je její hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3. Dané vektory ľa, 2a, :ia jsou lineárně nezávislé. Příklad 4.10 Určete hodnost matice / O O 1 2 3 \ 0 2 2 4 3 0 2 4 8 9 V O O 2 4 6 / Řešení. V tomto příkladě naznačíme pouze výsledky jednotlivých úprav bez komentáře. / O 2 2 4 3 \ /02243X X X 0 0 12 3 0 2 4 8 9 V O O 2 4 6 / Má tedy matice X hodnost 2. 0 0 12 3 0 0 2 4 6 V O O 2 4 6 / 0 2 2 4 3 0 0 12 3 85»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit 5. Báze vektorového prostoru Zaveďme si nyní pojem báze. V některých vektorových prostorech existují vektory, které mají tu vlastnost, že každý vektor tohoto prostoru lze vyjádřit jako jejich vhodnou lineární kombinaci. To nás vede k této definici. Definice 5.1 ((Báze vektorového prostoru)) Necht P je vektorový prostor. ľe,...,ne jsou vektory z f s těmito vlastnostmi: 1. jsou lineárně nezávislé 2. každý vektor prostoru P se dá vyjádřit jako jejich lineární kombinace, to jest, ke každému vektoru a G P existuji taková čísla ci,..., cn, že a = c\ le + ... + cn ne. Příklad 5.1 Dokažte^ že vektory v Potom rikame, ze vektory e,..., e z r won jeho bázi. 1e = (1,0,0), 2e= (0,1,0), 3e = (0,0,1) tvoří bázi vektorového prostoru ¥3. Důkaz. Dokažme především, že vektory :e, 2e, 3e jsou lineárne nezávislé. Abychom to dokázali, hledejme koeficienty c\, 02,03, pro něž je ci1e + c22e + c33e = 0, to jest, pro něž je ci ■ (1,0,0) +c2 • (0,1,0) +C3 • (0,0,1) = (0,0,0). OO»First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit To zřejmě platí když a jenom když c\ = C2 = es = 0. Jsou tedy vektory le = (1,0,0), 2e = (0,1,0), 3e = (0,0,1) skutečně lineárně nezávislé. Nechť nyní a = (01,02, 03) je libovolný vektor z V3 a hledejme koeficienty c\, C2, 03, pro něž je c\ le + c2 2e + c3 3e = a, to jest, pro něž platí ci -(1,0,0) + C2- (0,1,0) +C3- (0,0,1) = (01,03,03). Odtud dostáváme c\ = ai, C2 = 02, C3 = 03. Vektory 1e = (l,0,0),2e=(0,l,0),3e = (0,0,1) raajY vlastnosti uvedené v definici 5.1, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. Příklad 5.2 Dokažte, že vektory lf = (1,1,0), 2/ = (0,1,0), 3/ = (1,1,1) toon 6az« vektorového prostoru V3. Budeme postupovat podobně jako v minulém příkladě. Napřed dokážeme, že vektory V, 2/, 3/ jsou lineárně nezávislé. Hledejme koeficienty c\, 02,03, pro něž je Cí lf WfL+.'pÜ rN2í .ĺ ast • Go Back • Fu// Screen • C/ose • Qu it to jest, pro něž je d • (1,1,0) + c2 • (0,1,0) + ca • (1,1,1) = (0,0,0). To zřejmě platí když a jenom když Cl + 0-c2 + C3 = 0, (95) ci + c2 + c3 = O, (96) 0-Cl + 0-C2 + c3 = 0. (97) Tento systém rovnic má právě jedno řešení a to c\ = c2 = c3 = 0. Jsou tedy vektory lf = (1,1,0), 2/ = (0,1,0), 3/ = (1,1,1) lineárně nezávislé. Abychom dokázali, že tyto vektory tvoří bázi vektorového prostoru V3, musíme ještě dokázat, že každý vektor a G V3 se dá vyjádřit jako lineární kombinace vektorů lf, 2f, 3/. Nechť tedy a G P. Hledejme nyní koeficienty c\) c2, c3, pro něž je c\ lf + c2 2/ + c3 3/ = a, to jest, že ci-(l,l,0) + c2-(0,l,0) + c3-(l,l,l) = (ai,a2,a3). To zřejmě platí když a jenom když ci + 0-c2 + c3 = oi, (98) ci + c2 + c3 = a2, (99) 0-Cl + 0-c2 + c3 = a3. (100) Odtud dostáváme c\ = a\ — a3, c2 = a2 — ai, c3 = a3. Vektory lf = (1,1,0),2/ = (0,1,0),3/ = (1,1,1) raajY vlastnosti uvedené v definici 5.1, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. 88»F/rsí »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Všimněme si blíže obou těchto příkladů. V obou příkladech jsme uvažovali tentýž vektorový prostor. Ukázali jsme, že jak vektory 1e = (1,0,0), 2e= (0,1,0), 3e = (0,0,1) tvoří bázi vektorového prostoru V3, tak i vektory lf = (1,1,0), 2/ = (0,1,0), 3/ = (1,1,1) tvoří bázi vektorového prostoru V3. Báze vektorového prostoru V3 není tedy určena jednoznačně. V nahoře uvedeném příkladě byl počet vektorů tvořících bázi téhož vektorového prostoru V3 v obou případech stejný. Naskytá se otázka, zda se jedná o nahodilost, anebo zda se jedná o nějakou zákonitost. V případě, že počet vektorů tvořících bázi by byl stejný pro každou bázi, potom tento počet by charakterizoval příslušný vektorový prostor. Uveďme si tedy následující větu, která odpovídá na tuto otázku. Věta. 5.1 Necht f je vektorový prostor a :e,..., ne je jeho báze, tvořena n vektory. Potom platí: Jestliže xf,... ,mf je skupina m vektorů z P7 kde m > n, potom v ní je nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Každá skupina n lineárně nezávislých vektorů z P je jeho báze. Číslo n nyzýváme dimenzí vektorového prostoru P. Píšeme dímP = n. Bez důkazu. Dokažte si platnost tohoto tvrzení 89»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Aritmetický vektorový prostor Vn má dimenzi rovnu n, tj. dimNn = n. Jedna z jeho bází je tvořena vektory 1e=(l,0,...,0), 2e=(0,l,...,0),..., ne = (0,0,..., 1). Uveďme si nyní pojem vektorového podprostoru vektorového prostom P. Definice 5.2 ((Vektorový podprostor)) Nechta je vektorový prostor. Necht Q C P a necht pro každé dva prvky x,y G Q je x + y G Q a pro každé x G Q a každé a G M je a • x G Q. Zde symboly „+" a „•" jsou operace sečítání a násobení v prostoru P. Potom množina Q společně s uvedenými operacemi „+" a „•" je vektorovým podprostorem vektorového prostoru P7 značíme jej Q. Uveďme si ještě pojem vektorového prostoru generovaného systémem vektorů. Definice 5.3 ((Lineární obal množiny)) Necht ¥ je vektorový prostor a necht M C P. Potom množinu Q všech lineárních kombinací vektorů z M nazýváme lineárním obalem množiny M. Množina Q s operacemi „+" a „•" tvoří vektorový podprostor Q prostoru P. Říkáme, že prostor Q je generován množinou M. Jestliže U je vektorový podprostor prostoru P obsahující M, potom QCU. Příklad 5.3 Necht Q je množina těch vektorů z ¥5, jejichž první a třetí složka je stejná. Potom množina Q s operacemi „+" a „■", definovanými v prostoru ¥5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Vektory (1,0,1,0,0), (0,1,0 0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1) (101) yU*First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit tvoří jeho bázi. Skutečně. Nechť a = (s, a2, s, a4, a5), ö = (r, ď2, r, &4, &s) a a,r,s jsou libovolná čísla. Potom a + b = (s + r, a2 + &2, s + r, a4 + 64, a5 + 65), ča&ie první a třetí složka tohoto součtu je stejná, takže tento součet patří do množiny Q. Podobně a • a = (a • s, a ■ ft2, ol • s, a • a4, a • 0,5), takže první a třetí složka tohoto součinu je stejná, takže součin a • a patří do množiny Q. Tato množina Q s operacemi „+" a „•", definovanými v ¥5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Ukažme ještě, že vektory (101) tvoří jeho bázi. Dokažme napřed, že jsou lineárně nezávislé. Skutečně, hledejme taková c\, c2, C3, c4 pro něž je ci-(l,0,l,0,0) + c2-(0,l,0,0,0)+c3-(0,0,0,l,0) + c4- (0,0,0,0,1) = (0,0, 0,0,0). Odtud dostáváme (ci,c2,c3,c4) = (0,0,0,0). Tento vztah je splněn zřejmě jenom v případě, že ci = c2 = c3 = c4 = 0. Jsou tedy vektory (101) lineárně nezávislé. 91 »First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Nechť nyní a = («s,ö2) s, 04,05) je libovolný vektor z Q. Potom s ■ (1,0,1,0,0) + a2 ■ (0,1,0, 0,0) + a4 • (0,0, 0,1,0) + a5 • (0, 0,0, 0,1) = = (s,a2,s, 04,05) Lze tedy vektor a = (s, 02, s, 04,05) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů (101). Tím je důkaz proveden. Zároveň lze konstatovat, že vektorový prostor Q je generován vektory (101). Vraťme se k systému rovnic (45) Ax = 6, (102) kde A je matice typu (m,n), b je vektor (m, 1) a neznámý vektor x je typu (n, 1). Označme a ( 0-1,1 \ «2,1 \ «m,i y a / ah2 \ «2,2 ^ Om,2 y a / a1?n \ Ö2,n \ 0"m,n J í h\ b2 \ bm ) 92»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Potom systém (45) lze zapsat jako / ai,i \ / «1,2 ^ Xi «2,1 \ dm,í / + x2 «2,2 \ Gm,2 / + . . . + Xr tj- / a\,n \ f h \ 0*2,ri = b2 \ u>m,n J \bm J x\la + X22a + ... + xnna = b. (103) Příklad 5.4 Systém lineárních rovnic x\ + ?>x\ — 3aľ3 4:X\ + hx2 + 2aľ3 -12 6 fee zapsat jako Xí [ 4 J + ^2 [ 5 J + ^3 -12 6 poznámka Pro každou uspořádanou n-tici reálných čísel je levá strana (103), tj. vektor x\la + X22a + ... + xnna vektorem z vektorového prostoru G generovaného sloupcovými vektory matice A, tj. vektory la, 2a,..., na. Systém rovnic Ax = b má řešení když a jenom když b G G. "i "M • • • 1 93»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 6. Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru Na gymnáziu se zavádí pojem skalárního součinu dvou volných vektorů. Toto zavedení se motivovalo potřebami fyziky. Skalární součin jste využívali nejen ve fyzice, ale i v analytické geometrii a to jak v úlohách s přímkami, tak i v úlohách s rovinami. Pojem skalárního součinu dvou volných vektorů a výpočet úhlu dvou nenulových volných vektorů nás bude motivovat k zavedení skalárního součinu a úhlu dvou vektorů v obecných vektorových prostorech. S těmito pojmy se pak můžete setkat při řešení různých aplikačních úloh. Začněme tedy s volnými vektory. Definice 6.1 Uhlem volných vektorů ~čt, b rozumíme úhel if e (0,7t), o který je nutno otočit orientovanou úsečku AĚ, reprezentující ~čt, kolem bodu A v rovině určené body (A}B}C) do směru orientované úsečky AÔ, reprezentující b , kde A je libovolný bod (viz obr 6). Obrázek 7: Úhel dvou vektorů 94»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Skalární součin dvou volných vektorů. Nechť ~čt, 6 jsou dva volné nenulové vektory. Potom jejich skalárním součinem rozumíme číslo (skalár), označme je (~čt, 6 ), definované vztahem ("öM?) = iöM • i Vi -cos(^), (104) kde tp je úhel,který svírají vektory Ht, b . Jestliže alespoň jeden z vektorů Ht, b je nulový vektor, definujeme ("o", V) = 0. Podívejme se nyní na pojem skalárního součinu dvou volných vektorů v kartézském souřadném systému ve třírozměrném prostoru. (Analogické úvahy je možno provést ve dvojrozměrném prostoru.) Uvažujme dva nenulové volné vektory ~čt, b . Nechť volný vektor 7? je reprezentován orientovanou úsečkou a volný vektor b je reprezentován orientovanou úsečkou oÉ , kde O = [0,0,0], A = [0,1,0,2,0,3], B = [61,62,63]. Označme ip úhel, který svírají orientované úsečky ÖÄ, OÉ. Na trojúhelník A(OAB) aplikuj me kosinovou větu. Dostáváme (viz obr.8) \JÉ\2 = \öA\2 + \ÖE\2-2\Öl\ ■ \UÉ\ cos (ip) Do tohoto vztahu dosaďme \ÄÉ\ = V(bi-aí)2 + (b2-a2)2 + (b3-a3)2, \ÖÄ\ = ^Jal + al + al, \OÉ\ = ^b\ + b22 + bl Úpravou dostaneme I ÖÄ\ • I OÉ I -cos(^) = ^61 + 0262 + 0363- (105) 95• First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Obrázek 8: Odvození skalárního součinu dvou vektorů Poněvadž — \~äľ\ a \UŠ\ = \t\ , dostáváme odtud a z (104) (~čt, b ) = aibi + a2b2 + 03^3 (106) Jsou-li volné vektory ~čt, b nenulové, lze užitím vztahů (104), (105) určit cos(tp) vztahem (~čt, b ) cos(tp) löM • I Ď I (107) Užitím (106) pak dostáváme cos(tp) ai&i + a2b2 + Ö3&S f ft^ —I— fi'£ —I— /> , //> —I— fí —I— fí^ (108) Go Back • Fu// Screen • C/ose • C?u/i Uvažujme nyní zobrazení T prostoru U3 na prostor V3 (bylo již zavedeno dříve), definované vztahem Tilí) = (ai a2 a3) = a, T{ b ) = (&i b2 h) = b. Vzhledem k vlastnostem zobrazení T a vzhledem k (106) definujeme skalární součin vektorů a, b v prostoru V3 vztahem (později definici skalárního součinu zobecníme) (a, b) = ((ai, a2, a3), (61, Ď2, Ď3)) = ai&i + ^2^2 + «3^3 (109) a úhel /af + a^ + aí? l&l = \Ai + ^2 + ^35 ^ze (HO) přepsat takto «»(*) = Ä (HD Takto zavedený pojem skalárního součinu vektorů z V3 a pojem úhlu dvou nenulových vektorů z V3 rozšíříme i pro vektory z Vn. (Tyto pojmy v dalším ještě více zobecníme.) Definice 6.2 Nechť a = (a\,..., an)7 b = (61,..., bn) jsou vektory z vektorového prostoru Vn. Potom číslo, označme je (a, 6), definované vztahem (a, 6) = aifri + ... + ft„6„ (112) nazveme skalárním součinem vektorů a, b. 97»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Poznámka. Nechť a, b G Vn jsou sloupcové vektory. Potom skalární součin (a, b) definovaný vztahem (112) lze zapsat jako (a, 6) = aT • b. Lze dokázat, že v prostoru Vn má skalární součin vektorů, definovaný vztahem (112), následující vlastnosti: Věta. 6.1 Nechť Wn je vektorový prostor. Potom skalární součin v tomto prostoru, definovaný vztahem (112)7 má tyto vlastnost^ m _ /^ a\ (113) {a + b,c) = (a}c) + (b}c)} (114) (a-a,b) = a-(a}b)} (115) (a,a) > 0, (o,o) = 0 => a = 0. (116) Důkaz Omezíme se na důkaz vztahu (114), ostatní vztahy se dokazuji analogicky, jejich důkaz přenechávám čtenáři. Aplikací vztahu (112) na levou stranu (114) dostáváme (a + 6, c) = (ai + &i) • ci + ... + (a„ + Ď„) • cn, což po úpravě dává ai • c\ + Ďi • c\ + ... + an • cn + bn • cn = (a, c) + (6, c). Pojem skalárního součinu dvou vektorů rozšíříme nyní i na vektorové prostory P7 definované na obecné množině P. Uvažujme nyní vektorový prostor P, definovaný na nějaké neprázdné množině P. V tomto vektorovém prostoru budeme definovat skalární součin takto. Definice 6.3 (Skalární součin dvou vektorů) Nechť P je daný lineární prostor. Ke každým jeho dvěma vektorům a, b G P je přiřazeno reálné číslo (a, b) tak, že pro vektory a,b,c G P a pro 98»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit každé reálné číslo a platí (a, ft) = (6, a), (117) (a+ 6, c) = (a,c) + (ö,c), (118) (aa,6) = a(a, 6), (119) (a, a) > 0, (o,o) = 0 => a = 0. (120) Potom číslo (a, b) nazýváme skalárním součinem prvků a, 6 G P. Skalární součin definovaný v prostoru Vn vztahem (112)je jedním z možných způsobů definování skalárního součinu v prostoru Vn. V následujícím příkladě si uvedeme jiný, rovněž často používaný skalární součin v prostoru Vn. Příklad 6.1 Nechť u\,..., un jsou kladná čísla. Ke každým dvěma vektorům x,y G Vn přiřaďme reálné číslo (x^y)^ vztahem (x,y)w = uJiXiyi + ... +ujnxnyn. (121) Potom (íc,3/)w definuje skalární součin na Vn. Důkaz. Stačí prověřit, že [x^y)w splňuje vztahy (117—120). Přenechávám jej čtenáři. Věta. 6.2 Nechť f je lineární prostor se skalárním součinem (x,y) pro x,y G P. Potom pro libovolná x, y G P platí \(x,y)\S 0. Položme F (a) = (x + a • y,x + a • t/)3 (123) kde a je reálný parametr. Potom podle (120) je F (a) > O pro všechna a G M. Dosadíme-li do (123) a = — \yyl dostáváme z (123) (x.y) , , (x.y)2 . . Úpravou dostáváme (y,y) Odtud takže [x,x)- (y,y) > (x,y)2, \{x,y)\ < y/(x,x)- y/(y,y). Jako další důležitý pojem, který si zavedeme, je pojem normy v lineárním prostoru P. Normu použijeme pak k definování vzdálenosti dvou prvků v tomto prostoru. Definice 6.4 (norma) Lineární prostor f nazýváme normovaným lineárním prostorem, jestliže lezáporné reálné číslo, označme je 11 x 11, že pro všedím 100*First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit ke každému a? G P je přiřazeno takové nezáporné reálné číslo, označme je 11 x 11, že pro všechna a?, y G P a každé reálné číslo a platí Mxll = O => a? = 0, (125) I la;+ 2/11 < llxll + Myli (126) lla.xll = la+llxll. (127) V normovaném lineárním prostom P platí následující věta. Věta. 6.3 Nechť f je normovaný lineární prostor. Je-li a ^ 07 potom platí Mali > 0. Důkaz. Podle definice normy pro každé a G P je Mall > 0. Nechť existuje takové a ^ 0, že Mali =0. Podle (125) by bylo a = 0, což by byl spor s předpokladem. Je tedy Mali > 0 pro každé a/O. Uveďme si nyní následující normy ve vektorových prostorech Vn. Věta. 6.4 (Normy v prostoru Vn) a) Jestliže ke každému vektoru x G Vn přiřadíme číslo IIa?IIi vztahem MícIIi = \xľ\ + \x2\ +...+ \xn\ (128) potom II a? Mi je tzv. oktaedrická norma ve vektorovém prostoru Vn. ß) Jestliže ke každému vektoru x G Vn přiřadíme číslo IIa?II2 vztahem \\x\\2 = Jx\ + x\ + ... + x2n) (129) 101*First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit potom 11 asi 12 je tzv. euklidovská norma ve vektorovém prostoru Vn. 7) Jestliže ke každému vektoru x G Vn přiřadíme číslo 11 as 113 vztahem 11 as 113 = max \x{\ pro i = 1,... ,n, (130) potom I las 113 je few.max-norma i>e vektorovém prostoru Vn. (V literatuře se místo I l.l 13 pzse íei I I • I 'max-/ Definice 6.5 ((Úhel dvou vektorů)) Nechtě j'e lineárníprostor se skalárním součinem (x,y), kde as, y G P. Označme 11 as 11 = \/(as,as). Potom pro nenulové vektory x , y nazýváme úhel Lp, definovaný vztahem , N (a?,t/) / raW = MiTŤŤU' (131) úhlem vektorů x, y. Dva vektory x, y nazýváme navzájem kolmými, jestliže (x,y) = 0. (132) Poznámka. Jestliže vektory as, y jsou nenulové, potom z (??) pro pravý úhel vyplývá (132). Metrický prostor. Dříve než zavedeme pojem metrického prostoru, uvedme si tento příklad. Předpokládejme, že podnik vyrábí výrobky Vi,..., Vn . Nechť pi značí plán výroby výrobku Vi,i = 1,... ,n. Nechť výrobní plán je popsán vektorem p = (pi,... ,pn). Předpokládejme, že podnik se odklonil od plánované výroby jednotlivých výrobků. Nechť realizovaná výroba je popsaná 102• First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit vektorem r = (fi,..., rn), kde r j značí zrealizovanou výrobu výrobku Vni = 1,..., n. Je otázkou, jak ohodnotit odchylku realizace celé výroby od plánu výroby, to jest odchylky vektorů p, r. K tomu si zavedeme pojem vzdálenosti dvou vektorů. Pojem vzdálenosti zavedeme napřed pro prvky libovolné množiny. Vzdálenost dvou bodů jsme zvyklí chápat jaksi intuitivně, bez jeho precizování. Označíme-li M množinu bodů, potom v našem intuitivním pojetí má vzdálenost tyto vlastnosti: Ml. Vzdálenost dvou různých bodů je kladná, vzdálenost každého bodu od sama sebe je nulová. M2. Vzdálenost bodu, označme jej a G M, je od druhého bodu, označme jej b G M, stejná, jako je vzdálenost bodu b od bodu a. M3. Jsou-li a, b, c tři body množiny M, potom vzdálenost bodů a, b je menší nebo rovna součtu vzdálenosti bodů a, c, a vzdálenosti bodů b, c. Této vlastnosti říkáme trojúhelníková nerovnost. Je znázorněna na obr.6. Trojúhelníková nerovnost Toto intuitivní chápání vzdálenosti nás inspiruje k zavedení pojmu vzdálenost na libovolné množině M takto. 103»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Definice 6.6 (Definice vzdálenosti) Nechť M je daná neprázdná množina a nechť g je zobrazení, kterým ke každým dvěma prvkům a, b G M je přiřazeno nezáporné číslo, označme je g(a, b), tak, že pro a,b,c G M platí g(a,b) > 0, přičemž g(a,b) = 0 o a = b, (133) g(a,b) = g(b,a), (134) g(a,b) < g(a,c) + g(b,c). (135) Potom g(a, b) nazýváme vzdáleností prvků a, b a množinu M s takto zavedenou vzdáleností g nazýváme metrickým prostorem. Na jedné a téže množině lze definovat vzdálenost různými způsoby. Jednou z možností jejího definování ve vektorovém prostoru je použití normy. Věta. 6.5 ((Vzdálenost určená normou.)) Nechť ¥ je normovaný vektorový prostor. Nechť x,y G P. Potom vztahem p{x)y) = \\x— y\\ pro x)y G P je definovaná vzdálenost v P. Posouzení přibližného řešení systému rovnic A x = b. Uvažujme systém lineárních rovnic A x = b. Označme x* jeho přesné řešení a x jeho přibližné řešení (řešení obdržené např. výpočtem na počítači). Zaveďme si dva vektory Ö a r vztahy Ö = x* - x, r = b - A x. (136) 104»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit ■ Norma vektoru Ö vyjadřuje vzdálenost přibližného řešení od přesného řešení. Tento vektor však většinou v reálnách situacích nemůžeme určit, neboť neznáme přesné řešení. Existují metody na odhad normy tohoto vektoru. Vycházejí však velice pesimisticky. ■ Vektor r se nazývá reziduálním vektorem. Vyjadřuje, jak dobře přibližné řešení vyhovuje danému systému rovnic. Ukažme si dva příklady. Příklad 6.2 Uvažujme systém lineárních rovnic 2, 5 a?i — 3,1 ^2 — %3 —0,5aľi + 2,0 £2 — 1,5 £3 7, 2 a?i — 3,1 £2 + 4,1 £3 Přesné řešeni tohoto systému je x\ — I5 ' ) x2 -0,6, 'j>. Výpočtem jsme obdrželi jeho přibližné řešení xi = 1,683, X2 = — 0,571, Xs 7,31, -0,25, 9,18. -1,2. -1,219. V tomto případě je I 0,017 \ 0,029 0,019 105» First »Prev \ ) I -2,5514 \ 0,0950 0,2902 V / (137) (138) »Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit Výpočtem dostáváme Mdli llrll to jest 106»F/rsí »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit = max(IO,017l, I -0,0291, 10,0191) = max(I -2,55141,10,09501 1-0,29021), ll<5lli = 0,017, llrlli = 2,5514. 7. Determinanty 7.1. Zavedení pojmu determinantu matice Několik úvodních slov. Uvažujme systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámych X\,x2 tti.i • xi + ai72 • x2 = h, , . «2,i • x\ + a2,2 • x2 = b2. Jestliže aiti • a2?2 — öi,2 • 0-2,1 7^ 0, potom 61 • a2,2 - &2 • «i,2 b2 • ai 1 - 61 • a2,i ^ ... X\ =------------------------—, x2 =------------------------— (140) 01,1 • 02,2 — 01,2 • 02,1 01,1 • 02,2 ~ «1,2 ' «2,1 je řešením systému (139), jak se lze přesvědčit dosazením těchto hodnot za x\, x2 do rovnic (139). Zaveďme si toto označení. Označme C matici C Potom číslo Cl,l • C2,2 - Ci)2 • C2;i nazveme determinantem matice C. Označíme jej det(C), resp. ICL Tedy 7 fín\ / í i'01'1 Cl'2 ^ ^ŕ Cl'! Cl'2 i det{C) = det ( = det = c^i • c2?2 — Ci)2 • c2ji. c2,i c2?2 y y c2ji c2?2 y 107»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit Řešení (140) systému (139) lze pak pomocí determinantů zapsat takto det h «i, 2 x &2 «2,2 , xi =------^---------^V (141, 01,1 01,2 det det 02,1 02,2 a>21 bo x2 =------/ ' \ . (142; det \ «2,1 «2,2 V těchto vzorcích je jmenovatel determinantem matice soustavy 01,1 «1,2 «2,1 «2,2 který je dle předpokladu ^ 0. Čitatel ve vyjádření pro x\ je determinantem matice, která vznikne z matice A náhradou jejího prvního sloupce vektorem pravých stran bi b2 Podobně čitatel ve vyjádření x2 je determinantem matice, která vznikne z matice A náhradou jejího druhého sloupce vektorem pravých stran b. 108»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit V dalším si zavedeme pojem determinantu i pro čtvercové matice A libovolného řádu n. Budeme jej značit shodně jako determinanty matic řádu 2. Determinanty využijeme při řešení systému n lineárních rovnic o n neznámých. Pojem determinantu se využívá i při řešení řady jiných úloh. Zaveďme si nyní pojem determinantu matice. Definice 7.1 (Determinant matice) Nechť A je čtvercová matice. Determinantem matice A rozumíme číslo, označme je I AI nebo det(A), definované takto: Je-li n = 1, to jest, jestliže A = (au), potom I AI = au. Jestliže je již definován determinant matice řádu n — 1, potom determinant matice řádu n definujeme takto: IAI = (-l)1+1aM-IAMl+...+ + (-l)1+W • I Altk\ + ... + (-l)1+nai,n • I A1;J, (143) kde Aij je matice (jak jsme si to již dříve zavedli), která vznikne z matice A vypuštěním jejího i-tého řádku aj-tého sloupce. Poznámka. Je tedy determinant matice funkce definovaná na množině všech čtvercových matic. Příklad 7.1 Např. je-li A = (-2), potom I AI = -2. Příklad 7.2 Nechť ( «1,1 «1,2 \ A = . (144) \ 02,1 02,2 / 109vFirsi »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Dokažte, že | AI = aM -a2,2 -«1,2 -o2,i- (145) Skutečně, podle (143) je I AI = (-1)1+1 • ai,i • IAMI + (-1)1+2 • ai,2.IA1)2l. (146) Zde Ai;i je matice, která vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 1. sloupce. Je tedy A\^ = (02,2); I Ai;il = ö2,2- Podobně A\p, je matice vzniklá z matice A vypuštěním jejího prvního řádku a 2. sloupce. Je tedy A\^ = (02,1), lAi^l = 02,1- Dosazením do (I46) dostáváme IAI = det [ ' ' ) = (-1)1+1 • alfl ■ a2,2 + (-1)1+2 • «1,2 • «2,1- 02,1 02,2 Po úpravě dostaneme «eí I J = aM -a2,2 -«1,2 • a2}i. 02,1 02,2 Poznámka. Determinant matice 2. řádu lze tedy vypočítat takto: Od součinu prvků na hlavní diagonále odečteme součin prvků na vedlejší diagonále. Příklad 7.3 Vypočítejte hodnotu determinantu matice 3 -2 5 4 Řešení. Jedná se o výpočet determinantu matice 2. řádu. Podle (145) je 110»First •Prev •Next •Last • Go Back »Full Screen »Close »Quit I Al = „součin prvků na hlavni diagonále — součin prvků na vedlejší diagonále". Tedy \A\ =3-4- f-2)-5, IAI=22. Příklad 7.4 Nechť A je matice řádu 3 í aM ah2 ai,3 ^ 02,1 02,2 02,3 y 03,1 03,2 03,3 ) (147) Potom | AI = (ai,r 02,2-03,3 + 02,1-«3,2-«1,3+ «3,1-01,2-02,3] Skutečně, podle definice 7.1 je ,03,1 • 02,2 • 01,3 + 01,1 • 03,2 * 0-2,3 + «2,1 * «1,2 * «3,3, IAI >i+i au • IAiiI + (-1 ,1+2 Ö12- IAi2l + (-1 J+3 «1,3 • IA13I. (148) Zde A\i je matice, která vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 1.sloupce. Je tedy takže podle (145) je A i Ö2'2 Ö2'3 03,2 03,3 I A1?1 I = a2,2 • «3,3 - «2,3 • «3,2- (149) !!!• First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit Matice Ai;2 vznikne z matice A vypustením 1. řádku a 2. sloupce. Je tedy ( «2,1 «2,3 \ \ «3,1 «3,3 J takže podle (145) je 1^4.1,2 I = «2,1 • «3,3 - «2,3 • «3,1- (150) Matice Ai?3 vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 3. sloupce. Je tedy ( «2,1 «2,2 \ \ «3,1 «3,2 / takže podle (145) je 1^4.1,3 I = «2,1 • «3,2 - «2,2 • «3,1- (151) Dosadíme-li do (148) za lA^il, lA^I, lAi^l vypočítané hodnoty (149), (150), (151), dostáváme I AI = aM • (a2,2 • «3,3 - «2,3 • «3,2) - «1,2 • («2,1 • «3,3 ~ «2,3 ' Ö3,l) + + «1,3 ' («2,1 * «3,2 ~ «2,2 * «3,1 )• Odtud dostáváme po úpravě hledaný vztah (rí-4)- Sarusovo pravidlo Podle příkladu 7.4 se vypočítá hodnota determinantu matice A řádu n = 3 vztahem \A\=SX-S2, (152) 112»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit kde 5*1 — «1,1 • Ö2,2 • 03,3 + 02,1 • 03,2 * «1,3 + #3,1 * ^1,2 ' ^2,3, 5*2 = «3,1 • 02,2 • Öl,3 + «1,1 • 03,2 * «2,3 + «2,1 * «1,2 * «3,3• Vidíme, že 5*1 je součtem tří členů, každý z nich je součinem tří prvků matice A. Na následujícím obrázku 9 jsou prvky matice vyznačeny kroužky a každá trojice prvků, jejichž součin je členem v Si, je propojena čarou. 5*2 je součtem tří členů, každý z nich je součinem tří prvků matice A. Na následujícím obrázku 10 jsou prvky matice vyznačeny kroužky a každá trojice prvků, jejichž součin je členem v S2, je propojena čarou. 113»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Obrázek 9: Výpočet Si. Obrázek 10: Výpočet S2. 114»First »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Příklad 7.5 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 5 -2 3 \ V 2 4-2 -3 6 7 / užitím Sarusova pravidla. Řešení. Hledejme tedy hodnotu determinantu / 5 -2 3 \ I AI = det V 2 4-2 -3 6 7 / Podle Sarusova pravidla dostáváme | AI = [5 • 4 • 7 + (-2) • (-2) • (-3) + 2 • 6 • 3] - [3 • 4 • (-3) + (-2) • 6 • 5 + (-2) -2-7]. Úpravou dostáváme I AI = [140 - 12 + 36] - [-36 - 60 - 28], takže I AI =288. Příklad 7.6 Vypočítejte hodnotu determinantu matice { 1 2 -1 3 \ 2 3 4 1 0 12 3 \ 1 4 -3 -2 / 115»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit Řešení. Podle (143) dostáváme /3 I AI =l-det l\ \ -1 • cfeč 1 2 3 4 -3 -2 / 2 3 1 \ 0 1 3 1 4 -2 / 2 4 1 \ V V / 2-det 0 2 3 1 -3 -2 / 2 3 4 \ 0 1 2 1 4 -3 3 • det \ I Hodnotu každého z těchto determinantů matic rádu 3 určíme užitím Sarusova pravidla. Dostáváme I A\ = 1 • 60 - 2 • 20 - 1 • (-20) - 3 • (-20), takže \A\= 100. Poznámka. Je nutno si uvědomit, že Sarusovo pravidlo bylo odvozeno pro determinanty matic 3. řádu. Pro matice vyšších řádů není obdoba Sarusova pravidla. V definici 7.1 determinantu matice má její první řádek výjimečné postavení. Ve vzorci (143) vystupují prvky prvního řádku matice explicitně. Zabývejme se otázkou, zda existuje analogický vzorec pro výpočet hodnoty determinantu, ve kterém by explicitně vystupovaly prvky jiného řádku než prvního. K odvození takovéhoto vzorce, uvedeného ve větě 7.1, použijeme několik pomocných vět. 116» F/rst »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit V následující větě si ukážeme výpočet hodnoty determinantu matice podle vzorce, který je analogickým vztahu (143). Místo prvků v prvním řádku v něm vystupují explicitně prvky libovolně zvoleného řádku. Věta. 7.1 (Výpočet determinantu) Nechť A je libovolná matice řádu n > 0. Potom n \A\=J2(-±ľ+k-Hk-\A.%k\ (153) k=i pro každé s G {1, ... n}. Výpočet pomoct tohoto vzorce nazýváme výpočtem determinantu matice A rozvojem podle s-tého řádku. Příklad 7.7 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 0 -1 \ 0 0 3 0 4 0 12 V 5 1 0 2 / Řešení. Poněvadž ve druhém řádku má matice A tři nulové prvky a jenom jeden nenulový prvek, provedeme výpočet determinatu dané matice rozvojem podle druhého řádku. Podle předcházející věty obdržíme / 1 2 -1 \ \A\ \2+3 -0- IA2,il +0- IA2)21 +3- (-l)/+á -det 117» First »Prev m Next »Last^ 4 0 2 + 5 12 • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1 +0- IA2,4I 3- 6. Vztah mezi determinantem matice A a determinantem matice A . Připomeňme si, že matice A je transponovaná k matici A, jestliže každý i-tý řádek matice rp A je i-tým sloupcem matice A . Dokažme nyní, platnost této věty. Věta. 7.2Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom det(A) = det(AT). (154) Odtud vyplývá následující věta pro vzčíslení eterminantu royvojem podle libovolného sloupce. Věta. 7.3 (Výpočet determinantu) Nechť A je matice n-tého řádu í 01,1 • ■ 0-1,3 ■ 0>\,n «2,1 • ■ o2j . Q>2,n Ön-1,1 • CLn—\j CLn—\n \ On,í anj u>n,n I Nechť j je libovolný index jejího sloupce. Potom w' = £< \k+j O-kJ \Akj\. '155: k=i Důkaz. Vzorec (155) je výpočet determinantu matice AT rozvojem podle jejího j-tého sloupce. 118*First *Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Příklad 7.8 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 3 \ V 4 5 6 7 8 9 rozvojem podle druhého sloupce. Řešení. Dostáváme I AI = 2 - f—1 ,1+2 • det 4 6 7 9 +8 • {-lf+2det + 5-Í-1 ,2+2 • der 1 3 4 6 1 3 7 9 + Po vyčíslení obdržíme I AI = 0. 119»F/rsí »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 8. Vlastnosti determinantů V minulé části jsme zavedli pojem determinantu matice řádu n a ukázali jsme způsob jeho výpočtu rozvojem podle jejího libovolného řádku, resp. jejího libovolného sloupce. Tento způsob výpočtu je pro matice vyššího řádu značně náročný na počet prováděných aritmetických operací. Proto k výpočtu se používají jiné metody, založené na této větě. Úkol. Odhadněte počet operací sečítání a násobení pro vyčíslení determinantu matice řádu n = 100. Vzhledem k tomu, že výpočet touto metodou vyžaduje provedení velkého počtu aritmetických operací, nepoužívají se pro výpočet determinantu vzšších řádů. Matice A se převádí na horní trojúhelníkovou matici užitím elementárních transformací. Hodnota determinantu z trojúhelníkové matice je rovna součinu prvků na hlavní diagonále. Mezi matici A a matici, která z ní vznikne elementárními transformacemi platí tyto vztahy. Věta. 8.1 Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom platí El) \A\ = ±Hl(i,a)A, proa^Oa^O. ES) \A\ = -M3{i,j)A\ E4) \A\ = \H3(i,a,j)\ E5) \A\ = \H3{i,aJyß)\ pro ß ^ 0. Výpočet determinantu matice jejím převodem na horní trojúhelníkovou matici Napřed si ukažme způsob výpočtu determinantu horní trojúhelníkové matice. V dalších úvahách si ukážeme dva postupy výpočtu, které se opírají o transformaci matice na horní trojúhelníkovou matici. Věta. 8.2 (Determinant trojúhelníkové matice) Nechť B je horní trojúhelníková matice 120»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit n—tého řádu: ( &1,1 h,2 h,3 O 62,2 &2,3 O O 63,3 B bl,n-í b\,n \ &2,n-l &2,n &3,n-l &3,n V o o o o *J "n—l,n—1 "n—l,r O Potom \B\ =61,1-62,2 O •6, -*«.,«. / (156) n,n- (157) Důkaz. Provedme výpočet hodnoty determinantu této matice rozvojem podle jejího prvního sloupce. Dostáváme / 62,2 62,3 0 63,3 \B\ vl+l 6i?i • deí &2,n-l &3,n-l &2,n &3,n \ 7 0 0 ... 6n_i?n_i bn-\iVj V 0 0 ... 0 6n,n 121 • First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit Hodnotu determinantu takto vzniklé matice určíme opět rozvojem podle prvního sloupce. Dostáváme / &3,3 • • • &3,n-l ^3,n \ IBI=6i,i-(-l ii+i ii+i 1)2 2 • det 0 ... bn-l^n-í bn-í, V 0 ... 0 bn,n ) Tímto způsobem pokračujeme, až po n krocích obdržíme hledaný vzorec (157) \B\= 6isi • 62,2 • ••• • bVjiVj. Příklad 8.1 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 5 2 4 5 \ 0 4 3 4 0 0 8 4 V 0 0 0 2 / Řešení. Podle vzorce (157) dostáváme | AI =5-4-8-2 = 320. (158) Algoritmus výpočtu determinantu matice A 122«F/rsř »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Ukažme si nyní algoritmus na výpočet determinantu matice A založené na elementárních transformacích, jimiž se matice A transformuje na horní trojúhelníkovou matici. Tento algoritmus je založen na aplikací transformací H3(i,j)A, H4(i,a,j)A H5(i,a,j,ß)A, kde ß ^ 0. Používají se věty ?? a ??, ?? a ??. Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n. Matici A převedeme na horní schodovitou matici. Jestliže její determinant je nenulový, potom vzniklá schodovitá matice je horní trojúhelníkovou maticí. Označme D hodnotu determinantu matice A. Následující výpočet probíhá postupně pro i = 1,..., n — 1. Popišme nyní algoritmus pro určité i. 1 Označme % A submatici matice A vytvořenou z jejich řádků 2,... ,7i a ze všech jejich sloupců j = l,...,n. V submatici lA určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem, označme jej S{. Je-li s,t > i, je hodnota D daného determinantu rovna 0. V tomto případě je výpočet ukončen. 2° Nechť Si = i. Je-li a^ ^ 0, postupujeme k bodu 4°, v případě, že a^ = 0, postupujeme k bodu 3°. 3° V submatici lA provedeme výměnu i-tého řádku s takovým řádkem p, v němž je prvek üp7i ^ 0. To znamená, položme A := H3(i,p)A. Aby se hodnota determinantu takto vzniklé matice A rovnala hodnotě determinantu původní matice, násobíme vzniklou matici A číslem „-1". Tedy položme A := -A. Přejdeme k bodu 4°. 4° i—tý řádek matice A nazveme hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulové prvky a^i, k = i + 1,... ,n, užitím jedné z transformací H4(i,a, j)A H5(i, a,j,ß)A Při každé aplikaci transformace H5(i,a,j,ß)A, ß ^ 04. zároveň násobíme matici A číslem 123»F/rsí »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit I Uveďme si násleující příklad. Příklad 8.2 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 4 O \ 2 14 5 8 2 4 3 V 1 2 O 4/ užitím její transformace na horní trojúhelníkovou matici. (159) Řešení. Matice A je řádu n = 4. Budeme aplikovat nahoře uvedený algoritmus postupně pro i = 1,2, 3. Položme: i=l 1° F submatici lA, to jest v matici A, určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to první sloupec, položíme tedy s\ = 1, takže Si = i. 2° Poněvadž aiyi ^ 07 postupujeme k bodu 4°. 4° první řádek matice A je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat ty prvky z prvků ö2,i, ö3,i, ö4,i, které jsou nenulové • Prvek ö2,i eliminujeme užitím transformace A:=m(l,-°^,2)A. (160) 124*First *Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit To znamená, že první řádek matice A násobíme číslem (—^A)! to jest číslem (—\) a připočteme k druhému řádku matice A. Druhý řádek matice A tedy transformací (160) zmeníme na A(2,:):=-?(l,2,4,0) + (2,1,4,5) = (0,-3,-4,5). Ostatní řádky se transformací nemení. Transformací (160) tedy dostáváme /l 2 4 0 \ 0-3-4 5 A: 8 \1 2 2 Prvek as,i eliminujeme užitím transformace A:=ft4(l, «3,1 «1,1 4 3 0 4/ 3)A. '16ť To znamená, že první řádek matice A násobíme číslem (—-^A), to jest číslem (—\) a připočteme k třetímu řádku matice A. Třetí řádek matice A tedy zmeníme na a(3-: 8 1, 2,4, 0) + (8, 2, 4, 3) = (0, -14, -28, 3). 125»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (161) tedy dostáváme /l 2 4 O \ O -3 -4 5 A: O U ■14 2 -28 3 0 4/ Determinant této matice je roven D, tj. determinantu zadané matice (159). Prvek ö4;i eliminujeme užitím transformace 04 i A:=ft4(L «1,1 4)A. i62: To znamená, že první řádek matice A násobíme číslem (—^A), to jest číslem (—{) a připočteme ke čtvrtému řádku matice A. Čtvrtý řádek matice A tedy změníme na A(4,:):- 1,2,4,0)+ (1,2,0,4) = ((),(),-4,4) Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (163) tedy dostáváme (l O A: O 2 -3 ■14 4 O \ -4 5 -28 3 V O O -4 4/ 126*first •Prev • Next .•Last • Go Back »Full Screen »Close »Quit Položme: i=2 0 V submatici 2A, to jest v submatici matice A, vytvořené z jejich řádků 2, 3, 47 určime nenulový sloupec s nejmenšim indexem. Je to druhý sloupec, položíme tedy S2 = 27 takže Si = i. 0 Poněvadž 02,2 7^ 07 postoupíme k bodu 4°. 0 druhý řádek matice A je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat ty prvky z prvků ö3?2, «4,2, které jsou nenulové • Prvek <23?2 eliminujeme užitím transformace A:=H4{2, «3,2 «2,2 3)A. (163) To znamená, že druhý řádek matice A násobíme číslem (~-^L), to jest číslem (—^-) a připočteme k třetímu řádku matice A. Třetí řádek matice A tedy změníme na A(3 • -14, , , , , 28 61. — (O, -3, -4, 5) + (O, -14, -28, 3) = (O, O, -—, -— Ostatní řádky se transformací (163) nemění. Transformací (163) tedy dostáváme / 1 2 4 O \ 0-3-4 5 O O V O 0-4 4 / A: 28 3 61 " 3 Determinant této matice je roven D, tj. determinantu zadané matice (159). Prvek 04 2 = 07 takže eleiminacdBffnlFěprmRÍéí • Next »Last • Go Back •FullScreen •Close •Quit Položme: i=3 0 V submatici 3A7 to jest v submatici matice A, vytvořené z jejich řádků 3,4 určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to třetí sloupec, položíme tedy S3 = 37 takže s\ = i. 0 Poněvadž 03^3 ^ 07 postoupíme k bodu 4°. 0 třetí řádek matice A je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat prvek , 04^3, pokud je nenulový. • Prvek <24?3 eliminujeme užitím transformace A:=H4(3, 04,3 «3,3 4)A. (164) To znamená, že třetí řádek matice A násobíme číslem (——), to jest číslem (—^m) a 03,3' připočteme ke čtvrtému řádku matice A. Čtvrtý řádek matice A tedy změníme na A(4,:):= 28 3 3, -28 -61, , N , 89, ;(0,0, —---------—) + (O, O, -4,4) + (O, O, O, — 7v , , 3 Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (164) tedy dostáváme / 1 2 4 O \ 0-3-4 5 O O V O O O A: 28 3 61 " 3 89 j 7 / Determinant této matice je roven D, tj. determinantu zadané matice (159). Priwk n a n = O tnhžp pliminnrp -hpdftfíffiniŤrřdfó •Wext *Last • Go Back • Full Screen *Close *Quit Hledaná hodnota determinantu D je rovna součinu prvků výsledné horní trojúhelníkové matice, tj. D = l- 28, 3 ' 89 y tj. D = 356 Příklad 8.3 V tomto příkladě použijeme k výpočtu hodnoty determinantu matice A stejný algoritmus jako v minulém příkladě, avšak při eliminacci prvků budeme používat též elementární transformace H5(i,a,j,ß) pro ß ^ 0. Příklad 8.4 Vypočítejte hodnotu determinantu matice ( 0 1 1 2 \ 12 3 0 2 4 0 0 V 0 3 0 1 I Řešení. Položme D = det(A),j = 1. Veličina 7 slouží ke sledování vztahu mezi hodnotou D determinantu zadané matice A a matic, které vzniknou postupnými transformacemi matice A. Na začátku zřejmě platí D = 7 • A. Položme: i=l 1° V submatici lA, to jest v matici A, určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to první sloupec, položíme tedy s\ = 1, takže Si = i. 2° Poněvadž ai}i = 07 postupujeme k bodu 3°. 129»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 3° Zvolme p G {2, 3,4} tak, aby aP}i ^ 0. Nechť je to p = 3. Proveďme tedy transformaci A:=?Í3(1,3). (165) Poněvadž vzájemnou výměnou dvou řádků matice hodnoty determinantů zrněni znaménko, položme 7 := —7. Potom je D = —det(A), kde A je matice určena transformaci (165). Po této transformacci je A: / -3 3 2 1 \ 2 10-2 0 2 1 0 V 0 3 1 0 / 4° Řádek „1" je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulové prvky z prvků 02,1,03,1,04,1- • Prvek ö2,i = 2, jeho eliminaci provedeme transformací A:=?Í5(1,2,2,3)A Touto transformací dostáváme matici (166) 130»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit / -3 3 2 1 \ 0 9 4-4 A:= 0 2 1 0 V 0 3 1 0 / Položíme-li 7 := | • 7, p/aŕz D = 7 • det(A), kde A je matice po provedení transformace (166). • Prvky 03,1,03,2 jsow roray „ö"; tgß^^^afM^liminace neprovádějí. 0 V submatici 2A, to jest v matici, která je vytvořena z řádků 2, 3,4 matice A, určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to druhý sloupec, položíme tedy S2 = 2, takže Si = i. 0 Poněvadž 02,2 7^ 07 postupujeme k bodu 4°. 0 Řádek „2" je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulové prvky z prvků <23?2, 04,2- • Prvek <23?2 = 2, jeho eliminaci provedeme transformací A:=?Í5(2,-2,3,9)A (167) dostáváme matici A:-- ( -3 3 2 1 \ 0 9 4-4 0 0 1 8 V 0 3 1 0 13!• First mPrev »Next • Ĺ ast • Go Back • Full Screen • Close • Quit Položíme-li 7 := I • 7, platí D = 7 • det(A), kde A je matice po provedení transformace (167). Prvek <24?2 eliminujeme transformací A:=?Í5(2,-3,4,9)A (168) dostáváme matici A: ( -3 3 2 1 \ 0 9 4-4 0 0 18 V 0 0-3 12 / Položíme-li 7 := \ • 7, platí D = 7 • det(A), kde A je matice po provedení transformace (169). Položme: i=3 0 V submatici :iA, to jest v matici, která je vytvořena z řádků 3,4 matice A, určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to třetí sloupec, položíme tedy S3 = 37 takže Si = i. 0 Poněvadž a^s 7^ 07 postupujeme k bodu 4°. 0 Řádek „3" je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulový prvek 04,3.. • Prvek <24?3 = 2, eliminujeme transformací A:=?Í5(3,3,4,1)A (169) 132»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Touto transformaci dostávame matici í A:- 3 3 2 1\ 0 9 4 -4 0 0 1 8 0 0 0 36 j 8.1, V Položíme-li 7 := 1 • 7, platí D = 7 'det(A), kde A je matice po provedení transformace (169). Poněvadž matice A je horní trojúhelníková matice, je determinant z této matice roven součinu prvků v hlavní diagonále. Je tedy D = -\\\ (-3) ■ (9) ■ (!) ■ (36) = 4 Použití determinantů Přímá metoda řešení systému lineárních rovnic. Již dříve jsme se seznámili s pojmem systému m lineárních algebraických rovnic o n neznámých A x = b (170) a s pojmem jeho řešení. Ukážeme si nyní, jak se toto řešení dá nalézt v případě, že A je čtvercová regulární matice. V další kapitole se budeme zabývat s pojmem řešení obecněji a uvedeme si několik metod vhodných k jeho nalezení. V této části uvedeme pouze nalezení řešení pomocí determinantů. Tato metoda má sice velký význam z teoretického hlediska, avšak numericky je použitelná pouze pro řešení systému rovnic o relativně malém počtu neznámých. 133»First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 8.2. Cramerovo pravidlo Věta. 8.3 ((Cramerovo pravidlo)) Necht A je regulární čtvercová matice řádu n, b je n-rozměrný sloupcový vektor a x je hledaný n-rozmerný vektor. Označme B i, i = l,...,n, matici, která vznikne z matice A tak, že její i-tý sloupec nahradíme vektorem pravých stran b. Potom systém lineárních rovnic Ax = b (171) má právě jedno řešení x, pro něž platí rr* = -|-^j, i = l,...,n. (172) Důkaz. Dokažme především, že je-li vektor x řešením systému (171), potom platí (172). Poněvadž vektor x je řešením (171), platí a>k,\X\ +%2^2 + ••• + a>kjXj + ... + aktnxn = bk) pro k = 1, 2,... ,n. (173) Zvolme i, 1 < i < n. Dokážeme, že pro x,, platí (172). Vynásobením (173) výrazem (—l)k+l- \Akji\ pro k = 1,2,..., n dostáváme n ^(-l)fc+i • akj ■ \Akti\ ■ x3 = bk ■ (-l)k+l\Akil\. (174) 134»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Sečtením rovnic (174) pro k = 1, ..., n, dostáváme n n n ^>,^afcj(-l)Ä+MAfejíl =^6fc(-l)fc+MAfe,řl. (175) j=i fc=i fc=i Použitím věty ?? odtud dostáváme x%- I Al = Ißi/Ä, odkud plyne (172). Dokažme nyní, že jestliže a? je vektor o složkách Xk = TÄ\~' k = l,...,n, (176) potom x je řešením systému (171). Nechť j je jedno z čísel 1,..., n. Dosazením těchto hodnot a^ do levé strany j—té rovnice obdržíme veličinu, kterou označíme L. Dostáváme \Bh\ * IAI fc=i fe=i L = Ea^* = Ea.?> Rozvojem determinantu \B^\ podle fc-tého sloupce dostáváme odtud L = TÄiE^E(-1)i+^IA^i-fe=i *=i Provedením úpravy pak dostáváme IAI =, t_ 135»F/rsí »Prev »Next »Last • Go Back •Full Screen »Close »Quit S ohledem na (??) odtud vyplývá / j ďj^k-E-k Oj , k=í takže vektor x vyhovuje j-té rovnici (j = 1, ..., n.) Příklad 8.5 Užitím Cramerova pravidla řešte následující systém lineárních rovnic X\ + 2x2 -Xs = -1 2xx + 7x2 -x3 = 3 Zx\ + 6x2 -x3 = 1 177) Řešení. Označíme-li A matici soustavy tohoto systému, b vektor pravých stran a x vektor neznámých, je I 1 2 -1 \ / -1 \ í Xl\ \ 2 7 3 6 / x V l) x2 \x3J 178) Výpočtem zjistíme, že I AI =6. Je tedy matice A regulární a daný systém lze řešit Cramerovým pravidlem. Matici B\ dostaneme tak, že první sloupec matice A nahradíme vektorem b. Dostáváme tak matici I-1 2 -l\ Bx \ 3 7 1 6 y a determinant \B\\ = —6. 6»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Matici B2 dostaneme tak, že druhý sloupec matice A nahradíme vektorem b. Dostáváme tak matici íl -1 -l\ B, \ 2 3-1 3 1 -1 a determinant \B2\ =6- / Matici B3 dostaneme z matice A tak, že její třetí sloupec nahradíme vektorem b. Dostaneme tak matici / 1 2 -1 \ B V Řešením systému (177) je tedy 2 7 3 3 6 1 X\ = x2 x3 -- a determinant \B3\ = 12. / Ißil -6 6 6 \B2\ 6 6 ~ 6 _ \B3\ 12 6 6 137«First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit 9. Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů V dřívějším pojednání jsme si zavedli pojem inverzní matice k dané matici A. Řekli jsme, že matice B je inverzní k matici A, jestliže A B = B A = E. Dá se dokázat, že matice B je inverzní k regulárni čtvercové matici A, jestliže platí A B = E. V tomto případě není tedy nutno požadovat splnění požadavku B A = E. Nechť tedy matice A je regulární čtvercová matice řádu n. Hledejme čtvercovou matici B tak, že A B = E. (179) Zvolme i G {1, ..., n}. Uvažujme i-tý sloupec B(:, i) matice B a i-tf sloupec £?(:, i) matice E, 138*First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit to jest sloupcové vektory Bi- i) í bi,i b2,i bi-i,i b%ji bi+i:i \ \ On,i J E(-e o o 1 o v o y í-tý řádek Ze vztahu (179) vyplývá A.B(:,i) = E(:,i). Tento systém rovnic řešme užitím Cramerova pravidla. Dostáváme 0. Znázorněte graficky množinu bodů [^í,^], které těmto nerovnicím vyhovují. [Položme / 1 l\ /3\ X\ \ -1 1 0 -1 / 0 V0/ x x2 Potom daný systém nerovnic lze zapsat takto: A • x < b. Hledaná množina je šedá oblast na obr.11.] Úloha 6. Určete vektory /, x tak, aby funkce y = 2x\ + 3aľ2 + 4aľ3 + x^ se dala pomocí nich zapsat ve tvaru f x. [f = (2, 3,4,1)T, x = (xi,x2, x3, xA)T] 146»F/rst »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 2!2" Obrázek 11: Hledaná množina bodů 147»First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close »Quit 11. Ülohy k procvičení Vyslovte 1. Definice determinantu matice. 2. Pravidla pro výpočet determinantů matic řádu 2, 3. 3. Věta o výpočtu determinantu rozvojem podle libovolného řádku, resp. libovolného sloupce matice. 4. Vztah mezi hodností matice A a matice B, která z ní vznikla elementárními transformacemi. 5. Výpočet hodnoty determinantu matice její transformací na horní trojúhelníkovou matici. rp 6. Vztah mezi hodnotami determinantu z matic A a A . 7. Cramerovo pravidlo na řešení systému lineárních rovnic. 8. Hledání inverzní matice. SL Vztah mezi hodností matic a determinanty jejich submatic. 1° Vypočítejte hodnoty determinantů následujících matic B C [IAl =6, \B\ =-2, \C\ = 0.] 2° Vypočítejte hodnoty determinantů následujících matic užitím Sarusova pravidla. I \ 7 V1 -2 3 4 4\ -2 B I 2 3 2 0 l\ -2 4 1 4 148•Fkst" »Prev »A/ex \ C I 2 3 1 \ 1 0 2 / »Last \ ^ 5 6 4 »Go ßac/c • Fu// Screen * Close »Quit IAl = 112, \B\ = -17, \C\ = 0.] 3° Určete vztah mezi hodnotami determinantů matic A, B, aniž byste počítali jejich hodnoty. Proveďte zdůvodnění. /I 0 -2 3 \ 4 1 0 2 1 2 3 4 U -2 i z) B íl 2 3 4\ 1 0 -2 3 0 -2 1 3 u 1 0 2/ [I AI = —Iß I. Matice B vznikla z matice A postupnými výměnami těchto řádků: řádek 1 a řádek 3; řádek 2 a řádek 3; řádek 3 a řádek 4. Celkem třemi výměnami dvojic řádků. Je tedy \B\ = (-1)3 • IA I, takže IAI = -\B\] 4 Vypočítejte hodnoty determinantů následujících matic transformací na horní trojúhelníkovou matici. B /l -2 3 1\ 1 2 3 -1 0 2 6 4 u 2 4 2/ f 1 2 5 2\ 3 5 1 2 5 3 4 2 U 6 1 0/ IAI 5° Užitím Cramerova pravidla řešte následující systémy lineárních rovnic -8, \B\= 178.1 149»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit a ( ! 2 3 ^ (xi\ ( ~7\ -1 0 4 x2 = -17 ^ 2 1 oj \x3) { *) b) / 1 -2 3 4 \ 3 2 4 3 6 10 2 V 4 -2 -1 3 / / Xi\ x2 x3 \x4 / /17\ 1 1 V 12/ / l\ [a) x b) x 2 V"4/ K dané matici A nalezněte matici inverzní a proveďte zkoušku správnosti výpočtu. / 1 0 2 3 \ 4 0 2 1 / 1\ -5 2 V o/ a / 1 2 3 \ 0 2-1 0 6 4 \ b) A J 3 10 5 V 2 3 1 4/ 150 »F/'rst »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit íl \ o o 14 b) / V 23 "105 5 21 4 35 4 105 1 5 0 1 5 2 5 37 105 2 21 11 35 11 105 6 35 1 7 6 35 2 35 \ 151 •First »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit 12. Systémy lineárních rovnic Tato kapitola je věnována problematice existence a metod řešení systému lineárních rovnic. Vysvětluje se i podstata řešení systému lineárních algebraických rovnic metodou nejmenších čtverců. 12.1. Ekvivalentní systémy rovnic Několik úvodních slov. Dříve než přikročíte ke studiu této kapitoly je nutné, abyste měli dokonale zvládnuté základní pojmy z lineárních rovnic uvedené v kapitole ??. V této kapitole se budeme zabývat především problematikou existence a jednoznačnosti řešení systému m lineárních rovnic o n neznámých a popisu některých metod na jejich řešení. Seznámili jsme se již s Cramerovým pravidlem (věta 8.3) na řešení systému lineárních rovnic Ax = b, které lze použít v případě, že jeho matice soustavy A je regulární čtvercová matice. V tomto případě má systém právě jedno řešení. Určí se pomocí determinantů. Tato metoda se však nehodí k řešeni systému lineárních rovnic pro větši počet neznámých, neboť k jeho řešeni je nutno provést velký počet aritmetických operaci. Dále jsme se seznámili s řešením systému lineárních rovnic Ax = b s regulární čtvercovou maticí soustavy užitím inverzní matice A~l. Výpočet inverzní matice je na počet operací náročnější, než je řešení jednoho systému rovnic. Používáme ji jenom tehdy, jestliže inverzní matici známe, nebo ji potřebujeme i k jiným účelům. Popíšeme především metodu, založenou na pojmu ekvivalentnosti dvou systémů lineárních rovnic. Tato metoda se dá použít i v případě, že matice soustavy A není regulární čtvercovou maticí. Uvedená metoda nám pomůže též vyslovit větu o řešitelnosti a jednoznačnosti 152»F/rsí »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit řešení systému lineárních rovnic. Dva systémy lineárních rovnic Ax = 6, C x = d nazveme ekvivalentními, a budeme psát Ax = b ~ C x = d jestliže každý vektor x, který je řešením systému rovnic A x = b, je i řešením systému C x = d a naopak, každé řešení x systému rovnic C x = d je i řešením systému rovnic A x = b. Při řešení systému rovnic Ax = b půjde o nalezení takového ekvivalentního systému rovnic, který je možno snadno posoudit. To znamená určit, zda tento ekvivalentní systém má nebo nemá řešení a v případě, že má řešení, toto řešení nalézt. Takovým vhodným ekvivalentním systémem je systém, jehož matice soustavy je horní schodovitá matice. 12.2. Převod na systém s horní schodovitou maticí soustavy Uvažujme systém lineárních rovnic A x = b (185) Ukažme si platnost následujících pravidel PÍ, P2, P3, P4,^[5. PÍ. Nechť a je libovolné reálné číslo ^ 0. Uvažujme libovolně zvolenou i-tou rovnici systému (185) ahí • xi + ... + ahn • xn = b%. (186) Je evidentní, že vektor x vyhovuje rovnici (186), když a jenom když vyhovuje rovnici a • (üi}i • X\ + ... (Mn • Xn) = ca - h-, Vľ0 každé a ^ 0. 0-87) 153»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Nahradíme-li tedy v systému (185) některou rovnici jejím násobkem číslem a, a / O, je vzniklý systém ekvivalentní s daným systémem. P2. Nechť ahl • xi + ... + ahn • xn = bÍ7 (188) ajA • xi + ... + ajjn ■ xn = bj, (189) jsou dvě libovolné rovnice systému rovnic (185). Je opět evidenetní, že každý vektor x vyhovuje oběma těmto rovnicím, když a jenom když vyhovuje rovnicím ahí • xi + ... + ahn • xn = b%) (190) (aj}í +aahi) • xx + ... + {a^n + aa^n) ■ xn = bj + ah, (191) kde a je libovolné reálné číslo. Pňčteme-li tedy k některé rovnici systému (185) a-násobek jiné rovnice, ael, vznikne systém ekvivalentní se systémem (185). P3. Vypustíme-li ze systému rovnic (185) rovnici tvaru 0 • x\ + 0 • X2 + • • • + 0 • xn = 0, obdržíme systém rovnic, který je ekvivalentní se systémem rovnic (185), neboť každý vektor x G Vn této rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedává žádné omezení pro řešení systému rovnic (185). P4. Jestliže v systému rovnic (185) je některá rovnice tvaru 0 • x\ + 0 • xo-jr,. ■ ■ + 0 • xn = c, c ^ 0, 104»First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit nemá uvažovaný systém žádné řešení, neboť této rovnici nevyhovuje žádný vektor. Tyto úvahy můžeme shrnout následovně. Věta. 12.1 Nechť jsou dány dva systémy lineárních rovnic Ax = b, C x = d o neznámých x\, X2, ..., xn. N echt systém C x = d vznikl ze systému A x = b těmito úkony: Hl. Libovolnou rovnici systému jsme násobili číslem různým od nuly. H2. K libovolné rovnici jsme přičetli jinou rovnici systému. H3. Vyměnili jsme navzájem dvě rovnice systému. H4. K některé rovnice jsme připočetli libovolný násobek jiné rovnice. H5. K nenulovému násobku jedné rovnice jsme připočetli libovolný násobek jiné rovnice. Potom systémy A x = b, C x = d jsou navzájem ekvivalentní. Poznámka. 1. Jestliže v systému rovnic Ax = b vypustíme rovnice tvaru 0 • x\ + ... + 0 • xn = 0, obdržíme systém rovnic s ním ekvivalentní. 2. Systém rovnic, v němž je rovnice tvaru 0 • x\ + ... + 0 • xn = konst, kde konst ^ 0, nemá řešení. 155»F/rst »Prev »A/exí »Last • Go Back •Full Screen »Close »Quit Abychom si usnadnili zápis při operacích s rovnicemi, budeme pracovat jenom s koeficienty rovnic a s jejich pravými stranami. Abychom to precizovali, zaveďme si zobrazení T, jímž se ke každému systému lineárních rovnic A x = b přiřadí rozšířená matice tohoto systému rovnic (AI6), to jest T{Ax = b) = {A\b). Lineární rovnici daného systému Q>i,l ' X\ ~r • • • ~r r*j;« ' Xn Oj odpovídá v tomto zobrazení i-tý řádek rozšířené matice (A I b), to jest vektor (a^i,..., a^n\bi). Lehce nahlédneme, že zobrazení T je prosté zobrazení množiny systémů m lineárních rovnic Ax = öo neznámých X\} ..., xn na prostor matic (AIb). Existuje tedy k němu inverzní zobrazení r-K Ukážme dále, že zobrazení T zachovává jak sečítání dvou rovnic, tak i násobení rovnice číslem. Uvažujme dvě rovnice 0"i,l ' X\ -\- . . . T" Öj?n ' Xn Oj, ™?',1 ' X\ -\- . . . -\- Qijn • Xn Ojj a reálné číslo a^O. Podle definice v zobrazení T odpovídá rovnici nl&i) (193) a rovnici a3ix ■ Xi + ... + %> • 2ľn = Ďj (194) odpovídá vektor Kb ••-, aj;niy. (195) Sečtením uvažovaných rovnic dostáváme rovnici Kí + CLj,i)xi + ... + {ahn + aj!n)x„ = 6» + bj. (196) Podle definice zobrazení T odpovídá této rovnici vektor (Kl + Öj,l), • • • , Kn + ai,n) I (&i + bj)). (197) Je zřejmé, že v inverzním zobrazeni T-1 odpovídá vektoru (197) rovnice (196). Dále rovnici a- (ahí ■ xi + ... + ahn-xn) = a- bi, a ^ 0 (198) odpovídá v zobrazení T vektor (a-ßi,i, ..., a-ahn I a • b%). (199) Je zřejmé, že v inverzním zobrazeni T-1 odpovídá vektoru (199) rovnice (198). Předpokládejme, že jsme k systému lineárních rovnic Ax = b 157»F/rsí •Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit v zobrazení T přiřadili rozšířenou matici soustavy tohoto systému rovnic (A\b). Potom úkonům H1,H2,H3,H4 s rovnicemi systému Ax = b, uvedených ve větě 12.1, odpovídají elementární transformace HI (i, a), H2(i,j), H3(i,j), H4:(i,a,j,ß) aplikované na matici (A\b). Větu 12.1 můžeme tedy přeformulovat takto. Věta. 12.2 Nechť matice (A\b) (200) je rozšířenou matici soustavy lineárních rovnic Ax = b. (201) Nechť matice (Cid) vznikla z matice (200) elementárními transformacemi. Potom systém lineárních rovnic Cx = d je ekvivalentní k systému rovnic (201). Vhodnými elementárními transformacemi lze z matice (AIb) dospět ke schodovité matici (Ciď), která odpovídá systému C x = d, ekvivalentnímu k systému lineárních rovnic Ax = b. 158»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit V kapitole ?? jsme uvedli postup převodu matice na schodovitý tvar užitím elementárních transformací. Řešení systému lineárních rovnic Ax = b lze tímto způsobem převést na řešení systému lineárních rovnic se schodovitou maticí soustavy. Postup řešení systému lineárních rovnic Nechť je dán systém lineárních rovnic Ax = b (202) o n neznámých Xi, ..., xn. Tento systém lineárních rovnic můžeme řešit v těchto krocích 1. K daném systému rovnic přiřadíme matici rozšířenou (A I b). 2. Užitím vhodných elementárních transformací Hl(i,a), a^O, H2(i,j), H3(i, j), ?U(i,a,j), Hb(i,a,j,ß), ß^O postupně aplikovaných na matici (AI6), vytvoříme horní schodovitou matici (F\g). 3. Vypustíme nulové řádky matice (F\g). Takto vzniklou matici označme (Cid). Této matici odpovídá systém rovnic Cx = d. (203) 4. Nechť systém (203) má tvar Cl,si%si ~~r • • • ~r CiíS2XS2 ~r . . . ~r C\íSh_1XSh_1 -\- . . . -\- C\nXn (li C2,s2xs2 + • • • + C2,sh_1Xsh_1 + . . . + C2,nXn = &1 i (204) v němž čísla cMl, c2,S2, ..., ^-i^^^^ou^zná.^O^jb^^r ack • Full Screen • Close • Quit C-l,si%si T • • • ~~r CiíS2XS2 ~~r ■ ■ ■ i C\íShXSh -\- . . . -\- C\^nXn 0\ C2,s2xs2 + • • • + C2,shXSh + . . . + C2,nXn = &2 i (205) v němž cMlJ c2?S2, ..., ch,8h jsou různá od 0. Systém (204) nemá řešení, neboť jeho poslední rovnice je tvaru 0 • x\ + ... + 0 • xn = konst, kde konst ^ 0. (206) Této rovnici nevyhovuje žádný vektor x. Systém rovnic (204) obsahuje rovnici tvaru (206), když a jenom když matice soustavy C a matice rozšířená (C I d) mají různé hodnosti. Poněvadž jsme k systému rovnic Cx = d dospěli elementárními transformacemi ze systému Ax = 6, můžeme vyslovit tento prozatímní závěr. Jestliže hodnost matice soustavy A je menší než hodnost matice rozšířené (AIb), nemá systém rovnic Ax = b řešení. Matice soustavy systému rovnic (205) je horní schodovitou maticí. O jeho řešení pojednáme později (str. 163). Řešení systému lineárních rovnic s regulární horní trojúhelníkovou maticí soustavy Řešme systém rovnic Cx = d, (207) kde C je horní regulární trojúhelníková matice řádu n, d je n-rozměrný sloupcový vektor a a? je 160»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit n-rozměrný sloupcový vektor neznámých. Rozepsáním tohoto systému dostáváme / Ci i Ci 2 • • • Ci n_i Cín \ ( Xi \ ( á\ \ 0 c2, C2,n-1 C2, 0 0 0 cn_i?n_i cn_i?r \ 0 0 0 0 cn,n / ^2 'X'n—l \ %n / d2 dn-í \ dn ) (208) Zpětná substituce. Poněvadž dle předpokladu je matice C regulární, jsou její prvky na hlavní diagonále různé od nuly. Tento systém rovnic lze řešit metodou, zvanou metoda zpětné substituce. Z poslední rovnice vypočítáme xn. Dostáváme (L/c (209) (210) -L/ Cn— l,n— 1 ' \fln— 1 C-n—l,n ' 0"ľif C"n,n) • \ ) Když jsme již vypočítali xn, ícn_i, dosadíme tyto hodnoty do (n — 2)-té rovnice a vypočítáme aľn_2- Tímto způsobem dále pokračujeme. Když jsme již vypočítali xn, xn-i, ■ ■ ■, %2, dosadíme tyto hodnoty do první rovnice a vypočítáme zbývající hodnotu x\. 161»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Xn u,n/ ^n,n- Dosadime-li do předposlední rovnice za xn vypočítanou hodnotu (209), dostáváme Odtud -E-n— 1 Příklad 12.1 Nalezněte řešení systému lineárních rovnic (jehož matice soustavy je horní trojúhelníková matice). 2x\ + 3#2 + #3 = 11 x2 + 2#3 = 9 (212) 2x3 = 8. Z poslední rovnice vypočítáme #3. Dostáváme #3 = 4. Dosazením této hodnoty do druhé rovnice dostáváme x2 + 8 = 9. Odtud dostáváme x2 = 1. Dosadme za #2, #3 tyto vypočítané hodnoty do první rovnice systému. Dostáváme 2#i + 3 + 4 = 11. Odtud dostáváme x\ = 2. Řešením zadaného systému rovnic (212) jsme tedy obdrželi #1=2, #2 = 1, #3 = 4. Řešení systému lineárních rovnic s regulární diagonální matici soustavy. Řešme systém rovnic Cx = d) kde matice C je regulární diagonální matice. 162•First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Rozepsáním lze tento systém zapsat takto CitiXi = di C2,2%2 = d2 C~n—l,n- -l'X'a—l = dn-í C-n/a'Xn třn. Řešením tohoto systému rovnic je zřejmě vektor x = C ld) to jest Xi (Lil Cj;j, % 1, Z, . . . , TI. Příklad 12.2 Nalezněte řešení systému rovnic s diagonální matici soustavy 2xi = 6, 3rr2 = 1, -2x3 = 5. (213) Řešení. Z první rovnice vypočítáme x\. Dostáváme x\ = 3. Z druhé rovnice vypočítáme x2. Dostáváme x2 = 1/3. Z třetí rovnice vypočítáme x^. Dostáváme xs = —5/2. Řešení systému lineárních rovnic s horní schodovitou maticí soustavy (214) typu (/i,n)7 s hodností h < n. Tento systém lze rozepsat takto C-ljSi^si ~r • • • ~r Cig2Xg2 jr • • • ~r Ci^ShXSfi t~ . . . -\- CinXn (Li 10O»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit C2,s2XS2 + . . . + C2,shXSh + . . . + C2,nXn = d2 \ \ \ (214) V něm jsou prvky c\}Sl,c2jS2,..., Ch,Sh různé od nuly. Při jeho řešení postupujeme takto. Všechny členy tohoto systému rovnic, které obsahují neznámé Xj, kde j G {{1, 2,..., n} — {s\, s2,..., s/i}}, převedeme na pravou stranu systému rovnic. V dalším je budeme považovat za parametry; je jich celkem d = n — h. Obdržíme tak systém h rovnic o h neznámých xSl,xS2,... ,xSh s horní regulární trojúhelníkovou maticí soustavy, jehož pravá strana závisí na d parametrech. Jeho řešením zpětnou substitucí dostaneme h složek řešení závislých na uvedených d parametrech. (Způsob řešení systému lineárních rovnic s trojúhelníkovou maticí soustavy; byla nahoře popsaná.) Řešení daného systému rovnic je pak vektor x, jehož složky jsou zavedené parametry v počtu d a vypočítané složky xSl,xS2,..., xSh. Příklad 12.3 Nalezněte řešeni systému lineárních rovnic x\ + 2x2 + xs + 4aľ4 + £5 + 2xq + 7aľ7 = 40 - 2x3 + x5 - x7 = -8 (215) xq — 3aľ7 = —15 o neznámých Xi, i = 1,2, 3,4, 5, 6, 7. 164»First »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit Řešení. Maticí soustavy je horní schodovitá matice / 1 2 14 12 A \ 0 0 -2010 -1 0 0 0 0 0 1 -3 7\ / / 40 \ -8 15 \ / Označme b vektor pravých stran a x vektor neznámých. Potom je í Xl\ x2 x3 X5 X& \X7 J Zadaný systém (215) rovnic lze pak zapsat v maticové notaci jako A x = b. Matice soustavy i matice rozšířená mají stejnou hodnost h = 3. Má tedy systém řešení. Zadaný systém rovnic přepíšeme tak, že na pravou stranu převedeme všechny členy rovnic 165• First »Prev »A/exí »Last • Go Back •Full Screen • Close »Quit obsahující neznámé £2,^4, ^5,^7- Dostáváme tak systém rovnic x\ + xs + 2aľ6 = 40 — 2aľ2 — 4aľ4 — £5 — 7aľ7 - 2x:i = -8 - rr5 + x7 (216) aľ6 = —15 + 3x7 Dosadíme-li za neznámé X2, £4, x$, x7 do (216) jakákoliv čísla, je pravou stranou takto vzniklého systému konstantní vektor a systém přechází na systém 3 rovnic o třech neznámých x\,Xs,Xq. Matice soustavy tohoto systému je regulárni horní trojúhelníková matice řádu 3. Jeho vyřešením dostáváme hodnoty neznámých x\,Xs,Xq, které spolu se zvolenými hodnotami X2, £4, x$, x7 dávají řešení zadaného systému lineárních rovnic. Na neznámé X2, X4, x$, x7 se budeme tedy dívat jako na parametry. Kvůli zvýšení přehlednosti zavedeme toto označení parametrů: x2 = ci, xA = c2, x5 = c3, x7 = c4. (217) Dosazením těchto parametrů do (216), dostáváme x\ + Xs + 2xq = 40 — 2ci — 4c2 — C3 — C4 - 2x:i = -8 - c:i + cA (218) Xq = —15 + 3C4 Z poslední rovnice vypočítáme Xq. Dostáváme Xq = —15 + 3C4. 166»F/rsí »Prev »A/exí »Last • Go Back •Full Screen »Close »Quit Do druhé rovnice dosadíme vypočítanou hodnotu xq a vypočítáme #3. (Dosazení za xq se neprojeví, neboť koeficient u xq je v této rovnici roven 0.) Dostáváme x3 = 4 + 1/2C3 - l/2c4. Dosadíme tyto vypočítané hodnoty za £3,£6 do první rovnice systému (218) a vypočítáme X\. Dostáváme zi = 66 - 2ci + 4c2 + l/2c3 - 25/2c4. Všechna řešení zadaného systému rovnic (216) lze zapsat takto / 66 - 2ci + 4c2 + 1/2C3 - 25/2c4 \ ci 4+l/2c3-l/2c4 X = c2 C3 -15 + 3c4 V c4 y kde ci, C2, C3, c4 G IR jsou parametry. 167«First »Prev •Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Toto řešení lze zapsat takto / 66 \ / -2 \ /4\ / 1/2 \ / -25/2 \ 0 1 0 0 0 4 0 0 1/2 -1/2 x = 0 0 -15 + Ci- 0 0 0 + c2- 1 0 0 + C3- 0 1 0 + c4 • 0 0 3 V ° ) \ 0 / W V ° ) \ 1 / Partikulám řešení systérr Ax = b u Obecné řešení homogenního systému Ax = 0 Poznámka 1. Množinu všech řešení systému lineárních rovnic A x = b nazýváme obecným řešením. Lze ukázat, že toto obecné řešení je součtem obecného řešení příslušného homogenního systému rovnic A • x = 0 a partikulárního, to jest libovolně zvoleného jednoho řešení systému rovnic A x = 6, b ^ 0. Poznámka 2. V našem případě obdržené obecné řešení závisí na 4 parametrech. Znamená to, že každou volbou parametrů dostáváme řešení uvedeného systému lineárních rovnic a naopak, každé řešení daného systému rovnic dostaneme speciální volbou parametrů. 168»F/rst »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit V tomto obecném řešení je vektor / 66 \ 0 4 x = 0 0 -15 0 jedním z řešení daného systému rovnic. Nazýváme je partikulárním řešením. Množina řešení \ u ) C\ í -2\ /4\ / 1/2 \ í - -25/2 \ 1 0 0 0 0 0 1/2 -1/2 0 + c2- 1 + C3- 0 + c4 • 0 0 0 1 0 0 0 0 3 v ° ) \°) V ° ) \ 1 ) kde ci,C2,C3,C4 G IR jsou parametry, je obecným řešením systému A ■ x = 0, který se nazývá homogenním systémem rovnic, příslušným k danému systému rovnic A x = b. 169»F/rsí »Prev »Next »Last »Go Back »Full Screen »Close •Quit Poznámka 3. Vyjádření obecného řešení systému rovnic není jednoznačné (každé vyjádření ovšem obsahuje tutéž množinu všech řešení systému), dá se vyjádřit v různých tvarech. Dosavadní úvahy shrneme v následující větě. Věta. 12.3 ((Frobeniova věta.)) Necht Ax = b (219) je systém m lineárních rovnic o n neznámých. Potom platí: Jestliže matice soustavy A má menší hodnost než matice rozšířená (Alb), potom systém rovnic (219) nemá řešení. Jestliže matice soustavy A má stejnou hodnost jako matice rozšířená (AIb), potom systém rovnic (219) má řešení. Jestliže tato společná hodnost je rovna počtu neznámých n, potom má právě jedno řešení. Jestliže tato společná hodnost je h < n, potom má nekonečně mnoho řešení, závislých na n — h parametrech. Uveďme ukázky řešení několika úloh, v nichž matice soustavy není schodovitá. Příklad 12.4 Řešte systém lineárních rovnic X\ + 2aľ2 — 3aľ3 + #4 = 1, 2x\ — X2 + Xs — X4 = 1, (220) 4aľi + 3aľ2 — ^2, + ^4 = 3. Řešení. K danému systému rovnic napíšeme odpovídající rozšířenou matici soustavy (l 2-3 1 1 \ (AI 6) =2-1 1-11. (221) L4 3-5 13/ 17 (]• First »Prev m Next vLast • Go Back • Full Screen • Close »Quit Tuto matici transformujeme elementárními transformacemi na horní schodovitou matici. Aplikujeme-li na tuto matici postupně transformace 11^(1,-2,2), H4(l>-4>4)> dostaneme 1 2-3 1 1 \ 0-5 7 -3 -1 I ~ (A\b). 0-5 7 -3 -1 / Transformací TĹ4 (2,-1,3) na tuto matici, Dostaneme horní schodovitou matici 1 2-3 1 1 \ 0-5 7 -3 -1 I ~ {Alb). 0 0 0 0 0/ V této matici vypustíme řádek obsahující samé 0. Dostáváme tak matici, označme ji (B\c), které odpovídá systému (222) B x = c, ekvivalentní s daným systémem rovnic (220). xi + 2x2 - 3x3 + X4 = 1 /222x — 5x2 + 7xs — 3aľ4 = —1 Členy těchto rovnic obsahující neznámé x3, x4 převedeme na pravou stranu systému. Budeme je považovat za parametry. Zároveň položíme c\ = X3, c2 = X4. Dostáváme x\ + 2x2 = 1 + 3ci - c2, — 5x2,rFŤ -1 — 7ci + 3C2- 1 /!• First •Prev •Next •Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Z poslední rovnice vypočítáme Xi. Dostaneme a?2 = l/5-(l + 7ci-3cä). Dosadíme tuto vypočítanou hodnotu X2 do první rovnice a vypočítáme z takto vzniklé rovnice x\. Dostaneme x\ = 1/5 • (3 + c\ +c2). Obecným řešením zadaného systému lineárních rovnic (220) je tedy vektor I (l/5-(3 + Ci+c2) \ 1/5 • (1 + 7ci - 3c2) V c2 / Toto obecné řešení lze zapsat ve tvaru x kde c\, C2 G a? /3/5\ / 1/5 \ í 1/5 \ 1/5 0 + Ci- 7/5 1 + c2- -3/5 0 v o y \ o ) \ 1 / kde c\, c2 G 12.3. Gaussova eleminační metoda. V následujícím výkladu nejde o nic nového. Jde o zavedení názvu pro metodu, o které jsme již obecněji pojednali. Speciální případ uvádíme proto, že se s tímto názvem můžete setkat. 172»F/rsí •Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n, oje n-rozměrný sloupcový vektor a a? je neznámý n-rozměrný sloupcový vektor. Uvažujme systém n lineárních rovnic Ax = b. (223) Tento systém rovnic (223) řešme takto: 1. Matici (A 16) transformujeme elementárními transformacemi na matici (Tle), (224) kde T je horní trojúhelníková matice. (Je to speciální případ schodovité matice.) 2. Řešíme obdržený systém rovnic Tx = c s horní trojúhelníkovou maticí metodou zpětné substituce. Tento způsob výpočtu se nazývá Gaussova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spočívajících jak ve výběru hlavních řádků (při transformaci rozšířené matice soustavy na horní schodovitou matici), tak i při provádění jednotlivých kroků v elementárních transformacích, jimiž se systém rovnic (223) převádí na systém rovnic (224). Příklad 12.5 Gaussovou eliminační metodou řešte systém lineárních rovnic Ax = 6, kde 1 -3 2 \ / 1 A = | 0 5 -2 , 5=4 -241/ V 9 173»First éPrev »Next »Lase • Go Back • Full Screen • Close •Quit K systému rovnic přiřadíme rozšířenou matici soustavy (A\b) = 1 -3 2 1\ / 1 -3 2 1 0 5 -2 4 ~ ( 0 5 -2 4 2 4 19/ \ o -2 5 11 Tuto matici převedeme elementárními transformacemi na matici (fílc), fcoře matice B je horní trojúhelníková matice. Postupně dostáváme [A\b) 1-3 2 1 0 5-24 0 0 21 63 Poslední matici odpovídá systém lineárních rovnic X\ —3aľ2 +2aľ3 = 1, 5aľ2 —2aľ3 = 4, 21x3 = 63. Tento systém řešíme metodou zpětné substituce. Z poslední rovnice vypočítáme x^. Dostáváme xs = 3. Dosadíme-li tuto hodnotu do druhé rovnice a vypočítáme X2, dostáváme X2 = 2. Dosadíme- 31 /z nym iA)F- (Po této transformací bude fij = 0.) Jdeme k b4. b4 goložme i := i + 1. Je-li i < n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k bodu B4. B4 Polozme j := j + 1. Jestliže j < n, jdeme k B2. Jinak jdeme k bodu B5. B5 Původní matice F se transformovala na matici F = (D I C) kde matice D je diagonálni. Potom hledaná matice G je G :=DlF = (E\R). 179»First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen • Close •Quit Příklad 12.7 Nalezněte inverzní matici k matici 2 A\ (233) Řešení. Označme X matici inverzní k matici A. Předpokládáme-li, že matice A je regulární, je hledaná matice X řešením systému lineárních rovnic AX = E. Této rovnici odpovídá matice F = (Ali?), to jest matice 1 2 4 1 0 0 \ -212010. (234) 4 3 5 0 0 1/ Na matici F budeme postupně aplikovat elementární tranasformace podle nahoře popsaného algoritmu. Položme j := 1. Začneme s úpravami prvního sloupce matice F. Za hlavní řádek zvolíme řádek 1. (Prvek f\^ ^ 0.) Elementárními transformacemi typu 7Y4 dosáhneme toho, aby ve vzniklé matici byly prvky 7*2,1, Í3,i rovny nule. Provedením transformace F := 7i:4(l, -/2)i//i,i, 2,1)F , to jest transformací F := 714(1, 2, 2,1)F dostáváme 12 4 10 0 0 5 10 2 1 0 4 3 5 0 0 1, [80*First »Prev »Next »Last • Go Back • Full Screen »Close »Quit Provedením transformace F := H4(l, — /3,i//i}i,3,1)-F to jest provedením transformace F :--7Y4(1, —4, 3,1)F dostáváme 12 4 10 0 F i= | 0 5 10 2 10 0 -5 -11 -4 0 1 Položme j := 2. Začneme s úpravami druhého sloupce matice F. Za hlavní řádek zvolíme řádek 2.(Prvek ^2,2 7^ 0.) Elementárními transformacemi typu 7Y4 dosáhneme toho, aby ve vzniklé matici byly prvky /12, ^3,2 rovny nule. Provedením transformace F := 7-^4(2, —f 1,2/f2,2,1,1)F, to jest provedením transformace F := 7i4(2, — 2/5,1,1)F dostáváme / 1 0 0 1/5 -2/5 0 F := 0 5 10 2 1 0 \ 0 -5 -11 -4 0 1 Provedením transformace F := H4(2, — f3,2/f2,2, 3,1)-F, to jest provedením transformace F := 7ť4(2, 5/5, 3,1)F, dostáváme "10 0 1/5 -2/5 0 0 5 10 2 10 0 0-1-2 1 1 Položme j := 3. Začneme s úpravami třetího sloupce matice F. Za hlavní řádek zvolíme řádek 3.(Prvek f^ ^ 0.) Poněvadž fi^ = 0, provedeme jenom takovou elementární transformaci typu 7-^4, aby ve vzniklé matici byl prvek ^2,3 roven nule. 181 »First »P rev »Next »Last •Go Back »Full Screen »Close »Quit Provedením transformace F := H4(3, —J2,zlh^i 251)-P\ to jest transformací F := 7^4(3,10, 2,1)1 dostáváme 10 0 1/5 -2/5 0 F := ( 0 5 0 -18 11 10 0 0-1-2 1 1 Označme obdrženou matici F jako Je tedy D\C). D K ní inverzní maticí je matice D Položme Dostáváme G :=DlF. 10 0 1/5 -2/5 0 0 1 0 -f f 2 0 0 12 -1-1 Matici G lze zapsat jako G = (E\R). 182»First •Prev •Next •Last • Go Back »Full Screen »Close »Quit Této maticí odpovídá systém rovnic EX = R ekvivalentní s daným systémem rovnic AX = E. Je tedy hledanou inverzní maticí matice / 1/5 -2/5 0 \ X = R= -±f ±± 2 5 5 2 -1 -1 V / 183»F/rsí »Prev •Next »Last »Go Back »Full Screen »Close »Quit