Obsah 1 ZÁKLADNÍ POJMY LINEÁRNÍ ALGEBRY 2 1.1 Úvod do maticového počtu................ 2 1.2 Základní operace s maticemi............... 6 1.3 Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi . . 17 1.4 Zavedení pojmu inverzní matice............. 21 1.5 Základní poznatky z této kapitoly............ 26 2 Úlohy k procvičení 26 3 Lineární prostor 30 3.1 Příklady lineárních prostorů............... 31 4 Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod 41 4.1 Elementární transformace matic............. 48 4.2 Určení hodnosti matice.................. 59 5 Báze vektorového prostoru 67 6 Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru 74 7 Determinanty 84 7.1 Zavedení pojmu...................... 84 8 Vlastnosti determinantů 93 8.1 Použití determinantů................... 107 8.2 Cramerovo pravidlo.................... 108 9 Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů 111 10 Úlohy k procvičení 114 11 Systémy lineárních rovnic 116 11.1 Ekvivalentní systémy rovnic............... 116 1 11.2 Převod na systém s horní schodovitou maticí soustavy 118 11.3 Gaussova eleminační metoda............... 133 11.4 Jordánova eliminační metoda............... 135 11.5 Výpočet inverzní matice k regulární matici řádu n Jordánovou metodou..................... 137 1 ZÁKLADNÍ POJMY LINEÁRNÍ ALGEBRY 1.1 Üvod do maticového počtu Nechť M je množina nějakých objektů a n je přirozené číslo. Každou skupinu n objektů z množiny M, v níž se nějaké objekty mohou i opakovat, budeme zkráceně nazývat n—ticí objektů z množiny M. Jestliže v takovéto skupině objektů záleží na jejich pořadí, mluvíme o uspořádané skupině objeků z M. Uspořádané skupiny objektů budeme zapisovat většinou do řádků (a oddělovat navzájem čárkou nebo mezerou) nebo do sloupců. Při zápisu do řádku budeme na i—té místo zleva klást i—tý objekt a při zápisu do sloupců budeme i—tý objekt zapisovat do i—tého řádku shora. Jestliže množinou M je množina reálných čísel, mluvíme o n—ticích reálných čísel, resp. o uspořádaných n—ticích reálných čísel. Zápis (1, 3, 7, 0) značí tutéž neuspořádanou skupinu čísel jako zápis (7, 1, 0, 3). Avšak oba tyto zápisy vyjadřují dvě navzájem různé uspořádané skupiny čtyř reálných čísel. Definice 1.1 Maticí typu (m,n) budeme rozumět každou uspořádanou skupinu m • n reálných čísel zapsaných do m řádků a n sloupců. Každé z těchto čísel budeme nazývat prvkem matice. Abychom vyznačili, že tato čísla vytvářejí matici, budeme tuto skupinu čísel dávat do závorek. Řádky jsou seřazeny shora dolu, sloupce zlava doprava. Jako příklad si uveďme matici typu (2,5): 2 4 6 7 7\ (1) 0 2 8 1 0 y 2 Označování. Matice budeme označovat většinou velkými tučně vytištěnými písmeny, např. A. Prvek matice , umístěný v jejím i-tém řádku a v j-tém sloupci, budeme většinou označovat malým písmenem, které odpovídá označení matice, s indexy i,j, umístěnými u jeho pravého dolního rohu. Tedy clíj bude značit prvek matice A v jejím i-tém řádku a v j-tém sloupci. Nemůže-li dojít k omylu, lze čárku mezi oběma indexy vynechat a nechat mezi nimi jenom mezeru, takže místo üij lze psát a^-. Označíme-li A uvedenou matici, můžeme psát: 2 4 6 7 7 0 2 8 10 V této matici je tedy např. a\ß = 6 prvek umístěný v prvém řádku a v třetím sloupci a prvek 02,5 = 0. je její prvek ve druhém řádku a v pátém sloupci. Jestliže matice A je matice typu (m, n), kde m, n jsou obecná čísla, zapíšeme ji takto: / «1,1 . . . (lij . . . <2i?n \ a>Li \ U"l7l,l ahj CLi a (3) m,j 0"m,n / Nechť A je matice typu (to, 1), to jest matice o jednom sloupci, a B je matice typu (1, n), to jest matice o jednom řádku. Tedy nechť / «1,1 \ a»,i \ «m,l / B = (&!,!,. • • ,&lj,. • • ,&l,n). V této matici A je druhý index každého prvku roven „1", lze jej vynechat (není potřebný k určení umístění prvku v této matici). Podobně v uvedené matici B je první index každého prvku roven „1", lze jej vynechat (není potřebný k určení umístění prvku v této matici). Bývá zvykem tyto matice označovat malým, silně vytištěným písmenem a jednotlivé prvky stejným písmenem obyčejně psaným. Píšeme pak í a, \ a tti b=(bi ,hi i Vnj \ 0"in I Jako příklad matice o jednom sloupci uveďme následující matici a a jako matici o jednom řádku uveďme následující matici b. a b= (1 5 8 6) Uveďme si dva příklady matic s praktickým významem. Příklad 1.1 Označme Di,Ľ2 místa, z nichž se provádí rozvoz zboží do míst Zi, Z2, Z3. Označme Cíj náklady v Kč na dopravu 1 tuny zboží z místa D i do místa Z j pro i = 1,2; j = 1,2,3. Z čísel Cíj utvoříme matici, napf. ( 2000 1500 1800 \ C=[ • (4) y 800 50000 1000 ) Jde o matici typu (2, 3). V této matici je napf. c\^ = 1800, to znamená, že náklady na dopravu jedné tuny zboží z místa D\ do místa Z% jsou 1800 Kč. 4 c (5) Příklad 1.2 Uveďme matici C popisující cenu v $ tří druhů zboží X^i, V2, V3 ve čtyřech různých zemích Z\, Z2, Zz, Z4, í 230 450 100 \ 200 420 90 210 430 80 \ 235 435 95 / Zde Cij značí cenu v $ zboží Vj v zemi Z,,. Poněvadž např. C2?3 = 90, je cena zboži'V3 v zemi Z2 rovna 90$. Relace mezi maticemi. Mezi maticemi téhož typu si zavedeme následující relace. Nechť A, B jsou matice téhož typu (m,n). Potom • řekneme, že matice A je menší nebo rovna matici B, a píšeme A < B, jestliže a,;j < bij pro všechna i = 1, 2,..., to, j = 1,2,..., n. • řekneme, že matice A je menší než matice B, a píšeme A < B, jestliže üij < bij pro všechna i = 1, 2,..., to, j = 1, 2,..., n. • řekneme, že matice A je větší nebo rovna matici B, a píšeme A > B, jestliže a,;j > bij pro všechna i = 1, 2,..., to, j = 1, 2,..., n. • řekneme, že matice A je větší než matice ß, a píšeme A > B, jestliže üij > bij pro všechna i = 1, 2,..., to, j = 1, 2,..., n. řekneme, že matice A je rovna matici B, a píšeme A = B, jestliže ttij = bij pro všechna í = 1,2,...,to, j Uveďme si tyto příklady: 1,2,...,n. Příklad 1.3 Nechť 1 2 2 0 2 2 Přesvědčte se, že A < B. B Příklad 1.4 Přesvědčte se, že mezi maticemi A7 B , kde 1 2 -3 \ / 2 O -3 A=\ 2 O 3 , B= 28 3 22-5/ \ O O O neplatí žádná z relaci <,<,>,>,=. 1.2 Základní operace s maticemi Zaveďme si tyto operace s maticemi. Sečítání dvou matic. Začněme s motivačním příkladem. Příklad 1.5 Nechť podnik vyrábí výrobky Ví, Vz, V3 ve dvou provozovnách. Plán výroby výrobků X\, V2, V3 v první provozovně podniku je pro i—tý kvartál (kde i = 1,2,3,4) charakterizován i—tým řádkem matice A, prvek aij značí plánovanou výrobu výrobku Vj v i—tém kvartálu. Plán výroby výrobků Ví, V2, V3 ve druhé provozovně podniku je pro i—tý kvartál (kde i = 1,2,3,4,) charakterizován i—tým řádkem matice B, prvek bij značí plánovanou výrobu výrobku Vj v i—tém kvartálu. Tedy ( ai 1 aí2 ai,3 \ / &i,i &i,2 &i,3 \ 02,1 02,2 02,3 03,1 03,2 03,3 \ 04,1 04,2 04,3 / B &2,1 &2,2 &2,3 &3,1 &3,2 &3,3 V &4.1 ^4,2 &4,3 Z Pokud závod vyrábí uvedené výrobky pouze v těchto dvou provozovnách, lze charakterizovat plán výroby výrobků Vl, V2, V3 celého podniku pro jednotlivé kvartály maticí C, jejíž prvek c. hj a hj + b hj představuje plán výroby výrobku Vj v i-tém kvartálu celého podniku. Tedy / ai,i + &i,i «i,2 + ho ai 3 + 613 \ C «2,1 + &2,1 02,2 + &2,2 «2,3 + &2,3 «3,1 + &3,1 03,2 + &3,2 «3,3 + &3,3 V «4,1 + &4,1 04,2 + &4,2 «4,3 + &4,3 / 6 je matice, kterou je popsán plán výroby výrobků Vl, V2, V3 v celém pdniku v jedtlivých kvartálech. Z tohoto příkladů je patrno, že má smysl definovat součet dvou matic A, B téhož typu podle následující definice. Definice 1.2 Součet dvou matic. Nechť matice A7 B jsou téhož typu (m,n). Součtem matic A a B budeme rozumět matici C typu (m, n), pro jejíž prvky Cíj, i = 1,... ym, j = 1,..., n, platí Cí,j — o-íj + bij. Pro operaci sečítání matic budeme používat symbolu C = A + B. Příklad 1.6 N echt A, B jsou matice typu (3,3) 10- 6 1 3 I B -2 0 -Potom matice C = A + B je 1 0 -3 \ / 7 2 -1 \ / 8 2 C = \ 61 3 + 35 0= 96 -2 0-3/ V 1 5 2 / V -1 5 Píšeme pak Násobení matice číslem. Uveďme si motivační příklad pro zavedení násobení matice číslem. Příklad 1.7 Nechť C je matice, která popisující cenu v $ tří druhů zboží V\, V2, V3 ve čtyřech různých zemích Z\, Z2, Z%, Z4. í 230 450 100 \ 200 420 90 210 430 80 \ 235 435 95 / C (6) 7 Zde Cij značí cenu zboží Vj v $ v zemi Z i. Chceme-li vyjádřit cenu jednotlivých výrobků v uvažovaných zemích v Kč, stačí násobit každý prvek matice C stejným číslem, daným kurzem dolaru. Vzniklou matici označíme D. Počítáme-li 20Kč za jeden $, dostáváme matici D í 4600 9000 20000 \ 4000 8400 1800 4700 8700 1900 y 8225 15225 3325 J (7) udávající cenu jednotlivých výrobků v uvažovaných zemích v Kč. To nás motivuje k zavedení definice součinu čísla a matice takto: Definice 1.3 Násobení matice číslem. Necht A je matice typu (m,n) a a je reálné číslo. Potom součinem matice A a čísla a rozumíme matici C, pro jejíž prvky Cij platí Cij = a • ßij pro i ,m, J n. Pro násobení matice číslem budeme používat symbol „■". Píšeme pak C = a • A. Symbol „■" lze vynechat, takže můžeme psát C = ciA. Příklad 1.8 Nechť a = 3 a nechť A je matice typu (3, 3) 1 0 -6 1 -2 0 - Potom C = a-A 8 Rozdíl dvou matic. (Odečítání dvou matic). Nechť A, B jsou matice téhož typu. Potom definujme A — B jako matici A + (—1) • B. Součin dvou matic. Začněme s motivační úlohou. Následující tabulka charakterizuje výrobu v čokoládovně při výrobě „5" druhů výrobků, označených jako Ví, V2, V3, V4, V5. K výrobě „Ikg" jednotlivých výrobků jsou potřebné suroviny Si (tuk) ^2 (kakao), S3 (cukr) v tabulce uvedených množstvích. Označme uíj množství suroviny Si v kg potřebné na výroby „Ikg" výrobku Vj. Podle tabulky je tedy např. na výrobu „Ikg" výrobku V3 zapotřebí 02,3 = 0,1 kg suroviny S2, to jest kakaa. Ví v2 V3 v4 v5 tuk 0,00 0,4 0,3 0,6 0,6 kakao 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 cukr 0,10 0,2 0,2 0,1 0,2 Tabulka 1: Tabulka pro výrobu v čokoládovně Vynecháme-li záhlaví v tabulce, jedná se o uspořádanou skupinu 15 čísel, zapsaných do tří řádků a pěti sloupců. Jde tedy o matici typu (3, 5). Označíme ji A. Jak bylo již řečeno, a*j značí množství suroviny Si v kg potřebné na výroby „Ikg" výrobku Vj. Je tedy 0,00 0,4 0,3 0,6 0,6 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 0,10 0,2 0,2 0,1 0,2 Označme nyní X následující matici typu (5,4) / Xí}í X^2 #1,3 #1,4 \ #2,1 ^2,2 £2,3 rr2,4 X £3,1 £3,2 rr3,3 ^3,4 £4,1 ^4,2 ^4,3 rr4?4 \ ^5,1 £5,2 rr5?3 rr5?4 y 9 V p—tém sloupci matice X, p = 1,2,3,4, je uveden p—tý plán výroby. To znamená, že se uvažuje výroba výrobků Vi, V2, V3, V4, V5 v množstvích íCi,p, x2)P, aľ3lP, 2^, ^5,P- Vypočítejme nyní spotřebu i—té suroviny Sj v p—tém plánu výroby. Při tomto plánu výroby se spotřebuje na výrobu x^p výrobků V j množství aij • Xj:Pkg suroviny Si. Tedy na výrobu všech výrobků Vi, V2, V3, V4, V5 se spotřebuje v p—tém plánu výroby surovina Si v množství Vi,p — (íi,l • %l,p + a>i,2 ' %2,p + Öi,3 • ^3,p + Ö*,4 ' ^4,p + Oí,5 * ^5,p- Z těchto hodnot i/^p utvořme dále matici Y typu (3,4), v nímž yi}P značí množství suroviny Si v kg potřebné k výrobě všech výrobků Vj,j = 1,2,3,4,5 v požadovaných množstvích Xj:P, j = 1,2,3,4,5 v p—tém plánu výroby. Poznámka. V našem případě jsme uvažovali matici X typu (5, 4) a matice A typu (3, 5),matice Y je pak typu (3,4). Lehce nahlédneme, že úvahy lze rozšířit na případ, kdy matice A je typu (m,k), kde m je počet surovin a A; je počet výrobků. Matice Y je typu (ra,n), kde n je počet plánů výroby. Tento příklad nás vede k zavedení sočinu dvou matic. Matici Y nazýváme součinem matice A maticí X v tomto pořadí. Příklad. Pro plán výroby, daný maticí / 250 \ 120 X" = 150 85 \80/ 0,00 0,40 0,3 0,6 0,60 0,05 0,20 0,10 0,10 0,00 0,10 0,20 0,20 0,10 0,20 a maticí 10 dostáváme ž/1,1 = 0,00-250+ 0,4-120+ 0,3-150+ 0,6-85+ 0,6-80, l/2,i = 0,05-250 + 0,2-120 + 0,1-150+ 0,1-85+ 0,0-80, l/3,i = 0,10-250+ 0,2-120+ 0,2-150+ 0,1-85+ 0,2-80. Vyčíslením obdržíme |/i?i = 192, 2/2,1 = 60, 2/3,1 = 103. Tedy / 192.0 Y= I 60.0 103.5 Tento příklad nás inspiruje k zavedení pojmu součinu dvou matic A, B touto definicí. Definice 1.4 (Součin matic). Nechť A je matice typu (m, k) a B je matice typu (k,n). Potom součinem matic A a B v tomto pořadí je matice C typu (m, n), pro jejíž prvky ey, í = 1,..., m, j = 1,..., n , platí +? *jl ' lj ~r • • • ~r ftj,fe ' ťfcj ~r • • • ~r Öj,n ' "nj' (8) Píšeme pak C = A B. Říkáme, že matice C vznikla z matice A násobením matici B zprava, resp. násobením matice B maticí A zleva. Poznámka 1. Ze vztahu (8) je patrno, že pro výpočet prvku Cíj matice C (tj. prvku v i-tém řádku a v j-tém sloupci matice C používáme i-tý řádek matice A, t.j. řádek (aiti ah2 ■ ■ ■ ahk) (9) a j-tý sloupec matice B, t.j. sloupec / Kj \ hj V bkj J 11 (10) Poznámka 2. Vztah (8) lze zapsat takto k r=í Zde symbol J2r=i znamená, že se provádí sečítání členů, které dostaneme tak, že do výrazu za symbolem Yl dosazujeme postupně r = l,...,fc. Poznámka 3. Pro součin dvou matic budeme používat opět symbolu „•". To není na závadu, neboť ze souvislostí je vždy patrno o jaké násobení se jedná. Budeme tedy psát C = A B. Poznámka 4. Všimněme si, že počet sloupců v matici A je stejný jako je počet řádků v matici B. Kdyby tomu tak nebylo, nebylo by možno aplikovat vzorec (8). Poznámka 5. Zápis C = A B můžeme číst buďto jako „matice A" je násobena maticí B zprava, anebo jako matice B je násobena matci A zleva. Na následující stránce ještě jednou osvětlíme podrobněji zavedení součinu dvou matic. 12 Nechť A je matice typu (m, k) a matice B je typu (k, n).(Všimneme si, že počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B. Vypočítejme matici C = A . B typu (m,n). A (m, k) B (k, n) C m,n Rozepsáním dostáváme / «i, • + CLLk • bk. ChJ ^Js=la«,s ' b ■%J- Příklad 1.9 Určete matici C = A B, jestliže / 1 -3\ B 2 -5 8 3 v-1 i; 'ir Poněvadž A je matice typu (3,4) a B je matice typu (4, 2), lze vypočíst součin C = AB. (Počet řádků matice A je roven počtu slopců matice 13 B, tj. „4"- Podle definice součinu dvou matic dostáváme / 25 O C= 73 -6 V 17 -12 Např. prvek C27\ dostaneme jako součin druhého řádku matice A, to jest řádku (0,7,8,5) a prvního sloupce matice B, to jest sloupce ( l\ 2 8 V-1/ Výpočtem dostáváme c2jl = o-l + 7-2 + 8-8 + 5- (-1) = 73. Zaměnitelné matice. Obecně matice A • B není rovna matici B • A. Dokonce může nastat případ, že A B existuje, avšak B • A neexistuje. Jestliže pro nějaké matice A, B platí A B = B A, potom matice A, B se nazývají zaměnitelné. Příklad 1.10 Je-li např. matice A typu (3,4) a matice B je typu (4, 3), potom A- B je matice typu (3, 3). Avšak B • A je matice typu (4,4). Jsou tedy matice AB, BA různých typů a tedy, aniž bychom jejich součiny počítali, vidíme, že jsou navzájem různé. Matice A, B nejsou tedy v tomto případě zaměnitelné. 14 Příklad 1.11 Nechť Potom 1 2 \ / -1 3 A=\ B=[ 3 4/ V 10 1 3 \ / 8 10 A B= I , B A = i 9 y y i 2 Vidíme, že A B ^ B A, takže tyto matice A, B nejsou zaměnitelné. Příklad 1.12 Nechť a =/8 10\ B / 1/3-5/3 V 1 2 7 V "VB 4/3 Pro ft/fo matice platí (\ o A B = B ■ A = Dane matice A, B jsou tedy zaměnitelné. Matice transponovaná. Definice 1.5 (Matice transponovaná.) Nechť A je matice typu (m,n). Potom matici, jejíž i-tý sloupec je roven i-tému řádku matice A, i = 1, 2,... ,m; nazýváme maticí transponovanou k matici A a budeme ji značit AT. Matice AT je tedy typu (n,m). Příklad 1.13 Nechť ' 1 2 3 x 4 5 6 Potom aT _ 15 O transponované matici součinu dvou matic platí tato věta. Věta. 1.1 (Transponovaná matice součinu matic.) Nechť A, B jsou takové matice, že existuje AB. Potom platí (A B)T = BT AT. Submatice. Zaveďme si pojem submatice následující definicí. Definice 1.6 (Submatice) Nechť A je matice typu (m,n) a nechť u = (íi,... ,ip) je taková uspořádaná p—tice přirozených čísel, že 1 < i\ < ... < ip < m, p < m. Dále nechť v = (ji, • • • ,3q) Je taková uspořádaná q—tice přirozebých čísel,že že 1 < j\ < ... < jq < n, q < n. Potom matici, která vznikne z matice A vypuštěním všech řádků s řádkovými indexy, které patří do u a vypuštěním všech sloupců matice A se sloupcovými indexy, které patří do v, nazýváme submaticí matice A a značíme ji A^vy, jestliže některý z vektorů u, v má jenom jedno číslo, stačí uvést toto číslo bez závorek. Například, jestliže u = (i) a v = (j), lze závorky vypustit a psát pouze Aíj . (Tedy Aij značí submatici, která vznikne z matice A vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce.) Příklad 1.14 Nechť / 1 2 4 5 \ A= 5 7 2 -1 . V 4 1 0 2 / Položme u = (2); v = (4). Potom vypuštěním druhého řádku a čtvrtého sloupce matice A dostaneme submatici ( 1 2 4\ ^4 1 OJ' 16 1.3 Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi Čtvercová matice. Matici A typu (n,n) budeme nazývat čtvercovou matici řádu n. Místo čtvercová matice řádu n stačí říkat matice řádu n, poněvadž o řádu matice mluvíme jen u čtvercových matic. Např. matice 12 3 4 5 6 v 7 8 9 je čtvercová matice řádu 3. Nulová matice. Matici typu (m,n) budeme nazývat nulovou maticí typu (m, n), jestliže všechny její prvky jsou rovny nule. Budeme ji značit 0. Příklad 1.15 Matice / 0 0 0 0 0=0000 V o o o o je nulová matice typu (3,4). Hlavní a vedlejší diagonála v matici. Nechť A je matice typu (m,n). Budeme říkat, že její prvky a^ leží na hlavní diagonále a její prvky čuj, pro něž je i + j = n + 1, leží na vedlejší diagonále. Příklad 1.16 Nechť Potom prvky (1, —3,4) leží na hlavní diagonále a prvky (1,8, 0) leží na vedlejší diagonále. 17 Jednotková matice. Řekneme, že čtvercová matice E řádu n je jednotková, jestliže všechny její prvky na hlavní diagonále jsou rovny číslu 1 a všechny ostatní její prvky jsou rovny 0. Chceme-li zdůraznit její řád n, označíme ji En. Příklad 1.17 Matice F) \o 0 1/ je jednotková matice řádu 3. Diagonální matice. Řekneme, že čtvercová matice A je diagonální, jestliže všechny její nenulové prvky leží na hlavní diagonále. Příklad 1.18 Matice I100] A = 0 2 0 V 0 0 3 / je diagonální matici. Horní trojúhelníková matice. Řekneme, že čtverová matice A řádu n je horní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny 0. Dolní trojúhelníková matice. Řekneme, že čtvercová matice A řádu n je dolní trojúhelníkovou maticí, jestliže všechny její prvky nad hlavní diagonálou jsou rovny 0. Horní schodovitá matice. Nechť A je matice typu (to, ti). Řekneme, že matice A je horní schodovitá matice, jestliže existuje takové přirozené číslo h < n, že ke každému i, i = 1,2,... ,h, existuje nejmenší s i tak, že <2i?Si 7^ 0 a si < S2 < ... < «s/j a zbývající řádky h + 1,..., rn jsou nulové. 18 Příklad 1.19 Matice 12 3 4 5 6 7 0 0 12 3 4 5 0 0 0 0 0 0 9 je horní schodovitou matici. V tomto příkladě je zřejmě s\ = 1,S2 = 3, s3 = 7. Poznámka. Schodovitou matici můžeme definovat ekvivalentně takto. Matice A typu (to, n) je horní schodovitá matice, jestliže pro každé dva řádkové indexy p, q matice A platí: • Nechť p-tf řádek matice A je nenulový a q-tý řádek matice A je nulový, potom p < q. • Nechť p-tf a q-tý řádek matice A jsou nenulové a nechť aPyS je první nenulový prvek matice A v p-tém řádku a aq^Sq je první nenulový prvek v g-tém řádku matice A. Jestliže p < q, potom je Sp 0, j = 1, 2, 3,4, 5, vyhovující nerovnostem 0,4rr2 + 0,3rr3 + 0,6rr4 + 0,6rr5 < 1500 0,05aľi + 0,2rr2 + 0, lx3 + 0, lx4 < 300 0,10xi + 0,2rr2 + 0,2rr3 + 0, lx± + 0,2rr5 < 450 (30) 24 Víme, že při výrobě x j výrobků Vj, j = 1, 2, 3,4, 5, bude odbytová cena výroby rovna z = 2Ctei + 120rr2 + lOCtes + 140rr4 + 40rr5- (31) Naší úlohu můžeme tedy formulovat takto : Nalezněte taková nezáporná čísla Xj, j = 1,2,3,4,5, která vyhovují nerovnostem (30) a pro něž funkce (31) nabývá svého maxima. Tato úloha je tedy popsána maticí A, vektorem m množství surovin, která jsou k dispozici, a vektorem b odbytových cen výrobků a vektorem x počtu výrobků 0,00 0,4 0,3 0,6 0,6 A=\ 0,05 0,2 0,1 0,1 0,0 0,10 0,2 0,2 0,1 0,2 m í X\\ x2 X = Xs X4 Potom (30) lze zapsat jako jako Ax < m a funkce (31) lze zapsat jako z b x. jr ( 20 \ 120 100 140 v 4°y (32) (33) Naši úlohu můžeme vyslovit takto: Nalezněte vektor x > 0 vyhovující (32), který minimalizuje funkci (33). Matice A, vektory ra, b a požadavek, že vektor x T (#1, #2, £3,£4,£5) > 0, 25 jsou vstupními údaji programu, kterým se výpočet realizuje. Dostáváme xi = 0, x2 = 0, x3 = 1000, xA = 2000, x5 = 0. 1.5 Základní poznatky z této kapitoly ■ Zavedení pojmu matice, typ matice, značení prvků matic, prvky na hlavní a na vedlejší diagonále. ■ Relace <,<,>,>,= mezi maticemi. ■ Operace s maticem : sečítání matic, násobení matice reálným číslem. ■ Součin dvou matic. ■ Zaměnitelné matice. ■ Matice transponovaná. Matice transponovaná součinu dvou matic. ■ Submatice. Vytváření submatic. Označování submatic. ■ Speciální matice. Matice čtvercová, matice nulová, matice jednotková, horní a dolní trojúhelníková matice, horní schodovitá matice. ■ Pravidla pro počítání s maticemi. ■ Zápis systémů lineárních rovnic v maticové notaci. Co je to matice soustavy, co je to matice rozšířená, co je to vektor pravých stran. Co se rozumí pod pojmem řešení systému lineárních rovnic? Příklady, kdy systém má jedno řešení, kdy nemá žádné řešení, kdy má více řešení. ■ Co je to inverzní matice? Vlastnosti inverzních matic. ■ Řešení systému lineárních rovnic, jestliže známe matici inverzní k matici soustavy. 2 Úlohy k procvičení Úloha 1. Nechť A je matice / 1 -3 2 4 \ A= 1 0 7 -2 . \ 0 1-2 5 / 26 Určete a) její typ, b) matici k ní transponovanou A c) určete matice F = A AT, D = AT • A rp d) zjistěte, zda matice A, A jsou zaměnitelné. [a) typ (3, 4), b) / 1 T iT V -3 2 4 1 0 7 -2 0\ 1 -2 57 c / £> V 2 -3 -3 10 9 -8 2 -7 9 -8 57 -16 2\ -7 -16 45 y 30 7 13 7 54 -24 13 -24 30 d) nejsou zaměnitelné.] Úloha 2. Zapište v maticové notaci systém lineárních rovnic 2 x\ + 3 X2 — xs = 4 3 X\ — 5 X2 + ^3 = -1 #1 — 3 2ľ2 + ^3 = -1 Napište matici soustavy a matici rozšířenou. [Označme 2 3-1 ;ai&) a? 27 Potom daný systém rovnic lze psát v maticové notaci takto: A • x A je matice soustavy a (A I b) je matice rozšířená.] Úloha 3. Nechť 12 3 4 5 6 7 8 9 a nechť E% je jednotková matice a A je proměnná. Napište matici B = A - XE3. [B Úloha 3. Zjistěte, zda vektory lx "x jsou řešením systému lineárních rovnic z úlohy 2. í 4\ ( M \A • \ľ = —1 , A ^x = —3 , tedy lx ie a ^x není řešením A-1' .M) uvažovaného systému lineárních rovnic] Úloha 4. Nechť B a) Dokažte, že B A = E, A B = E. Jak nazýváme matici BI b) Nalezněte řešení rovnice A x = b užitím matice B. (Obě strany daného systému rovnic násobte zleva maticí B.) 28 [a) B je inverzní k matici A, b) B • (A • x) = B • b, (B • A) • x T B b, E x = B 6, takže x = B ■ b = ( 8 -31 18 ) .] Úloha 5. Zapište následující systém nerovnic užitím maticové notace x\ + x2 < 3, -x\ + x2 < 0. x2 > 0. Znázorněte graficky množinu bodů [x\, x2\, které těmto nerovnicím vyhovují. [Položme A 1 -1 0 x Potom daný systém nerovnic lze zapsat takto: A • x < b. Hledaná množina je šedá oblast na obr.l.] Obrázek 1: Hledaná množina bodů Úloha 6. Určete vektory /, x tak, aby funkce y = 2x\ + 3x2 + 4aľ3 + x^ se dala pomocí nich zapsat ve tvaru ľ ■ x. [f = (2, 3,4,1)T,x = {xhx2, x3,x4)T 29 3 Lineární prostor Na množině matic téhož typu jsme měli zavedeny operace sečítání matic a násobení matic reálnými čísly. V následující definici zavedeme nový pojem „vektorový prostor". Nyní budeme uvažovat množinu P,(ne nutně množinu matic,) na níž jsou zavedeny dvě operace, sečítání dvou jejich prvků a násobení jejich prvků reálnými čísly. Budeme požadovat, aby tyto operace splňovaly jisté vlastnosti. Definice 3.1 (Definice vektorového prostoru) Necht P je množina. Označme symbolem „+a operaci, nazveme ji sečítáním, kterou ke každým dvěma prvkům a, b G P je přiřazen prvek a + b G P . Dále označme symbolem „■" operaci, nazveme ji násobením, kterou ke každému prvku a G P a ke každému reálnému číslu a G M je přiřazen prvek a • a G P. Nechť tyto operace mají následující vlastnosti: Jestliže a,b,c G P , potom a + b = b + a, (34) a + {b + c) = [a + b) + c. (35) Existuje prvek 0 G P tak, že pro všechna x G P platí x + 0 = x. (36) Ke každému x G P existuje (—x) G P tak, že x + (-x) = 0. (37) Pro všechna x, y G P a pro všechna a, ß G M platí 1 • x = x) (38) a • (ß • x) = (aß) • x) (39) (a + ß) • x = a- x + ß • x) (40) a • (x + y) = a • x + a • y. (41) Potom množinu P s těmito operacemi „+" a „•" nazýváme lineárním, nebo též vektorovým prostorem. Budeme jej značit P. Prvek 0 nazýváme jeho nulovým prvkem. 30 Poznámka. Symbol „•" pro násobení lze vynechat, pokud nemůže dojít k omylu. Místo a G P lze psát a G P. Místo a + (—b) lze psát a — b. Důsledek 1. Ze vztahů (34), (35) vyplývá, že a + {b + c) = a + {c + b) = b+{a + c) = b+{c + a) = = c + (a + b) = c + (b + a) = (a + b) + c = (b + a) + c = = (a + c) + b = (c + a) + ö = (6 + c) + a = (c + 6) + a Není proto nutno psát závorky a stačí psát a + 6 + c. Dokažme např., že a+(6+c) = (6+a)+e. Podle (35) je a+{b+c) = {a + b) + c. Podle (34) je a + b = b + a, takže (a + 6) + c= {b + a) + c. Je tedy a + (b + c) = (6 + a) + c. Podobně budeme psát c\ • \c + ... + cn • "x, kde hc,..., "x G P a Ci,... , cn jsou libovolné konstanty, aniž bychom psali závorky. 3.1 Příklady lineárních prostorů Aritmetický vektorový prostor. Věta. 3.1 (Aritmetický vektorový prostor Vn) Nechť n G N a nechť Wn je množina uspořádaných n-tic reálných čísel (nezáleží na tom jak jsou zapsány, zda do řádků nebo do sloupců), na níž jsou zavedeny operace sečítání „ + " a násobení „." takto: Nechť a = (ai,..., an), b = (bi,..., bn) G Wn . Položme a + b = c, kde c = (ci,..., cn) je taková uspořádaná skupina reálných čísel, že Ci = clí + b{ pro i = 1,... n. Nechť a = (ai,..., an) 0 a opačný, je-li a < 0. Potom množina U s takto zavedenými operacemi „+ " a „•" tvoří vektorový prostor ve smyslu definice 3.1, to znamená, že jsou splněny vztahy (34)—(41). Budeme jej značit U. 33 Na obr. 2 je znázorněno sečítání dvou volných vektorů ~äľ, b . Vektor ~čt je reprezentovaný orientovanou úsečkou PQ a volný vektor b je reprezentovaný orientovanou úsečkou RS. Jejich součtem je volný vektor ~~$ = ~čt + b reprezentovaný orientovanou úsečkou ÄÔ. R S Obrázek 2: Sečítání volných vektorů Na obr. ?? je znázorněno násobení volného vektoru ~čt reálným číslem. Volný vektor 7? je reprezentován orientovanou úsečkou PQ. Volný vektor a = 2, 5 • 7? je reprezentován orientovanou úsečkou AĚ a volný vektor 1? = — 2, 5 • Ht je reprezentován orientovanou úsečkou ČJĎ. D C P Q A B Obrázek 3: Násobení volného vektoru číslem Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovině. V předcházející definici jsme uvažovali volné vektory nezávisle na souřadném systému, byly uvažovány v tzv. invariantním tvaru. Pojednejme nyní o prostom U2 volných vektoru v rovině, v níž je zaveden kartézský souřadný systém. Označme x\, X2 souřadné osy kartézského souřadného systémuv rovině. 34 Jak je dobře známo, ke každému bodu P v kartézském souřadném systému roviny je přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel [pi,P2\-Číslo p\ nazýváme jeho první souřadnicí a číslo p2 nazýváme jeho druhou souřadnicí. Naopak, každou uspořádanou dvojici reálných čísel [P\iP2\ lze považovat za souřadnice právě jednoho bodu P v rovině. Není tedy nutno striktně rozlišovat mezi bodem v rovině a uspořádanou dvojicí reálných čísel. Označme U2 množinu všech volných vektorů v této rovině s uvedenými operacemi sečítání volných vektorů v rovině a násobení volných vektorů v rovině reálnými čísly. Uvažujme dvě orientované úsečky PQ} RÚ (viz. obr. 4), kde P = P[pllp2]J Q = Q[qhq2], R = R[rur2], U = U[uhu2}. Každá z těchto orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor ~čt G U2, když a jenom když ql-pl=ui-ri A Q2-P2 = u2- r2. (42) Obrázek 4: Zobrazení V2 do M2 Vztah mezi prostorem V2 a prostorem volných vektorů v rovině. Zaveďme si nyní zobrazeni T prostoru V2 do prostoru W2 35 takto: Nechť volný vektor 7? G V2 je reprezentován orientovanou úsečkou PQ, kde p = p\puP2Í, Q = Q[qi,q2Í- Označme a\ = qi -Pu a2 = Q2 -P2- Potom definujme T(~čt) = a, kde a = (ai,a2). Toto zobrazení nezávisí na volbě orientované úsečky, kterou je volný vektor reprezentován. Zobrazením T se ke dvěma různým volným vektorům z U2 přiřadí dva různé vektory z prostoru V2. Každý vektor z V2 je přiřazen k právě jednomu volnému vektoru z U2. Zobrazení T je prosté zobrazení vektorového prostoru U2 na vektorový prostor Y2. K zobrazení T existuje tedy inverzní zobrazení T-1. Tímto zobrazením T-1 se k vektoru a = (01,02) £ V2 přiřadí vektor ~čt G U2, píšeme T~la = ~čt, přičemž vektor ~čt je reprezentován např. orientovanou úsečkou kde A = A[a1,a2], O = O[0,0]. Dokážeme, že takto zavedené zobrazení T prostoru U2 do prostoru V2 zachovává operace „+" a „•". Dokažme napřed, že zobrazení T zachovává sečítání Nechť tedy ~äf, ~y" G U2. Nechť volný vektor ~äf je reprezentován orientovanou úsečkou a volný vektor lf je reprezentován orientovanou úsečkou kde O = [0,0], X = [xi,x2], Y = [yi,y2]. Potom volný vektor ~äf + V je reprezentován orientovanou úsečkou , kde Z = [xi + yi, x2 + 1/2] • Viz obr. 5. Je tedy T(~xr) = x, kde x = (x\, X2) G V2, /P('t) = y, kde y = (2/1,2/2) G V2, T(~^ + !/") = (aľi +yi,x2 + y2). 36 Poněvadž platí Obrázek 5: Zobrazení zachovává sečítání x + y = (xi +2/1,^2 + 2/2); T(^ + l/>) = x + y, takže skutečně zobrazení T zachovává sečítání. Dokažme nyní, že zobrazení T zachovává násobení Nechť ~x> G U2 a nechť a je libovolné reálné číslo. Nechť volný vektor ~äf je reprezentován orientovanou úsečkou Ö?, kde 0= [0,0], X = [x\, X2} a nechť volný vektor a • !Č je reprezentován orientovanou úsečkou W, kde U = U [a • x\, a • X2] • Viz obr. 6. Je tedy T (a • UČ) = (a • xi,a • X2). Poněvadž je (a • xi,a • X2) = cx • (#1, X2) = a • x} TicfčČ) = a • x. 37 ax2 Obrázek 6: Zobrazení zachovává násobení Tedy skutečně zobrazeni T zachovává násobení Vzhledem k vlastnostem zobrazeni T není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi vektorovým prostorem V2 a vektorovým prostorem U2. Vektor a = (01,02) si můžeme představit jako množinu všech takových orientovaných úseček PQ) P = [pi, p2\,Q = [3 = «3-Není proto nutno striktně rozlišovat mezi prostorem U3 a V3. 39 Vektor a = (01,02,03) si můžete tedy představit jako množinu všech takových orientovaných úseček PQ, kde P = \pi,P2,P3], Q = [Qí,Q2,Q3\ v kartézském souřadném systému v prostoru, že qí-pí=aí A q2~P2 = CL2 A q3 - p3 = a3, S pojmem vektorového prostoru úzce souvisí pojem vektorového pod-prostoru. Uveďme si jeho definici. Definice 3.3 (Vektorový podprostor) Nechtě je vektorový prostor definovaný na množině P společně s operacemi sečítání „+ " dvou prvků z P a násobeni „■" prvků z P reálnými čísly. Nechť M C P a nechť množina M společně s těmito operacemi „+, •" tvoři vektorový prostor M. Potom vektorový prostor M nazýváme vektorovým podpro-storem vektorového prostoru P. Příklad 3.1 Nechť M je taková množina vektorů x = (^1,^2,^3,^4); z ¥4, že X2 = X4. Nechť a = (a\, c, a3lc), b = (61, d, b3,d), kde c, d G E jsou pevně zvolená čísla. Potom a ab patři do M. Nechť a G M. Potom x = a+b = («1+&1, c+d, 03+63, c+d), y = a-a = (a-a\,a-c,a-a3, a-c). Zde operace „+ " , „•" jsou operace sečítání a násobení v prostoru V4. Je zřejmé, že x, y patří do množiny M. Proto množina M s těmito operacemi „+" , „•" tvoří vektorový prostor M7 který je vektorovým podprostorem prostoru V4. Poznámka. Naše úvahy o volných vektorech byly založeny na víceméně intuitivně chápaném pojmu orientované úsečky. Cílem pojednání nebyl ovšem prostor volných vektorů. Cílem bylo pouze ukázat souvislosti mezi pojmem volného vektoru, se kterým jste se seznámili na gymnáziu a pojmem vektoru z vektorového prostoru Vn pro n = 2, resp. n = 3. 40 4 Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod Rovnici a\X\ + ... ajXj + ... + anxn = 6, kde hledaná čísla, a\,... ,clj, ... ,an jsou konstan- ty, říkáme jim koeficienty, b je číslo, nazýváme lineární rovnicí. Je-li těchto rovnic více, většinou je očíslujeme. Takže i—tou rovnici zapíšeme takto ^n,l**-'l "T • • • ďijffij ~r • • • ~r a^nXn Oj. Tedy a^j je koeficient u neznámé x j v i—té rovnici. Je tedy «2,1^1 + «2,2^2 + amAXi + am,2^2 + + O'l^n'X'a = h + Ö,2,n^n = h + O'rn/a'Xn ~ "m (45) systém (místo systém můžeme použvat termín soustava) m lineárních rovnic o n neznámych Označme A následující matici utvořenou z koeficientů v jednotlivých rovnicích (46) / 01,1 «1,2 dí,n \ «2,1 «2,2 Ö2,n \ U"m,l flm,2 U"m,n / Nazýváme ji maticí soustavy systému (45), vektor ( Xi \ x2 X \ %n / 41 nazýváme vektorem neznámých a vektor ( h \ \bm ) nazýváme vektorem pravých stran. Lehce nahlédneme, že systém lineárních algebraických rovnic (45) lze zapsat užitím tohoto označení jako A x = b. (47) Skutečně, matice A je typu (m,n), x je typu (n, 1), takže A • x je matice typu (m,l). Rovnice (47) znamená, že každá složka vektoru A- x je rovna odpovídající složce vektoru b. Porovnáním i-tých složek těchto vektorů dostáváme i-tou rovnici systému (45)- Matice, která vznikne z matice A přidáním vektoru b jako dalšího sloupce, se nazývá rozšířenou matici systému rovnic (45)- Značíme ji (AIb). Je tedy >A\b) í ai,i «2,1 «1,2 «2,2 \ Q-m,l Q-m,2 Ö2,n U>m..n I 6i \ I b2 I bm ) Příklad 4-1 Uvažujme systém lineárních algebraických rovnic x\ + 3aľ2 — 3aľ3 4:X\ + 5aľ2 + 2aľ3 ■12, -6. (48) Označíme-li A matici soustavy tohoto systému rovnic, b vektor pravých stran a x vektor neznámých tohoto systému rovnic, je x 42 Matice rozšířená je rovna í 1 3 -3 I -12 (A\b) = v ' \ 4 5 2 1-6 Daný systém rovnic lze tedy zapsat jako A x = b. Zaveďme si nyní pojem řešení systému lineárních rovnic. Definice 4.I Vektor0x nazveme řešením systému lineárních rovnic A x = 6, jestliže A-°x = b. (To jest, jestliže vektor°x vyhovuje rovnici A-x = b). Vraťme se k příkladu J^.l. Označme 3\ / 0\ /3 lx = I -4 I , 2x = I -2 I , 3x = I O Zřejmě A -\c = b, A 2x = b} A ■ :ix = í J ^ b. Jsou tedy vektory hc, ^x řešením uvažovaného systému (48), avšak :ix není jeho řešením. Lehce se přesvědčíme, že vektor 6-3-c x= I -6 + 2- c c je řešením uvažovaného systému rovnic (48) pro každé reálné c. 43 Příklad 4-2 Uvažujme systém lineárnich rovnic xi - 2x2 = 3, (49) 2xľ - 4:X2 = 5. (50) Tento systém rovnic nemá řešeni. Skutečně, předpokládejme, že a,ß jsou taková čisla, že X\ = a, x2 = ß vyhovovuji prvni rovnici, tedy, že platí a-2-ß = 3. Potom by bylo 2 • a - 4 • ß = 6 a ne 2 • a — 4 • /3 = 5; takže x\ = a, x2 = ß nevyhovuje druhé rovnici. Poznámka. Později budeme řešit obecně otázku, kdy systém lineárních rovnic má jedno řešení, kdy má nekonečně mnoho řešení a kdy nemá vůbec žádné řešení. Pro usnadnění práce můžeme každé rovnici ahixi + ... + ah„xn = b%, i = l,...,n. (51) přiřadit vektor Zřejmě součtu i—té a j—té rovnice tohoto systému odpovídá pak vektor (aiti + aj;h ...,ah„ + bh„\{b% + b3). a násobku i—té rovnice číslem a odpovídá vektor {aahi,...,aah„\ab%. To nám umožňuje nahradit řadu operací s lineárními rovnicemi odpovídajícími operacemi s vektory. K řešení nahoře uvedeného problému použijeme dále zaváděné pojmy: lineární kombinace vektorů (lineární kombinace rovnic), lineární nezávislost a lineární závislost vektorů (rovnic). S pojmy lineární kombinace vektorů a lineární závislost vektorů se setkáme i v jiných úlohách. 44 Definice 4-2 (Lineární kombinace vektorů) Nechť n e N, n > jsou vektory z vektorového prostoru P a c\,..., cn jsou reálná čísla. Potom vektor X = C\ x + ... + cn nx nazveme lineární kombinací vektorů \c,... ,'"x. Říkáme též, že vektor x je lineárne závislý na vektorech \c}..., "x. Říkáme též, že vektory x, jsou lineárne závislé. Příklad 4.3 Nechť \c= (2,3,-1), 2x = (5,2,6), 3a? = (9,8,4) jsou vektory z prostoru V3. Poněvadž 2-lx + 2x = 2-(2,3,-l) + (5,2,6) = (4, 6,-2) + (5, 2, 6) = (9,8,4) = 3a?, je vektor :ix lineární kombinací vektoru \ľ^x a je tedy na nich lineárně závislý. Lineární závislost a lineární nezávislost vektorů. Nechť he,... }"x,n > 1 je skupina vektorů z vektorového prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže ani jeden z nich není lineární kombinací ostatních. Jestliže tyto vektory nejsou lineárně nezávislé, řekneme, že jsou lineárně závislé. Jestliže skupina vektorů obsahuje jediný vektor, potom řekneme že nenulový vektor je lineárně nezávislý a nulový vektor je lineárně závislý. Lineární nezávislost skupiny pro případ, že skupina obsahuje libovolný počet vektorů, lze tedy zavést takto. Definice 4-3 (Lineární nezávislost skupiny vektorů.) Nechťhc,... je skupina vektorů z vektorového prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže c\ lx + ... + cn nx = 0 ^=> C\ = c2 = ... = cn = 0. (52) Jestliže vektory \c,... ,'"x nejsou lineárně nezávislé, jsou lineárně závislé. 45 Lineární závislost vektorů lze vyjádřit též takto. Poznámka. Vektory he,..., "x z vektorovém prostoru P jsou lineárně závislé, jestliže existuji taková čísla ci, c2,..., cn, z nichž alespoň jedno je různé od 0, že c\ hc + ... + cn "x = 0. Příklad 4-4 Ukažme, že vektory \c = (1,4,-4), ^c = (1,2,0), '^x = (1, 5, —2) z prostoru V3 jsou lineárně nezávislé. Skutečně, ze vztahu c\ • lx + c2 • 2x + c3 • 3x = O dostáváme d ■ (1,4, -4) + c2 • (1,2,0) +C3 • (1,5,-2) = (0,0,0), to jest (ci + c2 + c3} 4ci + 2c2 + 5c3, -4ci + 0c2 - 2c3) = (0, 0,0). Aby rovnost mezi těmito vektory platila, musí koeficienty Ci,c2,ca ^y-hovovat systému lineárních rovnic ci + c2 + c3 = 0, (53) 4Cl + 2c2 + 5c3 = 0, (54) -4Cl + 0c2-2c3 = 0. (55) Jak se lehce přesvědčíme, má systém rovnic (53)—(55) jediné řešení c\ = c2 = c3 = 0. Jsou tedy dané vektory lineárně nezávislé. Poznámka a) Vektor O je lineárně závislý, neboť aO = O pro každé aei b) Vektory \c,... ,"x, n > 1, jsou lineárně závislé, když a jenom když alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních z nich. (Dokažte!) 46 Příklad 4-5 Vektory (1,2,3), (-1,2,0), (1,6,6) jsou lineárně závislé. Lehce nahlédneme, že 2-(l,2,3) + (-l,2,0) = (l,6,6). Vektor (1, 6, 6) jsme vyjádřili jako lineární kombinaci zbývajících dvou vektorů. Zaveďme si nyní pojem hodnosti skupiny n vektorů následující definicí. Hodnost skupiny vektorů má zásadní význam při vyšetřování řešitelnosti systému lineárních rovnic. Definice 4-4 (Hodnost skupiny vektorů)NechťX = (\ľ) ... )'nx)) je skupina n vektorů z prostoru P. Maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve skupině X nazveme hodností skupiny vektorů X. Budeme ji značit h(X). Poznámka. Necht A je matice typu (m}n). Na matici A se můžeme dívat jako na uspořádanou m-tici řádkových vektorů z vektorového prostoru Vn, resp. jako na uspořádanou n-tici sloupcových vektorů z vektorového prostoru Vm. Aplikováním definice hodnosti na řádky matice dostáváme řádkovou hodnost matice a aplikováním definice hodnosti na sloupce matice dostáváme sloupcovou hodnost matice. Později ukážeme, že pro každou matici je sloupcová hodnost rovna její řádkové hodnosti. Pokud to nedokážeme a výslovně neřekneme o jakou hodnost se jedná, budeme mít na mysli řádkovou hodnost. Příklad 4-6 Určete řádkovou hodnost matice / 1 2 3 4 \ A= 5 6 7 8 . \ 6 8 10 12 / 47 Označme he, he, :ix postupně první, druhý a třetí řádek matice A. Tedy ^ = ( 1 2 3 4 ) , (56) 2x = ( 5 6 7 8 ) , (57) 3x = ( 6 8 10 12 ) . (58) Zřejmě vektor :ix je lineárně závislý na vektorech hc,hc, neboť 3x = lx + 2x a vektory hc, hc jsou lineárně nezávislé. Skutečně, kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, byl by jeden z nich násobkem druhého. To znamená, existovalo by takové číslo a, žeby2x = ahc to jest, platilo by (5 6 7 8 ) =a( 1 2 3 4). Takové číslo a však evidentně neexistuje. Vektory hc, hc jsou tedy lineárně nezávislé. Tedy mezi vektory \c, hc, :ix jsou právě dva lineárně nezávislé vektory. Řádková hodnost matice A je tedy rovna 2. Úkol. Dokažte si, že horní schodovitá matice má řádkovou hodnost rovnu počtu jejich nenulových řádků. 4.1 Elementární transformace matic Zavedeme si nyní několik elementárních transformací, jimiž se uspořádaná skupina vektorů, označme ji X, z daného vektorového prostoru P, převede na jinou uspořádanou skupinu vektorů z téhož vektorového prostoru. Příkladem uspořádané skupiny vektorů jsou například řádky matice, které jsou tvořeny vektory z aritmetického vektorového prostoru. Později si ukážeme jak využít tyto transformace např. při řešení těchto úloh: ■ Určit hodnost matice. ■ Vypočítat hodnotu determinantu matice. ■ Řešit systémy lineárních algebraických rovnic. 48 Napřed definujme základní elementární transformace 7Y1, TÍ2 a z nich vytvoříme tak zvané odvozené elementární transformace. Definice 4.5 (Základní elementární transformace) NechťF je vektorový prostor. Nechť X = (hc,..., vx) je uspořádaná skupina n vektorů zF. Definujme transformace (zobrazeni) Til(i,a), Ti2(i,j) takto: Transformace Til (i: a). Transformací Y = ni{i,a)X. (59) se k uspořádané skupině vektorů X = (\c,..., "x) z P přiřadí uspořádaná skupina vektorů Y = (hj,..., ny) z P takto: y := x pro k ^ i a ly := a • %x. (60) (To znamená, že vektor tc násobíme číslem a a ostatní vektory ponecháme bez změny.) Transformace Ti2(i,j). Transformací Y = H2(i}J)X (61) se k uspořádané skupině vektorů X = (\c,..., vx) z P přiřadí uspořádaná skupina vektorů Y = (hj,..., ny) z P takto: ky := kx pro k ^ j a jy := 4c + Jí/ (62) (To znamená, že k j—tému vektoru % se přičte i—tý vektor tc a ostatní vektory se ponechají bez změny.) Příklad 4.7 Uvažme, že na matici typu m, n) se můžeme dívat jako na uspořádanou skupin m vektorů z prostoru Vn7 Nechť A je matice typu (3,4) í 1 2 3 4\ A = 5 6 7 8 . (63) \ 9 10 11 12 / 49 Utvořme matici B typu (3,4) tak, že její druhý řádek je roven druhému řádku matice A násobenému číslem (—3) a ostatní řádky matice B jsou rovny odpovídajícím řádkům matice A. Takto vzniklá matice je matice B 1 2 3 -15 -18 -21 9 10 11 Matice B vznikla z matice A transformací Til (2, —3). Píšeme B = m(2, -3)A,resp.AHl(2, -3) B. Odvozené elementární transformace Nechť P je vektorový prostor. Definujme následující transformace (zobrazení) 7ť3(i,j),?ť4(i,a, j),?ť5(i,a, j,^),a ^ 0,/^ 0. skupin vektorů X z P na skupiny vektorů z P. Transformace H3(i, j). Transformací y = 7ť3(i,j)X, t^j, (64) se k uspořádané skupině vektorů X = (\c,..., rtc) z P přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (^..., ny) z P, že y := jíc, ^ := %x, ky := *& pro k ^ i, j (65) To znamená, že skupina vektorů y vznikne ze skupiny vektorů X výměnou i—tého a j—tého vektoru. Místo (64) lza psát Příklad. Nechť / 1 2 3 \ X'- 2 14 1° 3 iy X mtšT) Y. potom y:=?í3(l,2)X / 0 3 1 \ 1 2 3 2 1 4 V1 2 3/ 50 Transformace K4(i5 a, j), i ^ j, a^O. Transformací Y = ?í4(i,a,j)X, (66) se k uspořádané skupině vektorů X = (he,..., "x) z P přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (kj,..., "y) z P, že ^/ := a %x + jíc, a ky = kx, k ^ j. To znamená, že skupina vektorů Y" vznikne ze skupiny vektorů X tak, že k j—tému vektoru se připočte a—násobek i—tého vektoru a ostatní vektory se ponechají bez změny. Místo (66) lze psát X H4(i,a,j) Y. X :- Příklad. Nechť / 1 2 3 \ 0 3 1 2 1 4 V° 3 i/ potom Y :=?Í4(2,-3,3)X / 1 2 3 \ 0 3 1 2 -8 1 V° 3 i/ Transformace H5(i,a,j, ß), i ^ j, a^O, /? ^ 0. Transformací r = ?ť5(i,a,j,i9)X, Mj, /3^0 (67) se k uspořádané skupině vektorů X = (\c,..., ítc) z P přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (^,..., "y) z P, že Jí/ := a b? + /3J£C, a ky = kx, k ^ j. To znamená, že skupina vektorů Y vznikne ze skupiny vektorů X tak, že k ß—násobku j—tého vektoru se připočte a— násobek i—tého vektoru a ostatní vektory se ponechají bez změny. Místo (67) lze psát X H5(i,a,j, ß) I . 51 Příklad. Nechť X :: / 1 2 3 \ O 3 1 2 1 4 V° 3 i/ potom Y :=?Í5(2,3,4,-1)X / 0 3 1 \ 1 2 3 2 1 4 y o 6 2 y Věta. 4.1 Transformace H3(i,j), 7ť4(i,a,j); /3 ^ 0 7í5(i,a}j,ß), ß =£ 0 jsou elementárni, to znamená, že jsou vytvořeny postupným, aplikováním elementárních transformací Til (i, a), H2(i,j). Omezíme se pouze na důkaz, že transformace 7i3(i,j) je elementární. V popisu budeme sledovat jenom vektory na i té a na j-té pozici v uspořádané skupině vektorů. Schematicky lze tento postup znázornit takto / : \ JX X \ ■ ) \ ■ ) \ ■ ) \ ■ ) Je tedy skutečné transformace HS(i,j)X elementární. Hodnost skupiny vektorů. Zabývejme nyní se otázkou porovnání hodnosti skupiny vektorů X z P a hodnosti skupiny vektorů Y z 52 P, která vznikla ze skupiny vektorů X elementárními transformacemi. Ukážeme, že tyto hodnosti jsou stejné. Věta. 4.2 Nechť f je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P x = (V..,^). Označme Y uspořádanou skupinu m vektorů z P7 definovanou vztahem Y = Hl{i,a)X, kde a G M, a ^ 0, 1 < í < m . Potom uspořádané skupiny vektorů X, Y mají stejnou hodnost. Důkaz. Označme h = h(X) hodnost uspořádané skupiny vektorů X. Dokažme napřed, že h{Y) > h. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že ve skupině X jsou vektory (V..» (68) lineárně nezávislé a ostatní vektory ( +lx)..., ™x) jsou jejich lineárními kombinacemi. Předpokládejme, že \ h. Dospěli jsme k závěru, že pro 1 < i < h je h(X) < h(Hl{i,a)X) = h(Y). (72) Předpokládejme nyní, že h < i < m. Transformací Y = Hl(i,a)X se vektory (68) nemění, takže h(Y) > h{X). Dospěli tedy k dílčímu výsledku, že h{X) < h{Y) = h(Hl(i, a)X, pro všechna i,a^0. (73) Poněvadž X = Hl(i>l/a)Y, je podle (73) h{Y) < h(Hl(i, l/a)Y = h{X). (74) Ze vztahů (73),(74) dostáváme, že h(X) = h(Y). Věta. 4.3 Nechť f je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P X = (lx,...™x). Označme Z uspořádanou skupinu vektorů z P definovanou vztahem Z = H2(i,j)X, kde i, j G {l,...,m}, i ^ j. Potom X, Z mají stejnou hodnost. 54 Důkaz. Označme h hodnost X, tedy h = h(X). Poněvadž hodnost X není závislá na pořadí vektorů, bez újmy na obecnosti budeme předpokládat, že ve skupině X je prvních h vektorů lineárně nezávislých a zbývající vektory jsou jejich lineárními kombinacemi. Předpokládáme tedy, že vektory lx,...,hx (75) jsou lineárně nezávislé a vektory h+1x,...™x (76) jsou jejich lineárními kombinacemi. Napřed dokážeme, že platí nerovnost h(X) < h(Z). (77) Poněvadž h(X) = h, nerovnost (77) bude dokázána, nalezneme-li v Z h lineárně nezávislých vektorů. Budeme je hledat v následujících případech pro různá umístění vektorů %xjx v uspořádané skupině X. 1° Předpokládejme, že i..... tJL>..... tJL>..... tJL>..... tJL> j. I i y J Transformací TĹ2(i,j)X se vektory (79) transformují na vektory Z =(1x,...^x,...,Cx + Jx),...,hx,...,mx). (80) Dokažme, že prvních h vektorů v Z je lineárně nezávislých. Položme ci • lx + ... + ... + a ■ lx + ... + Cj- Cx +Jx) + ... + ch ■ hx = 0. (81) Úpravou dostáváme cx ■ lx + ... + (cj + q) • lx + ... + Cj- Jx + ... + ch ■ hx = 0. (82) 55 Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů (75) dostáváme odtud systém rovnic Cj + Ci = 0, Ck = 0 pro A; = l,...h, k ^ i. (83) Odtud plyne zejména Cj = 0. Poněvadž q + Cj = 0 je i q = 0. Je tedy ci = 0,..., Qj = 0, takže prvních £ vektorů v (80) je lineárně nezávislých. 2° Předpokládejme, že 1 < j < h < i. V tomto případě je X — (lr Jv hT V m^r\ ------- I %JU ..... tJL> ..... tJL> ..... tJL> ..... tJL> j . Tyto vektory se transformují transformací TC2(i,j)X na systém vektorů Z =(V--,(^ + ^),---,V-->,---,m«)- (84) Položme ci • lx + ... + Cj • (Jx + %x) + ... + ch ■ hx = 0. (85) Vektor %x je dle předpokladu lineární kombinací vektorů hß,... ,hx, takže existují taková čísla ß\,... ßh, že lx = ßx -lx + ... + ß3 ■ Jx + ... + ßh -hx. (86) Dosaďme za %x do (85). Dostáváme cvlx + .. .+Cj-{jx+ßvlx + .. .+ßj-Jx + .. .+ßh-hx) +.. .+ch-hx = 0. Po úpravě dostáváme (ci + cJ-ßi)-1x + .. .+Cj-(l+ßj)-Jx + .. . + (ch+Cj-ßh)-hx = 0. (87) Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů hc,..., hx je d + cJßl = 0, ..., cj ■ (1 + ßj) = 0,..., (ch + Cj ■ ßh) = 0. (88) 56 Mohou nastat dva případy: a) ßj ^ — 1, b) ßj = — 1. a) to jest ßj ^ — 1. Ze vztahu Cj • (1 + ßj) = 0 vyplývá, že Cj=0. Z (88) tedy dostáváme Ck = 0 pro k = 1,.. .h. Jsou tedy vektory (85) lineárně nezávislé, takže /i(X) < h(Y). b) Nechť /3j = —1. V tomto případě ze vztahu Cj • (1 + ßj) = 0 vyplývá, že Cj může být libovolné číslo. Vektory (85) jsou tedy v tomto případě lineárně závislé. Ukážeme, že v tomto případě jsou však vektory vL>..... tJL>. vL>......... tJL>. vL>. I Oř/J lineárně nezávislé. Položme ci-\c + ... + Cj-i ■ 3~lx + Cj+i ■ J+1x + ... + ch-hx + crlx = 0. (90) Dosadíme-li sem za %x vztah (86) pro ßj = —1, dostáváme po úpravě (ci + q ■ ßi) ■ lx + ... + (cj-i + c» • ßj_i) ■ J-lx + + (Cj+i +ct- ßJ+i) -J+Íx + ... ... + (c/, + Q • ßh) ■ hx + ... - a ■ Jx = 0. (91) Poněvadž vektory (75) jsou lineárně nezávislé, dostáváme z (91) tento systém rovnic: d = 0, ck + a • ßk = 0 (92) pro £ = 1, 2,..., j — 1, j + 1,..., h. Odtud dostáváme, že Ci, C2, . . . , Cj_i, Cj+i, . . . , Ch-, ci jsou rovny nule. Jsou tedy vektory (89) skutečně lineárně nezávislé. 3° Nechť j > h. V tomto případě se vektory (75) transformací Z = H2(i,j)X nezměnily, jsou tedy lineárně nezávislými. Je tedy i v tomto případě h(Z) > h(X). Zatím jsme dospěli k tomuto výsledku. Nechť X je uspořádaná skupina m vektorů. Potom uspořádaná skupina m vektorů Y Y = Hl{i,a)X, l h(X). Je-li tedy U uspořádaná skupina vektorů, vytvořena postupným aplikováním těchto dvou tranformací (elementárních transformací), má hodnost h(U) pro níž platí h(X) < h{U). (93) Tohoto poznatku využijeme k důkazu, že h(Z) > h(U). Nechť tedy Z = H2(i, j)X. Položme A = Hl{i, -1)Z, B = H2{i} j)A, U = Hl (i, -1)B. Potom U = X. Tedy X jsme získali z Z elementární transformací, takže podle toho co jsme uvedli, je h{X) > h{Z), (94) Odtud a ze vztahu h(X) přičteme jej k j-tému řádku vynásobeného číslem x\^- • Položme j := i + 1 (tedy pro j = 2) dostáváme X:=H5{l,-a2i2,2,ai,2)X. Po této transformaci je druhý řádek matice X roven X(2,:) = -2 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 - 5) a ostatní řádky matice X se nemění. • Položme j := j + 1. Je tedy j = 3. Poněvadž XjiH = 07 (to jest ^3,2 = Q), eliminaci není třeba provádět a přejdeme k dalšímu řádku. • Položme j := j + 1. Je tedy j = 4. Poněvadž Xj:S. = 1^0, (to jest x^2 7^ Oj provedeme elementární transformaci X:=7ť5(l,-o4>2,4,oi>2)X. Po této transformaci je čtvrtý řádek matice X roven X(4,:) = -1 • (0 1 3 2 3) + 1 • (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). Ostatní řádky matice X se nemění. / 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 \ 0 0 0 0 62 X 3\ -5 2 B6-1 Poněvadž obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, položíme i + 1 a přejdeme na bod Bl. Bl-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhý řádek horní schodovité matice. B2-2 K číslu i (to jest k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo Si (to jest S2) sloupce, v jehož řádcích i,... ,m (to jest v jehož řádcích 2,3,4,) je nenulový prvek. Je to čtvrtý sloupec. Položíme tedy si := 4 (s2 = 4). B3-2 Zvolíme hlavní řádek. V s i-tém sloupci (to jest ve 4- sloupci) je v řádcích 2,3,4 nenulový prvek jen v řádku 3. Jeho pořadové číslo označíme p. Tento řádek zvolíme za hlavní řádek. Je tedy p := 3. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek řádek p, kde p ^ i, provedeme v matici X výměnu řádku p s řádkem i. (Tedy výměnu druhého a třetího řádku.) Dostáváme tak matici X /o 1 3 2 3\ 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 iy 0 0 0 0 l) B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v Si-tém sloupci (to jest ve čtvrtém sloupci) v řádcích i + 1,..., m (to jest v řádcích 3, 4) nulové prvky. (Prvky ^3,4,^4,4 eliminujeme.) Avšak v tomto případě jsou prvky £3,4,^4,4 rovny 0, takže eliminaci není třeba provádět . Je tedy výsledná matice v tomto kroku X /O 1 3 2 3\ 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 1° 0 0 0 l) 63 B6-2 Obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, proto položíme i + 1 a přejdeme na bod Bl. B1-3 Je tedy i = 3. To znamená, že budeme vytvářet třetí řádek hledané schodovité matice. B2-3 K číslu i (to jest k číslu i = ?>) určíme nejmenší pořadové číslo Si (to jest ss), v jehož řádcích i,..., m (to jest v jehož řádcích 3, 4) je nenulový prvek. Je to pátý sloupec. Položme tedy Si := 5 (ss = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V Si-tém sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou nenulové prvky v řádcích 3, 4- Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 47 který zvolíme jako hlavní. B4-3 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p ^ i, provádíme výměnu řádku p s řádkem i. Po této výměně je X /O 1 3 2 3\ 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1° 0 0 0 "5J B5-3 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v Si-tém sloupci (to jest v pátém sloupci) v řádcích i + 1,..., m (to jest v řádku 4) nulové prvky. (Prvek x^ eliminujeme.) Toho lze dosáhnout např. elementární transformací X := H5{3, -z4,5,4> x3č)X. Výpočtem dostáváme X(4,:) = 5 • (O O O O 1) + 1 • (O O O O - 5) = (O O O O 0). 64 Je tedy / O 1 3 2 3 \ 0 0 0 12 X = 0 0 0 0 1 \0 O O O 0/ B6-3 Poněvadž obdržená matice je již horní schodovitou maticí, je transformace dané matice na horní schodovitou matici již ukončen. Poněvadž obdržená schodovitá matice má celkem tři nenulové řádky, je její hodnost a tedy i hodnost zadané matice rovna 3. Tedy h(X) = 3. Příklad 4.9 Určete hodnost skupiny vektorů a '10 -12N a (0 1 2 a (0 13 -6). Řešení. Úloha je ekvivalentní s úlohou nalezení řádkové hodnosti matice 10-1 2 2 3 Tuto hodnost hledejme transformací matice A elementárními ransfor-macemi na horní schodovitou matici postupem popsaným na str. 60. Položme Bl-1 Budeme vytvářet i-tý řádek (1. řádek) schodovité matice. B2-1 K číslu i = 1 určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice A, v jehož řádcích 1, 2, 3 je alespoň jeden prvek různý od 0. Je to v prvním sloupci. Pokládáme tedy s\ := 1. B3-1 Hledáme nyní řádek matice A, v jehož sloupci s pořadovým číslem s\ = 1 je nenulový prvek. To jest, hledáme p G {1,2,3}; pro něž je aP:Sl ^ 0. Je to pro p = 1. Položme tedy p := 1. Řádek p = 1 volíme za hlavní. B4-1 Poněvadž p = i, neprovádíme výměnu p-tého a i-tého řádku. První řádek je hlavním. 65 B5-1 Poněvadž všechny prvky v prvním sloupci počínaje druhým řádkem, jsou nulové (tj. prvky a^\ = O pro j = 2, ?>), přejdeme k B6-1. B6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto položíme i + 1 a jdeme zpět k bodu Bl. B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet 2. řádek schodovité matice. B2-2 K číslu i (tj. k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce Si (to jest S2), v jehož řádcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy S2 := 2. B3-2 Zvolíme hlavní řádek. Ve sloupci s pořadovým číslem S2 (tj. ve druhém sloupci) hledáme index j, j > i, tak, aby clj>S2 ^ 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Položíme p := 2. Bude tedy p-tý řádek hlavním řádkem. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, neprovádíme vzájemnou výměnu p-tého a i-tého řádku. Je tedy i-tý řádek hlavním řádkem. B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace, aby po jejich realizaci byly v s i-tém sloupci (ve druhém sloupci) v řádcích i + 1,..., m (to jest v řádku 3) nulové prvky. Toho dosáhneme např. elementární transformací A:=^5(2,-a3,2,3,a2,2)A. Výpočtem dostáváme A(3,:) = -1(0 12 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (O O 1 - 5). Celkem dostáváme 10-1 2 A= I O 1 2-1 0 0 1-5 B6-2 Dosažená matice A je horní schodovitá matice. Poněvadž má tři nenulové řádky, je její hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3. Dané vektory xa^a^ 3a jsou lineárně nezávislé. 66 Příklad 4.10 Určete hodnost matice / 0 0 1 2 3 \ 0 2 2 4 3 X 0 2 4 8 9 y 0 0 2 4 6 ) Řešení. V tomto příkladě naznačíme pouze výsledky jednotlivých úprav bez komentáře. X ( 0 2 2 4 3 \ 0 0 12 3 0 2 4 8 9 \ 0 0 2 4 6 ) Má tedy matice X hodnost 2 / 0 2 2 4 3 \ 0 0 12 3 0 0 2 4 6 \0 0 2 4 6/ 0 2 2 4 3 0 0 12 3 5 Báze vektorového prostoru Zaveďme si nyní pojem báze. V některých vektorových prostorech existují vektory, které mají tu vlastnost, že každý vektor tohoto prostoru lze vyjádřit jako jejich vhodnou lineární kombinaci. To nás vede k této definici. Definice 5.1 (Báze vektorového prostoru) Nechť P je vektorový prostor. :e,... ,ne jsou vektory z f s těmito vlastnostmi: 1. jsou lineárně nezávislé 2. každý vektor prostoru P se dá vyjádřit jako jejich lineární kombinace, to jest, ke každému vektoru a G P existují taková čísla C\; i c-n, ze a c\ le + ... + cn ne. Potom říkáme, že vektory :e,... ,ne z P tvoří jeho bázi. 67 Příklad 5.1 Dokažte že vektory íe = (1,0,0), 2e= (0,1,0), 3e = (0,0,1) tvoři bázi vektorového prostoru V3. Důkaz. Dokažme především, že vektory :e, 2e, 3e jsou lineárně nezávislé. Abychom to dokázali, hledejme koeficienty c\, c2, es, pro něž je c\ le + c2 2e + c3 3e = O, to jest, pro něž je a • (1, o, 0) + c2 • (o, 1,0) + es • (o, o, 1) = (o, o, 0). To zřejmě platí když a jenom když c\ = c2 = C3 = 0. Jsou tedy vektory le = (1,0,0), 2e = (0,1, 0), 3e = (0,0,1) skutečně lineárně nezávislé. N echt nyní a = (ai, a2,03) je libovolný vektor zWs a hledejme koeficienty ci,c2,C37 pro něž je c\ le + c2 2e + C3 3e = a, to jest, pro něž platí Ci-(l,0,0)+Cž-(0,l,0)+C3-(0,0,l) = (oi,O2,O3). Odtud dostáváme c\ = ai, c2 = a2, C3 = 03. Vektory 1e = (l,0,0),2e=(0,l,0),3e = (0,0,l) TOajř vlastnosti uvedené v definici 5.1, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. 68 Příklad 5.2 Dokažte, že vektory lf = (1,1,0), 2/ = (0,1,0), 3/= (i,i,i) tvoří bázi vektorového prostoru V3. Budeme postupovat podobně jako v minulém příkladě. Napřed dokážeme, že vektory '/,2/,3/ jsou lineárně nezávislé. Hledejme koeficienty ci,c2,C37 pro něž je Cl1/ + C22/ + C33/ = 0, to jest, pro něž je a ■ (1,1,0) + c2 • (o, 1,0) + ca • (1,1,1) = (o, o, 0). To zřejmě platí když a jenom když d + 0-c2 + c3 = O, (95) C1 + C2 + C3 = O, (96) 0-Cl + 0-c2 + C3 = 0. (97) Tento systém rovnic má právě jedno řešeni a to c\ = c2 = C3 = 0. Jsou tedy vektory lf = (1,1,0), 2/ = (0,1,0), 3/ = (1,1,1) lineárně nezávislé. Abychom dokázali, že tyto vektory tvoři bázi vektorového prostoru ¥3, musime ještě dokázat, že každý vektor a G V3 se dá vyjádřit jako lineárni kombinace vektorů lf, 2f, 3/. Nechť tedy a G P. Hledejme nyni koeficienty c\, c2, es, pro něž je c\ lf + c2 2/ + C3 3/ = a, to jest, že d ■ (1,1,0) + c2 • (0,1,0) + es • (1,1,1) = (ai,a2,a3). To zřejmě platí když a jenom když c\ + O • c2 + C3 = ai, (98) ci +c2 + C3 = a2, (99) 0-Cl + 0-c2 + C3 = a3. (100) 69 Odtud dostáváme c\ = a\ — 03, ci = (12 — öl, C3 = 03. Vektory lf = (1,1,0),2/ = (0,1, o),3/ = (1,1,1) mtyz vlastnosti uvedené v definici 5.1, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. Všimněme si blíže obou těchto příkladů. V obou příkladech jsme uvažovali tentýž vektorový prostor. Ukázali jsme, že jak vektory :e= (1,0,0), 2e= (0,1,0), 3e = (0,0,1) tvoří bázi vektorového prostoru ¥3, tak i vektory lf = (1,1,0), 2/ = (0,1,0), 3/ = (1,1,1) tvoří bázi vektorového prostoru ¥3. Báze vektorového prostoru ¥3 není tedy určena jednoznačně. V nahoře uvedeném příkladě byl počet vektorů tvořících bázi téhož vektorového prostoru ¥3 v obou případech stejný. Naskytá se otázka, zda se jedná o nahodilost, anebo zda se jedná o nějakou zákonitost. V případě, že počet vektorů tvořících bázi by byl stejný pro každou bázi, potom tento počet by charakterizoval příslušný vektorový prostor. Uveďme si tedy následující větu, která odpovídá na tuto otázku. Věta. 5.1 Necht f je vektorový prostor a :e,... ,ne je jeho báze, tvořena n vektory. Potom platí: Jestliže lf,...,m/ je skupina m vektorů z P7 kde m > n, potom v ní je nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Každá skupina n lineárně nezávislých vektorů z P je jeho báze. Číslo n nyzýváme dimenzí vektorového prostoru P. Píšeme dímf = n. Bez důkazu. Dokažte si platnost tohoto tvrzení Aritmetický vektorový prostor ¥n má dimenzi rovnu n, tj. dirn¥n = n. Jedna z jeho bází je tvořena vektory le = (1,0,..., 0), 2e = (0,1,..., 0),..., ne = (0,0,..., 1). 70 Uveďme si nyní pojem vektorového podprostoru vektorového prostoru P. Definice 5.2 (Vektorový podprostor) NechťF je vektorový prostor. Nechť Q C f a nechť pro každé dva prvky x, y G Q je x + y G Q a pro každé x G Q a každé a G M je a • x G Q. Zde symboly „+" a „■" jsou operace sečnám a násobeni v prostoru P. Potom množina Q společně s uvedenými operacemi „+" a „•" je vektorovým podprostorem vektorového prostoru P7 značíme jej Q. Uveďme si ještě pojem vektorového prostoru generovaného systémem vektorů. Definice 5.3 (Lineární obal množiny) Nechť P je vektorový prostor a nechť MCP. Potom množinu Q všech lineárních kombinací vektorů z M nazýváme lineárním obalem množiny M. Množina Q s operacemi „+" a „•" tvoří vektorový podprostor Q prostoru f. Říkáme, že prostor Q je generován množinou M. Jestliže U je vektorový podprostor prostoru P obsahující M, potom QCU. Příklad 5.3 Nechť Q je množina těch vektorů z ¥5, jejichž první a třetí složka je stejná. Potom množina Q s operacemi „+ " a „■", definovanými v prostoru ¥5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Vektory (1,0,1,0,0), (0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1) (101) tvoří jeho bázi. Skutečně. Nechť a= {s,a2,s,04,05), b= (r,b2,r,&4,&5) a a,r,s jsou libovolná čísla. Potom a + b = (s + r, a2 + b2}s + r, a4 + 64, a5 + 65), 71 takže první a třetí složka tohoto součtu je stejná, takže tento součet patři do množiny Q. Podobně a • a = (a • s, a • 0,2, ct • s, a • CL4, a • a.5), takže první a třetí složka tohoto součinu je stejná, takže součin a • a patři do množiny Q. Tato množina Q s operacemi „+" a „•", definovanými v ¥5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Ukažme ještě, že vektory (101) tvoří jeho bázi. Dokažme napřed, že jsou lineárně nezávislé. Skutečně, hledejme taková c\, C2, C3, C4 pro něž je cr(l,0,l,0,0)+c2-(0,l,0,0,0)+C3-(0,0,0,l,0)+c4-(0,0,0,0,l) = (0,0,0,0,0). Odtud dostáváme (ci,c2,c3,c4) = (0,0,0,0). Tento vztah je splněn zřejmě jenom v případě, že ci = c2 = c3 = c4 = 0. Jsou tedy vektory (101) lineárně nezávislé. Nechť nyní a = (s,<22, s, 04,05) je libovolný vektor z Q. Potom s ■ (1,0,1,0,0) + a2 ■ (0,1,0,0,0) + a4 • (0,0,0,1,0) + a5 • (0,0, 0,0,1) = = (s,a2,s, 04,05) Lze tedy vektor a = (0,02,0,04,05) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů (101). Tím je důkaz proveden. Zároveň lze konstatovat, že vektorový prostor Q je generován vektory (101). Vraťme se k systému rovnic (45) Ax = 6, (102) 72 kde A je matice typu (m, n), b je vektor (m, 1) a neznámý vektor a? je typu (n, 1). Označme / «i,i \ «2,1 v öm,i y a a / «1,2 \ «2,2 \ (ím,2 ) a í a\,n \ (Í2,n í h \ b2 \bm J Potom systém (45) lze zapsat jako Xi í «1,1 \ ( fll,2 \ «2,1 + x2 «2,2 \ dm,í ) \ dm,2 j + ... + x, í ai,n \ «2,n ( h \ b2 \ @"m,n / \bm J tj. x\la + x2a + ... + xnna = b. Příklad 5.4 Systém lineárních rovnic -12 (103) x\ + Zx\ — 3aľ3 Ax\ + hx2 + 2x'i 6 lze zapsat jako sil 4 J+M 5 ]+aM 2 -12 6 Poznámka Pro každou uspořádanou n-tici reálných čísel je levá strana (103), tj. vektor x\la + x2a + ... + xnna 73 vektorem z vektorového prostoru G generovaného sloupcovými vektory matice A, tj. vektory la) 2a,... ,na. Systém rovnic Ax = b má řešení když a jenom když b G G. 6 Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru Na gymnáziu se zavádí pojem skalárního součinu dvou volných vektorů. Toto zavedení se motivovalo potřebami fyziky. Skalární součin jste využívali nejen ve fyzice, ale i v analytické geometrii a to jak v úlohách s přímkami, tak i v úlohách s rovinami. Pojem skalárního součinu dvou volných vektorů a výpočet úhlu dvou nenulových volných vektorů nás bude motivovat k zavedení skalárního součinu a úhlu dvou vektorů v obecných vektorových prostorech. S těmito pojmy se pak můžete setkat při řešení různých aplikačních úloh. Začněme tedy s volnými vektory. Definice 6.1 Uhlem volných vektorů 7?, b rozumíme úhel v e (0,7t), o který je nutno otočit orientovanou úsečku AĚ, reprezentující ~čt, kolem bodu A v rovině určené body (A,B,C) do směru orientované úsečky AČ, reprezentující b , kde A je libovolný bod (viz obr 6). Skalární součin dvou volných vektorů. Nechť "ŕ?, b jsou dva volné nenulové vektory. Potom jejich skalárním součinem rozumíme číslo (skalár), označme je (~čt, b ), definované vztahem (öM?) = laM • \~t\ -cos(^), (104) kde íp je úhel,který svírají vektory 7?, b . Jestliže alespoň jeden z vektorů IC, b je nulový vektor, definujeme (~ö>,~?) = 0. 74 Obrázek 7: Úhel dvou vektorů Podívejme se nyní na pojem skalárního součinu dvou volných vektorů v kartézském souřadném systému ve třírozměrném prostoru. (Analogické úvahy je možno provést ve dvojrozměrném prostoru.) Uvažujme dva nenulové volné vektory ~äľ, b . Nechť volný vektor ~6? je reprezentován orientovanou úsečkou OÄ a volný vektor b je reprezentován orientovanou úsečkou OB, kde O = [0,0,0], A = [0,1,0,2,(13], B = \b\, 62,^3]• Označme tp úhel, který svírají orientované úsečky ÖÄ, <ĎÉ. Na trojúhelník A(OAB) aplikujme kosinovou větu. Dostáváme (viz obr.8) Obrázek 8: Odvození skalárního součinu dvou vektorů \JÉ\2 = \ÖÄ\2+ \ÖE\2-2\Öl\ • lö2lcos(<£) 75 Do tohoto vztahu dosaďme \ÄÉ\ = V(6i-ai)2 + (62-fl2)2 + (&3-fl3)2, \ÖÄ\ = ^aj + al + ai \OÉ\ = y/'b\ + b\ + b\. Úpravou dostaneme \öX\-\ÖE\- cos(p) = aibi + a2b2 + a3fa. (105) Poněvadž \oA\ = \~čt\ a , dostáváme odtud a z (104) (~čt, b ) = a\b\ + Ö2&2 + «3^3 (106) Jsou-li volné vektory 7?, b nenulové, lze užitím vztahů (104), (105) určit cos((/?) vztahem cos(p) = (^ U . (107) löM • I Ď I Užitím (106) pak dostáváme . . a\b\ + a2b2 + Ö3&3 cos(p) = _ . ^. (108) Va2 + a\ + a2 • y^2 + b\ + 62 Uvažujme nyní zobrazení J7 prostoru U3 na prostor V3 (bylo již zavedeno dříve), definované vztahem Tilí) = (ai a2 a3) = a, T{ b ) = (61 b2 fa) = b. Vzhledem k vlastnostem zobrazení T a vzhledem k (106) definujeme skalární součin vektorů a, b v prostoru V3 vztahem (později definici skalárního součinu zobecníme) (a, b) = {{ai,a2, «3), {h,b2, fa)) = aifa + a2b2 + a3fa (109) a úhel (/?, který svírají dva nenulové vektory a, 6, vztahem . . a\b\ + Ö9&2 + ď'ifa cos((^) = _ . ^=. (110) Va2 + a2. + 4 ■ y/tíi + b\ + b\ 76 Uvážíme-li, že \a\ = \Ja\ + a\ + ali '^' = \/^i + ^2 + ^i? ^ze (HO) přepsat takto °-^ = ot ^ (111) Ta&fo zavedený pojem skalárního součinu vektorů z V3 a pojem úhlu dvou nenulových vektorů z V3 rozšíříme i pro vektory zWn. (Tyto pojmy v dalším ještě více zobecníme.) Definice 6.2 Nechť a = (a\,..., an), b = (61,..., bn) jsou vektory z vektorového prostoru Vn. Potom číslo, označme je (a, b), definované vztahem (a, 6) = ai&i + ... + anbn (112) nazveme skalárním součinem vektorů a, b. Poznámka. Nechť a, b G Vn jsou sloupcové vektory. Potom skalární součin (a,b) definovaný vztahem (112) lze zapsat jako (a, b) = aT • b. Lze dokázat, že v prostoru Vn má skalární součin vektorů, definovaný vztahem (112), následující vlastnosti: Věta. 6.1 NechťWn je vektorový prostor. Potom skalární součin v tomto prostoru, definovaný vztahem (112)7 má tyto vlastnosti: (a,b) = (6, a), (113) {a + b,c) = (a}c) + (b}c)} (114) (a-a,6) = a-(a,b), (115) (a, a) > 0, (a,a) = 0 => a = 0. (116) Důkaz Omezíme se na důkaz vztahu (114), ostatní vztahy se dokazuji analogicky, jejich důkaz přenechávám čtenáři. Aplikací vztahu (112) na levou stranu (114) dostáváme (a + b,c) = (ai + h) ■ c\ + ... + {an + bn) • c„, 77 což po úpravě dává ai • c\ + h ■ c\ + ... + an • cn + bn • cn = (a, c) + (6, c). Pojem skalárního součinu dvou vektorů rozšíříme nyní i na vektorové prostory P7 definované na obecné množině P. Uvažujme nyní vektorový prostor P, definovaný na nějaké neprázdné množině P. V tomto vektorovém prostoru budeme definovat skalární součin takto. Definice 6.3 (Skalární součin dvou vektorů) Necht'P je daný lineární prostor. Ke každým jeho dvěma vektorům a, b G P je přiřazeno reálné číslo (a, b) tak, že pro vektory a,b,c G P a pro každé reálné číslo a platí (a,b) = (b,a), (117) (a + b,c) = (o,c) + (6,c)} (118) (aa7b) = a{a)b)) (119) (a, a) > 0, (o,o) = 0 => a = 0. (120) Potom číslo (a, b) nazýváme skalárním součinem prvků a, b G P. Skalární součin definovaný v prostoru Vn vztahem (112)je jedním z možných způsobů definování skalárního součinu v prostoru Vn. V následujícím příkladě si uvedeme jiný, rovněž často používaný skalární součin v prostoru Vn. Příklad 6.1 Nechť ui,..., un jsou kladná čísla. Ke každým dvěma vektorům x,y G Vn přiřaďme reálné číslo (x,y)w vztahem (x,y)u = ujixiyi + ... +ujnxnyn. (121) Potom (x, y)w definuje skalární součin na Vn. Důkaz. Stačí prověřit, že (x,y)w splňuje vztahy (117—120). Přenechávám jej čtenáři. Věta. 6.2 Nechť f je lineární prostor se skalárním součinem (x,y) pro x,y G P. Potom pro libovolná x, y G P platí \(x,y)\S 0. Položme F (a) = (x + a • y, x + a • y), (123) kde a je reálny parametr. Potom podle (120) je F (a) > 0 pro všechna a e R. Dosadíme-li do (123) ( 1 = ~(vil) dostáváme z (123 (a?, x) — 2• (ž/, y) •(xty)+\y ,yf ,y)2 • (ž/, y) >o. Úpravou dostáváme (x, x ) (ľ'yľ>o. (ž/, y) Odtud {x, x) ■ {y,y) > {x. ,ž/)2, takže (124) \{x,y)\ < y/{x,x)- V'{y,y). Jako další důležitý pojem, který si zavedeme, je pojem normy v lineárním prostoru F. Normu použijeme pak k definování vzdálenosti dvou prvků v tomto prostoru. Definice 6.4 (norma) Lineární prostor ¥ nazýváme normovaným lineárním prostorem, jestliže ke každému a? G P je přiřazeno takové nezáporné reálné číslo, označme je 11 x 11, že pro všechna x, y G P a každé reálné číslo a platí Hxll = 0 => x = 0, (125) \\x + y\\ < llxll + \\y\\ (126) lla.xll = \a\. Ilxll. (127) 79 V normovaném lineárním prostoru P platí následující věta. Věta. 6.3 Nechť f je normovaný lineární prostor. Je-li a^O, potom platí Mali > 0. Důkaz. Podle definice normy pro každé a G P je Mall > 0. Nechť existuje takové a ^ 0, že Mali =0. Podle (125) by bylo a = 0, což by byl spor s předpokladem. Je tedy Mali > 0 pro každé a ^ 0. Uveďme si nyní následující normy ve vektorových prostorech Vn. Věta. 6.4 (Normy v prostoru Yn) a) Jestliže ke každému vektoru x G Vn přiřadíme číslo 11 x 111 vztahem llxl U = \xi\ + \x2\ +••• + \xn\ (128) potom II a? Mi je tzv. oktaedrická norma ve vektorovém prostoru Yn. ß) Jestliže ke každému vektoru x G Vn přiřadíme číslo 11 a? 112 vztahem \\x\\2 = ^x{ + x22 + ... + x2n) (129) potom M x II2 je tet', euklidovská norma i>e vektorovém prostoru Yn. 7) Jestliže ke každému vektoru x G Vn přiřadíme číslo 11 a? 113 vztahem I líci I3 = max la?J pro i = 1}... ,n, (130) potom IIa; II3 je fev.max-norma ^e vektorovém prostoru Yn. (V literatuře se místo II. II3 pzse čel 11.1 lmax-j Definice 6.5 (Úhel dvou vektorů) Nechť P je lineární prostor se skalárním součinem (x,y), kde x,y G P. Označme 11 a? 11 = a/(£C,£c). Potom pro nenulové vektory x , y nazýváme úhel íp, definovaný vztahem ^) = MiTŤrU' (131) 80 úhlem vektorů x, y. Dva vektory x, y nazýváme navzájem kolmými, jestliže (x,y) = 0. (132) Poznámka. Jestliže vektory x, y jsou nenulové, potom z (??) pro pravý úhel vyplývá (132). Metrický prostor. Dříve než zavedeme pojem metrického prostoru, uveďme si tento příklad. Předpokládejme, že podnik vyrábí výrobky Ví,..., Vn . Nechť pi značí plán výroby výrobku Ví, í = 1,..., n. Nechť výrobní plán je popsán vektorem p = {p\,... ,pn). Předpokládejme, že podnik se odklonil od plánované výroby jednotlivých výrobků. Nechť realizovaná výroba je popsaná vektorem r = (r\,... ,rn), kde r i značí zrealizovanou výrobu výrobku Ví, í = 1,..., n. Je otázkou, jak ohodnotit odchylku realizace celé výroby od plánu výroby, to jest odchylky vektorů p, r. K tomu si zavedeme pojem vzdálenosti dvou vektorů. Pojem vzdálenosti zavedeme napřed pro prvky libovolné množiny. Vzdálenost dvou bodů jsme zvyklí chápat jaksi intuitivně, bez jeho precizování. Označíme-li M množinu bodů, potom v našem intuitivním pojetí má vzdálenost tyto vlastnosti: Ml. Vzdálenost dvou různých boduje kladná, vzdálenost každého bodu od sama sebe je nulová. M2. Vzdálenost bodu, označme jej a G M, je od druhého bodu, označme jej b G M, stejná, jako je vzdálenost bodu b od bodu a. M3. Jsou-li a, b, c tři body množiny M, potom vzdálenost bodů a, b je menší nebo rovna součtu vzdálenosti bodů a, c, a vzdálenosti bodů b, c. Této vlastnosti říkáme trojúhelníková nerovnost. Je znázorněna na obr.6. Toto intuitivní chápání vzdálenosti nás inspiruje k zavedení pojmu vzdálenost na libovolné množině M takto. Definice 6.6 (Definice vzdálenosti) Nechť M je daná neprázdná množina a nechť g je zobrazeni, kterým ke každým dvěma prvkům a, b G M je přiřazeno nezáporné číslo, označme je g(a, b), tak, že pro a,b,c G M platí 81 c Trojúhelníková nerovnost g(a,b) > 0, přičemž g(a, b) = 0 <=> a = b, (133) g(a,b) = g(b,a), (134) g(a,b) < g(a,c) + g(b,c). (135) Potom g(a,b) nazýváme vzdáleností prvků a, b a množinu M s takto zavedenou vzdálenosti g nazýváme metrickým prostorem. Na jedné a téže množině lze definovat vzdálenost různými způsoby. Jednou z možností jejího definování ve vektorovém prostoru je použití normy. Věta. 6.5 (Vzdálenost určená normou.) Nechť F je normovaný vektorový prostor. Nechť x, y G P. Potom vztahem p{x)y) = \\x — y\\ pro a?,í/eP je definovaná vzdálenost v P. Posouzení přibližného řešení systému rovnic A x = b. Uvažujme systém lineárních rovnic A x = b. Označme x* jeho přesné řešení a x jeho přibližné řešení (řešení obdržené např. výpočtem na počítači). Zaveďme si dva vektory Ö a r vztahy ö = x* - x, r = b - A x. (136) 82 Norma vektoru Ö vyjadřuje vzdálenost přibližného řešení od přesného řešení. Tento vektor však většinou v reálnách situacích nemůžeme určit, neboť neznáme přesné řešení. Existují metody na odhad normy tohoto vektoru. Vycházejí však velice pesimisticky. Vektor r se nazývá reziduálni m vektorem. Vyjadřuje, jak dobře přibližné řešení vyhovuje danému systému rovnic. Ukažme si dva příklady. Příklad 6.2 Uvažujme systém lineárních rovnic 2, 5 Xi — 3,10ľ2 — X:í = 7,31, —0,5aľi + 2,0aľ2 — 1,5 £3 = -0,25, 7,2 a?i — 3,1 £2 + 4,1 xs = 9,18. Přesné řešeni tohoto systému je JUA == 1} 1 } ÍZ/O ~~ U'} ^ •) Jbo == -1,2. ýpočtem jsme obdrželi jeho přibližné řešeni (137) £1=1,683, £2"=-0,571, Wí = -1,219. V tomto případe je 0,017\ / -2, 5514 ö= I -0,029 , r=\ 0,0950 | . (138) 0,019/ V-0,2902 Výpočtem dostáváme ll<5lli = max(IO,017l, I-0,0291,10,0191) llrlli = max(l -2,55141,10,09501 1-0,29021), to jest 1151 li = 0,017, llrlli = 2,5514. 83 7 Determinanty 7.1 Zavedení pojmu Několik úvodních slov. Uvažujme systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámych x\, x2 0-1,1 • Xl + «1,2 * %2 = bi, , „. 02,1 • #1 + 02,2 ■ X2 = b2. ^ ' Jestliže ai?i • 02,2 — 01,2 • 02,1 7^ 0, potom 61 • a2,2 - &2 • ai,2 b2 • au - bi • a-2,1 ^ ,nX X\ =-----------------------—, x2 =----------------------■— (140) Ol,l • «2,2 — «1,2 • 02,1 01,1 • 02,2 — 01,2 • 02,1 je řešením systému (139), jak se lze přesvědčit dosazením těchto hodnot za xi, x2 do rovnic (139). Zaveďme si toto označení. Označme C matici C = Potom číslo Cl,l • C2,2 - Ci>2 • C2,l nazveme determinantem matice C. Označíme jej det(C), resp. ICL Tedy a +(n\ a + ( Cm Cl'2 "\ a A Cm Cl'2 "\ aetyu) = det = det = c\ 1 • c2 2 — Ci 2 • c2 1. V C2'! C2'2 / V C2'! C2'2 ) Řešení (140) systému (139) lze pak pomocí determinantů zapsat takto det 14ť 01,1 01,2 \ l 01,1 al,2 02,1 02,2 / \ 02,1 02,2 V těchto vzorcích je jmenovatel determinantem matice soustavy / 01,1 01,2 y 02,1 02,2 který je dle předpokladu ^ 0. Čitatel ve vyjádření pro x\ je determinantem matice, která vznikne z matice A náhradou jejího prvního sloupce vektorem pravých stran Podobně čitatel ve vyjádření a?2 je determinantem matice, která vznikne z matice A náhradou jejího druhého sloupce vektorem pravých stran b. V dalším si zavedeme pojem determinantu i pro čtvercové matice A libovolného řádu n. Budeme jej značit shodně jako determinanty matic řádu 2. Determinanty využijeme při řešení systému n lineárních rovnic o n neznámých. Pojem determinantu se využívá i při řešení řady jiných úloh. Zaveďme si nyní pojem determinantu matice. Definice 7.1 (Determinant matice) Nechť A je čtvercová matice. Determinantem matice A rozumíme číslo, označme je I AI nebo det(A), definované takto: Je-li n = 1, to jest, jestliže A = (au), potom I AI = au. Jestliže je již definován determinant matice řádu n — 1, potom determinant matice rádu n definujeme takto: IAI = (-l)1+1a1,1-IAMl+...+ + (-l)1+W • 1^1,*' + • • • + (-l)1+n«i,n • I Ai>nl, (142) kde Aíj je matice (jak jsme si to již dříve zavedli), která vznikne z matice A vypuštěním jejího i-tého řádku a j-tého sloupce. Poznámka. Je tedy determinant matice funkce definovaná na množině všech čtvercových matic. 85 (143) Příklad 7.1 Např. je-li A = (—2), potom I Al Příklad 7.2 Necht «1,1 «1,2 Ö<2,1 02,2 Dokažte, že | AI = aM -a2,2 -«1,2 -o2,i- (144) Skutečně, podle (142) je IAI = (-l)1+1-aM-IAMl + (-l)1+2-a1,2.IA1,2l. (145) Zde Ai;i je matice, která vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 1. sloupce. Je tedy A^\ = (0*2,2)? lA^il = a2?2. Podobně Ai;2 je matice vzniklá z matice A vypuštěním jejího prvního řádku a 2. sloupce. Je tedy Ai;2 = (a2,i), IAij2l = a2,i- Dosazením do (145) dostáváme \A\=det[ ÖM ai'2 ) =(-l)1+1-aM-a2,2 + (-l)1+2-a1,2-a2,1. 02,1 02,2 J Po úpravě dostaneme deí [ J = ai,i • a2,2 - ai,2 • a2,i. 02,1 02,2 Poznámka. Determinant matice 2. řádu lze tedy vypočítat takto: Od součinu prvků na hlavní diagonále odečteme součin prvků na vedlejší diagonále. Příklad 7.3 Vypočítejte hodnotu determinantu matice 3 -2 5 4 Řešení. Jedná se o výpočet determinantu matice 2. řádu. Podle (144) je 86 IAI = „součin prvků na hlavni diagonále — součin prvků na vedlejši diagonále". Tedy | AI = 3-4-(-2) -5, I AI =22. Příklad 7.4 Nechť A je matice řádu 3 01,1 01,2 01,3 A = | a2,i «2,2 «2,3 I • (146) 03,1 03,2 03,3 Potom I AI = (ai,ra2,2-a3,3+a2,i-a3,2-ai,3+a3,rai,2-a2,3)----(a3,ra2,2-ai,3+ai,ra3,2-a2,3+a2,rai: Skutečně, podle definice 7.1 je IAI = (-l)1+1-aM-IAMl + (-l)1+2-a1,2-IA1,2l + (-l)1+3-a1,3-IA1,3l. Zde Ai;i je matice, která vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 1.sloupce. Je tedy f 02,2 02,3 Ai,i = \ 03,2 03,3 takže podle (144) Je I AM I = a2,2 • «3,3 - «2,3 • «3,2- (148) Matice Ai;2 vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 2. sloupce. Je tedy f 02,1 02,3 Al,2 = \ 03,1 03,3 takže podle (144) Je I A1?2I = a2,l • 03,3 - «2,3 • «3,1- (149) 87 Matice Ai;3 vznikne z matice A vypuštěním 1. řádku a 3. sloupce. Je tedy AV = ( a" ^ ) , \ 03,1 «3,2 J takže podle (144) Je I Ai;3l = 02,1 • «3,2 - «2,2 • 03,1- (150) Dosadíme-li do (147) za lAi^l, lAi^l, lAi^l vypočítané hodnoty (148), (149), (150), dostáváme I AI = oi?r(o2,2-a3,3-a2,3-a3,2)-ai,2-(a2,ra3,3-a2,3-a3,i)++ai,3-(a2,ra3,2-a2,2-a3,i)-Odtud dostáváme po úpravě hledaný vztah (7.4). Sarusovo pravidlo Podle příkladu 7.4 se vypočítá hodnota determinantu matice A řádu n = 3 vztahem \A\=Si-S2, (151) kde Si = Ol;l • 02,2 • 03,3 + 02,1 • 03,2 * «1,3 + 03,1 * &1,2 * «2,3, 5*2 — 03,1 • 02,2 • 01,3 + 01,1 • 03,2 * «2,3 + «2,1 * «1,2 * «3,3- Vidíme, že S\ je součtem tří členů, každý z nich je součinem tří prvků matice A. Na následujícím obrázku 9 jsou prvky matice vyznačeny kroužky a každá trojice prvků, jejichž součin je členem v Si, je propojena čarou. 5*2 je součtem tří členů, každý z nich je součinem tří prvků matice A. Na následujícím obrázku 10 jsou prvky matice vyznačeny kroužky a každá trojice prvků, jejichž součin je členem v S2, je propojena čarou. 88 Obrázek 9: Výpočet Si. Obrázek 10: Výpočet S2. Příklad 7.5 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 5 -2 3 A = 2 4-2 V -3 6 7 užitím Sarusova pravidla. Řešení. Hledejme tedy hodnotu determinantu / 5 -2 3 I AI =det 2 4-2 V -3 6 7 Podle Sarusova pravidla dostáváme \A\ = [5-4-7+(-2)-(-2)-(-3)+2-6-3]-[3-4-(-3) + (-2)-6-5+( 89 -2)-2-7]. Úpravou dostáváme IAI = [140 - 12 + 36] - [-36 - 60 - 28], takže I Al =288. Příklad 7.6 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 -1 3 \ 2 3 4 1 V 0 12 3 14-3-2 Řešení. Podle (142) dostáváme IAI Hodnotu každého z těchto determinantů matic řádu 3 určíme užitím Sarusova pravidla. Dostáváme IAI takže IAI = 100. 1 • 60 - 2 • 20 - 1 • (-20) - 3 • (-20), Poznámka. Je nutno si uvědomit, že Sarusovo pravidlo bylo odvozeno pro determinanty matic 3. řádu. Pro matice vyšších řádů není obdoba Sarusova pravidla. 90 V definici 7.1 determinantu matice má její první řádek výjimečné postavení. Ve vzorci (142) vystupují prvky prvního řádku matice explicitně. Zabývejme se otázkou, zda existuje analogický vzorec pro výpočet hodnoty determinantu, ve kterém by explicitně vystupovaly prvky jiného řádku než prvního. K odvození takovéhoto vzorce, uvedeného ve větě 7.1, použijeme několik pomocných vět. V následující větě si ukážeme výpočet hodnoty determinantu matice podle vzorce, který je analogickým vztahu (142). Místo prvků v prvním řádku v něm vystupují explicitně prvky libovolně zvoleného řádku. Věta. 7.1 (Výpočet determinantu) Necht A je libovolná matice řádu n > 0. Potom \A\ k=i • ds,k • l^4-s,fcl 152^ pro každé se {1, ... n}. Výpočet pomoct tohoto vzorce nazýváme výpočtem determinantu matice A rozvojem podle s-tého řádku. Příklad 7.7 Vypočítejte hodnotu determinantu matice 1\ /l 2 0 0 0 3 0 4 0 1 2 U 1 0 2 / Řešení. Poněvadž ve druhém řádku má matice A tři nulové prvky a jenom jeden nenulový prvek, provedeme výpočet determinatu dané matice rozvojem podle druhého řádku. Podle předcházející věty obdržíme \A\ -0- IA21I +0- IA22I +3 \2+3 • det + 91 +0- IA24I 3- 6. Vztah mezi determinantem matice A a determinantem matice A . rp Připomeňme si, že matice A je transponovaná k matici A, jestliže každý i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT. Dokažme nyní, platnost této věty. Věta. 7.2Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom det(A) = det(AT). (153) Odtud vyplývá následující věta pro vyčíslení eterminantu rozvojem podle libovolného sloupce. Věta. 7.3 (Výpočet determinantu) Nechť A je matice n-tého řádu í «1,1 • ■ au ■ dí,n \ «2,1 • ■ a2,j ■ (Í2,n Ön-1,1 • CLn—\j CLn—\n \ 0>n,l anj u>n,n / Nechť j je libovolný index jejího sloupce. Potom n \A\=YJ(-^)k+J^3\Ak,\, (154) k=i Důkaz. Vzorec (154) je výpočet determinantu matice A rozvojem podle jejího j-tého sloupce. Příklad 7.8 Vypočítejte hodnotu determinantu matice 12 3 A = | 4 5 6 7 8 9 92 rozvojem podle druhého sloupce. Řešení. Dostáváme I A\ = 2 • (-1)1+2 • det ( 4 6 ) + 5 • (-1)2+2 -detí * \7 9 J \7 9 +8-(-l)3+2der Po vyčísleni obdržíme I AI =0. 8 Vlastnosti determinantů V minulé části jsme zavedli pojem determinantu matice řádu n a ukázali jsme způsob jeho výpočtu rozvojem podle jejího libovolného řádku, resp. jejího libovolného sloupce. Tento způsob výpočtu je pro matice vyššího řádu značně náročný na počet prováděných aritmetických operací. (Odhadněte si počet operací pro determinant matice řádu n.) Proto si ukážeme jinou metodu k výpočtu hodnoty determinantu, založenou na následující větě, která vypovídá o vztahu mezi hodnotou determinantu matice A a matice, která z ní vznikne elementárními transformacemi. Tuto větu si musíte dobře uvědomit!! Determinant matice A a determinant matice, která vznikne z ní elementárními transformacemi, nemusí se sobě rovnat. Záleží na typu transformací! Ukážeme si metodu, při niž se matice A převádí na horní trojúhelníkovou matici užitím elementárních transformací. Hodnota determinantu z trojúhelníkové matice, jak později uvidíme, je rovna součinu prvků na hlavní diagonále. Věta. 8.1 Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom mezi determinantem matice A a determinnty matic, které z ni vzniknou elementárními transformacemi, platí tyto vztahy 93 (Hl) \A\=l\Hl(i,a)A\, proa^O. (HS) \A\ =-\H3{i,j)A\ (H4) \A\ = \H4:(i,a,j)A\ (H5) \A\=UH5(i,a,j,ß)A\ pro ß ^ 0. 94 Příklad 8.1 Nechť ' 1 2 155^ x 3 4 Potom platí 1 1 / 5 10 \ l \A\ = -2 = -det(Hl(l,5)A) = -det\ = - • (-10) =(1-5Q) 5 5\34/5 I AI = -2 = -deí(ft3(l,2)A) = -deí ( ] = -2 (157) 1 2 | AI = -2 = der(?ť4(l,3,2)A) = eřeí ( ] = -2 (158) 6 10 IAI = -2 = -ideí(?ť5(l,3,2,4)A) = -ideíí ^ ^ ) = -0-59) Výpočet determinantu matice jejím převodem na horní trojúhelníkovou matici Napřed si ukažme způsob výpočtu determinantu horní trojúhelníkové matice. V dalších úvahách si ukážeme dva postupy transformace čtvercové matice A na horní trojúhelníkovou matici užitím elementárních transformací. Věta. 8.2 (Determinant horní trojúhelníkové matice) Nechť B 95 je horní trojúhelníková matice řádu n. I &1,1 &1,2 Í>1,3 • • • &l,n-l O 62,2 &2,3 • • • &2,n-l O O 63,3 • • • &3,n-l B &2,n O o \ o o *J "n—l,n—1 "n—l,n o o 6n?n y (160) Potom \B\ = 61,1 • 62,2 • • • • • &r '16ť Důkaz. Provedme výpočet hodnoty determinantu této matice rozvojem podle jejího prvního sloupce. Dostáváme / &2,2 &2,3 0 63,3 IBI J+i 6^1 • 3,n \ \ 0 o "n—l,n—1 "n—l,n 96 Tímto způsobem pokračujeme, až po n krocích obdržíme hledaný rec (161) \B\ = ďm • 62,2 • ••• • K,n-Příklad 8.2 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 5 2 4 5 \ 0 4 3 4 A= . ( 0 0 8 4 \0 0 0 2/ Řešení. Podle vzorce (161) dostáváme I AI =5-4-8-2 = 320. 97 Algoritmus výpočtu determinantu matice A převodem na horní trojúhelníkovou matici Ukažme si nyní algoritmus na výpočet determinantu matice A založené na elementárních transformacích, jimiž se matice A transformuje na horní trojúhelníkovou matici. Tento algoritmus je založen na aplikací transformací H3(i,j)A, H4:(i,a,j)A, 7i5(i,a,j}ß)A} kde ß ^ 0. Používají se věta (8.1). Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n. Matici A převedeme elementárními transformacemi na horní schodovitou matici. Jestliže její determinant je nenulový, potom vzniklá schodovitá matice je horní trojúhelníkovou maticí. Poněvadž při některých elementárních trasformacích se hodnota determinantu dané matice a determinantu matice z ní vzniklé transformací mění, zavedeme si pomocnou proměnnou 7, v níž budeme sledovat tuto změnu. Označme D hodnotu determinantu matice A a položme 7 = 1. Je tedy D = 7 • I A\ . Následující výpočet probíhá postupně pro i = 1,..., n — 1. Popišme nyní algoritmus pro určité i. 1° Nechť Si je nejmenší index nenulového sloupce v submatici matice A vytvořené řádky i,... , n a všemi sloupci.Tedy mezi prvky je alespoň jeden nenulový prvek. 98 Je-li Si > i, je hodnota D determanantu dané matice rovna 0; v tomto případě je výpočet ukončen. Nechť Si = i. Zvolme nyní p pro něž je ap>i ^ 0. 2° Je-li p = i postupujeme k bodu 4°, v případě, že p ^ i, postupujeme k bodu 3°. 3° Vyměníme navzájem i—tf a p—tf řádek matice A. To znamená, položme A := H3(i,p)A. Zároveň položíme 7 := —7. Pro takto vzniklou matici A tedy platí D = 7 • \A\. Přejdeme k bodu 4°. 4° i—tf řádek matice A nazveme hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulové prvky dk,i,k = i + l,...,n, užitím jedné z transformací 7ť4(i, a, k)A, TC5(i, a, k, ß)A. Je-li dk,i ^ 0, můžeme provést eliminaci tohoto prvku a operací (??), nebo (??) A := H4:(i,------, k)A nebo operacemi A := TĹ5(i,—ai7k,k,a,i7i)A a zároveň položit 7 Uveďme si násleující příklad. Příklad 8.3 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 1 2 4 0 \ 2 14 5 8 2 4 3 \1 2 0 4/ užitím její transformace na horní trojúhelníkovou matici. Řešení. Matice A je řádu n = 4. Budeme aplikovat nahoře uvedený algoritmus postupně pro i = 1,2,3. 99 (163) := — {7Ô4) (165) Položme: i=l 1° V submatici matice A, vytvořné řádky 1,..., 4 a všemi sloupci, je první sloupec nenulový: je tedy s\ = 1. 2° Poněvadž a^i ^ 07 volíme volíme p = 1 a postupujeme k bodu 4°. 4° první řádek matice A je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat ty prvky z prvků a^i, 03,1, 04,1, které jsou nenulové Prvek ö2,i eliminujeme užitím transformace A:=?Í4(1,-^,2)A. «1,1 (166) To znamená, že první řádek matice A násobíme číslem (—^), to jest číslem (—\) a připočteme k druhému řádku matice A. Druhý řádek matice A tedy transformací (166) změníme na A(2 ,:):-- 1,2,4,0) + (2,1,4,5) = (0,-3,-4,5). Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (166) tedy dostáváme /l 2 4 0 \ A:: 0-3-4 5 8 2 4 3 \ 1 2 0 4/ Touto tnasformací se hodnota determinantu matice A nemění, takže D = 7 • IAI. Prvek ö3 1 eliminujeme užitím transformace A:=-H4(1,-^1,3)A. 0+1 (167) To znamená, že první řádek matice A násobíme číslem (—^), to jest číslem (—\) a připočteme k třetímu řádku matice A. 100 Třetí řádek matice A tedy změníme na 8 A(3,:):: 1, 2,4,0) + (8, 2, 4, 3) = (0, -14, -28, 3). Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (167) tedy dostáváme / 1 2 4 0 \ A: 0 -3 -4 5 0 -14 -28 3 \ 1 2 0 4/ Touto tnasformací se hodnota determinantu matice A nemění, takže D = 7 • IAI Prvek CL41 eliminujeme užitím transformace A:=?Í4(1,-^,4)A. «1,1 (168) To znamená, že první řádek matice A násobíme číslem (—~^1), to jest číslem (—{) a připočteme ke čtvrtému řádku matice A. Čtvrtý řádek matice A tedy změníme na A(4,:):= ;i,2,4,0) +(1,2,0,4) = (0,0,-4,4) Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (169) tedy dostáváme A: íl 2 4 0 \ 0 -3 -4 5 0 -14 -28 3 1° 0 -4 4 ) Touto tnasformací se hodnota determinantu matice A nemění, takže D = 7 • IAI. 101 Položme: i=2 1° V submatici matice A, vytvořné řádky 2,..., 4 a všemi sloupci, je druhý sloupec nenulový: je tedy S2 = 2. 2° Poněvadž 02,2 7^ 07 volíme volíme p = 2 a postupujeme k bodu 4°. 4° druhý řádek matice A je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat ty prvky z prvků 03^2, 04,2, které jsou nenulové Prvek ö3 2 eliminujeme užitím transformace A := ft4(2, «3,2 «2,2 3)A. (169) To znamená, že druhý řádek matice A násobíme číslem (——) 02,2- to jest číslem (—^-) a připočteme k třetímu řádku matice A. Třetí řádek matice A tedy změníme na Aí x -14, x , N , 28 61. A(3,:) := -^-(O, -3, -4, 5)+(0, -14, -28, 3) = (0,0, --, -- Ostatní řádky se transformací (169) nemění. Transformací (169) tedy dostáváme A: íl 2 4 0\ 0 -3 -4 5 0 0 28 3 61 3 V° 0 -4 4/ Touto tnasformací se hodnota determinantu matice A nemění, takže D = 7 • IAI. Prvek <24?2 = 07 takže eleiminace se neprovádí Položme: i=3 1° V submatici matice A, vytvořné řádky 2, třetí sloupec nenulový: je tedy S3 = 3. 4 a všemi sloupci, je 102 0 Poněvadž a^ß ^ 07 volíme volíme p = 3 a postupujeme k bodu 4°. 0 třetí řádek matice A je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat prvek ,04,3, pokud je nenulový. • Prvek <24?3 eliminujeme užitím transformace A := ft4(3, 04,3 «3,3 4)A. ;i7o) «4,3 ' «3,3 • To znamená, že třetí řádek matice A násobíme číslem (- to jest číslem (—^w) a připočteme ke čtvrtému řádku matice 3 A. Čtvrtý řádek matice A tedy změníme na A(4,:):= 7 (0,0, -28 -61, . , . 89, —) + (0,0,-4,4) + (0,0,0,- Ostatní řádky se transformací nemění. Transformací (170) tedy dostáváme / 1 2 4 0 \ A: 0 0 -3 0 o 5 28 61 3 3 0 89 7 / Touto tnasformací se hodnota determinantu matice A nemění, takže D = 7 • IAI. 103 Hledaná hodnota determinantu D je rovna součinu čísla 7 (v našem případě je 7 = 1) se součinem prvků výsledné horní trojúhelníkové matice, tj. D = l- (-3) ■ (-—) - ^ tj. D = 356 28, 3 ' 89 y Příklad 8.4 V tomto příkladě použijeme k výpočtu hodnoty determinantu matice A stejný algoritmus jako v minulém příkladě, avšak při eliminacci prvků budeme používat též elementární transformace 7i5(í, a, pro ß ^ 0. Příklad 8.5 Vypočítejte hodnotu determinantu matice / 0 1 1 2 \ 12 3 0 2 4 0 0 \ 0 3 0 1 ) Řešení. Položme D = det(A)}nf = 1. Veličina 7 slouží ke sledování vztahu mezi hodnotou D determinantu zadané matice A a matic, které vzniknou postupnými transformacemi matice A. Na začátku zřejmě platí D = 7 • A. Položme: i=l 1° V submatici matice A, vytvořené řádky 1,... ,4 a všemi sloupci matice A, (tj. v našemm případě v matici A), určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to první sloupec, položíme tedy s\ = 1, takže Si = i. 2° Poněvadž 0,1,1 = 0, postupujeme k bodu 3°. 3° Zvolme p G {2,3,4} tak, aby oPi\ ^ 0. N echt je to p = 3. Proveďme tedy transformaci A := 7*3(1,3). (171) 104 Poněvadž vzájemnou výměnou dvou řádků matice hodnota determinantu zrněni znaménko, položme 7 := —7. Je tedy D = —det(A), kde A je matice určena transformaci (171). Po této transformacci je ( A: -3 3 2 2 1 O O 2 1 O 3 1 0 Řádek „1" je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulové prvky z prvků 02,1,03,1,04,1- V 1\ -2 O Prvek ö2,i = 2, jeho eliminaci provedeme transformací A:=?Í5(1,2,2,3)A Touto transformací dostáváme matici / -3 3 2 1 \ 0 9 4-4 (172) A: \ O 2 1 O 3 1 O °7 Položíme-li 7 := I • 7, platí D = 7 • det(A), kde A je matice po provedení transformace (172). Prvky 03,1,03,2 jsou rovny „O", takže se další eliminace neprovádějí. Položme: i=2 0 V submatici, vytvořené z řádků 2,3,4 a všemi sloupci matice A, určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to druhý slou- pec; položíme tedy S2 = 27 takže Si 1. 105 2° Poněvadž 02,2 7^ 07 postupujeme k bodu 4°. 4° Řádek „2" je hlavním řádkem. Pomocí tohoto řádku budeme eliminovat nenulové prvky z prvků 03^2,«4,2-• Prvek Ö3 2 = 27 jeho eliminaci provedeme transformací A: Dostáváme matici í A: \ ť5(2 2,3, 9)A -3 3 2 l\ 0 9 4 - -4 0 0 1 8 0 3 1 °/ ;i73) Položíme-li 7 := \ • 7, platí D = 7 • det(A), kde A je matice po provedení transformace (173). Prvek ö4 2 eliminujeme transformací A:=?Í5(2,-3,4,9)A 174) dostáváme matici A: / -3 3 0 9 0 0 2 4 1 1\ -4 8 \y 0 0-3 12 y/ Položíme-li 7 := I • 7, p/aí« D = 7 • det(A), kde A je matice po provedení transformace (175). Položme: i=3 1° F submatici 3A7 to jesr v matici, která je vytvořena z řádků 3,4 matice A, určíme nenulový sloupec s nejmenším indexem. Je to třetí sloupec, položíme tedy S3 = 37 takže Si = i. 2° Poněvadž a^^ 7^ 07 postupujeme k bodu 4°. 106 ;i75) A: 4° Řádek „3" je hlavním řádkem. Pomoct tohoto řádku budeme eliminovat nenulový prvek 04,3.. • Prvek <24?3 = 2, eliminujeme transformací A:=?Í5(3,3,4,1)A Touto transformaci dostáváme matici / -3 3 2 1 \ 0 9 4-4 0 0 1 8 \ 000 36 y Položíme-li 7 := 1 -7, platí D = -f-det(A), kde A je matice po provedení transformace (175). Poněvadž matice A je horní trojúhelníková matice, je determinant z této matice roven součinu prvků v hlavní diagonále. Je tedy D = --.-■- • f-3) • (9) • (1) • (36) = 3 9 9 v 8.1 Použití determinantů Přímá metoda řešení systému lineárních rovnic. Již dříve jsme se seznámili s pojmem systému m lineárních algebraických rovnic o n neznámých A x = b (176) a s pojmem jeho řešení. Ukážeme si nyní, jak se toto řešení dá nalézt v případě, že A je čtvercová regulární matice. V další kapitole se budeme zabývat s pojmem řešení obecněji a uvedeme si několik metod vhodných k jeho nalezení. V této části uvedeme pouze nalezení řešení 107 pomocí determinantů. Tato metoda má sice velký význam z teoretického hlediska, avšak numericky je použitelná pouze pro řešeni systému rovnic o relativně malém počtu neznámých. 8.2 Cramerovo pravidlo Věta. 8.3 ((Cramerovo pravidlo)) Nechť A je regulárni čtvercová matice řádu n, b je n-rozměrný sloupcový vektor a x je hledaný n-rozměrný vektor. Označme B i, i = l,...,n, matici, která vznikne z matice A tak, že její i-tý sloupec nahradime vektorem pravých stran b. Potom systém lineárních rovnic Ax = b (177) má právě jedno řešeni x, pro něž platí rr* = -|-^j, i = l,...,n. (178) Důkaz. Dokažme především, že je-li vektor x řešením systému (177), potom platí (178). Poněvadž vektor x je řešením (177), platí ak,ixi + aki2x2 + • • • + ak,jXj + ... + ak^nxn = bkj pro k = 1,2,..., n. (179) Zvolme i, 1 < i < n. Dokážeme, že pro x-% platí (178). Vynásobením (179) výrazem (—l)k+l • \Ak^\ pro k = 1,2,...,n dostáváme n ^(-l)fc+i • akj ■ \Ak,\ ■ x3 = bk ■ (-l)*+iI Afc.il. (180) i=i Sečtením rovnic (180) pro k = 1, ..., n, dostáváme n n n ^^^afc^-lf+MAfc.l =^6fc(-l)fc+MAfc,l. (181) j=l k=í k=í 108 Použitím věty ?? odtud dostáváme Xi- \A\ = \Bi/R, odkud plyne (178). Dokažme nyní, že jestliže a? je vektor o složkách \Bk\ , , ^ Xk = ~\AŤ k = l,...,n, (182) potom x je řešením systému (177). Nechť j je jedno z čísel 1,..., n. Dosazením těchto hodnot Xk do levé strany j-té rovnice obdržíme veličinu, kterou označíme L. Dostáváme k=i k=i Rozvojem determinantu \Bk\ podle £-tého sloupce dostáváme odtud 1 n n L = TÄiE^E(-1)i+^IA^i- Ä;=l i=l Provedením úpravy pak dostáváme 1 n n i=l Ä;=l S ohledem na (??) odtud vyplývá n J3-> k=í takže vektor x vyhovuje j-té rovnici (j = 1, ..., n.) Příklad 8.6 Užitím Cramerova pravidla řešte následující systém lineárních rovnic X\ + 2x2 —%3 = —1 2m + 7x2 -X3 = 3 (183) 3a?i + 6x2 —%3 = 1 109 Řešení. Označíme-li A matici soustavy tohoto systému, b vektor pravých stran a x vektor neznámých, je "1 2 -1\ /-1\ (xx A=| 2 7-1 , b=\ 3 , i= i2|. (184) 3 6-1/ \ 1 / \ ^3 Výpočtem zjistíme, že I AI = 6. Je tedy matice A regulárni a daný systém lze řešit Cramerovým pravidlem. Matici B\ dostaneme tak, že první sloupec matice A nahradíme vektorem b. Dostáváme tak matici /-12-1X B\ = 3 7—1 a determinant \B\\ = —6. V 16-1/ Matici B2 dostaneme tak, že druhý sloupec matice A nahradíme vektorem b. Dostáváme tak matici 1 -1 -1 B2 = I 2 3 —1 I a determinant \B2\ =6. 3 1 -1 Matici B3 dostaneme z matice A tak, že její třetí sloupec nahradíme vektorem b. Dostaneme tak matici 1 2 -1 Bz = I 2 7 3 I a determinant \B%\ = 12. 3 6 1 Řešením systému (183) je tedy IBil "6 X\ = -------- = — = —1. 6 6 \B2\ 6 Xo = -------- = - = 1, 6 6' IB3I 12 X'i =--------= — = 2. 6 6 110 9 Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů V dřívějším pojednání jsme si zavedli pojem inverzní matice k dané matici A. Řekli jsme, že matice B je inverzní k matici A, jestliže A B = B A = E. Dá se dokázat, že matice B je inverzní k regulárni čtvercové matici A, jestliže platí A B = E. V tomto případě není tedy nutno požadovat splnění požadavku B A = E. Nechť tedy matice A je regulární čtvercová matice řádu n. Hledejme čtvercovou matici B tak, že A B = E. (185) Zvolme i G {1, ..., n}. Uvažujme i-tf sloupec B(:, i) matice B a i-tf sloupec E(:, i) matice E, to jest sloupcové vektory B(-i) I Kí \ bi+i:i E(-C /0\ 0 o 1 o v bnti i V o y Ze vztahu (185) vyplývá A-B(-i) = E(-i). i-tf řádek (186) 111 Tento systém rovnic řešme užitím Cramerova pravidla. Dostáváme 6^:=-^, j = l, ...,n, (187) kde C j je matice, která vznikla z matice A nahrazením jejího j'-tého sloupce vektorem 22(:, i). Determinant \Cj\ vyčíslíme rozvojem podle j-tého sloupce. Jediný nenulový prvek v tomto sloupci je číslo 1 vitém řádku. Tedy \C3\ = (-1)^-1 AhJ\. (188) Z (187), (188) vyplývá ^:=(-l)^'-^f (189) Z (189) pro i = 1,2,... , n, j = 1, 2,... , n dostáváme matici B. Vypočítejme nyní BA. Užitím (??) dostáváme Je tedy matice B matici inverzní k matici A. Dosažený výsledek můžeme shrnout do následující věty. Věta. 9.1 (Výpočet inverzní matice) Necht A je regulární čtvercová matice řádu n. Potom k matici A existuje právě jedna inverzní matice, označme ji B. Její prvek bij se vypočítá podle vztahu bij = (-Iľ^-^jj1- Pro i J = 1, • • • n. (190) Poznámka. Všimněte si pořadí indexů i, j u bij, Aj j v (190)! Příklad 9.1 K matici A určete matici inverzní. 12 4 A = I -2 1 2 4 3 5 112 Řešení. Výpočtem dostáváme \A\ I Ai 11 = det IAi?3l = det IA2 21 = det I Ai 31 = det 1 2 3 5 -2 1 4 3 1 4 4 5 2 4 1 2 ■1, IA12I = det -10, IA21I =der -11, IA2)3I =gB 0, IA23I = der -2 2 4 5 2 4 3 5 1 2 4 3 1 4 -2 2 ■18, 10, I A3 31 = det 1 2 -2 1 5. Teořy podle věty 9.1 dostáváme í IAJ -IA2,J IA3J \ IAI IAI IAI d = -IA12I IA22I -IA32I IAI IAI IAI i^j-1,31 ~ 1-^»-2,31 i^j-3,31 V IAI IAI IAI / Dosazením vypočítaných hodnot za jednotlivé determinanty dostáváme 1/5 -2/5 0 A1 = B= I -18/5 11/5 2 2 -1 -1 Zkoušku správnost výpočtu provedeme výpočtem AB, BA. Zjistíme, že oba tyto součiny jsou rovny matici E. 113 10 Úlohy k procvičení Vyslovte 1. Definice determinantu matice. 2. Pravidla pro výpočet determinantů matic řádu 2,3. 3. Věta o výpočtu determinantu rozvojem podle libovolného řádku, resp. libovolného sloupce matice. 4. Vztah mezi hodností matice A a matice B, která z ní vznikla elementárními transformacemi. 5. Výpočet hodnoty determinantu matice její transformací na horní trojúhelníkovou matici. rp 6. Vztah mezi hodnotami determinantu z matic A a A . 7. Cramerovo pravidlo na řešení systému lineárních rovnic. 8. Hledání inverzní matice. 9. Vztah mezi hodností matic a determinanty jejich submatic. Úlohy 1° Vypočítejte hodnoty determinantů následujících matic B= , C [|AI =6, \B\ = -2, \C\ = 0.] 2° Vypočítejte hodnoty determinantů následujících matic užitím Sa-rusova pravidla. -2 4 \ 3 -2 , B= | 3 -2 4 | , C 4 0 / [IAI =112, \B\ =-17, \C\ =0.] 3° Určete vztah mezi hodnotami determinantů matic A, B, aniž byste 114 počítali jejich hodnoty. Proveďte zdůvodnění. íl 0 -2 3 \ 4 1 0 2 1 2 3 4 1° -2 1 3 J B íl 2 3 4\ 1 0 -2 3 0 -2 1 3 u 1 0 2 j [I Al = — \B\. Matice B vznikla z matice A postupnými výměnami těchto řádků: řádek 1 a řádek 3; řádek 2 a řádek 3; řádek 3 a řádek 4. Celkem třemi výměnami dvojic řádků. Je tedy \B\ = (-1?- IA I, takže IAI = -IBI.l 4 Vypočítejte hodnoty determinantů následujících matic transformací na horní trojúhelníkovou matici. / 1 -2 3 1 \ 1 0 2 2 2 3 6 4 -1 4 2 / B íl 2 5 2\ 3 5 1 2 5 3 4 2 U 6 1 0/ IAI = -8, \B\ = 178.] 5° Užitím Cramerova pravidla řešte následující systémy lineárních rovnic a) b) íl 3 6 V4 -2 2 1 -2 3 4 0 -1 4\ 3 2 37 í X\\ x2 x3 \ xa } (Yl\ 1 1 V 12 y 115 [a) x í 1\ -5 2 V °/ 6° K dané matici A nalezněte matici inverzní a proveďte zkoušku správnosti výpočtu. a b) A a / j_ 14 1 7 b) \ 23 105 _1 5 37 105 _6_ 35 /i o 4 0 3 1 y 2 3 _5_ 21 0 J2_ 21 _1 7 2 3 \ 2 1 0 5 i 4 y 35 _I 5 _11 35 _6_ 35 105 ' 2 5 11 105 35 11 Systémy lineárních rovnic Tato kapitola je věnována problematice existence a metod řešení systému lineárních rovnic. 11.1 Ekvivalentní systémy rovnic Několik úvodních slov. Dříve než přikročíte ke studiu této kapitoly je nutné, abyste měli dokonale zvládnuté základní pojmy z lineárních rovnic uvedené v kapitole ??. V této kapitole se budeme zabývat především problematikou existence a jednoznačnosti řešení systému m lineárních rovnic o n neznámých a popisu některých metod na jejich řešení. Seznámili jsme se již s Cramerovým pravidlem (věta 8.3) na řešení systému lineárních rovnic Ax = b, které lze použít v případě, že 116 jeho matice soustavy A je regulární čtvercová matice. V tomto případě má systém právě jedno řešení. Určí se pomocí determinantů. Tato metoda se však nehodí k řešeni systému lineárních rovnic pro větši počet neznámých, neboť k jeho řešeni je nutno provést velký počet aritmetických operaci. Dále jsme se seznámili s řešením systému lineárních rovnic Ax = b s regulární čtvercovou maticí soustavy užitím inverzní matice A~l. Výpočet inverzní matice je na počet operací náročnější, než je řešení jednoho systému rovnic. Používáme ji jenom tehdy, jestliže inverzní matici známe, nebo ji potřebujeme i k jiným účelům. Popíšeme především metodu, založenou na pojmu ekvivalentnosti dvou systémů lineárních rovnic. Tato metoda se dá použít i v případě, že matice soustavy A není regulární čtvercovou maticí. Uvedená metoda nám pomůže též vyslovit větu o řešitelnosti a jednoznačnosti řešení systému lineárních rovnic. Dva systémy lineárních rovnic Ax = 6, C x = d nazveme ekvivalentními, a budeme psát Ax = b ~ C x = d jestliže každý vektor x, který je řešením systému rovnic A x = b, je i řešením systému C x = d a naopak, každé řešení x systému rovnic C x = d je i řešením systému rovnic Ax = b. Při řešení systému rovnic Ax = b půjde o nalezení takového ekvivalentního systému rovnic, který je možno snadno posoudit. To znamená určit, zda tento ekvivalentní systém má nebo nemá řešení a v případě, že má řešení, toto řešení nalézt. Takovým vhodným ekvivalentním systémem je systém, jehož matice soustavy je horní schodovitá matice. 117 11.2 Převod na systém s horní schodovitou maticí soustavy Uvažujme systém lineárních rovnic A x = b (191) Ukažme si platnost následujících pravidel PÍ, P2, P3, P4, P5. PÍ. Nechť a je libovolné reálné číslo ^ 0. Uvažujme libovolně zvolenou i-tou rovnici systému (191) ahí ■ xi + ... + ahn • xn = b%. (192) Je evidentní, že vektor x vyhovuje rovnici (192), když a jenom když vyhovuje rovnici a • (a^i • x\ + ... (ij^n • xn) = a • bi, pro každé a ^ 0. (193) Nahradíme-li tedy v systému (191) některou rovnici jejím násobkem číslem a, a ^ 07 je vzniklý systém ekvivalentní s daným systémem. P2. Nechť ai,l-Xl + ••• +CLi,n-Xn = &i, (194) ahi • xi + ... + ahn • xn = bj, (195) jsou dvě libovolné rovnice systému rovnic (191). Je opět evidenetní, že každý vektor x vyhovuje oběma těmto rovnicím, když a jenom když vyhovuje rovnicím ahi • xi + ... + ah„ • xn = b%, (196) (aj,i + aahi) • xi + ... + (ahn + aahV) • xn = b3 + ab%, (197) kde a je libovolné reálné číslo. Přičteme-li tedy k některé rovnici systému (191) a-násobek jiné rovnice, aeR, vznikne systém ekvivalentní se systémem (191). 118 P3. Vypustíme-li ze systému rovnic (191) rovnici tvaru O • x\ + O • X2 + • • • + O • xn = O, obdržíme systém rovnic, který je ekvivalentní se systémem rovnic (191), neboť každý vektor x G Vn této rovnici vyhovuje. Tato rovnice tedy nedává žádné omezení pro řešení systému rovnic (191). P4. Jestliže v systému rovnic (191) je některá rovnice tvaru 0 • x\ + 0 • X2 + ... + 0 • xn = c, c^O, nemá uvažovaný systém žádné řešení, neboť této rovnici nevyhovuje žádný vektor. Tyto úvahy můžeme shrnout následovně. Věta. 11.1 Nechť jsou dány dva systémy lineárních rovnic Ax = b, C x = d o neznámých x\, X2, ■ ■., xn. N echt systém C x = d vznikl ze systému Ax = b těmito úkony: Hl. Libovolnou rovnici systému jsme násobili číslem různým od nuly. H2. K libovolné rovnici jsme přičetli jinou rovnici systému. H3. Vyměnili jsme navzájem dvě rovnice systému. H4. K některé rovnice jsme připočetli libovolný násobek jiné rovnice. H5. K nenulovému násobku jedné rovnice jsme připočetli libovolný násobek jiné rovnice. Potom systémy Ax = b, C x = d jsou navzájem ekvivalentní. Poznámka. 1. Jestliže v systému rovnic Ax = b vypustíme rovnice tvaru 0 • x\ + ... + 0 • xn = 0, obdržíme systém rovnic s ním ekvivalentní. 119 2. Systém rovnic, v němž je rovnice tvaru 0 • x\ + ... + 0 • xn = konst, kde konst ^ 0, nemá řešení. Abychom si usnadnili zápis při operacích s rovnicemi, budeme pracovat jenom s koeficienty rovnic a s jejich pravými stranami. Abychom to precizovali, zaveďme si zobrazení T, jímž se ke každému systému lineárních rovnic A x = b přiřadí rozšířená matice tohoto systému rovnic (A\b), to jest T(Ax = b) = (A\b). Lineární rovnici daného systému Q>i,l ' 3C\ \ • • • \ CLí>n • Xn — 0[ odpovídá v tomto zobrazení i-tý řádek rozšířené matice (AI6)7 to jest vektor Lehce nahlédneme, že zobrazení T je prosté zobrazení množiny systémů m lineárních rovnic Ax = b o neznámých x\, ..., xn na prostor matic (A 16). Existuje tedy k němu inverzní zobrazení T_1. Ukážme dále, že zobrazení T zachovává jak sečítání dvou rovnic, tak i násobení rovnice číslem. Uvažujme dvě rovnice ^n,l ' ^1 ~r • • • ~r ßj;n ' %n 0{ i Q>j,l ' X\ -\- . . . -\- Qjj^fi • Xn — Oj, a reálné číslo a ^ 0. Podle definice v zobrazení T odpovídá rovnici ahí -xi + ...+ ahn ■ xn = b% (198) vektor (ahh...,ahJbt) (199) 120 a rovnici a3ix ■ xi + ... + a3in ■ xn = b3 (200) odpovídá vektor Kb ..., Hnity). (201) Sečtením uvažovaných rovnic dostáváme rovnici (öi,i + CLj,í)xi + • • • + {ahn + a3iV)xn = h + bj. (202) Podle definice zobrazení T odpovídá této rovnici vektor ((ahí + a^i),..., (ai?n + ajjn)\(bi + fy)). (203) Je zřejmé, že v inverzním zobrazeni T_1 odpovídá vektoru (203) rovnice (202). Dále rovnici a- (ahí ■ xi + ... + ahn-xn) = a-bi, a^0 (204) odpovídá v zobrazení T vektor {a-ahh ..., a-ahn I a- b%). (205) Je zřejmé, že v inverzním zobrazeni T_1 odpovídá vektoru (205) rovnice (204). Předpokládejme, že jsme k systému lineárních rovnic Ax = b v zobrazení T přiřadili rozšířenou matici soustavy tohoto systému rovnic (A\b). Potom úkonům H1,H2,H3,H4 s rovnicemi systému Ax = b , uvedených ve větě 11.1, odpovídají elementární transformace Hl(i, a), TĹ2(i,j), TC3(i,j), H4:(i,a,j,ß) aplikované na matici (A\b). Větu 11.1 můžeme tedy přeformulovat takto. 121 Věta. 11.2 Nechť matice (AI 6) (206) je rozšířenou maticí soustavy lineárních rovnic Ax = b. (207) Nechť matice (Cid) vznikla z matice (206) elementárními transformacemi. Potom systém lineárních rovnic Cx = d je ekvivalentní k systému rovnic (207). Vhodnými elementárními transformacemi lze z matice (A I b) dospět ke schodovité matici (Ciď), která odpovídá systému C x = d, ekvivalentnímu k systému lineárních rovnic Ax = b. V kapitole ?? jsme uvedli postup převodu matice na schodovitý tvar užitím elementárních transformací. Řešení systému lineárních rovnic Ax = b lze tímto způsobem převést na řešení systému lineárních rovnic se schodovitou maticí soustavy. Postup řešení systému lineárních rovnic Nechť je dán systém lineárních rovnic Ax = b (208) o n neznámých X\, ..., xn. Tento systém lineárních rovnic můžeme řešit v těchto krocích 1. K daném systému rovnic přiřadíme matici rozšířenou (AIb). 2. Užitím vhodných elementárních transformací 7ťl(á,a), a ^ 0, H2{i, j), W3(i, j), H4{i,a,j), H5(i,a,j,ß), ß ŕ 0 postupně aplikovaných na matici (AI6), vytvoříme horní schodovitou matici (F\g). 122 3. Vypustíme nulové řádky matice (F\g). Takto vzniklou matici označme (Cid). Této matici odpovídá systém rovnic Cx = d. 4. Nechť systém (209) má tvar Cl,si%si + • • • + C\rS2Xg2 + . . . + C\rSh_1XSh_1 + c2,s2xs2 + • • • + C2:sh_1XSh_1 + Ch-ly$h-iXSh-i * ■ ■ v němž číslo dh je různé od 0, nebo tvar Cl,si%si ~r • • • ~r C\g2Xg2 -\- • • • ~r C\^ShXSh -\-C2,s2XS2 + . . . + C2,ShXSh + ch,sh%sh + v němž ci;Sl, c2y?21 ..., Ch,Sh jsou různá od 0. Systém (210) nemá řešení, neboť jeho poslední rovnice je tvaru 0 • x\ + ... + 0 • xn = konst, kde konst ^ 0. (212) Této rovnici nevyhovuje žádný vektor x. Systém rovnic (210) obsahuje rovnici tvaru (212), když a jenom když matice soustavy C a matice rozšířená (C I d) mají různé hodnosti. Poněvadž jsme k systému rovnic Cx = d dospěli elementárními transformacemi ze systému Ax = 6, můžeme vyslovit tento prozatímní závěr. Jestliže hodnost matice soustavy A je menší než hodnost matice rozšířené (AIb), nemá systém rovnic Ax = b řešení. Matice soustavy systému rovnic (211) je horní schodovitou maticí. O jeho řešení pojednáme později (str. 126). (209) • • * C-\nXn = d\ • • ~r C-2,n%n = d2 i C-h—l,n%n = dh. U • Xn = dh (210) • + CX,nXn = Ďi • + ConXn = d2 '2ir • * C-fi nXr dh 123 Řešení systému lineárních rovnic s regulární horní trojúhelníkovou maticí soustavy Řešme systém rovnic Cx = d, (213) kde C je horní regulární trojúhelníková matice řádu n, d je n-rozměrný sloupcový vektor a a? je n-rozměrný sloupcový vektor neznámých. Rozepsáním tohoto systému dostáváme ( CM Cl,2 Cl,n-1 C\,n 0 C2,2 C2,n-1 C2,n 0 0 0 C~n—l,n—1 C-n—l,n ^ o 0 0 0 C~n,n \ / II \ x2 ) \ Xn—1 Xn ) l di \ d2 dn-í V dn ) (214) Zpětná substituce. Poněvadž dle předpokladu je matice C regulární, jsou její prvky na hlavní diagonále různé od nuly. Tento systém rovnic lze řešit metodou, zvanou metoda zpětné substituce. Z poslední rovnice vypočítáme xn. Dostáváme >Áj r Q>n/ C-n:w '215^ Dosadíme-li do předposlední rovnice za xn vypočítanou hodnotu (215), dostáváme Cfi—l,n—l ' Xfi—i ~t~ Cn_i n • CLn/ Cnn dn—\. (216) Odtud Xfl—Í -L/C; n—l,n—1 ' y-^n—l (dr C~n—l,n ' u>n/Cn,n}' ;2i7) Když jsme již vypočítali xn, xn-i, dosadíme tyto hodnoty do (n — 2)-té rovnice a vypočítáme xn-2. Tímto způsobem dále pokračujeme. Když jsme již vypočítali xn,xn-i}... ,x2, dosadíme tyto hodnoty do první rovnice a vypočítáme zbývající hodnotu X\. 124 2x\ + 3x2 + %3 = = 11 x2 + 2x3 = = 9 2x3 = = 8. Příklad 11.1 Nalezněte řešení systému lineárních rovnic (jehož matice soustavy je horní trojúhelníková matice). (218) Z poslední rovnice vypočítáme x%. Dostáváme xs = 4. Dosazením této hodnoty do druhé rovnice dostáváme rr2 + 8 = 9. Odtud dostáváme X2 = 1. Dosaďme za X2,xs tyto vypočítané hodnoty do první rovnice systému. Dostáváme 2xi + 3 + 4= 11. Odtud dostáváme x\ = 2. Řešením zadaného systému rovnic (218) jsme tedy obdrželi x\ = 2, X2 = 1, xs = 4. Řešení systému lineárních rovnic s regulární diagonální matici soustavy. Řešme systém rovnic Cx = d) kde matice C je regulární diagonální matice. Rozepsáním lze tento systém zapsat takto C\y\Xi = d\ C2,2%2 d2 Cn—l,n—l%n—l = dn-í C~n,n%n = an. (219) Řešením tohoto systému rovnic je zřejmě vektor x = C d, to jest Xi třj/ Cj(j, % 1, Z, . . . , Tl. 125 Příklad 11.2 Nalezněte řešení systému rovnic s diagonální matici soustavy 2x\ = 6, 3rr2 = 1, -2x3 = 5. Řešení. Z první rovnice vypočítáme x\. Dostáváme X\ = 3. Z druhé rovnice vypočítáme x2. Dostáváme X2 = 1/3. Z třetí rovnice vypočítáme xs. Dostáváme xs = —5/2. Řešení systému lineárních rovnic s horní schodovitou maticí soustavy (220) typu (/i,n)7 s hodností h < n. Tento systém lze rozepsat takto Cl,si%si ~r • • • ~r C\g2Xg2 -\- . . . -\- C\^SfXSfi -\- . . . -\- C\nXn CL\ C2,s2XS2 + . . . + C2,ShXSh + . . . + C2,nXn = d2 \ \ \ (220) V něm jsou prvky ci;Sl, c2:S2,..., Ch)Sh různé od nuly. Při jeho řešení postupujeme takto. Všechny členy tohoto systému rovnic, které obsahují neznámé Xj, kde j G {{1, 2,..., n} — {s\, s2,... , sŕ převedeme na pravou stranu systému rovnic. V dalším je budeme považovat za parametry; je jich celkem d = n — h. Obdržíme tak systém h rovnic o h neznámých xSl,xS2,... }xSfl s horní regulární trojúhelníkovou maticí soustavy, jehož pravá strana závisí na d parametrech. Jeho řešením zpětnou substitucí dostaneme h složek řešení závislých na uvedených d parametrech. (Způsob řešení systému lineárních rovnic s trojúhelníkovou maticí soustavy; byla nahoře popsaná.) Řešení daného systému rovnic je pak vektor x, jehož složky jsou zavedené parametry v počtu d a vypočítané složky xSl, xS2,..., xSh. Příklad 11.3 Nalezněte řešení systému lineárních rovnic x\ + 2x2 + xs + 4aľ4 + x$ + 2xq + 7aľ7 = 40 - 2x:i + x5 - x7 = -8 (221) xq — 3aľ7 = —15 126 o neznámých Xi, i = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7. Řešení. Maticí soustavy je horní schodovitá matice 12 14 12 7 A=| 0 0 -2 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 1-3 Označme b vektor pravých stran a x vektor neznámých. Potom je í X\\ x2 x3 X == X/± x5 X& \X7 / Zadaný systém (221) rovnic lze pak zapsat v maticové notaci jako A x = b. Matice soustavy i matice rozšířená mají stejnou hodnost h = 3. Má tedy systém řešení. Zadaný systém rovnic přepíšeme tak, že na pravou stranu převedeme všechny členy rovnic obsahující neznámé x2, x^ x$, x-j. Dostáváme tak systém rovnic x\ + xs + 2xq - 2x3 x& 40 — 2x2 — 4aľ4 — x$ — 7x7 -8 - x5 + x7 (222) -15 + 3x7 Dosadíme-li za neznámé £2,^4,^5,^7 do (222) jakákoliv čísla, je pravou stranou takto vzniklého systému konstantní vektor a systém 127 přechází na systém 3 rovnic o třech neznámých xi,xs,xq. Matice soustavy tohoto systému je regulární horní trojúhelníková matice řádu 3. Jeho vyřešením dostáváme hodnoty neznámých x\,Xs,Xq, které spolu se zvolenými hodnotami £2,^4,^5,^7 dávají řešení zadaného systému lineárních rovnic. Na neznámé x2, £4, £5, x-j se budeme tedy dívat jako na parametry. Kvůli zvýšení přehlednosti zavedeme toto označení parametrů: x2 = ci, xA = c2, x5 = c3, x7 = c4. (223) Dosazením těchto parametrů do (222), dostáváme x\ + Xs + 2xq = 40 — 2ci — 4c2 — C3 — C4 - 2x3 = -8 - c3 + C4 (224) 2ľ6 = —15 + 3C4 Z poslední rovnice vypočítáme xq. Dostáváme X6 = —15 + 3C4. Do druhé rovnice dosadíme vypočítanou hodnotu xq a vypočítáme x3. (Dosazení za xq se neprojeví, neboť koeficient u xq je v této rovnici roven 0.) Dostáváme ^3 = 4 + 1/2C3 - l/2c4. Dosadíme tyto vypočítané hodnoty za £3, Xq do první rovnice systému (224) a vypočítáme £1. Dostáváme xi = 66 - 2ci + 4c2 + l/2c3 - 25/2c4. 128 Všechna řešení zadaného systému rovnic (222) lze zapsat takto / 66 - 2ci + 4c2 + 1/2C3 - 25/2c4 \ ci 4 + 1/2C3 - 1/2C4 C2 C3 -15 + 3c4 c4 X \ kde ci, C2, C3, C4 G IR jsou parametry. Toto řešení lze zapsat takto / x / 66 \ 0 4 0 0 -15 WW Partikulární řešení systému Aa; = b + Ci /-2\ 1 0 0 0 o \ ° / + c2 /4\ 0 0 1 0 o + C3 / 1/2 \ 0 1/2 0 1 0 \ ° / + c4 / -25/2 \ 0 1/2 0 0 3 1 V / Obecné řešení homogenního systému Ax = 0 Poznámka 1. Množinu všech řešení systému lineárních rovnic A • x = b nazýváme obecným řešením. Lze ukázat, že toto obecné řešení je součtem obecného řešení příslušného homogenního systému rovnic A • x = 0 a partikulárního, to jest libovolně zvoleného jednoho řešení systému rovnic A x = b, b ^ 0. Poznámka 2. V našem případě obdržené obecné řešení závisí na 4 parametrech. Znamená to, že každou volbou parametrů dostáváme řešení uvedeného systému lineárních rovnic a naopak, každé řešení daného systému rovnic dostaneme speciální volbou parametrů. 129 V tomto obecném řešení je vektor x / 66 \ 0 4 0 0 -15 v 0 ) jedním z řešení daného systému rovnic. Nazýváme je partikulárním řešením. Množina řešení c\ / -2\ /4\ / l/2\ /- -25/2 \ 1 0 0 0 0 0 1/2 -1/2 0 + c2- 1 + C3- 0 + c4 • 0 0 0 1 0 0 0 0 3 V o ) w V o ) \ 1 ) kde ci,C2,C3,C4 G IR jsou parametry, je obecným řešením systému A • x = 0, který se nazývá homogenním systémem rovnic, příslušným k danému systému rovnic A x = b. Poznámka 3. Vyjádření obecného řešení systému rovnic není jednoznačné (každé vyjádření ovšem obsahuje tutéž množinu všech řešení systému), dá se vyjádřit v různých tvarech. Dosavadní úvahy shrneme v následující větě. Věta. 11.3 (Frobeniova věta.) Nechť Ax = b '225^ 130 je systém m lineárních rovnic o n neznámých. Potom platí: Jestliže matice soustavy A má menší hodnost než matice rozšířená (Alb), potom systém rovnic (225) nemá řešení. Jestliže matice soustavy A má stejnou hodnost jako matice rozšířená (AI6), potom systém rovnic (225) má řešení. Jestliže tato společná hodnost je rovna počtu neznámých n, potom má právě jedno řešení. Jestliže tato společná hodnost je h < n, potom má nekonečně mnoho řešení, závislých na n — h parametrech. Uveďme ukázky řešení několika úloh, v nichž matice soustavy není schodovitá. Příklad 11.4 Řešte systém lineárních rovnic x\ + 2x2 — 3aľ3 + X4 = 2x\ — X2 + xs — X4 = Axi + 3aľ2 — 5xs + x^ = = 1 = 1 = 3 (226) Řešení. K danému systému rovnic napíšeme odpovídající rozšířenou matici soustavy / 1 2-3 1 1 \ (AI 6) =2-1 1-11. (227) \ 4 3-5 13/ Tuto matici transformujeme elementárními transformacemi na horní schodovitou matici. Aplikujeme-li na tuto matici postupně transformace 71^(1,-2,2), H4(l,-4>4)> dostaneme 1 2 -3 1 1 0 -5 7 -3 -1 0 -5 7 -3 -1 A\b). Transformací TĹ4 (2,-1,3) na tuto matici, Dostaneme horní schodovitou matici ' 1 2-3 1 1 0-5 7 -3 -1 j - (Alö). 0 0 0 0 0 131 V této matici vypustíme řádek obsahující samé 0. Dostáváme tak matici, označme ji (B\c), které odpovídá systému (228) Bx = c, ekvivalentní s daným systémem rovnic (226). x\ + 2x2 — 3aľ3 + x\ — 5x2 + 7xs — 3aľ4 1 -1 (228) Členy těchto rovnic obsahující neznámé xs,X4 převedeme na pravou stranu systému. Budeme je považovat za parametry. Zároveň položíme c\ = xs, c2 = xA. Dostáváme x\ + 2aľ2 = 1 + 3ci — c2, — 5aľ2 = — 1 — 7ci + 3c2- Z poslední rovnice vypočítáme x2. Dostaneme x2 1/5 • (1 + 7ci - 3c2; Dosadíme tuto vypočítanou hodnotu x2 do první rovnice a vypočítáme z takto vzniklé rovnice x\. Dostaneme X\ l/5-(3 + ci + C2). Obecným řešením zadaného systému lineárních rovnic (226) je tedy vektor x x ( (1/5 • (3 + ci + c2) \ 1/5 • (1 + 7ci - 3c2) \ c2 ) Toto obecné řešení lze zapsat ve tvaru ( 3/5 \ / 1/5 \ / 1/5 \ 7/5 kde c\,c2 G 1/5 0 V o ) + Ci V o ) + C2 V -3/5 O 1 kde c\,c2 G / 132 11.3 Gaussova eleminační metoda. V následujícím výkladu nejde o nic nového. Jde o zavedení názvu pro metodu, o které jsme již obecněji pojednali. Speciální případ uvádíme proto, že se s tímto názvem můžete setkat. Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n, b je n-rozměrný sloupcový vektor a a? je neznámý n-rozměrný sloupcový vektor. Uvažujme systém n lineárních rovnic Ax = b. (229) Tento systém rovnic (229) řešme takto: 1. Matici (AI6) transformujeme elementárními transformacemi na matici (Tle), (230) kde T je horní trojúhelníková matice. (Je to speciální případ schodovité matice.) 2. Řešíme obdržený systém rovnic T x = c s horní trojúhelníkovou maticí metodou zpětné substituce. Tento způsob výpočtu se nazývá Gaussova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spočívajících jak ve výběru hlavních řádků (při transformaci rozšířené matice soustavy na horní schodovitou matici), tak i při provádění jednotlivých kroků v elementárních transformacích, jimiž se systém rovnic (229) převádí na systém rovnic (230). Příklad 11.5 Gaussovou eliminační metodou řešte systém lineárních rovnic Ax = 6, kde / 1 -3 2\ /1\ A= 0 5-2, 6=4. V-2 4 l) V9/ 133 K systému rovnic přiřadíme rozšířenou matici soustavy (A\b) = 1 -3 2 1 0 5 -2 4 2 4 1 9 Tuto matici převedeme elementárními transformacemi na matici (BIc), kde matice B je horní trojúhelníková matice. Postupně dostáváme 1-3 2 1 \ / 1 -3 [A\b) =| O 5-2 4-0 5 -2 4 19/ V O -2 L -3 2 1 ) 5 -2 4 ) O 21 63 Poslední matici odpovídá systém lineárních rovnic x\ — ?>X2 +2aľ3 = 1, 5aľ2 —2aľ3 = 4, 21x3 = 63. Tento systém řešíme metodou zpětné substituce. Z poslední rovnice vypočítáme xs. Dostáváme xs = 3. Dosadíme-li tuto hodnotu do druhé rovnice a vypočítáme X2, dostáváme X2 = 2. Dosadíme-li nyní do první rovnice vypočítané hodnoty xs,X2, dostáváme z ní x\ = 1. Je tedy hledaným řešením vektor x 134 11.4 Jordánova eliminační metoda. V následujícím výkladu pojednáme o metodě založené na speciálně cílenou elementární tranformaci rozšířené matice soustavy. (Popis algoritmu je na str. 137.) Nechť A je regulární čtvercová matice řádu n, b je n-rozměrný sloupcový vektor a a? je neznámý n-rozměrný sloupcový vektor. Uvažujme systém lineárních rovnic Ax = b. (231) Systém rovnic (231) řešme takto: 1. Matici (AI6) transformujeme elementárními trasformacemi na matici (Cid), kde C je regulární diagonální matice řádu n. 2. Řešíme systém rovnic s diagonální maticí Cx = d. (232) Tento způsob výpočtu se nazývá Jordánova eleminační metoda. Tato metoda má mnoho variant, spočívajících jak ve výběru hlavních řádků tak i při provádění jednotlivých kroků v elementárních transformacích, jimiž se systém rovnic (229) převádí na systém rovnic (232). Příklad 11.6 Jordánovou eliminační metodou řešte systém lineárních rovnic Ax = 6, kde / 1 -3 2\ /1\ A= 0 5-2, 6=4. \-2 4 1/ \9j K systému rovnic přiřadíme rozšířenou matici soustavy / 1 -3 2 11 \ (A\b)= 0 5 -2 14 . \-2 4 1 19/ 135 Tuto matici převedeme elementárními transformacemi na matici (Cid), kde matice C je diagonální matice, (to lze, jestliže matice A je regulární). Postupně dostáváme 1 -3 2 11 0 5 -2 14 2 4 1 19 1 -3 2 11 0 5 -2 14 0 -2 5 111 nu nu :A\b) Poslední matici odpovídá systém rovnic 105xi = 105,105rr2 = 210, 21z3 = 63. Jeho řešením dostáváme hledaný vektor x Jordánova metoda na řešení maticové rovnice AX = B Uvažujme systém rovnic AX = B, (233) kde A je daná regulární matice řádu n, B je daná matice typu (n, m) a X je neznámá matice typu (n, m). Každý sloupec X(:, j), j = 1, ... , m, matice X je řešením systému rovnic AX(:,j) = £?(:, j), J = l,...,m. (234) Máme tedy řešit m systémů rovnic (234) se stejnou maticí soustavy A. Tyto systémy můžeme řešit najednou. K systému rovnic (233) přiřaďme matici rozšířenou F = {A\B). (235) 136 Užitím elementárních transformací transformujeme matici F na matici U=(D\C), (236) kde D je diagonální matice. Položme G := D1 U. Matice G má tedy tvar G = (E\R). Tato matice odpovídá systému rovnic EX = R, (237) který je ekvivalentní se systémem (233). Poněvadž E . X = X, dostáváme ze systému (237) X = R, (238) takže matice Ä je řešením systému (233). 11.5 Výpočet inverzní matice k regulární matici řádu n Jordánovou metodou V podkapitole 5.4 jsme ukázali, že v případě, že matice A je regulární, potom inverzní matici, označme ji X, nalezneme řešením systému rovnic AX = E. Jde tedy o řešení systému, který je speciálním případem systému rovnic (233). Převod matice F elementárními transformacemi na matici G. Algoritmus. Předpokládejme, že proměnné F je přiřazena matice (A I B) a proměnné n je přiřazen řád matice A a proměnné m je přiřazen počet sloupců matice B. 137 Začátek Bl Začneme s úpravou prvního sloupce matice F. Položíme 3 ■= 1-B2 Zvolme p G {j, j + 1,..., n}, pro něž je fpj ŕ o. (Takové p existuje vzhledem k regulárnosti matice A.) Touto volbou zvolíme p-tý řádek matice F jako hlavní pro následné eliminace. Jestliže p = j, je j-tý řádek hlavní a jdeme k B3. Jestliže P ¥" Ji vyměníme navzájem p—tý a j—tý řádek matice F a jdeme kB3. B3 Pro i = 1, ... ,n,i ^ j, provedeme tyto úkony bl Položme i := 1, jdeme k b2. b2 Jestliže i = j jdeme k b4, jinak k b3. b3 Je-li fij = 0, jdeme k b4, jinak položíme F = m{J)-fhJ/fJ,)i)F. (Po této transformací bude fij = 0.) Jdeme k b4. b4 položme i := i + 1. Je-li i < n jdeme k bodu b2, jinak jdeme k bodu B4. B4 Položme j := j + 1. Jestliže j < n, jdeme k B2. Jinak jdeme k bodu B5. B5 Původní matice F se transformovala na matici F = (D I C) kde matice D je diagonálni. Potom hledaná matice G je G := DlF = (E\R). 138 Příklad 11.7 Nalezněte inverzní matici k matici (239) Řešení. Označme X matici inverzní k matici A. Předpokládáme-li, že matice A je regulární, je hledaná matice X řešením systému lineárních rovnic AX = E. Této rovnici odpovídá matice F = (A\E), to jest matice 12 4 10 0 F = | -2 1 2 0 1 0 | . (240) 4 3 5 0 0 1 Na matici F budeme postupně aplikovat elementární tranasformace podle nahoře popsaného algoritmu. Položme j := 1. Začneme s úpravami prvního sloupce matice F. Za hlavní řádek zvolíme řádek 1. (Prvek f\^ ^ 0.) Elementárními transformacemi typu 7Y4 dosáhneme toho, aby ve vzniklé matici byly prvky /2;i, /3;i rovny nule. Provedením transformace F := 7ť4(l, — /2,i//i,i, 2,1).F , to jest transformací F := 7Y4(1, 2, 2,1)F dostáváme 12 4 10 0 0 5 10 2 1 0 4 3 5 0 0 1 Provedením transformace F := 7ť4(l, — /3;i//i;i, 3,1).F to jest provedením transformace F := 7Y4(1, —4, 3,1).F dostáváme F := Položme j := 2. Začneme s úpravami druhého sloupce matice F. 1 2 4 1 0 0 0 5 10 2 1 0 0 -5 -11 -4 0 1 139 Za hlavní řádek zvolíme řádek 2. (Prvek ^2,2 7^ 0.) Elementárními transformacemi typu 7Y4 dosáhneme toho, aby ve vzniklé matici byly prvky /i;2, Í3,2 rovny nule. Provedením transformace F := 7ť4(2, —/i;2/f2,2,1,1)-P\ to jest provedením transformace F := 7ť4(2, —2/5,1,1).F dostáváme F:= Provedením transformace F := 7ť4(2, — f3,2/f2,2, 3,1)-F, to jest provedením transformace F := 7ť4(2, 5/5, 3,1).F, dostáváme 1 0 0 1/5 -2/5 » 0 0 5 10 2 1 0 0 -5 -11 -4 0 1 1 0 0 1/5 -2/5 0 0 5 10 2 1 0 0 0 -1 -2 1 1 Položme j := 3. Začneme s úpravami třetího sloupce matice F. Za hlavní řádek zvolíme řádek 3. (Prvek f3^3 ^ 0.) Poněvadž f\^ = 0, provedeme jenom takovou elementární transformaci typu 7ť4, aby ve vzniklé matici byl prvek ^2,3 roven nule. Provedením transformace F := 7ť4(3, — f2,3/f3,3, 2,1).F, to jest transformací F := 7ť4(3,10, 2,1).F dostáváme 1 0 0 1/5 -2/5 0 0 5 0 -18 11 10 0 0-1 -2 1 1 F := Označme obdrženou matici F jako F=(D\C) Je tedy D 140 K ní inverzní maticí je matice Položme Dostáváme 1 0 0 D1 = ( 0 1/5 0 0 0-1 G :=DlF. 10 0 1/5 -2/5 0 G= I 0 1 0 -f f 2 18 11 ' 5 5 0 0 12 -1 -Matici G lze zapsat jako G = (E\R). Této maticí odpovídá systém rovnic EX = R ekvivalentní s daným systémem rovnic AX = inverzní maticí matice 1/5 -2/5 0 X = R= I -f 'i 2 141