MASARYKOVA UNIVERZITA ˇ EKONOMICKO-SPR ÁVNÍ FAKULTA
Aplikace ekonomicko-matematických modelů
kostra přednášek + příklady na procvičení
HANA FITZOV Á
BRNO 2007
Obsah
1. Tempa růstu 5
1.1 Úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Tempa růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Ekonomika Robinsona Crusoe 9
2.1 Výrobní možnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Preference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Hledání optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Řešení dosazením omezení do cíle . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Řešení s využitím Lagrangeových multiplikátorů . . . . 10
2.4 Důchodový a substituční efekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Domácnosti s trhem zboží a obligací 12
3.1 Model 2 období . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 "Nekonečný" model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Trh práce 19
4.1 Rovnováha trhu práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Mezičasová volba práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Hospodářský cyklus 23
5.1 Šoky a šířící mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1
5.2 Model reálného hospodářského cyklu . . . . . . . . . . . . . . 24
5.3 Simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.4 Hodrick-Prescottův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Hospodářský růst 34
6.1 Fakta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Solowův model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2.1 Konstantní populace i technologie . . . . . . . . . . . . 35
6.2.2 Růst populace (bez technologického pokroku) . . . . . . 36
6.2.3 Technologický pokrok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.4 Růstové účetnictví . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Aplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.4 Růstové účetnictví . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.5 Porodnost a lidský kapitál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. Box-Jenkinsonova metodologie 50
7.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.1.1 Stacionarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.1.2 Autokorelační a parciální autokorelační funkce . . . . . 50
7.2 Základní procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2.1 AR procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2.2 MA procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2.3 Základní charakteristiky procesů . . . . . . . . . . . . . 52
7.2.4 ARMA procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.5 ARMAX procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.6 ARIMA procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8. Nestacionární data 57
8.1 Deterministický a stochastický trend . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1.1 Náhodná procházka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2
8.1.2 Náhodná procházka s driftem . . . . . . . . . . . . . . 60
8.1.3 Náhodná procházka s šumem . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Odstranění trendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2.1 Diferencování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.2 Detrendování . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 Jednotkové kořeny (unit roots) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.4 Dickey-Fuller testy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.5 Strukturální změny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.6 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9. Kointegrace časových řad 75
9.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Testování Grangerovy kauzality . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.3 "Error correction" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10. Monetární politika ­ statický model 82
10.1 Cílová funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.2 Ekonomika a její vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3 Rovnovážná inflace při lineární formulaci . . . . . . . . . . . . 84
10.3.1 Diskrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3.2 Pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.4 Rovnovážná inflace při kvadratické formulaci . . . . . . . . . . 86
10.4.1 Diskrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.4.2 Pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.5 Problém nekonzistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.6 Pohled teorie her . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11. Monetární politika ­ dynamický model 95
11.1 Model ekonomiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 Optimální měnová politika bez závazku . . . . . . . . . . . . . 98
11.3 Problém inflačních tlaků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.4 Optimální měnová politika se závazkem . . . . . . . . . . . . . 103
3
11.5 Praktické komplikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.5.1 Nedokonalá informace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.5.2 Transmisní zpoždění . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.5.3 Volba instrumentu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.5.4 Vyhlazování úrokových měr . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.5.5 Oportunistický přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.6 Formální zápis modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.6.1 Ukázka zadání a odhadu modelu v Matlabu . . . . . . . 109
11.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
12. Racionální očekávání 111
12.1 Princip racionálních očekávání . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.2 Řešení lineárních modelů s RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.2.1 Převod modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.2.2 Rozklad a transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
12.2.3 Nestabilní část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.2.4 Stabilní část . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.2.5 BK podmínka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13. Metody odhadu 119
13.1 Odhad parametrů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13.2 Metoda nejmenších čtverců . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
13.3 Metoda maximální věrohodnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
13.4 Kalmanův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.4.1 Obyčejný Kalmanův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.4.2 Rozšířený Kalmanův filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.5 Bootstrap filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1. Tempa růstu
1.1 Úročení
P . . . investovaná částka; R . . . roční úroková míra
* Jednoduché úročení
Vs(n) = P + P  R  n (1.1)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený jednoduchým způsobem úročení,
s roční úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik dostanete za dva roky?
[5450 Kč]
* Složené úročení na konci roku
Va(n) = P  (1 + R)n
(1.2)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený složeným způsobem úročení na
konci roku, s roční úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik dostanete za dva
roky? [5460.13 Kč]
* Složené úročení t-krát ročně
Vt(n) = P  1 +
R
t
tn
(1.3)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený složeným způsobem úročení každý
den (tj. 365 krát za rok), s roční úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik
dostanete za dva roky? [5470.84 Kč]
5
ˇ Spojité úročení
Vc(n) = lim
t
P  1 +
R
t
tn
= P  eRn
(1.4)
Vložíte-li si na dva roky na účet úročený spojitým způsobem úročení, s roční
úrokovou mírou 4.5% pět tisíc korun, kolik dostanete za dva roky? [5470.87 Kč]
1.2 Tempa růstu
Úroková míra = míra růstu hodnoty aktiva. Výše uvedené vztahy tedy platí i
pro ostatní ekonomické veličiny, např. HDP, cenovou hladinu apod.
V dané zemi byl HDP v roce 2001 100 mil. USD, v roce 2002 130 mil. USD
a v roce 2003 135 mil. USD. Jakým tempem (jednoduché úročení) rostl HDP
z roku 2002 na rok 2003? Jakým tempem rostl HDP z roku 2001 na rok 2003
(složené roční i spojité úročení)? [3.85%; 16.19%, 15%]
Ekonomové často používají spojité míry růstu, protože je to výpočetně jednoduché
­ stačí jen odečíst logaritmy hodnot.
1.3 Cvičení
Příklad 1.1. Jaká je denní úroková míra, je-li roční 16.8%?
[0.046%]
Příklad 1.2. Váš kamarád je vám ochoten půjčit 1000 USD na týden, když mu
pak vrátíte o 25 USD více. O jakou anualizovanou úrokovou míru si vlastně
říká? (Rok má 52 týdnů).
[130%]
Příklad 1.3. V jednotlivých čtvrtletích let 2003 a 2004 nabýval index CPI v jisté
zemi postupně následujících hodnot: 155.7, 156.7,157.8,158.6, 160.0, 160.3,
6
161.2, 161.3. Jaké je tempo růstu CPI mezi 2. čtvrtletím (Q2) roku 2003 a 3.
čtvrtletím (Q3) roku 2003? (Užijte spojitého úročení, svoji odpověď anualizuj-
te).
[2.798%]
Příklad 1.4. Na základě dat z předchozího příkladu spočtěte míru růstu CPI
v prvních čtyřech uvedených čtvrtletích. (Použijte spojité míry růstu, odpověď
neanualizujte). Ukažte, že suma těchto čtyřech měr je stejná jako míra růstu (při
spojitém úročení) z Q1 2003 na Q1 2004.
[0.64%, 0.7%, 0.51%, 0.88%; 2.72%]
Příklad 1.5. Předpokládejme, že v prvních padesáti letech tohoto tisíciletí poroste
reálný výstup USA dvouprocentním tempem. Jak dlouho by při tomto
tempu (při složeném ročním a při spojitém úročení) trvalo, než by se reálný
výstup zdvojnásobil?
[34.66let; 35 let]
Příklad 1.6. Jednoho dne investujete 10000 USD s úrokem 6.5% skládaným
ročně. Kdy nejdříve bude mít investice hodnotu 15000 USD? Odpověď vyjádřete
jako počet let a dní. ( Úrok přibývá každý den, ale úročení je roční). D Ú
do 5. 10. 2007
Příklad 1.7. Předpokládejme, že ročně zmizí ze země 4.6% pralesů. Za jak
dlouho jich bude jenom polovina? (Použijte roční úročení a výsledek zaokrouh-
lete).
[15 let]
Příklad 1.8. Světová populace čítala v roce 1700 zhruba 679 milionů lidí, v roce
1800 už 954 milionů lidí. Jakým ročním tempem rostla populace mezi léty
1700 až 1800? (Použijte spojité úročení). Předpokládejme, že lidstvo začalo
Adamem a Evou, a že tempo růstu populace z let 1700 až 1800 bylo stejné i
předtím. Ve kterém roce museli být Adam s Evou vyhnáni z ráje? (Jaká v té
době byla populace?)
3.4  10-3%; 4077 B. C.
7
Příklad 1.9. Reálný důchod na hlavu v USA v roce 1984 byl 15400 USD,
v Japonsku 10600 USD. Mezi lety 1965 až 1984 rostl reálný důchod na hlavu
v USA ročním tempem 1.7% (roční úročení), v Japonsku tempem 4.7%. Pokud
tato tempa růstu zůstanou konstantní, ve kterém roce budou reálné důchody na
hlavu v obou zemích stejné? (Použijte roční složené úročení). Jaká bude v tomto
roce výše důchodu na hlavu?
[1997; 19124]
8
2. Ekonomika Robinsona Crusoe
2.1 Výrobní možnosti
* Crusoe je sám na ostrově
* zajímá ho spotřeba a volný čas
* vyrábí spotřební statky (např. kokosy) y pomocí práce l (část dne, kterou
pracuje), kapitálu k a technologie A
* y = A  f(k, l) tj.  A  y
* f je rostoucí funkcí k a l, tj. MPK = f
k > 0, MPL = f
l > 0
* f(0, l) = f(k, 0) = 0 k, l
* např. Cobb-Douglasova produkční funkce y = A  k1-
 l
,   0, 1
(konstantní výnosy z rozsahu)
* pro zatím se nebudeme zabývat kapitálem, tj. řekněme, že je konstantní,
např. k = 1
2.2 Preference
Robinson spotřebovává statky c, pracuje zlomek dne l a zbývá mu tedy zlomek
1-l dne volného času. Jeho preference zachycuje užitková funkce u(c, l). S růstem
dobrého statku roste i užitek. Např. u(c, l) = ln(c) + ln(1 - l).
9
2.3 Hledání optima
max
c,l
u(c, l) c  y, y = f(l) tj.
max
c,l
u(c, l) c = f(l)
2.3.1 Řešení dosazením omezení do cíle
max
l
u[f(l), l] (2.1)

l
{u[f(l
), l
]} = 0 (2.2)
Položíme první derivaci podle práce rovnu nule a dostaneme optimální množství
práce l
, volna = 1 - l
a spotřeby c
= f(l
).
Příklad 2.1. Je dána užitková funkce u(c, l) = ln(c) + ln(1 - l) a produkční
funkce tvaru y = f(l) = A  l
. Nalezněte optimální hodnoty l
a c
.
l = 
1+; c = A  ( 
1+)
2.3.2 Řešení s využitím Lagrangeových multiplikátorů
max
c,l
u(c, l) f(l) - c = 0
L(c, l, ) = u(c, l) + [f(l) - c] (2.3)
L
c
= u1(c
, l
) - 
= 0 (2.4a)
L
l
= u2(c
, l
) + 
 f (l
) = 0 (2.4b)
L

= f(l
) - c
= 0 (2.4c)
Z rovnic (2.4a) a (2.4b) vyjádříme  a získáme vztah mezi l
a c
, s využitím
rovnice (2.4c) pak dopočteme optimální množství práce a spotřebu.
10
Příklad 2.2. Řešte výše uvedený příklad s využitím Lagrangeovy funkce.
l = 
1+; c = A  ( 
1+)
2.4 Důchodový a substituční efekt
Jak se mění optimální spotřeba, když se mění technologie? Jak se mění
optimální množství práce, když se mění technologie? (Komparativní statika).
Např. C
A > 0 znamená  A   C.
2.5 Cvičení
Příklad 2.3. Osamoceného agenta zajímá jen spotřeba (c) a volný čas (g) v hodinách.
Jeho preference popisuje užitková funkce u = ln(c) + ln(g). Pokud se
agent zrovna neválí, tak pracuje pro sebe nebo pro souseda. Pracuje-li pro sebe
ns hodin, vyprodukuje y = 4

ns spotřebních jednotek. Pracuje-li pro souseda,
dostane hodinovou mzdu w ve spotřebních statcích. Formulujte optimalizační
problém.
Příklad 2.4. Předpokádejme, že preference Robinsona jsou popsány užitkovou
funkcí tvaru u(c, l) = c
 (1 - l)1a
produkční funkce je tvaru y = Al
.
Najděte optimální množství práce a spotřeby.
11
3. Domácnosti s trhem zboží a obligací
* spousta stejných domácností, vezmeme 1 reprezentativní
* užitková funkce je v jednotlivých časech separabilní ( je diskontní faktor),
tj. U(c1, c2, . . .) = u(c1) + u(c2) + 2
u(c3) + . . .
* yt je exogenní důchod (spadne z nebe) v čase t (ve spotřebním zboží)
* ct je spotřeba v čase t
* P je cena za 1 jednotku spotřeby
* bt jsou obligace v čase t, (b0 = 0), bt > 0  věřitel, bt < 0  dlužník
* R je úroková míra
* v čase t má domácnost k dispozici Pyt + bt-1(1 + R)
* a utratí Pct + bt, tedy rozpočtové omezení pro čas t je tvaru
* Pyt + bt-1(1 + R) = Pct + bt
3.1 Model 2 období
Nejprve se zaměříme na chování reprezentativní domácnosti, posléze na tržní
rovnováhu. V této části budeme uvažovat model dvou období, tj. t = 1, 2. Preference
domácností lze tedy zapsat jako
U(c1, c2) = u(c1) + u(c2) (3.1)
Ve druhém období nebude domácnost kupovat obligace, protože by jí to nic
nepřineslo. Proto b2 = 0 a v modelu zůstane pouze b1.
12
Rozpočtové omezení domácnosti v čase t = 1 tedy bude tvaru
Py1 = Pc1 + b1 (3.2)
a v čase t = 2
Py2 + b1(1 + R) = Pc2 (3.3)
Domácnost volí takovou spotřebu c1, c2 a držbu obligací b1, aby maximalizovala
svůj užitek (3.1) při rozpočtových omezeních (3.2) a (3.3).
Tento problém vyřešíme s využitím Lagrangianu.
L = u(c1) + u(c2) + 1(Py1 - Pc1 - b1) + 2[Py2 + b1(1 + R) - Pc2] (3.4)
kde 1, 2 jsou 2 Lagrengeovy multiplikátory. Položíme první derivace L rovny
nule a získáme podmínky prvního řádu pro extrém.
L
c1
= u (c
1) + 
1(-P) = 0 (3.5a)
L
c2
= u (c
2) + 
2(-P) = 0 (3.5b)
L
b1
= 
1(-1) + 
2(1 + R) = 0 (3.5c)
Ze vztahů (3.5a) a (3.5b) plyne

1 =
u (c
1)
P

2 = 
u (c
2)
P
a po dosazení do (3.5c) dostaneme
u
(c
1)
P
+ 
u (c
2)
P
(1 + R) = 0
neboli
u (c
1)
u (c
2)
= (1 + R) (3.6)
Rovnici (3.6) říkáme Eulerova rovnice. Popisuje vztah mezi mezními užitky
ze spotřeby v obou obdobích. Pro danou funkci u pak nalezeneme optimální
13
spotřebu a optimální množství obligací.
Příklad 3.1. Pro preference tvaru u(ct) = ln(ct) nalezněte Eulerovu rovnici a
optimum domácnosti.
Eulerova rovnice je tvaru c
2
c
1
= (1 + R). Spolu s oběma rozpočtovými
omezeními máme 3 rovnice o 3 neznámých, jejichž řešením je:
c
1 =
y2 + y1(1 + R)
(1 + )(1 + R)
c
2 = [y2 + y1(1 + R)]

1 + 
b
1 = Py1 P[y2
+ y1(1 + R)]
(1 + )(1 + R)
Nyní prozkoumáme, kdy nastává rovnováha trhu. Ekonomika se skládá ze
spousty (N) identických domácností. Domácnost je budťo věřitelem (b1 > 0)
nebo dlužníkem (b1 < 0). Protože ale předpokládáme, že všechny domácnosti
jsou stejné, tak si buď všichni půjčují nebo všichni prostředky poskytují. Aby na
trhu úvěru nastala rovnováha, musí tedy v rovnováze platit, že celková poptávka
po úvěrech je nulová, tj. nikdo nepůjčuje a nikdo si ani nechce půjčit:
Nb
1 = 0 (3.7)
Co vlastně rozumíme rovnováhou? Rozumíme tím řešení, při kterém
* všichni účastníci ekonomiky jsou cenovými příjemci
* chovají se racionálně
* a všechny trhy jsou vyčištěny
V námi uvažovaném typu ekonomiky vystupuje jednak cena za spotřebu P a
jednak cena za půjčku R. Účastníky ekonomiky je N domácností. Jednak musí
být v rovnováze trh zboží
Nyt = Nc
t t = 1, 2 (3.8)
14
a také trh obligací, což je dáno rovnicí (3.7).
Za rovnováhu tedy považujeme nastavení takových hodnot P
, R
, c
1, c
2 a
b
1, že platí:
* při daných cenách P
a R
volí všechny domácnosti takové c
1, c
2 a b
1, aby
maximalizovaly (3.1) vzhledem k omezením (3.2) a (3.3)
* trh zboží je vyčištěn v každém čase ­ viz (3.8)
* a trh obligací je též vyčištěn ­ viz (3.7)
Nejprve se podíváme na trh úvěru. Množství nakupovaných obligací závisí
na úrokové míře. Hledáme takovou úrokovou míru R
, při které se vyčistí trh
obligací, tj. takovou, že b
1(R
) = 0. Jelikož pro náš konkrétní příklad platí, že
0 = b
1(R) = Py1 P[y2
+ y1(1 + R)]
(1 + )(1 + R)
po drobných úpravách dostaneme pro náš případ následující vztah pro rovnovážnou
úrokovou míru:
R
=
y2
y1
- 1 (3.9)
Rovnovážná úroková míra závisí na důchodech domácností a na jejich netrpělivosti
(). Provedeme-li komparativní statiku při změně důchodu y2, dostaneme
R
y2
=
1
y1
> 0
tedy při zvýšení důchodu v druhém období se zvyšuje i rovnovážná úroková
míra (snaha o vyhlazování spotřeby ­ v prvním období investují méně, úroková
míra tedy roste).
Je důležité, že v našem modelu hraje roli pouze relativní změna důchodů.
Pokud se oba důchody zdvojnásobí, s rovnovážnou úrokovou mírou se nic nestane.
Pokud ekonomiku postihne dočasný šok takový, že y1 klesne o 10% a y2 se
nezmění, pak dle komparativní statiky musí úroková míra vzrůst. Dočasný negativní
důchodový šok tedy zvyšuje úrokovou míru. Jedná-li se o permanentní
šok, tj. y1 i y2 klesnou např. o 10%, pak se úroková míra nemění.
15
Druhou důležitou rovnovážnou cenou je cena spotřeby P
. Tato proměnná
nevystupuje ve vztazích pro c
1 a c
2. Ve vztahu pro obligace sice vystupuje, ale
po vložení rovnovážné podmínky b
1 = 0 také mizí. Je to proto, že s růstem
cen má domácnost vyšší důchod, ale platí také více za spotřebu, takže žádná
reálná změna nenastává. Existuje tedy nekonečně mnoho rovnovážných situací,
protože rovnovážná cena P
může být jakákoli.
3.2 "Nekonečný" model
Výše uvedený model dvou období rozšíříme na model nekonečně mnoha
období. Užitková funkce domácnosti je nyní tvaru
U(c1, c2, . . .) = u(c1) + u(c2) + 2
u(c3) + . . .
V každém čase je rozpočtové omezení domácnosti tvaru:
Pyt + bt-1(1 + R) = Pct + bt t = 1, 2, . . .
V každém čase se domácnost rozhoduje, kolik spotřebuje a kolik pořídí obligací,
jejím cílem je tedy:
max
{ct,bt}
t=1

t=1
t-1
u(ct)
za podmínek
Pyt + bt-1(1 + R) = Pct + bt t = 1, 2, . . .
Lagrangeova funkce je tedy tvaru
L =

t=1
t-1
u(ct) +

t=1
t[Pyt + bt-1(1 + R) - Pct - bt]
Podmínky optimality pro čas t jsou tedy tvaru:
L
ct
= t-1
u (c
t ) + 
t (-P) = 0 (3.10a)
L
bt
= 
t (-1) + 
t+1(1 + R) = 0 (3.10b)
16
Z rovnice (3.10b) plyne, že

t

t+1
= 1 + R (3.11)
Přepíšeme-li podmínku optimality pro spotřebu dostaneme
t-1
u (c
t ) = 
t P
Tuto rovnici posuneme o krok dopředu, tj. t t + 1
t
u (c
t+1) = 
t+1P
Podělíme-li poslední dvě uvedené rovnice, dostaneme
u (c
t )
u (c
t+1)
=

t

t+1
a po dosazení vztahu (3.11) máme
u (c
t )
u (ct+1)
= (1 + R)
Tato Eulerova rovnice je stejná jako ta odvozená u modelu dvou období. Je
to proto, že domácnoct čelí stejnému mezičasovému rozhodování.
3.3 Cvičení
Příklad 3.2. Uvažujme model dvou období uvedený v části 3.1. Předpokládejme
užitek ve tvaru u(ct) =

ct. Určte Eulerovu rovnici. Nalezněte optimální spotřebu
a optimální množství obligací. Stanovte rovnovážnou úrokovou míru. Vyšetřete
dopad trvalého negativního důchodového šoku (v obou obdobích o stejnou
částku) reprezentativní domácnosti na vývoj rovnovážné úrokové míry.
Jaký je rozdíl oproti řešení výše řešeného příkladu s preferencemi tvaru u(ct) =
ln(ct)?
Příklad 3.3. Vyjděte ze vztahu pro rovnovážnou úrokovou míru v modelu dvou
období (3.9). Jak se změní úroková míra, pokud se domácnost stane více netrpělivou?
(Provedťe komparativní statiku). Dále určete, jak se změní rovnovážná
úroková míra, pokud domácnost postihne dočasný negativní důchodový šok
v prvním období. (Provedťe komparativní statiku).
17
Příklad 3.4. Mařenka žije dvě období. V každé periodě odněkud dostane spotřební
statky: e1 v první periodě, e2 ve druhé. Nemusí tedy pracovat. Její preference
jsou tvaru u(c1, c2) = ln(c1) +  ln(c2). V prvním období je schopna
uspořit s statků. Protože úspory špatně skladuje, napadnou jí je krysy a v dalším
období jí z nich zůstane pouze (1 - )s.
Zapište Mařenčin optimalizační problém. Vyřešte Mařenčin optimalizační
problém (tj. nalezněte optimální volbu při daném e1, e2,  a ). Jak se změní
Mařenčino rozhodnutí (spořit a spotřebovávat), pokud se jí podaří snížit škody
napáchané krysami? (Provedťe komparativní statiku). D Ú do 12. 10. 2005
Příklad 3.5. Jeníček žije 5 období a vlastní jedlý strom. Přišel na svět v čase
t = 0, kdy měl strom velikost x0. Nechť Ct je jeho spotřeba v čase t. Pokud sní
v čase t celý strom, pak ct = xt a nezbyde mu nic na dny budoucí.
Pokud ho nesní celý, pak zbytek roste tempem  mezi jednotlivými obdobími.
Zlomek stromu, který Jeníček uspoří v čase t je st.
Jeníčka zajímá pouze spotřeba, jeho preference jsou tvaru U =
4
t=0
t
ln(ct).
Jeho strom je jeho jediným zdrojem. Zapište Jeníčkův optimalizační problém.
18
4. Trh práce
Nejprve se budeme zabývat modelem jednoho období, potom dále rozvineme
model dvou období z předchozí kapitoly.
4.1 Rovnováha trhu práce
Ekonomiku tvoří spousta identických domácností. Každá domácnost vlastní
farmu, na níž zaměstnává pracovníky produkující spotřební statky. Každá domácnost
také nabízí vlastní práci ostatním farmářům, za což dostává mzdu w ve
spotřebních statcích. Tuto mzdu bere jako danou. Domácnost nepracuje na své
vlastní farmě (což nemá žádné zásadní dopady).
Prvním cílem domácnosti je maximalizovat zisk farmy. Výstup farmy je dán
produkční funkcí f(ld), kde ld je množství zaměstnané práce. Jediným výdajem
jsou mzdové náklady. Tedy zisk farmy je  = f(ld)-wld. Podmínka optimality
prvního řádu je tvaru:

ld
= f (l
d) - w = 0  w = f (l
d)
Domácnost tedy najímá práci, dokud se mezní produkt práce nesrovná s tržní
mzdou.
Dále se domácnost rozhoduje, jak moc bude pracovat na ostatních farmách
a kolik bude spotřebovávat. Její preference popisuje u(c, ls), kde c je spotřeba a
ls je množství nabízené práce. Rozpočtové omezení je tvaru 
+ wls = c. Tedy
Lagrangean a podmínky optimality jsou následující:
L = u(c, ls) + (
+ wls - c)
19
L
c
= u1(c
, l
s) -  = 0 (4.1a)
L
ls
= u2(c
, l
s) + w = 0 (4.1b)
odkud dostáváme
-
u2(c
, l
s)
u1(c, l
s)
= w (4.2)
Domácnost tedy nabízí práci, dokud se mezní míra substituce práce a spotřeby
nesrovná se mzdou. Pro dané funkce u a f vyřešíme optimální volbu l
d, l
s a w
.
Příklad 4.1. Nalezněte optimum domácnosti s preferencemi tvaru u(c, l) =
ln(c) + ln(1 - l) a s produkční funkcí tvaru f(l) = Al
.
a) l
d =?
b) 
=?
c) l
s =?
d) w
=?
e) l
s = l
d =?
f) komparativní statika, např. w
A , l
s
w ,
l
d
w
4.2 Mezičasová volba práce
Dále rozvineme model dvou období z předchozí kapitoly. Jediným rozdílem
bude to, že důchod domácnosti už nebude exogenní veličinou, ale domácnost jej
bude produkovat: yt = f(lt). Optimalizační problém domácnosti je tedy tvaru:
max
c1,c2,l1,l2,b1
{u(c1, l1) + u(c2, l2)}
Pf(l1) = Pc1 + b1
Pf(l2) + b1(1 + R) = Pc2
20
Příslušný Lagrangean a podmínky optimality jsou tedy náseldující:
L = u(c1, l1)+u(c2, l2)+1[Pf(l1)-Pc1-b1]+2[Pf(l2)+b1(1+R)-Pc2]
L
c1
= u1(c
1, l
1) - 
1P = 0 (4.3a)
L
c2
= u1(c
2, l
2) - 
2P = 0 (4.3b)
L
l1
= u2(c
1, l
1) + 
1Pf (l
1) = 0 (4.3c)
L
l2
= u2(c
2, l
2) + 
2Pf (l
2) = 0 (4.3d)
L
b1
= 1
+ 
2(1 + R) = 0 (4.3e)
Z prvních dvou rovnic, a posléze z posledních dvou rovnic, vyjádříme 
1 a

2 a dosadíme do poslední rovnice. Výsledkem jsou následující dvě Eulerovy
rovnice:
u1(c
1, l
1)
u1(c
2, l
2)
= (1 + R)
u2(c
1, l
1)
u2(c
2, l
2)
= (1 + R)
f (l
1)
f (l
2)
Příklad 4.2. Nalezněte optimum domácnosti s preferencemi tvaru u(c, l) =
ln(c) + ln(1 - l) a s produkční funkcí tvaru f(l) = Al
.
4.3 Cvičení
Příklad 4.3. V ekonomice je 1100 domácností. 400 z nich je typu a, 700 je typu
b. Domácnosti poptávají la
d resp. lb
d jednotek práce v hodinách, nabízejí la
s resp.
lb
s jednotek práce. Domácnosti najímají zaměstnance na vlastní farmu, samy
pracují na ostatních farmách. V ekonomice je mzda w. Preference domácností
jsou tvaru: u(c, l) = ln(c)+ln(24-l). Produkční funkce u typu a je: ya = la
d,
u typu b: yb = 2 lb
d.
21
a) Nalezněte optimální množství poptávané práce la
d a lb
d jako funkce mzdy
w.
b) Vypočtěte zisk farmáře typu a i b jakožto funkci mzdy w, označte jej a
resp. b
.
c) Užijte rozpočtového omezení farmářů typu a i b a určete optimální množství
nabízené práce la
s a lb
s jako funkce mzdy w.
d) Určete agregátní nabídku práce a agregátní poptávku po práci (jsou součtem
jednotlivých nabídek, resp. poptávek všech domácností) jako funkce dané
mzdy w. Nazvěte je L
s resp. L
d.
e) Na základě agregátní nabídky práce a agregátní poptávky po práci určete
rovnovážnou mzdu w
.
Příklad 4.4. V ekonomice je spousta stejných domácností. Každá domácnost
má firmu, která využívá kapitál k a práci ld, aby vyprodukovala výstup y. Produkční
funkce je tvaru: y = Ak3/10
(ld)7/10
. Zásoba kapitálu je fixní. Domácnost
najímá práci ld, domácnost může také pracovat ls hodin, v ekonomice je mzda
w. Preference domácnosti jsou tvaru u(c, ls) =

c

1 - ls
a) Určete optimální množství poptávané práce l
d jako funkci kapitálu k a
mzdy w.
b) Vypočtěte zisk domácnosti 
.
c) Formulujte optimalizační problém domácnosti při daných preferencích.
d) Odvodťe optimální nabídku práce l
s.
e) Určete rovnovážnou mzdu w
.
f) Jak se mění rovnovážná mzda, když se mění dostupné množství kapitálu?
22
5. Hospodářský cyklus
5.1 Šoky a šířící mechanismus
Hospodářský cyklus ­ opakující se fluktuace reálného HDP v čase.
Šoky
* Technologický šok
* Počasí a přírodní katastrofy
* Monetární šok
* Politický šok
* Změna vkusu
Jsou dostatečné pro vysvětlení hospodářského cyklu? (Např. v USA spadl
reálný HDP o 2.8% mezi říjnem 1981 a 1982).
Šířící mechanismy
* Mezičasová substituce
* Nepružné ceny (sticky prices)
* Frikce ve finančním sektoru
23
Dvě skupiny modelů
* hospodářský cyklus = selhání ekonomického systému, příčiny: finanční
krize, strnulé ceny, technologické šoky, monetární šoky
* hospodářský cyklus = optimální reakce ekonomiky na šoky, hlavní příčina
fluktuací technologické šoky (real business cycle models)
"velké" krize × "normální" cykly ???
5.2 Model reálného hospodářského cyklu
* model se spotřebiteli žijícími pouze dvě období (postačí pro objasnění
základních myšlenek teorie cyklu)
* řada překrývajících se generací
* pracují v prvním období, kdy jsou mladí
* ve druhém období jsou staří a žijí z úspor
* horní index označuje rok narození spotřebitele, dolní index současný rok
* užitková funkce
u(ct
t, ct
t+1) = ln(ct
t) + ln(ct
t+1)
* mladý člověk nabízí jednu jednotku práce a dostává mzdu wt
* rozpočtové omezení mladého pracovníka (kt ... úspory)
ct
t + kt = wt
* důchodce půjčuje úspory kt firmám, firma je použije jako kapitál a vyplácí
rentu rt+1,  procent kapitálu se opotřebuje
* rozpočtové omezení důchdce
ct
t+1 = (1 -  + rt+1)kt
24
Optimalizační problém domácnosti:
max
ct
t,ct
t+1,kt
{ln(ct
t) + ln(ct
t+1)} :
ct
t + kt = wt
ct
t+1 = (1 -  + rt+1)kt
Po dosazení omezení do užitkové funkce
max
kt
{ln(wt - kt) + ln((1 -  + rt+1)kt)}
Podmínka optimality

kt
= -
1
wt - kt
+
1 -  + rt+1
(1 -  + rt+1)kt
= 0
odkud
kt =
wt
2
(5.1)
Bez ohledu na budoucí výnos kapitálu bude mladý spotřebitel spořit polovinu
mzdy.
* konkurenční firma vyrábí výstup s kapitálem kt-1 a prací lt
* práce je nabízena mladým spotřebitelem, kapitál starým
* produkční funkce s konstantními výnosy z rozsahu (Cobb-Douglas):
f(lt, kt-1) = Atl
t k1-
t-1
Maximalizační problém firmy v čase t:
max
lt,kt-1
Atl
t k1t-1
- wtlt - rtkt-1
Podmínky prvního řádu:

lt
= Atl-1
t k1t-1
- wt = 0

kt-1
= At(1 - )l
t kt-1
- rt = 0
25
Po dosazení lt = 1
wt = Atk1t-1
(5.3a)
rt = At(1 - )kt-1
(5.3b)
Mzda je úměrná parametru produktivity At  mzdy jsou procyklické.
Podmínky vyčištění trhů zboží, práce a kapitálu.
* Trh práce: lt = 1
* Trh kapitálu: implicitně zahrnuto
* Trh zboží:
ct
t + ct-1
t + kt = Atl
t k1t-1
+ (1 - )kt-1
Po dosazení optimální volby úspor (5.1) do vztahu (5.3a)
kt =
1
2
Atk1t-1
(5.4)
Šoky do At mají přímý vliv na kt, což je kapitál pro výrobu v příštím období
 příští produkce bude nižší.
Agregátní spotřeba a investice v reakci na šok ­ podmínka vyčištění trhu:
ct
t + ct-1
t + kt - (1 - )kt-1 = Atl
t k1-
t-1
Vpravo je produkce Yt = Atl
t k1t-1
, vlevo agregátní spotřeba Ct = ct
t + ct-1
t
a celkové investice It = kt - (1 - )kt-1. Pro lt = 1:
Ct = Yt - It = Atl
t k1t-1
+ (1 - )kt-1 - kt =
= Atl
t k1t-1
+ (1 - )kt-1 -
1
2
Atk1t-1
=
= 1 -

2
Atk1t-1
+ (1 - )kt-1 (5.5)
It = Yt - Ct = Atl
t k1t-1
- (1 -

2
)Atk1t-1
+ (1 - )kt-1 =
=
1
2
Atk1t-1
- (1 - )kt-1 (5.6)
26
Jak se mění spotřeba a investice v reakci na změnu technologie? Elasticita x
v reakci na y se definuje jako x
y
y
x.
Elasticita spotřeby vzhledem k produktivitě:
Ct
At
At
Ct
=
(1 - /2)Atk1-
t-1
(1 - /2)Atk1t-1
+ (1 - )kt-1
< 1
Elasticita investic:
It
At
At
It
=
1/2Atk1-
t-1
1/2Atk1t-1
- (1 - )kt-1
> 1
 relativní změna investic je větší než relativní změna spotřeby
5.3 Simulace
Pro lepší představu si náš model nasimulujeme. Specifikujeme hodnoty parametrů:
 = 0.7,  = 0.05. Parametr  představuje podíl mezd na celkové produkci.
Tyto hodnoty zhruba odpovídají reálným údajům. Dále určíme počáteční zásobu
kapitálu k0 = 0.22 a parametr produktivity se bude vyvíjet jako
At = A + t
kde A je prmůměrná úroveň produktivity, t je náhodný šok. Položíme A = 1.
Šok t bude nasimulován, jeho složky budou nezávislé, rovnoměrně rozložené
na intervalu -0.1; 0.1 , tedy bude ovlivňovat produktivitu v mezích 10%.
Nejprve prozkoumáme vliv izolovaného šoku ­ konkrétně pětiprocentní pozitivní
technologický šok v čase t = 2 (viz obrázky 5.1 a 5.2). Potom nasimulujeme
celou řadu technologických šoků v rozmezí 10% (viz obrázky 5.3 a 5.4).
5.4 Hodrick-Prescottův filtr
Filtrace = rozklad časové řady na trendovou a cyklickou složku. HodrickPrescottův
filtr je makroekonomy často používaná vyhlazovací metoda, která
dává odhad dlouhodobé trendové složky časové řady.
27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
odchylky velicin od prumeru (sok v case t=2)
cas
kapital k
t-1
spotreba C
t
investice I
t
Obrázek 5.1: Šok v čase t = 2 ­ absolutní odchylky veličin od průměru
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
procentni odchylky velicin (sok v case t=2)
cas
kapital k
t-1
spotreba C
t
investice I
t
Obrázek 5.2: Šok v čase t = 2 ­ relativní odchylky veličin od průměru
28
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
rada soku - absolutni odchylky velicin od prumeru
cas
kapital
spotreba
investice
Obrázek 5.3: Řada šoků ­ absolutní odchylky veličin od průměru
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
rada soku - procentni odchylky velicin
cas
kapital
spotreba
investice
Obrázek 5.4: Řada šoků ­ relativní odchylky veličin od průměru
29
Používáme jej na logaritmované řady (např. HDP), abychom dostali cyklickou
složku řady jako procentní odchylku od trendu (veličinu v procentním
vyjádření již nelogaritmujeme).
Máme-li řadu Yt, pak ji lze zapsat jako
Yt = Y t(1 + ^yt)
kde Y t je trendová složka a ^yt je složka cyklická (procentní odchylka). Po zlogaritmování,
po užití aproximace, že ln(1 + x)  x pro malá x, a po následném
přeznačení (yt = ln Yt, yt = ln Y t) dostaneme:
ln Yt = ln Y t + ln(1 + ^yt)
yt = yt + ^yt
kde se předpokládá
yt = yt-1 + t
^yt = t
t  WN(0, 2
), t  WN(0, 2
)
Jediný parametr, který je třeba nastavit, je poměr  rozptylu cyklické a trendové
složky:
 =
2

2

Čím větší je , tím více je trend vyhlazen. Je-li  blízko nekonečnu, trend je
lineární. Je-li naopak blízko nule, trend sleduje původní data. Podle autorů filtru
je vhodné volit  následovně: pro roční data 100, pro čtvrtletní data 1600 a pro
měsíční data 14400.
Praktické použití HP-filtru v Matlabu (funkce hp.m):
[trend,cykl]=hp(data,)
30
5.5 Cvičení
Příklad 5.1. Jak slovo cyklus naznačuje, hospodářský cyklus je považován za
pravidelný opakující se jev. Předpokládalo se, že délka a průběh cyklu jsou
zhruba konstantní. Např. že délka typického cyklu (od boomu přes recesi zpět
na vrchol) je mezi pěti až sedmi lety.
a) V této části ověříte, zdali se hospodářský cyklus zvolené země chová podle
uvedené představy. Využijte data USA, která naleznete v souboru data1.txt.
Spočtěte trendovou složku časové řady. Použijte Hodrick-Prescotův filtr (soubor
hp.m). Dále prozkoumejte cyklickou složku HDP, což je rozdíl mezi HDP a
trendem. Protože nás zajímají relativní změny, budeme se tedy zajímat o změny
logaritmů. Vypočtěte tedy cyklickou složku HDP (v procentním vyjádření) jako
ln(HDP) - ln(Trend) a vykreslete ji do obrázku.
b) Řekněme, že vrcholem rozumíme období, kdy je cyklická složka vyšší
než v předchozích dvou obdobích, a cyklem budeme rozumět čas mezi dvěma
vrcholy. Kolik cyklů řada obsahuje? Jaká je průměrná délka cyklu? Jak dlouho
trvá nejkratší a nejdelší cyklus? Vypadají cykly podobně, pokud se týče amplitudy,
trvání, tvaru?
Příklad 5.2. D Ú Stáhněte si někde údaje o HDP vybrané země a analyzujte
hospodářský cyklus této země. Využijte postupu prováděného v příkladě
5.1. Postup práce a dosažené výsledky patřičně okomentujte (nepište do práce
matlabovské příkazy!), uvedťe do souvislosti s významnými hospodářskými
událostmi daného období a dokumentujte pomocí obrázků z Matlabu. Nezapomeňte
si práci podepsat, uvést svoje U ČO, dále uvést název práce, P ŘESN Ý
ZDROJ (ne jen www.cnb.cz!!!) a popis dat, závěr práce. Spolu s prací odevzdáte
také zdrojový soubor s daty a m-file s analýzou cyklu. Soubory nazvěte
svým příjmením, podtržítko, cyklus, tj. např. Zacek_cyklus.m apod., a vše
zkomprimujte do jednoho souboru. Předpokládaný rozsah práce 2-3 strany.
Data lze najít např. na:
DSI: http://195.145.59.167/ISAPI/LogIn.dll/login?lg=e
PWT: http://pwt.econ.upenn.edu/php_site/pwt61_form.php
IMF: http://www.imf.org/external/index.htm
31
ČNB: http://www.cnb.cz/cz/index.html
FRED: http://research.stlouisfed.org/fred2/
Můžete pracovat ve dvojicích (ale nemusíte). Pokud si vyberete čtvrtletní
data, tak pozor, jestli obsahují sezónní složku! Každý bude mít jinou zemi, kdo
si dřív řekne, ten ji má, domluva na cvičení nebo mailem. Vyberte si takovou
zemi, aby bylo k dispozici dostatečně mnoho dat (aby tam byly nějaké celé
cykly). Termín odevzdání 26.10.2007.
Příklad 5.3. V tomto modelu budeme mít agenty žijící pouze jedno období.
V každém čase se narodí jeden agent, v dalším období přežívá jeho potomek.
Agenta zajímá spotřeba ct a budoucí kapitál kt+1, který zanechá potomkovi.
Užitková funkce je tvaru
ln(ct) + A ln(kt+1)
kde A > 0 je parametr. Agent používá kapitál po rodiči na spotřebu a investice,
přičemž má takto omezené zdroje:
ct + it = Bkt + t
kde B > 0 je parametr, t je náhodný šok do produkční funkce. Agent zná šok
v čase narození, je to tedy pro něj konstanta. Vývoj množství kapitálu je dán
takto:
kt+1 = (1 - )kt + it
kde   (0, 1) je míra depreciace.
Vypočtěte optimální spotřebu a investice jako funkce kt a t.
Příklad 5.4. Nyní budeme chtít porovnat chování modelu s reálným světem.
Proto musíme nastavit parametry modelu. Parametr B jen mění měřítko, nastavíme
ho tedy např. na 0.1. Dále zvolíme míru depreciace  = 0.05. Parametr
A určuje relativní poměr ct a kt v rovnováze, tedy nastavíme např. A = 4.
S použitím těchto hodnot prozkoumejte a porovnejte reakce ct a it na změny t.
Příklad 5.5. Nyní v naší modelové ekonomice nasimulujeme hospodářský cyklus.
Je třeba určit počáteční stav kapitálu, zvolíme např. k1 = 3.7. Nagenerujte
50 náhodných rovnoměrně rozložených čísel na intervalu (0, 1) s využitím matlabovské
funkce rand. Použijte vztahů pro ct, it a kt+1 a nasimulujte chování
32
ekonomiky. Do jednoho obrázku vykreslete vývoj spotřeby a investic a srovnejte
vývoj a volatilitu těchto řad. Vykreslete HDP jako součet spotřeby a investic,
srovnejte hospodářské cykly s těmi z reálných údajů.
33
6. Hospodářský růst
6.1 Fakta
Nicholas Kaldor ­ "stylizovaná fakta".
* produkce na hlavu i kapitál na hlavu v čase rostou obdobným tempem
(podíl kapitálové zásoby na produktu se v čase příliš nemění)
* výnos kapitálu je v čase téměř konstantní
* podíl práce i kapitálu na tvorbě důchodu je téměř konstantní
Kaldorova fakta platí i v dlouhém časovém období.
* konvergence HDP na osobu v různých zemích a oblastech v čase
* neexistují žádné pozorované skutečnosti společné industrializovaným i rozvojovým
zemím.
6.2 Solowův model
Agregátní produkční funkce
* extensivní tvar: Y = f(K, L)
* intenzivní tvar: y = f(k)kde y = Y/L, k = K/L
* konstantní výnosy z rozsahu
* klesající mezní produkt kapitálu
34
Úspory a kapitálová akumulace
* Odříci si dnes = vyrobit zítra více
* S = I
* S = sY  I/L = S/L = sY/L = sy = sf(k)
Depreciace a ustálený stav
*  je míra depreciace kapitálu
*  označuje tempo růstu populace, pro zatím je rovna nule
* v ustáleném stavu je k = 0, tj. kapitálová intenzita ani produkce na hlavu
se nemění ­ viz obr. 6.1
6.2.1 Konstantní populace i technologie
k =
k
K
K +
k
L
L =
1
L
K -
K
L2
L
k =
I - K
L
-
K
L
L
L
=
S
L
- 
K
L
- 
K
L
= sy - k - k = 0
sy = k( + ),  = 0  k =
sy

Role úspor
* zvýší-li se míra úspor, roste kapitálová intenzita a produkce na hlavu (ne
tempo růstu!)
Zlaté pravidlo
* cílem není rostoucí produkce na hlavu, ale spotřeba
* maximalizace vzdálenosti mezi produkční funkcí a přímkou depreciace
(zbytek jsou investice)
* zderivujeme rozdíl produkční funkce a depreciační přímky, a položíme ji
rovnu nule (zatím  = 0)
* 
k (f(k) - k( + )) = f (k) - ( + ) = 0  MPk =  +  = 
35
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.5
1
1.5
2
2.5
k
Produkce, úspory a depreciace
y=f(k)
s.f(k)
k.(+)
 k=0
s2.f(k)
k* k**
Obrázek 6.1: Stabilní stav v Solowově modelu
6.2.2 Růst populace (bez technologického pokroku)
* populace roste kladným tempem 
* v ustáleném stavu je K/L konstantní, tedy i Y/L je konstantní, tedy kapitál
i produkce rostou stejným tempem
* sy = k( + )  k = sy
+ (odvození viz výše)
* depreciační přímka se otáčí proti směru hodinových ručiček o úhel 
* zvýšení tempa růstu populace snižuje kapitálovou intenzitu a produkci na
hlavu
* zlaté pravidlo MPk =  + 
6.2.3 Technologický pokrok
* technologický pokrok rostoucí tempem a
* A  L ­ efektivní práce
36
ˇ vyjádření jako výše ale v jednotkách efektivní práce, tj. děleno A  L a ne
pouze L, tj. k = K
LA
k =
k
K
K +
k
L
L +
k
A
A =
1
LA
K -
K
AL2
L -
K
LA2
A
k =
I - K
LA
-
K
LA
L
L
-
K
LA
A
A
k =
S
LA
- k - k - ak = sy - k - k - ak = 0
sy = k( +  + a)  k =
sy
 +  + a
* v ustáleném stavu jsou y = Y/(AL) a k = K/(AL) konstantní
* tedy Y/L a K/L rostou tempem a
* Y a K rostou tempem a + 
* Zlaté pravidlo MPk =  +  + a
6.2.4 Růstové účetnictví
* přínosy jednotlivých faktorů
* odečteme-li průměrné tempo růstu práce a kapitálu od růstu produkce,
zbyde nám přínos technologického pokroku, tzv. Solowovo reziduum, často
třetina až polovina celkového tempa růstu
* jinak lze přínos technologického pokroku těžko měřit
6.3 Aplikace
* agregátní produkční funkce (konstantní výnosy z rozsahu)
Yt = (AtLt)
K1t-1
(6.1)
* domácnosti se rozhodují, kolik budou mít dětí a kolik budou spořit
37
ˇ firmy zase rozhodují, kolik investují do výzkumu a vývoje, a tím tedy
ovlivňují vývoj produktivity
* produktivita exogenně daná
* domácnosti investují fixní část důchodu v každém období
Kapitál se vyvíjí následovně:
Kt = (1 - )Kt-1 + It (6.2)
kde It jsou investice,  je míra depreciace a investice jsou fixní částí 0 < s < 1
důchodu:
It = sYt = s(AtLt)
K1-
t-1
Předpokládáme, že produktivita a práce rostou konstantním tempem , resp. :
At+1 = (1 + )At
Lt+1 = (1 + )Lt
Budeme uvažovat konkurenční firmu, jejíž optimalizační problém je tvaru:
max
Lt,Kt-1
(AtLt)
K1t-1
- wtLt - rtKt-1
Podmínky prvního řádu vzhledem k práci a kapitálu jsou tvaru:
wt = A
t L-1
t K1t-1
(6.3)
rt = (1 - )(AtLt)
Kt-1
(6.4)
Podíl mezd a úroku na důchodu je konstantní:
wtLt
Yt
=
A
t L-1
t K1t-1
Lt
(AtLt)K1-
t-1
=  (6.5)
rtKt-1
Yt
=
(1 - )(AtLt)
K-
t-1Kt-1
(AtLt)K1-
t-1
= 1 -  (6.6)
Všechny proměnné si vyjádříme v termínech efektivní práce. Označíme yt =
Yt/(AtLt), kt-1 = Kt-1/(AtLt) a it = It/(AtLt). Dosadíme-li Yt = ytAtLt atd.
do produkční funkce, dostaneme
ytAtLt = (AtLt)
(kt-1AtLt)1-
38
tj.
yt = k1t-1
(6.7)
Ze vztahu (6.2) dostaneme
kt(1 + )At(1 + )Lt = (1 - )kt-1AtLt + itAtLt
tj.
kt(1 + )(1 + ) = (1 - )kt-1 + it (6.8)
Investice jsou určeny vztahem:
it = syt = sk1t-1
(6.9)
Dosadíme-li rovnici (11.24) do rovnice (6.8), dostaneme vztah popisující
vývoj kapitálu v čase:
kt =
(1 - )kt-1 + sk1-
t-1
(1 + )(1 + )
(6.10)
Po podělení kt-1 dostaneme vztah popisující tempo růstu kapitálu na jednotku
efektivní práce:
kt
kt-1
=
1 -  + sk-
t-1
(1 + )(1 + )
(6.11)
* Míra růstu je inverzně závislá na kapitálové zásobě, protože exponent u
kt-1 je záporný.
* Pokud má země nízkou úroveň kapitálu na jednotku efektivní práce, její
kapitál, a tím i produkt roste rychleji.
* Model vysvětluje konvergenci HDP v zemích v čase.
* Protože tempo růstu klesá s kt-1, existuje určitá úroveň, kdy kapitál na
jednotku efektivní práce přestane růst.
* Říkáme, že ekonomika dosáhla ustáleného stavu (steady state). Pokud ekonomika
tohoto stavu jednou dosáhne, zůstává v něm navždy.
39
Pro jednoduchost budeme pro tuto chvíli předpokládat, že práce a produktivita
jsou konstantní, tj. že  =  = 0. Potom se rovnice (6.8) zjednoduší do
tvaru:
kt - kt-1 = sk1t-1
- kt-1
Změna kapitálu na jednotku efektivní práce je rovna rozdílu mezi investicemi
a depreciací.
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
kapital
Solowv model - steady state
produkce y
t
= k
t-1
1úspory
syt
depreciace  k
t-1
 k=0
Obrázek 6.2: Stabilní stav v Solowově modelu
V ustáleném stavu se k nemění, tj. kt = kt-1 a z rovnice (6.8) dostaneme:
k(1 + )(1 + ) = (1 - )k + sk
1-
odkud
k =
s
 +  +  + 
1/
S využitím tohoto vztahu vypočteme produkci a investice v ustáleném stavu:
y = k
1-
=
s
 +  +  + 
(1-)/
40
i = s
s
 +  +  + 
1-

Tempo růstu kapitálu v ustáleném stavu je:
Kt
Kt-1
=
k(1 + )At(1 + )Lt
kAtLt
= (1 + )(1 + )
* Dlouhodobé tempo růstu ekonomiky nezávisí na míře úspor.
* Při vyšší míře úspor dosáhne ekonomika výše položeného ustáleného stavu,
ale dlouhodobé tempo růstu je určeno tempem růstu pracovních sil a pro-
duktivity.
Dále ověříme, že výnosy kapitálu jsou konstantní. Ze vztahu (6.4)
rt = (1 - )(AtLt)
Kt-1
= (1 - )
Kt-1
AtLt
V
ustáleném stavu je kapitál na jednotku efektivní práce konstantní, tedy
platí:
rt = (1 - )(k)což
je konstanta. Na druhou stranu mzdy jsou rostoucí (tempem technologického
pokroku), protože roste produktivita:
wt = A
t L-1
t K1t-1
= At
Kt-1
AtLt
1=
At(k)1-
wt+1
wt
=
At+1
At
= 1 + 
Podíl kapitálu na důchodu v ustáleném stavu je roven:
Kt-1
Yt
=
kAtLt
yAtLt
=
k
y
což je konstanta, čímž jsme ověřili poslední z empirických faktů z našeho sez-
namu.
* Solowův model je úspěšný při vysvětlení všech stylizovaných faktů ekonomického
růstu v industrializovaných zemích.
41
ˇ Klíčovým prvkem modelu je neoklasická produkční funkce s konstantními
výnosy z rozsahu.
* Protože mezní produkt kapitálu klesá, ekonomiky rostou rychleji při nižší
kapitálové zásobě.
* V ustáleném stavu roste produkt na hlavu a kapitál na hlavu stejným tem-
pem.
* Model také vysvětluje, proč se různé míry úspor nepromítají do dlouhodobých
rozdílů v tempu růstu.
* Míra úspor ovlivňuje pouze ustálený stav, nikoli tempo růstu.
6.4 Růstové účetnictví
Prozkoumáme příspěvek jednotlivých složek k hospodářskému růstu. Uvažme
neoklasickou produkční funkci tvaru:
Yt = (AtLt)
K1-
t-1
Nechť Y je HDP, L pracovníci, K agregátní kapitálová zásoba a A je měřítkem
produktivity. Data pro všechny veličiny kromě At můžeme získat, příspěvek
At dopočteme následně jakožto zbytek růstu (Solowovo reziduum).
At =
Y
1/
t
LtK
(1-)/
t-1
Kdybychom znali , můžeme At dopočítat přesně. Víme ale, že  představuje
podíl mezd na produkci, takže můžeme použít tento odhad. Po zlogaritmování:
ln Yt =  ln At +  ln Lt + (1 - ) ln Kt-1
Zajímá nás růst mezi časem t a t + k:
ln Yt+k - ln Yt =
= (ln At+k - ln At) + (ln Lt+k - ln Lt) + (1 - )(ln Kt+k-1 - ln Kt-1)
42
Tedy tempo růstu produkce je  krát součet růstu produktivity a práce, a dále
1 -  krát růst kapitálu. Můžeme tedy spočíst relativní příspěvky jednotlivých
složek.
Část růstu, kterou lze přisoudit práci:
(ln Lt+k - ln Lt)
ln Yt+k - ln Yt
Část růstu, kterou lze přisoudit kapitálu:
(1 - )(ln Kt+k-1 - ln Kt-1)
ln Yt+k - ln Yt
Část růstu, kterou lze přisoudit technologii:
(ln At+k - ln At)
ln Yt+k - ln Yt
6.5 Porodnost a lidský kapitál
* Ekonomický růst a industrializace zemí jsou spojeny s klesající mírou
porodnosti. Porozumění těmto změnám by mohlo pomoci při hledání příčin
růstu některých zemí, zatímco jiné země zůstávají chudé.
* Malthus ­ porodnost je dána nabídkou potravin (situace před průmyslovou
revolucí).
Příklad 6.1. Malthus tedy považoval děti za "normální statek". Pokud důchod
rostl, rodiče si pořizovali děti. Uvažme užitkovou funkci ze "spotřeby" dětí ct
při počtu nt dětí tvaru:
u(ct, nt) = ln(ct) + ln(nt)
Předpokládáme, že spotřebitel nabízí 1 jednotku práce za reálnou mzdu wt a
že náklady na vychování dítěte jsou p. Tedy rozpočtové omezení je tvaru:
ct + pnt = wt
Tedy optimalizační problém je tvaru:
max
nt
{ln(wt - pnt) + ln(nt)}
43
Podmínka optimality:
-
p
wt - pnt
+
1
nt
= 0  nt =
wt
2p
(6.12)
Tedy čím vyšší mzda, tím více dětí.
Pokud by lidé žili jedno období, počet dětí určuje růst populace Lt:
Lt+1
Lt
= nt
Malthus předpokládal, že nabídka potravin nemůže růst úměrně růstu populace.
V současném pojetí to znamená klesající mezní produkt práce. Předpokládejme
produkční funkci tvaru:
Yt = AtL
t
Mzda je rovna meznímu produktu práce:
wt = AtL-1
t (6.13)
Dosadíme-li rovnici (6.13) do (6.12), odvodíme vývoj populace:
Lt+1
Lt
=
AtL-1
t
2p
neboli
Lt+1 =
AtL
t
2p
(6.14)
Tempo růstu populace se snižuje s růstem populace. V nějakém bodě přestane
populace růst a dosáhne ustáleného stavu L:
L =
AtL

2p
 L =
At
2p
1
1V
ustáleném stavu je Lt+1/Lt = nt = 1, tedy mzda bude:
1 =
w
2p
 w = 2p
Tedy mzda v ustáleném stavu nezávisí na produktivitě At.
44
ˇ V Evropě se v devatenáctém století muselo něco stát, protože lidé začali
mít méně dětí a tedy důchod na hlavu začal růst.
* Zaměříme se na časové náklady na vychování dětí a na roli kvality a kvan-
tity.
* Lidský kapitál je klíčovým prvkem následujícího modelu.
* Dosud jsme považovali práci za homogenní.
Příklad 6.2. Lidský kapitál tvoří dvě části. Jednak jsou to vrozené schopnosti
bez ohledu na vzdělání H0. Dále lidé mohou získat dodatečný kapitál Ht vzděláním
od rodičů. Tedy celkem mají H0 + Ht.
Předpokládejme tedy, že se rodiče starají o kvantitu i kvalitu dětí, tj. jejich
preference jsou tvaru:
u(ct, nt, Ht+1) = ln(ct) + ln(nt(H0 + Ht+1))
Rodiče investují čas, aby dítě vychovali ­ je třeba zlomek h času na vychování,
případně ještě et na vzdělání. Zbytek dne 1-hnt -et můžou pracovat.
wt je mzda za jednotku lidského kapitálu. Tedy rozpočtové omezení je tvaru:
ct = wt(H0 + Ht)(1 - hnt - et) (6.15)
Předpokládáme, že lidský kapitál dětí Ht+1 závisí na lidském kapitálu rodičů
Ht a na čase et, který rodiče stráví s dětmi ( je kladný parametr) ­ čím chytřejší
a starostlivější rodiče, tím líp jsou na tom jejich děti.
Ht+1 = etHt (6.16)
Nyní určíme, jak je v našem modelu porodnost závislá na lidském kapitálu.
Dosadíme-li omezení (6.15) a (6.16) do užitkové funkce, dostaneme:
max
nt,et
{ln(wt(H0 + Ht)(1 - hnt - et)) + ln(nt(H0 + etHt))}
Podmínky prvního řádu:
u
nt
= -
h
1 - hnt - et
+
1
nt
= 0  et = 1 - 2hnt (6.17)
u
et
= -
1
1 - hnt - et
+
Ht
H0 + etHt
= 0 (6.18)
45
Dosadíme-li z první podmínky do druhé za et:
Ht(1 - hnt - (1 - 2hnt)) = H0 + (1 - 2hnt)Ht
Hthnt = H0 + Ht - 2Hthnt
nt =
1
3h
H0
Ht
+ 1 (6.19)
* Klíčovým prvkem porodnosti je lidský kapitál Ht.
* Je-li velmi nízký, je hodně dětí.
* Je-li naopak velmi vysoký, porodnost klesá, až počet dětí dosáhne ustáleného
stavu n = 1/(3h).
* Je tomu tak ze dvou důvodů. Pokud lidský kapitál roste, roste i hodnota
času a trávit čas s dětmi je nákladnější. Dále lidé s vyšším lidským kapitálem
jsou lepší v učení svých dětí, takže se spíše soustředí na jejich kvalitu
než kvantitu.
* Model tedy vysvětluje, proč je porodnost v industrializovaných zemích
mnohem nižší než v rozvojových zemích.
* Dále také vysvětluje diferenciaci porodnosti jednotlivých skupin v zemi
­ lidé s nižším vzděláním si volného času cení málo, takže čas strávený
s dětmi pro ně není tak drahý.
* Model však nevysvětluje, jak se dostat z jednoho stavu do druhého.
6.6 Cvičení
Příklad 6.3. Předpokládejme agregátní produkční funkci Y = 3L0.7
K0.3
a
L = 150, kde Y je produkce, L je práce a K je kapitál. Pracovní síla i produktivita
jsou konstantní. Depreciace je 10%; 20% výstupu je každý rok uspořeno
a investováno. Jaký je ustálený stav výstupu?
46
Příklad 6.4. Předpokládejme, že Solowův model popisuje situaci v Kuwaitu.
Po válce v zálivu byla většina kapitálu (na těžbu ropy, vozidla, infrastruktura)
zničena. Odpovězte na následující otázky, uvedťe stručné zdůvodnění.
* Jaký bude dopad války na důchod na hlavu v následujících pěti letech?
* Jaký bude dlouhodobý dopad války na důchod na hlavu?
* Jaký bude dopad na roční tempo růstu důchodu na hlavu v následujících
pěti letech?
* Jaký bude dlouhodobý dopad na roční tempo růstu důchodu na hlavu?
* Bude zotavení v Kuwaitu rychlejší, pokud budou zahraniční investice povoleny
nebo pokud budou zakázány?
* A co kuwaitští pracovníci ­ získali by nebo by na tom byli hůř při prohibici
zahraničních investic? A co místní kapitalisté?
Příklad 6.5.
* Ze souboru USA.txt načtěte data o vývoji amerického reálného HDP,
reálného kapitálu a zaměstnanosti. Tyto veličiny vykreslete do (samostatných)
obrázků.
* Dopočtěte příspěvek technologického pokroku za předpokladu, že produkční
funkce je tvaru Yt = (AtLt)
K1t-1
(uvažujte  = 0.6). Tuto
veličinu také vykreslete do obrázku.
* Spočtěte tempa růstu všech veličin (Y, L, K, A) a vykreslete jejich průběh
do (samostatných) obrázků.
* Spočtěte průměrná tempa růstu všech čtyř veličin a zobrazte je do obrázků
s tempy růstu.
* Vypočtěte podíly práce, kapitálu a technologického pokroku na hospodářském
růsu (viz část růstové účetnictví).
* Vypočtěte jejich průměrné hodnoty za celé sledované období.
47
Příklad 6.6. D Ú Najděte si někde údaje o reálném HDP vybrané země, zaměstnanosti
a kapitálu a analyzujte přínos jednotlivých výrobních faktorů na
hospodářském růstu této země. (Využijte postupu, který byl proveden na cvičení
pro data USA v příkladě 6.5).
Protože data vývoje kapitálu jsou poměrně obtížně sehnatelná (zkuste najít
něco jako "total real capital", rozhodně ne "gross capital formation", což jsou
investice), stačí, když najdete údaje o vývoji pracovních sil L např. na dříve
zmíněných internetových adresách (hledejte něco jako "total employment") a
zjistíte společný přínos kapitálu a technologického pokroku na celkovém hospodářském
růstu. Pokud ovšem data kapitálu (ne investice!!!) najdete, budete to
mít poněkud jednodušší.
Parametr  zvolte podle odhadu, který naleznete v souboru alpha.xls.
Podle toho, z jakého období máte data, použijte průměr hodnot z odpovídajících
let. Pokud tam vaše země není, ale jedná se o zemi EU nebo OECD, za které je
tam průměr, tak použijte tento průměr. Jinak se zkuste podívat někde jinde, nebo
použít odhad pro zemi, která je s vaší zemí na obdobné ekonomické úrovni.
Vypočtěte tempo růstu a průměrné tempo růstu HDP a pracovních sil za dané
období. Vypočtěte podíl a průměrný podíl práce na hospodářském růstu; dále
průměrný podíl "rezidua" na hospodářském růstu jako jedna mínus průměrný
podíl práce. Výsledky zobrazte do obrázků.
Nezapomeňte si práci podepsat, uvést svoje U ČO, dále uvést název práce,
P ŘESN Ý ZDROJ a popis dat, závěr práce. Spolu s prací odevzdáte také zdrojový
soubor s daty a m-file s analýzou růstu. Soubory nazvěte svým příjmením,
podtržítko, RU, tj. např. Zacek_RU.m.
Můžete pracovat ve dvojicích (ale nemusíte). Každý bude mít jinou zemi,
kdo si dřív řekne, ten ji má, domluva na cvičení nebo mailem. Vyberte si takovou
zemi, aby bylo k dispozici dostatečně mnoho dat.
Termín odevzdání 2.11.2007.
Příklad 6.7. Prozkoumejte konvergenci inflace v zemích EU 15. Využijte data
v souboru inflace.txt.
Tj. zamyslete se nad tím, jaká byla, je a měla by být inflace v zemích EU 15.
Údaje jednotlivých zemí vykreslete do obrázku a srovnejte se svojí představou.
48
Vypočtěte rozptyl, resp. směrodatnou, odchylku inflace zemí v každém čase a
vykreslete výsledek. Jaký by měl rozptyl inflace mít charakter a proč? Ověřte
svoje tvrzení s využitím linerární regrese, zhodnotťe výsledky, upozorněte na
nedostatky.
Příklad 6.8. D Ú Prozkoumejte konvergenci ekonomické úrovně (měřeno pomocí
HDP per capita) v zemích EU 15. Využijte data v souboru gdp.txt.
Tj. zamyslete se nad tím, jaký by měl být HDP p. c., pokud se má jednat
o konvergenci ekonomické úrovně zemí EU 15. Údaje jednotlivých zemí
vykreslete do obrázku a srovnejte se svojí představou. Navrhněte postup, jakým
byste otestovali, zdali ke konvergenci dochází či ne a provedťe jej. Můžete
částečně využít postupu uvedeného v příkladě 6.7, ale pozor, inflace je veličina
vyjadřující procentní změnu v čase, kdežto HDP p. c. nikoli!!! Pokud vám vyjde
výsledek v rozporu s vašimi představami, navrhněte řešení (je poměrně elegantní
a existuje :o) a provedťe je. Dosažené výsledky patřičně okomentujte a
vysvětlete. Neexistuje pouze jediný vhodný přístup k řešení problému, takže se
nebojte, pokud to máte třeba úplně jinak než soused.
Nezapomeňte si práci podepsat, uvést svoje U ČO, dále uvést název práce,
postup, závěr práce. Spolu s prací odevzdáte také funkční m-file. Soubory nazvěte
svým příjmením, podtržítko, konv, tj. např. Zacek_konv.m. Termín odevzdání
16.11.2007.
49
7. Box-Jenkinsonova metodologie
7.1 Základní pojmy
7.1.1 Stacionarita
Rozlišujeme stacionaritu slabou a silnou (striktní). Striktní stacionarita znamená,
že pravděpodobnostní rozdělení vektorů hodnot časové řady je invariantní
vůči času, tj. nezávisí na konkrétní poloze vektoru v časové řadě. Tj. pro
distribuční funkce F vektorů hodnot řady platí:
F(yt, yt+1, . . . , yt+k) = F(yt+h, yt+h+1, . . . , yt+h+k)
Jedná se o velmi silný předpoklad. My vystačíme se stacionaritou slabou.
Slabá stacionarita znamená proces s konstantní střední hodnotou, s konstantním
rozptylem (odpovídá h = 0) a s kovariancemi invariantními v čase
(odpovídá h = 0), tj.:
Eyt =  t = 1, 2, . . . , n
cov(yt, yk) = cov(yt+h, yk+h) h = 0, 1, 2, . . .
7.1.2 Autokorelační a parciální autokorelační funkce
Závislost jednotlivých pozorování řady popíšeme pomocí autokorelační a parciální
autokorelační funkce. Pro (slabě) stacionární řadu zavedeme autokovarianční
funkci h závislou na vzdálenosti pozorování:
k = cov(yt, yt+k), k = 1, 2, . . . , n - 1
Pro k = 0 dostaneme rozptyl řady 0. Pokud kovariance podělíme rozptylem
(který je konstantní), dostaneme autokorelační funkci k . Tato funkce nabývá
50
hodnot -1, 1 a 0 = 1.
k =
k
0
=
k
2
Hodnoty obou funkcí je možné odhadnout následovně:
* Odhady ck autokovarianční funkce k
ck =
n-k
t=1
(yt - y)(yt-k - y)
n
k = 0, 1, . . . , n - 1
* Odhady rk autokorelační funkce k
rk =
ck
c0
k = 0, 1, . . . , n - 1
Autokorelační funkce veličin yk a yh zahrnuje vliv hodnot, které leží mezi
nimi. Pro konstruujeme tzv. parciální autokorelční funkci kk , která vylučuje
vliv pozorování ležících mezi zkoumanými hodnotami.
V Matlabu na výpočet odhadů autokorelační funkce a parciální autokorelační
funkce budeme používat soubory acf.m a pacf.m, které si musíme vždy
zkopírovat do aktuálního pracovního adresáře. Pro grafické zobrazení výsledků
použijeme soubory plotacf.m a plotpacf.m (též nutno zkopírovat).
7.2 Základní procesy
7.2.1 AR procesy
Autoregresní proces řádu na (s nulovou střední hodnotou), tj. AR(na) proces,
je proces tvořený lineární kombinací svých minulých hodnot:
yt = a1yt-1 + a2yt-2 + . . . + ana
yn-na
+ t
neboli
yt - a1yt-1 - a2yt-2 - . . . - ana
yn-na
= t
což lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako
A(q)yt = t
51
kde t je náhodná složka charakteru bílého šumu (nulová střední hodnota, konstantní
rozptyl, nekorelovanost složek), A = (1 - a1 - a2 . . . - ana
). Tento
zápis se používá v Matlabu.
7.2.2 MA procesy
Proces klouzavých součtů řádu nc (s nulovou střední hodnotou), tj. MA(nc)
proces, je takový proces, kdy hodnota vysvětlované veličiny je tvořena lineární
kombinací současné hodnoty a minulých hodnot náhodné veličiny t, která má
opět charakter bílého šumu:
yt = t + c1 t-1 + c2 t-2 + . . . + cnc t-nc
což lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako
yt = C(q) t
kde C = (1 c1 c2 . . . cnc
). Tento zápis se používá v Matlabu.
7.2.3 Základní charakteristiky procesů
* BJ proces je invertibilní , pokud ho lze převést na AR proces.
* Všechny AR procesy jsou tedy automaticky invertibilní.
* MA procesy jsou stacionární.
* MA(nc) proces je invertibilní, pokud jsou všechy kořeny qi polynomu
C(q) v absolutní hodnotě větší než jedna:
C(q) = 1 + c1q + c2q2
+ . . . + cnc
qn
* AR(na) proces je stacionární, pokud jsou všechy kořeny qi polynomu A(q)
v absolutní hodnotě větší než jedna:
A(q) = 1 - a1q - a2q2
- . . . - ana
qn
* Autokorelační funkce MA(na) procesu k = 0 pro k > nc.
* Autokorelační funkce AR(nc) procesu pomalu klesá k nule, je patrná systematičnost.
Naopak parciální autokorelační funkce kk = 0 pro k > na.
52
7.2.4 ARMA procesy
Autoregresní proces klouzavých součtů řádů na a nc (s nulovou střední hodnotou),
tj. ARMA(na, nc) je smíšený proces obsahující oba základní výše uvedené
procesy, a je tvaru:
yt = a1yt-1 + a2yt-2 + . . . + ana
yn-na
+ t + c1 t-1 + c2 t-2 + . . . + cnc t-nc
což lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako
A(q)yt = C(q) t
Je vidět, že AR(na) proces je vlastně ARMA(na, 0) a MA(nc) proces je
ARMA(0, nc).
7.2.5 ARMAX procesy
Budeme se zabývat pouze úzkou skupinou ARMA modelů s eXterním vstupem,
tj. ARMAX modelů. Konkrétně to budou výše uvedené modely AR, MA
a ARMA ale tentokráte s nenulovou střední hodnotou. V Matlabu pak funkci
armax kromě matic A a C musíme ještě zadat matici B s externím vstupem u.
MA(nc) proces s nenulovou střední hodnotou 
yt =  + t + c1 t-1 + c2 t-2 + . . . + cnc t-nc
AR(na) proces s nenulovou střední hodnotou 
yt =  + a1yt-1 + a2yt-2 + . . . + ana
yn-na
+ t
kde
 =

1 - a1 - a2 - . . . - ana
ARMA(na, nc) proces s nenulovou střední hodnotou 
yt =  + a1yt-1 + a2yt-2 + . . . + ana
yn-na
+ t + c1 t-1 + c2 t-2 + . . . + cnc t-nc
53
kde opět
 =

1 - a1 - a2 - . . . - ana
To lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako
A(q)yt = B(q)ut + C(q) t
7.2.6 ARIMA procesy
Integrovaný proces je takový nestacionární proces, který lze diferencováním
převést na proces stacionární. Je-li pak řada d-tých diferencí původní řady d
yt
stacionární, jedná se o integrovaný proces řádu d. Proces ARIMA(na, d, nc) je
ARMA modelem d-tých diferencí původní řady, lze ho tedy zapsat:
d
yt = a1d
yt-1 + a2d
yt-2 + . . . + ana
d
yn-na
+
+  + t + c1 t-1 + c2 t-2 + . . . + cnc t-nc
což lze pomocí operátoru zpětného posunutí zapsat jako
A(q)d
yt = B(q)ut + C(q) t
kde A = (1 - a1 - a2 . . . - ana
), C = (1 c1 c2 . . . cnc
), B = (), ut = 1
pro t = 1, . . . , n je vektor vstupů.
Matlabovské funkce
* K odhadu parametrů modelu slouží funkce armax.
* Výsledky odhadu zobrazí funkce present.
* Posouzení statistické významnosti parametrů provedeme t-testem nebo využijeme
funkci par_sig (nutno zkopírovat k sobě).
* Pro vyhodnocení normality reziduí můžeme použít funkci res_sig (nutno
zkopírovat k sobě).
* Stabilitu procesu posoudíme pomocí funkce pzmap.
54
Kriterium volby modelu
Matlabovská funkce armax počítá tzv. Akaikeho FPE kriterium (final prediction
error), které je tvaru:
FPE =
1 + M/n
1 - M/n
s2
e
kde n je počet pozorování, M je počet odhadovaných parametrů a s2
e je odhad
rozptylu reziduí. Pokud nám vyjde více modelů se statisticky významnými parametry,
vybereme ten s nejnižší hodnotou FPE.
Test korelace reziduí
Q = n
P
k=1
r2
k(e) < 2
1-(P - na - nc)
kde rk(e) je odhad autokorelační funkce reziduí modelu a P je vhodnné číslo
(většinou blízké

n, kde n je počet pozorování). Pokud je pro ARMA(na, nc)
model statistika Q větší než uvedený kvantil Pearsonova rozdělení, s rizikem
 zamítneme hypotézu o nekorelovanosti reziduí, což je důvod pro odmítnutí
modelu.
Testování normality reziduí
Zkoumáme histogram, šikmost, špičatost, ...
Testování stability modelu
Protože Matlab pracuje s opačným zápisem kořenů polynomů, požadujeme,
aby všechny nuly (kolečka) a póly (křížky) ležely uvnitř jednotkové kružnice
(výsledek funkce pzmap).
* nuly odpovídají MA části
* póly odpovídají AR části
55
7.3 Cvičení
Příklad 7.1. Pokuste se s využitím Box Jenkinsonovy metodologie nalézt vhodný
model pro časovou řadu cenového indexu PPI USA, kterou naleznete v souboru
ppi.txt. Svoji volbu řádně zdůvodněte, patřičně okomentujte dosažené
výsledky. Zkonstruujte predikci do budoucna.
Příklad 7.2. Pokuste se s využitím Box Jenkinsonovy metodologie nalézt vhodný
model pro časovou řadu peněžního agregátu M1 USA, kterou naleznete v souboru
M1.txt. Svoji volbu řádně zdůvodněte, patřičně okomentujte dosažené výsledky.
56
8. Nestacionární data
8.1 Deterministický a stochastický trend
yt = trend + stacionární část + šum
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
rgdp USA - data a vyrovnane hodnoty
cas
data
modelova predikce
Obrázek 8.1: Deterministický trend HDP?
Příklad 8.1.
* Na obrázku 8.1 je reálný HDP USA, v čase roste.
* Polynomiální trend je tvaru: rgdpt = 2224 + 38.5t - 0.2t2
- 0.001t3
57
ˇ Je trend deterministický?
* Technologické změny, změny cen ropy, změny daní, apod., jsou stochastické,
trend by to měl odrážet.
1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
cas
Urokove miry USA
fed. funds
10-year
Obrázek 8.2: Úrokové míry USA (fed. funds, 10-year)
Příklad 8.2.
* Na obrázku 8.2 jsou úrokové sazby USA (fed. funds, 10-year).
* Nemají žádnou zjevnou tendenci růst či klesat.
* Nejsou žádné strukturální zlomy.
* Není žádná tendence návratu k dlouhodobému průměru.
* Definujeme-li trend jako složku časové řady neztrácející se v čase, pak obě
řady mají "trend".
58
Trendově stacionární model
* Mějme časovou řadu, která se v každé periodě změní o stejnou konstantu,
tj. yt = a0.
* Řešením této lineární diferenční rovnice je yt = y0 + a0t (y0 je počáteční
stav). Je to tedy obyčejný deterministický lineární trend.
* Přidáme li stacionární složku A(L)t dostaneme yt = y0 + a0t + A(L)t.
* Řada bude vykazovat pouze dočasné odchylky od trendu, protože náhodná
složka je stacionární, tj. model je trendově stacionární.
Stochastický trend
* Nyní předpokládejme yt = a0 + t, kde Et-1t = 0.
* Tj. je očekáváno, že yt se v každé periodě změní o konstantu a0.
* Tato zdánlivě neškodná modifikace má zásadní dopady na trend.
* Řešení je tvaru yt = y0 +
t
i=1
i + a0t.
* Část y0 +
t
i=1
i představuje stochastický člen s konstantou. Každý šok t
má trvalý dopad na posun y0, hovoříme o stochastickém trendu.
8.1.1 Náhodná procházka
yt = yt-1 + t tj. yt = t
Řešením je
yt = y0 +
t
i=1
i
Platí:
* Eyt = Eyt-s = y0, Eyt+s = yt
59
0 20 40 60 80 100
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
nahodna prochazka
0 20 40 60 80 100
0
10
20
30
40
50
60
nahodna prochazka s driftem
0 20 40 60 80 100
-10
0
10
20
30
40
50
60
stacionarni trend
0 20 40 60 80 100
-15
-10
-5
0
5
10
nahodna prochazka se sumem
Obrázek 8.3: 4 řady s trendem
* var(yt) = t2
, var(yt-s) = (t - s)2
* t    var(yt)  
* proces není stacionární
8.1.2 Náhodná procházka s driftem
yt = yt-1 + a0 + t
Řešením je
yt = y0 + a0t +
t
i=1
i
* Chování yt je řízeno dvěma nestacionárními procesy ­ lineárním deterministickým
trendem a stochastickým trendem i. Neobsahuje žádnou
separovatelnou stacionární složku.
60
ˇ Eyt = y0 + a0t, Eyt+s = y0 + a0(t + s)
* za t period se deterministický trend změní o ta0 a stochastický trend o
i, každý šok i má trvalý dopad na yt.
* První diference řady, tj. yt = a0 + t, je stacionární.
8.1.3 Náhodná procházka s šumem
yt = y0 +
t
i=1
i + t
kde t je bílý šum s rozptylem 2
, a t a t-s jsou nezávislé pro všechna t a s.
Model lze též zapsat jako:
yt = t + t
* Eyt = y0, Eyt+s = y0, kde y0 je dané.
* Šoky t mají trvalý dopad na řadu {yt}, ta tedy obsahuje stochastický
trend.
* Šum {t} má pouze dočasný dopad na {yt}, ovlivňuje pouze současnou
hodnotu řady, ne budoucí.
* var(yt) = t2
+ 2
, var(yt-s) = (t - s)2
+ 2

8.2 Odstranění trendu
* Zásadní rozdíly mezi řadami s trendem a řadami stacionárními.
* Šoky ve stacionárních řadách jsou nutně dočasné.
* Naopak, řada s trendem se k dlouhodobé úrovni nevrátí.
* Trend může mít složku deterministickou a stochastickou, což má zásadní
vliv na to, jakým způsobem lze řadu stacionarizovat.
* Detrendování vyžaduje provedení regrese, výpočet reziduí.
61
ˇ Řada obsahující jednotkový kořen může být stacionarizována diferenco-
váním.
8.2.1 Diferencování
Náhodná procházka s driftem
Řešením je:
yt = y0 + a0t +
t
i=1
i
Po zdiferencování:
yt = a0 + t
je konstanta plus šum, tedy stacionární řada, protože:
* E(yt) = a0
* var(yt) = E(t)2
= 2
* cov(yt, yt-s) = E(t, t-s) = 0
Náhodná procházka s šumem
yt = t + t
Opět yt je stacionární, protože:
* E(yt) = 0
* var(yt) = E(t + t)2
= 2
+ 22

* cov(yt, yt-1) = E(t + t - t-1, t-1 + t-1 - t-2) = -2

* cov(yt, yt-s) = E(t + t - t-1, t-s + t-s - t-s-1) = 0 s > 1
* 1 =
-2

2+22

, -0.5  1  0  MA(1), tj. původní model je ARIMA(0,1,1).
ARIMA(na,d,nc)
A(L)y(t) = C(L)t
kde A(L), C(L) jsou polynomy řádu na, nc s operátorem zpoždění L.
62
ˇ AR proces je invertibilní, pro stabilitu je třeba, aby všechny kořeny q polynomu
A(q) = 1 - a1q - a2q2
- . . . - ana
qn
byly |q| > 1
* MA proces je stacionární, aby byl invertibilní, je třeba, aby všechny kořeny
q polynomu C(q) = 1 + c1q + c2q2
+ . . . + cnc
qn
byly |q| > 1
* Má-li pouze C(L) jednotkový kořen, proces není invertibilní.
* Má-li pouze A(L) jednotkový kořen a C(L) má všechny kořeny |q| > 1,
pak lze jednotkový kořen "vykrátit":
(1 - L)A
(L)y(t) = C(L)t
Označíme-li y
t = yt, pak
A
(L)y
t = C
(L)t
Řada {y
t } je stacionární, protože všechny kořeny A
(L) leží vně jednotkové
kružnice.
* Obecně d-tá diference procesu s d jednotkovými kořeny je stacionární.
8.2.2 Detrendování
Ne všechny nestacionární modely lze převést na vhodný ARMA model diferencováním.
Např.
yt = y0 + a1t + t
tedy
yt = a1 + t - t-1
Tedy proces yt není invertibilní, protože MA část procesu obsahuje jednotkový
kořen. Správný postup by tedy spočíval v odstranění trendu s využitím regrese.
Detrendovaný model lze modelovat jako ARMA proces.
Tedy trendově stacionární (TS) řadu lze transformovat na řadu stacionární
odstraněním deterministického trendu. Řadu s jednotkovým kořenem, tzv. diferenčně
stacionární (DS) řadu, lze transformovat diferencováním. Zvolíme-li
špatnou metodu, nastává problém.
63
Diferencování TS procesu vede na proces, který není invertibilní. Detrendování
DS procesu nevede na stacionární proces.
Existují hospodářské cykly?
Trend představuje nestacionární složku a cyklická a náhodná složka jsou stacionární.
Předpoklad neměnícího se trendu vedl k detrendování ekonomických
řad. Nelson a Plosser (1982) ukázali, že významné makroekonomické proměnné
mají spíše charakter DS než TS procesů.
1 2 r1 r2 d1 d2
real GNP 0.95 0.90 0.34 0.04 0.87 0.66
nominal GNP 0.95 0.89 0.44 0.08 0.93 0.79
industrial production 0.97 0.94 0.03 -0.11 0.84 0.67
unemployment rate 0.75 0.47 0.09 -0.29 0.75 0.46
i, ri, resp. di jsou korelace i-tého řádu pro původní data, diferencovaná data,
resp. detrendovaná data.
Koeficienty i ukazují na 3 procesy s jednotkovými kořeny, koeficienty ri
naznačují, že diferencované procesy by mohly být stacionární, koeficienty di
ukazují, že detrendování DS procesu nestacionaritu neodstraní. Detrendování
míry nezaměstnanosti nemá žádný dopad na korelace (některé šoky mají trvalý
charakter a nelze je eliminovat).
8.3 Jednotkové kořeny (unit roots)
Uvažme regresní rovnici
yt = a0 + a1zt + et
Pro použití klasické regrese je třeba, aby obě řady yt i zt byly stacionární a aby
náhodná složka měla nulovou střední hodnotu a konečný rozptyl. Jinak může
dojít k tzv. zdánlivé regresi, tj. výsledky odhadu jsou formálně dobré, ale nemají
žádný smysl, interpretaci.
Nebudeme chtít diferencovat či detrendovat stacionární proces; dále nebudeme
chtít detrendovat proces s jednotkovým kořenem ani diferencovat TS proces.
Pomoci nám může acf a pacf, ale je třeba nějaké objektivní metody.
64
Mějme proces
yt = a1yt-1 + t
kde t je bílý šum. Chceme-li testovat hypotézu a1 = 0, odhadneme rovnici
pomocí MN Č a hypotézu otestujeme pomocí t-testu. Pokud bychom ale chtěli
testovat hypotézu a1 = 1, tak by se jednalo o proces
yt = y0 +
t
i=1
t
Pokud je a1 = 1, rozptyl se s rostoucím t zvětšuje do nekonečna a není možné
použít MN Č a klasický t-test, protože odhad by byl vychýlený a výsledky zkres-
lené.
Dickey a Fuller vyvinuli postup umožňující formálně testovat přítomnost
jednotkových kořenů. Pro model s úroňovou konstantou platí, že
* 90% odhadů parametru a1 leží méně než 2.58 směrodatné odchylky od 1
* 95% odhadů parametru a1 leží méně než 2.89 směrodatné odchylky od 1
* 99% odhadů parametru a1 leží méně než 3.51 směrodatné odchylky od 1
Kritické hodnoty jejich testu lze nalézt v tabulkách.
8.4 Dickey-Fuller testy
yt = a1yt-1 + t
Položme  = a1 - 1, pak yt = yt-1 + t Testovat hypotézu a1 = 1 je ekvivalentní
testu  = 0. Dickey a Fuller uvažovali tři následující regresní rovnice:
yt = yt-1 + t (8.1)
yt = a0 + yt-1 + t (8.2)
yt = a0 + yt-1 + a2t + t (8.3)
Rovnice (8.1) je náhodná procházka, rovnice (8.2) přidává konstantu a0 neboli
drift a rovnice (8.3) přidává lineární trend. Je-li  = 0, řada {yt} obsahuje
65
jednotkový kořen. Při testování této hypotézy odhadneme některou z rovnic
uvedených výše pomocí MN Č pro získání odhadu parametru  a jeho standardní
odchylky a porovnáme s kritickou hodnotou v D-F tabulkách. Kritické hodnoty
jsou pro každý typ rovnice jiné, jsou označeny , ,  , což odpovídá postupně
rovnicím (8.1), (8.2) a (8.3). Kritické hodnoty D-F rozložení se nezmění, pokud
výše uvedené rovnice upravíme následovně:
yt = yt-1 +
p
i=2
iyt-i+1 + t (8.4)
yt = a0 + yt-1 +
p
i=2
iyt-i+1 + t (8.5)
yt = a0 + yt-1 + a2t +
p
i=2
iyt-i+1 + t (8.6)
Je také možno testovat současně více hypotéz ohledně koeficientů v regresní
rovnici pomocí F-statistik. Pro (8.2) nebo (8.5) lze testovat  = a0 = 0 pomocí
1 statistiky. Pro (8.3) nebo (8.6) lze testovat  = a0 = a2 = 0 pomocí 2
statistiky a  = a2 = 0 pomocí 3 statistiky. Statistiky i se spočtou:
i =
n - k
r

(SSER - SSEU )
SSEU
kde SSER resp. SSRU je suma čtverců reziduí modelu s omezením resp. bez
omezení, r je počet omezení, n je počet pozorování a k je počet parametrů
v modelu bez omezení.
Nulová hypotéza je ta, že data jsou generována modelem s omezeními, alternativa
­ modelem bez omezení na parametry. Malé hodnoty (menší než kritická
hodnota v D-F tabulkách) i znamenají nezamítnutí nulové hypotezy, vysoké
hodnoty i ukazují na odmítnutí nulové hypotézy.
Volba délky zpoždění
Zpoždění bychom neměli volit jen dle našeho uvážení, ale dle nějakého formálního
kriteria. Začneme s nějakým větším zpožděním p, otestujeme statistickou
66
významnost parametru u tohoto zpoždění, pokud není parametr významný, opakujeme
postup pro p - 1 a zasatvíme, až bude nějaké zpoždění významné.
Pokud máme data obsahující sezónnost (např. čtvrtletní), otestujeme vždy
parametr poslední sezóny a také všechny parametry posledního celého roku a
pokud nejsou významné, pokračujeme dále se zpožděním zkráceným o celý rok.
Dalším důležitým pomocníkem je vývoj reziduí. Neměla by být patrná žádná
sériová korelace, strukturální změna, ..., měla by vypadat jako bílý šum. BoxPierce
test by neměl také ukazovat na žádnou korelaci.
Shrnutí
1. Začneme s modelem obsahujícím konstantu i trend a pomocí  testujeme
H0 :  = 0. Pokud ji zamítneme, končíme s tím, že řada neobsahuje
jednotkový kořen.
2. Pokud H0 nezamítneme, je třeba určit, zda trend a konstanta patří mezi
vysvětlující proměnné. Testujeme H0 : a2 =  = 0 pomocí 3 statistiky.
Pokud trend není významný, pokračujeme krokem 3. Pokud trend
významný je, otestujeme přítomnost jednotkového kořene v řadě (lze již
použít normální rozložení). Pokud hypotézu zamítneme, řada nemá jednotkový
kořen. Jinak řada jednotkový kořen má.
3. Odhadneme model bez trendu a pomocí  otestujeme H0 :  = 0. Pokud
ji zamítneme, končíme s tím, že řada neobsahuje jednotkový kořen. Pokud
H0 nezamítneme, testujeme H0 : a0 =  = 0 pomocí 1 statistiky.
Pokud konstanta významná není, pokračujeme krokem 4. Pokud je konstanta
významná, otestujeme přítomnost jednotkového kořene v řadě (lze
již použít normální rozložení). Pokud hypotézu zamítneme, řada nemá jednotkový
kořen a končíme. Jinak řada jednotkový kořen má.
4. Odhadneme regresní rovnici bez trendu a konstanty a pomocí  otestujeme
H0 :  = 0. Pokud hypotézu zamítneme, řada nemá jednotkový kořen.
Jinak řada jednotkový kořen má.
67
Násobné "unit roots"
Pokud se domníváme,že by jednotkové kořeny mohly být např. dva, pak např.
místo regrese ve tvaru yt = a0 + yt-1 + t odhadujeme rovnici ve tvaru:
2
yt = a0 + 1yt-1 + t (8.7)
Testujeme, zda je 1 statisticky významně různé od nuly. Pokud hypotézu 1
nemůžeme zamítnout, je {yt} proces I(2). Liší-li se 1 od nuly, testujeme přítomnost
jednoho jednotkového kořene:
2
yt = a0 + 1yt-1 + 2yt-1 + t (8.8)
Mělo by vyjít, že 1 a/nebo 2 jsou různé od nuly. Při nulové hypotéze jednotkového
kořene je 1 < 0 a 2 = 0. Při alternativní hypotéze, že {yt}
je stacionární je 1 < 0 a 2 < 0. Tedy testujeme, zda 2 = 0, použijeme
D-F tabulky. Ekonomické časové řady většinou není třeba diferencovat více než
dvakrát.
8.5 Strukturální změny
Při testování jednotkových kořenů musíme dát pozor na přítomnost strukturálních
změn. Může se jednat o skokovitou změnu úrovně nebo o jednotlivý
impuls v časové řadě.
Při simulaci i při testování takových procesů používáme umělé proměnné.
Při skokovité změně úrovně, např. v čase t = 51 o 3 jednotky, si pomůžeme
proměnnou DL(t) = 0 pro t = 1, ..., 50 a DL(t) = 3 pro t = 51, ..., n. Při
jednotlivém impulsu v čase t = 51 o velikosti 4 je proměnná DP (51) = 4 a
DP (t) = 0 jinak.
Na obrázku 8.4 je zachycen stacionární proces s úrovňovou změnou od času
t = 51 dále. Pokud bychom chtěli takový proces modelovat a nevzali bychom
v úvahu uvedený zlom, pak bychom se mylně mohli domnívat, že se jedná o
nestacionární proces (s jednotkovým kořenem). Je možné časovou řadu rozdělit
na dvě části a každý úsek modelovat zvlášť, což je ale možné pouze, pokud
máme velmi mnoho pozorování.
68
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Casova rada se skokovitou zmenou v case t=51
cas
Obrázek 8.4: Stacionární proces se skokovitou změnou v čase t=51
Lze však také pracovat s celou časovou řadou a při podezření na zlom v čase
t =  + 1 testovat např. hypotézy:
H1 : yt = a0 + yt-1 + 1DP + t (8.9)
A1 : yt = a0 + a2t + 2DL + t (8.10)
kde DP je pulsní umělá proměnná, DP = 1 pro t =  + 1 a DP = 0 jinak, a
DL je úrovňová umělá proměnná, DL = 1 pro t > , DL = 0 jinak. Při nulové
hypotéze se jedná o proces s jednotkovým kořenem se skokem v čase t =  +1.
Při alternativní hypotéze se jedná o trendově stacionární řadu s úrovňovým posunem
od času t =  + 1 dále.
Na obrázku 8.5 je zachycena náhodná procházka s impulsním skokem v čase
t = 51.
8.6 Cvičení
Příklad 8.3. V souboru suroviny.txt naleznete vývoj cen mědi, dříví a
ropy v USA za poseldních více než sto let. Otestujte, zda se ceny jednotlivých
69
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Casova rada se impulsni zmenou v case t=51
cas
Obrázek 8.5: Unit root proces s impulsní změnou v čase t=51
komodit chovají v dlohém období jako náhodné procházky. (V krátkém období
jsou možné náhodné odchylky, ale v dlouhém období by cena měla odpovídat
mezním nákladům, které mohou být rostoucí (omezené zdroje) nebo klesající
(technologický pokrok).
Provedťe DF testy pro jednotlivé komodity. Otestujte (pomocí t-testu) model
tvaru Pt = a0 + a2t + Pt-1 + 1Pt-1 + t a posudťe, zda se jedná o
proces s jednotkovým kořenem. Dále otestujte, zda do uvedeného modelu patří
trend (pomocí F-testu). Pokud zjistíte, že se cena nějaké komodity jako náhodná
procházka chová, otestujte také, zda se zdiferencovaná řada jeví již jako řada
stacionární. Při veškerém testování uvažujte různé hladiny rizika.
Příklad 8.4. V souboru gdp_usa.txt naleznete data amerického reálného
HDP.
* Odhadněte vhodný polynomiální trend HDP USA a zamyslete se nad vlastnostmi
získaného odhadu (významnost modelu a parametrů, vlastnosti reziduí,
...)
70
ˇ Dále vhodným způsobem transformujte data na stacionární, stacionaritu
prověřte prozkoumáním vlastností reziduí.
* Dále ověřte, že všechny vámi provedené transformace byly správné. Tj.
např. pokud jste data nějak upravili, a pak ještě diferencovali, provedťe
rozšířený DF test pro nezdiferencovaná data, zamyslete se nad zahrnutím
konstanty a trendu do tohoto DF testu, zhodnotťe různé varianty modelů,
různé míry rizika.
Příklad 8.5. Otestujte platnost podmínky parity kupní síly et = pt - pft + dt
resp. prozkoumejte vývoj reálného směnného kurzu rt  et + ptf - pt, kde pt
resp. ptf je logaritmus domácí a zahraniční cenové úrovně, et označuje logaritmus
ceny zahraniční měny v domácí měně, dt je odchylka od PPP, rt je reálný
směnný kurz. Využijte data pro Kanadu, Německo, Japonsko a Velkou Británii,
která naleznete v souboru kurzy.txt.
* Prozkoumejte acf a pacf pro každou řadu i její diference.
* Poznáte, jestli jsou řady stacionární z obrázků acf a pacf? Proč a jak?
* Provedťe D-F testy se zahrnutím konstanty, dále rozšířený D-F test se
zpožděním 12 bez trendu i s trendem a zjistěte, zda se jedná o "unit roots"
procesy. (K vyhodnocení výsledků použijte D-F tabulky pro ).
* Rozhodněte, zda do modelu náleží konstanta. Rozhodněte, zda do modelu
náleží trend. Rozhodněte, zda do modelu náleží trend a konstanta. (K vyhodnocení
výsledků použijte D-F tabulky pro ).
Příklad 8.6. V souboru zlom.txt naleznete časové řady se strukturálním
zlomem.
* Vykreslete obě časové řady a pokuste se určit, zdali došlo k nějakému
zlomu, pokud ano, tak kdy a k jakému.
* S využitím acf a pacf se pokuste posoudit stacionaritu řad.
* Provedťe D-F test s konstantou a trendem, zhodnotťe výsledky.
71
ˇ Provedťe test na přítomnost jednotkových kořenů postupem uvedeným
výše v části 8.5.
Příklad 8.7. D Ú
* Vyberte si dvě ekonomické časové řady, které se vztahují k vaší diplomové
práci a vaši volbu stručně objasněte.
* Určete, zdali se jedná o stacionární časové řady, řady s trendem či náhodné
procházky. Využijte k tomu Dickey-Fullerovy testy. Výsledky testů řádně
okomentujte a vysvětlete, co to pro vaše řady znamená. Pomoci vám může
také acf, pacf.
* Pokud řady stacionární nejsou, pak je vhodným ekonomicky interpretovatelným
způsobem stacionarizujte a vysvětlete, co získaná řada představuje.
* Obě řady, pro další účely, zkratťe o čtyři nejnovější pozorování.
* Pro každou řadu identifikujte vhodný ARMA proces, okomentujte získané
výsledky (parametry, rezidua, FPE, ...) a objasněte, proč jste vybrali právě
tento model.
* Provedťe predikci na 4 kroky dopředu a výsledek srovnejte se skutečně realizovanými
hodnotami (o které jste měli řady uříznout). Pokud je predikce
kvalitativně špatná (např. místo růstu predikuje model pokles), zkuste jiný
ARMA model.
Nezapomeňte si práci podepsat, uvést svoje U ČO, dále uvést název práce,
P ŘESN Ý ZDROJ a popis dat, postup, závěr práce. Spolu s prací odevzdáte
také zdrojový soubor s daty a m-file s analýzou řad. Soubory nazvěte svým
příjmením, podtržítko, DF, tj. např. Zacek_DF.m.
Každý bude mít jiné časové řady, kdo si dřív řekne, ten je má, domluva na
cvičení nebo mailem. Vyberte si takové řady, aby bylo k dispozici dostatečně
mnoho dat. Termín odevzdání 10.12.2007.
72
Dickey-Fullerovy tabulky pro 
 statistika

n 0.01 0.025 0.05 0.10
25 -2.66 -2.26 -1.95 -1.60
50 -2.62 -2.25 -1.95 -1.61
100 -2.60 -2.24 -1.95 -1.61
250 -2.58 -2.23 -1.95 -1.62
300 -2.58 -2.23 -1.95 -1.62
 -2.58 -2.23 -1.95 -1.62
 statistika

n 0.01 0.025 0.05 0.10
25 -3.75 -3.33 -3.00 -2.62
50 -3.58 -3.22 -2.93 -2.60
100 -3.51 -3.17 -2.89 -2.58
250 -3.46 -3.14 -2.88 -2.57
500 -3.44 -3.13 -2.87 -2.57
 -3.43 -3.12 -2.86 -2.57
 statistika

n 0.01 0.025 0.05 0.10
25 -4.38 -3.95 -3.60 -3.24
50 -4.15 -3.80 -3.50 -3.18
100 -4.04 -3.73 -3.45 -3.15
250 -3.99 -3.69 -3.43 -3.13
500 -3.98 -3.68 -3.42 -3.13
 -3.96 -3.66 -3.41 -3.12
73
Dickey-Fullerovy tabulky pro 
1 statistika

n 0.01 0.025 0.05 0.10
25 4.12 5.18 6.30 7.88
50 3.94 4.86 5.80 7.06
100 3.86 4.71 5.57 6.70
250 3.81 4.63 5.45 6.52
500 3.79 4.61 5.41 6.47
 3.79 4.61 5.41 6.47
2 statistika

n 0.01 0.025 0.05 0.10
25 4.67 5.68 6.75 8.21
50 4.31 5.13 5.94 7.02
100 4.16 4.88 5.59 6.50
250 4.07 4.75 5.40 6.22
500 4.05 4.71 5.35 6.15
 4.03 4.68 5.31 6.09
3 statistika

n 0.01 0.025 0.05 0.10
25 5.91 7.24 8.65 10.61
50 5.61 6.73 7.81 9.31
100 5.47 6.49 7.44 8.73
250 5.39 6.34 7.25 8.43
500 5.36 6.30 7.20 8.34
 5.34 6.25 7.16 8.27
74
9. Kointegrace časových řad
9.1 Úvod
Regrese náhodné procházky pomocí jiné náhodné procházky může vést ke zdánlivým
vazbám, které ve skutečnosti neexistují. Proto je důležité testovat, zdali
modelované řady nejsou náhodnými procházkami. Pokud náhodnou procházku
zdiferencujeme, regrese už je v pořádku. Nechceme ale diferencovat zbytečně,
protože dochází ke ztrátě informace.
Je však také možné, že dvě řady xt a yt se chovají jako náhdoné procházky,
ale jejich lineární kombinace zt = xt - yt je stacionární. Pak říkáme, že xt a
yt jsou kointegrované a  je kointegrační parametr. Parametr  lze odhadnout
pomocí MN Č. Rezidua z této regrese lze testovat, zdali xt a yt byly skutečně
kointegrované. Přesněji:
Složky vektoru xt = (x1t, x2t, . . . , xnt) se nazývají kointegrované řádu
(d, b), značíme xt  CI(d, b), jestliže
* všechny složky xt jsou I(d) (integrovaný proces řádu d) a
* existuje vektor  = (1, 2, . . . , n) takový, že lineární kombinace xt =
1x1t + 2x2t + . . . + nxnt je I(d - b), b > 0
Např. agregátní spotřeba a disponibilní důchd se chovají jako náhodné procházky,
předpokládáme, že se dlouhodobě vyvíjí podobně, tj. že nějaká jejich
lineární kombinace je stacionární. Nebo např. dividendy a cena akcií. Nebo také
teorie obsažená v rovnici poptávky po penězích tvaru mt = 0 + 1pt + 2yt +
3rt+ t předpokládá, že určitá lineární kombinace nestacionárních proměnných
může být stacionární (řada t).
75
Máme-li dvě náhodné procházky xt a yt, ale xt a yt jsou stacionární,
kointegraci testujeme pomocí kointegrační regresní rovnice
xt =  + yt + t (9.1)
a pak testujeme, zdali rezidua et z této regrese jsou stacionární. (Pokud by řady
kointegrované nebyly, tak jakákoli jejich lineární kombinace bude též nestacionární.)
Testujeme hypotézu H0, že rezidua jsou nestacionární. Budťo provedeme
D-F test nebo vypočteme D-W statistiku a testujeme hypotézu, že DW=0
(hypotéza náhodné procházky). Pro n = 100 jsou kritické hodnoty pro  = 1%,
5%, 10% postupně 0.511, 0.386 a 0.322.
9.2 Testování Grangerovy kauzality
V ekonomii chceme často určit, zda jsou změny jedné proměnné příčinou
změn jiné proměnné. Např. jestli změny peněžní nabídky způsobují změny produkce
nebo zda jsou obě proměnné určeny endogenně. Jednou z možností testování
je přístup navržený Grangerem a Simsem (1979).
Pokud veličina X způsobuje změny veličiny Y , pak tím rozumíme to, že
změny X předchází změnám Y . Přesněji, pokud X  Y (X způsobuje
změny Y ), pak musí platit:
1. X pomáhá predikovat Y , tj. v regresi proměnné Y pomocí zpožděných
hodnot Y by přidání minulých hodnot proměnné X mělo významně přispět
ke zvýšení vysvětlující schopnosti modelu.
2. Y nepomáhá predikovat X.
(Pokud by X  Y a Y  X, pak zřejmě existuje nějaká jiná proměnná, která
působí tyto změny.)
Při zjišťování kauzality testujeme hypotézu H0 : X - /- > Y (tj. že X
nezpůsobuje změny Y ) pomocí dvou regresí:
Yt =
m
i=1
iYt-i +
m
i=1
iXt-i + t (9.2)
76
Yt =
m
i=1
iYt-i + t (9.3)
Pomocí F-testu zjistíme, zdali zpožděné hodnoty veličiny X pomáhají významně
k vysvětlení veličiny Y , tj. testujeme, zda skupina koeficientů 0, . . . , m
je statisticky významně různá od nuly. Pokud ano, zamítneme nulovou hypotézu
s tím, že data odpovídají situaci X  Y . Obdobným způsobem otestujeme i
obrácenou kauzalitu Y - /- > X.
F-test spočteme dle (9.4). SSEU je suma čtverců chyb modelu bez omezení
(9.2), SSER je suma čtverců chyb modelu s omezeními (9.3), n je počet pozorování,
k je počet parametrů modelu bez omezení (9.2), r je počet omezení a
vypočtená statistika F má Fisherovo rozdělení F(r, n - k).
F =
(n - k)
r

(SSER - SSEU )
SSEU
(9.4)
Pokud je vypočtená hodnota menší než kritická hodnota F rozdělní, nezamítáme
H0. Pokud je vypočtená hodnota větší než kritická hodnota F rozdělní, H0
zamítáme. Abychom mohli celkově říci, že X  Y , je třeba odmítnout hypotézu
H1 : X - /- > Y a nezamítnout H2 : Y - /- > X.
Volba délky zpoždění m v regresi je na nás. Obecně je dobré vyzkoušet různé
délky zpoždění a ujistit se, že výsledky nejsou citlivé na volbu m.
Tuto metodu lze vyzkoušet např. na zjištění, zda změny ceny ropy Pt
způsobují změny produkce Y . Při označení zt = Pt, xt = log(Yt/Yt-1) bychom
zkoumali rovnici:
zt = a0 + a1zt-1 + . . . + amzt-m + b1xt-1 + . . . + bmxt-m + t
Např. pro USA v období před prvním ropným šokem vychází jednoznačně, že
ceny ropy ovlivňují změny GNP.
9.3 "Error correction"
Kointegrace řad xt a yt znamená přítomnost dlouhodobého rovnovážného
vztahu mezi těmito proměnnými. Pokud se jedna veličina odchýlí od tohoto
vztahu v čase t, pak má tendenci se vrátit v následujících periodách zpět. Žádná
77
z proměnných by se tedy neměla odchýlit příliš daleko od rovnovážné situace.
Tuto myšlenku lze formálně zapsat pomocí "error correction" modelu, který lze
odhadnout s pomocí následujících rovnic:
yt = c1 + 1et-1 +
m
i=1
1iyt-i +
m
i=1
1ixt-i + t (9.5)
xt = c2 + 2et-1 +
m
i=1
2iyt-i +
m
i=1
2ixt-i + t (9.6)
kde et jsou rezidua získané z regrese X a Y (vztah (9.1)). Pokud jsou xt a yt
kointegrované, alespoň jeden z odhadů koeficientů 1, 2 musí být statisticky
významný a znaménko parametru musí být takové, že odchylka od dlouhodobé
rovnováhy bude v následující periodě opravena.
V regresních rovnicích vystupují zpožděné diference kvůli potenciální sériové
autokorelaci reziduí. Délku zpoždění m bychom neměli volit větší než 8 a
měli bychom volit takové m, aby parametr u největšího zpoždění byl statisticky
významný (podle t-testu). Délka zpoždění m by měla být v obou regresních
rovnicích (9.5) a (9.6) stejná.
Např. pro krátkodobé a dlouhodobé úrokové (rS, rL) sazby by příslušný error
correction model mohl být tvaru:
rSt = S(rLt-1 - rSt-1) + St
rLt = -L(rLt-1 - rSt-1) + Lt
kde S > 0, L > 0 a rS i rL jsou integrované řádu 1. Levé strany rovnic jsou
stacionární řady, šumy v rovnicích jsou též stacionární, tedy rS a rL musí být
kointegrované, aby rovnice mohly platit.
Postup při Engel-Grangerovu testování
* Otestujeme řád integrace jednotlivých proměnných (ADF test).
* Provedeme kointegrační regresi a otestujeme, zda rezidua z této regrese
jsou stacionární (nepoužijeme kritické D-F hodnoty, ale speciální kritické
hodnoty pro E-G test).
78
ˇ Můžeme otestovat Grangerovu kauzalitu mezi časovými řadami.
* Pokud jsou řady kointegrované, můžeme sestavit error correction model a
verifikovat ho.
Tabulka pro Engel-Grangerův test kointegrace pro dvě proměnné
n  = 1%  = 5%  = 10%
50 -4.123 -3.461 -3.130
100 -4.008 -3.398 -3.087
200 -3.954 -3.368 -3.067
500 -3.921 -3.350 -3.054
Tabulka pro Engel-Grangerův test kointegrace pro tři proměnné
n  = 1%  = 5%  = 10%
50 -4.592 -3.915 -3.578
100 -4.441 -3.828 -3.514
200 -4.368 -3.785 -3.483
500 -4.326 -3.760 -3.464
9.4 Cvičení
Příklad 9.1. V souboru spotr_duch.txt naleznete čtvrtletní data agregátní
spotřeby a disponibilního důchodu USA. Otestujte, zdali jsou tyto dvě veličiny
kointegrované.
* Ověřte, zdali se jedná o náhodné procházky pomocí D-F testu. Vyzkoušejte
různou délku zpoždění a různou úroveň rizika.
* Ověřte pomocí D-F testu, zdali jsou první diference řad stacionární.
* Provedťe kointegrační regresi spotřeby C pomocí disponibilního důchodu
Y D. Otestujte, zdali rezidua z této regrese jsou stacionární.
79
ˇ Otestujte Grangerovu kauzalitu Y D a C.
* Sestavte "error correction" model pro Y D a C.
Příklad 9.2. V souboru PPP.txt naleznete data pro vývoj cen v Německu,
Japonsku a Kanadě, bilaterální směnné kurzy zemí s USA a vývoj cen v USA
v období 1974 Q3 - 2001 Q4.
* Odhadněte dlouhodobý vztah pro logaritmy směnných kurzů Kanady a
USA ve tvaru:
log(exca) = b0 + b1 log(pca) + b2 log(pus) + t
Odpovídají získané výsledky odhadů parametrů vašim představám a teorii
obsažené v LR PPP?
* Označme t rezidua z regrese v předchozím vztahu. Otestujte tato rezidua
pomocí Engel-Grangerova testu kointegrace. Použijte vhodnou délku zpoždění.
Vysvětlete výsledky testu.
* Zopakujte předchozí dva body pro Německo a Japonsko (pozor, německá
data jsou k dispozici jen do 1998 Q3).
Příklad 9.3. Vývoj amerických úrokových sazeb v období 1954:7­2002:12 naleznete
v souboru int_rates.txt. Ve druhém, čtvrtém a pátém sloupci jsou
sazby pro 3-měsíční, 10-leté a š-leté vládní cenné papíry (označné jako tbill, r10
a r3).
* Otestujte, zdali se uvedené tři proměnné chovají jako náhodné procházky
pomocí ADF testu (s vhodným zpožděním, s konstantou, bez trendu).
* Odhadněte kointegrační vztah s využitím Engel-Grangerovy procedury.
Odhadujte vztah tvaru:
tbillt = b0 + b1  r3t + b2  r10t + t
Provedťe DF testy pro rezidua.
* Otestujte stacionaritu reziduí z předchozí regrese (využijte Engel-Grangerovy
kritické hodnoty).
80
ˇ Zopakuje část popsanou ve druhém bodě pro závislou proměnnou r10 a
určete, zdali jsou proměnné kointegrované.
* Odhadněte "error correction" model pro každou proměnnou s délkou zpoždění
12. Jako error correction člen použijte rezidua ze druhého bodu, nezahrnujte
úrovňovou konstantu. Otestujte, zdali jsou rezidua modelů bílým
šumem. Je délka zpoždění 12 vhodná?
81
10. Monetární politika ­ statický model
* Dynamicky konzistentní politika ­ akce plánované v čase t pro čas t + i
zůstávají optimálními, když čas t + i nastane.
* Dynamicky nekonzistentní politika ­ v čase t+i nebude optimální reagovat
tak, jak bylo původně plánováno v čase t.
10.1 Cílová funkce
Většinou cílová funkce centrální banky zahrnuje výstup (nebo zaměstnanost)
a inflaci. Výstup se objevuje ve formě lineární (10.1) nebo kvadratické (10.2).
U = (y - yn) -
1
2
2
, (10.1)
kde y je skutečný výstup, yn je přirozená úroveň výstupu ekonomiky a  je míra
inflace,  je relativní váha výstupu vzhledem k inflaci.
V =
1
2
(y - yn - k)2
+
1
2
2
. (10.2)
* Centrální banka chce stabilizovat jak výstup (kolem úrovně yn + k), tak
inflaci (kolem nuly).
* Nejčastěji se předpoklad k > 0 vysvětluje přítomností distorzí na trhu
práce, které způsobí, že rovnovážná míra výstupu ekonomiky je neúčinně
nízká; dále přítomností daní, monopolů či sektorů s monopolistickou kon-
kurencí.
* Stabilizace výstupu kolem yn+k = druhé nejlepší řešení (tj. suboptimální),
(nejlepší = eliminace původních distorzí).
82
ˇ Další příčinou může být politický tlak na centrální banku.
* Cílem monetární politiky je stabilizace inflace a ne stabilizace cenové
úrovně.
* Instrumentem MP bude peněžní zásoba, m je míra růstu nominální peněžní
nabídky, člen v představuje náhodnou složku, tzv. šok v rychlosti
peněz, kde E(v) = 0.
 = m + v (10.3)
10.2 Ekonomika a její vlastnosti
* Lucasův typ agregátní nabídky
y = yn + s( - e
) + e, (10.4)
y je výstup, yn je přirozená úroveň výstupu ekonomiky,  je skutečná
míra inflace, e
je očekávaná míra inflace, s popisuje vlivy peněžních
překvapení na produkci, e je nabídkový šok, kde E(e) = 0
* Tento tvar agregátní nabídky lze odůvodnit přítomností nominálních mzdových
smluv na jedno období, které se nastavují na začátku každé periody
na základě očekávání veřejnosti ohledně míry inflace.
*  > e
 reálné mzdy budou nižší a firmy budou rozšiřovat zaměstnanost,
tj. produkt poroste
*  < e
 reálné mzdy budou převyšovat očekávanou úroveň, zaměstnanost,
a tedy i produkt, se sníží
* Očekávání soukromého sektoru jsou určena dříve, než centrální banka
zvolí míru růstu nominální peněžní nabídky.
* CB může před nastavením instrumentu m pozorovat náhodnou složku e
(tj. nabídkový šok), ale ne šok v.
* Náhodné složky e a v jsou nekorelované, tj. E(ev) = 0, protože E(e) =
E(v) = 0.
83
10.3 Rovnovážná inflace při lineární formulaci
CB maximalizuje očekávanou hodnotu kriterální funkce U. Substituujeme
výrazy (10.4) a (10.3) do cílové funkce centrální banky (10.1):
U = [s(m + v - e
) + e] -
1
2
(m + v)2
.
Podmínka optimality prvního řádu pro volbu m za podmínky e při dané e
(E(v) = 0) je
E
U
m
= s - m = 0
neboli
m = s > 0. (10.5)
* m = s  max U
*  t = s + v
* e
= E[m] = s (průměrná inflace je plně anticipovaná)
* y = yn + sv + e
10.3.1 Diskrece
* Kladná průměrná míra inflace s.
* Soukromý sektor inflaci zcela anticipuje  žádný efekt na výstup.
* Velikost inflačních tlaků se zvyšuje s efekty peněžních překvapení na výstup,
tj. čím větší s, tím větší je podnět centrální banky dělat inflaci.
* Po rozpoznání tohoto faktu očekávají soukromí agenti vyšší míru inflace.
* Inflační tlaky se také zvyšují s relativní váhou výstupu , malé  = méně
podnětů generovat inflaci.
* Při nulové míře inflace je mezní zisk z generování malé inflace pozitivní,
protože při již nastavených mzdách je efekt přírůstkového zvýšení inflace
na výstup roven s > 0 (viz rovnice (10.4)).
84
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨
¨¨¨¨¨¨¨
¨¨
¨¨¨
mezní zisk
mezní náklad

s

Obrázek 10.1: Rovnovážná inflace při diskreci (lineární verze)
* Odpovídající hodnota zisku z tohoto zvýšení výstupu je s.
* To je zobrazeno na obrázku 10.1 horizontální čarou ve výši s.
* Mezní náklad inflace je roven .
* Při nulové míře inflace je tento mezní náklad nulový, takže mezní zisk
z inflace převyšuje mezní náklad.
* Mezní náklad však roste (lineárně) s inflací, jak je zachyceno na obrázku.
* Při míře očekávané inflace rovné s se mezní náklad rovná meznímu zisku.
E[Ud
] = E (sv + e) -
1
2
(s + v)2
= -
1
2
(s2
2
+ 2
v)
* E[v] = E[e] = E[ev] = 0, 2
v je rozptyl náhodné složky v.
* Očekávaný užitek se snižuje s rozptylem náhodné složky v, také s vahou
přidělenou výstupu vzhledem k inflačním cílům , protože větší  zvyšuje
průměrnou míru inflace (rovnou s).
* Zatímco náhodná složka v je neodstranitelná, ztráta kvůli inflačním tlakům
vzniká pouze ze zbytečných pokusů monetární autority o stimulaci výstupu.
85
10.3.2 Pravidlo
* Monetární autorita je schopná se zavázat k nějakému pevnému závazku,
např. k nulovému růstu peněžní zásoby, tj. m = 0.
*   = v
* Očekávaný užitek při pravidle je větší než při diskreci.
* Diskrece v tomto případě generuje náklad ve výši 1
2s2
2
.
E[Uc
] = E (sv + e) -
1
2
v2
= -
1
2
2
v > E[Ud
].
10.4 Rovnovážná inflace při kvadratické formulaci
* Ztráta spojená s fluktuacemi výstupu a inflace kolem cílových úrovní.
* Stejné základní závěry jako u formulace (10.1).
* Diskrece vede ke kladným průměrným inflačním tlakům a nižšímu očekávanému
užitku.
* Bude existovat potenciální prostor pro to, aby politika snížila fluktuace
výstupu způsobené nabídkovým šokem e.
* Substituce výrazů (10.4) a (10.3) do kvadratické ztrátové funkce (10.2)
dává:
V =
1
2
[s(m + v - e
) + e - k]2
+
1
2
(m + v)2
m je zvoleno po pozorování šoku e, ale před pozorováním šoku v, pak podmínka
optimality
E
V
m
= s[s(m - e
) + e - k] + m = 0
neboli
m =
s2
e
+ s(k - e)
1 + s2
(10.6)
86
ˇ Ve vztahu (10.6) se objevuje šok agregátní nabídky (e) ­ vzniká prostor
pro stabilizační politiku (substituce určité inflační volatility za sníženou
volatilitu výstupu).
* Optimální politika závisí na očekáváních soukromého sektoru ohledně in-
flace.
e
= E[m] =
s2
e
+ sk
1 + s2
 e
= sk > 0
10.4.1 Diskrece
Dosadíme e
= sk do rovnice (10.6) a s (10.3) dostaneme výraz pro rovnovážnou
míru inflace při diskreci d
:
d
= m + v = sk -
s
1 + s2
e + v, (10.7)
* Rovnováha v případě, kdy centrální banka jedná diskrečně, znamená kladnou
průměrnou míru inflace rovnou sk, protože E(e) = E(v) = 0.
* Nedochází k žádnému efektu na výstup (obdobně jako u lineární formulace),
protože soukromý sektor tuto míru inflace zcela anticipuje (e
=
sk).
* Velikost inflačních tlaků roste s distorzí výstupu (k), s efektem peněžního
překvapení na výstup (s) a s vahou, kterou přiděluje centrální banka cíli
výstupu ().
* Budeme na chvíli ignorovat náhodné šoky e a v, rovnováha ­ viz obrázek
10.2.
* Rovnice (10.6) pro optimální volbu instrumentu m je zde zobrazena pro
e = 0 jako přímka OP (pro optimální politiku). Sklon této přímky je
s2
/(1 + s2
) < 1 (tj. méně než 45
), s průsečíkem sk/(1 + s2
) > 0
na vertikální ose.
* Růst očekávané míry inflace vyžaduje, aby CB zvýšila aktuální inflaci o
stejné množství, aby dosáhla téhož efektu na výstup. Tato akce zvyšuje
87
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

OP
45
e
m

Obrázek 10.2: Rovnovážná inflace při diskreci (kvadratická verze)
náklady spojené s inflací, CB považuje za optimální zvýšit inflaci méně
oproti růstu očekávané inflace e
, tj. sklon přímky OP je menší než 1.
Kladný průsečík přímky OP s vertikální osou odráží fakt, že pokud e
=
0, je optimální politikou centrální banky nastavit pozitivní míru inflace.
* V rovnováze e
= , tj. na přímce 45
.
* Zvýšení k, míry distorze výstupu, posunuje přímku OP nahoru a vede
k vyšší rovnovážné míře inflace.
* Růst parametru s, tj. dopadu inflačního překvapení na reálný výstup, má
dva efekty. Jednak zvyšuje sklon přímky OP; zvýšení efektu inflačního
překvapení na výstup zvyšuje mezní zisk centrální banky z větší inflace.
Dále také zvýšení dopadu inflačního překvapení na výstup snižuje inflační
překvapení potřebné k tomu, aby se výstup posunul k úrovni yn + k, a
pokud je  velké, průsečík přímky OP s osou 45
může klesnout.
Čistým efektem ze zvýšení parametru s je zvýšení rovnovážné míry inflace
-- viz rovnice (10.7), která ukazuje, že rovnovážná míra inflace pokud
e = 0 je rovna sk, což je výraz rostoucí v s.
* Koeficient u nabídkového šoku e v rovnici (10.7) je záporný. Tedy pozi-
88
tivní nabídkový šok vede ke snížení růstu peněžní nabídky a inflace, což
znamená snížení dopadu šoku e na výstup (koeficient u e v rovnici výstupu
(10.4) bude 1/(1 + s2
), což je menší než 1). Čím větší je váha přiřazená
cíli výstupu , tím menší bude dopad šoku e na výstup.
Použije-li se výrazu (10.7), ztrátová funkce centrální banky při diskreci je
V d
=
1
2

1
1 + s2
e + sv - k
2
+
1
2
sk -
s
1 + s2
e + v
2
.
(10.8)
Nepodmíněná střední hodnota této ztráty je rovna
E(V d
) =
1
2
E
1
1 + s2
2
e2
+ s2
v2
+ k2
+
2sev
1 + s2
-
2ke
1 + s2
- 2skv +
+
1
2
E s2
2
k2
+ v2
+
s2
2
e2
(1 + s2)2
+ 2skv -
2sve
1 + s2
-
2s2
2
ke
1 + s2
E(V d
) =
1
2

1
(1 + s2)2
2
e + s2
2
v + k2
+
1
2
s2
2
k2
+ 2
v +
s2
2
(1 + s2)2
2
e
Tedy celkem:
E(V d
) =
1
2
(1 + s2
)k2
+
1
2

1 + s2
2
e + (1 + s2
)2
v , (10.9)
kde symbol 2
označuje rozptyl.
10.4.2 Pravidlo
* Centrální banka je schopná zavázat se předem k politickému pravidlu dříve,
než se utvoří soukromá očekávání.
* Monetární autorita chce reagovat na nabídkový šok e.
* Monetární pravidlo bude tvaru
mc
= b0 + b1e
* e
= E(mc
) = b0
89
ˇ Substitucí tohoto výrazu do kvadratické ztrátové funkce se dostane:
V c
=
1
2
[s(b1e + v) + e - k]2
+
1
2
(b0 + b1e + v)2
(10.10)
* CB se zaváže k určitým hodnotám parametrů b0 a b1 před zformováním
inflačních očekávání a před realizací šoku e.
* Parametry b0 a b1 jsou vybrány tak, aby minimalizovaly očekávanou střední
hodnotu ztrátové funkce:
E(b0 + b1e) = 0  b0 = 0
E
V c
b1
= E{[s(b1e + v) + e - k]se + b1e2
} =
= E{(s2
b1e2
+ s2
ev + se2
- ske + b1e2
} =
= E{e2
[b1(1 + s2
) + s]} = 0  b1 = -
s
1 + s2
Tedy optimální politika se závazkem:
mc
= 0 + b1e = -
s
1 + s2
e (10.11)
Průměrná inflace při závazku předem bude nulová (b0 = 0), ale reakce na šok
na agregátní nabídku je stejná, jako při diskreci (viz výraz (10.7)). Očekávaná
střední hodnota ztrátové funkce při závazku je:
90
E(V c
) = E{
1
2
[s(b1e + v) + e - k]2
K
+
1
2
(b1e + v)2
L
} = E(K) + E(L)
E(K) =
1
2
E{(sb1e + sv + e - k)2
} =
=
1
2
E{s2
b2
1e2
+ s2
v2
+ e2
+ k2
+ 2sb1e2
} +
+
1
2
E{2s2
b1ev - 2sb1ek + 2sve - 2svk - 2ek} =
=
1
2
k2
+
1
2
s2
2
v +
1
2
2
e(s2
b2
1 +  + 2sb1)
E(L) =
1
2
E{b2
1e2
+ v2
+ 2b1ev} =
1
2
b2
12
e +
1
2
2
v
E(V c
) =
1
2
k2
+
1
2
2
v(1 + s2
) +
1
2
2
e[b2
1(1 + s2
) +  + 2sb1] =
=
1
2
k2
+
1
2
2
v(1 + s2
) +
1
2
2
e
s2
2
+  + s2
2
+ 2s(-s)
(1 + s2)
Tedy celkem:
E[V c
] =
1
2
k2
+
1
2

1 + s2
2
e + (1 + s2
)2
v , (10.12)
což je ostře menší, než ztráta při diskreci. Z porovnání výrazů (10.9) a (10.12)
je vidět, že náklad diskrece je roven (sk)2
/2, což je prostě ztráta odpovídající
nenulové míře inflace.
10.5 Problém nekonzistence
* Inflační tlaky, které vznikají při diskreci, se objevují ze dvou důvodů. Za
prvé, centrální banka má podnět dělat inflaci, pokud jsou nastavena očekávání
soukromého sektoru. Za druhé, centrální banka není schopna se
předem zavázat k nulové průměrné míře inflace právě kvůli problému
dynamické nekonzistence. Proto se důležitým prvkem stává kredibilita
monetární autority.
91
ˇ Pokud CB oznámí, že bude nulová míra inflace a veřejnost tomu uvěří, tj.
e
= 0, potom je optimální politika jiná než ta, která byla oznámena (= dynamická
nekonzistence), protože ze vztahu (10.5) je jasné, že optimální
politikou pro centrální banku bude zahrnout nastavení m > 0 a průměrná
míra inflace bude kladná.
Oznámení centrální banky se tedy nebude věřit. Centrální banka se nemůže
věrohodně zavázat k politice s nulovou inflací, protože při takové politice
(tj. pokud  = e
= 0), je mezní náklad z malého zvýšení inflace roven
1
22
/ =  = 0, zatímco mezní zisk je s > 0 při lineární formulaci
cílové funkce, nebo sk > 0 při kvadratické formulaci.
Protože mezní zisk převyšuje mezní náklad, centrální banka má podnět nedodržet
svůj závazek. Společnost je v horší situaci při výsledku u diskreční
politiky, protože zažívá kladnou průměrnou míru inflace bez systematického
zlepšení výstupu.
* Před analýzou dynamické nekonzistence F. E. Kydlanda a E. C. Prescotta
ekonomové debatovali, zda má být monetární politika řízena podle jednoduchého
pravidla, jakým je např. Friedmanovo pravidlo k-procentního
růstu nominální nabídky peněz, nebo zda by centrální banky měly mít
možnost reagovat diskrečně. Je-li optimální sledování jednoduchého pravidla,
při diskreci lze vždy vybrat takové pravidlo??? Tedy vypadá to, že
při diskreci se
"
nic nepokazí a něco se může vylepšit". Ale jak ukazuje
výše uvedený Barro-Gordonův model, při diskreci lze skutečně
"
pokazit";
omezení flexibility monetární politiky může vyústit k lepšímu výsledku.
* Předpokládejme, že je CB přinucena nastavit m = 0. To zabraňuje inflačním
tlakům, ale také zamezuje centrální bance zabývat se stabilizační
politikou. S kvadratickou ztrátovou funkcí danou formulací (10.2) je potom
očekávaná ztráta při tomto politickém pravidle rovna
1
2(2
e + k2
) + 1
2(1 + s2
)2
v.
Porovnáme tento výraz s výrazem pro nepodmíněnou očekávanou ztrátu
při diskreci E(V d
) daným rovnicí (10.9).
92
1
2
(1 + s2
)k2
+
1
2
2
e
(1 + s2)
+
1
2
(1 + s2
)2
v >
1
2
(2
e + k2
) +
1
2
(1 + s2
)2
v

s2
2
k2
+ k2
+ 2
v + s2
2
v +

1 + s2
2
e > 2
e + k2
+ 2
v + s2
2
v

s2
2
k2
+

1 + s2
2
e > 2
e

s2
2
k2
>
2
e
1 + s2
( + s2
2
- )
Z výše uvedeného odvození je patrné, že pravidlo nulového růstu bude preferováno,
pokud
s2
2
1 + s2
2
e < (sk)2
. (10.13)
* Levá strana rovnice (10.13) měří zisky z diskreční stabilizační politiky,
pravá strana měří náklad inflačních tlaků, které se objevují při diskreci.
* Je-li druhá zmíněná veličina větší, očekávaná ztráta bude nižší, pokud
je centrální banka přinucena sledovat pravidlo fixní míry růstu peněžní
zásoby.
* Zda vyústí v lepší výsledek politiky sledování jednoduchého pravidla, které
omezuje schopnost centrální banky reagovat na nové okolnosti, nebo povolení
diskrece, která generuje průměrné inflační tlaky, je otevřená otázka.
* Tento model také pomáhá zvýraznit úlohu kredibility monetární autority
tím, že ilustruje, proč se slibům centrální banky o snížení inflace nemusí
věřit.
10.6 Pohled teorie her
* Pro jednoduchost uvažme, že CB může zvolit jen dvě možné míry inflace,
a že veřejnost jednu z těchto dvou možností očekává. Výsledek, který
odvodíme, lze zobecnit na možnost libovolné volby.
93
ˇ Inflace, a tedy i inflační očekávání, nabývají hodnot z množiny {0, 1}.
Jsou tedy čtyři možné kombinace skutečné a očekávané inflace, které mohou
nastat. Užitek z každé situace pro vládu a pro agenty popisuje následující
tabulka.
Agenti CB
 = 0  = 1
e
= 0 UCB
= 0, Up
= 0 UCB
= 1, Up
= -1
e
= 1 UCB
= -1, Up
= -1 UCB
= -0.5, Up
= 0
* Jedná se vlastně o bimaticovou hru.
* V každém kole domácnosti volí řádek a CB sloupec, dosáhnou při tom
užitku zapsaného v jejich matici v příslušném řádku a sloupci.
* Nyní nalezneme rovnovážnou situaci naší hry, která je vlastně modelem
nekooperativního vedení MP, tj. případ diskrece s pomocí matic P a CB.
P =
0 -1
-1 0
CB =
0 1
-1 -0.5
* Očekává-li domácnost nulovou inflaci (volí 1. řádek), je pro CB nejvýhodnější
přivodit inflaci  = 1 (modře), tj. 2. sloupec.
* Očekává-li domácnost inflaci 1 (volí 2. řádek), je pro CB nejvýhodnější
přivodit inflaci  = 1 (červeně), tj. 2 sloupec.
* Pokud CB nastaví nulovou inflaci (volí 1. sloupec), je pro agenty nejlepší
očekávat nulovou inflaci (fialově) ­ tj. 1. řádek, ale nejdená se o rovnovážný
bod, tj. není to tzv. bod Nashovy rovnováhy, protože pro CB by pak bylo
optimální nastavení nenulové inflace.
* Pokud CB nastaví inflaci 1 (volí 2. sloupec), je pro agenty nejlepší očekávat
inflaci 1 (zeleně), tj. volí 2 řádek. Protože nejlepší reakce CB na tuto
situaci je nastavit inflaci na 1, jedná se o jedinou rovnovážnou situaci,
kdy dochází ke zbytečnému vzniku nenulové míry inflace, protože se CB a
agenti neumí domluvit. Pokud by se domluvit mohli a hráli by  = e
= 0,
byli by na tom lépe.
94
11. Monetární politika ­ dynamický model
11.1 Model ekonomiky
* Model všeobecné dynamické rovnováhy s dočasnými nominálními rigiditami
 MP ovlivňuje v krátkém období reálnou ekonomiku.
* Rovnice agregátního chování se odvozují z optimalizace domácností a
firem. Nebudeme uvažovat investice a kapitálovou akumulaci, což neovlivňuje
žádné kvalitativní závěry.
* Současné chování záleží jak na současné politice, tak na očekávaném budoucím
průběhu MP.
* xt je mezera výstupu, tj rozdíl mezi skutečnou produkcí a její potenciální
úrovní1
. t je míra inflace v čase t, it je krátkodobá nominální úroková
sazba, každá z proměnných je obdobně vyjádřena jako odchylka od dlouhodobého
trendu. Et značí očekávání založené na informaci dosažitelné
v čase t; gt je poptávkový šok, vt šok nabídkový; , , , , ,  jsou
parametry; ,   (0, 1).
Poptávková strana ekonomiky
* Vpředhledící křivka IS (11.1). Lze ji odvodit logaritmickou linearizací
spotřební Eulerovy rovnice vycházející z optimálního rozhodnutí domácností
o úsporách.
xt = -(it - Ett+1) + Etxt+1 + gt (11.1)
gt = gt-1 + ^gt (11.2)
1
Potenciální produkcí rozumíme výstup, který by byl dosažen, kdyby mzdy a ceny byly dokonale pružné.
95
ˇ Inverzní vztah mezery výstupu a reálné úrokové sazby, dále pozitivní vztah
mezi současnou a očekávanou produkcí.
* Při vyšších úrokových sazbách jsou úvěry dražší, tedy spotřeba i investice
klesají a celková realizovaná produkce klesá. Naopak očekávání příznivého
budoucího vývoje (tj. růst produkce) vede k současnému růstu produkce.
Iterujeme-li rovnici (11.1) dopředu, pak při označení ht = -(it - Ett+1)
platí:
xt = ht + Etxt+1 + gt
Etxt+1 = Etht+1 + EtEt+1xt+2 + Etgt+1
Etxt+2 = Etht+2 + EtEt+2xt+3 + Etgt+2
...
Do výrazu pro xt nyní dosadíme za výraz pro Etxt+1, do kterého jsme předtím
dosadili za výraz pro Etxt+2, atd. Potom:
xt = ht + gt + Etht+1 + Etgt+1 + Etht+2 + Etgt+2 + . . .
Tedy po nekonečné sumaci:
xt = Et

j=0
[-(it+j - t+1+j) + gt+j] . (11.3)
* Mezera výstupu nezávisí jenom na současné reálné úrokové míře a poptávkovém
šoku, ale také na očekávaném budoucím vývoji těchto dvou
proměnných.
Nabídková strana ekonomiky
* Vpředhledící Phillipsova křivka (11.4), vztah mezi nominálními a reálnými
veličinami. Odvodí se z kolísajícího nastavení cen v duchu G. Calva.2
t = xt + Ett+1 + vt (11.4)
vt = vt-1 + ^vt, (11.5)
2
Calvo, G.: Staggered Prices in a Utility Maximizing Framework. Journal of Monetary Economics 12, 1983.
96
ˇ Pozitivní vztah mezi současnou inflací a produkcí, a také mezi současnou
a očekávanou inflací.
* Výrobci jsou schopni vyrobit více, ale jsou ochotni to dělat pouze za vyšší
ceny. Vyšší očekávaná inflace je zakomponována do smluv a zvyšuje současnou
míru inflace.
Obdobně jako výše budeme iterovat rovnici (11.4) dopředu:
t = xt + Ett+1 + vt
Ett+1 = Etxt+1 + EtEt+1t+2 + Etvt+1
Ett+2 = Etxt+2 + EtEt+2t+3 + Etvt+2
...
Do výrazu pro t nyní dosadíme za výraz pro Ett+1, do kterého jsme obdobně
jako výše dosadili za Ett+2, atd. Potom:
t = xt + vt + (Etxt+1 + Etvt+1) + 2
(Etxt+2 + Etvt+2) + . . .
Tedy po nekonečné sumaci:
t = Et

i=0
i
(xt+i + vt+i) (11.6)
* Inflace závisí zcela na současných a očekávaných budoucích ekonomických
podmínkách (žádná setrvačnost či zpožděná závislost v inflaci).
* Proměnná xt+i zachycuje pohyby v mezních nákladech spojené s kolísáním
přebytečné poptávky. Šok vt+i zachycuje jiné (např. nákladové) vlivy, které
mohou ovlivnit očekávané mezní náklady.
Nástroj a cíl politiky
* Nástrojem MP bude krátkodobá nominální úroková sazba.
* Nominální cenové rigidity  MP ovlivňuje v krátkém období průběh reálných
veličin.
97
ˇ Cílová funkce CB
1
2
Et

i=0
i
(x2
t+i + 2
t+i)  min (11.7)
kde parametr  je relativní váha přiřazená odchylkám výstupu.
11.2 Optimální měnová politika bez závazku
* CB volí xt a t, aby maximalizovala cíl (11.7) při dané rovnici inflace
(11.4). Pak, podmíněno optimálními hodnotami xt a t, určuje hodnotu
úrokové sazby it z rovnice (11.1).
* CB bere očekávání soukromého sektoru při řešení optimalizačního problému
za daná, protože je nemůže ovlivnit.
Každou periodu tedy CB vybere xt a t, aby minimalizovala
1
2
(x2
t + 2
t ) + Ft (11.8)
za podmínky
t = xt + ft, (11.9)
kde Ft  1
2Et

i=1
i
(x2
t+i + 2
t+i) , ft  Ett+1 + ut, přičemž Ft a ft
považuje centrální banka za dané.
Lagrangean:
L =
1
2
(x2
t + 2
t ) + Ft + (t - xt - ft)
Podmínky optimality:
L
xt
= xt -  = 0   = xt;
L
t
= t +  = 0   = -t
Celkem podmínka optimality:
xt = -


t (11.10)
98
ˇ CB sleduje politiku
"
opírání se o vítr". Kdykoli je inflace nad cílem, omezí
CB poptávku zvýšením úrokové sazby a naopak, když je inflace pod cílem.
Reakce CB záleží pozitivně na zisku ze snížení inflace na jednotku ztráty
výstupu () a inverzně na relativní váze přidělené ztrátám výstupu ().
Redukovaný tvar výrazů pro xt a t: stačí zkombinovat podmínku optimality
(11.10) s rovnicí agregátní nabídky (11.4) a s rovnicí očekávání inflace.
xt = t,
Ett+1 = t  t = xt + Ett+1 + vt = -2
 t + t + vt
t( + 2
- ) = vt  t = vt
2+(1-) = qvt, xt = t
= -
qvt
Tj.:
xt = -qvt (11.11)
t = qvt, (11.12)
kde
q =
1
2 + (1 - )
.
Optimální politika (reakční funkce centrální banky) pro úrokovou sazbu se
najde dosazením příslušné hodnoty xt do křivky IS (11.1). Z výrazu (11.1)
plyne:
it = -1
xt + Ett+1 + 1
Etxt+1 + 1
gt a dále
xt = t,
Ett+1 = t, tedy
it = 
t + t + 1


Et(t+1)
+ 1
gt
= 1
gt + t 1 + 
 - 
 = 1
gt + Ett+1.
Tedy celkem:
it = Ett+1 +
1

gt (11.13)
kde
 = 1 +
(1 - )

> 1
Ett+1 = t
99
ˇ Reakční funkce CB (11.13) se skládá ze 2 částí ­ jednak je to reakce na
inflační očekávání a dále protisměrná reakce na poptávkový šok.
* Při optimální politice v reakci na růst očekávané inflace by se měly nominální
sazby zvýšit dostatečně, aby se zvýšily reálné sazby. Tj. při optimálním
pravidle pro nominální úrokovou míru by měl koeficient u očekávané
inflace převýšit jedničku. Kdykoli je inflace nad cílem, optimální politika
požaduje zvýšení reálných sazeb, aby se omezila agregátní poptávka.
* Je-li přítomna náklady tlačená inflace, pak existuje krátkodobá substituce
mezi inflací a výstupem.
* Obrázek zachycuje hranici možností politiky ­ jak se mění směrodatné
odchylky výstupu a inflace (x a ) při optimální politice s preferencemi
CB ().

x
Obrázek 11.1: Hranice možností politiky
* Hranici definují rovnice (11.11) a (11.12). Body napravo od hranice jsou
nedostatečně výkonné, body nalevo jsou nedosažitelné. Podél hranice existuje
substituce.
* S rostoucím  (indikujícím relativně větší preference na stabilitu výstupu)
generuje optimální politika nižší standardní odchylku výstupu, ale za cenu
vyšší volatility inflace.
100
Krajní případy jsou:
lim
0
var (xt) = lim
0
var - vt
2+(1-) = lim
0
var vt
 = 2
v
2
lim
0
var (t) = lim
0
var vt
2+(1-) = 0
lim

var (xt) = lim

var - vt
2+(1-) = 0
lim

var (t) = lim

var vt
2+(1-) = lim

var vt
1- = 2
v
(1-)2
Tedy celkem:
  0 : x =
v

;  = 0 (11.14)
   : x = 0;  =
v
1 - 
, (11.15)
kde v je směrodatná odchylka nákladového šoku.
* Substituce se objevuje jenom při inflaci tlačené náklady.
* Pokud pohání inflaci nákladové faktory, je možné snížit inflaci v krátké
době omezením poptávky.
* Pokud v = 0, žádná substituce neexistuje a inflace závisí jen na současné
a budoucí poptávce. Nastavením úrokových sazeb pro xt = 0 pro všechna t,
je CB schopná trefit zároveň inflační cíl a cíl pro výstup po celou dobu.
* V obecném případě s  > 0, v > 0, se jedná o pozvolnou konvergenci
inflace zpět k cíli. Z rovnic (11.12) a (11.5) při optimální politice se obdrží
vztah (11.16), protože 0   < 1. V tomto formálním smyslu optimální
politika zakotvuje cílování inflace.
lim
i
Et{t+i} = lim
i
aqi
vt = 0. (11.16)
* Podmínky pro extrémní inflační cílování jsou vidět ze vztahů (11.14) a
(11.15). Když v = 0 (není náklady tlačená inflace), je optimální politika
okamžitého trefení inflačního cíle bez ohledu na preference. Protože
v tomto případě nedochází k žádné substituci, není nikdy nákladné snažit
se o minimalizaci variability inflace.
101
ˇ Jak vztah (11.14) ukazuje, je optimální pro minimalizaci variance inflace
pokud  = 0, i za přítomnosti náklady tlačené inflace. Obecně je optimální
postupná konvergence k inflačnímu cíli.
11.3 Problém inflačních tlaků
Uvažme nyní cílovou funkci tvaru:
1
2
Et

i=0
i
[(xt+i - k)2
+ 2
t+i]  min (11.17)
Lagrangean:
L = -
1
2
[(xt - k)2
+ 2
t ] + Ft + (t - xt - ft),
kde Ft = -1
2Et

i=1
[(xt+i - k)2
+ 2
t+i] a ft = Ett+1 +ut, přičemž Ft a ft
považuje CB za dané.
Podmínky prvního řádu:
L
xt
= -(xt - k) -  = 0   = -xt + k
L
t
= -t +  = 0   = t
Podmínka optimality:
xk
t = -


k
t + k (11.18)
* Míra inflace bude v tomto případě rovna k
t = xt
+ 
 k, což je právě o
kladný člen 
k více než v případě, kdy se CB nesnažila vytlačovat výstup
nad jeho potenciální úroveň.
* Řešením tohoto problému může být jmenování guvernéra CB, který přidělí
vyšší relativní náklady inflaci než společnost jako celek, snižuje zbytečné
inflační tlaky, ke kterým dochází při diskreci pokud k > 0.
102
ˇ Teorie × praxe? Inflace se ve většině zemí OECD nyní jeví pod kontrolou
i přes absenci nějakých zřejmých institucionálních změn. Řada zemí
převzala za řešení jmenování guvernéra s
"
odporem" k inflaci?
11.4 Optimální měnová politika se závazkem
CB už nebere očekávání soukromého sektoru za daná, její volba politiky tato
očekávání určuje. Cílem je:
1
2
Et

i=0
i
(x2
t+i + 2
t+i)  min
za podmínky křivky agregátní nabídky tvaru
t+i = xt+i + Et{t+1+i} + vt+i i = 0, . . . , 
kde
vt+i = vt+i-1 + t+i i = 0, . . . , 
Lagrangean:
L =
1
2
Et

i=0
i
[(x2
t+i + 2
t+i) + t+i(t+i - xt+i - t+1+i - vt+i)] ,
(11.19)
kde t+i je multiplikátor spojený s omezením na čas t + i, přičemž pro zjednodušení
výpočtu zafixujeme parametr  = 1 . Výpočet extrému rozdělíme na
dvě části, nejprve pro i = 0, pak pro obecné i  1.
a) i = 0:
2xt - t = 0, 2t + t = 0  2xt = t, -2t = t  xt = -
t
b) i  1: Suma v Lagrangiánu obsahuje tyto členy významné z hlediska optimalizace
pro čas t + i: t+i-1(t+i-1 - xt+i-1 - t+i - ut+i-1),
t+i(t+i - xt+i - t+1+i - ut+i) a (x2
t+i + 2
t+i).
103
Z podmínek optimality plyne:
2xt+i - t+i = 0
2t+i + t+i - t+i-1 = 0.
Tj. t+i = -1
2(t+i -t+i-1), xt+i = 
2t+i, xt+i-1 = 
2t+i-1, z čehož plyne
vztah xt+i - xt+i-1 = 
2(t+i - t+i-1) = -
t+i.
Tedy celkem:
a) i = 1, 2, 3, . . .
xt+i - xt+i-1 = -


t+i (11.20)
b) i = 0
xt = -


t (11.21)
* Optimální politika se závazkem využívá schopnosti centrální banky ovlivnit
inflaci i pomocí očekávaných budoucích hodnot relevantních veličin.
* Optimální politika se závazkem, na rozdíl od politiky diskreční, požaduje
urovnávání změny v mezeře výstupu jako odpověď na inflaci. Tj. závazek
mění
"
poměrové" pravidlo pro xt při diskreci, na pravidlo rozdílové, jak
ukazuje porovnání rovnic (11.10) a (11.20).
* V úvodní periodě (tj. t) centrální banka přizpůsobuje xt v reakci na t,
jako by sledovala optimální pravidlo při diskreci, ale pouze v této periodě.
Pokud by centrální banka mohla reoptimalizovat v čase t+i, vybrala
by stejnou politiku, kterou implementovala v čase t (dynamická nekonzis-
tence).
* Určitou komplikaci představuje skutečnost, že pravidlo úrokové míry může
mít nežádoucí vedlejší efekty. Zkombinují-li se rovnice (11.20) a (11.1),
obdrží se optimální pravidlo úrokové míry (11.22):
104
t+1
= xt+1 - xt, it = Ett+1 + 1
gt + 1
(Etxt+1 - xt), tedy
it = 1 -


Ett+1 +
1

gt (11.22)
* Koeficient u očekávané inflace je menší než 1. Při tomto pravidle vede růst
očekávané inflace k růstu nominální úrokové míry, ale k poklesu reálné
úrokové sazby, tj. nominální sazby se nezvýší dostatečně, aby došlo ke
zvýšení sazeb reálných. Tedy CB místo aby ekonomiku utlumila, způsobuje
její další růst, to znamená další růst produkce i inflace. Ale agenti vědí,
jakého pravidla se CB drží, může tudíž být cílů dosaženo s menšími ztrá-
tami.
11.5 Praktické komplikace
11.5.1 Nedokonalá informace
* V praxi není CB schopna zjistit včas všechny potřebné informace o stavu
ekonomiky.
* Určitou dobu trvá, než se data sesbírají a zpracují; odebírání vzorků je
nedokonalé; některé klíčové proměnné jako potenciální produkt nejsou
přímo pozorovatelné a jsou zřejmě měřeny s velkou chybou.
* Pravidla mohou být tedy vyjádřena pouze v termínech příslušných předpovědí.
Alternativou je užití mezicíle, který je přímo pozorovatelný.
* Už není jedno, co bude instrumentem MP.
11.5.2 Transmisní zpoždění
* Řada studií ukazuje zpoždění 6 až 9 měsíců v efektu změny úrokových
sazeb na výstup, na inflaci asi rok a půl.
105
ˇ Informace o dopadu současné MP na inflaci je dosažitelná pouze s velkým
zpožděním, což způsobuje, že je nemožné kontrolovat provádění politiky.
Tento problém je možné částečně obejít zaměřením se na předpověď inflace.
Předpověď je okamžitě dostupná a poskytuje rychlý způsob pro
posouzení průběhu politiky, ale pro vytvoření správné předpovědi musí
mít CB dobrý strukturální model ekonomiky.
11.5.3 Volba instrumentu
* úroková sazba × peněžní agregát??
* Nechť je poptávka po bankovních rezervách dána jako
mt - pt = yt - it + ut, (11.23)
kde pt je cenová úroveň a ut je náhodný šok v poptávce po penězích mt.
* Je-li šok ut perfektně pozorovatelný, pak je jedno, zda se použije jako
instrument politiky it nebo mt. Pokud ale šok ut není pozorovatelný, už to
není jedno. Je-li intrumentem úroková míra, nechá CB přizpůsobit peněžní
zásobu šoku v poptávce po penězích. Nedochází k žádnému dopadu šoků
v poptávce po penězích na výstup nebo inflaci, protože je centrální banka
dokonale akomoduje. Při cílování peněz je opak pravdou. Úroková sazba
a výstup se uzpůsobují, aby se vyčistil trh peněz.
11.5.4 Vyhlazování úrokových měr
* Optimální politika předpovídá více proměnlivé trajektorie úrokových měr,
než je pozorováno v praxi.
* Tvůrci politiky to nejsou ochotni akceptovat v praxi  vyhlazování úrokových
měr (smoothing).
* Následující pravidlo MP zachycuje celkem dobře posledních dvacet let:
it = (1 - )( + t + xt) + it-1 + t, (11.24)
106
kde  je konstanta interpretovatelná jako ustálený stav nominální úrokové
míry a   0, 1 je parametr, který odráží stupeň zpožděné závislosti
v úrokové míře.
* Odhady parametru  pro čtvrtletní data jsou typicky kolem 0.8 - 0.9, což
ukazuje na velmi pomalé urovnání v praxi. Existující teorie nevysvětluje,
proč by měla centrální banka upravit úrokové míry takto pomalým
způsobem.
11.5.5 Oportunistický přístup
* Je-li inflace výše než cíl, ale blízko optimu, politika by neměla omezit
agregátní poptávku. Raději by měla zvolit tzv. oportunistický přístup, tj.
měla by počkat, až by dosažení inflačního cíle mohlo být dosaženo s co
nejmenšími náklady v termínech snížení výstupu.
* Je možné vysvětlit oportunistickou politiku malou úpravou cílové funkce
politiky. Předpokládejme, že se tvůrci politiky starají poměrně dost o malé
odchylky výstupu od cíle, alespoň relativně k malým odchylkám inflace.
Příkladem cílové funkce zachycující tento jev je:
1
2
Et

i=0
i
(2|xt+i| + 2
t+i)  min (11.25)
Při této cílové funkci přejde podmínka optimality v:
xt = 0  |t| <


; |t| =


jinak. (11.26)
* Tedy pokud je inflace v koridoru 
 jednotek od inflačního cíle, je optimální
politikou stabilizace výstupu. Politika by měla držet inflaci nanejvýš 
 jednotek
od cíle a pak počkat na příznivé nabídkové šoky, které ji posunou
blíže k cíli (příznivé pohyby v nákladovém šoku vt).
* Vlastně
"
cílování inflační zóny".
107
11.6 Formální zápis modelu
Stavový zápis modelu:
xt = Axt-1 + But
kde xt je vektor stavů v čase t, ut je vektor vsupů, A a B jsou matice koeficientů.
My máme model tvaru:
xt = A0xt + A1xt-1 + B0ut
tj.
(I - A0)xt = A1xt-1 + B0ut
Pokud existuje uvedená inverze, pak:
xt = (I - A0)-1
A1
A
xt-1 + (I - A0)-1
B0
B
ut
Náš model (diskrece):
xt = -(it - Ett+1) + Etxt+1 + gt
t = xt + Ett+1 + vt
it = Ett+1 +
1

gt
gt = gt-1 + ^gt
vt = vt-1 + ^vt (11.27)
(11.28)
kde
 = 1 +
(1 - )

> 1, Ett+1 = t
Tedy
stavy: xt =






xt
t
it
gt
vt






vstupy: ut =


Etxt+1
^gt
^vt


108
A0 =







0  - 1 0
  0 0 1
0  0 1
 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0







A1 =






0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0  0
0 0 0 0 






B0 =






1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
0 0 1






Matice A0, A1 a B0 nesou veškerou informaci o modelu. Na jejich základě
se můžeme pokusit model odhadnout vhodnou odhadovou metodou.
11.6.1 Ukázka zadání a odhadu modelu v Matlabu
Viz předvedené m-files a obrázky.
11.7 Cvičení
Příklad 11.1. Mějme Phillipsovu křivku tvaru: u = u  +(e
- ), kde u je
míra nezaměstnanosti, u
je přirozená míra nezaměstnanosti, e
jsou inflační
očekávání,  je skutečná míra inflace. Myslíte, že vlády preferují Phillipsovy
křivky s menším nebo spíš s větším ?
Příklad 11.2. Předpokládejme ztrátovou funkci CB ve tvaru
V = -u2
- 2
kde  > 0. Čím větší je , tím "hodnější" je guvernér. Dále uvažme Phillipsovu
křivku jako výše tvaru:
u = u
+ (e
- )
a) Předpokládejme, že inflační očekávání již byla zformována na úrovni e
.
Nalezněte optimální volbu míry inflace 0 pro CB.
b) Pro fixní inflační očekávání nalezněte odpovídající míru nezaměstnanosti
u0.
c) Nyní předpokládejme, že soukromý sektor zná optimalizační problém CB i
velikost parametru . Nalezněte míru inflace 1, při níž se skutečná inflace
a inflační očekávání rovnají. Jaká je odpovídající míra nezaměstnanosti?
109
d) Žili byste raději v zemi s nižším nebo s vyšším ?
Příklad 11.3. Nyní se podíváme na vzájemnou interakci soukromého sektoru a
CB v čase. Předpokládejme Phillipsovu křivku ve tvaru:
ut = u
+ (e
t - t) t = 0, 1, . . . , 
CB zná vztah popsaný Phillipsovou křivkou, ale soukromý sektor ne.
Preference CB jsou tvaru:
Vt = -u2
t - 2
t t = 0, 1, . . . , 
Očekávání inflace soukromého sektoru se formují adaptivně:
e
t = t-1 t = 0, 1, . . . , 
Přepokládejme, že e
0 = 0.
a) Předpolkádejme, že CB bere očekávání soukromého sektoru jako daná.
Nalezněte míru inflace 
t (e
t ), která dává optimum cílové funkce.
b) Nastaví-li CB inflaci t = 
t (e
t ), jak se bude vyvíjet inflace v závislosti
na její minulé hodnotě?
c) Jak se vyvíjí trajektorie inflace a nezaměstnanosti v čase? Konvergují někam
nebo se naopak vyvíjí explozivně?
Příklad 11.4. V Matlabu odhadněte jednotlivé rovnice soustavy (11.27). Diskutujte
výsledky (velikost parametrů, některé charakteristiky...) Čím mohou být
zjištěné problémy/nesrovnalosti způsobeny?
110
12. Racionální očekávání
12.1 Princip racionálních očekávání
Nechť proměnná t značí očekávanou hodnotu nějaké veličiny pro čas t na
základě informací dosažitelných v čase t. Podobně nechť proměnná t+k značí
očekávanou hodnotu nějaké veličiny pro čas t + k na základě informací dosažitelných
v čase t. Předpokládejme, že současná hodnota veličiny závisí určitou
měrou () na své očekávané hodnotě v příštím období a na nějakém exogenním
vlivu Yt lineárně:
t = t+1 + Yt (12.1)
Tuto diferenční rovnici můžeme rozepsat pro všechna období t + 1, t + 2 . . .
až do :
t+1 = t+2 + Yt+1
t+2 = t+3 + Yt+2
...
Výraz na pravé straně rovnice pro t+k dosadíme vždy do rovnice předchozí
(zpětná iterace). Provedeme-li to nekonečně mnohokrát, dostaneme t jako
následující nekonečnou sumu:
t = lim
n
(n
t+n + Yt + Yt+1 +    + n
Yt+n) (12.2)
Pokud vývoj veličiny t nijak neomezíme, nemusí být uvedená limita konečná
a systém exploduje. Pokud je parametr  stabilní, tj. pokud   (-1, 1),
dostaneme nekonečně mnoho stabilních řešení. Abychom dostali jediné stabilní
řešení, musí být zároveň splněny dvě podmínky:
111
ˇ   (-1, 1)
* t+n neroste nade všechny meze
Výše uvedené podmínky zajišťují, že t+n neexploduje, ale v limitě konverguje
k nule:
lim
n
n
t+n = 0
Rovnice (12.2) se tedy zjednoduší na:
t =

k=0
k
Yt+k.
Příkladem takového vpředhledícího lineárního modelu je např. Phillipsova
křivka následujícího tvaru:
t = Ett+1 + ^yt, (12.3)
kde t je míra inflace v čase t,  je parametr, Ett+1 = E(t+1|t) jsou
podmíněná očekávání míry inflace v čase t + 1 při znalosti všech relevantních
informací dostupných v čase t.
12.2 Řešení lineárních modelů s RE
12.2.1 Převod modelu
Rovnice v modelu převedeme do následujícího tvaru:
AEtxt+1 = Bxt + C t, (12.4)
kde A, B jsou matice koeficientů příslušejících vektoru xt+1 a xt, C je matice
koeficientů exogenní složky .
Příklad 12.1. Rovnici ve tvaru
t = t-1 + Ett+1 + t (12.5)
chceme převést do podoby rovnice (12.4). Vektor xt tedy bude obsahovat složky
t-1 a t, tedy
Etxt+1 =
t
t+1
xt =
t-1
t
112
Mezi jednotlivými složkami těchto vektorů je vztah (horní index označuje, o
který prvek ve vektoru xt se jedná).
Etx
(1)
t+1 = x
(2)
t (12.6)
Rovnici (12.5) můžeme přepsat jako
x
(2)
t = x
(1)
t + Etx
(2)
t+1 + t (12.7)
Přepis rovnice (12.4) se bude skládat z rovnice (12.7) a dále z rovnice (12.6)
popisující vazbu mezi jednotlivými složkami vektorů xt a xt+1, tedy maticově
lze psát:
0 1
0
Etx
(1)
t+1
Etx
(2)
t+1
=
 -1
0 1
x
(1)
t
x
(2)
t
+
1
0 t
což je v původních veličinách
0 1
0
Ett
Ett+1
=
 -1
0 1
t-1
t
+
1
0 t.
Prvky vektoru xt, které v čase t známe, nazveme predeterminovanými. Ty,
které neznáme nazveme nepredeterminovanými.
12.2.2 Rozklad a transformace
Dále se budeme zabývat pouze případem, kdy matice A je regulární. Provedeme
několik úprav rovnice (12.4).
AEtxt+1 = Bxt + C t
Etxt+1 = A-1
Bxt + A-1
C t
Etxt+1 = ~Bxt + ~C t, (12.8)
kde ~B = A-1
B a ~C = A-1
C.
Dále pro matici ~B najdeme rozklad
~B = P V P-1
113
kde matice V je čtvercová diagonální matice, obsahující na hlavní diagonále
vlastní čísla. Matice P obsahuje ve sloupcích vlastní vektory. Pro matici V platí
V = P-1 ~BP.
Poznámka: Vlastní vektory v dané matice A jsou takové vektory,
které se tímto zobrazením pouze natahují nebo zkracují, tj.
Av = v
Číslo , které popisuje, jak se vektor zkrátil či natáhl, nazýváme
vlastní číslo. Je-li toto číslo v absolutní hodnotě menší nebo rovno
jedné, jedná se o vlastní číslo stabilní; v opačném případě je to vlastní
číslo nestabilní.
Dále provedeme lineární transformaci vektoru xt
xt = Pzt (12.9)
Tedy každý prvek vektoru zt obsahuje informaci, která ovlivňuje prvek ve
vektoru xt. Tuto transformaci dosadíme do rovnice (12.8) 3
Etxt+1 = ~Bxt + ~C t
Pzt+1 = ~BPzt + ~C t
zt+1 = P-1 ~BP
V
zt + P-1 ~C t
Výsledkem je tedy
zt+1 = V zt + D t,
kde V = P-1 ~BP a D = P-1 ~C.
Abychom dostali jediné řešení, vyžaduje Blanchard-Kahnova podmínka, aby
* počet predeterminovaných veličin v x = počtu stabilních vlastních čísel
nebo obráceně
* počet nepredeterminovaných veličin v x = počtu nestabilních vlastních
čísel
3
Symbol zt+1 zde označuje očekávanou hodnotu a je zjednodušením zápisu Etzt+1.
114
12.2.3 Nestabilní část
Rovnice modelu přeskupíme tak, aby v matici V byla nejdříve seřazena stabilní
vlastní čísla (část matice označená V11) a poté nestabilní (označeno V22). Tomu
samozřejmě odpovídají veličiny ve vektoru z. 4
Obdobně je rozdělena matice
D. Pro ilustraci poslouží toto rozepsání
z =
zs
zu
V =
V11 0
0 V22
D =
D1
D2
Soustavu rovnic vyřešíme nejprve pro nestabilní část. Rozepíšeme si rovnice
pro následující (dvě) časová období.
zu
t+1 = V22zu
t + D2 t (12.10)
zu
t+2 = V22zu
t+1 + D2 t+1 (12.11)
Z rovnice (12.10) si vyjádříme zu
t . Obdobně z rovnice (12.11) vyjádříme zu
t+1
a dosadíme do rovnice (12.10). Výsledkem je poté rovnice (12.12)
zu
t = V -1
22 zu
t+1 - V -1
22 D2 t
zu
t+1 = V -1
22 zu
t+2 - V -1
22 D2 t+1
zu
t = V -2
22 zu
t+2 - V -2
22 D2 t+1 - V -1
22 D2 t (12.12)
Pokud výše naznačený postup budeme aplikovat nekonečně mnohokrát, dojdeme
k následujícímu výsledku:
zu
t = (V -1
22 )
zu
t+
=0
-

k=0
(V -1
22 )k+1
D2 t+k. (12.13)
Protože matice V22 patří k nestabilní části řešení, má tedy na diagonále vlastní
čísla větší než jedna. Tedy její inverze V -1
22 má na diagonále převrácené hodnoty
matice V22, tj. čísla menší než jedna. Pokud ji budeme nekonečně mnohokrát
umocňovat, tak tyto hodnoty budou konvergovat k nule. Můžeme tedy psát:
zu
t = -

k=0
(V -1
22 )k+1
D2 t+k
4
Veličiny jsou označené horním indexem s jako stable a u jako unstable.
115
12.2.4 Stabilní část
Nyní se můžeme pustit do řešení stabilní (horní) části vektoru z.
zs
t+1 = V11zs
t + D1 t. (12.14)
K vyřešení této diferenční rovnice potřebujeme znát počáteční podmínku,
kterou získáme následujícím způsobem. Vektor xt můžeme rozdělit na následující
složky (predeterminovaná a nepredeterminovaná část):
xt =
xpred.
t
xunpred.
t
Protože xt = Pzt můžeme soustavu rovnic pro názornost napsat jako
P
zs
t
zu
t
=
xpred.
t
xunpred.
t
Matice P má tuto strukturu
P =
P11P12
P21P22
Horní část soustavy můžeme rozepsat
P11zs
t + P12zu
t = xpred.
t
kde zu
t jsme již vypočítali, xpred.
t v čase t známe. Snadno pak můžeme dopočítat
zs
t .
zs
t = P-1
11 (xpred.
t - P12zu
t )
Tento výsledek dosadíme do rovnice (12.14) a iterací získáme celou trajektorii
zt+k. Konečné řešení soustavy pak dostaneme zpětnou transformací
xt = Pzt
12.2.5 BK podmínka
Pokud by Blanchard-Kahnova podmínka nebyla splněna, můžou nastat dva případy
s těmito důsledky:
116
1. Počet nestabilních vlastních čísel > počet nepredeterminovaných proměnných
 soustava nemá ani jedno stabilní řešení
2. Počet stabilních vlastních čísel > počet predeterminovaných proměnných
 soustava má nekonečně mnoho stabilních řešení
12.3 Cvičení
Příklad 12.2. Namodelujte racionální očekávání v násedujícím modelu:
yt = yt-1 + rt + t
t = t-1 + (1 - )Ett+1 + yt + t
rt = it - Ett+1
it = yt + Ett+1 + t
yt je mezera výstupu, t míra inflace, it nominální úroková míra, rt reálná
úroková míra; , , , , ,  jsou parametry; t, t, t jsou náhodné složky.
* Vytvořte soubor zadani.m, který bude obsahovat hodnoty všech parametrů,
definiční matice modelu A, B a C a vektor predeterminovaných řádků.
* Dále vytvořte funkci matice.m, která ze zadaného modelu vypočte všechny
informace (matice, vlastní čísla) nutné pro výpočet racionálních očeká-
vání.
* Vytvořte funkci reseni.m, která racionální očekávání vyřeší.
* Tyto m-files postupně volejte souborem priklad.m a vykreslete průběh
impulsních odezev při neočekávaném šoku (tj. v t = 0) poptávkovém,
nabídkovém i monetárním; totéž provedťe pro očekávaný šok v t = 4.
117
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
1
cas
Neocekavany poptavkovy sok
vystup
inflace
urokova mira
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2
0
2
Neocekavany nabidkovy sok
cas
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
Neocekavany monetarni sok
cas
Obrázek 12.1: Reakce ekonomiky na neočekávaný poptávkový, nabídkový a monetární šok
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
1
1.5
cas
Ocekavany poptavkovy sok v t=4
vystup
inflace
urokova mira
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-1
0
1
2
Ocekavany nabidkovy sok v t=4
cas
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
-0.5
0
0.5
Ocekavany monetarni sok v t=4
cas
Obrázek 12.2: Reakce ekonomiky na očekávané šoky v čase t=4
118
13. Metody odhadu
13.1 Odhad parametrů
* Klasický přístup: parametry modelu jsou považovány za deterministické
a konstantní v čase. Používá se např. MN Č nebo MMV, obě dávají pro
lineární modely
"
pěkné" výsledky.
* Bayesovský přístup: Parametry jsou považovány za v čase proměnlivé náhodné
proměnné. Model se tedy stává dynamickým systémem. Pokud je
lineární, výsledky jsou opět pěkné a algoritmus, který lze použít k odhadu,
se nazývá Kalmanův filtr. Pokud systém není lineární, lze ho odhadnout
pomocí rozšířeného Kalmanova filtru, který se použije na linearizovaný
tvar systému. Alternativní metodou je např. použití Bootstrap filtru.
13.2 Metoda nejmenších čtverců
Lineární regresní model (LRM) vysvětluje chování náhodné veličiny y pomocí
náhodných veličin xi tak, že předpokládá lineární závislost na paramterech, tj.:
yt = b0 + b1xt1 + b2xt2 + . . . + bkxtk + ut t = 1, . . . , n (13.1)
yt ­ vysvětlovaná proměnná v čase t (endogenní)
xti ­ i-tá vysvětlující proměnná v čase t (exogenní)
ut ­ náhodná složka v čase t
bi ­ i-tý parametr
n ­ počet pozorování
k + 1 ­ počet parametrů
119
Maticový zápis LRM:
y = X  b + u (13.2)
y ­ vektor pozorování
X ­ matice plánu
b ­ vektor parametrů
kde





y1
...
...
yn





=





1 x11 . . . x1k
...
...
...
...
...
...
...
...
1 xn1 . . . xnk









b0
...
bk


 +





u1
...
...
un





Metoda nejmenších čtverců dává takový odhad ^b vektoru parametrů b, aby byl
minimalizován součet čtverců chyb (reziduí), tj.
SSE =
n
t=1
e2
t = e e = (y - ^y) (y - ^y) min (13.3)
Odhad ^b vektoru parametrů b metodou nejmenších čtverců (MN Č)
(Tento odhad lze odvodit z tzv. normálních rovnic, což jsou derivace kriteria
SSE podle všech parametrů položené rovny nule.)
^b = (X X)-1
X y (13.4)
Vyrovnané hodnoty ^y vektoru y (tj. ten náš odhad)
^y = X^b (13.5)
Rezidua neboli chyba vyrovnání, tj. rozdíl mezi skutečnými a vyrovnanými
hodnotami
e = y - ^y (13.6)
120
Předpoklady pro použití MN Č
1) náhodná složka (u) musí mít normální rozdělení
2) E(ut) = 0, t = 1 . . . , n
3) D(ut) = 2
, t = 1 . . . , n (homoskedasticita)
4) náhodné složky různých období jsou vzájemně nekorelované (nulová kovariance),
tj. E(ut  ut+p) = 0, p = 0, t = 1 . . . , n tedy
3)+4)  var(u) = E(u u) = 2
 In =



2
. . . 0
...
0 . . . 2



5) vysvětlující proměnné nejsou náhodné (jsou nestochastické), tj.
E(X u) = 0
6) vysvětlující proměnné jsou navzájem nezávislé a jejich počet je menší než
počet pozorování, tj. h(X) = k + 1  n
13.3 Metoda maximální věrohodnosti
* Mějme náhodný výběr X = (X1, . . . , Xn) z rozdělení o hustotě f(x, ),
kde  = (1, . . . , r),    (vektor parametrů).
* f(x, ) =
n
i=1
f(xi, ), tj. simultální hustota je v případě náhodného výběru
součinem marginálních hustot; (v diskrétním případě je to pravděpodobnostní
funkce).
* Označme L(, X) = f(x, ). Funkci L(, X) nazveme věrohodnostní
funkce .
* Odhad 
nazveme maximálně věrohodným odhadem , jestliže
L(
, X)  L(, X)   
* Pokud existují L(,X)
 = 0, nazýváme je věrohodnostní rovnice (nutná
podmínka pro extrém; extrém poznáme podle druhé derivace).
121
ˇ Položíme-li ln 0 = -, pak 
je maximálně věrohodný odhad, právě
když
ln L(
, X)  ln L(, X)   
* l(, X) = ln L(, X) je logaritmická věrohodnostní funkce, l
 = 0 logaritmická
věrohodnostní rovnce
* l(, X) = ln L(, X) = ln f(X, ) = ln
n
i=1
f(xi, ) =
n
i=1
ln f(xi, ) 
l
 =
n
i=1
 ln f(xi,)
 = 0
Příklad 13.1. Mějme náhodný výběr X1, . . . , Xn  A(), tj. náhodný výběr
z alternativního rozdělení o parametru . (Např. náhodná veličina Xi popisuje,
zda i-tý student uspěje u zkoušky, i = 1, . . . , n. Pokud uspěje, Xi = 1; tento
jev nastane s pravděpodobností . Pokud neuspěje, Xi = 0; tento jev nastane
s pravděpodobností 1-.) Nalezněte maximálně věrohodný odhad parametru .
 = X
Příklad 13.2. Mějme náhodný výběr X1, . . . , Xn, Xi  N(, 2
). (Např. náhodná
veličina Xi udává hmotnost vybraného studenta v ročníku). Nalezněte
maximálně verohodný odhad pro střední hodnotu hmotnosti studenta a pro její
rozptyl.
X; n-1
n S2
13.4 Kalmanův filtr
* Kalmanův filtr je specialním případem odhadu pro normálně rozložené
stavy x i výstupy y. Normálně rozdělenou náhodnou veličinu plně charakterizuje
její střední hodnota a rozptyl. Stačí tedy po celou dobu výpočtu
sledovat pouze tyto dvě číselné charakteristiky.
* Mají-li být stavy rozloženy normálně, musí být příslušný dynamický systém
nutně lineární s gaussovskými šumy, což je největší slabina Kalmanova
filtru.
122
13.4.1 Obyčejný Kalmanův filtr
Mějme lineární diskrétní stochstický systém (xt je vektor stavů, yt je vektor
výstupních hodnot, ut je vektor exogenních hodnot, A, B, C a D jsou matice
koeficientů, vt a wt jsou šumy):
xt+1 = Axt + But + vt (13.7a)
yt = Cxt + Dut + wt (13.7b)
splňující: x0  N(0, 0), vt  N(0, v), wt  N(0, w), EvtwT
t = 0,
Ex0vT
t = 0 t, kde vektor 0 a matice 0, v, w jsou známé.
Označme Dt data známá v čase t a xt|k = xt|Dk. Pak apriorní estimátor
xt|t-1 a aposteriorní estimátor xt|t jsou normální pro všechna t, tj. platí:
xt|t-1  N(t|t-1, t|t-1)
xt|t  N(t|t, t|t)
xt|N  N(t|N , t|N )
kde střední hodnoty t|t-1, t|t, t|N a varianční matice t|t-1, t|t, t|N se
vypočtou podle vztahů:
t|t = t|t-1 + Kt(yt - Ct|t-1 - Dut) (13.8a)
t|t = t|t-1 - KtCt|t-1 (13.8b)
t+1|t = At|t + But (13.8c)
t+1|t = At|tAT
+ v (13.8d)
Kt = t|t-1CT
(Ct|t-1CT
+ w)-1
(13.8e)
t|N = t|t + Ft(t+1|N - t+1|t) (13.8f)
t|N = t|t - Ft(t+1|t - t+1|N )Ft
T
(13.8g)
Ft = t|tAT
-1
t+1|t (13.8h)
Kroku, ve kterém se počítá t+1|t a t+1|t říkáme predikční krok . Po té, co
získáme dodatečnou aktuální informaci, můžeme spočíst t|t a t|t ­ filtrační
123
krok . Máme-li již k dispozici všechny informace z času t = 1, . . . , N, můžeme
provést zpětný běh filtru, tzv. smoothing , ve kterém počítáme t|N a t|N .
Příklad 13.3. Loď se pohybuje po rovníku východním směrem rychlostí 10
námořních mil za hodinu. Okamžitou rychlost lodi ovlivňují náhodné poryvy
větru a nárazy vln. Navigátor lodi odhaduje každou hodinu zeměpisnou délku
lodi l a rychlost lodi s = dl/dt v mph. V čase t = 0 odhadl navigátor polohu
l0 = 0 a rychlost s = 10. Dále pak zaznamenal údaje:
čas 1 2 3 4 5 6
poloha 9" 19.5" 29" 38.4" 50" 59.5"
Označíme-li lt, st polohu a rychlost lodi v čase t, pak je úlohou navigátora
optimální odhad veličin lt, st. Počáteční odhady můžeme modelovat jako nezávislé
náhodné veličiny s normálním rozložením. Rozptyly odhadů jsou sledovány
a jejich odhady jsou Dl0 = 2, Ds0 = 3.
Nejprve popíšeme chování systému. Během hodiny t se loď pohybuje rychlostí
st, takže její poloha se změní na:
lt+1 = lt + st
Rychlost kolísá díky náhodným vlivům, což popíšeme pomocí náhodné veličiny
et  N(0, 1):
st+1 = st + et
Rozptyl měrení sextantu udávaný výrobcem je w = 2.
Stavový vektor definujeme jako xt =
lt
st
S využitím vztahů (13.8a) ­ (13.8h) odhadněte optimlání stavy tohoto systému
pomocí Kalmanova filtru.
Návod
* Načtěte matice systému a data (A, B, C, D, v, w, x0, x0
, U, y, ...)
0|-1 = x0, 0|-1 = x0
* V cyklu spočtěte t|t, t|t, t+1|t, t+1|t, t|N , t|N
124
ˇ Výsledky vykreslete do obrázků: predikce + filtrace + smoothing pro polohu,
totéž pro rychlost; dále vývoj rozptylu (f+p+s) obou veličin.
* Vytvořte funkci, která bude provádět jednotlivé kroky Kalmanova filtru
včetně smoothingu a příklad upravte tak, aby tuto funkci využíval. Vstupními
parametry funkce bude: y, U, A, B, C, D, v, w, x0 a x0
. Výstupy
budou: t|t, t|t, t+1|t, t+1|t, t|N , t|N .
13.4.2 Rozšířený Kalmanův filtr
* Rozšířený Kalmanův filtr představuje standardní přístup k odhadu nelineárních
rekurzivních systémů.
* Nelineární dynamický systém v každém kroku přibližně nahradíme jeho
linearizací. Na tento linearizovaný systém pak aplikujeme obyčejný Kalmanův
filtr.
Mějme nelineární dynamický systém:
xt+1 = f(xt, ut) + vt (13.9a)
yt = g(xt, ut) + wt (13.9b)
s počáteční podmínkou x0  N(0, 0). Rozšířený Kalmanův filtr definujeme
jako algoritmus výpočtu následujících estimátorů:
xt|t-1  N(t|t-1, t|t-1)
xt|t  N(t|t, t|t)
xt|N  N(t|N , t|N )
125
kde
t|t = t|t-1 + Kt(yt - g(t|t-1, ut)) (13.10a)
t|t = t|t-1 - KtCtt|t-1 (13.10b)
t+1|t = f(t|t, ut) (13.10c)
t+1|t = Att|tAt
T
+ v (13.10d)
Kt = t|t-1Ct
T
(Ctt|t-1Ct
T
+ w)-1
(13.10e)
t|N = t|t + Ft(t+1|N - t+1|t) (13.10f)
t|N = t|t - Ft(t+1|t - t+1|N )Ft
T
(13.10g)
Ft = t|tAT
-1
t+1|t (13.10h)
a kde matice At, Ct jsou následující Jakobiány:
At =
f
x
(t|t) Ct =
g
x
(t|t-1) (13.11)
13.5 Bootstrap filtr
* Tato metoda představuje alternativní metodu odhadu, zejména pro negaussovské
systémy.
* Vážený bootstrap algoritmus je metodou pro nalezení optimálního odhadu
dynamických systémů. Jeho hlavní síla spočívá v jeho obecnosti. Lze ho
aplikovat na jakýkoli nelineární systém s libovolně rozloženými šumy.
* Je to aplikace metody Monte Carlo při bayessovské estimaci. Metoda Monte
Carlo je založena na tom, že informaci o rozložení náhodné veličiny
nese náhodný výběr z tohoto rozložení. Čím je náhodný výběr delší, tím je
informace přesnější.
* Pro náhodný vektor x  Lnx
máme náhodný výběr (x1, . . . , xn) délky n,
obsahující vzorky xi  Rnx
. Empirická hustota pravděpodobnosti získaná
126
z náhodného výběru je aproximací skutečné hustoty pravděpodobnosti náhodného
vektoru x.
Empirickou hustotu prravděpodobnosti lze psát jako:
pn(x) =
1
n
n
i=1
(x - xi) (13.12)
kde (x) : Rnx
 R je tzv. Diracova funkce, definovaná jako:
(x) = lim
h0
h(x), h(x) =
1
h for 0 < x < h
0 jinak
(13.13)
Jednotlivým vzorkům přiřadíme váhy wi  0 tak, aby součet vah dal jedničku.
Empirická hustota pravděpodobnosti je pak:
pn(x) =
n
i=1
wi (x - xi) (13.14)
Mějme dynamický systém:
xt+1 = f(xt, ut, vt)
yt = g(xt, ut, wt)
s počátečním stavem x0 a s empirickou pravděpodobnostní funkcí:
pn(x) =
n
i=1
wi(0| - 1)(x - xi(0| - 1))
Mějme dána data Dt. Potom odhady xt|t-1, xt|t, xt|N s empirickou pravděpodnostní
funkcí:
pn(xt|t-1) =
n
i=1
wi(t|t - 1)(x - xi(t|t - 1))
pn(xt|t) =
n
i=1
wi(t|t)(x - xi(t|t))
pn(xt|N ) =
n
i=1
wi(t|N)(x - xi(t|N))
127
jsou vypočteny váženým bootstrap algoritmem, právě když platí:
xi(t|t) = xi(t|t - 1) (13.15)
wi(t|t) = p(y(t)|xi(t|t - 1), u(t)) wi(t|t - 1) (13.16)
wi(t|t) =
wi(t|t)
n
j=1 wj(t|t)
(13.17)
xi(t + 1|t) = f(xi(t|t), u(t)) + vi(t) (13.18)
wi(t + 1|t) = wi(t|t) (13.19)
xi(t|N) = xi(t|t) (13.20)
wi(t|N) = wi(t|t)
n
j=1
wj(t + 1|N) p(xj(t + 1|N)|xi(t|N), u(t)) (13.21)
wi(t|N) =
wi(t|t)
n
j=1 wj(t|t)
(13.22)
128