echo on
% ========================
% TEORIE MATIC - CVIČENÍ 4
% ========================
% 6. ELEMENTÁRNÍ ŘÁDKOVÉ A SLOUPCOVÉ ÚPRAVY
% 7. PŘEVOD NA SCHODOVITÝ TVAR JAKO METODA ZJIŠTĚNÍ HODNOSTI MATICE
%
format compact
format rational
p=2; m=3; n=4;
T = round(10*rand(m,n))-5
I = eye(m)    % Jednotková matice
a = 3
b = 2
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 6. ELEMENTÁRNÍ ŘÁDKOVÉ A SLOUPCOVÉ ÚPRAVY
%    ======================================
%    Elementární řádkové (sloupcové) úpravy vychází z věty 3.14(6)(7)
%    Jejich prováděním se tedy nemění (řádková) hodnost matice
%
% 6.1 Záměna řádku za jeho násobek nenulovým skalárem
%     -----------------------------------------------
% Například vynásobení 2.řádku matice T skalárem a:
  T1=T
  a
  T1(2,:) = a*T1(2,:)
pause;
% Dle tmcv3/5.4 můžeme pro tento účel sestavit diagonální
% transformační matici:
  R = I; R(2,2) = a
% Pak
  R*T  % dá stejný výsledek
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 6.2 K řádku přičteme lineární kombinaci jiných řádků
%     ------------------------------------------------
% Například přičtěme k 3.řádku matice T a-násobek 1.řádku
% a b-násobek 2.řádku:
  T2=T
  a
  b
  T2(3,:) = T2(3,:)+ a*T2(1,:)+ b*T2(2,:)
% I pro tento účel lze sestavit transformační matici
  R = I; R(3,1) = a; R(3,2)=b
% Pak opět
  R*T  % dá stejný výsledek
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 6.3 Záměna dvou řádků v matici
%     --------------------------
% Dá se realizovat posloupností úprav typu 6.1 a 6.2
% (viz KaSk: V9.2, s.80).
% Můžeme ji provést opět přímo, např záměna 1. a 3. řádku v T:
  T
  T3=T([3,2,1],:)
pause;
% Opět sestavíme transformační matici tak, že stejným způsobem
% přehodíme řádky v jednotkové matici:
  R = I([3,2,1],:)
% Pak opět
  R*T  % dá stejný výsledek
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7. PŘEVOD NA SCHODOVITÝ TVAR JAKO METODA ZJIŠTĚNÍ HODNOSTI MATICE
%    ==============================================================
%    tzv. algoritmus GAUSSOVY ELIMINACE.
% Definice matice ve schodovitém tvaru: viz KaSk, Def.9.1, s.79
% Vytvořme matici užitou v KaSk, Př.9.2, s.81 a převeďme ji na
% schodovitý tvar pomocí elementárních úprav z předchozí části:
A = [0 1 3 -1 2 1;0 -2 -6 2 0 2;0 0 0 1 -1 7;0 2 6 -2 2 0]
[m,n] = size(A)
I = eye(m)
s=0         % počáateční nastavení počítadla schodů
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.1 ELIMINACE 1.SLOUPCE
% Není třeba nic provádět, neboť 1.sloupec je již nulový:
A(s+1:end,1)
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.2 ELIMINACE 2.SLOUPCE
% 2. sloupec je pod schodem nenulový:
A(s+1:end,2)
pause;
% zvětšíme proto počítadlo schodů o 1:
s = s + 1
A(s,2)  % je nenulový, takže rovnou provedeme eliminaci
        % části 2.sloupce pod schodem:
A(s+1:end,2)
A1 = A;
A1(2,:) = A1(2,:) + 2*A1(s,:)  % 2x s-tý.ř. přičteme ke 2.ř.
A1(4,:) = A1(4,:) - 2*A1(s,:)  % Od 4.ř. odečteme 2x s-tý ř.
pause;
% Stejný efekt dosáhneme pomocí transformační matice R1,
% která je složením dvou elementárních řádkových úprav typu 6.2:
R11 = I; R11(2,s)= 2
R12 = I; R12(4,s)=-2
R1  = R12*R11
pause;
% Transformační matici R1 můžeme samozřejmě sestavit přímo:
R1 = I; R1(2,s)=2; R1(4,s)=-2
% Provedeni eliminace 2. sloupce pomocí transformační matice:
R1*A
% je totéž jako A1:
A1
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.3 ELIMINACE 3. SLOUPCE
% Není třeba nic provádět, neboť 3.sloupec je pod schodem již
% nulový:
A1(s+1:end,3)
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.4 ELIMINACE 4.SLOUPCE
% 4. sloupec je pod schodem nenulový:
A1(s+1:end,4)
pause;
% zvětšíme proto počítadlo schodů o 1:
s = s + 1
A1(s,4)  % je nulový, proto
% přehodíme s-tý řádek se třetím (elem. úprava typu 6.3), neboť
% na pozici A1(s,4) musí být nenulové číslo
A2 = A1; A2([s,3],:) = A1([3,s],:)
pause;
% Část 4.sloupce pod schodem je po přehození nulová, takže
% vlastní eliminace se opět neprovádí.
pause;
% Sestavme opět výslednou transformační matici R2 pro tento sloupec.
% Realizuje jen přehození řádků, tj.:
R2 = I; R2([s,3],:) = I([3,s],:)
% Opět
R2*A1
% dá opět totéž:
A2
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.5 ELIMINACE 5.SLOUPCE
% 5. sloupec je pod schodem nenulový:
A2(s+1:end,5)
pause;
% zvětšíme proto počítadlo schodů o 1:
s = s + 1
A2(s,5) % je nenulový, takže rovnou provedeme eliminaci
        % části 5.sloupce pod schodem:
A2(s+1:end,5)
A3 = A2;
A3(4,:) = A3(4,:) + A3(s,:)./2  % ke 4.ř. příčteme (1/2)x s-tý ř.
pause;
% Stejný efekt dosáhneme pomocí transformační matice R3,
% která realizuje jednu elementární řádkovou úpravu typu 6.2:
R3 = I; R3(4,3)=1/2
R3*A2
pause;
%-------------------------------------------------------------
% Složením transformačních matic můžeme celou úpravu na schodovitý
% tvar provést najednou:
R3*R2*R1*A
pause;
% Vzhledem k asociativitě násobení matic totéž
% provede jediná transformační matice:
R = R3*R2*R1
% která opět dá výsledný schodovitý tvar:
S=R*A
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.6 URČENÍ HODNOSTI MATICE A:
% Podle 3.14 má S stejnou hodnost jako A
% (dimenze prostorů generovaných řádky S a A jsou stejné).
% Podle 3.14(3) můžeme v S ještě vynechat m-s nulových koncových
% řádků, takže zbude jen s řádků odpovídajích schodům,tj.
% platí r(A)=r(S)<=s.
% Po vyškrtání n-s sloupců, kde se nic neprovádělo
% se vybere regulární horní trojúhelníková submatice řádu s:
% v našem případě se vynechají sloupce 1,3,6, tj. vybereme
U = S(1:s,[2,4,5])
% Pak dle tmcv3/5.5 (na konci) platí také:
% r(A)=r(S)>=s.
% Závěr: clekem r(A) = s, tj. počet schodů udává hodnost matice A:
s
% Kontrola:
rank(A)
rank(S)
pause;
%-------------------------------------------------------------
% 7.7 LU-ROZKLAD MATICE A:
% Jestliže všechny potřebné záměny řádků, provedeme s maticí A
% předem, tj. provedeme s maticí A řádkovou permutaci P vzniklou
% složením všech záměn, pak zůstanou jen řádkové úpravy typu 6.2:
% V našem případě
P = R2
Ap = P*A   % provede permutaci předem
pause;
% Pak transformační matice Rp1 bude:
Rp1 = I; Rp1(3,1)=2; Rp1(4,1)=-2
% Provedeni eliminace 2. sloupce pomocí transformační matice Rp1:
Ap1=Rp1*Ap
pause;
% Transformace R3 zůstavá beze změny, neboť proběhla až po permutaci:
Rp3 = R3
Ap3 = Rp3*Ap1
% Což je stejný výsledek jako A3.
A3
pause;
% Neboli naráz:
Rp = Rp3*Rp1
S = Rp*Ap
pause;
% Všimněme si, že tentokrát výsledná transformační matice
% Rp je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále.
% Dle tmcv3/5.5 je tedy regulární a existuje k ní inverzní
% matice, která je rovněž regulární a dolní trojúhelníková:
Rpi = inv(Rp)
% pak S = Rp*Ap => Rpi*S = Rpi*Rp*Ap = Ap = P*A
%                  -----                    ---
Rpi*S
P*A
pause;
% Nalezli jsme tak rozklad vhodně řádkově permutované matice A
% na součin dolní (lower) trojúhelníkové matice a schodovité matice S,
% která jako submatici obsahuje regulární horní (upper) trojúhelníkovou
% submatici.
% Tomuto rozkladu se říká LU-rozklad matice na tvar: P*A = L*U
pause;
% V MATLABu obdobný rozklad přímo nalezne příkaz 'lu'.
% Jeho užití je omezeno jen na čtvercovou matici.
help lu
pause;
% V našem případě tato podmínka není splněna. Stačí ale doplnit
% matici vhodným počtem nulových řádků nebo sloupců:
AA = [A;zeros(2,n)]
[L,U,P] = lu(AA)
pause;
%-------------------------------------------------------------