ZÁKLADY MATEMATIKY I
CVIČENÍ 1: Výrokový počet a teorie množin. Důkazy vět 1.1,1.16 až 1.18 z přednášky
a řešení příkladů z Horákovy sbírky vyznačených v souboru ZM1CV01prikl.tif.
CVIČENÍ 2: Množinová zobrazení -- řešení příkladů z Horákovy sbírky vyznačených
v souboru ZM1CV02prikl.tif.
CVIČENÍ 3: Teorie množin a některé vlastnosti celých čísel -- řešení příkladů z Horákovy
sbírky vyznačených v souboru ZM1CV03prikl.tif.
CVIČENÍ 4: Komplexní čísla (viz odst. 1.3 a přílohu A z přednášky).
* z přílohy A: důkazy A4, A5/1, tvrzení z A5/3, A6.
* řešení příkladů ze sbírek Minorskij a Faddejev&Sominskij vyznačených v souboru
ZM1CV04prikl.tif. V příkladu 642 se jedná o 6

1 (špatně čitelné).
CVIČENÍ 5: Algebraické struktury.
* Příklady a cvičení z přednášky (kap. 2): Př 2.17, důkaz nerovnosti lim inf an 
lim sup an z Def 2.26 (bonus: 4 body), Př 2.51d)e), Př 2.60, Př 2.62, Př 2.76,
Př 2.78.
* řešení příkladů z Horákovy sbírky vyznačených v souboru ZM1CV05prikl.tif.
CVIČENÍ 6: Vektorové prostory.
* Příklady a cvičení z přednášky (kap. 3): Př 3.4, Př 3.25, Př 3.37, Př 3.51,
Př 3.64.
* řešení příkladů z Horákovy sbírky vyznačených v souboru ZM1CV06prikl.tif.
CVIČENÍ 7: Úvod do teorie matic. Každý student si připraví nejméně 1 ukázkový
příklad ke každému tématu z odst. 4.1 a 4.2 v přednáškovém textu. Zejména:
* příklady matic různých rozměrů, ukázky výběru submatic, blokové vytváření
matic, příklady matic se speciální strukturou (viz označení a definici 4.5).
* ukázky jednotlivých operací s maticemi, demonstrace vyjmenovaných vlastností
těchto operací na konkrétních příkladech matic. Příklady je možno čerpat ze
sbírek, např. FaSo, Ho (zejména ZM1CV07prikl.tif).
* Dále doporučuji prostudovat záznamy práce pod systémem MATLAB uložené
v souborech TMCV01.diary, TMCV02.diary, ZM1CV07.log a ZM1CV08.log.
CVIČENÍ 8: Hodnosti jednoduchých matic.
* V odst. 4.3 přednáškového textu prostudujte následující definice a tvrzení týkající
se hodnosti matic: 4.15(1)-(5), 4.17­4.19, 4.23, 4.24(5)(6), 4.26, 4.27, 4.30
[viz též 3.14(5)-(7), 3.19, 3.20 a 3.24(4)].
* Prostudujte záznamy práce pod systémem MATLAB (kromě části 5.2) uložené
v souboru TMCV03.diary.
* Na základě předchozího studia demonstrujte a zdůvodněte)
zjišťování hodnosti
na jednoduchých příkladech matic speciálního typu (v daném pořadí): jednotková,
diagonální, trojúhelníková, schodovitá.
)
zdůvodňování usnadní studium důkazů příslušných tvrzení z odst. 4.3.
CVIČENÍ 9: Nalezení hodnosti obecné matice jejím převodem na schodovitý tvar
pomocí elementárních úprav.
* V odst. 4.4 přednáškového textu prostudujte text od začátku až po 4.37. Ve
1
skriptech KaSk prostudujte kapitolu 9.
* Prostudujte záznamy práce pod systémem MATLAB (kromě části 7.7) uložené
v souboru TMCV04.diary a ZM1CV09.log, které na numerických příkladech ilustrují
teorii dle předchozího bodu.
* Na základě předchozího studia převeďte na schodovitý tvar matice v souboru
ZM1CV09prikl.tif, určete pro ně hodnost, sloupcovou bázi a transformační matici
realizující převod. Jednodušší příklady vyřešte na papíře ručně, pro složitější
je možno užít systém MATLAB či OCTAVE.
CVIČENÍ 10: Nalezení LU-rozkladu matice.
* V odst. 4.4 přednáškového textu prostudujte text od 4.38 až do konce.
* Prostudujte záznamy práce pod systémem MATLAB ze souboru TMCV04.diary
(zde zejména část 7.7 vynechanou v předchozím cvičení) a ze souboru TMCV05.diary.
Dále prostudujte ukázkový výpočet LU-rozkladu matice z příkladu Ho/4.4.B1a)
zaznamenaný na konci souboru ZM1CV09.log.
* Na základě předchozího studia proveďte LU-rozklad matic 4.4.B1b) až c) ze
souboru ZM1CV09prikl.tif, určete pro ně hodnost i sloupcovou bázi. Jednodušší
příklady vyřešte na papíře ručně, pro složitější je možno užít systém MATLAB
či OCTAVE.
CVIČENÍ 11: Permutace a determinanty.
* Prostudujte odst. 4.5 přednáškového textu.
* Prostudujte soubor Determinanty.tif(ZIP) obsahující ukázky zjišťování počtu
inverzí v permutaci, parity permutace a různé metody výpočtu determinantu:
Sarrusovo pravidlo, Laplaceův rozvoj (případně v kombinaci s elementárními
úpravami), Gaussova eliminační metoda. Sami doplňte další metodu založenou
na LU-rozkladu.
* Na základě předchozího studia spočtěte příklady ze souboru ZM1CV11prikl.tif.
Při výpočtech vyzkoušejte každou z výše zmíněných metod alespoň na jednom
příkladu.
CVIČENÍ 12: Medody řešení systému lineárních rovnic.
* Prostudujte kap. 5 přednáškového textu.
* Prostudujte soubor SySLinRov.tif(ZIP) obsahující ukázkové výpočty řešení
systému lineárních rovnic třemi metodami: Cramerovým pravidlem, Gaussovou
eliminací a užitím LU-rozkladu.
* Na základě předchozího studia počítejte příklady ze souboru ZM1CV12prikl.tif
v obráceném pořadí paragrafů: nejprve z §3, pak z §2 a nakonec z §1, kde
z každé ze tří skupin příkladů 5.1.B1-B3 vyberte alespň jeden vyznačený příklad
(tj. kromě a)) a řešte jej jak Gaussovou eliminací tak i LU-rozkladem. Příklady
5.1.B1a) až 5.1.B3a) jsou stejného typu a záznamy jejich vzorového řešení
v MATLABu naleznete v souborech TMCV07.diary a TMCV08.diary.
* Prostudujte rovněž ukázku TMCV10.diary užití iteračních metod při řešení systému
lineárních rovnic. Výpočet se pokuste v MATLABu zreprodukovat.
CVIČENÍ 13: Medody výpočtu inverzní matice.
* Prostudujte odst. 5.5 přednáškového textu.
* Prostudujte soubor InvMat.tif(ZIP) obsahující ukázkové výpočty inverze
matice dvěma metodami: Gaussovou eliminací a užitím LU-rozkladu.
2
ˇ Na základě předchozího studia vyberte alespoň jeden příklad z 5.2.B10 v souboru
ZM1CV12prikl.tif, který má regulární matici soustavy. Oběma postupy nalezněte
inverzní matici a pomocí ní pak příslušný systém vyřešte. Záznamy vzorového
řešení v MATLABu užívající LU-rozklad naleznete v souboru TMCV09.diary.
* Spočtěte předchozí příklad ještě také determinatovou metodou užitím adjunktu
matice dle důsledku 4.53 v přednáškovém textu.
3