Řešený systém lineárních rovnic:




1 2 1 4
2 0 4 3
4 2 2 1
-3 1 3 2



  x =




13
28
20
6




Gaussova eliminace s pivotováním ve sloupcích pod diagonálou:
krok 1:
U1 =




1 2 1 4 13
2 0 4 3 28
4 2 2 1 20
-3 1 3 2 6



 , p =




1
2
3
4




P 1U1 =




4 2 2 1 20
2 0 4 3 28
1 2 1 4 13
-3 1 3 2 6



 , p =




3
2
1
4



 , m =




1/2
1/4
-3/4




krok 2:
U2 =




4 2 2 1 20
0 -1 3 5/2 18
0 3/2 1/2 15/4 8
0 5/2 9/2 11/4 21



 , p =




3
2
1
4




P 2U2 =




4 2 2 1 20
0 5/2 9/2 11/4 21
0 3/2 1/2 15/4 8
0 -1 3 5/2 18



 , p =




3
4
1
2



 , m =



 3/5
-2/5




krok 3:
U3 =




4 2 2 1 20
0 5/2 9/2 11/4 21
0 0 -11/5 21/10 -23/5
0 0 24/5 18/5 132/5



 , p =




3
4
1
2




P 3U3 =




4 2 2 1 20
0 5/2 9/2 11/4 21
0 0 24/5 18/5 132/5
0 0 -11/5 21/10 -23/5



 , p =




3
4
2
1



 , m =




-11/24




krok 4:
U4 =




4 2 2 1 20
0 5/2 9/2 11/4 21
0 0 24/5 18/5 132/5
0 0 0 15/4 15/2



 , p =




3
4
2
1




1
Výsledek:
x =




3
-1
4
2



 ,
m(2, 1) = 1/2 patří k 2. řádku v A - 3. řádek v P  A
m(3, 1) = 1/4 patří k 1. řádku v A - 4. řádek v P  A
m(4, 1) = -3/4 patří k 4. řádku v A - 2. řádek v P  A
m(3, 2) = 3/5 patří k 1. řádku v A - 4. řádek v P  A
m(4, 2) = -2/5 patří k 2. řádku v A - 3. řádek v P  A
m(4, 3) = -11/24 patří k 1. řádku v A - 4. řádek v P  A
Získaný LU-rozklad:
P =




0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0



 , L =




1 0 0 0
-3/4 1 0 0
1/2 -2/5 1 0
1/4 3/5 -11/24 1



 , U =




4 2 2 1
0 5/2 9/2 11/4
0 0 24/5 18/5
0 0 0 15/4




2