3 Klasické funkční tvary v teorii produkce 3.1 COBB- DOUGLASova produkční funkce Tento funkční tvar popisuje vztah mezi produkcí a výrobními faktory práce a kapitál mocninným vyjádřením tj. (3.1)^ , kde se pro parametry , zpravidla předpokládá omezení hodnot na interval . Parametr musí být přirozeně kladný.[1] Součet obou mocninných parametrů je obvykle blízký hodnotě 1, přičemž empirické ekonometrické analýzy naznačují spíše situaci . Jak ukážeme, přiblížení součtu mocninných parametrů hodnotě 1 (zvláště, je-li jich více než 2) lze dobře zdůvodnit, pokud vývoj produkce v tomto funkčním tvaru je popsán výrobními faktory vyčerpávajícím způsobem. Někdy se a priori předpokládá přesné splnění identity , což však má oprávnění jen v určitých situacích. V takovémto případě lze chování produkce vystihnout závislostí (3.2) ^ , přičemž po vydělení prací získáme vztah (3.3) a tím i ekonomicky názorně interpretovatelný vztah o závislosti veličiny ( průměrná produktivita práce) na intenzitním faktoru (vybavenost práce kapitálem) .Přitažlivost tohoto funkčního tvaru lze spatřovat i v několika dalších směrech : 1. Cobb-Douglasova funkce splňuje všechny Shephardem formulované axiomy (S1) - (S6), až na poslední (S7*) požadující ohraničenost účinné podmnožiny produkční množiny vstupů, Lze se o tom snadno přesvědčit přímo, navíc Cobb-Douglasův nelineární tvar je při přijatých omezeních na mocninné parametry konkávní funkce. 2. Ekonomické charakteristiky Cobb-Douglasovy funkce lze snadno spočíst, což postupně ukážeme : a) mezní produktivity (3.4) Podobně dostaneme ; mezní produktivity jsou tedy [ ]resp. násobky průměrných produktivit resp. . b) koeficienty pružnosti produkce vzhledem ke kapitálu (3.5A) a obdobně vzhledem k práci (3.5B) [. ] Jsou tedy přímo rovny mocninným koeficientům funkčního tvaru. Parametr [ ]vyjadřuje procentuální míru vlivu kapitálu a podobně parametr [ ]procentuální míru vlivu práce na hodnotě produkce. Pokud bychom již neuvažovali působení žádných jiných výrobních faktorů na produkci, lze přijmout tezi o (zhruba) jedničkovém součtu obou parametrů (koeficientů pružnosti produkce vůči oběma faktorům). Povšimněme si, že oba koeficienty elasticity jsou konstantní v celém faktorovém prostoru. c) Účasti výrobních faktorů na produkci získáme rovněž velmi snadno : (3.6) a podobně Také odtud vyplývá logický požadavek, aby součet koeficientů byl (přibližně) jedničkový. d) Výnosy z rozsahu produkce lze u dvoufaktorové Cobb-Douglasovy funkce vyvodit z vyjádření : (3.7) , Odtud je jednak patrné, že tato produkční funkce je homogenní stupně ^ , jednak z něho přímo vyvodíme povahu výnosů z rozsahu produkce, která je určena součtem mocninných parametrů. Jestliže , jde o klesající, pro obdobně o konstantní, resp. při vykazuje Cobb-Douglasův tvar rostoucí výnosy z rozsahu produkce. Poslední případ lze v ekonometrických aplikacích zaznamenat jen zřídka. e) Mezní míra substituce se opět snadno určí z definičního vztahu , jehož naplněním pro Cobb-Douglasův tvar obdržíme (3.8) Mezní míra substituce mezi prací a kapitálem u Cobb-Douglasovy produkční funkce tedy závisí na poloze bodu, v němž ji ve faktorovém prostoru vyčíslujeme. Je přímo úměrná vybavenosti práce kapitálem ( tj. podílu ) a podílu elasticit . f) Pružnost substituce určíme tentokrát jiným postupem než pomocí některého z dříve uvedených výpočetních vzorců, a to pomocí následujícího obratu : Logaritmujme vztah (3.8), přičemž podíl označme stručněji jako . Nejprve dostaneme (3.9) a následným diferencováním (3.10) neboť jiné změny než obou aditivních komponent pravé strany (3.9) neuvažujeme. Jak blíže patrno, výraz jako změna konstanty (nezávislé na měnících se , ) je nulový a obdobně podíl je roven jedné, což je zřejmé, vyjádříme-li parciální derivaci (podle ) vztahu (3.9). Diferenciál vyjádřený aditivním rozkladem (3.10) se tímto redukuje na vztah (3.11) Vzhledem k tomu, že podíl pravé a levé strany (3.11) není nic jiného než „logaritmická“ definice pružnosti substituce - viz definiční vztah (2.7A) - , znamená to, že . Stejný výsledek bychom obdrželi pomocí výpočetního vzorce (2.8) nebo – za podmínky – přes vztah (2.17). Získaný výsledek znamená mj. to, že Cobb-Douglasův funkční tvar představuje příklad produkční funkce, u níž je elasticita substituce nezávislá na poloze faktorové kombinace na příslušné izokvantě ( je tedy konstantní). 3. Ještě se stručně zmíníme o ekonometrické úloze odhadu parametrů Cobb-Douglasovy produkční funkce. Logaritmováním výchozího tvaru (3.1 ) získáme (3.12) Připojením náhodné složky s přisuzovanými vlastnostmi ( centrovanost, homoskedasticita a nekorelovanost s jednotlivými vysvětlujícími proměnnými) přejdeme k regresnímu vztahu (v zápise pro vektory pozorovaných hodnot , [ ]a ) , v němž je délka vzorku pozorování : (3.12A) . Povšimněme si však, že při této specifikaci by ve vztahu (3.1) náhodné složky musely být připojeny multiplikativně, tzn. stochasticky vyjádřená Cobb-Douglasova funkce by musela mít tvar (3.13)^ a exponenciálně vázané náhodné odchylky by např. již nemohly být záporné. Při odhadu parametrů Cobb-Douglasovy funkce lze na lineárně-aditivní tvar (3.12a) uplatnit např. prostou metodu nejmenších čtverců (MNČ, OLS). Jako závisle proměnná bude v regresi vystupovat logaritmovaná hodnota produkce , jako nezávisle proměnné pak logaritmované hodnoty práce a kapitálu . Uvedeným postupem získáme přímo (konzistentní) odhady parametrů a a též odhad logaritmované hodnoty úrovňového parametru Cobb-Douglasova tvaru . Odhad původního parametru pak získáme snadno zpětnou exponenciální transformací . Pro úplnost je třeba uvést, že tímto způsobem získaný odhad parametrů , ,[ ]nebude (ze statistického hlediska) nejlepší možný. Jak patrno, minimalizačním kritériem při výše uvedeném postupu je výraz nikoliv původní součet čtverců , kde označuje vyrovnané hodnoty. Měření odchylek od zde probíhá v “logaritmované“, nikoliv v původní „metrice”. Pokud bychom trvali na původním kritériu, museli bychom k přesnému odhadu parametrů uplatnit nelineární metodu nejmenších čtverců (NLMNČ, NLLS). Dodejme současně, že v řadě praktických situací nebudou rozdíly mezi jedním resp. druhým způsobem odhadnutými parametry příliš velké. Cobb-Douglasova produkční funkce je z tohoto hlediska jen „slabě nelineární“, neboť po logaritmické transformaci jde o funkční tvar, který již je v parametrech lineární. Podobu izokvant Cobb-Douglasovy funkce ovlivňují všechny tři parametry. Parametr má vliv na „vzdálenosti“ izokvant o různých hladinách produkce, míru zakřivení pak určují mocninné parametry . V případě rovnosti obou parametrů budou izokvanty symetrické vůči ose/paprsku vycházejícího z počátku pod úhlem 45^0. S ohledem na multiplikativní tvar funkce nemohou izokvanty (pro konečné hodnoty výrobních faktorů ) přilnout k souřadnicovým osám (blíží se k nim však asymptoticky), tzn. že jak práce tak kapitál jsou podstatné („essential“) výrobní faktory. Nejsou-li přítomny v kladných množstvích, nelze dosáhnout ( ani při jakkoliv velkém nasazení ostatních výrobních faktorů ) kladné hodnoty produkce. 3.2 LEONTIEFova produkční funkce Tato produkční funkce nese pojmenování po významném americkém ekonomu a ekonometru ruského původu Vasiliji Leontjevovi (v anglické transkripci psáno Wassilly Leontief) a představuje vůči Cobb-Douglasově produkční funkci zcela protikladný případ (v běžné ekonomické realitě však nijak řídký). Tímto způsobem vyjádřená výrobní technologie nepřipouští vůbec žádnou substitučnost mezi výrobními faktory. Mluvíme o tzv. pevných technických koeficientech, jinými slovy o výrobním procesu, který racionálně probíhá pouze při pevných proporcích nasazení všech výrobních faktorů. Tato produkční funkce má méně obvyklý, nicméně jednoduchý tvar : (3.14) , kde > 0, > 0 jsou vhodné kladné konstanty. Leontjevova produkční funkce je na první pohled charakteristická tím, že její izokvanty mají podobu dvou hran (levé a dolní) neomezených pravoúhelníků, přičemž styčný rohový bod je právě jediným bodem účinné podmnožiny (produkční množiny vstupů) a jeho souřadnice udávají právě požadovaný poměr nasazení výrobních faktorů. Pro různé hodnoty produkce leží tyto vrcholy na polopřímce vycházející z počátku, jejíž směrnice je rovna podílu . Obdobný obraz obdržíme u vícefaktorové Leontjevovy funkce s tím, že geometrická podoba závisí na počtu faktorů (v případě tří faktorů je účinný bod rohem neomezeného kvádru). Žádná možnost substituce mezi výrobními faktory se ani zde nepřipouští. ^ Případ pevných výrobních koeficientů je především na mikroúrovni a v situacích, kdy jde o modelování technických či chemických vztahů, dosti běžný. V metalurgii je řada výrobních procesů charakteristická tím, že se připouští nanejvýš nepatrná variabilita použitých kovů/prvků : výroba nerezových ocelí, složení speciálních slitin (dělovina, zvonovina). Podobně se chová celá řada chemických procesů, u kterých dosažení žádoucí chemické sloučeniny (slitiny) (krakování ropy, výroba barviv apod.) vyžaduje dodržení přesného poměru v nasazení výrobních faktorů. Podobně též ve zlatnictví máme sice možnost směšovat cenné kovy (stříbro, zlato, paladium, platina) v širokém rozmezí vzájemných proporcí, avšak zvyklosti trhu vyžadují dodržení tradičních poměrů (viz např. 14, 18 nebo 22-karátové zlato). Probereme postupně ekonomické charakteristiky Leontjevovy produkční funkce: a) Mezní produktivity práce a kapitálu určíme limitním způsobem výpočtu derivací. Platí : (3.15A) pro případ, že minima se nabývá v hodnotě pro případ, že minima se nabývá v hodnotě (3.15B) pro případ, že minima se nabývá v hodnotě pro případ, že minima se nabývá v hodnotě Jediným bodem, kde jsou obě mezní produktivity kladné, je tedy zmíněný vrchol pravoúhelníka (zde platí rovnost ). b) Koeficienty pružnosti produkce odvodíme nyní již snadno: vzhledem ke kapitálu mají tvar (3.16A) pro případ, že minima se nabývá v hodnotě , jinak .[] a vzhledem k práci (3.16B) pro případ, že minima se nabývá v hodnotě , jinak . c) Účasti výrobních faktorů na produkci určíme stejně lehce : ( 3.17) a podobně se stejnými omezeními na minimalizující faktor v produkční funkci jako tomu je u mezních produktivit (v opačných případech je příslušná faktorová účast nulová). d) Vyšetření povahy výnosů z rozsahu výroby u dvoufaktorové Leontjevovy produkční funkce přináší tento výsledek : ( 3.18) z čehož je patrné, že funkce je lineárně homogenní a tudíž má konstantní výnosy z rozsahu. e) Mezní míru substituce rovněž snadno určíme z definičního vztahu , který nabývá jedinou “standardní” hodnotu v bodě, kde platí . V jiných bodech izokvant je hodnota buď nulová (na horizontálním úseku izokvanty, kde i velmi malý přírůstek množství kapitálu nelze substituovat jakkoliv velkým množstvím práce) nebo naopak nekonečně velká (na svislém úseku izokvanty stačí nepatrné množství práce ke zvýšení produkce, což není dosažitelné samostatně žádným konečným množstvím kapitálu). Faktory mají vlastnost tzv. limitovatelnosti, o níž bude pojednáno v části [4]. f) Konečně velikost pružnosti substituce vyvodíme následovně : V rohu nekonečného pravoúhelníka je mezní míra substituce [ ]rovna (¹ 0). Vyjdeme li z tohoto bodu, pak jakýkoliv posun po izokvantě implikuje vždy skokovitou změnu , a to buď na hodnotu + ¥ (směr nahoru) nebo na hodnotu 0 (směr doprava). Proto [ ]= + ¥ , a tudíž [ ]= + ¥ . Výraz bude mít při pohybu po izokvantě vycházeje z téhož bodu naproti tomu vždy konečnou velikost, neboť poměr faktorů se mění spojitě. Proto bude Výpočetních vzorců, které obsahují výpočty derivací (ač je Leontiefova funkce lineárně homogenní), nelze k určení použít, neboť parciální derivace na izokvantě neexistují (jsou různé zleva/zprava resp.shora/zdola) . 3.3 ACMS (ARROW - CHENERY- MINHAS - SOLLOWova) produkční funkce ACMS-funkce byla vyvinuta za účelem postihnout obecný tvar funkce vykazující vlastnost konstantní pružnosti substituce.[2] Z tohoto důvodu bývá také často označována jako CES-funkce (z anglického “Constant Elasticity of Substitution”). Toto označení však není zcela přesné, neboť - jak jsme viděli - také Cobb-Douglasova funkce má zmíněnou vlastnost. Zejména v 60. a 70.letech 20.století byl níže uvedený funkční tvar produkční funkce předmětem zevrubného teoretického zkoumání a – jako alternativa ke Cobb-Douglasově funkci – mnohokrát nasazen v empirickém ekonometrickém výzkumu. V původním zápise pro dva výrobní faktory práce L a kapitál K má tvar (3.21) , ^ přičemž každý z jejích tří parametrů , , má svůj specifický význam, omezení přípustných hodnot i pojmenování. - parametr (vždy ) udává vztah mezi měřítky jednotek výrobních faktorů a produkce a nazývá se proto parametr úrovně, - parametr ( situovaný do intervalu ) separuje vliv každého výrobního faktoru samo statně a je pojmenován distribuční parametr a - parametr je nazýván substituční parametr, neboť jím (a jen jím) je určena velikost pružnosti substituce . Tento parametr může nabývat přípustných hodnot ze sjednocení intervalů . Přes poněkud komplikovanější definiční výraz lze na ACMS-funkci jednodušeji pohlížet jako na váženou střední hodnotu (dvou výrobních faktorů ) stupně . Položíme-li totiž a zapíšeme-li jako , lze pak výraz (3.21) zapsat jako ( 3.22) , Přitažlivost tohoto funkčního tvaru vyplývá mj. ze skutečnosti, že ACMS-funkce představuje (spolu se svými „krajními“ případy ve vztahu k substitučnímu parametru r : r = -1, r = + ¥ či „limitním“ případem ) úplnou třídu funkčních tvarů vykazujících konstantní pružnost substituce během pohybu po kterékoliv izokvantě. Jedničková hodnota této charakteristiky u Cobb-Douglasovy funkce je totiž z hlediska převažující náročnosti substituce (a to nejen práce kapitálem) příliš „příznivá“. Ve skutečnosti probíhá proces nahrazování jednoho faktoru druhým (a vice versa) obtížněji. Konkrétně pro hodnotu nabývá ACMS-funkce tvar prosté lineární produkční funkce (jak patrno po přímém dosazení). (3.23) , kde , ^ Dále lze ukázat oboustranným limitním přechodem pro , že při ACMS funkce přechází v Cobb-Douglasovu funkci, konkrétně tvaru (3.24) Konečně v limitním případě nabývá ACMS-funkce tvar charakterizovaný Leontiefovou produkční funkcí (3.25) . Je tedy pozoruhodné, že ACMS-funkce pokrývá jak substituční případy tak i typicky “nesubstituční”, komplementární situaci. Nejprve se přesvědčíme, že ACMS-tvar představuje skutečně produkční funkci. To opět provedeme postupným vyšetřením Shephardových axiomů, což je nepatrně obtížnější než u Cobb-Douglasovy funkce: (S1) Pro platí i a proto Jestliže naopak , potom také i = + ¥ , což však opět znamená, že Spojitým dodefinováním hodnotou lze tedy pro oba intervaly zajistit platnost podmínky . Funkce ( 3.21) je zřejmě konečná pro konečná a spojitá v celém definičním oboru, z čehož vyplývá splnění axiomů (S2) a (S5). K ověření (S3) stačí ukázat, že ACMS-funkce je rostoucí v obou argumentech : Je-li totiž , pak je rostoucí v a shodně je rostoucí v . Následně složená funkce , kde je rostoucí v i . Jestliže opačně , potom je klesající v a obdobně je klesající v , v důsledku čehož funkce , kde je opět rostoucí v i . Pro ověření (P4) použijeme vyšetření proporcionální úměrnosti (s nějakým kladným ): (3.26) Z toho jednak plyne, že pro všechny kombinace vstupů poskytující kladný výnos (tj. pro jde o a pro o ) platí , jednak je tím prokázána lineární homogenita ACMS-funkce. Kvazikonkávnost (P6), která se přímo dokazuje (zejména pro více výrobních faktorů) nesnadno, zde vyplývá z konkávnosti ACMS-funkce. Vyšetřujeme-li konečně platnost podmínky (P7*), zjišťujeme, že pro vybrané z intervalu nejsou účinné podmnožiny ohraničené. Pro se tato slabina neprojevuje, avšak z empirických šetření (a následně odhadnutého ) vyplývá, že typičtější je právě opačný případ. Navíc s ohledem na to, že rozsah kladných hodnot je nepoměrně „bohatší“ než interval záporných, není v tomto směru přednost ACMS –produkční funkce před Cobb-Douglasovým tvarem nijak zřetelná. Nyní se budeme věnovat vyčíslení podstatných ekonomických charakteristik u tohoto typu dvoufaktorové produkční funkce (za výrobní faktory ve shodě s (3.30) považujeme práci a kapitál ) : a) mezní produktivity práce (3.27A) resp. kapitálu (3.27B) získáme snadno derivováním, přičemž získané výrazy lze dále upravit s využitím definičního vztahu na (3.28A,B) resp. b) účasti faktorů na produkci následně přijímají tyto výrazy (3.29A) pro účast práce , ( 3.29B) pro účast kapitálu . Jak je patrné, jak mezní produktivity, tak faktorové účasti závisí na poměru faktorů i na všech parametrech ACMS – funkce. S ohledem na přípustné hodnoty parametrů ACMS-tvaru jsou kladné. c) koeficienty pružnosti produkce obdržíme stejně snadno .Vzhledem ke kapitálu dostaneme (3.30A) elasticitu vzhledem k práci pak jako (3.30B) Také koeficienty pružnosti, jak je vidět, závisí na poměru faktorů w = . d) Charakterizaci výnosů z rozsahu výroby jsme v podstatě již podali v průběhu vyšetřování axiomu (S4). Konstatovali jsme, že ACMS-produkční funkce vykazuje konstantní výnosy z rozsahu výroby v důsledku homogenity 1. stupně (bez ohledu na velikosti úrovňového a substitučního parametru). e) mezní míra substituce je dána podílem a jako taková má vyjádření (3.30B) , které může být dále zjednodušena na výraz (3.31A) závisející opět na podílu w = proměnlivém ve faktorovém prostoru. f) pružnost substituce lze určit opět vhodným obratem snadněji než z definičního vztahu (3.10): Vyjděme ze vztahu (3.31A ) pro mezní míru substituce, který zlogaritmujeme. Dostaneme (3.32) Po uplatnění rozkladu diferenciálu máme ( 3.33A) Člen představuje, jak je zřejmé, “změnu” konstanty (při pohybu faktorů , ve faktorovém prostoru), a je tedy roven nule. Člen na stejné straně (3.33 A) je roven , neboť de o derivaci levé strany (3.32) podle prvního členu v tomtéž výrazu napravo. Po tomto zjednodušení máme , neboť je konstantní hodnota a změna faktorů se odehrává toliko v . Odtud dále plyne (3.34) Elasticita substituce je z definice rovna reciproké hodnotě levé strany (3.33A), takže platí : (3.35) tedy u ACMS-produkční funkce závisí výlučně na velikosti substitučního parametru . Poznámka Vzhledem k tomu, že CD-funkční tvar je speciálním případem ACMS-funkce v limitě pro , lze pozorovat plnou shodu i v hodnotách , kde rovněž pro dává výraz (3.35) velikost . Obdobně při (případ Leontjevova funkčního tvaru) platí a konečně , odpovídá případu „nekonečně dobré substituce faktorů “ u lineární produkční funkce . 3.4 Produkční funkce typu ADDILOG ( 3.36) může být rovněž jako funkce vystihující výrobní proces z určitých hledisek akceptována.[3] Obvykle se přitom přijímá zúžení přípustných hodnot parametrů na : , , , , zejména s tím cílem, aby ekonomické charakteristiky (co do znamének a směrů vlivu) nabývaly realistických hodnot. U funkčního tvaru (3.27) snadno spočteme: a) mezní produktivity výrobních faktorů : (3.37) , , odkud vyplývá potřeba omezení hodnot parametrů do výše vymezených intervalů, mají-li být mezní produktivity kladné a mít klesající přírůstky. b) Výrazy pro koeficienty pružnosti produkce nabývají tvaru (3.38A,B) resp. c) účasti výrobních faktorů na produkci (3.38A,B) , , což rovněž musí být kladné veličiny .^ e) Mezní míru substituce odvozenou jako podíl [ ]neboli ( 3.39) f) Elasticitu substituce spočteme tentokrát podle obecného výpočtového vzorce ( 3.8 ) : Zřejmě , , , , , což dosazeno do ( 3.8 ) vede k výrazu Ten může být poněkud zjednodušen, např. na tvar ( 3.40) , v němž , . g) Pokud jde o výnosy z rozsahu výroby, je zřejmé, že k dosažení homogenity je u ADDILOGu nutná restrikce , po níž dostaneme . Dále vidíme, že funkce může být homogenní jen při splnění podmínky , kde je příslušný stupeň homogenity. ________________________________ [1] Cobbova-Douglasova funkce byla poprvé uvedena v článku Cobb-Douglas : “A Theory of Production” uveřejněném v American Economic Review (1928), kde byly pomocí ní ekonometricky zkoumány kvantitativní vztahy mezi produkcí, prací a kapitálem na agregované úrovni americké ekonomiky počátku 20.století. [2] ACMS funkční tvar produkční funkce byl poprvé publikován autory K.Arrow, H.B.Chenery, B.Minhas a R. Sollow v článku Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency uveřejněném v Review of Economics and Statistics (1961). [3] Uvedený tvar přímého ADDILOGu poprvé použil ( byť jako užitkovou funkci ) Holanďan Hendrik S. Houthakker v r. 1960 v článku Additive preferences viz Econometrica Vol.28/No2 (1960).