Obsah
Obsah
Stručný obsah
Kapitola 1
Připomenutí základních znalostí z matematiky
Kapitola se zaměřuje na opakování některých partií středoškolské látky z matematiky a to z oblasti
množin, výrokového počtu, zavádění matematických pojmů a struktuře matematických vět a
zavedení reálných a komplexních čísel.
Kapitola 2
Funkce a jejich vlastnosti
Opakuje se pojem zobrazení, pojem funkce. Zavádí se i pojem funkce inverzní a funkce složené. Je
zaveden pojem spojitosti funkce. Zavádějí se elementární funkce.
Kapitola 3
Základní pojmy lineární algebry
V kapitole se zavádějí pojmy lineární algebry jako je matice, operace s maticemi, zápis systému
lineárních rovnic v maticové notaci a pojem matice inverzní.
Kapitola 4
Lineární prostor
V této kapitole se zavádí pojem vektorového prostoru, lineární nezávislosti a lineární závislosti
vektorů, pojem hodnosti skupiny vektorů, báze vektorového prostoru, skalárního součinu a normy
ve vektorovém prostoru.
Kapitola 5
Determinanty
V této kapitole se zavádí pojem determinantu čtvercové matice a způsoby jeho vyčíslení. Odvozuje
se Cramerovo pravidlo na řešení systému lineárních rovnic pomocí determinantů a přímý výpočet
inverzní matice.
Kapitola 6
Metody řešení systému lineárních algebraických rovnic
Tato kapitola je věnována problematice existence a metod řešení systému lineárních rovnic. Vysvětluje
se i podstata řešení systému lineárních algebraických rovnic metodou nejmenších čtverců.
Úplný obsah
1. Připomenutí základních znalostí z matematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1. Množina, konstanta, proměnná 14
1.2. Výrokový počet 16
1.3. Zavádění pojmů v matematice, matematické věty 21
1.4. Množinové operace 30
1.5. Čísla 33
Reálná čísla 34
Zápis reálných čísel v některých číselných soustavách 42
Množiny reálných čísel 46
Komplexní čísla 51
2. Funkce a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1. Zavedení pojmu zobrazení a pojmu funkce 60
2.2. Reálná funkce reálné proměnné 69
2.3. Spojitost funkce 75
2.4. Polynom a racionální lomená funkce 83
2.5. Funkce složená a funkce inverzní. Elementární funkce 98
3. Základní pojmy lineární algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.1. Úvod do maticového počtu 126
Relace mezi maticemi 129
Základní operace s maticemi 130
Speciální matice a pravidla pro počítání s maticemi 139
3.2. Systémy lineárních algebraických rovnic, úvod 141
3.3. Zavedení pojmu inverzní matice 145
3.4. Základní poznatky z kapitoly 3 a úlohy k procvičení 149
4. Lineární prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.1. Lineární prostor, zavedení pojmu 154
Příklady lineárních prostorů 155
4.2. Lineární kombinace vektorů 163
4.3. Elementární transformace 166
4.4. Symbolika použitá pro popis některých výpočtových postupů 177
4.5. Určení hodnosti matice 178
4.6. Báze vektorového prostoru 184
4.7. Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru 189
4.8. Úvod do analytické geometrie v n-rozměrném prostoru En 200
4.9. Základní poznatky z kapitoly 4 a úlohy k procvičení 204
Obsah
5. Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1. Zavedení pojmu determinantu matice 210
5.2. Vlastnosti determinantů 225
5.3. Použití determinantů 243
Cramerovo pravidlo 243
5.4. Přímý výpočet inverzní matice pomocí determinantů 246
5.5. Základní poznatky z kapitoly 4 a úlohy k procvičení 248
6. Metody řešení systému lineárních algebraických rovnic . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.1. Ekvivalentní systémy rovnic 252
Převod systému lineárních rovnic na systém lineárních rovnic s horní schodovitou maticí soustavy 253
6.2. Metody řešení systému lineárních rovnic užitím rozkladu matice soustavy, qr­rozklad 273
6.3. Řešení systému lineárních rovnic metodou nejmenších čtverců 277
Řešení systému Ap = y metodou nejmenších čtverců ­ užitím systému normálních rovnic 280
qr­metoda na řešení systému lineárních rovnic metodou nejmenších čtverců 283
6.4. Vlastní čísla matice 286
6.5. Normy matic 289
6.6. Iterační metody řešení systému lineárních rovnic 292
6.7. Základní poznatky z kapitoly 6 a úlohy k procvičení 294