Množina, konstanta, proměnná Výrokový počet Zavádění pojmů v matematice, matematické věty Množinové operace Čísla Připomenutí základních znalostí z matematiky 1 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Cíl kapitoly Zopakovat si pojem množiny, konstanty a proměnné. Zopakovat si základy výrokového počtu s cílem seznámit se s pojmy axiom, definice a věta. Zopakovat si množinové operace , , -, komplement. Zopakovat si pojem kartézského součinu množin. Zopakovat si rozdělení čísel a pravidel pro počítání s nimi. Zopakovat si pojem absolutní hodnoty reálného i komplexního čísla. Zopakovat si pravidla pro práci s nerovnicemi reálných čísel. Seznámit se s problematikou aproximace čísel, s relativní a s absolutní chybou. Uvědomit si vliv zaokrouhlování čísel při výpočtech na počítači. Zopakovat pojem maxima a minima číselné množiny a zavedení pojmu suprema a infima číselné množiny. Časová zátěž Silně závisí na znalostech s nimiž přicházíte na školu. Při průměrných znalostech do 10 hodin. Úvod. Tato kapitola je věnována opakování některých témat středoškolského studia. Kapitola je rozdělena do 6 podkapitol. Výrokový počet se opakuje s cílem abyste dovedli rozeznat definici od matematické věty. V každé matematické větě musíte umět rozlišit mezi předpoklady věty a tvrzením. Čas potřebný k prostudování této kapitoly závisí na znalostech, s kterými přicházíte na vysokou školu. Kdo má větší mezery, ať si příslušná témata zopakuje ze svých středoškolských učebnic. 1.1 Množina, konstanta, proměnná V matematice se pracuje s různými objekty. Těmto objektům se vedle názvu přiřazuje také symbol. Zavedení pojmu množina Množina. Jedním ze základních objektů, s nimiž se v matematice pracuje, je množina. Množinou rozumíme soubor nějakých přesně vymezených objektů, kterým říkáme prvky, nebo elementy množiny. Při tom o každém objektu se musí dát rozhodnout, zda patří nebo nepatří do tohoto souboru. Mezi množiny počítáme i soubor, který neobsahuje žádný prvek ­ této množině budeme říkat prázdná množina a budeme ji značit . Jako příklad množiny je možno uvést množinu přirozených čísel. Do této množiny patří např. číslo 2. Nepatří do ní např. komplexní číslo i. Všimněme si, že zde pojem množina nebyl plně vymezen. K jeho vysvětlení jsme použili příbuzný pojem soubor. O zavádění pojmů v matematice pojednáme podrobněji později. 14 Označíme-li uvažovanou množinu např. A, potom okolnost, že objekt x patří do množiny A, budeme značit x A a okolnost, že objekt y nepatří do množiny A, budeme značit y A. Množiny můžeme zadávat různým způsobem. Je-li konečná, to jest má-li konečný počet prvků, lze ji zadat výčtem. Tak například, jestliže množina A obsahuje prvky a, b, c a žádné jiné, bývá zvykem ji zapisovat takto A = {a, b, c}. Žádné dva prvky množiny se sobě nerovnají. Příklad 1.1. Nechť M je množina písmen obsažených ve slově PRAHA. Zřejmě M = {P, R, A, H}. Potom např. R M, u M. Zavedení pojmu podmnožina Podmnožina. Nechť M, N jsou dané množiny. Jestliže každý prvek množiny M je i prvkem množiny N, potom říkáme, že množina M je podmnožinou množiny N, nebo že množina N je nadmnožinou množiny M. Píšeme pak M N, resp. N M. Jestliže zároveň platí M N a M N, potom říkáme, že množiny M, N se sobě rovnají a píšeme M = N. Jestliže M N a jestliže množina N obsahuje prvky, které do množiny M nepatří, říkáme, že množina M je vlastní podmnožinou množiny N a píšeme M N, resp. N je vlastní nadmnožinou M a píšeme N M. Je-li tedy M N, je též M N, avšak je-li M N nemusí být M N. Příklad 1.2. Nechť M = {1, 4, 3, 9}. Potom {1, 3} M, avšak {3, 7} není podmnožinou množiny M, neboť prvek 7 není prvkem M. Všimněmě si dvou významově i formálně odlišných zápisů. Uveďme příklad. Nechť M = {1, 4, 3, 9}. Potom zápis 8 M znamená, že 8 je prvkem množiny M, a zápis {8} M znamená, že množina, obsahující jediný prvek 8, je vlastní podmnožinou množiny M. Zavedení pojmu konstanta, proměnná Konstanta, proměnná. Řekli jsme si, že objekty označujeme symboly. To jednak zjednodušuje vyjadřování, jednak umožňuje stručný zápis některých výpovědí o objektech množiny. Jestliže symbol označuje jeden konkrétní prvek množiny, nazýváme jej konstantou. Příkladem je např. symbol , kterým označujeme konkrétní reálné číslo ­ Ludolfovo číslo. Označuje-li symbol kterýkoliv prvek z dané množiny, nazýváme jej proměnnou. Množinu konstant, kterých může tato proměnná nabývat, nazýváme oborem proměnné. Jestliže tedy označíme symbolem x proměnnou s oborem M, potom vše, co se řekne o x, vztahuje se na každý prvek množiny, která je jejím oborem. Uveďme si tento příklad. Označme M množinu všech kladných reálných čísel menších než 8. Mohu vyslovit tvrzení: " Jestli x M, potom x2 < 64". 15 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Kontrolní otázky 1. Co je to množina? 2. Napište množinu A, jejíž prvky jsou písmena obsažená ve slově " matematika". a) Pro každé z písmen " a, b, c, i, j" zapište, zda patří nebo nepatří do množiny A. b) Napište podmnožinu B množiny A, obsahující všechny samohlásky množiny A. c) Co znamenají zápisy B A, B A. [ a) A = { m, a, t, e, i, k }, a A, b A, c A, i A, j A; b) B = {a, e, i}; c) B je vlastní podmnožinou množiny A; B je podmnožinou množiny A.] 3. Vysvětlete rozdíl mezi konstantou a proměnnou. Uvedťe příklady. 4. Co je to obor proměnné? 1.2 Výrokový počet Zavedení pojmu výrok Výrokem rozumíme každou výpověď, o níž má smysl říci, že je pravdivá nebo nepravdivá. Při tom není rozhodující, zda dovedeme o pravdivosti rozhodnout nebo ne. Uveďme si několik příkladů. " Číslo 4 je sudé." [Pravdivý výrok.] " Číslo (Ludolfovo číslo) je iracionální." [Pravdivý výrok.] " Číslo 6 je liché." [Nepravdivý výrok.] " Každá přímka má s kruhovým čtvercem právě jeden společný bod." [Není výrok, kruhový čtverec není zavedený pojem.] Abstrahujeme-li od obsahu jednotlivých výroků, zavádíme místo jednotlivých výroků symboly, např. p, q, . . . . Jsou to výrokové proměnné, krátce výroky. Pravdivému výroku přiřazujeme číslo 1, nepravdivému výroku přiřazujeme číslo 0. Je-li tedy p výrok pravdivý a q výrok nepravdivý, píšeme p 1, q 0. Složené výroky. Z daných výroků můžeme vytvářet nové výroky negací a spojováním. K vytváření složených výroků se používají tzv. logické spojky. Logickým spojkám se přiřazují dále uvedené symboly. Zavedení pojmu negace výroku Negace výroku. Nechť p je výrok. Označme p výrok, který je pravdivý tehdy, jestliže výrok p je nepravdivý, a je nepravdivý tehdy, jestliže p je pravdivý. Pro zápis negace výroku užíváme symbol . Výrok p čteme " není pravda, že (platí) p", nebo analogicky. Příklad 1.3. Výrok p . . . " Číslo 3 je sudé." [Nepravdivý výrok] Výrok p . . . " Číslo 3 není sudé." [Pravdivý výrok] Tedy p 0, p 1. Zavedení pojmu konjukce výroků Konjukce výroků. Nechť p, q jsou výroky. Označme p q složený výrok, který je pravdivý tehdy, jsou-li oba výroky pravdivé, a nepravdivý, je-li alespoň jeden z nich nepravdivý. Složený výrok p q čteme " p a q". Závislost pravdivosti výroku pq na pravdivosti výroků p, q je uvedena v tabulce 1.1. 16 Jako příklad uveďme Výrok p . . . " Číslo 4 je sudé." [Pravdivý výrok] Výrok q . . . " Číslo 4 je menší než 10." [Pravdivý výrok] Výrok p q . . . " Číslo 4 je sudé a je menší než 10." [Pravdivý výrok] Zavedení pojmu disjunkce výroků Disjunkce výroků. Nechť p, q jsou výroky. Označme p q složený výrok, který je pravdivý, je-li alespoň jeden z výroků p, q pravdivý, a je nepravdivý, jsou-li oba výroky p, q nepravdivé. Výrok p q čteme " p nebo q". Slovo " nebo", které zde používáme, nemá vylučovací význam; místo něho bychom mohli říci " nebo též". Pro disjunkci výroků používáme spojku . Závislost pravdivosti výroku p q na pravdivosti výroků p, q je dána v tabulce 1.1. Příklad 1.4. Jako příklad uveďme Výrok p . . . " Grafem funkce y = x+2 je přímka." [Pravdivý výrok] Výrok q . . . " Grafem funkce y = x + 2 je parabola." [Nepravdivý výrok] Výrok p q . . . " Grafem funkce y = x + 2 je přímka nebo jejím grafem je parabola." [Pravdivý výrok] Zavedení pojmu implikace Implikace. Nechť p, q jsou výroky. Složený výrok p q je výrok, který je nepravdivý tehdy, jestliže je výrok p pravdivý a výrok q je nepravdivý, jinak je pravdivý. Výrok p q čteme " z p vyplývá q", nebo " p implikuje q", nebo " jestliže p, potom q" a podobně. Pro implikace používáme symbol . Pravdivost výroku p q v závislosti na pravdivosti výroků p, q je uvedena v tabulce 1.1. Příklad 1.5. Výrok p . . . " Přímka y = 0 je tečnou ke kružnici x2 + (y - 1)2 = 1" [Pravdivý výrok] Výrok q . . . " Přímka y = 0 má s kružnicí x2 +(y-1)2 = 1 společný právě jeden bod." [Pravdivý výrok] Výrok . . . " Jestliže přímka y = 0 je tečnou ke kružnici x2 + (y - 1)2 = 1, potom má s ní společný právě jeden bod." [Pravdivý výrok] Zavedení pojmu ekvivalence Ekvivalence. Nechť p, q jsou výroky. Potom složený výrok p q je pravdivým výrokem právě tehdy, jsou-li současně oba výroky p q, q p pravdivé. Složený výrok p q čteme " p platí, když a jenom když platí q", nebo čteme " p (platí) tehdy a jenom tehdy, když (platí) q", nebo " p je ekvivalentní s q" a podobně. Pro ekvivalenci užíváme symbol . Pravdivost výroku p q v závislosti na pravdivosti výroků p, q je uvedena v tabulce 1.1. Příklad 1.6. Výrok p . . . " Přímka y = 0 je tečnou ke kružnici x2 +(y -1)2 = 1." [Pravdivý výrok] Výrok q . . . " Přímka y = 0 má s kružnicí x2 +(y-1)2 = 1 společný právě jeden bod." [Pravdivý výrok] Výrok p q . . . " Přímka y = 0 má s kružnicí x2 + (y - 1)2 = 1 společný právě jeden bod, když a jenom když přímka y = 0 je tečnou kružnice x2 + (y - 1)2 = 1." [Pravdivý výrok] 17 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Tabulka 1.1: Základní výroky Výroky, vytvořené z konečného počtu výrokových proměnných, logických spojek a případně závorek, se nazývají výrokové formule. Příkladem je (1.1), resp. (1.2). Rozhodněme o jejich pravdivosti. Příklad 1.7. Nechť p, q jsou dva výroky. Dokažme, že platí (p q) p q. (1.1) Abychom dokázali toto tvrzení, utvořme následující tabulku 1.2. p q p q (p q) q p q 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 Tabulka 1.2: Důkaz vztahu (1.1) Z tabulky je patrno, že výroky (p q), p q jsou současně pravdivé nebo nepravdivé pro všechny možné kombinace pravdivosti výroků p, q. Platí tedy (p q) p q. Příklad 1.8. Nechť p, q jsou výroky. Potom platí (p q) (q p). (1.2) Abychom tuto ekvivalenci dokázali, utvořme následující tabulku 1.3. p q p q p q q p 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 Tabulka 1.3: Důkaz vztahu (1.2) Z této tabulky je patrno, že výroky p q a q p jsou současně pravdivé, resp. nepravdivé pro všechny možné kombinace pravdivosti a nepravdivosti výroků p, q. Je tedy výrok (1.2) pravdivým výrokem. 18 Zavední pojmu výroková forma Výrokové formy. Sdělení, které obsahuje jednu nebo více proměnných, se nazývá výrokovou formou, jestliže z ní dostaneme výrok ­ dosazením přípustných konstant z oboru proměnných za tyto proměnné ­ kvantifikací, to jest doplněním o údaj o počtu, resp. o odhad počtu konstant, jejichž dosazením za proměnné vznikne výrok. Z výrokových forem vytvářet složené výrokové formy. Příklad 1.9. Sdělení " reálné číslo x > 2" není výrokem. Nelze rozhodnout, zda je pravdou nebo není pravdou že x > 2. Řekneme-li, že x je proměnná s oborem hodnot reálných čísel R, a dosadíme-li za x konstantu, to jest jakékoliv reálné číslo, dostáváme výrok. Např. pro číslo 3 dostáváme 3 > 2, což je pravdivý výrok. Zde se sdělení stává výrokem dosazením libovolné konstanty (tj. reálného čísla) za proměnnou x z jejího oboru. Je tedy " reálné číslo x > 2" výrokovou formou. Výrokovou formu závislou na proměnné x lze zapsat obecně např. jako V (x). Podobně pro více proměnných. Zavedení pojmu kvantifikátor Kvantifikátory. Nechť výroková forma V (x) závisí na proměnné x a nechť množina M je jejím oborem. Okolnost, že výroková forma V (x) je pravdivá pro všechna x M, zapíšeme takto x M : V (x) (1.3) a čteme pro všechna x M platí V(x). Výrokovou formu jsme v (1.3) doplnili údajem o počtu konstant (pro všechny konstanty z oboru proměnné x), pro něž je V (x) pravdivým výrokem. Je tedy (1.3) výrokem. Označení. Symbol " " nazýváme obecným kvantifikátorem. Příklad 1.10. Nechť M = {2, 3, 4, 8}, x je proměnná s oborem M. Označme V (x) výrokovou formu " x 2". Potom x M : x 2 je pravdivý výrok. Podobně x M : x < 4 je nepravdivý výrok, neboť pro x = 8 je výrok x < 4 nepravdivý. Kvantifikací jsme dostali v obou případech z V (x) výrok. Označení. Nechť výroková forma V (x) závisí na proměnné x a nechť množina M je jejím oborem. Okolnost, že výroková forma V (x) je pravdivá alespoň pro jednu konstantu x M, zapíšeme takto x M : V (x) (1.4) a čteme " existuje x M, pro něž platí V (x)". 19 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Označení. Symbol " " se nazývá existenčním kvantifikátorem. Negace výroků (1.3), (1.4). Negací výroků (1.3), (1.4) dostáváme tyto ekvivalentní výroky: ( x M : V (x)) x M : V (x), (1.5) ( x M : V (x)) x M : V (x). (1.6) Příklad 1.11. Nechť R je množina reálných čísel. Potom x R : x2 = -1 (1.7) je výrok. Čteme jej: " Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro které platí x2 = -1". Tento výrok je nepravdivý. Negací tohoto výroku podle vztahu (1.6) dostáváme x R : (x2 = -1), (1.8) to jest x R : x2 = -1. (1.9) Zřejmě (1.9) je pravdivý výrok. Kontrolní otázky 1. Co je to výrok a co je to výroková forma? 2. Přímka 2x + 3y = 1 rozděluje rovinu (x, y) na dvě poloroviny. Vyznačte, který z následujících výroků je pravdivý a který je nepravdivý. a) Body [1, 3], [5, -2] leží v téže polorovině. b) Body [0, 2], [3, -5] leží v téže polorovině. [a) pravdivý, b) nepravdivý] 3. Označme p, q tyto výroky výrok p . . . " číslo je reálné" výrok q . . . " číslo 2 je přirozené číslo". Vyslovte výroky : a) p, b) q, c) pq, d) pq a uvedťe jejich pravdivost. [a) " Číslo není reálné" ( 0), b) " Číslo 2 není přirozené" ( 0), c) " Číslo je reálné nebo číslo 2 je přirozené" ( 1), d) " Číslo je reálné a číslo 2 je přirozené" ( 1)] 4. Nechť n je proměnná s oborem přirozených čísel. Je výpověď " n2 > 4" výrokem? [Není, jde o výrokovou formu.] 5. Označme N množinu všech přirozených čísel. Vyslovte následující výroky a uvedťe jejich pravdivost. a) n N : n2 > 1 b) n N : n2 > 1 [Výrok a) je nepravdivý ­ pro n = 1 neplatí n2 > 1. Výrok b) je pravdivý pro n = 2 platí n2 > 1.] 6. Nechť p, q jsou výroky. Dokažte, že platí a) ( p) p 20 b) (p q) p q c) (p q) p q d) (p q) (p q) ( p q). (Návod: vytvořte tabulku pravdivosti pro výroky na obou stranách.) 7. Nechť x je proměnná s oborem všech reálných čísel R a V (x) je výroková forma " x2 = -1". Negujte výrok x R : x2 = -1. [ x R : x2 = -1.] 1.3 Zavádění pojmů v matematice, matematické věty Nejdříve si připomeňme, že množinu M nazýváme lineárně uspořádanou, jestliže je na ní zavedena relace " " (čti menší nebo rovno) s těmito vlast- nostmi jestliže x, y M, potom je buď x y nebo y x, jestliže x M, potom x x, jestliže x y, y z, potom x z, jestliže x y a y x, potom x = y. Při budování jednotlivých matematických disciplin se vychází z postulátů (axiomů). Jsou to výchozí matematické výroky, které obsahují základní pojmy, které se již dále nedefinují a považují se danou soustavou axiomů za zavedené. Každé tvrzení v dané disciplině je dáno soustavou axiomů. Tvrzení se odvozují logickými úvahami právě z těchto axiomů. Axiomy musí mít tyto vlastnosti: Musí být bezesporné. To znamená, že z nich nelze odvodit žádná tvrzení, která by nemohla současně platit. Musí být na sobě navzájem nezávislé, to znamená, že žádný axiom nelze odvodit z ostatních. Každé tvrzení v uvažované disciplině se musí dát odvodit z dané soustavy axiomů. Pouze pro informaci si uveďme soustavu axiomů pro zavedení přirozených čísel. axiomy pro zavedení přirozených čísel ­ rozšiřující informace Buď N0 množina, která má tyto vlastnosti: (i) Existuje prvek 0 tak, že 0 N0. (ii) Ke každému prvku a N0 existuje prvek a+ N0, zvaný následník prvku a. (iii) Pro každé a je a+ = 0. (iv) Je-li a+ = b+ je a = b. (v) Je-li M N0 a M je taková množina, že 0 M a že z podmínky a M plyne a+ M, pak M = N0. Potom N0 nazýváme množinou přirozených čísel. Pomocí operace následovníka definujeme číslo 1 rovnicí 1 = 0+ . Sečítání a násobení přirozených čísel si zavedeme následovně. Pro každé a N0 je a + 0 = a. Je-li definováno a + b pro a N0, b N0, potom a + b+ definujeme rovnicí a + b+ = (a + b)+ . Pro každé a N0 je a0 = 0. Je-li definováno ab pro a N0, b N0, pak ab+ definujeme rovnicí a b+ = a b + a. 21 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Doplníme ještě definici umocňování. Buď a N0, a = 0. Definujme a0 = 1. Je-li definováno ab pro b N0, pak ab+ definujeme rovnicí ab+ = ab a. Lze ukázat, že těmito podmínkami jsou operace sčítání, násobení i umocňování definovány, a to jednoznačně. Pro a N0, b N0 klademe a b, když existuje c N0 tak, že a + c = b. Všechny operace i relace mají známé vlastnosti. Tímto způsobem zavedená množina přirozených čísel je množina čísel 0, 1, 2, 3, . . . . V tomto učebním textu ji budeme značit N0. Někdy se pod množinou přirozených čísel rozumí jen množina čísel 1, 2, . . . . V tomto učebním textu ji budeme značit N. Se zaváděním pojmů pomocí axiomů se v tomto materiálu nesetkáme. To by přesahovalo studijní cíle. Jste zvyklí pracovat s řadou základních pojmů jako s reálnými čísly, s bodem v prostoru, s přímkami atd., aniž byste měli tyto pojmy přesně zavedeny. My budeme rovněž používat nadále tyto základní pojmy, aniž bychom je přesně zaváděli. Přesné axiomatické zavádění pojmů by přesáhlo sledované cíle a časové možnosti ke studiu. Upouštíme proto od axiomatické výstavby. V tomto učebním textu, bude-li to účelné, si některé z těchto pojmů pouze osvětlíme, a to do té míry, abychom mohli s nimi pracovat. Každému pojmu, máme-li s ním pracovat, musíme dobře porozumět. Jiné pojmy si budeme zavádět definicemi. Zavedení pojmu definice Pojem " definice". Definicí se uvádí jednak název zaváděného pojmu, jednak se zaváděný pojem blíže specifikuje pomocí již zavedených pojmů. Příklad 1.12. Jako ukázku definice si zaveďme pojem rovnostranný troj- úhelník. Definice. Řekneme, že trojúhelník je rovnostranný, jestliže všechny jeho strany jsou stejně velké. Zde je zaveden nový pojem ­ rovnostranný trojúhelník, a to pomocí dvou pojmů: trojúhelník a velikost stran. Aby toto byla definice, musí být oba tyto pojmy již dříve zavedeny. Zavedení pojmu matematická věta Pojem matematická věta. Stručně budeme říkat pouze věta. Matematická věta je pravdivý výrok, který se dá odvodit pomocí logiky užitím axiomů, definic a již dokázaných vět. Příklad 1.13. Každý vnitřní úhel rovnostranného trojúhelníka je roven 60 . Jde skutečně o větu. Je to pravdivý výrok, který lze dokázat1 . Pojmy, které se zde vyskytují musely být již dříve zavedeny. Bylo by možno definovat rovnosranný trojúhelník takto: " Trojúhelník, jehož všechny vnitřní úhly jsou rovny 60 , se nazývá rovnostranným." Potom bychom mohli vyslovit větu : " Všechny strany rovnostranného trojúhelníka jsou stejně velké." 1 Je zde tichá domluva, že pracujeme v tak zvané euklidovské geometrii. 22 Tedy definicí se zavádí nový pojem, kdežto matematická věta vypovídá o vzájemných vztazích mezi již zavedenými pojmy. Ukázky typů vět Ukažme si několik často se vyskytujících tvarů matematických vět. Začneme s větou ve tvaru, kterou označme jako věta A. Věta A Nechť V (x) je výroková forma proměnné x s oborem D. Potom platí x D : V (x), (1.10) Slovy: " Pro všechna x D platí V (x)". Příklad 1.14. Jako příklad ueďme větu Věta. Pro každé přirozené číslo n 1 platí 1 1 2 + 1 2 3 + . . . 1 n (n + 1) = 1 - 1 n + 1 . (1.11) Zapišme tuto větu ve tvaru (1.10), tedy jako větu A. Věta. (Přepis na tvar Věta A). Nechť V (n) 1 1 2 + 1 2 3 + . . . 1 n (n + 1) = 1 - 1 n + 1 (1.12) je výroková forma proměnné n s oborem N. Potom platí n N : V (n). Abychom mohli tento výrok prohlásit za větu, je nutno ještě dokázat, že je pravdivým výrokem. K důkazu pravdivosti použijeme metodu, zvanou matematická indukce. Dříve než přikročíme k vlastnímu důkazu, popišme tuto metodu obecně. Matematická indukce Matematická indukce. Matematická indukce se používá na důkaz pravdivosti výroku tvaru n N : V (n), (1.13) kde V (n) je výroková forma a n je proměnná s oborem N přirozených čísel. Důkaz (1.13) lze rozdělit do tří kroků. 1. Dokážeme, že výrok V (1) je pravdivý. 23 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky 2. Předpokládáme, že výrok V (n) je pravdivý pro nějaké k, tedy že výrok V (k) je pravdivý. 3. Dokážeme, že potom výrok V (n) je pravdivý pro n = k + 1, tedy že V (k + 1) je pravdivý. Potom V (n) platí pro všechna n N. Skutečně. V (1) je pravdivý. Podle bodu 3 platí tedy i pro n = 2. Poněvadž platí V (2), platí V (n) podle bodu 3 i pro n = 3 , atd. Proveďme nyní důkaz tvrzení (1.11) užitím matematické indukce. 1. Dokažme, že výrok V (1) je pravdivý. To je zřejmé, neboť V (1) znamená 1 1 2 = 1 - 1 2 . 2. Předpokládejme , že V (n) platí pro nějaké n = k, to jest, že pro nějaké k platí 1 1 2 + 1 2 3 + . . . 1 k (k + 1) = 1 - 1 k + 1 . (1.14) 3. Dokažme, že z pravdivosti (1.14) vyplývá pravdivost V (k + 1). To jest, že platí 1 1 2 + 1 2 3 + . . . + 1 k (k + 1) + 1 (k + 1) (k + 2) = 1 - 1 k + 2 . (1.15) Dokažme to. Levou stranu (1.15) lze užitím (1.14) přepsat takto 1 - 1 k + 1 + 1 (k + 1) (k + 2) , což po úpravě dává pravou stranu (1.15), to jest 1 - 1 k + 2 . Platí tedy V (k + 1). Odtud vyplývá platnost (1.11) pro všechna n. Zabývejme se nyní větami A (1.10) v nichž výroková forma V (x) má speciální tvar A(x) B(x), (1.16) kde A(x), B(x) jsou výrokové formy proměnné x s oborem D. Budeme tedy uvažovat o větách, jejichž obecný tvar označíme jako Věta B. Věta B Nechť A(x), B(x) jsou výrokové formy proměnné x s oborem D. Potom platí x D : A(x) B(x). (1.17) 24 V této větě se A(x) nazývá předpokladem věty a B(x) se nazývá tvrzením věty. Věta vypovídá o tom, že platí-li A(x) pro všechna x D, potom platí i B(x) pro všechna x D. A(x) B(x) čteme např. jedním z těchto způsobů : " Jestliže A(x), potom B(x)." " Když A(x), potom B(x)." " Z A(x) vyplývá B(x)." " A(x) implikuje B(x)." " Nechť platí A(x), potom platí B(x) ". Z (1.2) vyplývá, že ekvivalentem (1.17) je věta, kterou označíme jako Věta C a nazveme obměnou věty B. Věta C (Obměna Věty B) Nechť A(x), B(x) jsou výrokové formy proměnné x s oborem D. Potom platí x D : B(x) A(x). (1.18) Struktura Věty C je stejná jako struktura Věty B, avšak tyto věty mají odlišné výrokové formy. K důkazu Věty B (1.17) a její obměny Věty C (1.18) popišme dvě metody metodu přímou a metodu nepřímou. Přímá metoda důkazu a) Přímá metoda důkazu Věty B (1.17). Vychází se z předpokladu pravdivosti výroku A(x) pro každé x D a použitím již dříve dokázaných vět, axiomů a zavedených pojmů se logickými úvahami dospěje k závěru, že B(x) je pro tato x rovněž pravdivé. b) Přímá metoda důkazu Věty C (1.18). Tuto větu tedy dokazujeme tak, že předpokládáme pravdivost výroku B(x) pro x D a použitím již dříve dokázaných vět, axiomů a zavedených pojmů dospějeme logickými úvahami k závěru, že i A(x) platí pro x D. Nepřímá metoda důkazu ) Nepřímá metoda důkazu (důkaz sporem) Věty B (1.17) vychází z předpokladu, že věta neplatí a užitím dříve dokázaných vět, axiomů a s použitím již zavedených pojmů dospějeme k rozporu. Tento rozpor však vznikl z nesprávného předpokladu, že věta neplatí. Věta tedy platí. Vyjádřeme předpoklad, že věta tvaru B neplatí. Negací (1.17) dostáváme x D : (A(x) B(x)). (1.19) Odtud dostáváme (viz (1.1)) x D : A(x) B(x). (1.20) 25 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Větu B tedy dokazujeme tak, že předpokládáme, že existuje x D pro něž současně platí A(x) a B(x). Jestliže užitím tohoto předpokladu, axiomů a již dokázaných vět dojdeme logickými úvahami ke sporu, znamená to, že předpoklad o nesprávnosti Věty A byl chybný, takže tato věta je správná. ) Nepřímá metoda důkazu (důkaz sporem) Věty C (1.18) vychází z předpokladu, že věta neplatí a užitím dříve dokázaných vět, axiomů a s použitím již zavedených pojmů dospějeme k rozporu. Tento rozpor však vznikl z nesprávného předpokladu, že věta neplatí. Věta tedy platí. Vyjádřeme předpoklad, že Věta C neplatí. Negací (1.18) dostáváme x D : (B(x) A(x)). (1.21) Odtud dostáváme x D : B(x) A(x). (1.22) Nepřímý důkaz Věty C provedeme tedy tak, že předpokládáme, že existuje takové x D, pro něž současně platí B(x) a A(x). Jestliže užitím tohoto předpokladu, axiomů a již dokázaných vět dojdeme logickými úvahami ke sporu, znamená to, že předpoklad o nesprávnosti Věty B byl chybný, takže Věta B je správná. Příklad 1.15. Uveďme si důkazy následující věty. Věta 1.1. Jestliže kvadrát přirozeného čísla n je sudé číslo, je i číslo n sudé. Jde o větu, kterou jsme označili jako Věta B, v níž D, A(x), B(x) mají následující význam : D . . . N A(n) . . . " n2 je sudé číslo." B(n) . . . " n je sudé číslo." Tuto větu lze tedy při zavedeném označení zapsat jako Věta. (Přepis (1.1) do tvaru věty B) n N : A(n) B(n). (1.23) Slovy vyjádřeno: " Pro každé přirozené číslo n platí: Jestliže n2 je sudé číslo, potom i n je sudé číslo." 26 Obměnou této věty při nahoře uvedeném významu D, A(x), B(x) je věta Obměna věty (1.1) n N : B(n) A(n). (1.24) Slovy vyjádřeno : " Pro každé přirození číslo n platí: Jestliže n není sudé číslo, potom ani n2 není sudé číslo." Abychom ukázali, že se jedná skutečně o větu, je nutno dokázat, že (1.23), resp. (1.24) je pravdivý výrok. Dokažme to. Důkaz provedeme metodou přímou i metodou nepřímou. Důkaz ­ metoda přímá. Použijeme důkaz přímý na obměnu věty (1.24), to jest na větu: " Jestliže n není sudé číslo, potom ani n2 není sudé číslo." Předpokládejme tedy, že n není sudé číslo, jinými slovy řečeno, že n je liché. Dokažme, že je-li n liché, je i n2 liché. Liché číslo n se dá napsat ve tvaru n = 2k - 1, kde k N. Potom n2 = (2k - 1)2 . Úpravou dostáváme n2 = 4k2 - 4k + 1, což je číslo liché, tedy není sudé. Tedy věta platí. Proveďme nyní důkaz uvedené věty nepřímou metodou (metodou sporu). Důkaz ­ metoda nepřímá. Negací dokazované věty (1.23) dostáváme n N : A(n) B(n). (1.25) Tuto negaci lze slovně vyjádřit takto. Existuje takové přirozené číslo n, že n2 je sudé a zároveň n je liché. Věta bude dokázána, dokážeme-li, že výrok (1.25) je nepravdivý. Skutečně, předpokládejme, že takové číslo n existuje. Toto liché číslo n můžeme vyjádřit ve tvaru n = 2k-1, kde k je přirozené číslo. Jeho kvadrát je n2 = 4k2 -4k+1, takže n2 je liché číslo. To je spor s předpokladem, že n je liché a n2 je sudé. Dospěli jsme tedy ke sporu. Ten vznikl nesprávným předpokladem (1.25), že dokazovaná věta neplatí. Tedy věta platí. Zabývejme se nyní Větami A (1.10), v nichž výroková forma V (x) má speciální tvar A(x) B(x), (1.26) kde A(x), B(x) jsou výrokové formy proměnné x s oborem D. Budeme tedy uvažovat o větách, které označíme jako věty tvaru D. Jde tedy o větu 27 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Věta D Nechť A(x), B(x) jsou výrokové formy proměnné x s oborem D. Potom platí x D : A(x) B(x). (1.27) A(x) B(x) můžeme číst např. jedním z těchto způsobů: Pro všechna x D : A(x) platí, když a jenom když platí B(x). Pro všechna x D : A(x) platí tehdy a jenom tehdy, když platí B(x). Pro všechna x D : A(x) platí právě tehdy, když platí B(x). Věta tohoto typu je vlastně složení dvou vět a to: a) věty x D : A(x) B(x). V této větě je A(x) předpokladem a B(x) je tvrzením. b) a věty x D : B(x) A(x). V této větě je B(x) předpokladem a A(x) je tvrzením. O větách tohoto tvaru jsme již pojednali. Jako příklad uveďme následující známou větu. Věta. Kvadratická rovnice má dvojnásobný kořen právě tehdy, jestliže její diskriminant je roven 0. Tuto větu zapišme ve výše zavedené symbolice. Budeme uvažovat kvadratickou rovnici ve tvaru ax2 + bx + c = 0, kde a, b, c jsou čísla, a = 0. Připomeňme, že diskriminantem této rovnice je číslo = b2 - 4ac. Označme D . . . množina uspořádanách trojic čísel (a, b, c), a = 0 A(a, b, c) . . . výroková forma " rovnice ax2 + bx + c = 0 má dvojnásobný kořen" B(a, b, c) . . . výroková forma " b2 - 4ac = 0" Potom uvedenou větu lze zapsat takto Veta. (a, b, c) D : A(a, b, c) B(a, b, c). Jako další typ vět si uveďme věty, které označíme jako Věty E následujícího tvaru Věta E x D : A(x), (1.28) kde A(x) je výroková forma s proměnnou x s oborem D. 28 Tuto větu můžeme číst takto: " existuje x D, pro něž platí A(x)." Příklad 1.16. Věta. Existuje prvočíslo větší než 15. Napišme tuto větu ve tvaru (1.28). Platí Věta. Nechť D je množinu všech přirozených čísel > 15 a V (n) je výrokovou formu " n je prvočíslo". Potom platí n D : V (n). Tato věta je pravdivá. Hledaným číslem je např. n = 17. Jiným příkladem je věta Příklad 1.17. Věta. Nechť n N, an, an-1, . . . , a0 jsou komplexní čísla, an = 0. Potom rovnice anxn + an-1xn-1 + . . . , a1x + a0 = 0 má v oboru komplexních čísel C alespoň jeden kořen. Přepišme tuto rovnici do tvaru (1.28). Dostáváme Věta. Nechť n N, an, an-1, . . . , a0 jsou komplexní čísla, an = 0. Potom x C : anxn + an-1xn-1 + . . . , a1x + a0 = 0. Věty tvaru E se nazývají v literatuře jako věty existenční. Jejich důkaz bývá většinou obtížný. Věta (1.28) nevypovídá nic o tom, jak se nalezne toto x . Pouze říká, že existuje takové x, pro něž je A(x) pravdivým výrokem. Kontrolní otázky 1. Vysvětlete pojmy : axiom, definice, matematická věta. 2. Uvedťe typy vět, které znáte, a vysvětlete je na příkladě. 3. Definujte sudé a liché přirozené číslo. [Přirozené číslo n nazveme sudým (lichým), jestliže existuje takové přirozené číslo k, že n = 2k (n = 2k - 1)]. 4. Vyslovte formou věty vztah mezi dvěma výpověďmi: a) " Trojúhelník (ABC) je pravoúhlý." 29 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky b) " Je-li v trojúhelníku (ABC) délka strany AB největší, potom |AB|2 = |AC|2 + |BC|2 ." 1.4 Množinové operace V části 1.1 jsme si zavedli pojem množina. Ukázali jsme si zápis množiny s konečným počtem prvků ­ definovali jsme množinu výčtem. Nyní si ukažme definování podmnožiny K množiny M pomocí výrokové formy. Způsob zavedení množiny Nechť V (x) je výroková forma proměnné x s oborem M. Potom zápisem K = {x M : V (x)} (1.29) definujeme množinu K jako množinu všech těch prvků x M, pro něž je výrok V (x) pravdivý. Příklad 1.18. Nechť M je je množina přirozených čísel větších než 2 a menších než 40. Označme V (x) výrokovou formu: " x je dělitelné 5", kde x je proměnná s oborem hodnot M. Potom K = {x M : V (x)} je množina všech přirozených čísel z intervalu 3, 39 , která jsou dělitelná 5, to jest K = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35}. Pracuje-li se jen s prvky množiny a s jejími podmnožinami, nazveme základním prostorem. K usnadnění výkladu bývá zvykem používat grafického znázornění množin. Základní prostor budeme označovat obdélníkem. Podmnožiny množiny budeme znázorňovat rovinnými obrazci, např. kruhy, ovály, obdélníky ležícími v obdélníku , znázorňujícího základní prostor. Rovinným obrazcem můžeme znázornit i množinu, která obsahuje jenom konečný počet prvků. Každý bod obrazce nemusí být prvkem množiny, kterou rovinný obrazec reprezentuje. Elementy množiny můžeme v případě potřeby znázornit nějakým symbolem, např. symbolem " +". Do obrazce, znázorňujícího nějakou množinu můžeme zapsat i nějaké údaje, např. číslo, udávající počet prvků množiny. Pro zjednodušení můžeme vynechat základní prostor, pokud není nebezpečí omylu. Příklad 1.19. Uvažujme základní prostor a jeho podmnožinu M = {a, b, c, d}. Na obr.1.1 je znázorněn základní prostor a množina M bez údajů. M Obrázek 1.1: Znázornění množiny M 30 M 4 Obrázek 1.2: Znázornění množiny M s počtem jejích prvků Na obr.1.2 je znázorněn základní prostor a množina M s údajem, že tato množina obsahuje 4 prvky. Na obr.1.3 je znázorněn základní prostor a množina M s vyznačením jejích čtyř prvků a, b, c, d. M + a + b + c+ d Obrázek 1.3: Znázornění množiny M a jejích prvků Zavedení pojmu komplement množiny Komplement množiny. Nechť je základní prostor a A . Potom množinu A = {x : x A} nazýváme komplementem množiny A. Je to množina těch prvků základního prostoru, které nepatří do množiny A. Na obrázku obr.1.4 je vyznačena jak množina A, tak i množina A . Množina A je šedá. A A Obrázek 1.4: Znázornění komplementu množiny A Příklad 1.20. Nechť základním prostorem je množina přirozených čísel a nechť A je její podmnožina ­ množina sudých čísel. Potom komplementem množiny A je množina A lichých čísel. Zavedení pojmu rodíl množin Rozdíl dvou množin Nechť A, B jsou dané množiny. Potom množina C = {x A : x B} se nazývá rozdílem množin A, B a píšeme A-B. Slovně vyjádřeno : Množina A - B je množina těch prvků z množiny A, které nepatří do množiny B. Na obr.1.5 je znázorněn rozdíl A - B. Tato množina je šedá. 31 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky B A A - B Obrázek 1.5: Znázornění množiny A - B Zavedení pojmu sjednocení množin Sjednocení dvou množin Nechť A, B jsou dvě množiny. Potom množinu C těch prvků, které patří do množiny A nebo do množiny B, nazýváme sjednocením množin A, B. Je tedy C = {x : x A x B}. Píšeme pak C = A B. Na obr.1.6 je množina A B šedá. A A BB Obrázek 1.6: Znázornění sjednocení A B Zavedení pojmu průnik dvou množin Průnik dvou množin Nechť A, B jsou dvě množiny. Potom množinu C těch prvků, které patří jak do množiny A, tak i do množiny B, nazýváme průnikem množin A, B. Je tedy C = {x : x A x B}. Píšeme pak C = A B. Na obr.1.7 je množina A B šedá. A A BB Obrázek 1.7: Znázornění průniku A B Příklad 1.21. Nechť A = {a, b, c, d}, B = {a, c, e, f, g}. Potom A B = {a, b, c, d, e, f, g}, A B = {a, c }. 32 Zavedení pojmu kartézský součin Kartézský součin dvou množin Nechť A, B jsou dvě množiny. Kartézským součinem A × B (v tomto pořadí) rozumíme množinu C vytvořenou všemi uspořádanými dvojicemi [x, y], kde x A y B. Tedy A × B = {[x, y] : x A y B}. (1.30) Označení. Nechť A je množina. Potom A2 = A × A je množina všech uspořádaných dvojic [x, y], kde x, y A. Kartézský součin dvou množin lze zobecnit na kartézský součin n množin A1, A2, . . . , An. Zapisujeme jej jako A1 × A2 × . . . × An (1.31) a definujeme jej jako množinu všech uspořádaných skupin n prvků [a1, a2, . . . , an], kde ai Ai, i = 1, 2, . . . , n. Označení. Nechť A je množina. Potom An = A × A × . . . × A n (1.32) označíme množinu všech uspořádaných skupin o n prvcích z množiny A. Kontrolní otázky 1. Nechť R je množina všech reálných čísel a A je interval 1, 2 . a) Vyjádřete množinu A = R - 1, 2 jako sjednocení dvou intervalů a graficky ji znázorněte na číselné ose. b) Nechť R je základní prostor, určete A . c) Nechť R je základní prostor, určete R . 2. Nechť A = {a, b, c}, B = {a, e}. Určete následující množiny a graficky je znázorněte. a) A B, b) A B, c) A - B. [a) {a, b, c, e}, b) {a}, c) {b, c}]. 3. Nechť R je množina všech reálných čísel a A je interval 1, 2 . V kartézské souřadnicové soustavě vyznačte množinu a) A × A, b) R2 - A × A. 1.5 Čísla Každý čtenář tohoto textu pracuje s čísly. Práce s čísly je mu samozřejmostí, avšak málokdo si uvědomuje, jak je pojem čísla obtížný. Přesné zavedení pojmu čísla se vymyká našim možnostem. Tuto kapitolu je proto možné chápat jen jako připomenutí vlastností čísel a jako pokus o vytvoření náhledu 33 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky na jeden způsob zavedení pojmu čísla. V této kapitole uvedeme též několik připomínek k numerickým výpočtům a zopakujeme si některé úkony s reálnými čísly. Zopakujeme si též zavedení komplexních čísel. Součástí výkladu je několik příkladů. Pokud někdo bude mít potíže s jejich řešením, doporučuji sbírky příkladů ze středoškolské matematiky. 1.5.1 Reálná čísla Reálná čísla je možno zavést axiomaticky. O axiomatickém zavedení pojmu reálného čísla se sice zmíníme, ale tento způsob zevedení nebudeme hlouběji rozebírat. V textu jsou axiomy uvedeny, ale budeme se na ně odvolávat jen jako na základní vlastnosti reálných čísel. Půjde zde tedy v podstatě jen o několik poznámek k reálným číslům a o zopakování několika pravidel pro počítání s nimi. Historicky začali lidé používat napřed přirozená čísla. Vyjadřuje se jimi počet prvků konečné množiny i pořadí odpočítávaných objektů. V matematické literatuře není pojem " množina přirozených čísel" chápán jednotně. Někteří autoři zařazují do množiny přirozených čísel i nulu. V dalším budeme pod množinou přirozených čísel rozumět jen množinu čísel 1, 2, 3, . . .; budeme ji značit N. Na množině N je zavedena relace " " (menší nebo rovno) a jsou zavedeny operace sečítání, označená " +", a násobení, označená " ". Jestliže a, b N a existuje takové číslo c N, pro něž platí a = b+c, označíme c = a-b. Je tedy mezi některými prvky z N definována operace " -", nazveme ji odečítáním. Požadavek proveditelnosti této operace pro všechna a, b N vede k zavedení 0 a celých záporných čísel -1, -2, -3, . . . . Množina N sjednocená s množinou {0} a množinou celých záporných čísel se značí Z a nazývá množinou celých čísel. Operace " +, -" a uspořádání " <" definované na množině přirozených čísel se rozšiřují na celou množinu Z. Na množině Z je pak definována operace " -". (Zavedení celých čísel umožňuje pracovat nejenom s hotovostí, ale i s dluhy.) Nechť p, q Z, q = 0. Jestliže existuje x Z tak, že p = q x, píšeme x = p q , resp. x = p : q. Operaci " :" nazýváme dělením. Aby dělení čísla p číslem q, q = 0, bylo vždy proveditelné, rozšiřuje se množina Z na množinu Q, zvanou množina racionálních čísel. Operace " +, -, " a uspořádání, definované na množině Z, rozšiřujeme na celou množinu Q. Na množině Q je pak definováno i dělení čísla p číslem q pro všechna p, q Q, q = 0. Množinu Q nazýváme množinou racionálních čísel a operace " +, -, , :" nazýváme racionálními operacemi. Racionálním číslem je tedy každé číslo tvaru p q , kde p, q Z, q = 0. Jestliže p q , r s Q, potom p q = r s , jestliže ps = rq. Např. 6 4 = 3 2 . Každé celé číslo a Z lze zapsat ve tvaru a 1 . (Zavedení racionálních čísel umožňuje počítat i s částmi celku.) Zaveďme si nyní číselnou osu. 34 Číselná osa. Uvažujme přímku s daným bodem 0, nazveme jej počátkem. Jistý smysl přímky zvolíme jako kladný. Zvolme dále úsečku, její délku označíme jako jednotku. V textu budeme tuto přímku kreslit ve vodorovné poloze a za její kladný smysl volíme směr zleva doprava. Ke každému racionálnímu číslu přiřadíme na této přímce bod takto: ke každému přirozenému číslu n přiřadíme bod, označme jej n, a to tak, že zvolenou jednotku naneseme od počátku n-krát v kladném smyslu, to jest doprava. Ke každému celému zápornému číslu m přiřadíme bod, označme jej m, a to tak, že zvolenou jednotku naneseme od počátku (-m)-krát v záporném smyslu, to jest doleva. Číslu 0 přiřadíme počátek. Nechť p q je racionální číslo, které není celým číslem. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že p Z, q N, q = 0. Úsečku, jejíž délku jsme zvolili za jednotku, rozdělme na q stejných dílků. Je-li p > 0, naneseme p těchto dílků doprava, je-li p < 0, naneseme (-p) těchto dílků doleva. Obdržený bod označíme p q . Jsou-li p q , r s taková racionální čísla, že ps = rq, potom je jim přiřazen tentýž bod. Čísla p q , r s jsou zápisy téhož racionálního čísla, např. zápisy 2 3 , 4 6 představují totéž racionální číslo. Označme ~Q množinu všech bodů přiřazených naznačeným způsobem k racionálním číslům. Uvedenou přímku nazveme číselnou osou. Není podstatný rozdíl mezi bodem z množiny ~Q a racionálním číslem, k němuž byl bod přiřazen. Budeme tedy používat pojem bod p q a racionální číslo p q ve stejném významu. Na obr. 1.8 jsou vyznačena čísla -2, -1, 0, 1, 2 a číslo 7 2 . -2 -1 0 1 2 3 47 2 1 u u Obrázek 1.8: Číselná osa. Jestliže k číslu p je přiřazen bod na číselné ose nalevo od bodu přiřazenému k číslu q, je p < q, resp. q > p. Budeme pak říkat, že číslo p je menší než číslo q, resp. že číslo q je větší než číslo p. Řekneme, že p q, je-li p < q nebo p = q. Množina Q je vzhledem k operaci lineárně uspořádanou. Lze ukázat, že operace " +", " " a ralace " " definované na množině Q mají tyto vlastnosti: (Q1) (x + y) + z = x + (y + z) pro x, y, z Q. (Q2) x + y = y + x pro x, y Q. (Q3) Existuje prvek 0 Q tak, že pro x Q platí x + 0 = x. (Q4) Ke každému x Q existuje prvek -x Q tak, že x + (-x) = 0. (Q5) (x y) z = x (y z) pro každé x, y, z Q. (Q6) x y = y x pro x, y Q. (Q7) Existuje prvek 1 Q tak, že pro x Q platí x 1 = x. (Q8) Ke každému x Q, x = 0 existuje prvek x-1 Q tak, že x x-1 = 1. (Q9) x (y + z) = (x y) + (x z) pro x, y, z Q. (Q10) Uspořádání je lineární. (Q11) Je-li x, y, z Q, x < y, pak x + z < y + z. (Q12) Je-li x, y, z Q, x < y, z > 0, pak x z < y z. 35 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Z uvedených vlastností vyplývá, že mezi každými dvěma racionálními čísly leží racionální číslo. Jsou-li totiž r, s racionální čísla, je (r + s)/2 racionální číslo, které leží mezi těmito čísly r, s. Odtud vyplývá, že mezi každými dvěma racionálními čísly leží nekonečně mnoho racionálních čísel. V oboru racionálních čísel nelze řešit řadu důležitých úloh. Příkladem je výpočet délky kružnice o poloměru 1, výpočet délky uhlopříčky čtverce o straně 1, atd. Ukažme to na následujícím příkladě. Příklad 1.22. Ukažme, že délka uhlopříčky čtverce o straně rovné 1 se nedá vyjádřit jako racionální číslo. Řešení. Označme u hledanou délku uvedeného čtverce. Zřejmě u2 = 2. Kdyby bylo možno vyjádřit délku u jako racionální číslo, bylo by možno zapsat u ve tvaru u = p q , (1.33) kde p, q N a p, q jsou nesoudělná. Z (1.33) dostáváme u2 = p2 q2 . Poněvadž u2 = 2, dostáváme p2 = 2q2 . (1.34) Je tedy p2 číslo sudé a tedy i p je sudé. Tedy p lze zapsat ve tvaru p = 2r, kde r N. Dosazením do (1.34) dostáváme 4r2 = 2q2 . (1.35) Odtud q2 = 2r2 , (1.36) takže q2 je sudé. Je tedy i q sudé číslo. Jsou tedy čísla p, q čísla sudá, a tedy nejsou nesoudělná. To je spor s předpokladem. Tedy u není racionální číslo a tedy k u dosud není na číselné ose přiřazen bod z ~Q. Délku u úhlopříčky čtverce o straně 1 naneseme na číselnou osu s racionálními body a dostaneme tak bod, který označíme u. Ke každém bodu na číselné ose, který není přiřazen racionálnímu číslu, přiřadíme podobně objekt, který nazveme iracionálním číslem. Potom je ke každému bodu na číselné ose přiřazeno číslo. Na tuto množinu čísel se rozšiřují operace sečítání a násobení a relace lineárního uspořádání, definované na její podmnožině Q. Množinu všech racionálních a iracionálních čísel nazveme společným názvem čísla reálná a budeme ji značit R. Konstrukce iracionálních čísel pomocí čísel racionálních a rozšíření lineárního uspořádaní množiny Q a operací " +" a " " na množinu R je poměrně náročná. Jednu z takovýchto konstrukcí v dalším textu nastíníme pro vytvoření náhledu na uvedenou problematiku. Uveďme však napřed základní vlastnosti takto zavedených reálných čísel. Dále uvedené vlastnosti je možno použít k axiomatickému zavedení reálných 36 čísel takto. Množinu R, na níž jsou zavedeny operace " +, " a uspořádání s následujícími vlastnostmi, nazýváme množinou reálných čísel. Vlastnosti reálných čísel Základní vlastnosti reálných čísel (R1) (x + y) + z = x + (y + z) pro všechna x, y, z R. (R2) x + y = y + x pro každé x, y R. (R3) Existuje prvek 0 R tak, že pro každé x R platí x + 0 = x. (R4) Ke každému x R existuje prvek -x R tak, že x + (-x) = 0. (R5) (x y) z = x (y z) pro všechna x, y, z R. (R6) x y = y x pro každé x, y R. (R7) Existuje prvek 1 R tak, že pro každé x R platí x 1 = x. (R8) Ke každému x R, x = 0 existuje prvek x-1 R tak, že x x-1 = 1. (R9) x (y + z) = (x y) + (x z) pro všechna x, y, z R. (R10) Uspořádání je lineární. (R11) Je-li x, y, z R, x < y, pak x + z < y + z. (R12) Je-li x, y, z R, x < y, z > 0, pak x z < y z. (R13) Jsou-li X R, Y R neprázdné množiny a platí-li x y pro každé x X a každé y Y , pak existuje a R tak, že x a y pro každé x X a každé y Y . Vraťme se k číslu u, které reprezentuje délku úhlopříčky čtverce o straně rovné zvolené jednotkové délky, k němu přiřaďme bod u na číselné ose tak, že jeho vzdálenost od bodu 0 je rovna u. Označme X množinu všech těch racionálních čísel, k nímž jsou na číselné ose přiřazeny body ležící vlevo od bodu u, to jest racionálních čísel x, pro něž je x2 < 2 nebo x < 0, a Y množinu těch racionálních čísel, k nímž jsou na číselné ose přiřazeny body ležící vpravo od bodu u, to jest racionálních čísel y, pro něž je y > 0 a y2 > 2. Pro každé x X a každé y Y platí tedy vztah x < y. Dále platí X Y = Q. Například čísla 1; 1,4; 1,41; 1,414 X a čísla 1,5; 1,42; 1,425 Y . Číslo u je určeno množinami X, Y . Číslo u není racionální. Nazveme jej číslem iracionálním. Budeme pak psát u = (X, Y ). Podobně označme ~R množinu všech těch uspořádaných dvojic množin A1, A2 Q, že pro každé x A1 a každé y A2 platí x < y, A1 A2 = Q. Nechť (A1, A2) ~R. Jestliže existuje takové h A1, že pro všechna x A1 je x h položíme h = (A1, A2). Uspořádaná dvojice (A1, A2) reprezentuje pak racionální číslo h. Podobně, jestliže existuje takové d A2, že pro všechna y A2 je y d položíme d = (A1, A2). Uspořádaná dvojice (A1, A2) reprezentuje pak racionální číslo d. V případě, že neexistuje takové h A1, že pro všechna x A1 je x h a že neexistuje ani takové d A2, že pro všechna y A2 je y d, nazveme uspořádanou dvojici (A1, A2) iracionálním 37 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky číslem. Pomocí operací " +" a " " a relace " " na množině Q se definují operace sečítání a násobení a lineární uspořádání na ~R. Např. Jestliže a = (A1, A2), b = (B1, B2) ~R, a = b, řekneme, že a < b právě když existuje y A2 tak, že y B1. Jestliže a = (A1, A2), b = (B1, B2) ~R, a = b, položíme c = a + b, kde c = (C1, C2), jestliže C1 = {x + y : x A1 y B1}, C2 = {x + y : x A2 y B2}. Všimněte si, že jestliže A1, A2 jsou takové podmnožiny množiny Q racionálních čísel, že A1 A2 = Q a pro x A1 a y A2 je x < y, potom podle (R13) existuje a R tak, že pro všechna a1 A1, a2 A2 platí a1 a a2. Vlastnosti lineárního uspořádání reálných čísel. Ze " základních vlastností reálných čísel" dostáváme tuto větu. Věta 1.2. (Nerovnice) Pro libovolná čísla x, y, z, u platí (1.37) Je-li x y, z u, potom x + z y + u. Slovy: Levé i pravé strany souhlasných nerovnic můžeme sečíst. (1.38) Je-li x y, z > 0, pak x z y z. Slovy: Násobíme-li obě strany nerovnice týmž kladným číslem, smysl nerovnice se nezmění. (1.39) Je-li 0 < x y, 0 < z u, platí 0 < x z y u. (1.40) Je-li x y, z < 0, potom x z y z. Slovy: Násobíme-li obě strany nerovnice týmž záporným číslem, změní se smysl nerovnice. (1.41) Je-li 0 < x y, platí 0 < 1 y 1 x. Slovy: Jestliže v nerovnici mezi kladnými čísly přejdeme k reciprokým hodnotám, změní se smysl ne- rovnice. Důkaz: Dokážeme jen (1.40). Důkazy ostatních tvrzení přenechávám čtenáři. Nechť tedy x y, z < 0. Přičteme-li na obě strany vztahu z < 0 číslo -z, dostáváme podle (R11) 0 < -z. Násobením vztahu x y číslem -z dostáváme podle (1.39) -xz -yz. Přičtením xz + yz na obě strany této nerovnice dostáváme yz xz, to jest xz yz. 38 Příklad 1.23. V R řešte nerovnici 2x + 1 < 5x - 2. (1.42) Řešení. Na obě strany (1.42) připočítejme -2x+2. Užitím (R11) dostáváme 3 < 3x. (1.43) Násobením (1.43) číslem 1 3 dostáváme x > 1. Tedy nerovnici (1.42) vyhovují všechna čísla x > 1. Zavedení absolutní hodnoty reálného čísla. Zaveďme pojem absolutní hodnota reálného čísla touto definicí. Absolutní hodnota reálného čísla Definice 1.1. (Absolutní hodnota reálného čísla) Nechť x R. Položme |x| = x, je-li x 0, -x, je-li x 0. Číslo |x| nazveme absolutní hodnotou čísla x. Na obr. 1.9 je vyznačen graf funkce y = |x|. y x0 y = |x| Obrázek 1.9: Graf funkce absolutní hodnota (y = |x|). Příklad 1.24. a) | - 4| = 4. Položíme-li x = -4, je x < 0, takže podle definice je | - 4| = |x| = -(-x) = -(-4) = 4. b) |x - 2|, kde x je reálné se určí takto: Je-li x - 2 0, to jest, jestliže x 2, je |x - 2| = x - 2. V případě, že x - 2 0, to jest, jestliže x 2, je |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x. Tedy |x - 2| = x - 2 pro x 2, 2 - x pro x < 2. 39 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Pro absolutní hodnotu reálných čísel platí vztahy uvedené v následující větě. Jejich důkazy přenecháváme čtenáři. Absolutní hodnota ­ pravidla Věta 1.3. (Pravidla pro absolutní hodnoty) Nechť x, y, a, R, > 0. Potom platí |x| 0 (1.44) x |x|, -x |x| (1.45) |x| = | - x| (1.46) |x| - |y| |x + y| |x| + |y| (1.47) |x y| = |x| |y| (1.48) |x y | = |x| |y| pro y = 0 (1.49) |x - a| < a - < x < a + (1.50) Poznámka 1. jestliže pro všechna x, y R položíme (x, y) = |x - y| je (x, y) vzdálenost bodů x, y. Poznámka 2. Jsou-li a, , kde > 0, pevná čísla, potom |x - a| v (1.50) znamená, že x je od bodu a vzdáleno o méně než . Poněvadž body a - , a + jsou od bodu a vzdáleny právě o , leží x mezi body a - , a + , tedy platí a - < x < a + (viz obr. 1.10). a - a + a x Obrázek 1.10: K poznámce 2. Příklad 1.25. V R řešte nerovnici 2x - 1 < |x - 2| < 3x + 2. (1.51) Řešení. Řešení rozdělme do dvou částí ) Nechť x - 2 0. Potom |x - 2| = x - 2. Dále je x 2. (1.52) Ze vztahu 2x - 1 < x - 2 dostáváme x < -1. (1.53) 40 Ze vztahu x - 2 < 3x + 2 dostáváme 2x > -4, tedy x > -2. (1.54) Vztahy (1.52), (1.53), (1.54) vyznačíme na číselné ose. -3 -2 -1 0 1 2 3 Vidíme, že pro x 2 nemá rovnice řešení. ) Nechť x - 2 < 0. Potom |x - 2| = -x + 2. Podle předpokladu je x < 2. (1.55) Ze vztahu (1.51) pro tato x dostáváme 2x - 1 < -x + 2. Odtud dostáváme 3x < 3, tj. x < 1. (1.56) Ze vztahu -(x - 2) < 3x + 2 dostáváme 4x > 0, tj. x > 0. (1.57) Ze vztahů (1.55), (1.56), (1.57) dostáváme 0 < x < 1. Dané úloze tedy vyhovují všechna čísla, pro něž platí 0 < x < 1. 41 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky 1.5.1.1 Zápis reálných čísel v některých číselných soustavách K zápisu čísel v desítkové soustavě používáme deset symbolů (cifer) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a případně desetinnou čárku (v zahraničním textu a při práci na počítači často desetinnou tečku). Tak např. zápisem 305,21 (1.58) zapisujeme číslo 3 102 + 0 101 + 5 100 + 2 10-1 + 1 10-2 . Ke zdůraznění, že (1.58) je zápis čísla v desítkové soustavě, lze (1.58) zapsat ve tvaru (305,21)10. (1.59) Podobně k zápisu čísla v osmičkové soustavě používáme osm symbolů (cifer) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 a případně čárku, resp. tečku. Potom např. zápis čísla 305,21 v osmičkové soustavě, tj. čísla (305,21)8 je zkrácený zápis čísla 3 82 + 0 81 + 5 80 + 2 8-1 + 1 8-2 , tj. čísla, jehož ekvivalentem v desítkové soustavě je číslo 196,375, takže (305,21)8 = (196,375)10. Na počítačích se většinou pracuje s čísly zapsanými ve dvojkové soustavě. K jejich zápisu se používá dvou symbolů 0, 1 a případně čárky, resp. tečky. Potom např. zápis (1011,1)2 je zápis čísla ve dvojkové soustavě, jehož ekvivalentem v desítkové soustavě je číslo 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 + 1 2-1 , tedy (1011,1)2 = (11,5)10. Nebude-li řečeno jinak, budeme čísla zapisovat v desítkové soustavě. Zápis racionálního čísla Zápis racionálního čísla. Každé nenulové racionální číslo lze zapsat ve tvaru +p q nebo -p q , kde p, q N, q = 0. Dělením čísla p číslem q dostaneme budťo číslo v desítkové číselné soustavě s konečným počtem cifer různých od 0, anebo číslo, které má za desetinnou čárkou sice nekonečně mnoho cifer různých od 0, avšak v zápise čísla existuje taková uspořádaná skupina čísel, že za každou takovou skupinou čísel bezprostředně následuje opět tato skupina čísel. Takováto čísla se nazývají periodická. Zápis je možné provést tak, že nad prvním výskytem opakující se skupiny se dá pruh a další navazující skupiny se nepíší. Např. místo 0,323232 . . . napíšeme 0,32, nebo místo 0,333 . . . se napíše 0,3. 42 Zápis iracionálního čísla Zápis iracionálního čísla v desítkové soustavě by vyžadoval zapsat nekonečně mnoho cifer za desetinnou čárkou. To však není reálně možné. V konkrétním případě bychom mohli uvést pravidlo, jak určit cifru čísla na jeho zvolené pozici. Příkladem iracionálního čísla je např. číslo 2, o kterém jsme pojednali, nebo Ludolfovo číslo, které se značí symbolem . Číslo je důležité v řadě aplikací, např. při výpočtu délky kruhového oblouku, při výpočtu objemu rotačního kužele s daným poloměrem základny a danou výškou. Zavedení pojmu absolutní chyba Aproximace čísel. Uveďme si několik poznámek k aproximaci čísla x číslem ~x. Rozdíl ~x-x nazýváme absolutní chybou aproximace ~x. V reálných situacích tuto chybu neznáme, ale často ji můžeme odhadnout. Odhadem absolutní chyby rozumíme číslo 0, pro něž platí |~x - x| . Jestliže x je iracionální číslo v desítkové soustavě a v jeho zápise ponecháme jen prvních n cifer za desetinnou čárkou, dostaneme racionální číslo ~x, pro než platí |x - ~x| < 10-n . Předpokládejme, že při měření vzdálenosti dvou míst A, B, kde A je místo v Praze a B je místo v Brně, se dopustíme chyby nejvýše 1 m. Podobně předpokládejme, že při měření délky obdélníkové místnosti se dopustíme rovněž chyby nejvýše 1 m. Je zřejmé, že stejný odhad chyby měření nelze použít ke srovnání přesnosti metody měření. Zavedení pojmu relativní chyba K posouzení " kvality" aproximace se pro x = 0 používá často tzv. relativní chyba, definovaná vztahem x - ~x x . Číslo 0, pro něž platí x - ~x x , nazýváme odhadem relativní chyby. Při numerických výpočtech jsme v jistém okamžiku nuceni čísla iracionální, s nimiž se pracuje, aproximovat čísly racionálními. Provádíme-li výpočty na kalkulačce, nebo na počítači, nemáme k dispozici ani množinu všech racionálních čísel. Pracuje se jen s čísly dané reprezentace v daném rozsahu. Výsledek racionální operace (+, -, , :) s těmito čísly se aproximuje podle zabudovaného kritéria opět číslem dané reprezentace. Uvažujme nyní množinu všech čísel ve tvaru t0, t-1t-2 . . . t-n 10k , (1.60) kde n je dané přirozené číslo, k je libovolné celé číslo, pro něž platí -m k m, kde m je dané přirozené číslo, a t0, t-1, . . . , t-n {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, je-li v (1.60) t0 = 0, je t0 = t-1 = . . . = t-n = 0. Jako konkrétní příklad uveďme (1.60) pro n = 3, m = 10, tj. množinu všech čísel tvaru t0, t-1t-2t-3 10k , -10 k 10, (1.61) 43 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky kde t0, t-1, t-2 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, přičemž je-li t0 = 0, je t-1 = t-2 = t-3 = 0. Např. čísla 2,132 103 , -5,701 10-2 patří do množiny tvaru (1.61). Vliv zaokrouhlování čísel na výsledek Nechť a, b jsou čísla tvaru (1.60). Nechť " op" značí kteroukoli z racionálních operací " +, -, , :". Položme c = a op b. Číslo c nemusí patřit do množiny čísel (1.60). Označme nyní ~c takové číslo z (1.60), že |c - ~c| 5 10-n+k-1 . Položme ~c = a op b. Pokud existují dvě taková čísla ~c, nechť je dáno pravidlo k určení jednoho z nich. Operaci " op " nazveme aproximační operací " op", to jest aproximační sečítání " + ", aproximační odečítání " - ", aproximační dělení " : " a aproximační násobení " ". Uveďme příklad pro aproximační násobení čísel z (1.61). Nechť a = 2,130 103 , b = 3, 152 101 . Potom, označíme-li c = a b, dostáváme c = 6,71376 104 . Položíme-li ~c = 6,714 104 , je ~c číslo z (1.61), pro něž platí |c - ~c| < 5 10-3+4-1 = 5. Položíme tedy ~c = a b. Je evidentní, že pro aproximační racionální operace neplatí stejné zákony jako pro operace racionální. Např. počítáme-li s čísly (1.61), dostáváme (9,853 103 + 1,000 10-2 ) - 9,853 103 = 0, avšak změnou pořadí operací dostáváme (9,853 103 - 9,853 103 ) + 1,000 10-2 ) = 1,000 10-2 . Nahradíme-li při vyčíslování nějakého výrazu racionální operace odpovídajícími aproximačními operacemi, můžeme dostat výsledek naprosto vzdálený od správné hodnoty. 44 Je tomu tak proto, že se omezujeme jen na pevně daný konečný počet cifer a ponevadž při aproximačních racionálních operacích neplatí stejná pravidla jako pro operace racionální. Uveďme nyní příklad, na němž ukážeme, že matematicky ekvivalentní výpočtové postupy mohou vést k odlišným výsledkům při použití aproximačních operací místo přesných operací. Ve statistice se setkáte s touto úlohou. Úloha. Jsou dána čísla x1, x2, . . . , xp, p > 1. Vypočítejte 2 podle vzorce 2 = 1 p - 1 p i=1 (xi - x)2 , (1.62) kde x = 1 p p i=1 xi. (1.63) Ukazuje se, že 2 lze vypočíst matematicky ekvivalentním způsobem podle vzorce 2 = 1 p - 1 p i=1 x2 i - 1 p p i=1 xi 2 . (1.64) Výpočet podle (1.62), (1.63) nazýváme dvouprůchodovým, napřed je nutno vypočíst x podle (1.63) a teprve potom 2 podle (1.62). Výpočet podle (1.64) se nazývá jednoprůchodovým. Příklad 1.26. Porovnejte výpočet 2 dvouprůchodovou metodou (vztahy (1.62), (1.63)) a jednoprůchodovou metodou (vztah (1.64)) pro data x1 = 10000, x2 = 10001, x3 = 10002, při reprezentaci čísel ve tvaru (1.60) pro n = 7, m = 10 užitím aproximačních operací + , - , , : . Řešení. Čísla x1, x2, x3 zapišme v dané reprezentaci. Dostáváme x1 = 1,0000000 104 , x2 = 1,0001000 104 , x3 = 1,0002000 104 . Dvouprůchodová metoda. x = (1,0000000 104 + 1,0001000 104 + 1,0002000 104 ) : 3,0000000 100 . Lehce nahlédneme, že x = 1,0001000 104 . 45 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Dosazením tohoto x do (1.62) dostáváme užitím aproximačních racionálních operací 2 = 1,0000000 100 , tj. 2 = 1. Jednoprůchodová metoda. Užitím aproximačních racionálních operací dostá- váme x2 1 = x1 x1 = 1,0000000 108 , x2 2 = x2 x2 = 1,0002000 108 , x2 3 = x3 x3 = 1,0004000 108 , x2 1 + x2 2 + x2 3 = 3,0006000 108 . Podobně x1 + x2 + x3 = 3,0003000 104 , (x1 + x2 + x3)2 = 9,0018001 108 . (x1 + x2 + x3)2 : 3 = 3,0006000 108 . Užitím těchto mezivýsledků dostáváme z (1.64) 2 = 0, tedy odlišný výsledek než použitím dvouprůchodové metody. Poznámka. Při praktických numerických výpočtech ovšem nepoužíváme o- značení " op " pro provádění operací, mlčky používáme označení odpovídající operacím mezi reálnými čísly, tedy opreací " +, -, , :". 1.5.1.2 Množiny reálných čísel Zaveďme si několik pojmů spojených s množinami reálných čísel. Ohraničení číselné množiny Ohraničené množiny. Nechť M R. Řekneme, že množina M je shora ohraničená, jestliže existuje takové číslo h, že x M x h. Číslo h nazýváme horním ohraničením množiny M. Podobně řekneme, že množina M je zdola ohraničená, jestliže existuje takové reálné číslo d, že x M x d. Číslo d nazýváme dolním ohraničením množiny M. Jestliže množina M je shora i zdola ohraničená, říkáme, že je ohraničená. Jako příklad uveďme množinu M = {x R : x = 1 n , kde n N}. 46 Zřejmě horním ohraničením množiny M je každé reálné číslo h 1 a dolním ohraničením množiny M je každé číslo 0. Zaveďme si dále pojmy maximum, minimum a pojmy suprémum a infimum množiny reálných čísel. Maximum číselné množiny Maximum číselné množiny Řekneme, že číslo xmax je maximum číselné množiny M, jestliže 1. xmax M, 2. jestliže x M, potom x xmax. Píšeme xmax = max xM x, resp. xmax = max M. Jestliže takové číslo neexistuje, říkáme, že množina M nemá maximum. To znamená, že xmax je horním ohraničením množiny M, které do do M patří. Minimum číselné množiny Minimum číselné množiny Řekneme, že číslo xmin je minimum číselné množiny M, jestliže 1. xmin M, 2. jestliže x M, potom x xmin. Píšeme xmin = min xM x, resp. xmin = min M. Jestliže takové číslo neexistuje, říkáme, že množina M nemá minimum. To znamená, že xmin je dolním ohraničením množiny M, které do do M patří. Jako příklad uveďme dvě množiny U, V reálných čísel U = {x R : x = 1 n2 , kde n N}, (1.65) V = {x R : x 2 x 0}. (1.66) Zřejmě max xU x = 1, min xU x neexistuje, max xV x = 2, min xV x = 0. Všimněme si, že podle definice je maximum (minimum) číselné množiny M jejím prvkem. Uveďme si dva podobné pojmy: supremum a infimum číselné množiny. Tyto pojmy posluchači někdy mylně zaměňují s pojmy maxima a minima číselné množiny. 47 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Supremum číselné množiny Supremum číselné množiny Nechť M je množina reálných čísel. Řekneme, že číslo G je supremem množiny M a píšeme G = sup xM x, či G = sup M, jestliže platí 1. Je-li x M, potom x G, 2. je-li G < G, potom existuje takové x M, že G x . Je tedy G nejmenší horní ohraničení množiny M. Infimum číselné množiny Infimum číselné množiny Řekneme, že číslo g je infimem množiny M reálných čísel a píšeme g = inf xM x, resp. g = inf M, jestliže platí 1. Je-li x M, potom x g, 2. je-li g > g, potom existuje takové x M, že x g . Je tedy g největší dolní ohraničení množiny M. Na obr. 1.11 ilustrujeme infimum a supremum množiny M. g = inf M G = sup M M x g x G Obrázek 1.11: Infimum a supremum množiny M. Všimněme si, že sup M a inf M nemusí být prvky množiny M. Jestliže platí G = sup M M, potom G je maximem množiny M. Podobně, platí-li g = inf M M, potom g je minimem množiny M. Jako bezprostřední důsledek vlastnosti (R13) reálných čísel dostáváme toto tvrzení. Jestliže M R je shora (zdola) ohraničená, potom existuje sup(M) (inf(M)). Jako příklad uveďme množinu U definovanou vztahem (1.65). Zřejmě g = inf U = 0. Poněvadž g / U, g je sice infimem množiny U, ale U nemá minimum. Naproti tomu G = sup U = 1, G U, 48 takže G je zároveň maximem množiny U. Množina R = R {-, } Rozšíření množiny reálných čísel. Množinu reálných čísel R nyní rozšíříme o dva symboly , -, (místo lze psát i +) (čteme (plus) nekonečno a minus nekonečno). Množinu R {-, } budeme značit R . Symboly -, nazýváme nevlastními čísly. (Někdy z důvodu stručnosti pouze čísly.) Stejně jako místo termínu reálné číslo lze použít termín bod x, lze mluvit o bodech , resp. -. Položme x < pro všechna x R. Jestliže množina M R není shora ohraničená, položíme sup M = . Nevlastní číslo je nejmenší horní ohraničení množiny reálných čísel. Položme x > - pro všechna x R. Jestliže množina M R není zdola ohraničená, položíme inf M = -. Nevlastní číslo - je největším dolním ohraničením množiny přirozených čísel. Některé racionální operace rozšíříme i na nevlastní čísla -, a to takto. Definice 1.2. Nechť a R, potom definujeme a + = , + a = + = a - = -, - + a = - - = - a = 0 = (-) = - = - (-) = a = , je-li a > 0 -, je-li a < 0 a (-) = -, je-li a > 0 , je-li a < 0 49 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Poznámka. Všimněme si, že některé operace, například - , - + , , 0 , 0 (-), jsou nadále nedefinované. Zavedení pojmu interval Intervaly. Nechť a, b R, a < b. Množinu všech x R, pro něž platí a x b, budeme zapisovat jako a, b a nazývat uzavřeným intervalem o koncových bodech a, b. Číslo a (b) nazýváme levým (pravým) koncovým bodem intervalu a, b . Množinu všech x R, pro něž platí a < x < b, budeme zapisovat jako (a, b) a nazývat otevřeným intervalem o koncových bodech a, b. Číslo a (b) nazýváme levým (pravým) koncovým bodem intervalu (a, b). Množinu všech x R, pro něž platí a x < b (a < x b), budeme zapisovat jako a, b) ((a, b ) a nazývat zleva uzavřeným (otevřeným) a zprava otevřeným (uzavřeným) intervalem o koncových bodech a, b. Číslo a nazýváme levým a číslo b nazýváme pravým koncovým bodem intervalu a, b) ((a, b ). Množinu všech čísel x R, pro něž platí a x < (a < x < ), budeme zapisovat jako a, ) ((a, )) a nazývat zleva uzavřeným (otevřeným) intervalem o koncových bodech a, . Bod a budeme nazývat levým a bod jeho pravým koncovým bodem. Množinu všech čísel x R, pro něž platí - < x a (- < x < a), budeme zapisovat jako (-, a ((-, a)) a nazývat zprava uzavřeným (otevřeným) intervalem o koncových bodech -, a. Bod - budeme nazývat levým a bod a jeho pravým koncovým bodem. Množinu všech reálných čísel x můžeme zapsat jako (-, ) a nazývat intervalem o koncových bodeh -, . a b a, b a b (a, b) a b (a, b a b a, b) a a, ) a (a, ) a (-, a a (-, a) (-, ) Obrázek 1.12: Intervaly. 50 Všimněme si, že levý koncový bod každého intervalu je menší než jeho pravý koncový bod. Kdybychom v definici intervalu a, b nahradili požadavek a < b požadavkem a b, zahrnuli bychom pod pojem intervalu též jednobodovou množinu, obsahující jediný prvek a, kterou bychom mohli zapsat jako a, a . Na obr. 1.12 jsou vyznačeny uvedené intervaly. Zavedení pojmu okolí bodu Okolí bodu. Zaveďme si ještě pojem okolí bodu a R. Nechť a R, R, > 0. Potom interval a, a + ) budeme nazývat pravým ­okolím bodu a a budeme jej většinou značit U+ (a). Tedy U+ (a) = a, a + ). Kvůli zkrácení zápisu jej lze někdy označit stručně U+ (a). Nechť a R, R, > 0. Potom interval (a - , a budeme nazývat levým ­okolím bodu a a budeme jej většinou značit U- (a). Tedy U- (a) = (a-, a . Kvůli zkrácení zápisu jej lze někdy označit stručně U- (a). Nechť a R, R, > 0. Potom interval (a - , a + ) budeme nazývat okolím bodu a a budeme jej většinou značit U(a). Tedy U(a) = (a-, a+). Kvůli zkrácení zápisu jej lze někdy označit stručně U(a). Nechť k R. Potom množinu (k, ) nazýváme k-okolím bodu a značíme Uk(), nebo stručně U(). Podobně množinu (-, k) nazýváme k-okolím bodu - a značíme Uk(-), nebo stručně U(-). 1.5.2 Komplexní čísla Řada matematických úloh není řešitelná v oboru reálných čísel. Např. neexistuje reálné číslo x, pro něž je x2 = -1. To znamená, že rovnice x2 +1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení. Tato a celá řada jiných úloh nás inspiruje k zavedení komlexních čísel. Definice 1.3. Označme C množinu uspořádaných dvojic reálných čísel (x, y), na níž jsou zavedeny operace sečítání " +" a násobení " " s těmito vlastnostmi: Pro a1, a2, b1, b2 R položíme (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), (1.67) (a1, a2) (b1, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1). (1.68) Množinu C nazveme množinou komplexních čísel, její prvky nazýváme komplexními čísly. Je-li z = (a, b) C, lze psát z = (a, 0) + (0, 1) (b, 0) (1.69) Číslo (c, 0) lze zkráceně označit jako c pro každé c R. Symbol (c, 0) označuje tedy reálné číslo. Číslo (0, 1) označíme symbolem i a nazveme imaginární jednotkou. 51 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Potom (1.69) lze zapsat jako z = a + ib. (1.70) Jestliže z = a + ib C, potom číslo a nazýváme jeho reálnou částí a značíme ji Re(z), b nazýváme imaginární částí a značíme Im(z). Je tedy Re(a + ib) = a, Im(a + ib) = b. Nechť z = a + ib C. Potom číslo a - ib nazýváme číslem komplexně sdruženým k číslu z. Budeme jej značit z. Tedy z = a - ib. Vzhledem k definování součtu a součinu čísel (a1, b1), (a2, b2) dostáváme (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2), (a1 + ib1) (a2 + ib2) = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1). Příklad 1.27. (2 + 3i) + (4 - i) = 6 + 2i (2 + 3i) (4 - i) = 11 + 10i Sečítání a násobení komplexních čísel Lze ukázat, že operace sčítání a násobení komplexních čísel mají tyto vlast- nosti (1) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) pro každé z1, z2, z3 C, (2) z1 + z2 = z2 + z1 pro každé z1, z2 C, (3) Pro 0 = (0, 0) C platí z + 0 = z pro všechna z C, (4) Ke každému z C existuje -z C tak, že z + (-z) = 0, (5) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) pro každé z1, z2, z3 C, (6) z1 z2 = z2 z1 pro každé z1,2 C, (7) Pro 1 = (1, 0) C a pro každé z C platí 1 z = z, (8) Ke každému z C, z = 0 existuje z-1 C tak, že z z-1 = 1, (9) z1 (z2 + z3) = (z1 z2) + (z1 z3) pro každé z1, z2, z3 C. Vidíme, že operace sečítání a násobení komplexních čísel mají vlastnosti, které jsme uvedli u reálných čísel na straně 37. Komplexní čísla však nejsou lineárně uspořádaná. Komplexní čísla se znázorňují jako body v rovině, ve které je zavedena kartézská soustava souřadnic, nazývá se Gaussovou rovinou. Každé komplexní číslo z = x + iy se v ní znázorňuje jako bod o souřadnicích x, y, tedy jako [x, y]. Na obr. 1.13 je graficky znázorněn součet dvou komlexních čísel. Na obr. 1.14 je vyznačeno komplexní číslo z a k němu komplexně sdružené číslo z. Absolutní hodnota komplexního čísla. Nechť z = a + ib C. Potom číslo a2 + b2 nazýváme absolutní hodnotou komplexního čísla z a značíme ji |z|. Je tedy |a + ib| = a2 + b2. Je to vzdálenost bodů [0, 0], [a, b]. 52 z2 = (b1, b2) z1 = (a1, a2) z = z1 + z2 b1 a1 a1 + b1 a2 b2 a2 + b2 x y Obrázek 1.13: Součet dvou komplexních čísel. |z| = |a + ib| z = a + ib z = a - ib 0 x y Obrázek 1.14: Komplexně sdružená čísla. Příklad 1.28. Určete reálnou a imaginární část komplexního čísla z = 1 + 2i 3 - 4i . Řešení. Zlomek, jímž je komplexní číslo z definováno, rozšíříme číslem komplexně sdruženým k číslu ve jmenovateli, to jest číslem 3 + 4i. Dostaneme z = (1 + 2i) (3 + 4i) (3 - 4i) (3 + 4i) , to jest z = -5 + 10i 25 . Je tedy Re(z) = -1 5 , Im z = 2 5 . Z výkladu je zřejmé, že reálná čísla jsou podmnožinou komplexních čísel, tedy R C. Komplexní čísla, která nejsou reálná, nazýváme imaginárními. Rozdělení komplexních čísel lze schematicky znázornit takto: 53 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky Přirozená čísla N Nula 0 Celá záporná čísla Celá čísla Z Necelá racionální čísla Racionální čísla QIracionální čísla Reálná čísla R Imaginární čísla Komplexní čísla C Zaveďme si ještě celočíselné mocniny komplexních čísel následovně. Nechť a C, n N. Položme an = a a a a n , (1.71) a-n = 1 an , pro a = 0, (1.72) a0 = 1, pro a = 0, (1.73) 0n = 0. (1.74) Pro celočíselné mocniny komplexních čísel platí tato pravidla. Nechť a, b C, r, s Z. Potom platí ar as = ar+s (1.75) ar : as = ar-s (1.76) (ar )s = ars (1.77) (a b)r = ar br (1.78) a b r = ar br (1.79) pokud má levá strana význam. 54 Připomenutí důležitých vzorců pro počítání s čísly. n­faktoriál. Číslo n! (čteme " n faktoriál") definujeme takto: 0! = 1, n! = 1 2 n pro n N. Kombinační číslo. Nechť n N, k {0} N. Definujeme n k = n! (n - k)!k! . Důležité vzorce Nechť a, b C, n N. Potom platí (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1.80) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (1.81) (a - b)(a + b) = a2 - b2 (1.82) (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (1.83) (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 (1.84) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 ) (1.85) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) (1.86) Binomická věta (a+b)n = n 0 an + n 1 an-1 b+ + n k an-k bk + + n n bn Úlohy k procvičení 1. V jakém vzájemném vztahu jsou tyto číselné množiny: množina C komplexních čísel, množina R reálných čísel, množina Q racionálních čísel, množina Z celých čísel, množina N přirozených čísel. [N Z Q R C] 2. Rozhodněnte o správnosti výroku: Jestliže x, y R, 2x + 1 < 0, potom y(2x + 1) < 0. [Ne, platí jen pro y > 0.] 3. Rozhodněte o správnosti výroku: Jestliže x, y R, 0 < x < y, potom 1 x < 1 y . [Ne, 1 x > 1 y .] 4. Co víte o dekadickém zápisu iracionálního čísla a racionálního čísla? 5. Určete vzdálenost bodů x, y na číselné ose pomocí absolutní hodnoty. [|x - y|] 55 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky 6. Co je to relativní a co je absolutní chyba reálného čísla? 7. Co víte o přesnosti výpočtu na počítači (otázka zaokrouhlování čísel)? 8. Co je to maximum, suprémum, minimum a infimum číselné množiny? Uvědťe příklady. 9. Co víte o existenci supréma (infima) číselné množiny? 10. Co víte o racionálních operacích v množině R ? 11. Čemu je rovno - ? 12. Co jsou to intervaly? 13. Je interval a) (2, 3), b) 2, 3) pravým okolím bodu 2 ve smyslu v textu zavedené definice? [a) není, b) je] 14. Co jsou to komplexní čísla? 15. Co je to absolutní hodnota komplexního čísla? Co je to číslo komplexně sdružené k číslu a + ib, b = 0? 16. Vypočítejte a) 1 3 - 2 7 1 5 - 1 2 3 + 1 7 - 2 3 [ - 104 105 1 7 = -104 15 ] b) 1 2+ 1 3 - 1 1- 1 3 2 - 1 2+3 [ - 15 4 9 5 = -25 42 ] 17. Nechť a, b R. Vypočítejte b a-a . [Není definováno, nulou nelze dělit.] 18. Nalezněte chybu v následujícím výpočtu: Nechť a, b R, a = b. Položme c = a - b. (1.87) Vynásobením rovnice (1.87) výrazem (a - b) dostáváme ac - bc = a2 - ab - ab + b2 . Úpravou dostáváme a2 - ab - ac = ab - b2 - bc, tedy a(a - b - c) = b(a - b - c). (1.88) Dělíme-li (1.88) výrazem (a - b - c), dostáváme a = b. Avšak předpoklad je, že a = b. Kde je chyba? [a - b - c = 0, nulou nelze dělit.] 19. Upravte a) a-2 b2 (a - 2)-2 a0b-8 -2 : a2 (a - 2)3 a-4b7 [ a-2 a2b13 ; a = 0 b = 0 a = 2] 56 b) 1 + a2 1 - a2 1 + a2 1 - a2 -1 [ 1 1+a2 ; a = -1 a = 1] c) (a3 + b3 )(a - b)(a2 + ab + b2 ) [a6 - b6 ] d) 1+a 1+a+a2 - 1-a 1-a+a2 1-a 1-a+a2 + 1+a 1+a+a2 [a3 , a R] 20. Užitím binomické věty vypočítejte (x - 2y)4 . [x4 - 8x3 y + 24x2 y2 - 32y3 x + 16y4 ] 21. Načrtněte grafy funkcí a) y = |x - 2| + 2 b) y = |2x + 1| - x + 1 22. Řešte nerovnici |3x - 1| + x < 1. [(0, 1 2 )] 23. Užitím absolutní hodnoty reálného čísla vyjádřete, že a) x (2, 7) [|x - 9 2 | < 5 2 ] b) x (-1, 3) [|x - 1| < 2] 24. Nechť z1 = 1 + 2i, z2 = 3 - i jsou komplexní čísla. Určete a) z1 + z2 [4 + i] b) z1 - z2 [-2 + 3i] c) z1 z2 [5 + 5i] d) z1 z2 [ 1 10 + 7 10 i] e) |z1| [ 5] f) |z2| [ 10] g) z1 [1 - 2i] h) z2 [3 + i] 25. V R provedťe tyto výpočty a) + 3 [] b) [] c) - [není definováno] d) 2 - [není definováno] e) 3 0 [není definováno] f) 3 - [0] 57 1. Připomenutí základních znalostí z matematiky 58