■ Zavedení pojmu zobrazení a pojmu funkce ■ Reálná funkce reálné proměnné ■ Spojitost funkce ■ Polynom a racionální lomená funkce ■ Funkce složená a funkce inverzní. Elementárni funkce 2 Funkce a jejich vlastnosti 2. Funkce a jejich vlastnosti Cíl kapitoly Zopakovat si pojem zobrazení, pojem funkce. Zopakovat si pojem spojitosti funkce. Zopakovat si vlastnosti funkce spojité na intervalu. Zopakovat pojem polynomu a rozklad reálného polynomu. Podrobněji se seznámit s pojmem složené funkce a s pojmem funkce inverzní. Zopakovat si elementární funkce: tfx, mocniny s racionálním exponentem, funkce exponenciální, logaritmické a obecnou mocninu. Časová zátěž 10 hodin samostudia. Časová zátěž silně závisí na znalostech s nimiž přicházíte studovat. Pojem zobrazení 2.1 Zavedení pojmu zobrazení a pojmu funkce Zopakujme si důležitý pojem „zobrazení". S tímto pojmem se v denním životě neustále „setkáváme", aniž bychom jej vyslovovali. Uveďme příklad „přiřazení" - přiřazení se specifickými vlastnostmi se pak nazývá zobrazením. Zvláštním případem zobrazení je pak reálná funkce reálné proměnné. Datum narození žijícího člověka lze vyjádřit jako uspořádanou trojici reálných čísel, označme ji (r, m, d), kde r značí rok, m měsíc a d den narození. Označme B množinu všech dat narození pro r > 1800 do dnešního dne. Označme y proměnnou s oborem B. (Tedy y zastupuje kterékoliv datum z B.) Dále označme A množinu jistých žijících lidí. Označme x symbol, který zastupuje kteréhokoliv člověka z uvedené množiny A lidí. (Tedy x je proměnná s oborem A). Označme dále D pravidlo, jimž ke každému člověku x z množiny A přiřadíme uspořádanou trojici y reálných čísel z množiny B podle data jeho narození. Budeme psát y = D (x) pro x G A. Tento zápis vyjadřuje okolnost, že ke každému x E A se pravidlem D (tj. podle data narození člověka x), přiřazuje uspořádaná trojice čísel z B.) Uvedené přiřazení má důležitou vlastnost - ke každému x G A je přiřazeno právě jedno y E B. Takovéto přiřazení nazýváme zobrazením. Uveďme si nyní definici zobrazení. Definice 2.1. Necht A, B jsou neprázdné množiny. Pravidlo F, jimž ke | každému prvku ir 6 A je přiřazen právě jeden prvek y 6 B, 60 nazýváme zobrazením množiny A do množiny B. Označíme-li x proměnnou s oborem A & y proměnnou s oborem B. píšeme y = F(x). O prvku y přiřazenému k prvku x říkáme, že je obrazem prvku i,ao prvku x říkáme, že je vzorem prvku y. Množinu A (to jest množinu prvků, k nimž v zobrazení F přiřazujeme prvky z B), nazýváme definičním oborem nebo též neodvislým oborem zobrazení F. Značíme jej často Dp, resp. D (F) a množinu B nazýváme odvislým oborem zobrazení F. Podmnožinu množiny B, která obsahuje všechny ty prvky y G B, která jsou v zobrazení F přiřazana k prvkům x z množin A, nazýváme oborem zobrazení F. Značíme ji H(F), resp. Hp. Jestliže Hp C B, potom říkáme, že zobrazení F je zobrazením množiny A do B. Jestliže Hp = B, potom říkáme, že zobrazení F je zobrazením množiny A na B. Jestliže B C A, potom říkáme, že zobrazení F je zobrazením množiny A do sebe. Jestliže Hp = A, říkáme, že zobrazení F je zobrazením na sebe. Proměnnou s oborem hodnot A nazýváme neodvisle proměnnou a proměnnou s oborem hodnot B nazýváme závisle proměnnou. V této definici jsme použili symbol x pro neodvisle proměnnou a symbol y pro odvisle proměnnou. Na obrázku 2.1 je znázorněno zobrazení F množiny A do množiny B, rovněž je znázorněn obor zobrazení F, to jest množina H(F). Je zde znázorněn též prvek u G B, který nepatří do H(F). Není tedy obrazem žádného prvku x G A. Obrázek 2.1: Zobrazení A do B V některých případech je možno přiřazení G, v němž je ke každému prvku z množiny A přiřazen prvek z množiny B, popsat tabulkou utvořenou takto: V prvním řádku tabulky se uvádějí prvky z množiny A a v druhém řádku jsou pod nimi uvedeny k nim přiřazené prvky z množiny B . Ne každé pravidlo, jimž je ke každému prvku x G A přiřazen prvek z B, je zobrazením. Toto přiřazení je zobrazením A do B pouze tehdy, jestliže ke každému x G A je přiřazen právě jeden prvek y G B. 2. Funkce a jejich vlastnosti Příklad 2.1. Nechť A je množina určité skupiny studentů, B množina reálných nezáporných čísel. Označme x proměnnou množiny A, (to jest x je symbol, který zastupuje kteréhokoliv studenta ze skupiny A). Označme nyní y proměnnou s oborem hodnot B. Ke každému x G A (to jest, ke každému studentovi z A), přiřaďme jeho aktuální tělesnou výšku v centimetrech, tedy číslo y z množiny B. (Tedy právě jedno číslo.) Toto pravidlo přiřazení označíme V. Ke každému x G A jsme tedy přiřadili právě jedno číslo y z množiny B. Je tedy V zobrazením množiny A do množiny B podle nahoře uvedené definice. Zobrazení V není zobrazením množiny A na množinu B, poněvadž existují čísla v B, která nejsou přiřazena v zobrazení V k žádnému prvku x z množiny A. (To vyplývá např. z toho, že A je konečná množina a B obsahuje nekonečně mnoho čísel.) Jako konkrétní přiřazení uveďme toto. Předpokládejme, že A je skupina studentů, které si pro náš účel označíme a, b, c. Ke každému studentovi přiřaďme jeho tělesnou výšku. Toto přiřazení označme V. Nechť je V (a) = 175, V(b) = 175, V(c) = 180. Toto přiřazení lze znázornit následující tabulkou. X a b c y 175 175 180 Uvedené přiřazení V je zobrazením množiny A do množiny IR, poněvadž ke každému prvku x G A je přiřazen právě jeden prvek y z množiny IR. Toto zobrazení však není zobrazením množiny A na množinu IR, poněvadž např. číslo 190 není přiřazeno žádnému prvku z A. (V uvažované skupině tří studentů není žádný student s tělesnou výškou 190 cm.) Toto zobrazení je však zobrazením množiny A na množinu C = {175, 180 }. Zřejmě C = Hy- Příklad 2.2. Uvažujme tři matky, označme je a, b, c. Nechť matka a má syna, označme ho si, matka b má syna, označme ho s2 a matka c má dva syny, označme je S3 a S4. Označme A množinu matek, tedy A = {a, b, c } a B množinu synů, tedy B = {si, s2, S3, S4 }. Označme nyní D přiřazení, kterým ke každé matce přiřadíme každého z jejich synů. Tedy nechť D (a) = si, Dib) = s2, D(c) = S3, D(c) = S4. Toto přiřazení D znázorněme tabulkou X a b C c y Sl S2 S3 s4 Zobrazení prosté Toto přiřazení není zobrazením množiny A do množiny B, neboť k prvku c z množiny A jsou přiřazeny dva prvky z množiny B, totiž prvky S3, S4. Zaveďme si několik pojmů souvisejících se zobrazením. Zobrazení prosté. Nechi F je zobrazení množiny A do množiny B. Toto zobrazení nazýváme prostým, jestliže má tuto vlastnost: Jestliže x, y G A a x ^ y, potom F(x)^F(y). 62 Příklad 2.3. Nechť A = {a, b, c} a B = {a, ß, 7}. Zobrazení F dané násle dující tabulkou je prostým zobrazením A na B. X a b c y a ß 7 Inverzní zobrazení. Nechi F je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Potom existuje zobrazení, nazveme ho inverzním zobrazením množiny B na množinu A a označíme je F~l, kterým ke každému y G B přiřadíme ten prvek x G A, pro nějž platí F (x) = y. (Viz obr.2.2) Označení. Symbolem F l jsme označili inverzní zobrazení k zobrazení F. nejedná se o umocnění zobrazení F na číslo (—1). Obrázek 2.2: Inverzní zobrazení Příklad 2.4. Nechť zobrazení F množiny A = {1,2,3,4} na množinu B = {(p, (p, x, V'} Je dáno tabulkou : x 1 2 3 4 y f x íj Tedy F(l) = , F (2) = (p, F(3) = x, F (A) = i\). Toto zobrazení je prosté zobrazení množiny A na množinu B. Existuje proto k němu inverzní zobrazení, označme je F-1. V tomto zobrazení platí F~l(cj)) = 1, F_1((/?) = 2, F^1(x) = 3, F~l(tp) = A. Toto inverzní zobrazení lze popsat tabulkou. y

x 1 2 3 A V inverzním zobrazení je množina B neodvislým oborem a množina A je odvislým oborem. Všimněte si, že v tabulce popisující inverzní zobrazení, je neodvisle proměnná označena y (zastupuje kterýkoliv prvek z B) a závisle proměnná je označena x (zastupuje kterýkoliv prvek množiny A). Poněvadž jsme zvyklí označovat symbolem x neodvisle proměnnou a y odvisle proměnnou, můžeme pro inverzní zobrazení zavést Inverzní zobrazení 63 2. Funkce a jejich vlastnosti Složené zobrazení ■ symbol x pro neodvisle proměnnou (symbol x může zastupovat kterýkoliv prvek neodvislého oboru, to jest množiny B) ■ symbol y pro odvisle proměnnou (symbol y může zastupovat kterýkoliv prvek odvislého oboru, to jest množiny A) Tabulka pro toto inverzní zobrazení má pak tvar X

y i 2 3 4 Složené zobrazení. Nechť p je zobrazení množiny A do množiny B. Nechť funkce / zobrazuje množinu Hv do množiny C. Potom zobrazení, označujeme je F, kterým ke každému x G A je přiřazen prvek z = f(p(x)) G C, nazýváme složeným zobrazením. Zobrazení p nazýváme jeho vnitřní složkou a zobrazení / nazýváme jeho vnější složkou. Píšeme y = Fix). Viz obr. 2.3. Obrázek 2.3: Složené zobrazení Příklad 2.5. Nechť A = {a, b, c}, B = {a, ß, 7}, C = {1, 2, 3}. Nechť zobrazení p množiny A do množiny B je dáno tabulkou X a b c u = p(x) a ß a zobrazení / množiny Hv do množiny C je dáno tabulkou u V = f (u) a 1 0 2 Zřejmě Hv = {a, ß}. Potom složené zobrazení F = f(p(x)) zobrazuje A do C takto : F (a) = f(p(a)) = f (a) = L F (b) = f{p{b)) = /(/?) = 2, F (c) = f(p(c)) = f (a) = 1. Toto složené zobrazení F můžeme popsat následující tabulkou: (2.1) (2.2) (2.3) x a b c y 1 2 1 Poznamenejme, že p je vnitřní složkou a / je vnější složkou zobrazení F. 64 Pojem funkce. Uved me si nyní některé speciální pojmy zobrazení. V případě, že v dříve uvedené definici zobrazení F je množina B množina čísel, budeme většinou místo pojmu zobrazení používat pojem funkce. Rada pojmů svázaných s pojmem zobrazení se přenáší na pojem funkce. Např. místo obor hodnot zobrazení se používá obor hodnot funkce, nebo místo pojmu prosté zobrazení se používá pojem prostá funkce. Je-li v definici zobrazení F množina B množina reálných čísel, mluvíme o reálné funkci, je-li množina B množina komplexních čísel, mluvíme o komplexní funkci. Příklad 2.6. Jako příklad si uveďme funkci, která vyjadřuje výsledky voleb do poslanecké sněmovny. Nechť čtyři politická seskupení, označme je a, b, c, d, získala křesla v poslanecké sněmovně, a to postupně v počtech 70, 50, 60, 20. Potom přiřazení, označme je /, kterým ke každému z politických seskupení a, b, c, d přiřadíme počet křesel, která ve volbách získalo, je reálnou funkcí. Je tedy f (a) = 70, f(b) = 50, /(c) = 60, f(d) = 20. Označíme-li A = {a, b, c, d},B = {20, 50, 60, 70}, potom A je neodvislý obor funkce / a B je odvislý obor funkce /. Funkce / zobrazuje A na B. Funkce je prostá. Jestliže v definici zobrazení jsou množiny A, B množiny reálných čísel, mluvíme o reálné funkci reálné proměnné. Jestliže v definici zobrazení je množina A množinou uspořádanách skupin o n-reálných číslech (tedy A C W1), B je množina reálných čísel, potom zobrazení F množiny A do B nazýváme reálnou funkcí n-proměnných. Tato závislost může být dána nejrůznějším způsobem. Nejjednodušší způsob jejího zadání je zadání výrazem. Příkladem je funkce y = x2 + 1, pro x G ( — 00, oo). Jako další příklad reálné funkce reálné proměnné uveďme úlohu, s kterou se setkáváme v bankovnictví. Jde o spojité úročení. Při tomto úročení vzroste základní kapitál, označme jej P, (P > 0) za dobu t, počítanou v rocích, při nominální úrokové míře j (roční úroková míra, j > 0) na splatnou částku S podle vztahu S = P ■ eJ4. (2.4) Zde t značí neodvisle proměnnou a podle jejího významu je í G (0, oo) a S G (0, oo). Na vztah (2.4) se lze dívat též jako na funkci proměnných P, j, t. Při sledování závislosti splatné částky na čase t považujeme veličiny P, j za parametry a funkci S považujeme pro každé dva parametry jako funkci proměnné t. V některých případech je funkce f zadána pouze předpisem y = f (x) bez udání deůničního oboru. V takovémto případě se jím rozumí množina všech těch x, pro něž má předpis f smysl. 2. Funkce a jejich vlastnosti Např., je-li reálná funkce zadaná předpisem y = \J\ — x2, rozumí se definičním oborem této funkce interval (—1, 1), neboť druhá odmocnina je de- finovaná jen z nezáporných čísel al-r x G (—1, 1). Pro jiná x nemá výraz \J\ — x'- je nezáporné číslo jen pro čísla v reálném oboru smysl. Graf reálné funkce reálné proměnné. Představu o reálné funkci reálné proměnné a o jejich vlastnostech nám často dobře poskytne její grafické znázornění, neboli graf funkce. V rovině zvolíme např. pravoúhlý souřadný systém Oxy, kde O je počátkem a x, y jsou souřadné osy (označení není závazné). Jsou to dvě navzájem kolmé číselné osy se společným bodem O. který nazýváme počátkem. Osu x budeme volit v horizontální poloze a osu y ve vertikální poloze. (Dohoda.) Kladnou orientaci osy x budeme volit zleva doprava, kladnou orientaci osy y budeme volit zdola nahoru. Měřítka na souřadných osách mohou být obecně odlišná. Jsou-li stejná, mluvíme o kartézském souřadném systému. Každému bodu v rovině odpovídá uspořádaná dvojice reálných čísel. Prvnímu z nich říkáme ir-ová souřadnice a druhému říkáme y-ová souřadnice a naopak, každé uspořádané dvojici reálných čísel odpovídá bod v rovině v daném souřadném systému, (obr.2.4). P[xo,yo] Obrázek 2.4: Souřadnice bodu Na následujícím obr.2.5 je znázorněn graf funkce y = x2 definované na intervalu (-2, 2). Obrázek 2.5: Graf paraboly y = x2 Je-li množina B množina komplexních čísel, mluvíme o komplexní funkci. 66 Jestliže v definici zobrazeni jsou množiny A, B množiny komplexních čísel, mluvíme o komplexní funkci komplexní proměnné. Jako příklad uveďme funkci 'jj = z2 — z + 1. kde z,uj E C, (C je množina komplexních čísel). Posloupnost reálných čísel. Reálnou funkci f, jejíž ne-odvislý obor je množina přirozených čísel, nazýváme posloupností. Je tedy posloupnost pravidlo, jimž je ke kažému přirozenému číslu n přiřazen prvek z nějeké množiny B. Je-li B množina reálných čísel, mluvíme o posloupnosti reálných čísel. V této části budeme mluvit jen o posloupnostech reálných čísel. Číslu n je přiřazeno číslo f(n), n = 1, 2, — Místo f(n) je u posloupností zvykem psát fn. Číslo fn nazýváme n-tým členem posloupnosti. Tuto posloupnost bývá zvykem zapisovat též symbolem {fn}^=i, nebo stručněji {fn}f, resp. /i, Í2, ... (2.5) Příklad 2.7. Jako příklad si uveďme posloupnost {l/n}f°. Tedy např. 5. člen této posloupnosti je roven 1/5. Na následujícím obrázku obr.2.6 je znázorněno prvních pět členů posloupnosti {l/n}f°. y 1 1 2 3 4 5 x Obrázek 2.6: Posloupnost {l/nj-f0 Často se znázorňují pouze hodnoty f\, f^, fo, ■■■ na číselné ose, která se kreslí ve vodorovné poloze. Např. na obr.2.7 je znázorněno několik členů posloupnosti {fn}T'■ h h h i4 h Obrázek 2.7: Posloupnost {l/n}f Jestliže množina A je množina uspořádaných dvojic reálných čísel a i? je množina reálných čísel, potom zobrazení / množiny A do množiny B nazýváme reálnou funkcí dvou reálných proměnných. Označíme-li tyto 2. Funkce a jejich vlastnosti proměnné symboly x, y, potom uspořádaná dvojice symbolů [x, y] je symbol pro označení proměnné definičního oboru A funkce /. Jako příklad uveďme reálnou funkci / dvou reálných proměnných x, y definovanou vztahem = aA xi r Poněvadž definiční obor této funkce není uveden, rozumíme jim množinu všech těch uspořádaných dvojic reálných čísel [x, y], pro něž má předpis, jimž je funkce definovaná, smysl. Zřejmě 1 — x2 — y2 má smysl pro všechny body [x, y] e IR2. Avšak druhá odmocnina je v reálném oboru definovaná jen z nezáporných čísel, proto a/1 — x2 — y2 má v reálném oboru smysl pouze pro ty body [x, y], pro něž je výraz pod odmocninou nezáporný, to znamená pro ty body, pro něž je 1 x y > 0. Rovnice 1 x y = 0 je rovnice kružnice se středem v počátku o poloměru 1. Tato kružnice rozděluje rovinu xy na dvě části. Body v jedné části vyhovují nerovnici 1 ■ -x ■y > 0 a body v druhé části vyhovují nerovnici 1 — x -platí 1 — x2 — y2 > 0, vyhovují nerovnici 1 y < 0. Poněvadž pro bod [0, 0] - x2 — y2 > 0 všechny body uvnitř kruhu se středem v počátku o poloměru 1 a na jeho obvodu a body vně tohoto kruhu nerovnici nevyhovují. Na obr.2.8 je znázorněn definiční obor diskutované funkce = vT x2 — y2. Obrázek 2.8: Definiční obor funkce z = a/1 ar Kontrolní otázky 1. Co je to zobrazení F množiny A do množiny Bl Co je to definiční obor zobrazení, co je to obor zobrazení? 2. Vysvětlete, co je to prosté zobrazení A na B. 3. Co je to inverzní zobrazení? 4. Co je to funkce jedné proměnné? Co je to funkce více proměnných? 68 2.2 Reálna funkce reálne proměnné Předpokládejme, že A, B jsou neprázdné množiny reálných čísel. Potom předpis f, jimž ke každému prvku x G A je přiřazen právě jeden prvek y G B. nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné. Pokud nemůže dojít k omylu, budeme v dalším zkráceně mluvit jen o funkci. Tuto funkci budeme většinou zapisovat takto y = f(x), xeA. (2.6) Množinu A nazýváme neodvislým oborem, proměnnou x s oborem hodnot A nazýváme neodvisle proměnnou. Množinu B nazýváme odvislým oborem. Je nutno si uvědomit, že v B mohou existovat čísla, která nejsou přiřazena žádnému číslu x G A. Množinu všech těch čísel y G B, která jsou přiřazena ke všem číslům x G A, nazýváme oborem funkce /. Neodvislý obor funkce / nazýváme též definičním oborem, budeme jej značit D(f), resp. Df. Obor funkce budeme značit H(f), resp. Hj. Zřejmě Hj C B. Bude-li funkce / zadaná předpisem bez udání definičního oboru, rozumí se jím množina všech těch čísel, pro něž má předpis přiřazení význam. Jestliže M C Df, potom množinu {f(x) : x G M} lze označit jako f(M). Uveďme si několik příkladů. Příklad 2.8. Položme y = 2x+l, z e (1,4). (2.7) Ke každému číslu x G (1,4) se přiřazuje vztahem (2.7) právě jedno číslo, totiž číslo 2x + 1. Je tedy 2x + 1 funkce definovaná na intervalu (1,4). Pro pohodlnější zápis si například označme tuto funkci jako g(x), takže g(x) = 2x + 1. Např. k číslu 3 je touto funkcí přiřazeno číslo 2-3+1, to jest číslo 7. Místo rčení „k číslu 3 je přiřazeno číslo 7" můžeme též říci, že funkce g nabývá v bodě (čísle) 3 hodnotu 7. Píšeme pak #(3) = 7. Podobně #(1,5) = 2-1, 5 +1, to jest g(1,5) = 4. Lehce nahlédneme, že oborem funkce g je interval (3, 9). Píšeme též #((1,4)) = (3,9) Příklad 2.9. Položme y = \j2x + 1. (2.8) Předpisem (2.8) je definovaná funkce. Poněvadž není uveden její definiční obor, rozumí se jím množina všech těch čísel x, pro něž má předpis \j2x + 1 význam. Tedy D(f) = {x G M : 2x + 1 > 0}. Tedy D(/) = (-Í,~). Příklad 2.10. Označme h funkci 2. Funkce a jejich vlastnosti s definičním oborem A = (—00, —1) U (1, 00). Tuto funkci lze zapsat též takto h: (-00,-1) U (l,oo) ->■ R, x —► v'x2 — 1. I Grafem funkce f : A ^ B, A (Z ~R, ß c R v pravoúhlém souřadném systému Oxy rozumíme množinu všech bodů [xj(x)}, x e A. Grafy většiny funkcí, které se vyskytují v ekonomických aplikacích, odpovídají intuitivnímu chápání křivky v rovině. Jako příklad si uveďme graf funkce y = x\ i£(-2,2) uvedený na obr. 2.9 Obrázek 2.9: Graf funkce y x Grafy některých funkcí si nedovedeme vykreslit. Příkladem je funkce /:K ^ {-1,1} 1, je-li x racionální. -1, je-li x iracionální. x K vytvoření si hrubé představy o grafu vyšetřované funkce / : A —► B si v množině A můžeme zvolit body Xq < X\ < X2 < ■ ■ ■ < xn a v nich vypočítat funkční hodnoty f(xo), f(x\), /(X2), • • •, f(xn). Jestliže pro nějaké i je (xí,xí+1) C A, spojíme body [xi,f(xi)], [xi+l, f(xi+l)} úsečkou. Pro „slušné" funkce, nejsou-li vzdálebosti bodů Xi,xi+\ velké, nám tyto úsečky dají dobrou představu o grafu funkce. Tímto způsobem se provádí i vykreslování grafů funkcí užitím počítače pro jemné dělení intervalu, v němž graf vyšetřujeme. Na obr. 2.10 je schematický náčrtek grafu funkce V tgir, pro x G (O, f) U (f,7r) . 0, pro x = " (2.9) 2' 70 Obrázek 2.10: Graf funkce definované vztahem (2.9). Obrázek 2.11: Pokus o vykreslení funkce y = tg(ir) Na obr. 2.11 je graficky „znázorněna" funkce (2.9) propojením bodů [xk,tg(xk)}, Mexk = k-0,2, k = 0, • • • , 31. Porovnáním obr. 2.11 s obr. 2.10 vidíme, že došlo ke značnému zkreslení. Daná funkce není „slušná". Je v bodě | nespojitá. Pojem nespojitosti funkce si vysvětlíme později, zatím poznamenejme alespoň to, že hodnoty této funkce se v bodech blízkých k číslu | značně liší od hodnoty této funkce v bodě 0, tj. od čísla 0. 71 2. Funkce a jejich vlastnosti Funkce rostoucí, f u n kce klesající Obdržený výsledek ukazuje, že výše uvedený postup „znázornění funkce " není postačující, je nutno jej kombinovat s vyšetřením některých vlastností funkce. V ekonomických rozvahách se bez pojmu funkce neobejdeme. Jako příklad funkce, která se v ekonomických aplikacích vyšetřuje, je funkce C(x), která vyjadřuje vztah mezi výrobou x jednotek produkce a celkovými náklady na jejich výrobu. Tyto výrobní náklady jsou součtem fixních nákladů a nákladů variabilních, závislých na počtu x jednotek produkce. Funkce —^— se pak nazývá funkcí průměrných nákladů. Uveďme si tento příklad. Příklad. Při kalkulaci nákladů se odhadnou fixní náklady na 300 p.j. (peněžních jednotek). Jsou to náklady, které vznikají, ať se vyrábí nebo ne. Kromě toho se zjistí, že na výrobu x jednotek je zapotřebí Ax p.j. Tedy variabilní náklady jsou Ax. Celkové náklady jsou tedy C(x) = 300 + Ax. Tuto funkci lze pak použít k dalším úvahám, např. ke stanovení průměrných nákladů AC ASI A 300 x Funkce C{x) ovšem nemusí být lineární. Dále v praktických úlohách nemůže x přesáhnout jistou hodnotu K. Tedy 1 < x < K. Poznamenejme, že x v uvedeném příkladě značí počet jednotek produkce. Tedy x může být v konrétním případě jen přirozené číslo. Kvůli zjednodušení zkoumané ekonomické problematiky se často používá model s proměnou x, která nabývá všech hodnot jistého intervalu reálných čísel. Tím můžeme dostat zkreslené výsledky. Funkce monotónní, funkce sudá a funkce lichá Uveďme si nyní některé význačné třídy funkcí, to jest funkcí s některými třídě charakteristickými vlastnostmi. Začněme s monotónními funkcemi. Definice 2.2. 1 Necht / : i C 1 -> 1. Řekneme, že / je na množině A rostoucí (neklesající), jestliže VlTi, X2 E A X\ < X2 f(Xl) < f(x2), (f(Xl) < f(x2)). (2.10) | Definice 2.3. Necht / : A C IR —> IR. Řekneme, že /je na množině A | klesající (nerostoucí), jestliže 72 I Wxi,x2 • }\xi) > f(x2), (f(xi) > f(x2)). (2.11) Na obr. 2.12 je uveden příklad grafu funkce rostoucí a na obr. 2.13 je uveden příklad grafu funkce neklesající na intervalu I. y n f(x1)=f(x2) Xl X2 J x Obrázek 2.12: Graf rostoucí funkce. Obrázek 2.13: Graf neklesající funkce. Funkce na obr. 2.10 je na intervalu (O, |) rostoucí, je rovněž rostoucí na intervalu (f, 7r). Není rostoucí ani na intervalu (O, |) ani na intervalu (|, 7r). Není ani rostoucí na intervalu (0,7r). Zdůvodněte! Poznámka. Uveďme si, kdy funkce / není na množině A, na níž je definovaná, rostoucí. Negujme tedy (2.10) v definici 2.2. Dostáváme: Funkce / : A C IR —► IR není na A rostoucí, jestliže existují taková čísla xi,X2 £ A, že x-i < X2 a f(x\) > /(a^)- Podobně vyjádřete, že / není na množině A neklesající, resp. klesající, resp. nerostoucí. Funkce nerostoucí a funkce neklesající na dané množině nazýváme společným názvem funkce monotónní. Funkce rostoucí a funkce klesající na dané množině nazýváme společným názvem funkce ryze monotónní. Je-li funkce ryze monotónní, je i monotónní. Opak nemusí platit. Funkce prostá. Dalším důležitým pojmem je funkce prostá. Nechi f : A C IR —> IR. Funkci f nazveme prostou na A, jestliže f má tuto vlastnost Wxi, x2 G A, xi ^ x2 je }\xi) ^ f(x2] (2.12) Funkce prostá Příklad 2.11. Nechť funkce y = f (x) je dána tabulkou x 1 3 3,5 4 5 y 3 1 0 2 4 Tedy např. /(3) = 1, /(4) = 2 atd. Tato funkce je prostá. Není však ani rostoucí ani klesající. 2. Funkce a jejich vlastnosti Příklad 2.12. Funkce y = x2 není na intervalu (—2,2) prostá. Označme f(x) = x2. Zvolme např. x\ = —1, x^ = 1. Je tedy x\ ^ x2, avšak fixí) = f(x2) = 1. Viz obr. 2.14. y \ 4- 3- 2- Jy = --x2 2 1 0 1 2 x Obrázek 2.14: Funkce y = x2 definovaná na intervalu (—2, 2). Funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prostá. Viz obr. 2.15 Obrázek 2.15: Funkce y = x2 je na intervalu (0, 2) prostá. Porovnáním definicí rostoucí funkce, klesající funkce a prosté funkce dospějeme k tomuto závěru: Funkce ryze monotónní na A C IR je na A též prostá. Existuje však funkce prostá, která není ryze monotónní (viz příklad 2.11). Funkce sudá, funkce lichá Definice 2.4. Řekneme, že funkce y = f (x) je sudá (lichá), má-li tuto vlastnost: Je-li definovaná v bodě x, je definovaná i v bodě (-x) a platí f\-x) = f\x), (f(-x) = -f(x)). 74 Z definice je tedy patrno, že graf sude funkce je symetrický vzhledem k ose y a graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku. Příkladem sudé funkce je funkce y = x2. Skutečně, tato funkce je definovaná pro všechna x a platí (—x)2 = x2. Příkladem liché funkce je funkce y = x3. Skutečné, tato funkce je definovaná pro všechna x a platí (—x)3 = —x3. Kontrolní otázky 1. Nechť f(x) = f^. Vypočítejte a) 7(2) X [7] b) /((O, 3)) [nelze, v bodě 1 G (0,3) není fix) definováno] c) /«5,6» m a)] 2. Určete definiční obor funkce fix) = ffrj- [ß/ = (-00,-1) U (-1,1) U (l,oo)] 3. Zjistěte, zda funkce jsou sudé, resp. liché: a) fix) = -J—r [sudá] [není ani sudá, ani lichá] [lichá] [lichá] x4-l b) 9{x) = J^2 c) h(x) = J^ d) u(x) = 2^1 4. Co je to funkce rostoucí, klesající, monotónní? 5. Načrtněte grafy funkcí a) y = 2x — 1 b) y = x3 + 1 2.3 Spojitost funkce Začněme s grafem funkce /i^CR^K (obr. 2.16) a s grafem funkce g : ACl^K (obr. 2.17) a všimněme si, jak se tyto funkce chovají v „blízkosti" bodu x = a G A. Funkce f se v číslech x blízkých k číslu a málo liší od hodnoty f (a). Naproti tomu funkce g se v číslech x blízkých k číslu a hodně liší od hodnoty g (a). Tuto charakteristickou vlastnost funkce / lze volně popsat tak, že řekneme, že graf funkce / je v bodě a „nepřetržitý". Podobně uvedenou charakteristickou vlastnost funkce g lze volně popsat tak, že řekneme, že graf funkce g je v bodě a „přetržitý". Použitá rčení „x je blízko k číslu a", ,,f(x) se málo liší od /(a)" a ,,g(x) se hodně liší od g(a)u, graf je „přetržitý" je nutno upřesnit. Upřesníme je v následující definici. Definice 2.5. (Spojitost funkce.) Nechť funkce f{x) je definovaná na intervalu /. Nechť a je vnitřním bodem intervalu /. Řekneme, že funkce f{x) je Spojitost f u n kce v bodě 2. Funkce a jejich vlastnosti v bodě a spojitá, jestliže k libovolnému číslu e > 0 existuje takové ö > 0, že 1. U5{a) C J, 2. \f(x) — f(a)\ < e pro x 6 U§(a). y- 1 /(*) fin) I\a) 0 c i x fll« Obrázek 2.16: Funkce spojitá v bodě x = a. 0 A Obrázek 2.17: Funkce nespojitá v bodě x = a. Vztah \f(x) — f(a)\ < e v definici vyjadřuje, že hodnota funkce / v bodě x se liší od f (a) o méně než e. Číslo e může znamenat libovolné kladné číslo. Okolnost, že x G Ug(a) znamená, že a-ó 0, že pro x E (a — ô, a + ô) leží graf funkce v pásu omezeném přímkami y = f (a) — e, y = f (a) + e. Číslo e je zvoleno libovolně, číslo ô > 0 se určuje k zvolenému e > 0. Význam definice 2.5 je graficky znázorněn na obr. 2.19 pro funkci g, která není v bodě a spojitá. 76 y h g (a) + e 9(a) g (a) e ^-v > 0 I a x Obrázek 2.19: Graf nespojité funkce. Na grafu 2.19 je patrno, že lze zvolit takové číslo e > 0, že k němu neexistuje číslo ô > 0 tak, aby graf funkce g probíhal v intervalu (a — ô, a + ô) C / v pásu omezeném přímkami y = g (a) — e, y = g (a) + e. Tedy funkce g není spojitá v bodě a. Příklad 2.13. Funkce f (x) = c, x G M je spojitá v každém bodě aeK. Skutečně. Zvolme e > 0. Potom pro každé ô > 0 platí Us(a) C M, \f(x) — f(a)\ = \c — c\ = 0 < e, x E Us(a). Je tedy funkce f(x) spojitá v každém bodě a£K. Příklad 2.14. Funkce f(x) = x,xEM.je spojitá v každém bodě aeK. Skutečně. Zvolme e > 0. Položme ô = e. Pak Us(a) = U£(a) = {x : a — e < x < a + e} C M, \f(x) — f(a)\ = \x — a\ < e, x E Us(a). Je tedy funkce f(x) spojitá v každém bodě a£K. Podobně definujeme spojitost zprava a spojitost zleva funkce f(x). Definice 2.6. (Spojitost funkce zleva a zprava.) Necht funkce f{x) je definovaná na intervalu /. Necht a E I je levým (pravým) koncovým bodem intervalu /. Řekneme. že funkce f{x) je v bodě a spojitá zprava (zleva), jestliže k libovolnému číslu e > 0 existuje takové ö > 0, že 1. U+(a) C / 2. \f(x) - f (a) (Ui(a)cl)., < e pro x E U~${a) (x E U5 (a)). Poznámka. Z definic 2.5, 2.6 vyplývá toto tvrzení: 2. Funkce a jejich vlastnosti Nechť funkce f\x) je deůnovaná na intervalu I a nechč a je jeho vnitřním bodem. Potom funkce f\x) je spojitá v bodě a právě tehdy, když je v bodě a spojitá zprava i zleva. Zodpovězme si nyní otázku, zda funkce F(x), která vznikne z funkcí f(x). g(x) spojitých v bodě a sečtením, resp. odečtením, resp. násobením, resp. dělením, je rovněž v bodě a spojitá. Platí tato věta. (Analogická věta platí pro spojitost zleva (zprava) a v bodě a.) Věta 2.1. Nechi funkce f(x), g{x) jsou definovány v intervalu I a nechč jsou spojité v jeho vnitřním bodě a. Potom i funkce f(x) ± g{x), f{x) • g{x) jsou spojité v bodě a. Je-li navíc g (a) ^ 0, je i funkce 4|y spojitá v bodě a. Důkaz: a) Nechť e > 0 je libovolné číslo. Poněvadž f(x) je spojitá v bodě a. existuje ôi > 0 tak, že Ug1 (a) C I a pro x G Ug1 (a) platí |/(nr)-/(a)|<-. (2.14) Podobně, poněvadž g(x) je spojitá v bodě a, existuje Ô2 > 0 tak, že Ug2 (a) C I a pro x G Ug2 (a) platí \g(x)-g(a)\ < -. Položme 5 = min(5i, 52). Potom pro x G Ug(a) dostáváme (2.15) £ £ \(f(x)±g(x))-(f(a)±g(a))\ < \f(x)-f(a)\ + \g(x)-g(a)\ < ^ + ^ = e. (2.16) Jsou tedy funkce f(x) ± g(x) spojité v bodě a. b) Nechť £ > 0 je libovolné číslo. Položme £ £l |/(a)| + |0(a)| + ľ takže £1 > 0. Existuje tedy 5\ > 0 tak, že funkce f(x), g(x) jsou definovány v Ug1 (a) a pro x G Ug1 (a) platí \f(x)- f(a)\ 0 tak, že pro x G Ug2(a) platí \f(x) — f(a)\ < 1. Je tedy |/(x)| = \f(a) + (f(x) - f(a))\ < \f(a)\ + \f(x) - f(a)\ < \f(a)\ + 1. (2.18) 78 Položme 5 = mm(51,52). Potom pro x E Ug(a) C I platí \f(x)g(x) - f(a)g(a)\ = \f(x)(g(x) - g(a)) + g(a)(f(x) - f(a))\, to jest \f(x)g(x) - f(a)g(a)\ < \f(x)\ ■ \g(x) - g(a)\ + \g(a)\ ■ \f(x) - f(a)\. Úpravou s ohledem na (2.17), (2.18) \f(x)g(x) - f(a)g(a)\ < (\f(a)\ + l)£l + |p(a)|£l = e. (2.19) Je tedy funkce f (x) g (x) spojitá v bodě a. c) Důkaz posledního vztahu pro spojitost funkce 44 v bodě a se provádí D podobně. Přenechávám jej čtenáři. Důsledek 1. Poněvadž funkce g{x) = c pro x G IR je spojitá, dostáváme z věty 2.1 tento závěr: Nechí funkce f(x) je definovaná na intervalu I a nechí a je jeho vnitřní bod. Potom funkce cf(x) je spojitá v a. Toto tvrzení lze zobecnit: Nechi funkce f\(x), f2{x),..., fn{x) , tervalu I a jsou spojité v jeho vil Ci, C2,..., cn G M. Potom funkce jsou defínované 'tmím bodě a. na in-Nechi Cifi(x) +c2f2(x) H-------h fi(x)f2(x). CnJnyX) ■ ■ fn{x) (2.20) (2.21) jsou spojité v bodě a. (Dokažte!) Slovy: Lineární kombinace funkcí spojitých v bodě a. v bodě a je opět spojitá Důsledek 2. Nechi funkce f\x) je definovaná na intervalu I a je spojitá v jeho vnitřním bodě a. Potom pro každé n G N je funkce ľ{x) spojitá v bodě a. (Dokažte!) (2.22) 2. Funkce a jejich vlastnosti Spojitost reálného polynomu. Nechi f(x) = anxn + an. kde ao, «i,..., an polynom stupně n -\Xn~l + • • • + (1\X + «o, x G R. Potom funkce (2.23), , je spojitá v každém bodě Gt, an ŕ 0, (2.23) zvaná reálný «Gl. Důkaz: Podle příkladu 2.14 je funkce y = x spojitá v bodě a a podle příkladu 2.13 je funkce y = c spojitá v bodě x = a. Podle důsledku 2 jsou spojité i funkce xm pro m = 1, 2,..., n. Podle důsledku 1 je v bodě a spojitá i funkce (2.23). D Příklad 2.15. Funkce f(x) = x + 1, g (x) = x2 + 1 jsou spojité v každém bodě. Podle věty 2.1 je i funkce ^L jakožto podíl dvou spojitých funkcí spojitá v bodech, v nichž je x2 + 1 ^ 0. Poněvadž x2 + 1 ^ 0 pro všechna x E IR, je daná funkce spojitá v každém bodě x E I. Příklad 2.16. Funkce y = ani definovaná. Příklad 2.17. Funkce F(x) = je spojitá v bodě x = 1. Skutečně. Pro x =^ 1 je x-l j- není v bodě 1 spojitá, poněvadž v něm není ^ pro x =£ l,x =£ -1 \ pro x = 1 (2.24) x 1 1 ar (2.25) 1 x+1 K J Položme g(x) = -^ pro x E M,,x =^ —1. Funkce (/(ir) je v bodě 1 spojitá podle věty 2.1, neboť g(x) je podíl dvou funkcí spojitých v bodě 1. Tedy pro libovolné e > 0 existuje ô > tak, že Us(a) C Dg a platí pro x E Us (a). (2.26) g(x) 2 < £ Tedy F(x) = g{x) pro x E Us(a), F{l) = g{l) = \. (2.27) Je tedy funkce Fix) rovna spojité funkci g(x), x E Ug(a). Je tedy funkce F(x) v bodě a spojitá. Funkce spojité na intervalu. Vraťme se znovu k pojmu spojitosti funkce. Některé funkce, např. funkce y = x2 + 3x + 1, jsou spojité v každém bodě x E (—00,00). Zavedeme si nyní pojem spojitosti funkce na intervalu. Připomeňme si napřed, že bod a E I je vnitřním bodem intervalu I, není-li jeho krajním bodem. 80 Definice 2.7. (Funkce spojitá na intervalu) Budeme říkat, že funkce f{x) je spojitá na intervalu I. jestliže i) je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu /. ii) je-li a levým (pravým) koncovým bodem intervalu /, a a E I, potom f{x) je v bodě a spojitá zprava (zleva). Příklad 2.18. Funkce Fix) = ^ je spojitá na intervalu (2, 3). Skutečně. Funkce f(x) = 1, g(x) = x jsou spojité na intervalu (—00,00) a g(x) ^ 0 pro x ^ 0. Podle věty 2.1 je funkce F(x) = 4^j spojitá v každém bodě intervalu (2,3). Dále f(x) je spojitá též zprava (zleva) v bodě a = 2 (6 = 3). Odtud dostáváme, že Fix) je spojitá na (2, 3). Uveďme si několik důležitých vlastností funkcí spojitých na intervalu I. Věta 2.2. (Zobrazení intervalu) [vi Nechi funkce f(x) je spojitá na intervalu I. Potom zobra-I zuje interval I bucíto na jednobodovou množinu, nebo na I interval. Důkaz: Bez důkazu. D Příklad 2.19. Funkce f(x) = 3, x G (1,2) zobrazuje interval (1,2) na množinu {3}. Funkce g(x) = 3x + 2 zobrazuje interval (5,7) na interval (17, 23). Načrtněte grafy obou funkcí a na obrázku zdůvodněte toto tvrzení. Věta 2.3. (Existence maxima a minima funkce) Nechč funkce f\x) je spojitá na uzavřeném intervalu (a, b). Potom v něm nabývá své maximální i minimální hodnoty alespoň v jednom bodě. Důkaz: Bez důkazu. D Příklad 2.20. Funkce fix) = x2, x G (—1, 3) nabývá své minimální hodnoty v bodě x = 0 a maximální hodnoty v bodě x = 3. Příklad 2.21. Funkce f(x) = ^, x G (0,3) nabývá v intervalu (0,3) své minimální hodnoty v bodě 3, maximální hodnoty nenabývá. Funkce F(x) je spojitá na intervalu (0, 3), v bodě 0 není definovaná. Viz obr. 2.20. Znamení spojité funkce Nulový bod funkce. Číslo a nazýváme nulovým bodem funkce /, jestliže fia) = 0. Funkce spojitá na intervalu - vlastnosti Znamení f u n kce 81 2. Funkce a jejich vlastnosti Obrázek 2.20: Funkce y = - definovaná na intervalu (0, 3) co je to znamení f u n kce Nechť funkce f\x) je spojitá na intervalu I. Určit znamení funkce f\x) znamená určit její nulové body a intervaly, v nichž funkce f nabývá jen kladné hodnoty a intervaly, v nichž nabývá jen záporné hodnoty. Nechť funkce f(x) je spojitá na intervalu I, jehož levý (pravý) koncový bod je a G IR* (b G IR*). Nechť x\,...,xn jsou nulové body funkce f(x), které jsou vnitřními body intervalu I. Položme xq = a, xn+i = b. Potom funkce f(x) je na každém intervalu (xí, xi+i), i = 0,1,..., n kladná nebo záporná. Příklad 2.22. Určete znamení funkce f(x) = 2x — 1. Řešení. Funkce f(x) je spojitá na intervalu (—oo, oo). Má jediný kořen x = |, který dostaneme řešením rovnice f(x) = 0, tj. rovnice 2x — 1 = 0. Položme x\ = \. Poněvadž např. pro x = 0 G (—oo, |) je /(0) = — 1 < 0, je f(x) < 0 na intervalu (—oo, |). Podobně, poněvadž např. pro x = 1 je /(l) = 1 > 0, je f{x) > 0 na intervalu (|,oo). Graficky znázorníme znamení této funkce takto: + Kontrolní otázky 1. Vysvětlete pojem spojitosti funkce v bodě. 2. Uveďte, zda funkce je spojitá v daném bodě a. a) y = x2 + 1, a = 2 b) y= í1!' a= l 3. Nechť f(x) = -x + 2. Určete /((0, 2)). 4. Určete znamení funkcí a) y = Ax + 1 [je spojitá] [není spojitá] [(0,2)] + + 82 2.4 Polynom a racionálni lomena funkce Polynom Příkladem komplexní funkce komplexní proměnné je polynom. Nechť an, an-i,..., <2i, <2o jsou komplexní čísla. Jestliže ke každému komplexnímu číslu x 6 C přiřadíme číslo f (x) vztahem f (x) = anxn H-------h dix + a0, (2.28) je jím deůnována komplexní funkce na množině všech komplexních čísel C Tato funkce se nazývá polynom. Čísla an,..., <2o nazýváme koefícienty polynomu f(x). Číslo «o nazýváme absolutním členem polynomu f\x). Jestliže an ^ 0, polynom f\x) nazýváme polynomem n-tého stupně. Např. fix) = x2 + 1 je polynom 2. stupně. Podle definice stupně není polynomu f(x) = 0 přiřazen žádný stupeň. Nazýváme jej nulovým polynomem. Číslo a nazýváme kořenem (nulovým bodem) polynomu f(x), jestliže f (a) = 0. Např. polynom P(x) = x3 + x (2.29) má kořeny 0, i, —i, neboť P(0) = 0, P (i) = i3 + i = 0. Podobně P (—i) = H)3 + H) = o. Jestliže P(x) je polynom a a je jeho kořen, potom polynom prvního stupně x — a se nazývá kořenovým činitelem odpovídajícímu kořenu a. O polynomu platí tyto věty: Věta 2.4. Nechč a je kořenem polynomu f\x) stupně n > 1. Potom existuje takový polynom g{x) stupně n — 1, že pro každé komplexní číslo x platí f\x) = {x-ol) ■ g{x). x — a nazýváme kořenovým činitelem polynomu f\x). 2. Funkce a jejich vlastnosti Důkaz: Poněvadž f (a) = 0 lze polynom fix) zapsat jako f{x) = f{x) -/(«) = (anxn + an-ixn~l -\-------\- a\x + a0) - -{anan + an_i«n_1 H-------h ßia + a0). Úpravou dostáváme f(x) = an(xn — an) + an-i(xn^1 — a-1) + • • • + a\{x — a). Poněvadž xk - ak = (x - a)(xk~ľ + axk~2 H-------h afe_1), pro k = 1,2,.. lze psát ,n, x) = (x - a) ■ [an(xn L H-------V ď1 L) H-------h ßi] to jest (x) = (x — «)(/(ir); což jsme chtěli dokázat. D Příkladem je polynom IX I — ,\j ,\j £i. který má číslo 2 za svůj kořen, neboť /(2) = 0. Existuje tedy polynom gix) stupně 2 tak, že f(x) = (x-2)g(x). Dělením polynomu fix) kořenovým činitelem x — 2 dostáváme tj. takže ( x2 — x — 2 ) : (x - -2) = = x + l ±x2^2x x-2 ± iť2 (x2 - x - 2) : (x - 2) = x + 1. (x) = (x-2)(x+l). Kořeny polynomu Zatím jsme pouze zavedli pojem kořene polynomu, ale nezabývali jsme se problémem existence kořene polynomu. O tom vypovídá následující věta: r Věta 2.5. (Fundamentální věta algebry) Každý polynom stupně n > 1 má v oboru komplexních čísel kořen. 84 Důkaz: Bez důkazu. Říkáme, že číslo a je k-násobným kořenem polynomu f(x), jestliže pro každé komplexní číslo x platí f\x) = (x-afg(x), kde g{x) je takový polynom, že g(a) ^ 0. Příklad 2.23. Polynom x3 — 3x2 + 4 lze zapsat ve tvaru x3-3x2 + 4 = (x-2)2(x + l). Je tedy x = 2 dvojnásobným a x = — 1 jednoduchým kořenem polynomu x3 - 3x2 + 4. Důsledek. Polynom n-tého stupně, n > 1, f (x) = anxn + an-ixn~l -\-------h a\x + a0, an ^ 0 má právě n kořenů, počítáme-li k-násobný kořen za k kořenů. Důkaz: Jestliže n = 0, clq ^ 0, je tvrzení zřejmé. Nechť tedy f(x) je polynom stupně 1. Potom fix) = d\x + clq, kde a\ ^ 0. Potom /(x) = a\{x + ^). takže /(#) = (x — «)ai, kde a = —^. Předpokládejme, že věta platí pro polynomy stupně n — 1 a dokažme, že pak věta platí také pro polynomy stupně n. Nechť tedy /(x) = anxn + an_ixn_1 H-------h ßix + a0, an ^ 0. Podle fundamentální věty algebry má polynom fix) kořen v oboru komplexních čísel, označme jej a. Tedy /(x) = (x-a)g(x), kde g(x) je polynom stupně n — 1, který má podle předpokladu n — 1 kořenů. Poněvadž a je kořenem polynomu f(x), má /(x) právě n kořenů. rj Příklad 2.24. Poněvadž x4 + 4x3 - 16z - 16 = (x + 2)3(x - 2), je x = 2 jednoduchým a x = — 2 trojnásobným kořenem tohoto polynomu. Má tedy daný polynom 4 kořeny. Důsledek. Jestliže polynom fix) je roven nule v nekonečně mnoha číslech, pak je to polynom nulový. 2. Funkce a jejich vlastnosti Důkaz: Kdyby polynom byl stupně n > 1, byl by roven nule nejvýše v n navzájem různých číslech. To je spor, takže polynom má všechny koeficienty nulové. Pro n = 0 je věta zřejmá. □ Důsledek. Jestliže dva polynomy f(x),g(x) nabývají stejné hodnoty v nekonečně mnoha číslech, pak mají stejné koeficienty u stejných mocnin x. Důkaz: Označme h(x) = f(x) -g{x). Polynom h(x) má nulovou hodnotu v nekonečně mnoha číslech, takže všechny jeho koeficienty jsou nulové. Odtud snadno plyne tvrzení. q Reálný polynom Polynom s reálnými koeůcienty budeme nazývat reálným polynomem. |Veta 2.6. Je-li a + iß, ßr 0 jednoduchým kořenem reálného poly- 1 nomu f(x) = ar + an- -ixn+1 H--------h «i X + CLq. an ^0. (2.30) | je též číslo a - iß jeho kořenem. Důkaz: Dosazením x = a + iß do (2.30) dostáváme f(a + iß) = an(a + iß)n + cin-i^a + iß)n~l -\-------h a^a + iß) + a0 = A + iB, kde A = Re(f(a+iß)), B = lm(f(a+iß)). Poněvadž f(a+iß) = A+iB = 0, je A = 0, B = 0. Poněvadž (a — iß)r je číslo komplexně sdružené k číslu (a + ißY pro r = 1, 2,..., n, platí f (a — iß) = an(a — iß)n + an_i(« — iß)n~l + • • • + a\{ot — iß) + clq = A-iB. Poněvadž A = B = 0, je f (a — iß) = 0, takže a — iß je kořenem polynomu (2.30). D Je tedy polynom (2.30) dělitelný součinem kořenových činitelů (x — (a + iß)) ■ (x — (a — iß)) = (x — a)2 + ß2, tedy reálným polynomem druhého stupně. Je tedy f(x) = [(x-a)2 + ß2]f1(x), (2.31) 86 kde fiix) je reálný polynom stupně n — 2. Kdyby a + iß byl dvojnásobným kořenem reálného polynomu f(x), byl by a + iß jednoduchým kořenem reálného polynomu fi(x), určeného vztahem (2.31). Tedy a — iß by byl podle věty 2.6 též jeho kořenem. Bylo by tedy možné psát f1(x) = [(x-a)2 + ß2]f2(x), kde f2{x) je reálný polynom stupně n — 4. Tedy f(x) = [(x-a)2 + ß2]2f2(x). (2.32) Tímto jsme dospěli k tomuto závěru I Je-li a+iß, ß 7^ 0, k-násobným kořenem reálného polynomu f(x), je i a — iß k-násobným kořenem polynomu f(x). Poznámka. Jestliže polynom není reálný, tvrzení věty nemusí být splněno. Např. polynom f(x) = x2 + x(l — i) — i má číslo i za svůj kořen, avšak —i není jeho kořenem. Z toho, co jsme o kořenech polynomu uvedli, lze dospět k tomuto tvrzení. Nechi f(x) je reálný polynom. Nechí a,ß, ...,7 jsou všechny jeho navzájem různé reálné kořeny a to a k-násobný, ß l-násobný, ... ,7 m-násobný. Nechi a ± ib,..., c ± id jsou všechny jeho navzájem různé dvojice nereálných komplexně sdružených kořenů. Nechi a + ib je p-násobný,..., c + id je q-násobný kořen. Potom platí f{x) = an-(x-a)k-(x-ß)1.....{x-^iT- \{x - af + b2f.....[(x - cf + d2]q. (2.33) pro každé komplexní číslo x. Polynom f\x) zapsaný ve tvaru (2.33) nazýváme rozkladem reálného polynomu v reálném oboru. Rozklad reálného polynomu Hledání kořenů polynomů. Vyslovili jsme sice větu o existenci kořenů polynomů, avšak neuvedli jsme zatím nic o způsobu jejich hledání. Tato problematika je značně rozsáhlá a její výklad v plném rozsahu je nad rámec tohoto textu. Uvedeme zde alespoň několik úvodních poznámek k této problematice. Hledání kořenů polynomů 1. a 2. stupně by Vám mělo být všem dobře známo. Některým z Vás možná není znám případ, kdy kořeny kvadratické rovnice Hledání kořenů polynomů 2. Funkce a jejich vlastnosti jsou komplexní. Proto si uvedeme i případ hledání kořenů polynomů 1. a 2. stupně. Zde není uvedeno podrobné odvozování. Výklad týkající se polynomů 2. stupně je nutno chápat jen jako připomenutí poznatků z matematiky v dřívějším studiu. Ukážeme si i metody na hledání kořenů polynomů 3. a 4. stupně, jimž tyto kořeny určíme z jejich koeficientů konečným počtem aritmetických operací a odmocňováním. Je dokázáno, že neexistuje výpočtový postup, kterým by bylo možno v obecném případě určit kořeny každého polynomu stupně většího než 4 z jeho koeficientů provedením konečného počtu aritmetických operací a odmocňování. Výpočtové postupy, kterými by bylo možné určit kořeny každého polynomu 3. a 4. stupně z jeho koeficientů konečným počtem aritmetických operací a odmocňování, které uvedeme, dávají někdy výsledky v nepřehledném tvaru, takže se dává často přednost numerickým postupům, které jsou použitelné pro hledání kořenů polynomů stupňů větších než 2. Hledání kořenů polynomu P(x) = anxn + an-ixn~l -\-------h a-ix + a0, (2.34) kde an, an-i, ■ ■ ■, a\, clq G C, an ^ 0, vede na řešení algebraické rovnice anxn + an-\xn~l + • • • + a\x + clq = 0. (2.35) Číslo a je kořenem polynomu (2.34), když a jenom když je řešením rovnice (2.35). Kořeny polynomu 1. stupně. Pro n = 1 dostáváme z (2.34) polynom P\{x) = (i\X + ao, ai ^ 0. (2.36) Příslušnou algebraickou rovnici a\x + do = 0, a\ ^ 0, (2.37) nazýváme lineární rovnicí. Má jediný kořen, označíme jej x\, kde Xl = --. (2.38) Polynom P\{x) = a\X + ao, a\ ^ 0, má jediný kořen x\ iřín (2.39) —. Grafem reálného polynomu 1. stupně (2.36) je přímka y = d\x + «o, která protíná osu x v bodě X\ = — —. (Viz obr. 2.21.J 88 'y = ti\x + ao Xl Obrázek 2.21: Graf lineární funkce (2.39). Příklad 2.25. Např. polynom Pl(x) = 2x + 3 (2.40) má právě jeden kořen x\, který je kořenem rovnice 2x + 3 = 0. Tímto kořenem je číslo x\ = — §. (Nakreslete si jeho graf.) Kořeny polynomu 2. stupně. Pro n = 2 dostáváme z (2.34) polynom P2(x) = C12X2 + d\x + ao, (i2 ^ 0. (2-41) Kořeny tohoto polynomu jsou řešením kvadratické rovnice CL2X2 + a\x + ao = 0, (i2 ^ 0. (2.42) Kořeny X\,X2 (ve stručném zápisu xi^) polynomu (2.41), tedy řešení kvadratické rovnice (2.42), lze určit podle vztahu Xl9 cl\ ± yaj — 4(22^0 2^ ' (2.43) (Vztah (2.43) platí i pro polynomy, které nejsou reálné.) Číslo D = a\- 4a2«o (2.44) se nazývá diskriminant kvadratické rovnice (2.42). Diskuze — reálný polynom 2. stupně. Nechť P2(x) = (I2X2 + ol\x + ao, (2.45) kde a2,ai,ao e K, a2 ^ 0, je reálný polynom 2. stupně. Mohou nastat tyto případy. a) D = 0. V tomto případě dostáváme z (2.43) £l,2 2a2' (2.46) b) D > 0. V tomto případě je y D reálné číslo a z (2.43) dostáváme -ai - VĎ -ai + \/Z> Xl =-----------------------, Xj2 = 2a5 2a2 (2.47) Řešení kvadratické 2. Funkce a jejich vlastnosti c) D < 0. V tomto případě dostáváme z (2.43) -a-i — i\/\D\ —a-i + i\/\D\ X\ 2a2 x2 2a2 (2.48) Příklad 2.26. Určete kořeny polynomů a) f(x) = 2x2 — 3x. b) g(x) = x2 — 5x + 6. c) h(x) = x2 + x + 1. Řešení. a) Kořeny polynomu f(x) jsou kořeny rovnice 2x2 - 3x = 0. (2.49) Poněvadž rovnice nemá absolutní člen, není nutno k jejímu řešení použít vztah (2.43). Rovnici (2.49) přepíšeme na tvar x{2x - 3) = 0. (2.50) Poněvadž součin dvou výrazů je roven 0, když alespoň jeden z nich je roven 0, z (2.50) vyplývá x = 0 nebo 2x — 3 = 0. Odtud 3 xi = 0, x2 = -. b) Kořeny polynomu g{x) dostaneme řešením kvadratické rovnice x2 — 5x + 6 = 0. Diskriminant D této rovnice počítáme podle (2.44). Dostáváme D = 52 - 4 • 1 • 6, tedy D = 1. Podle (2.47) dostáváme X\ = b-VT ~2~: x2 = 5 + \/T 2 ! tedy x\ = 2, x2 = 3. c) Kořeny polynomu h{x) dostaneme řešením kvadratické rovnice x2 + x + 1 = 0. Diskriminant této rovnice počítáme podle (2.44). Dostáváme D = 1 - 4 • 1 • 1, takže D = -3. Podle (2.48) dostáváme -l-ň/3 -l + i\/3 X\ 2 x2 2 90 Grafem reálného polynomu 2. stupně (2.41) y = CL2X + ol\x + ao, «2 7^ 0. je parabola, která je pro (I2 > 0 otevřena ve směru kladné osy y a pro «2 < 0 je otevřena ve směru záporné osy y. Označíme D a\ 4<22«o- Je-H D > 0, parabola protíná osu x ve dvou různých bodech x\, x^ daných vztahem (2.47). Jeli D = 0, parabola se dotýká osy x v bodě X\ = X2 daném vztahem (2.46). Je-li D < 0, parabola neprotíná osu x. Viz obr. 2.22—2.27. Graf polynomu 2. stupně Obrázek 2.22: a2 > 0, D > 0 Zl,2 Obrázek 2.23: a2 > 0, D = 0 Obrázek 2.24: a2 > 0, D < 0 Obrázek 2.25: a2 < 0, D > 0 Obrázek 2.26: a2 < 0, D = 0 Obrázek 2.27: a2 < 0, D < 0 Kořeny polynomu 3. stupně. Pro n = 3 dostáváme z (2.34) polynom f3(x) = C13X + Ü2X +aix + ao: (2.51) kde (Z3, ci2, «1, «o £ C, CJ3 ^ 0. Tento polynom má podle důsledku věty 2.5 právě tři kořeny, počítáme-li fc-násobný kořen za k kořenů. Tyto kořeny nalezneme řešením kubické rovnice a%x + (11X + (i\x + ao = 0, 0,3 ^ 0. Následující výklad je stručný, je uveden pro Vaši představu o postupu řešení. Dělením této rovnice číslem as dostáváme rovnici, kterou zapišme jako x3 + b2x2 + bix + b0 = 0. (2.52) Existuje řada metod na řešení rovnice (2.52). Naznačme stručně jednu z nich. Místo proměnné x zaveďme proměnnou y vztahem x = y- -b2. (2.53) Řešení rovnice 3. stupně-informativně 91 2. Funkce a jejich vlastnosti Jejím dosazením do (2.52) dostáváme ŽZ-gM + b2[y- -b2\ +&1 f y- -b2 ) +b0 = 0. Úpravou této rovnice obdržíme kde jsme položili y +py + q = o, (2.54) 1 o 1 2 o p = b1--b2, q = b0 --b2b! +—b2. Pro p = 0 by rovnice (2.54) přešla ve tvar y3 + q = o. Jejím řešením je ž/1,2,3 = v7-?- Zde chápeme y^ v komplexním oboru jako trojznačnou. Nechť p =£ 0. Místo neznámé y zavedeme dvě neznámé vztahem y = u + v (2.55) a zvolíme mezi nimi takový vztah, že celý problém se zjednoduší. Dosazením (2.55) do (2.54) dostáváme (u + v)3 + p(u + v) + q = 0. Úpravou (2.56) obdržíme m3 + v3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0. Zmíněný vztah mezi u, v zvolme takto: 3uv = —p. Tím se rovnice (2.57) převede na tvar u3 +v3 = -q. (2.56) (2.57) (2.58) (2.59) Z rovnic (2.58) a (2.59) obdržíme g2 p3 u =----q—\-----1-----, v =----q+\-----1------. 2y V 4 27' 2y V 4 27 q^ pa Odtud dostáváme l-\q-f-í + YT v=\-\^Ht^Yt g2 p3 (2.60) kde každá veličina u, v je trojznačna. Máme tedy celkem 9 jejich kombinací. Uvažujme ta u,v, která vyhovují rovnicím (2.58), (2.59). Jejich výběrem a dosazením do (2.55) dostáváme 1 /g2 p3 3 1 /g2 p3 ž/i = V-^-VT + 27 + V"2í?+VT + 27; 1 iq1 p3 ,3 1 q2 p3 £V-2q-h + T7+£l-2q+h + 27-< (2.61) 1 „2 pí 3/1 Iq1 p3 £^-2q-\lT + T7+£y-2q+\lT + lr7- 92 kde -l+i\/3 o -l-i\/3 2 ' 2 Závěr: Postup hledání kořenů polynomu P^{x) = a^x + aix +aix + ao. kde (Z3, tt2, «1, «o £ C, a3 ^ 0, určíme v těchto krocích: a) Položme bi = a2 a3' b) Položme V = &i- -i* c) Vypočítejme d) Položme ž/i Ví V3 podle (2.61 &i = ^, 60 = ^. (2.62) a3 a3 1 2 o -&2&1 H-----bi. 3 27 2 Úpravou Dále 1, x /282 93 3 1 x /282 93 ž/1^/-2(-28) + V--27 + V-2(-28)-V--27- ž/i = 3 + 1, tedy yx = 4. Úpravou -l+ň/3 „ -l-ň/3 . ž/2 =------^-3 +------ä--------X' -l-ň/3 -l+ň/3 ž/3 =------^--------3 +---------------1. ž/2 = -2 + «VŠ, ž/3 = -2 - iVŠ. (2.63) Xi=yi-i&2, i = 1,2,3. (2.64) Příklad 2.27. Nalezněte kořeny polynomu P3(y)=y3-9y-28. (2.65) Řešení. V našem případě je b2 =0, 61 = -1, 60 = -28. Podle (2.63) dostáváme p = -9, q = -28. Dosazením do (2.61) dostáváme Příklad 2.28. Nalezněte kořeny polynomu P3 = y3-5y + 4. (2.66) Řešení. Je zřejmé, že y\ = 1 je kořenem P$(y). (Přesvědčíme se dosazením.) Dělením y3 — 5y + 4 kořenovým činitelem y — 1 dostáváme ž/3-5ž/ + 4=(ž/-l)-(ž/2+ž/-4). 2. Funkce a jejich vlastnosti Řešením rovnice dostáváme další kořeny Tedy y2 + y - 4 = 0 -l±s/Y7 ž/2,3 = ž/1 = 1, ž/2 = jsou kořeny polynomu P$(x). -l-x/TŤ ž/3 = -1 + vTŤ Hledejme kořeny daného polnomu -Ps(x) výše uvedeným postupem. V tomto případě je b2 = 0, &! = -5, 60 = 4. Podle (2.63) dostáváme 1 »= -5-------0. F 3 ' 1 2 g = 4-------0- (-5) + — -O3. y 3 v ; 27 Úpravou Podle (2.61) dostáváme p = —5, g = 4. ž/i .I.4 + JH + (z5)! + {/_I.4. 2 V427V2 16 (-5)3 T + 27 Úpravou ž/i ž/2 1/17 3 1/17 ■2+3V-y + V-2-3V-y; -í+ivša/ „ i r~L7 -í-ň/ša/ „ i r~L7 -í-iVŠ3 1 / 17 -l + ň/Ša/ / 17 ž/3 =-----^1/-2+-a/-—+-----^—\l-2- Řešení rovnice 4. stupně -informativně Kořeny polynomu 4. stupně. Pro n = 4 dostáváme z (2.34) polynom f4(x) = a^x + a^x + aix +aix + ao} (2.67) kde ^ 0. Tento polynom má podle důsledku věty 2.5 právě čtyři kořeny. Tyto kořeny nalezneme řešením algebraické rovnice 4. stupně a^x + a^x + aix + a\x + ao = 0, a^ ^ 0. (2.68) K řešení této rovnice je známa řada metod. Uvedeme jeden ze známých výpočtových postupů. Postup hledání kořenů polynomu a^x + a%x + aix + a\x + ao = 0, a^ ^ 0. a) Položme «3 , «2 , «1 , «0 f>3 = —, &2 = —, &1 = —, &0 = —• Q.4 O.4 O.4 O.4 94 Tím rovnici (2.68) převedeme na rovnici x4 + b3x3 + b2x2 + bix + b0 = 0. (2.69) Substitucí x = y-j (2-7°) do rovnice (2.69) dostaneme rovnici y4 + py2 + qy + r = 0, (2.71) kde P=b2- I&3, q = h- \b3b2 + !&§, (2.72) r=b0- Í&3&1 + Ä&1&2 - alě&t. b) Řešme kubickou rovnici í3 + 2pr + (p2 - 4r)t - q2 = 0. (2.73) Označme íi,Í2,Í3 její kořeny. c) Určeme kořeny ž/i, ž/2, ž/3> ž/4 rovnice (2.71) podle vztahů 22/1 = Vh+Vh + Vh: 2ž/2 = V^l - Vh - V^3> /o 74^ 2y3 =-Vh + Vh - Vh, [ ' d) Kořeny x-\_,X2,x$,X/í polynomu Pi(x) určíme ze vztahů xt=yt-j} i = 1,2,3,4. (2.75) Určení kořenů polynomu 4. stupně je tedy převedeno na řešení kubické rovnice. Shrňme si nyní dosažené poznatky o hledání kořenů polynomů. Kořeny polynomů 1. a 2. stupně se hledají výše uvedeným způsobem. Kořeny polynomů 3. a 4. stupně lze sice řešit výše uvedenými postupy, resp. jinými algoritmy, avšak výsledky bývají vyjádřeny často v komplikovaném tvaru. Pro obecné polynomy stupňů větších než 4 je dokázáno, že nelze nalézt postupy, jimiž by z jejich koeficientů bylo možno v obecném případě nalézt kořeny konečným počtem aritmetických operací a odmocňování. To ovšem neznamená, že kořeny některých speciálních polynomů nelze určit konečným počtem zmíněných operací. Je tomu např. pro polynomy Pn(x) = xn — «o- K určení kořenů polynomů stupňů větších než 2 se používají numerické metody. Ucelený výklad těchto metod přesahuje rámec tohoto studijního textu. V dalším pojednání se k této problematice vrátíme. V případě potřeby je možno určit kořeny na počítači, pokud jsou na něm zabudované vhodné programy. 2. Funkce a jejich vlastnosti Racionální lomená funkce Racionální lomenou funkcí nazýváme každou funkci tvaru F (x) g (x) g (x) ž 0, kde f (x) a g (x) jsou polynomy. Poněvadž polynom je de-ůnován v každém komplexním čísle, je racionální lomená funkce definována ve všech komplexních číslech v nichž je g{x) ^ 0, tj. ve všech číslech x, která nejsou kořeny funkce g{x). Příklad 2.29. Funkce 2x + 3 F(x) = ZT" ar X je racionální lomená funkce. Jmenovatel, funkce g(x) = x3 + x, lze psát ve tvaru g(x) = x(x + i)(x — i). Je tedy F(x) definovaná ve všech komplexních číslech různých od 0, —i, i. Nechť čitatel i jmenovatel racionální lomené funkce F(x) mají společného kořenového činitel x — a. Zkrátíme-li tímto společným kořenovým činitelem, dostaneme novou racionální lomenou funkce, označme ji G(x). Funkce F(x). G(x) mají stejné hodnoty pro x =^ a. Může se ale stát, že funkce G(x) je v a definována, zatímco Fix) není v čísle a definována. V dalším budeme předpokládat, že čitatel a jmenovatel racionální lomené funkce nemají žádný stejný kořen. Nechť n je stupeň polynomu čitatele a m je stupeň polynomu jmenovatele racionální lomené funkce Fix). Jestliže je n < m, funkci F (x) nazýváme ryze lomenou, jestliže n> m, nazýváme funkci F(x) neryze lomenou. Nechť F(x) = g(x) je neryze lomená funkce. Dělením funkce fix) funkcí g(x) dostaneme f(x) = P(x)-g(x) + Q(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy. Polynom Q(x) je zbytek po dělení, jeho stupeň je menší než stupeň polynomu g(x). Je tedy F(x) = P{x) + Q(x) g(x) ' Funkce -^0- je ryze lomená racionální funkce. I Slovy: Neryze lomenou racionální funkci lze napsat jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. 96 Příklad 2.30. Funkce R(x) = 3x4 - 2x3 + 1 ar 1 je neryze lomená. V čitateli je polynom stupně 4, ve jmenovateli je polynom stupně 2. Dělením dostáváme (3x4 -2x3 ±3x4 ±3x2 + 1) : (x2 + 1) = 3x2 - 2x - 3 + ff±f -2x3 T2x3 -3x2 + 1 T2x -3x2 T3x2 +2x+l T3 2x+A Kontrolní úlohy 1. V kterých bodech je funkce f(x) = ||5| spojitá? Zdůvodněte. 2. Určete kořeny polynomu a) x2 - 7x + 12 b) x2 + x + 1 c) x3 + 1 3. Rozložte na kořenové činitele polynom x4 - x3 + \2x2 - \3x + 45 [ve všech bodech různých od ±2] [3,4] [-1, iáM] -l+iV35\^ -l-i-v/35 víte-li, že má kořen 1 + 2i. [(x — l + 2i)(x — l — 2i)(x-----1+^V35)(x 4. Dokažte, že polynom x4 - 5x3 + 6x2 - 9x + 27 má dvojnásobný kořen 3. 5. Řešte rovnici x5 - 7x4 + 9x3 - x2 + 7x - 9 = 0 víte-li, že má za kořeny všechny třetí odmocniny z jedné. [1, ~ld^ , 7 ^13] 6. Rozložte v reálném oboru polynom x4 + 1. [Návod: x4 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - 2x2, x4 + 1 = (x2 + l)2 - 2x2. Odtud {x2 + xy/2 + 1)(x2 - xV2 + 1).] 7. Rozložte na součet polynomu a ryze lomenné racionální funkce: x + 6x + x — 2 x4 - 2x3 [1 2rr3+6rr2+a;-2l x4-2x3 i 97 2. Funkce a jejich vlastnosti 8. Určete znamení funkcí a) (x3 + 27)3(x-5)2 b) c) (x2 1 x + 3 (2x + l)3(x2 3)S x(x — 2) r i- -I- L \ ~ o -3 + 5 + + [ -3 -1 1 ľ-----------•- + -•- -e— + - + • o-------- -v/3 /3 2 Složená f u n kce 2.5 Funkce složená a funkce inverzní. Elementární funkce Složená funkce. Nechi A je neodvislý obor funkce u = '•p(x). Označme B = ip(Ä) odvislý obor funkce cp. Nechi f(u) je funkce definovaná na množině B. Ke každému číslu x G A přiřaďme číslo F{x) vztahem F{x) = f{y{x)), (2.76) to jest hodnotu funkce f v čísle u = (p(x) G B. Funkci f nazýváme vnější složkou a funkci cp vnitřní složkou funkce F. Příklad 2.31. Funkci y = (x2 + l)7, x G (—00, oo) můžeme chápat jako složenou funkci. Položme A = (—oo, oo). u = ip(x), kde íp(x) = x2 + 1, x G A. Označme Položme B = tp(A), tedy B = (l,oo). y = f (u), kde f (u) = u7, u E B. Potom ke každému x G A je funkcí (p přiřazeno u = 0 je libovolné číslo. Poněvadž fiu) je funkce spojitá v bodě a, existuje k > 0 tak, že pro u E (a — k, a + k) je / definovaná a platí zde \f(u)-f(a)\ 0, že pro x G (a — ô, a + ó) je funkce tp definovaná a platí zde Tedy pro x E (a (2.77) \ip(x) — f l(x2), platilo by (2.82) neboť / je rostoucí na I. Podle (2.79) dostáváme z (2.82) x\ > X2, což je spor s předpokladem, že x\ < x^. Je tedy funkce f~l(x) rostoucí na intervalu J. Dokažme dále, že funkce f~l(x) je spojitá na J. Nechť a G J je libovolný bod, který není jeho pravým koncovým bodem. Nechť e > 0 je libovolné číslo. Potom f~l(a) Ela není to pravý koncový bod intervalu I. Jestliže f~l(a) + e <£ I, označme b libovolný bod z J, pro nějž je b > a. Jestliže f~l(a) + e E I, položme b = f(f^1(a) + e) E J. Pak pro všechna x E (a, b) je f^1(x) definována. Zároveň z monotonie této funkce plyne to jest f-\a) 0. Je tedy \fčŕ = {a|, n sudé. aeR. Např. -\f{- -2)2 = | -2| =2. b) n liché. Potom y/x je deňnována pro všechna x G IR a platí je-li x < 0, potom \fx - = -^x. Pravidla pro počítání s odmocninami. Vzhledem k uvedené poznámce stačí se omezit na odmocniny s nezápornými argumenty. Věta 2.9. (Odmocniny — pravidla) Nechť x, y G IR, x > 0, y > 0, m, n G N. Potom platí 0 \ 2 2 / 6/ o" 6/ ň" -i / Vlvr — 1 ^5 — 1 3/ZŠ _ 0A6/^5 il ___ 1 y x z, y x ti 3r^r 6/— i -----= vr- 2vxH— 3/ 9 vr 3/ 9 7x^ A/X = x—2v/x+—-== = x—2v/xH------pro x > 0 3/9 ŕT> ~^ X 'xz (2.88) (2.89) D 104 nebo x -77= = x—2\/x-r=:+^r== = x—2\/xi--==+ 'x 0 Mocniny s racionálním exponentem V kapitole 1 byly zavedeny celočíselné mocniny reálných čísel a zavedeny operace jejich násobení a umocňování. Byly prezentovány Vám dobře známé jejich vlastnosti. Mocniny reálných čísel nyní rozšíříme i pro racionální mocnitele, a to tak, že zachováme základní vlastnosti mocnin s celočíselným mocnitelem. Vlastnosti odmocnin reálných čísel uvedené ve větě 2.9 nás vedou k rozšíření celočíselných mocnin reálných čísel na mocniny reálných čísel s racionálním exponentem. Definice 2.9 ^H Nechť p G Z, gGNa necht x je kladné reálné číslo . Defi- nujme £« vztahem p Xi = = V^ř (2.90) Pro x = 0, p, q G N položme p X" = 0. Pro x > 0 je při této definici splněn nezbytný požadavek platnosti vztahu kde r, s jsou odlišné zápisy téhož racionálního čísla. Nechť tedy r = £|, pro fc G N, je odlišné vyjádření téhož racionálního čísla -. Potom podle (2.90) je EÍ qk/------T rp q k == A/ rppK Avšak Va? == qty{xP)k a podle (2.83) je qty(xP)k = ýxř. Je tedy pro fceN. (2.91) p pk Xq = X~qT. Ukažme si nyní následující vlastnosti takto zavedených mocnin reálných čísel s racionálním exponentem. Především si všimněme, že pro q = 1 je x« = xp, tedy mocnina s celočíselným exponentem. Každé pravidlo pro počítání s mocninami s racionálním exponentem platí tedy i pro celočíselné mocniny. 1) Nechť x > 0, r = E, s = f, kde p, u G Z, q, v G N. Potom platí Odvození vztahů -informativně X r-^s X x" = x' 105 2. Funkce a jejich vlastnosti Skutečně, postupně dostáváme V u Pv ßu /-------- /-------- Podle (2.84) je tedy Poněvadž pv, uq G Z, lze psát x ■ XS = VxPv+l11. Užitím (2.90) je tedy tj. Dospěli jsme ke vztahu pv-\-qu •AJ 0, r = R, s = '^, kde p, u G Z, g, w G N. Potom platí (zr)s = xrs. Skutečně, postupně dostáváme Podle (2.83) dostáváme odtud £ XI 'X? {xry = \J 1. Ukažme, že Nechť r = -, s = ^, kde p, m G Z, g, f G N. Potom -y ---- »y /yjJ /y ---- -t / /y (-1 Podle (2.91) lze zapsat xr, xs ve tvaru xr = q\fx~P", xs = KÍx^. 106 Poněvadž r < s, tj. - < ^, je pf < qu. poněvadž x > 1, je ir2™ < x9". Poněvadž qv-tá odmocnina je funkce rostoucí, je Podobně platí: Nechť r, s E Q, r < s, 0 < x < 1, potom xr > xs. Obdržené výsledky shrneme do následující věty. Věta 2.10. Mocninami s racionálním exponentem 1 Nechť r, s G Q, x > 0. Potom platí ry' _ _ ry-r-S ------- tXJ • Xs (xry = xrs. Je-li x > 1 a r < s je xr < x s Je-li 0 < x < 1 a r < s je xr > xs. Poznámka. Rozvažte případ x = 0. Mocniny s reálným exponentem Zavedeme si nyní mocniny kladných reálných čísel s reálným exponentem jako rozšíření mocnin kladných reálných čísel s racionálním exponentem. Jeden z možných způsobů tohoto rozšíření je uveden v následující definici. Definice 2.10. (Zavedení qr*1 7G R) Nechť x > 0. Označme D = {x° : OL G Q, Q < 7}- a) Nechť x > 1. Položme x1 - = sup D. b) Nechť 0 < x < 1. Položme 2. Funkce a jejich vlastnosti x1 = inf D. c) Nechť x = 1. Položme x1 = 1. d) Nechť z = 0, 7 > 0. Položme O7 = = 0. e) 0° není definováno. Odvození vlastností -informativně Ukažme, že takto zavedené číslo x1 má tuto vlastnost. Nechť x > 0, 7 G M.. Označme H={xß :ߣQ, ß>~f}. Potom platí ä) Nechť x > 1. Potom platí x7 = inf H. b) Nechť 0 < x < 1. Potom platí x7 = sup ií". Dokažme ä). Zvolme libovolné e > 0 a k němu určeme n G N tak, že ir7(ir — 1) n > —---------. £ Zvolme a, ß tak, že a < 7 < ß, 0 < ß — a < -^. Potom platí 1 < xß-a < x» = 1 + ô. Tedy xß-a -1<Ô. Z (2.92) dostáváme x = (1 + ô)n > 1 + ní. Odtud x — 1 5 <-------. n Ukažme nyní, že x" — xa < e. xř - xa = xa(xř-a - 1) < xa ■ 5 < x' x — 1 „x — 1 (2.92) < x' < e. n n Poněvadž xß — x7 < xß — xa pro všechna a, dostáváme xß — x7 < e. 108 K libovolnému e > 0 lze tedy nalézt ß tak, že x" —x1 < e. Je tedy iní H = x1. Poznámka. Důlaz b) je analogický. Pro mocniny reálných čísel s reálným exponentem se definují aritmetické operace a operace umocňování pomocí mocnin s racionálním exponentem. Tuto konstrukci zde nebudeme uvádět. Uvedeme si pouze vlastnosti mocnin reálných čísel s reálným exponentem. Na množině mocnin reálných čísel lze zavést aritmetické operace a jejich umocňování reálnými čísly rozšířením odpovídajících operací zavedených pro racionální čísla. Pro tyto mocniny platí tato pravidla. Věta 2.11. Mocniny s reálným e ;xponentem Nechť r, s G IR, x > 0. Potom platí ry' _ _ ry-r-S ------- tXJ • Xs (xy = xrs. Je-li x > 1 ar < s, je x < x . Je-li 0 < x < 1 a r < s, je xr > xs. Exponenciální funkce a logaritmus Nechť a > 0, a ^ 1. Definicí 2.10 jsme zavedli ax pro každé xeK. Vztahem y X G je tedy pro a > 0, a =^ 1 definována funkce. Nazýváme ji exponenciální funkcí o základu a. Oborem jejich funkčních hodnot je interval (0, oo). Požadavek a > 0 je nutný, neboť ax je pro všechna x G IR definovaná jen pro a > 0. Pro a = 1 je sice ax definováno pro všechna x, ale v tomto případě je lx = 1 pro všechna xeK, tuto funkci neřadíme mezi exponenciální funkce. Exponenciální funkci o základu a = 10 nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Z deňnice mocniny ax lehce vyplývá její spojitost v každém bodě. Pro a > 1 je funkce y = ax rostoucí, pro 0 < a < 1 je funkce y = ax klesající. Existuje proto k ní funkce inverzní. Označíme ji y = logair. Je tedy logair pro x G (0,oo) to číslo y G (—oo, oo), pro něž ay = x. 2. Funkce a jejich vlastnosti Příklad 2.34. log 10100 = 2, neboť 102 = 100, log10 0,01 = 10~2 = 0,01. Ukažme si některé vlastnosti funkce y = logax. Nechť a > 0, a =^ 1. Dále nechť x\, ir2 > 0, s G M. Potom platí loga(xix2) = logaxi + logax2, logá" = l0ga^l -l0ga^2; X2 logaXi = slogax1. Dokažme např. (2.93). Položme logax1=y1, logair2 = t/2, loga(irnr2) Potom x\ = am, X2 = am, X\X2 = ay. -2, neboť = y- xxx2 = ayi ■ am = ayi+m = ď. Odtud dostáváme Tedy V = 2/i +2/2- Vzhledem k (2.96) dostáváme l0ga(XiX2) = l0ga Xí + loga x2. Vztahy (2.94), (2.95) se dokazují analogicky. Ukažme ještě jednu vlastnost. [ Nechi a > 0, a ^ 1, x > 0. Potom \ogax x = a (2.93) (2.94) (2.95) (2.96) (2.97) (2.98) Skutečně. Položme loga x = y. Je tedy x = ay. Dosadíme-li sem za y (2.98), dostáváme x = a}°s*x. Dosažené výsledky můžeme shrnout do následující věty. Věta 2.12. Funkce y = er, kde a je kladná reálná konstanta různá od jedné, je spojitá. Pro a > 1 je rostoucí na intervalu (—oo, oo) 110 a pro 0 < a < 1 je klesající na intervalu (—00, 00). Oborem jejich hodnot je v obou případech interval (O, 00). Nazývá se exponenciální funkcí se základem a. Speciálním případem je funkce y = ď pro a = 10, tedy funkce y = 10x. Nazývá se dekadická exponenciální funkcí. K funkci ax existuje funkce inverzní, značíme ji loga x (čteme logaritmus x při základě a). Je definována na intervalu (0, 00). Funkce loga x je pro a > 1 rostoucí a pro 0 < a < 1 klesající na intervalu (0, 00). Je v něm spojitá. Jsou-li X\,X2 E (0, 00), s G IR potom platí loga(iri • x2) = logairi + logair2, (2.99) X] log«— = loga£i -logair2, (2.100) X2 logairs = s-logair. (2.101) Je-li b kladné reálné číslo různé od 1 platí \oghx = \ogax-\ogha. Funkci y = log10ir nazýváme dekadickým logaritmem a většinou ji zkráceně zapisujeme jako y = loga;. Na obr. 2.33 jsou grafy funkcí y = ax, y = loga x pro a > 1. Na obr. 2.34 jsou grafy funkcí y = ax, y = loga x pro 0 < a < 1. Eulerovo číslo. Velký význam má exponenciální funkce se základem iracionálního čísla, zvaného Eulerovo číslo. Značí se e. Toto číslo lze definovat jako e = sup A, kde A= l(l + -) , n e N I. Označíme-li B = {(1 + ^-)n, n G N}, platí inf B = e. Dále platí 1 + - J 1. Obrázek 2.34: Graf obecné exponenciální a logaritmické funkce, 0 < a < 1. 112 Funkce y = ex, (-00,00). je tedy speciálním případem funkce y = ax pro a > 1. Jejím deůničním oborem je (—00,00). Oborem jejích funkčních hodnot je interval (0,00). Nazývá se přirozenou exponenciální funkcí. K funkci y = ex existuje funkce inverzní. Místo y = loge x se většinou píše y = lna;, x G (0, 00). Nazývá se přirozenou logaritmickou funkcí. Obecná mocnina. Funkci y = x S G definujeme vztahem xs = (elnxY = eslnx. Odtud je vidět, že je to funkce spojitá na intervalu (0, 00). Trigonometrické funkce Dříve než začneme s vlastním výkladem, zopakujme si některé Vám dobře známé pojmy. Funkci f(x) nazýváme periodickou, jestliže má tuto vlastnost: Existuje takové číslo co, zvané perioda funkce f(x), že platí: Je-li funkce f(x) definovaná v čísle x, je definovaná ve všech číslech x + kuj,k G Z a platí f\x + kuj) = f(x),k G Z. (2.102) Nejmenší číslo uj pro než platí (2.102) se nazývá základní periodou. periodická f u n kce Úhly měříme jak ve stupních tak i v míře obloukové. Nechť AVB je libovolný úhel. Oblouková míra úhlů. Sestrojme v rovině AVB jedotkovou kružnici (to jest kružnici o poloměru 1 ) se středem v bodě V, viz obr. 2.35. Označme A\ {B\) její průsečík s přímkou V A (VB). Potom velikostí úhlu AVB v obloukové míře rozumíme délku x kruhového oblouku A\B\ vyznačeného na 113 2. Funkce a jejich vlastnosti obrázku (2.35). Jedotkový úhel obloukové míry se nazývá radián. Označuje se rad. Je tedy 1 rad velikost úhlu, který na jednotkové kružnici se středem ve vrcholu úhlu vytíná oblouk jednotkové délky. Při označování velikosti úhlu se většinou vynechává označení rad. Tedy např. pravý úhel v obloukové míře je roven ^rad, zkráceně zapsáno |. Obrázek 2.35: Úhel v obloukové míře. Stupňová velikost úhlů. Jednotkový stupeň úhlové míry, zvaný (úhlový) stupeň je roven ^ pravého úhlu. Jako menší jednotky stupňové velikosti úhlu se používají minuty a vteřiny. Stupně, minuty a vteřiny vyznačujeme jako . Platí 1° = 60', ľ = 60". Je tedy o / II U 1° = 60' = 3600". Velikost úhlu AVB ve stupňové míře nazýváme nezáporné číslo, které vyjadřuje kolikrát je úhel AVB větší (menší) než jeden stupeň (míněno úhlový stupeň). Vztah mezi velikosti úhlu v obloukové míře a velikosti úhlu v míře stupňové. Úhlu 360° ve stupňové míře odpovídá úhel 2ir v obloukové míře. Tedy mezi velikosti úhlu a ve stupňové míře a velikosti x téhož úhlu v obloukové míře platí vztah a : x = 180 : n. (Viz obr. 2.36.) Odtud dostáváme např. x = -^a. Např. pro úhel a = 90° dostáváme x = \. Obrázek 2.36: Vztah mezi velikosti úhlu ve stupních a v obloukové míře. 114 úhel ve stupních 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° úhel v radiánech 0 7T 6 7T 4 7T 3 7T 2 7T 3 2" 2tt Tabulka 2.1: Vztah mezi velikostmi úhlů ve stupních a v radiánech. V následující tabulce 2.1 je vyznačen vztah mezi velikosti úhlů v míře stupňové a v míře obloukové pro některé význačné úhly. Orientovaný úhel. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek se společným počátkem. V této dvojici první polopřímku nazýváme počátečním ramenem a druhou koncovým ramenem orientovaného úhlu. Společný počátek těchto polopřímek nazýváme vrcholem úhlu. Orientovaný úhel s počátečním ramenem V A a koncovým ramenem VB budeme označovat AVB. Uvažujme orientovaný úhel AVB. Jeho velikostí v obloukové míře rozumíme každé číslo tvaru (viz.(2.36)) a + 2kTT (2.103) kde k E Z & a určíme takto: a) Jestliže V A = VB, je a = 0. b) Jestliže V A ^ VB je a velikost neorientovaného úhlu, který vznikne otočením počátečního ramene V A do polohy koncového ramene VB v kladném smyslu, to jest proti pohybu hodinových ručiček. Je tedy 0 < a < 2ir. Takto definované číslo a se nazývá základní velikostí orientovaného úhlu. Součet a rozdíl orientovaných úhlů. Nechť AVB, BVC jsou orientované úhly. Koncové rameno prvního z nich je počátečním ramenem druhého z nich. Jejich součtem se nazývá orientovaný úhel AVC. Jestliže velikost prvního z nich je a + 2k\ii a velikost druhého je /3 + 2/c27r, kde k\, k^ £ Z, potom jejich sučtem je úhel a + ß + 2kir, kde k = k\ + k^- Jestliže úhel AVC je součtem úhlů AVB a BVC, pak úhel BVC nazýváme rozdílem úhlů AVC a AVB. /B c\ ^------^/ r = 1 Obrázek 2.37: Součet úhlů AVB a BVC. 2. Funkce a jejich vlastnosti Zavedení funkcí siná;, cos a;, tgir, cotg a; Zabývejme se nyní trigonometrickými funkcemi, zvanými někdy též funkce goniometrické. Omezíme se na funkce sin x, cos x, tg x, cotg x. V pravoúhlém souřadném systému sestrojme kružnici o jednotkovém poloměru se středem v počátku. Zvolme libovolně x a sestrojme polopaprsek vycházející z počátku, který svírá s kladnou osou úhel x. Tento polopaprsek protne kružnici v jednom bodě. Jeho souřadnice označme cosir, sin x (viz obr. 2.38). Tyto souřadnice závisí na x, takže cos x a sin x jsou funkce definované pro každé reálné x. Pomocí funkcí sin x a cos x definujeme další trigonometrické funkce tgir SIM cotgir cosir cos x sin x pro ty úhly x, pro něž je jmenovatel různý od 0. cotg(-x) \! Obrázek 2.38: Zavedení funkcí simr, cosir, tg x a cotgir. Trigonometrické funkce jsou dostatečně známy ze střední školy a proto zde jen zopakujeme jejich základní vlastnosti. Z definice a z konstrukce je vidět, že sinO = 0, sin | = 1, shi7r = 0, sin^ = -1. sin27T := 0, cosO = 1, cos | = 0, cos7r = — 1, cos 4? = 0. cos(—2tt) = 1. Z definice je vidět, že obě funkce jsou periodické s periodou 2tt a že sin(—x) = — simr, cos(—x) = cosir. Pro x G (f,7r) nabude sin x všech hodnot z intervalu (0,1) a cos x všech hodnot z intervalu (—1, 0). Pro x G (tt, ^f) nabude simr všech hodnot z intervalu (—1,0), cosir všech hodnot z intervalu (—1,0); konečně pro x£(|, 2ir) nabude sin x všech hodnot z intervalu (—1, 0) a cos x všech hodnot z intervalu (0,1). 116 Funkce sin x je kladná pro úhly v prvním a ve druhém kvadrantu a záporná pro úhly ve třetím a ve čtvrtém kvadrantu. Funkce cos x je kladná pro úhly v prvním a ve čtvrtém kvadrantu a je záporná pro úhly ve druhém a ve třetím kvadrantu. Obě tyto funkce jsou periodické s periodou 2ir. Funkce tg x je deůnována pro všechna x různá od lichých násobků |, funkce cotg a; je definována pro x různá od násobků ir. Funkce tg £ a cotg x jsou kladné pro úhly pro x v prvním a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovány a záporné pro úhly ve druhém a ve třetím kvadrantu v němž jsou definovány. Tyto funkce jsou periodické s periodou ir. Ze střední školy jsou známy součtové vzorce: [ sin(xi ± X2) = sinici • cos ^2 ± sin ^2 • cosxi, (2.104) cos(iri ± X2) = cosiri • cos X2 =F siniEi • sin £2- (2.105) Z těchto vzorců lze lehce odvodit řadu dalších velice užitečních vztahů. Klademe-li v těchto vzorcích x\ = X2 = x, dostaneme z (2.104) Ľ 9 9 sin 2x = 2 • sin x • cos x, cos 2x = cos x — sin x. Dosadíme-li x\ = X2 = x do vzorce pro kosinus rozdílu do (2.105), dostáváme [ 9 9 sin x + cos x = 1. Tento vzorec se vzorcem pro cos 2x dává: [ 2 1 + cos 2x cos x =---------------. sin2 a; 1 — cos 2x Ze vzorců pro sin(xi ± x2) a cos(xi ± X2) snadno dostaneme: n . X\ + X2 X\-X2 sm x\ + sin X2 = 2 • sin---------• cos---------. X\ + X2 . X\-X2 sm x\ — sm X2 = 2 • cos---------• sm---------. 2. Funkce a jejich vlastnosti X\ + X2 X\ -%2 COS X\ + COS X2 = 2 • cos —-— • cos —-—. n . X\ + X2 . X\ -%2 cos X\ — cos X2 = — 2 • sin----------• sin----------. v \ \ 1- N. y = sin x 0 ¥ 7t\ ¥ /2tt X -1- Obrázek 2.39: Graf funkce sinx. Pro xi,X2 G (—f, f), je (iri + ir2)/2 G (—|, f); je-li xi > x2, je 0 < x\ —x2 < | + | = n, takže (xi — x2)/2 G (0, |). Z periodičnosti funkce cos x plyne, že pro x G (—1,0) má kosinus takové hodnoty, jako v intervalu (4f,27r), tj. > 0. Je tedy za daných předpokladů cos[(xi + x2)/2] > 0 a podobně sin[(xi — x2)/2] > 0. Je tedy sinxi — sinx2 > 0, sinxi > sinx2, takže funkce sin x v intervalu (—f, f) roste. Podobně lze ukázat, že sin x v intervalu (|, 4^) klesá, cos x v intervalu (0, n) klesá a v intervalu (tt, 2tt) roste. Na základě těchto úvah lze narýsovat grafy funkcí sin x (viz obr. 2.39) a cos x (viz obr. 2.40). Obrázek 2.40: Graf funkce cos x. Podobným způsobem jako u funkcí sin x a cos x lze ukázat, že funkce tg x stále roste v intervalu (—f, f) a nabude všech reálných hodnot. Podobně funkce cotgx stále klesá v intervalu (0, tt) a nabývá zde všech reálných hodnot. 118 Grafy funkcí sinx, cosx, tgx, cotgx jsou na obrázcích 2.39 až 2.42. y = cotg x Obrázek 2.41: Graf funkce tg x. Obrázek 2.42: Graf funkce cotg x. Spojitost funkcí sin x a cosir. Věta 2.13. Funkce sin x je v čísle 0 spojitá. Důkaz: (Sleduj obr. 2.38.) Buď x G (0, |). Z definice a konstrukce je patrno, že zde platí 0 < sin x < x. Zvolme 0 < e < | libovolně a položme 5 = e. V č7/(0) je funkce sin x definována a platí | sin x — 0| = | sinx| = sin x < x < e, takže funkce sin x je v 0 zprava spojitá. Poněvadž funkce sin x je lichá, lehce nahlédneme, že funkce sin x je v čísle 0 také zleva spojitá a proto je v čísle 0 spojitá. rj Věta 2.14. Funkce cos x je v čísle 0 spojitá. Důkaz: Buď e > 0. Zvolme číslo ô = \flě > 0. Pak v okolí ř7/(0) je funkce cosir definována a je v tomto okolí cosir 11 = U x cosirl == 2 • sin — < 2 • ( — I = — < — = e. x 2 X2 Ô2 D 2 \2J 2 Je tedy funkce cos x v čísle 0 zprava spojitá. Poněvadž cos(ir) = cos(—x), je funkce cos x i zleva spojitá a proto je i spojitá v bodě 0. Věta 2.15. Funkce sin x je spojitá ve všech bodech. Důkaz: Nechť a je libovolné číslo. Dokažme, že je v něm funkce sin x spojitá. Z definice spojitosti funkce vyplývá, že funkce sin x je spojitá v bodě a když a jenom když funkce sin(a+/i) je spojitá v bodě h = 0. Podle (2.104) dostáváme sin(a + h) = sin a cos h + cos a sin h. (2.106) Poněvadž funkce sin h, cos h jsou funkce spojité v bodě h = 0, dostáváme odtud, že pravá strana v (2.106) je spojitá v bodě h = 0, takže funkce sin x je spojitá v bodě a. rj 2. Funkce a jejich vlastnosti Věta 2.16. Funkce cos x je spojitá ve všech bodech. Důkaz: Skutečně. Spojitost funkci cos x vyplývá ze vztahu cos x = sin(|— x) a z věty o spojitosti složené funkce. rj Věta 2.17. Trigonometrické funkce jsou spojité ve všech číslech, ve kterých jsou defínovány. Důkaz: Důkaz vychází z věty o spojitosti podílu a z vět předcházejících, g Funkce cyklometrické '2' 2. V předcházejícím výkladu jsme zjistili, že funkce sin x je v intervalu spojitá a rostoucí a nabývá všech hodnot z intervalu (—1,1). Tedy k ní existuje funkce inverzní, definovaná v intervalu ( — 1,1). Tuto funkci označujeme arcsin ir. Podle věty 2.8 je tato funkce spojitá v intervalu (—1,1) a je v něm rostoucí. Nabývá všech hodnot z intervalu (—f,f). Její graf se dostane překlopením grafu funkce (x) = simr, x G 7T 7T "2' 2 okolo přímky y = x (viz obr. 2.43). Geometrický význam funkce arcsin je tento: „arcsinx je ten úhel z intervalu (—|, |), jehož sinus má hodnotu x. " y = arcsm x y = arccos x Obrázek 2.43: Graf funkce arcsin x. Obrázek 2.44: Graf funkce arccos x. Funkce cos x je v intervalu (0,7r) spojitá a klesající a nabývá všech hodnot z intervalu (—1,1). Tedy k ní existuje funkce inverzní definovaná v intervalu (—1,1). Tuto funkci označujeme arccos x. Podle věty 2.8 je to funkce spojitá v intervalu ( — 1,1) a je v něm klesající. Nabývá všech hodnot z intervalu (0,7r). Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = cosir, x G (0, n) okolo přímky y = x (viz obr. 2.44). Geometrický význam funkce arccos x je 120 tento: „arccosir je ten úhel z intervalu (0, n), jehož kosinus má hodnotu x. Funkce tg x je v intervalu (—f, f) spojitá a rostoucí a nabývá zde všech hodnot z intervalu (—00, 00). Tedy k ní existuje funkce inverzní definovaná na intervalu (—00,00). Tuto funkci označujeme arctgir. Podle věty 2.8 je to funkce spojitá v intervalu (—00, 00) a je v něm rostoucí. Nabývá všech hodnot z intervalu (—|, |). Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = tgir, x G (—f, f) okolo přímky y = x (viz obr. 2.45). Geometrický význam funkce arctgir je tento: I „arctgir je ten úhel z intervalu (—|, |), jehož tangens má hodnotu x. " Obrázek 2.45: Graf funkce arctgir. Funkce cotg x je v intervalu (0, n) spojitá a klesající a nabývá v něm všech hodnot z intervalu (—00, 00). Tedy k ní existuje funkce inverzní definovaná v intervalu (—00, 00). Tuto funkci označujeme arccotgir. Podle věty 2.8 je to funkce spojitá v intervalu (—00, 00) a je v něm klesající. Nabývá všech hodnot z intervalu (0, tt). Její graf se dostane překlopením grafu funkce f(x) = cotgir, x G (0, 7t) okolo přímky y = x (viz obr. 2.46). Geometrický význam funkce arccotgir je tento: I „arccotg x je ten úhel z intervalu (0, ir), jehož kotangens má hodnotu x. " Funkce arcsimr, arccosir, arctgir a arccotg x se nazývají funkce cyklometrické. Dosavadní výsledky o spojitosti lze shrnout takto: Věta 2.18. Funkce cyklometrické jsou spojité na svém definičním oboru. 121 2. Funkce a jejich vlastnosti v * 7T 7T 2 ..________y = = arccotgx 0 X Obrázek 2.46: Graf funkce arccotgir. Kontrolní úlohy 1. Nechť f(x) = (x3 + 2x + l)2. Určete její vnitřní a vnější složku. [vnitřní složka u = x3 + 2x + 1, vnější složka y = u2.] 2. K funkci y = 3x — 1 určete funkci inverzní a nakreslete jejich grafy. 3. Určete funkci inverzní k daným funkcím a nakreslete jejich grafy. a) b) c) d) y = x y = xb 4 X y = x — _ 3x+l y - x-2 [e) Položme x 1 1 3rr+l x-2 . Funkce / je prostá na Dj = (—oo, 2) U (2,oo). Hf = (-oo,3) U (3, oo), f-\x) = §,xe Hf] 4. Nakreslete grafy funkcí a) log (x — 2) b) log0>1(3x + 2) 5. Řešte rovnice a) logir = — \ b) In x = | 6. Řešte nerovnice a) logir < 3 b) log0>1 x < 2 7. Určete nejmenší periodu funkce y = sin 2x. 8. Vyjádřete následující úhly v obloukové míře \x = 10J \x = e2 [x G (0,103)] [x G (0,01, oo)] 122 a) a = 30c b) ß= 120° c) 7 = -315° 9. Vyjádřete následující úhly ve stupních (použijte kalkulačku) a) a = 3 b) ß = -2 c) 7 = 2,3 10. Nakreslete grafy funkcí a) y = sin (x + |) b) y = tg(x - f) c) 2/ = cos 2x d) ?/ = cotg(ir — |) 123 2. Funkce a jejich vlastnosti 124