Lineární prostor, zavedení pojmu Lineární kombinace vektorů Elementární transformace Symbolika použitá pro popis některých výpočtových postupů Určení hodnosti matice Báze vektorového prostoru Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru Úvod do analytické geometrie v n-rozměrném prostoru En Základní poznatky z kapitoly 4 a úlohy k procvičení Lineární prostor 4 4. Lineární prostor Cíl kapitoly Cílem studia této kapitoly je osvojit si pojem lineárního (vektorového) prostoru, zejména pak pojem aritmetického vektorového prostoru Vn porozumět pojmům: lineární kombinace vektorů, lineární nezávislost vektorů zvládnout pojmy: hodnost matice, báze vektorového prostoru, generování vektorového prostoru zvládnout pojmy: skalární součin dvou vektorů, norma vektoru, vzdá- lenost umět vyhodnotit přibližnost řešení systému lineárních rovnic seznámit se se základy analytické geometrie v prostoru En Časová zátěž 15 hodin 4.1 Lineární prostor, zavedení pojmu V úvodě do maticového počtu jsme se seznámili s pojmem matice a zavedli jsme si operace s maticemi ­ sečítání dvou matic a násobení matic reálnými čísly. Ukazuje se účelným uvažovat obecnou množinu P, na níž jsou zavedeny dvě operace, které nazveme rovněž sečítáním prvků z P a násobením prvků z P reálnými čísly. Budeme požadovat, aby tyto dvě operace měly jisté vlastnosti (které budeme dále specifikovat). Jsou to vlastnosti (4.1)--(4.8), které na množině P matic téhož typu splňují operace sečítání dvou matic a násobení matic čísly. Definice 4.1. (Definice vektorového prostoru) Nechť P je množina. Označme symbolem " +"operaci, nazveme ji sečítáním, kterou ke každým dvěma prvkům a, b P je přiřazen prvek a+b P . Dále označme symbolem " " operaci, nazveme ji násobením, kterou ke každému prvku a P a ke každému reálnému číslu R je přiřazen prvek a P. Nechť tyto operace mají následující vlastnosti: Jestliže a, b, c P , potom a + b = b + a, (4.1) a + (b + c) = (a + b) + c. (4.2) Existuje prvek 0 P tak, že pro všechna x P platí x + 0 = x. (4.3) 154 Ke každému x P existuje (-x) P tak x + (-x) = 0. (4.4) Pro všechna x, y P a pro všechna , R platí 1.x = x, (4.5) ( x) = () x, (4.6) ( + ) x = x + x, (4.7) (x + y) = x + y. (4.8) Potom množinu P s těmito operacemi " +" a " " nazýváme lineárním, nebo též vektorovým prostorem. Budeme jej značit P. Prvek 0 nazýváme jeho nulovým prvkem. Poznámka. Symbol " " pro násobení lze vynechat. Označení. Místo a P lze psát a P. Místo a + (-b) lze psát a - b. Důsledek 1. Ze vztahů (4.1), (4.2) vyplývá, že a + (b + c) = a + (c + b) = b + (a + c) = b + (c + a) = = c + (a + b) = c + (b + a) = (a + b) + c = (b + a) + c = = (a + c) + b = (c + a) + b = (b + c) + a = (c + b) + a Není proto nutno psát závorky a stačí psát a + b + c. Dokažme např., že a + (b + c) = (b + a) + c. Podle (4.2) je a + (b + c) = (a + b) + c. Podle (4.1) je a + b = b + a, takže (a + b) + c = (b + a) + c. Je tedy a + (b + c) = (b + a) + c. Podobně budeme psát c1 1 x + . . . + cn n x , kde 1 x, . . . , n x P a c1, . . . , cn jsou libovolné konstanty, aniž bychom psali závorky. 4.1.1 Příklady lineárních prostorů Lineární prostor Mm,n . Označme Mm,n množinu všech matic typu (m, n). Symbolem " +" označme součet dvou prvků (matic) z Mm,n definovaný v definici 3.2 a symbolem " " označme součin prvku (matice) z Mm,n reálným číslem, definovaný v definici 3.3. Potom množina Mm,n s těmito operacemi tvoří lineární prostor (vektorový prostor). Budeme jej značit Mm,n . Důkaz: Důkaz je snadný, přenechávám jej čtenáři. Stačí prověřit, že jsou splněny vztahy (4.1)--(4.8). Poznámka. Prostor Mn,1 je definován na množině uspořádaných n­tic reálných čísel, zapsaných do sloupců a prostor M1,n je definován na množině uspořádaných n­tic reálných čísel, zapsaných do řádků. 155 4. Lineární prostor Příklad vektorového prostoru Věta 4.1. (Aritmetický vektorový prostor Vn) Nechť n N a nechť Rn je množina uspořádaných ntic reálných čísel (nezáleží na tom jak jsou zapsány, zda do řádků nebo do sloupců), na níž jsou zavedeny operace sečítání " +" a násobení " ." takto: Nechť a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) Rn . Položme a + b = c, kde c = (c1, . . . , cn) je taková uspořádaná skupina reálných čísel, že ci = ai + bi pro i = 1, . . . n. Nechť a = (a1, . . . , an) Rn a je reálné číslo. Potom a = d, kde d = (d1, . . . , dn) je taková uspořádaná skupina reálných čísel, že di = ai pro i = 1, . . . , n. Potom množina Rn s těmito operacemi sečítání " +" a násobení " " je vektorovým prostorem. Budeme jej nazývat aritmetickým vektorovým prostorem a značit Vn. Důkaz: Důkaz si provedťe jako cvičení. Stačí prověřit splnění vlastnosti operací sečítání a násobení uvedené v definici (4.1). Poznámka 1. Prvky tohoto prostoru budeme nazývat aritmetické vektory, stručně jen vektory a většinou je budeme označovat malými tučně zapsanými písmeny. Nulový prvek prostoru Vn budeme nazývat nulovým vektorem. Je-li a = (a1, . . . , an) Vn, budeme čísla a1, . . . , an nazývat jeho složkami. Vektor a Vn budeme též nazývat n­rozměrným vektorem a. Poznámka 2.Jestliže chceme zdůraznit způsob zápisu složek vektoru do řádku (sloupce), budeme mluvit o řádkovém (sloupcovém) vektoru. Poznámka 3. Je-li a = (a1, a2, . . . , an), potom číslo a2 1 + a2 2 + . . . + a2 n budeme nazývat velikostí vektoru a a značit |a| Poznámka 4. Kdybychom v definici prostoru Vn uvažovali místo množiny Rn množinu uspořádaných n­tic reálných čísel, zapsaných do sloupců, dostali bychom prostor Mn,1 . Kdybychom v definici Vn uvažovali místo uspořádaných n­tic reálných čísel množinu uspořádaných n­tic reálných čísel, 156 zapsaných do řádků, dostali bychom prostor M1,n . Poznámka 5. Komu obecná definice vektorového prostoru dělá velké potíže, ať si pod pojmem vektorového prostoru P představí vždy aritmetický vektorový prostor Vn. Vektorový prostor volných vektorů. V předcházejícím studiu na gymnáziu jste pracovali s volnými vektory. Zopakujme si napřed ve stručnosti pojem volného vektoru a operace s volnými vektory a to tak, jak se tyto pojmy zavádějí na gymnáziích. Definice 4.2. (Volné vektory) Množinu všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejný směr a stejnou velikost, nazveme nenulovým volným vektorem a množinu všech nulových orientovaných úseček nulovým volným vektorem. Každá orientovaná úsečka je pak umístěním příslušného volného vektoru a reprezentuje jej. Volné vektory budeme označovat písmenem se šipkou nahoře, např. -a . Nulový volný vektor budeme označovat symbolem - 0 . Délku každé orientované úsečky, která reprezentuje volný vektor -a , budeme nazývat velikostí volného vektoru -a a budeme ji značit |-a |. Příklad vektorového prostoru Věta 4.2. (Vektorový prostor volných vektorů) Nechť U je množina volných vektorů. Označme symbo- lem " +" operaci, nazveme ji sečítáním, kterou ke každým dvěma volným vektorům -a , b je přiřazen volný vektor, označme jej -c , který dostaneme takto: Zvolme libovolný bod A. Nechť AB je orientovaná úsečka, která reprezentuje volný vektor -a . Nechť orientovaná úsečka -- BC reprezentuje volný vektor b , potom orientovaná úsečka AC reprezentuje volný vektor -c . Píšeme pak -a + b = -c . Označme dále symbolem " " operaci, nazveme ji násobením, kterou ke každému volnému vektoru -a U a libovolnému reálnému číslu R je přiřazen volný vektor, označme jej d , který dostaneme takto: Nechť orientovaná úsečka - AB reprezentuje volný vektor -a . Označme D takový bod na přímce určené body A, B , že velikost -- AD orientované 157 4. Lineární prostor úsečky -- AD je || - AB a směr -- AD je stejný jako směr -a , je-li 0 a opačný, je-li < 0. Potom množina U s takto zavedenými operacemi " +" a " " tvoří vektorový prostor ve smyslu definice 4.1, to znamená, že jsou splněny vztahy (4.1)--(4.8). Budeme jej značit U. Důkaz: této věty nebudeme uvádět. Na obr. 4.1 je znázorněno sečítání dvou volných vektorů -a , b . Vektor -a je reprezentovaný orientovanou úsečkou PQ a volný vektor b je reprezentovaný orientovanou úsečkou RS. Jejich součtem je volný vektor -c = -a + - b reprezentovaný orientovanou úsečkou - AC. R S P Q A B C Obrázek 4.1: Sečítání volných vektorů Na obr. 4.2 je znázorněno násobení volného vektoru -a reálným číslem. Volný vektor -a je reprezentován orientovanou úsečkou PQ. Volný vektor d = 2, 5 -a je reprezentován orientovanou úsečkou AB a volný vektor -e = -2, 5 -a je reprezentován orientovanou úsečkou -- CD. P Q A B CD Obrázek 4.2: Násobení volného vektoru číslem Volné vektory v kartézském souřadném systému v rovině. V předcházející definici jsme uvažovali volné vektory nezávisle na souřadném systému, byly uvažovány v tzv. invariantním tvaru. Pojednejme nyní o prostoru U2 volných vektorů v rovině, v níž je zaveden kartézský souřadný systém. Označme x1, x2 souřadné osy kartézského souřadného systémuv rovině. 158 Jak je dobře známo, ke každému bodu P v kartézském souřadném systému roviny je přiřazena uspořádaná dvojice reálných čísel [p1, p2]. Číslo p1 nazýváme jeho první souřadnicí a číslo p2 nazýváme jeho druhou souřadnicí. Naopak, každou uspořádanou dvojici reálných čísel [p1, p2] lze považovat za souřadnice právě jednoho bodu P v rovině. Není tedy nutno striktně rozlišovat mezi bodem v rovině a uspořádanou dvojicí reálných čísel. Označme U2 množinu všech volných vektorů v této rovině s uvedenými operacemi sečítání volných vektorů v rovině a násobení volných vektorů v rovině reálnými čísly. Uvažujme dvě orientované úsečky - PQ, RU (viz. obr. 4.3), kde P = P[p1, p2], Q = Q[q1, q2], R = R[r1, r2], U = U[u1, u2]. Každá z těchto orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor -a U2, když a jenom když q1 - p1 = u1 - r1 q2 - p2 = u2 - r2. (4.9) x1 x2 P Q R U p1 q1 r1 u1 r2 u2 p2 q2 a1 a1 a2 a2 Obrázek 4.3: Zobrazení V2 do R2 Vztah mezi prostorem V2 a prostorem volných vektorů v rovině. Zaveďme si nyní zobrazení T prostoru U2 do prostoru V2 takto: Nechť volný vektor -a V2 je reprezentován orientovanou úsečkou PQ, kde P = P[p1, p2], Q = Q[q1, q2]. Označme a1 = q1 - p1, a2 = q2 - p2. Potom definujme T (-a ) = a, kde a = (a1, a2). Toto zobrazení nezávisí na volbě orientované úsečky, kterou je volný vektor reprezentován. 159 4. Lineární prostor Zobrazením T se ke dvěma různým volným vektorům z U2 přiřadí dva různé vektory z prostoru V2. Každý vektor z V2 je přiřazen k právě jednomu volnému vektoru z U2. Zobrazení T je prosté zobrazení vektorového prostoru U2 na vektorový prostor V2. K zobrazení T existuje tedy inverzní zobrazení T -1 . Tímto zobrazením T -1 se k vektoru a = (a1, a2) V2 přiřadí vektor -a U2, píšeme T -1 a = -a , přičemž vektor -a je reprezentován např. orientovanou úsečkou OA, kde A = A[a1, a2], O = O[0, 0]. Dokážeme, že takto zavedené zobrazení T prostoru U2 do prostoru V2 zachovává operace " +" a " ". Dokažme napřed, že zobrazení T zachovává sečítání. Nechť tedy -x , -y U2. Nechť volný vektor -x je reprezentován orientovanou úsečkou -- OX a volný vektor -y je reprezentován orientovanou úsečkou -- OY , kde O = [0, 0], X = [x1, x2], Y = [y1, y2]. Potom volný vektor -x + -y je reprezentován orientovanou úsečkou OZ, kde Z = [x1 + y1, x2 + y2]. Viz obr. 4.4. O Y X Z y1 x1 x1 + y1 x2 y2 x2 + y2 Obrázek 4.4: Zobrazení zachovává sečítání Je tedy T (-x ) = x, kde x = (x1, x2) V2, T (-y ) = y, kde y = (y1, y2) V2, T (-x + -y ) = (x1 + y1, x2 + y2). Poněvadž x + y = (x1 + y1, x2 + y2), platí T (-x + -y ) = x + y, takže skutečně zobrazení T zachovává sečítání. Dokažme nyní, že zobrazení T zachovává násobení. Nechť -x U2 a nechť je libovolné reálné číslo. Nechť volný vektor -x je reprezentován orientovanou úsečkou -- OX, kde O = [0, 0], X = [x1, x2] a nechť volný vektor -x je 160 X U O x1 x1 x2 x2 Obrázek 4.5: Zobrazení zachovává násobení reprezentován orientovanou úsečkou OU, kde U = U[ x1, x2]. Viz obr. 4.5. Je tedy T (-x ) = x, x = (x1, x2), T ( -x ) = ( x1, x2). Poněvadž ( x1, x2) = (x1, x2) = x, je T (-x ) = x. Tedy skutečně zobrazení T zachovává násobení. Vzhledem k vlastnostem zobrazení T není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi vektorovým prostorem V2 a vektorovým prostorem U2. Vektor a = (a1, a2) si můžete představit jako množinu všech takových orientovaných úseček PQ, P = [p1, p2], Q = [q1, q2], v kartézském souřadném systému v rovině, že q1 - p1 = a1 q2 - p2 = a2. Volné vektory v kartézském souřadném systému v třírozměrném prostoru. Uvažujme nyní prostor volných vektorů U3 ve třírozměrném prostoru, v němž je zaveden kartézský souřadný systém. Jak je dobře známo, ke každému bodu P je přiřazena uspořádaná trojice reálných čísel [p1, p2, p3]. Číslo p1 nazýváme jeho první souřadnicí, číslo p2 nazýváme jeho druhou souřadnicí a číslo p3 nazýváme jeho třetí souřadnicí. Naopak, každou uspořádanou trojici reálných čísel [p1, p2, p3] lze považovat za bod P o souřadnicích [p1, p2, p3] v našem souřadném systému. Není tedy nutno dělat striktní rozdíl mezi pojmem bod v prostoru a uspořádanou trojicí reálných čísel. Uvažujme dvě orientované úsečky - PQ, UR, kde 161 4. Lineární prostor P = P[p1, p2, p3], Q = Q[q1, q2, q3], U = U[u1, u2, u3], R = R[r1, r2, r3]. Každá z těchto dvou orientovaných úseček reprezentuje tentýž volný vektor -a U3, když a jenom když q1 - p1 = r1 - u1 q2 - p2 = r2 - u2 q3 - p3 = r3 - u3. (4.10) Vztah mezi prostorem V3 a prostorem volných vektorů v třírozměrném prostoru. Zaveďme si nyní zobrazení T prostoru U3 do prostoru V3 takto: Nechť volný vektor -a U3 je reprezentován orientovanou úsečkou PQ, kde P = P[p1, p2, p3], Q = Q[q1, q2, q3]. Označme a1 = q1 - p1, a2 = q2 - p2, a3 = q3 - p3. Položme a = (a1, a2, a3) V3. Definujme T (-a ) = a. (4.11) Toto zobrazení nezávisí na volbě orientované úsečky, kterou je volný vektor reprezentován. Existuje k němu inverzní zobrazení. Analogicky jako pro rovinný případ se dá dokázat, že toto zobrazení T zachovává sečítání vektorů a násobení vektorů reálnými čísly. Není proto nutno striktně rozlišovat mezi prostorem U3 a V3. Vektor a = (a1, a2, a3) si můžete tedy představit jako množinu všech takových orientovaných úseček PQ, kde P = [p1, p2, p3], Q = [q1, q2, q3] v kartézském souřadném systému v prostoru, že q1 - p1 = a1 q2 - p2 = a2 q3 - p3 = a3. S pojmem vektorového prostoru úzce souvisí pojem vektorového podprostoru. Uveďme si jeho definici. Co je to vektorový prostor Definice 4.3. (Vektorový podprostor) Nechť P je vektorový prostor definovaný na množině P společně s operacemi sečítání " +" dvou prvků z P a násobení " " prvků z P reálnými čísly. Nechť M P a 162 nechť množina M společně s těmito operacemi " +, " tvoří vektorový prostor M. Potom vektorový prostor M nazýváme vektorovým podprostorem vektorového prostoru P. Příklad 4.1. Nechť M je taková množina uspořádaných čtveřic reálných čísel a = (a1, a2, a3, a4), že a2 = a4. Zřejmě M R4 . Nechť a = (a1, c, a3, c), b = (b1, d, b3, d), kde c, d R jsou pevně zvolená čísla a nechť R. Potom a, b M. Položme x = a + b = (a1 + b1, c + d, a3 + b3, c + d), y = a = (a1, c, a3, c). Zde operace " +" , " " jsou operace sečítání a násobení v prostoru V4. Je zřejmé, že x, y patří do množiny M. Proto množina M s těmito operacemi " +" , " " tvoří vektorový prostor M, který je vektorovým podprostorem prostoru V4. Poznámka. Naše úvahy o volných vektorech byly založeny na více-méně intuitivně chápaném pojmu orientované úsečky. Cílem pojednání nebyl ovšem prostor volných vektorů. Cílem bylo pouze ukázat souvislosti mezi pojmem volného vektoru, se kterým jste se seznámili na gymnáziu a pojmem vektoru z vektorového prostoru Vn pro n = 2, resp. n = 3. 4.2 Lineární kombinace vektorů Uvažujme systém lineárních algebraických rovnic ai,1x1 + . . . + ai,nxn = bi, i = 1, . . . , n. (4.12) Při jeho analýze je zapotřebí zjišťovat, zda některá z rovnic systému není v rozporu s jinými rovnicemi tohoto systému zda každá z rovnic dává nové požadavky na hledaný vektor x1, . . . , xn, zda požadavek, některou rovnici vyjádřený, je nebo není již obsažen v jiných rovnicích systému. Tuto problematiku budeme řešit podrobně v kapitole 6. Každé rovnici systému (4.12) přiřadíme vektor (ai,1, . . . , ai,n, bi). K řešení nahoře uvedeného problému použijeme dále zaváděné pojmy: lineární kombinace vektorů, lineární nezávislost a lineární závislost vektorů. S těmito pojmy se setkáme i v jiných úvahách. Lineární kombinace vektorů Definice 4.4. (Lineární kombinace vektorů) Nechť 1 x, . . . , n x jsou vektory z vektorového prostoru P a c1, . . . , cn jsou reálná čísla. Potom vektor x = c1 1 x + . . . + cn n x nazveme lineární kombinací vektorů 1 x, . . . , n x. 163 4. Lineární prostor Příklad 4.2. Nechť 1 x = (2, 3, -1), 2 x = (5, 2, 6), 3 x = (9, 8, 4) jsou vektory z prostoru V3. Ukažme, že vektor 3 x je lineární kombinací vektorů 1 x, 2 x. Poněvadž 2 1 x + 2 x = 2 (2, 3, -1) + (5, 2, 6) = (4, 6, -2) + (5, 2, 6) = (9, 8, 4) = 3 x, je vektor 3 x skutečně lineární kombinací vektorů 1 x, 2 x. Lineární nezávislost vektorů Definice 4.5. (Lin. nezávislost a závislost vektorů) Nechť 1 x, . . . , n x jsou vektory z vektorovém prostoru P. Řekneme, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže c1 1 x + . . . + cn n x = 0 c1 = c2 = . . . = cn = 0. (4.13) Jestliže vektory 1 x, . . . , n x nejsou lineárně nezávislé, jsou lineárně závislé. Lineární závislost vektorů lze vyjádřit též takto. Poznámka. Vektory 1 x, . . . , n x z vektorovém prostoru P jsou lineárně závislé, jestliže existují taková čísla c1, c2, . . . , cn, z nichž alespoň jedno je různé od 0, že c1 1 x + . . . + cn n x = 0. Příklad 4.3. Ukažme, že vektory 1 x = (1, 4, -4), 2 x = (1, 2, 0), 3 x = (1, 5, -2) z prostoru V3 jsou lineárně nezávislé. Skutečně, ze vztahu c1 1 x + c2 2 x + c3 3 x = 0 dostáváme c1 (1, 4, -4) + c2 (1, 2, 0) + c3 (1, 5, -2) = (0, 0, 0), to jest (c1 + c2 + c3, 4c1 + 2c2 + 5c3, -4c1 + 0c2 - 2c3) = (0, 0, 0). Aby rovnost mezi těmito vektory platila, musí koeficienty c1, c2, c3 vyhovovat systému lineárních rovnic c1 + c2 + c3 = 0, (4.14) 4c1 + 2c2 + 5c3 = 0, (4.15) -4c1 + 0c2 - 2c3 = 0. (4.16) Jak se lehce přesvědčíme, má systém rovnic (4.14)--(4.16) jediné řešení c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy dané vektory lineárně nezávislé. 164 Poznámka. a) Vektor 0 je lineárně závislý, neboť 0 = 0 pro každé R. b) Vektory 1 x, . . . , n x, n > 1, jsou lineárně závislé, když a jenom když alespoň jeden z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních z nich. (Dokažte!) Příklad 4.4. Vektory (1, 2, 3), (-1, 2, 0), (1, 6, 6) jsou lineárně závislé. Lehce nahlédneme, že 2 (1, 2, 3) + (-1, 2, 0) = (1, 6, 6). Vektor (1, 6, 6) jsme vyjádřili jako lineární kombinaci zbývajících dvou vek- torů. Zaveďme si nyní pojem hodnosti skupiny n vektorů následující definicí. Hodnost skupiny vektorů má zásadní význam při vyšetřování řešitelnosti systému lineárních rovnic. Hodnost skupiny vektorů Definice 4.6. (Hodnost skupiny vektorů) Nechť X = (1 x, . . . , n x), je skupina n vektorů z prostoru P. Maximální počet lineárně nezávislých vektorů ve skupině X nazveme hodností skupiny vektorů X. Budeme ji značit h(X). Hodnost matice Poznámka. Nechť A je matice typu (m, n). Na matici A se můžeme dívat jako na uspořádanou m­tici řádkových vektorů z vektorového prostoru Vn, resp. jako na uspořádanou n­tici sloupcových vektorů z vektorového prostoru Vm. Aplikováním definice hodnosti na řádky matice dostáváme řádkovou hodnost matice a aplikováním definice hodnosti na sloupce matice dostáváme sloupcovou hodnost matice. Později ukážeme, že pro každou matici je sloupcová hodnost rovna její řádkové hodnosti. Pokud to nedokážeme a výslovně neřekneme o jakou hodnost se jedná, budeme mít na mysli řádkovou hodnost. Příklad 4.5. Určete řádkovou hodnost matice A = 1 2 3 4 5 6 7 8 6 8 10 12 . Označme 1 x, 2 x, 3 x postupně první, druhý a třetí řádek matice A. Tedy 1 x = 1 2 3 4 , (4.17) 2 x = 5 6 7 8 , (4.18) 3 x = 6 8 10 12 . (4.19) 165 4. Lineární prostor Zřejmě vektor 3 x je lineárně závislý na vektorech 1 x, 2 x, neboť 3 x = 1 x + 2 x a vektory 1 x, 2 x jsou lineárně nezávislé. Skutečně, kdyby tyto vektory byly lineárně závislé, byl by jeden z nich násobkem druhého. To znamená, existovalo by takové číslo , že by 2 x = 1 x to jest, platilo by 5 6 7 8 = 1 2 3 4 . Takové číslo však evidentně neexistuje. Vektory 1 x, 2 x jsou tedy lineárně nezávislé. Tedy mezi vektory 1 x, 2 x, 3 x jsou právě dva lineárně nezávislé vektory. Řádková hodnost matice A je tedy rovna 2. Úkol. Dokažte si, že horní schodovitá matice má řádkovou hodnost rovnu počtu jejich nenulových řádků. Poznámka. Hodnost matice budeme hledat později jejím převodem na horní schodovitou matici o stejné hodnosti pomocí elementárních transformací, o kterých teď pojednáme. 4.3 Elementární transformace Úvodem začněme s několika příklady. Uvažujme množinu všech matic typu (3, 4). Na každou matici z této množiny můžeme nahlížet jako na množinu uspořádaných vektorů ­ řádků. Nechť např. A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . (4.20) Utvořme nyní matici B typu (3, 4) tak, že její druhý řádek je roven druhému řádku matice A násobenému číslem (-3) a ostatní řádky matice B jsou rovny odpovídajícím řádkům matice A. Takto vzniklá matice je matice B = 1 2 3 4 -15 -18 -21 -24 9 10 11 12 . Budeme říkat, že matice B vznikla z matice A transformací H1(2, -3). Budeme psát B = H1(2, -3)A. Obecně, nechť matice A je typu (m, n) a je libovolné reálné číslo, i je libovolné přirozené číslo 1 i m. Označme B tu matici typu (m, n), jejíž i­tý řádek je roven ­násobku i­tého řádku matice A a její ostatní řádky jsou stejné jako odpovídající řádky matice A. Potom řekneme, že matice B 166 vznikla z matice A transformací H1(i, ). Píšeme pak B = H1(i, )A. Nechť tedy A = a1,1 . . . a1,n ... ... ai-1,1 . . . ai-1,n ai,1 . . . ai,n ai+1,1 . . . ai+1,n ... ... am,1 . . . am,n . Potom B = H1(i, )A je matice B = a1,1 . . . a1,n ... ... ai-1,1 . . . ai-1,n ai,1 . . . ai,n ai+1,1 . . . ai+1,n ... ... am,1 . . . am,n . Popišme nyní další transformaci matice A typu (m, n). Vraťme se opět k matici (4.20). Nechť tedy A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . (4.21) Utvořme nyní matici C typu (3, 4) tak, že její třetí řádek je roven součtu prvního a třetího řádku matice A a ostatní řádky matice C jsou rovny odpovídajícím řádkům matice A. O takto vzniklé matici C řekneme, že vznikla transformací H2(1,3) matice A. Budeme psát C = H2(1,3)A. Dostáváme C = 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16 . Obecně, nechť matice A je typu (m, n) a i, j, i = j, jsou libovolná přirozená čísla 1 i m, 1 j m. Označme C tu matici typu (m, n), jejíž j­tý řádek je roven součtu i­tého a j­tého řádku matice A a ostatní řádky jsou stejné jako odpovídající řádky matice A. Potom řekneme, že matice C vznikla z matice A transformací H2(i, j). Píšeme pak C = H2(i, j)A. 167 4. Lineární prostor Nechť tedy A = a1,1 . . . a1,n ... ... ai,1 . . . ai,n ... ... aj,1 . . . aj,n ... ... am,1 . . . am,n . Potom C = H2(i, j)A je matice C = a1,1 . . . a1,n ... ... ai,1 . . . ai,n ... ... aj,1 + ai,1 . . . aj,n + ai,n ... ... am,1 . . . am,n . Vraťme se opět k matici (4.20) a vytvořme z ní matici transformací složenou ze dvou transformací H2(1, 2), H1(2, -3). Nechť tedy A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 . Označme F = H2(1, 2)A. Dostáváme F = 1 2 3 4 6 8 10 12 9 10 11 12 . Na takto vzniklou matici F aplikujme transformaci H1(2, -3). Položme G = H1(2, -3)F . Dostáváme G = 1 2 3 4 -18 -24 -30 -36 9 10 11 12 . O matici G řekneme, že vznikla postupným aplikováním transformací H2(1, 2), H1(2, -3). (Jde o složené zobrazení). Na matici typu (n, k) se můžeme dívat jako na uspořádanou skupinu n řádků ­ vektorů. V dalším budeme uvažovat o uspořádaných skupinách n vektorů vektorovém prostoru P, který blíže nespecifikujeme. Zavedeme si transformace H1, H2 těchto uspořádanch skupin vektorů analogickým způsobem, jak jsme to zavedli pro matice ­ uspořádané skupiny řádků matic daného typu. 168 Poznámka. Komu dělá potíže tato abstrakce, ať uvažuje řádky matic daného typu. Později si ukážeme jak využít tyto transformace např. při řešení těchto úloh: Určit hodnost matice. Výpočítat hodnotu determinantu matice. Řešit systémy lineárních algebraických rovnic. Napřed definujme základní elementární transformace H1, H2. Transformace H1, H2 a všechny z nich složené transformace budeme nazývat elementární- mi. Zavedení pojmu elementární transformace Definice 4.7. (Základní elementární transformace) Nechť P je vektorový prostor. Nechť X = (1 x, . . . , n x) je uspořádaná skupina n vektorů z P. Definujme transformace (zobrazení) H1(i, ), H2(i, j) takto: Transformace H1(i, ). Transformací Y = H1(i, )X (4.22) se k uspořádané skupině vektorů X = (1 x, . . . , n x) z P přiřadí uspořádaná skupina vektorů Y = (1 y, . . . , n y) z P takto: k y := k x pro k = i a i y := i x. (4.23) (To znamená, že vektor i x násobíme číslem a ostatní vektory ponecháme bez změny.) Transformace H2(i, j). Transformací Y = H2(i, j)X (4.24) se k uspořádané skupině vektorů X = (1 x, . . . , n x) z P přiřadí uspořádaná skupina vektorů Y = (1 y, . . . , n y) z P takto: k y := k x pro k = j a j y := j x + i x. (To znamená, že k j­tému vektoru j x se přičte i­tý vektor i x a ostatní vektory se ponechají bez změny.) 169 4. Lineární prostor Věta 4.3. (Odvození elementární transformace) Nechť P je vektorový prostor. Nechť X = (1 x, . . . , n x) je uspořádná skupina n vektorů z P. Definujme transformace (zobrazení) H3(i, j), H3(i, j), H4(i, , j, ), i = j, = 0, = 0 takto: Transformace H3(i, j). Transformací Y = H3(i, j)X, i = j, (4.25) se k uspořádané skupině vektorů X = (1 x, . . . , n x) z P přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (1 y, . . . , n y) z P, že i y := j x, j y := -i x, k y := k x pro k = i, j. (4.26) (To znamená, že skupina vektorů Y vznikne ze skupiny vektorů X vynásobením i­tého vektoru číslem (-1) a následnou výměnou i­tého a j­tého vektoru.) Transformace H3(i, j). Transformací Y = H3(i, j)X, i = j, (4.27) se k uspořádané skupině vektorů X = (1 x, . . . , n x) z P přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (1 y, . . . , n y) z P, že i y := j x, j y := i x, k y := k x pro k = i, j. (4.28) (To znamená, že skupina vektorů Y vznikne ze skupiny vektorů X výměnou i­tého a j­tého vektoru.) Transformace H4(i, , j, ), i = j, = 0, = 0. Trans- formací Y = H4(i, , j, )X, i = j, = 0 (4.29) se k uspořádané skupině vektorů X = (1 x, . . . , n x) z P přiřadí taková uspořádaná skupina vektorů Y = (1 y, . . . , n y) z P, že 170 j y := i x + j x, a k y = k x, k = j. (To znamená, že skupina vektorů Y vznikne ze skupiny vektorů X tak, že k ­násobku j­tého vektoru se připočte násobek i­tého vektoru a ostatní vektory se ponechají bez změny.) Potom transformace H3(i, j), H3(i, j), H4(i, , j, ), i = j, = 0, = 0 jsou elementární. Důkaz: Dokažme, že transformace H3(i, j) je elementární, to znamená, že je vytvořena postupným aplikováním elementárních transformací H1(i, ), H2(i, j). V popisu budeme sledovat jenom vektory na i­té a na j­té pozici v uspořádané skupině vektorů. Schematicky lze tento postup znázornit takto ... i x ... j x ... ----- H2(j, i) ... i x + j x ... j x ... ------ H1(j, -1) ... i x + j x ... -j x ... ----- H2(i, j) ... i x + j x ... i x ... ------ H1(j, -1) ... i x + j x ... -i x ... ----- H2(j, i) ... j x ... -i x ... Je tedy skutečne transformace H3(i, j)X elementární. Transformace H3(i, j) vznikne postupným aplikováním transformací H3(i, j) a H1(j, -1). Je tedy elementární. Ukažme, že transformace H4(i, , j, ) je elementární, to znamená, že se dá vytvořit postupným aplikováním transformací H1(i, ), H2(i, j). Skutečně, položme Y = H4(i, , j, )X. Skupina Y vznikne ze skupiny vektorů X provedením těchto postupných elementárních transformací: 1 Y = H1(i, )X, 2 Y = H1(j, ) 1 Y , 3 Y = H2(i, j) 2 Y , Y = H1(i, 1/) 3 Y . 171 4. Lineární prostor Hodnost skupiny vektorů Zabývejme nyní se otázkou porovnání hodnosti skupiny vektorů X z P a hodnosti skupiny vektorů Y z P, která vznikla ze skupiny vektorů X elementárními transformacemi. Ukážeme, že tyto hodnosti jsou stejné. Věta 4.4. Nechť P je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P X = (1 x, . . . , m x). Označme Y uspořádanou skupinu m vektorů z P, definovanou vztahem Y = H1(i, )X, kde R, = 0, 1 i m . Potom uspořádané skupiny vektorů X, Y mají stejnou hodnost. Důkaz: Označme h = h(X) hodnost uspořádané skupiny vektorů X. Dokažme napřed, že h(Y ) h. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že ve skupině X jsou vektory (1 x, . . . , h x) (4.30) lineárně nezávislé a ostatní vektory (h+1 x, . . . , m x) jsou jejich lineárními kombinacemi. Předpokládejme, že 1 i h. Transformací Y = H1(i, )X se vektor k x transformuje na vektor k y, kde k y = k x pro každé k = i, i y = i x. (4.31) Položme c1 1 y + . . . + ci i y + . . . + ch h y = 0. (4.32) Vzhledem k (4.31) lze tento vztah přepsat na tvar c1 1 x + . . . + ci i x + . . . + ch h x = 0. (4.33) Poněvadž vektory (4.30) jsou lineárně nezávislé, je c1 = 0, . . . , ci = 0, . . . , ch = 0. Poněvadž = 0, dostáváme odtud ck = 0 pro k = 1, 2, . . . , h, takže vektory 1 y, 2 y, . . . , h y jsou lineárně nezávislé. Je tedy hodnost h(Y ) h. Dospěli jsme k závěru, že pro 1 i h je h(X) h(H1(i, )X) = h(Y ). (4.34) 172 Předpokládejme nyní, že h < i m. Transformací Y = H1(i, )X se vektory (4.30) nemění, takže h(Y ) h(X). Dospěli tedy k dílčímu výsledku, že h(X) h(Y ) = h(H1(i, )X, pro všechna i, = 0. (4.35) Poněvadž X = H1(i, 1/)Y , je podle (4.35) h(Y ) h(H1(i, 1/)Y = h(X). (4.36) Ze vztahů (4.35),(4.36) dostáváme, že h(X) = h(Y ). Věta 4.5. Nechť P je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P X = (1 x, . . . , m x). Označme Z uspořádanou skupinu vektorů z P definovanou vztahem Z = H2(i, j)X, kde i, j {1, . . . , m}, i = j. Potom X, Z mají stejnou hodnost. Důkaz: Označme h hodnost X, tedy h = h(X). Poněvadž hodnost X není závislá na pořadí vektorů, bez újmy na obecnosti budeme předpokládat, že ve skupině X je prvních h vektorů lineárně nezávislých a zbývající vektory jsou jejich lineárními kombinacemi. Předpokládáme tedy, že vektory 1 x, . . . , h x (4.37) jsou lineárně nezávislé a vektory h+1 x, . . . , m x (4.38) jsou jejich lineárními kombinacemi. Napřed dokážeme, že platí nerovnost h(X) h(Z). (4.39) Poněvadž h(X) = h, nerovnost (4.39) bude dokázána, nalezneme-li v Z h lineárně nezávislých vektorů. Budeme je hledat v následujících případech pro různá umístění vektorů i x, j x v uspořádané skupině X. 173 4. Lineární prostor 1 Předpokládejme, že i h, j h. (4.40) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že i < j. Potom X = (1 x, . . . , i x, . . . , j x, . . . , h x, . . . , m x). (4.41) Transformací H2(i, j)X se vektory (4.41) transformují na vektory Z = (1 x, . . . , i x, . . . , (i x + j x), . . . , h x, . . . , m x). (4.42) Dokažme, že prvních h vektorů v Z je lineárně nezávislých. Položme c1 1 x + . . . + . . . + ci i x + . . . + cj (i x + j x) + . . . + ch h x = 0. (4.43) Úpravou dostáváme c1 1 x + . . . + (cj + ci) i x + . . . + cj j x + . . . + ch h x = 0. (4.44) Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů (4.37) dostáváme odtud systém rovnic cj + ci = 0, ck = 0 pro k = 1, . . . h, k = i. (4.45) Odtud plyne zejména cj = 0. Poněvadž ci + cj = 0 je i ci = 0. Je tedy c1 = 0, . . . , ch = 0, takže prvních k vektorů v (4.42) je lineárně nezávislých. 2 Předpokládejme, že 1 j h < i. V tomto případě je X = (1 x, . . . , j x, . . . , h x, . . . , i x, . . . , m x). Tyto vektory se transformují transformací H2(i, j)X na systém vektorů Z = (1 x, . . . , (j x + i x), . . . , h x, . . . , i x, . . . , m x). (4.46) Položme c1 1 x + . . . + cj (j x + i x) + . . . + ch h x = 0. (4.47) Vektor i x je dle předpokladu lineární kombinací vektorů 1 x, . . . , h x, takže existují taková čísla 1, . . . h, že i x = 1 1 x + . . . + j j x + . . . + h h x. (4.48) Dosaďme za i x do (4.47). Dostáváme c1 1 x+. . .+cj (j x+1 1 x+. . .+j j x+. . .+h h x) +. . .+ch h x = 0. Po úpravě dostáváme (c1 +cj 1)1 x+. . .+cj (1+j)j x+. . .+(ch +cj h)h x = 0. (4.49) 174 Vzhledem k lineární nezávislosti vektorů 1 x, . . . , h x je c1 + cj1 = 0, . . . , cj (1 + j) = 0, . . . , (ch + cj h) = 0. (4.50) Mohou nastat dva případy: a) j = -1, b) j = -1. a) to jest j = -1. Ze vztahu cj (1 + j) = 0 vyplývá, že cj=0. Z (4.50) tedy dostáváme ck = 0 pro k = 1, . . . h. Jsou tedy vektory (4.47) lineárně nezávislé, takže h(X) h(Y ). b) Nechť j = -1. V tomto případě ze vztahu cj (1+j) = 0 vyplývá, že cj může být libovolné číslo. Vektory (4.47) jsou tedy v tomto případě lineárně závislé. Ukážeme, že v tomto případě jsou však vektory 1 x, . . . , j-1 x, j+1 x, . . . , . . . , h x, i x. (4.51) lineárně nezávislé. Položme c1 1 x + . . . + cj-1 j-1 x + cj+1 j+1 x + . . . + ch h x + ci i x = 0. (4.52) Dosadíme-li sem za i x vztah (4.48) pro j = -1, dostáváme po úpravě (c1 + ci 1) 1 x + . . . + (cj-1 + ci j-1) j-1 x + +(cj+1 + ci j+1) j+1 x + . . . . . . + (ch + ci h) h x + . . . - ci j x = 0. (4.53) Poněvadž vektory (4.37) jsou lineárně nezávislé, dostáváme z (4.53) tento systém rovnic: ci = 0, ck + ci k = 0 (4.54) pro k = 1, 2, . . . , j - 1, j + 1, . . . , h. Odtud dostáváme, že c1, c2, . . . , cj-1, cj+1, . . . , ch, ci jsou rovny nule. Jsou tedy vektory (4.51) skutečně lineárně nezávislé. 3 Nechť j > h. V tomto případě se vektory (4.37) transformací Z = H2(i, j)X nezměnily, jsou tedy lineárně nezávislými. Je tedy i v tomto případě h(Z) h(X). Zatím jsme dospěli k tomuto výsledku. Nechť X je uspořádaná skupina m vektorů. Potom uspořádaná skupina m vektorů Y Y = H1(i, )X, 1 i m, = 0 má stejnou hodnost jako X a uspořádaná skupina vektorů Z Z = H2(i, j)X má hodnost, pro níž platí h(Z) h(X). Je-li tedy U uspořádaná skupina vektorů, vytvořena postupným aplikováním těchto dvou tranformací (elementárních transformací), má hodnost h(U) pro níž platí h(X) h(U). (4.55) 175 4. Lineární prostor Tohoto poznatku využijeme k důkazu, že h(Z) h(U). Nechť tedy Z = H2(i, j)X. Položme A = H1(i, -1)Z, B = H2(i, j)A, U = H1(i, -1)B. Potom U = X. Tedy X jsme získali z Z elementární transformací, takže podle toho co jsme uvedli, je h(X) h(Z). (4.56) Odtud a ze vztahu h(X) h(Z) dostáváme, že h(X) = h(Z), což je vztah, který jsme chtěli dokázat. Věta 4.6. Nechť P je vektorový prostor a X je uspořádaná skupina m vektorů z P X = (1 x, . . . , m x). Označme Y uspořádanou skupinu m vektorů z P, která vznikla z X elementární transformací. Potom skupiny vektorů X, Y mají stejnou hodnost. Důkaz: Poněvadž každá elementární transformace vzniká postupným aplikováním základních elementárních transformací, je tvrzení věty bezprostředním důsledkem vět (4.4), (4.6). Na základě těchto výsledků můžeme vyslovit následující větu. Elementární transformace matic Věta 4.7. (O hodnosti matice) Nechť A je matice typu (m, n). Potom Matice H1(i, )A, kde = 0 je matice, která vznikne z matice A tak, že její i­tý řádek vynásobíme číslem a ostatní řádky ponecháme beze změny Matice H2(i, j)A je matice, která vznikne z matice A tak, že k jejímu j­tému řádku přičteme její i­tý řádek a ostatní řádky ponecháme beze změny. 176 Matice H3(i, j)A je matice, která vznikne z matice A tak, že vzájemně vyměníme její i­tý a j­tý řádek a po provedení této výměny násobíme j­tý řádek číslem (-1) a ostatní řádky ponecháme beze změny. Matice H3(i, j)A je matice, která vznikne z matice A tak, že vzájemně vyměníme její i­tý a j­tý řádek a ostatní řádky ponecháme beze změny. Matice H4(i, , j, )A, kde = 0 je matice, která vznikne z matice A tak, že její j­tý řádek nahradíme součtem - násobku jejího j-tého řádku a -násobku jejího i-tého řádku a ostatní řádky ponecháme bez změny. Postupným aplikováním těchto transformací na matici A dostaneme matici, která má stejnou řádkovou hodnost jako matice A. Sloupcovou hodnost matice určíme podle analogické věty, která vznikne z věty 4.7 tak, že v ní slova " řádek" nahradíme slovy " sloupec". 4.4 Symbolika použitá pro popis některých výpočtových postupů V popisu výpočtových postupů budeme používat jen konstant, nebudeme používat symbolů proměnných, jimž ještě nebyla přiřazena hodnota z jejich oborů. Pro přiřazení budeme používat symbol " :=". Jestliže tedy např. x je proměnná s oborem reálných čísel, pak zápisem x := 5 přiřazujeme proměnné x hodnotu " 5". V dalším označuje x číslo 5 až do doby, kdy této proměnné x nepřiřadíme jinou hodnotu. Chceme-li hodnotu proměnné x změnit, např. zvětšit o číslo 8, použijeme zápisu x := x + 8. (4.57) Tento zápis můžeme číst např. takto: K aktuální hodnotě proměnné x přičteme číslo 8 a tuto hodnotu přiřadíme proměnné x. V našem případě bude mít potom proměnná x hodnotu " 5+8", to jest hodnotu 13. Na vztah (4.57) se není možno dívat jako na rovnici. Např. není možno na jeho obě strany přičíst " -x" a tak obdržet " 0 := 8". Proměnné, např. proměnné x, jíž již byla přiřazena hodnota, můžeme přiřadit novou hodnotu. Tím její původní hodnota zanikne. 177 4. Lineární prostor Užitím proměnných, kterým již byly přiřazeny hodnoty z jejích oborů, můžeme vytvářet výrazy. Příkladem výrazu je např. pravá strana v (4.57). Uveďme si ještě jiný příklad výrazu. Označme A, B, C proměnné s oborem hodnot všech matic daného (stejného) typu a předpokládejme, že proměnným A, B byly již přiřazeny konkrétní matice. Potom přiřazením C := 2 A + 3 B (4.58) je proměnné C přiřazena matice rovna součtu aktuální hodnoty matice A vynásobené číslem 2 a aktuální hodnoty matice B vynásobené číslem 3. Zde 2 A + 3 B je výraz. Byla-li již matici A přiřazena hodnota z jejího oboru, předpokládáme, že tímto přiřazením je přiřazena i hodnota symbolům označujícím její prvky ai,j, resp. symbolům pro vektory A(i, :), A(:, j) pro aktuální hodnoty proměnných i, j. (Připomeňme si, že symbolem A(i, :) rozumíme i­tý řádek matice A a symbolem A(:, j) rozumíme j­tý sloupec matice A.) Např., jestliže se někde v popisu vyskytne a2,1, jedná se o aktuální hodnotu prvku matice A v jejím druhém řádku a prvním sloupci. Podobně, jestliže se v popisu použije symbol A(2, :), rozumí se jím aktuální hodnota druhého řádku matice A. Jako další příklad přiřazení si uveďme přiřazení A(3, :) := A(1, :). (4.59) Tímto přiřazením byla změněna matice A tak, že její třetí řádek byl nahrazen aktuální hodnotou prvního řádku matice A, aniž by se první řádek matice A nějak změnil. Poznámka. V popisu výpočtového postupu děláme tedy rozdíl mezi symbo- lem " :=" a symbolem " =". Např. proměnné x přiřazujeme číslo 5 příkazem x := 5, a zápisem y = 3 vyjadřujeme, že proměnná y má hodnotu 3. Mimo popis výpočtového postupu nebudeme činit rozdíl mezi těmito dvěma různými symboly a budeme používat jen symbolu " =". Ze souvislostí je patrný význam použitého symbolu " =". 4.5 Určení hodnosti matice Hodnost schodovité matice Zřejmě platí Nechť X je nenulová schodovitá matice. Potom její hodnost je rovna počtu jejich nenulových řádků. Uvedli jsme si, že matice Y , která vznikne z matice X elementárními transformacemi, má stejnou hodnost jako matice X. Popišme tedy výpočtový postup jak elementárními transformacemi transformovat danou matici X = 0 na horní schodovitou matici. 178 Transformace matice X na horní schodovitou matici Nechť X je nenulová matice typu (m, n), která není ve schodovitém tvaru. Její transformaci na matici schodovitého tvaru , označíme ji opět X, provedem takto. Začátek Položme i := 1 B1. Budeme vytvářet i-tý řádek hledané matice schodovitého tvaru. B2. K číslu i určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice X, v jehož řádcích i, i + 1, . . . , m je alespoň jeden nenulový prvek. Toto pořadové číslo sloupce označme si. B3. Zvolme p {i, . . . , m}, pro než je xp,si = 0. (je-li takových p více, zvolíme jedno z nich). p-tý řádek matice X nazveme hlavním řádkem. B4. Je-li p = i, vyměníme navzájem p-tý a i-tý řádek metice X. Po této výměně je i-tý řádek hlavním řádkem. Je-li p = i, je již i-tý řádek hlavním řádkem. B5. Provedeme nyní takové elementární ´transformace, aby po jejich realizaci byly prvky xi+1,si , . . . , xm,si rovny 0. Toho dosáhneme např. elementárními transformacemi X := H4(i, -xj,si , j, xi,si )X pro ty indexy j = i + 1, . . . , m pro něž xj,sj = 0. B6. Jestliže matice X není ještě ve schodovitém tvaru, položme i := i + 1 a přejdeme zpět na B1. Je-li X ve schodovitém tvaru, je transformace ukončena. Hodnost dané matice je pak rovna počtu nenulových řádků schodovité matice. Příklad 4.6. Určete řádkovou hodnost matice X = 0 1 3 2 3 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 4 užitím její transformace na horní schodovitou matici. Řešení. Položme X := 0 1 3 2 3 0 2 6 4 1 0 0 0 1 2 0 1 3 2 4 , m := 4, n := 5. V následujícím popisu výpočtového postupu bude označení B1-i,. . . ,B6-i znamenat úkony B1­B6 pro dané i. 179 4. Lineární prostor Začátek i := 1 B1-1 Budeme vytvářet i-tý (první) řádek hledané schodovité matice. B2-1 K číslu i (to jest k číslu i = 1) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce, v jehož řádcích i, . . . , m (to jest v jehož řádcích 1, 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy si := 2 (s1 = 2). B3-1 Zvolíme hlavní řádek. V si­tém sloupci (to jest ve 2. sloupci) jsou nenulové prvky v řádcích 1, 2, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 1, který zvolíme jako hlavní. B4-1 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p­tý řádek, kde p = i, neprovádíme výměnu řádku p s řádkem i. B5-1 Provedeme nyní takové elementární tranformace matice X, aby po jejich realizaci byly v si-tém sloupci (to jest ve druhém sloupci) v řádcích i+1, . . . , m (to jest v řádcích 2, 3, 4) nulové prvky. (Prvky x2,2, x3,2, x4,2 eliminujeme). Toho dosáhneme např. elementárními transformacemi X := H4(i, -xj,si , j, xi,si )X, pro j = i + 1, . . . , m, je-li xj,sj = 0. Poněvadž i = 1, si = 2, m = 4, eliminaci provedeme elementárními transformacemi X := H4(1, -xj,2, j, x1,2)X, pro j = 2, 3, 4. To znamená, že prvek xj,2 pro každé j {2, 3, 4} eliminujeme tak, že hlavní řádek (to jest první řádek) vynásobíme číslem (-xj,2) a přičteme jej k j-tému řádku vynásobeného číslem x1,2. * Položme j := i + 1 (tedy pro j = 2) dostáváme X := H4(1, -a2,2, 2, a1,2)X. Po této transformaci je druhý řádek matice X roven X(2, :) = -2 (0 1 3 2 3) + 1 (0 2 6 4 1) = (0 0 0 0 - 5) a ostatní řádky matice X se nemění. * Položme j := j + 1. Je tedy j = 3. Poněvadž xj,si = 0, (to jest x3,2 = 0), eliminaci není třeba provádět a přejdeme k dalšímu řádku. * Položme j := j + 1. Je tedy j = 4. Poněvadž xj,si = 1 = 0, (to jest x4,2 = 0,) provedeme elementární transformaci X := H4(1, -a4,2, 4, a1,2)X. Po této transformaci je čtvrtý řádek matice X roven X(4, :) = -1 (0 1 3 2 3) + 1 (0 1 3 2 4) = (0 0 0 0 1). 180 Ostatní řádky matice X se nemění. X = 0 1 3 2 3 0 0 0 0 -5 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 . B6-1 Poněvadž obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, po- ložíme i := i + 1 a přejdeme na bod B1. B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet druhý řádek horní schodovité matice. B2-2 K číslu i (to jest k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s2) sloupce, v jehož řádcích i, . . . , m (to jest v jehož řádcích 2, 3, 4) je nenulový prvek. Je to čtvrtý sloupec. Položíme tedy si := 4 (s2 = 4). B3-2 Zvolíme hlavní řádek. V si-tém sloupci (to jest ve 4. sloupci) je v řádcích 2, 3, 4 nenulový prvek jen v řádku 3. Jeho pořadové číslo označíme p. Tento řádek zvolíme za hlavní řádek. Je tedy p := 3. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek řádek p, kde p = i, provedeme v matici X výměnu řádku p s řádkem i. (Tedy výměnu druhého a třetího řádku.) Dostáváme tak matici X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 1 . B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v si-tém sloupci (to jest ve čtvrtém sloupci) v řádcích i + 1, . . . , m (to jest v řádcích 3, 4) nulové prvky. (Prvky x3,4, x4,4 eliminujeme.) Avšak v tomto případě jsou prvky x3,4, x4,4 rovny 0, takže eliminaci není třeba provádět. Je tedy výsledná matice v tomto kroku X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 -5 0 0 0 0 1 . B6-2 Obdržená matice X ještě není horní schodovitou maticí, proto položíme i := i + 1 a přejdeme na bod B1. B1-3 Je tedy i = 3. To znamené, že budeme vytvářet třetí řádek hledané schodovité matice. 181 4. Lineární prostor B2-3 K číslu i (to jest k číslu i = 3) určíme nejmenší pořadové číslo si (to jest s3), v jehož řádcích i, . . . , m (to jest v jehož řádcích 3, 4) je nenulový prvek. Je to pátý sloupec. Položme tedy si := 5 (s3 = 5). B3-3 Zvolíme hlavní řádek. V si-tém sloupci (to jest v 5. sloupci) jsou nenulové prvky v řádcích 3, 4. Z nich zvolíme jeden. Jeho pořadové číslo označíme p. Rozhodneme se pro řádek p = 4, který zvolíme jako hlavní. B4-3 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, provádíme výměnu řádku p s řádkem i. Po této výměně je X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -5 . B5-3 Provedeme nyní takové elementární transformace matice X, aby po jejich realizaci byly v si-tém sloupci (to jest v pátém sloupci) v řádcích i + 1, . . . , m (to jest v řádku 4) nulové prvky. (Prvek x4,5 eliminujeme.) Toho lze dosáhnout např. elementární transformací X := H4(3, -x4,5, 4, x3,5)X. Výpočtem dostáváme X(4, :) = 5 (0 0 0 0 1) + 1 (0 0 0 0 - 5) = (0 0 0 0 0). Je tedy X = 0 1 3 2 3 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 . B6-3 Poněvadž obdržená matice je již horní schodovitou maticí, je transformace dané matice na horní schodovitou matici již ukončen. Poněvadž obdržená schodovitá matice má celkem tři nenulové řádky, je její hodnost a tedy i hodnost zadané matice rovna 3. Tedy h(X) = 3. Příklad 4.7. Určete hodnost skupiny vektorů 1 a = (1 0 - 1 2), 2 a = (0 1 2 - 1), 3 a = (0 1 3 - 6). Řešení. Úloha je ekvivalentní s úlohou nalezení řádkové hodnosti matice A = 1 0 -1 2 0 1 2 -1 0 1 3 -6 . Tuto hodnost hledejme transformací matice A elementárními ransformacemi na horní schodovitou matici postupem popsaným na str. 179. 182 Položme i := 1 B1-1 Budeme vytvářet i-tý řádek (1. řádek) schodovité matice. B2-1 K číslu i = 1 určíme nejmenší pořadové číslo sloupce matice A, v jehož řádcích 1, 2, 3 je alespoň jeden prvek různý od 0. Je to v prvním sloupci. Pokládáme tedy s1 := 1. B3-1 Hledáme nyní řádek matice A, v jehož sloupci s pořadovým číslem s1 = 1 je nenulový prvek. To jest, hledáme p {1, 2, 3}, pro něž je ap,s1 = 0. Je to pro p = 1. Položme tedy p := 1. Řádek p = 1 volíme za hlavní. B4-1 Poněvadž p = i, neprovádíme výměnu p-tého a i-tého řádku. První řádek je hlavním. B5-1 Poněvadž všechny prvky v prvním sloupci počínaje druhým řádkem, jsou nulové (tj. prvky aj,1 = 0 pro j = 2, 3), přejdeme k B6-1. B6-1 Matice A není horní schodovitou maticí, proto položíme i := i + 1 a jdeme zpět k bodu B1. B1-2 Je tedy i = 2. Budeme vytvářet 2. řádek schodovité matice. B2-2 K číslu i (tj. k číslu i = 2) určíme nejmenší pořadové číslo sloupce si (to jest s2), v jehož řádcích 2, 3 je nenulový prvek. Je to druhý sloupec. Položíme tedy s2 := 2. B3-2 Zvolíme hlavní řádek. Ve sloupci s pořadovým číslem s2 (tj. ve druhém sloupci) hledáme index j, j i, tak, aby aj,s2 = 0. Je to pro j = 2 a pro j = 3. Zvolme jedno z nich. Rozhodneme se pro j = 2. Položíme p := 2. Bude tedy p-tý řádek hlavním řádkem. B4-2 Poněvadž jsme zvolili za hlavní řádek p-tý řádek, kde p = i, neprovádíme vzájemnou výměnu p-tého a i-tého řádku. Je tedy i-tý řádek hlavním řádkem. B5-2 Provedeme nyní takové elementární transformace, aby po jejich realizaci byly v si-tém sloupci (ve druhém sloupci) v řádcích i + 1, . . . , m (to jest v řádku 3) nulové prvky. Toho dosáhneme např. elementární transformací A := H4(2, -a3,2, 3, a2,2)A. Výpočtem dostáváme A(3, :) = -1(0 1 2 - 1) + 1(0 1 3 - 6) = (0 0 1 - 5). Celkem dostáváme A = 1 0 -1 2 0 1 2 -1 0 0 1 -5 . B6-2 Dosažená matice A je horní schodovitá matice. Poněvadž má tři nenulové řádky, je její hodnost rovna 3, je tedy h(A) = 3. Dané vektory 1 a, 2 a, 3 a jsou lineárně nezávislé. 183 4. Lineární prostor Příklad 4.8. Určete hodnost matice X = 0 0 1 2 3 0 2 2 4 3 0 2 4 8 9 0 0 2 4 6 . Řešení. V tomto příkladě naznačíme pouze výsledky jednotlivých úprav bez komentáře. X = 0 2 2 4 3 0 0 1 2 3 0 2 4 8 9 0 0 2 4 6 0 2 2 4 3 0 0 1 2 3 0 0 2 4 6 0 0 2 4 6 0 2 2 4 3 0 0 1 2 3 . Má tedy matice X hodnost 2. 4.6 Báze vektorového prostoru Zaveďme si nyní pojem báze. V některých vektorových prostorech existují vektory, které mají tu vlastnost, že každý vektor tohoto prostoru lze vyjádřit jako jejich vhodnou lineární kombinaci. To nás vede k této definici. Definice báze Definice 4.8. (Báze vektorového prostoru) Nechť P je vektorový prostor. 1 e, . . . , n e jsou vektory z P s těmito vlastnostmi: 1. jsou lineárně nezávislé 2. každý vektor prostoru P se dá vyjádřit jako jejich lineární kombinace, to jest, ke každému vektoru a P existují taková čísla c1, . . . , cn, že a = c1 1 e + . . . + cn n e. Potom říkáme, že vektory 1 e, . . . , n e z P tvoří jeho bázi. Příklad 4.9. Dokažte že vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) tvoří bázi vektorového prostoru V3. Důkaz. Dokažme především, že vektory 1 e, 2 e, 3 e 184 jsou lineárně nezávislé. Abychom to dokázali, hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 e + c2 2 e + c3 3 e = 0, to jest, pro něž je c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0). To zřejmě platí když a jenom když c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) skutečně lineárně nezávislé. Nechť nyní a = (a1, a2, a3) je libovolný vektor z V3 a hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 e + c2 2 e + c3 3 e = a, to jest, pro něž platí c1 (1, 0, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (0, 0, 1) = (a1, a2, a3). Odtud dostáváme c1 = a1, c2 = a2, c3 = a3. Vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) mají vlastnosti uvedené v definici 4.8, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. Příklad 4.10. Dokažte, že vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) tvoří bázi vektorového prostoru V3. Budeme postupovat podobně jako v minulém příkladě. Napřed dokážeme, že vektory 1 f, 2 f, 3 f jsou lineárně nezávislé. Hledejme koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 f + c2 2 f + c3 3 f = 0, to jest, pro něž je c1 (1, 1, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (1, 1, 1) = (0, 0, 0). To zřejmě platí když a jenom když c1 + 0 c2 + c3 = 0, (4.60) c1 + c2 + c3 = 0, (4.61) 0 c1 + 0 c2 + c3 = 0. (4.62) Tento systém rovnic má právě jedno řešení a to c1 = c2 = c3 = 0. Jsou tedy vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) lineárně nezávislé. Abychom dokázali, že tyto vektory tvoří bázi vektorového prostoru V3, musíme ještě dokázat, že každý vektor a V3 se dá vyjádřit jako lineární 185 4. Lineární prostor kombinace vektorů 1 f, 2 f, 3 f. Nechť tedy a P. Hledejme nyní koeficienty c1, c2, c3, pro něž je c1 1 f + c2 2 f + c3 3 f = a, to jest, že c1 (1, 1, 0) + c2 (0, 1, 0) + c3 (1, 1, 1) = (a1, a2, a3). To zřejmě platí když a jenom když c1 + 0 c2 + c3 = a1, (4.63) c1 + c2 + c3 = a2, (4.64) 0 c1 + 0 c2 + c3 = a3. (4.65) Odtud dostáváme c1 = a1 - a3, c2 = a2 - a1, c3 = a3. Vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) mají vlastnosti uvedené v definici 4.8, takže tvoří bázi vektorového prostoru V3. Všimněmě si blíže obou těchto příkladů. V obou příkladech jsme uvažovali tentýž vektorový prostor. Ukázali jsme, že jak vektory 1 e = (1, 0, 0), 2 e = (0, 1, 0), 3 e = (0, 0, 1) tvoří bázi vektorového prostoru V3, tak i vektory 1 f = (1, 1, 0), 2 f = (0, 1, 0), 3 f = (1, 1, 1) tvoří bázi vektorového prostoru V3. Báze vektorového prostoru V3 není tedy určena jednoznačně. V nahoře uvedeném příkladě byl počet vektorů tvořících bázi téhož vektorového prostoru V3 v obou případech stejný. Naskytá se otázka, zda se jedná o nahodilost, anebo zda se jedná o nějakou zákonitost. V případě, že počet vektorů tvořících bázi by byl stejný pro každou bázi, potom tento počet by charakterizoval příslušný vektorový prostor. Uveďme si tedy následující větu, která odpovídá na tuto otázku. Věta 4.8. Nechť P je vektorový prostor a 1 e, . . . , n e je jeho báze, tvořena n vektory. Potom platí: Jestliže 1 f, . . . , m f je skupina m vektorů z P, kde m n, potom v ní je nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Každá skupina n lineárně nezávislých vektorů z P je jeho báze. Číslo n nyzýváme dimenzí vektorového prostoru P. Píšeme dimP = n. Důkaz: Bez důkazu. Dokažte si platnost tohoto tvrzení Aritmetický vektorový prostor Vn má dimenzi rovnu n, tj. dimVn = n. Jedna z jeho bází je tvořena vektory 1 e = (1, 0, . . . , 0), 2 e = (0, 1, . . . , 0), . . . , n e = (0, 0, . . . , 1). 186 Uveďme si nyní pojem vektorového podprostoru vektorového prostoru P. Vektorový podprostor Definice 4.9. (Vektorový podprostor) Nechť P je vektorový prostor. Nechť Q P a nechť pro každé dva prvky x, y Q je x + y Q a pro každé x Q a každé R je x Q. Zde symboly " +" a " " jsou operace sečítání a násobení v prostoru P. Potom množina Q společně s uvedenými operacemi " +" a " " je vektorovým podprostorem vektorového prostoru P, značíme jej Q. Uveďme si ještě pojem vektorového prostoru generovaného systémem vektorů. Definice 4.10. (Lineární obal množiny) Nechť P je vektorový prostor a nechť M P. Potom množinu Q všech lineárních kombinací vektorů z M nazýváme lineárním obalem množiny M. Množina Q s ope- racemi " +" a " " tvoří vektorový podprostor Q prostoru P. Říkáme, že prostor Q je generován množinou M. Jestliže U je vektorový podprostor prostoru P obsahující M, potom Q U. Příklad 4.11. Nechť Q je množina těch vektorů z V5, jejichž první a třetí složka je stejná. Potom množina Q s operacemi " +" a " ", definovanými v prostoru V5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. Vektory (1, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1) (4.66) tvoří jeho bázi. Skutečně. Nechť a = (s, a2, s, a4, a5), b = (r, b2, r, b4, b5) a , r, s jsou libovolná čísla. Potom a + b = (s + r, a2 + b2, s + r, a4 + b4, a5 + b5), takže první a třetí složka tohoto součtu je stejná, takže tento součet patří do množiny Q. Podobně a = ( s, a2, s, a4, a5), takže první a třetí složka tohoto součinu je stejná, takže součin a patří do množiny Q. Tato množina Q s operacemi " +" a " ", definovanými v V5, je vektorovým podprostorem Q prostoru V5. 187 4. Lineární prostor Ukažme ještě, že vektory (4.66) tvoří jeho bázi. Dokažme napřed, že jsou lineárně nezávislé. Skutečně, hledejme taková c1, c2, c3, c4 pro něž je c1(1, 0, 1, 0, 0)+c2(0, 1, 0, 0, 0)+c3(0, 0, 0, 1, 0)+c4(0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0, 0). Odtud dostáváme (c1, c2, c3, c4) = (0, 0, 0, 0). Tento vztah je splněn zřejmě jenom v případě, že c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Jsou tedy vektory (4.66) lineárně nezávislé. Nechť nyní a = (s, a2, s, a4, a5) je libovolný vektor z Q. Potom s (1, 0, 1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0, 0, 0) + a4 (0, 0, 0, 1, 0) + a5 (0, 0, 0, 0, 1) = = (s, a2, s, a4, a5) Lze tedy vektor a = (s, a2, s, a4, a5) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů (4.66). Tím je důkaz proveden. Zároveň lze konstatovat, že vektorový prostor Q je generován vektory (4.66). Vraťme se k systému rovnic (3.35) Ax = b, (4.67) kde A je matice typu (m, n), b je vektor (m, 1) a neznámý vektor x je typu (n, 1). Označme 1 a = a1,1 a2,1 ... am,1 , 2 a = a1,2 a2,2 ... am,2 , . . . , n a = a1,n a2,n ... am,n , b = b1 b2 ... bm . Potom systém (3.35) lze zapsat jako x1 a1,1 a2,1 ... am,1 + x2 a1,2 a2,2 ... am,2 + + xn a1,n a2,n ... am,n = b1 b2 ... bm , 188 tj. x1 1 a + x2 2 a + + xn n a = b. (4.68) Příklad 4.12. Systém lineárních rovnic x1 + 3x1 - 3x3 = -12 4x1 + 5x2 + 2x3 = 6 lze zapsat jako x1 1 4 + x2 3 5 + x3 -3 2 = -12 6 Poznámka. Pro každou uspořádanou n-tici reálných čísel je levá strana (4.68), tj. vektor x1 1 a + x2 2 a + + xn n a vektorem z vektorového prostoru G generovaného sloupcovými vektory matice A, tj. vektory 1 a, 2 a, . . . , n a. Systém rovnic Ax = b má řešení když a jenom když b G. 4.7 Skalární součin, norma a vzdálenost ve vektorovém prostoru Na gymnáziu se zavádí pojem skalárního součinu dvou volných vektorů. Toto zavedení se motivovalo potřebami fyziky. Skalární součin jste využívali nejen ve fyzice, ale i v analytické geometrii a to jak v úlohách s přímkami, tak i v úlohách s rovinami. Pojem skalárního součinu dvou volných vektorů a výpočet úhlu dvou nenulových volných vektorů nás bude motivovat k zavedení skalárního součinu a úhlu dvou vektorů v obecných vektorových prostorech. S těmito pojmy se pak můžete setkat při řešení různých aplikačních úloh. Začněme tedy s volnými vektory. Definice 4.11. Úhlem volných vektorů -a , b rozumíme úhel 0, , o který je nutno otočit orientovanou úsečku AB, reprezentující -a , kolem bodu A v rovině určené body (A, B, C) do směru orientované úsečky - AC, reprezentující b , kde A je libovolný bod (viz obr 4.6). Skalární součin Skalární součin dvou volných vektorů. Nechť -a , b jsou dva volné nenulové vektory. Potom jejich skalárním součinem rozumíme číslo (skalár), označme je (-a , b ), definované vztahem (-a , b ) = |-a | b cos(), (4.69) kde je úhel,který svírají vektory -a , b . Jestliže alespoň jeden z vektorů a, b je nulový vektor, definujeme (-a , b ) = 0. 189 4. Lineární prostor A C B Obrázek 4.6: Úhel dvou vektorů Podívejme se nyní na pojem skalárního součinu dvou volných vektorů v kartézském souřadném systému ve třírozměrném prostoru. (Analogické úvahy je možno provést ve dvojrozměrném prostoru.) Uvažujme dva nenulové volné vektory -a , b . Nechť volný vektor -a je reprezentován orientovanou úsečkou OA a volný vektor b je reprezentován orientovanou úsečkou -- OB, kde O = [0, 0, 0], A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3]. Označme úhel, který svírají orientované úsečky - OA, -- OB. Na trojúhelník (OAB) aplikujme kosinovou větu. Dostáváme (viz obr.4.7) O x2 x3 x1 A B Obrázek 4.7: Odvození skalárního součinu dvou vektorů - AB 2 = - OA 2 + -- OB 2 - 2 OA -- OB cos () Do tohoto vztahu dosaďme AB = (b1 - a1)2 + (b2 - a2)2 + (b3 - a3)2, OA = a2 1 + a2 2 + a2 3, -- OB = b2 1 + b2 2 + b2 3. Úpravou dostaneme OA -- OB cos() = a1b1 + a2b2 + a3b3. (4.70) Poněvadž OA = |-a | a -- OB = b , dostáváme odtud a z (4.69) (-a , b ) = a1b1 + a2b2 + a3b3 (4.71) 190 Jsou-li volné vektory -a , b nenulové, lze užitím vztahů (4.69), (4.70) určit cos() vztahem cos() = (-a , b ) |-a | | b | . (4.72) Užitím (4.71) pak dostáváme cos() = a1b1 + a2b2 + a3b3 a2 1 + a2 2 + a2 3 b2 1 + b2 2 + b2 3 . (4.73) Uvažujme nyní zobrazení T prostoru U3 na prostor V3 (bylo již zavedeno dříve), definované vztahem T (-a ) = (a1 a2 a3) = a, T ( b ) = (b1 b2 b3) = b. Vzhledem k vlastnostem zobrazení T a vzhledem k (4.71) definujeme skalární součin vektorů a, b v prostoru V3 vztahem (později definici skalárního součinu zobecníme) (a, b) = ((a1, a2, a3), (b1, b2, b3)) = a1b1 + a2b2 + a3b3 (4.74) a úhel , který svírají dva nenulové vektory a, b, vztahem cos() = a1b1 + a2b2 + a3b3 a2 1 + a2 2 + a2 3 b2 1 + b2 2 + b2 3 . (4.75) Uvážíme-li, že |a| = a2 1 + a2 2 + a2 3, |b| = b2 1 + b2 2 + b2 3, lze (4.75) přepsat takto cos() = (a, b) |a| |b| . (4.76) Takto zavedený pojem skalárního součinu vektorů z V3 a pojem úhlu dvou nenulových vektorů z V3 rozšíříme i pro vektory z Vn. (Tyto pojmy v dalším ještě více zobecníme.) 191 4. Lineární prostor Definice 4.12. Nechť a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) jsou vektory z vektorového prostoru Vn. Potom číslo, označme je (a, b), definované vztahem (a, b) = a1b1 + . . . + anbn (4.77) nazveme skalárním součinem vektorů a, b. Poznámka. Nechť a, b Vn jsou sloupcové vektory. Potom skalární součin (a, b) definovaný vztahem (4.77) lze zapsat jako (a, b) = aT b. Lze dokázat, že v prostoru Vn má skalární součin vektorů, definovaný vztahem (4.77), následující vlastnosti: Věta 4.9. Nechť Vn je vektorový prostor. Potom skalární součin v tomto prostoru, definovaný vztahem (4.77), má tyto vlast- nosti: (a, b) = (b, a), (4.78) (a + b, c) = (a, c) + (b, c), (4.79) ( a, b) = (a, b), (4.80) (a, a) 0, (a, a) = 0 a = 0. (4.81) Důkaz: Omezíme se na důkaz vztahu (4.79), ostatní vztahy se dokazuji analogicky, jejich důkaz přenechávám čtenáři. Aplikací vztahu (4.77) na levou stranu (4.79) dostáváme (a + b, c) = (a1 + b1) c1 + . . . + (an + bn) cn, což po úpravě dává a1 c1 + b1 c1 + . . . + an cn + bn cn = (a, c) + (b, c). Pojem skalárního součinu dvou vektorů rozšíříme nyní i na vektorové prostory P, definované na obecné množině P. Uvažujme nyní vektorový prostor P, definovaný na nějaké neprázdné množině P. V tomto vektorovém prostoru budeme definovat skalární součin takto. 192 Definice 4.13. (Skalární součin dvou vektorů) Nechť P je daný lineární prostor. Ke každým jeho dvěma vektorům a, b P je přiřazeno reálné číslo (a, b) tak, že pro vektory a, b, c P a pro každé reálné číslo platí (a, b) = (b, a), (4.82) (a + b, c) = (a, c) + (b, c), (4.83) (a, b) = (a, b), (4.84) (a, a) 0, (a, a) = 0 a = 0. (4.85) Potom číslo (a, b) nazýváme skalárním součinem prvků a, b P. Obecná definice skalárního součinu Skalární součin definovaný v prostoru Vn vztahem (4.77)je jedním z možných způsobů definování skalárního součinu v prostoru Vn. V následujícím příkladě si uvedeme jiný, rovněž často používaný skalární součin v prostoru Vn. Příklad 4.13. Nechť 1, . . . , n jsou kladná čísla. Ke každým dvěma vektorům x, y Vn přiřaďme reálné číslo (x, y) vztahem (x, y) = 1x1y1 + . . . + nxnyn. (4.86) Potom (x, y) definuje skalární součin na Vn. Důkaz: Důkaz je snadný. Stačí prověřit, že (x, y) splňuje vztahy (4.82-- 4.85). Přenechávám jej čtenáři. Věta 4.10. Nechť P je lineární prostor se skalárním součinem (x, y) pro x, y P. Potom pro libovolná x, y P platí |(x, y)| (x, x) (y, y). (4.87) Důkaz: Nechť y = 0. Potom pro všechna x, z P platí (x, y) = (x, 0) = (x, 0 z) = 0 (x, z) = 0, takže platí (4.87). Nechť y = 0. Potom vzhledem k (4.85) je (y, y) > 0. Položme F() = (x + y, x + y), (4.88) kde je reálný parametr. Potom podle (4.85) je F() 0 pro všechna R. Dosadíme-li do (4.88) = - (x,y) (y,y) dostáváme z (4.88) (x, x) - 2 (x, y) (y, y) (x, y) + (x, y)2 (y, y)2 (y, y) 0. (4.89) Úpravou dostáváme (x, x) (x, y)2 (y, y) 0. 193 4. Lineární prostor Odtud (x, x) (y, y) (x, y)2 , takže |(x, y)| (x, x) (y, y). Jako další důležitý pojem, který si zavedeme, je pojem normy v lineárním pro- storu P . Normu použijeme pak k definování vzdálenosti dvou prvků v tomto prostoru. Normovaný vektorový prostor Definice 4.14. (Norma) Lineární prostor P nazýváme normovaným lineárním prostorem, jestliže ke každému x P je přiřazeno takové nezáporné reálné číslo, označme je ||x||, že pro všechna x, y P a každé reálné číslo platí ||x|| = 0 x = 0, (4.90) ||x + y|| ||x|| + ||y|| , (4.91) ||.x|| = || . ||x|| . (4.92) V normovaném lineárním prostoru P platí následující věta. Věta 4.11. Nechť P je normovaný lineární prostor. Je-li a = 0, potom platí ||a|| > 0. Důkaz: Podle definice normy pro každé a P je ||a|| 0. Nechť existuje takové a = 0, že ||a|| = 0. Podle (4.90) by bylo a = 0, což by byl spor s předpokladem. Je tedy ||a|| > 0 pro každé a = 0. Uveďme si nyní následující normy ve vektorových prostorech Vn. Věta 4.12. (Normy v prostoru Vn) ) Jestliže ke každému vektoru x Vn přiřadíme číslo ||x||1 vztahem ||x||1 = |x1| + |x2| + . . . + |xn| , (4.93) potom ||x||1 je tzv. oktaedrická norma ve vektorovém prostoru Vn. ) Jestliže ke každému vektoru x Vn přiřadíme číslo ||x||2 vztahem ||x||2 = x2 1 + x2 2 + . . . + x2 n, (4.94) potom ||x||2 je tzv. euklidovská norma ve vektorovém prostoru Vn. 194 ) Jestliže ke každému vektoru x Vn přiřadíme číslo ||x||3 vztahem ||x||3 = max |xi| pro i = 1, . . . , n, (4.95) potom ||x||3 je tzv.max­norma ve vektorovém prostoru Vn. (V literatuře se místo ||.||3 píše též ||.||max.) Důkaz: ) Dokažme, že ||x||1 je normou. a) Nechť x Vn je takový vektor, že ||x||1 = 0. Pro tento vektor tedy platí |x1| + |x2| + . . . + |xn| = 0. To je možné jen v tom případě, že x1 = x2 = . . . = xn = 0. Platí tedy (4.90). b) Nechť x, y Vn. Potom ||x + y||1 = |x1 + y1| + |x2 + y2| + . . . + |xn + yn| , takže ||x + y||1 |x1| + |x2| + . . . + |xn| + |y1| + |y2| + . . . + |yn| = ||x||1 + ||y||1 . Platí tedy (4.91). c) Nechť R, x Vn. Potom ||x||1 = | x1|+| x2|+. . .+| xn| = ||(|x1|+|x2|+. . .+|xn|) = ||||x||1 . Platí tedy (4.92). ) Důkaz, že ||x||2 je normou v prostoru Vn dokážeme později (str. 197) pomocí skalárního součinu definovaného vztahem (4.77). ) Dokažme, že ||x||3 je normou ve vektorovém prostoru Vn. a) Nechť pro x Vn je ||x||3 = 0. Potom max |xi| = 0, pro i = 1, . . . , n, takže xi = 0, i = 1, . . . , n. Platí tedy (4.90). b) Nechť x, y Vn. Potom podle definice normy (4.95) je ||x + y||3 = max |xi + yi| pro i = 1, . . . , n . Odtud dostáváme ||x + y||3 = max(|xi + yi|) max(|xi|) + max(|yi|) pro i = 1, 2, ..., n. Tedy ||x + y||3 ||x||3 + ||y||3 . Platí tedy (4.91). c) Nechť x Vn a nechť R. Podle definice normy je ||.x||3 = max |.xi| pro i = 1, 2, . . . , n. Odtud || x||3 = || max |xi| pro i = 1, 2, . . . , n. Je tedy || x||3 = || ||x||3. Platí tedy (4.92). 195 4. Lineární prostor Věta 4.13. (Norma určená ze skalárního součinu) Nechť P je vektorový prostor se skalárním součinem (x, y) pro x, y P. Potom vztahem (4.96) ||x|| = (x, x) pro x P (4.96) je definována norma na P. Důkaz: a) Dokažme (4.90). Podle (4.85) je (x, x) 0, takže ||x|| 0. Nechť ||x|| = 0. Potom podle (4.85) je (x, x) = 0, takže x = 0. b) Dokažme (4.91). Podle (4.96) je ||x + y||2 = (x + y, x + y). Odtud dostáváme užitím (4.83) ||x + y||2 = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y). Odtud plyne ||x + y||2 (x, x) + 2. |(x, y)| + (y, y). Užitím (4.87) dostáváme ||x + y||2 ||x||2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y||2 . Odtud vyplývá ||x + y||2 (||x|| + ||y||)2 , to jest ||x + y|| ||x|| + ||y|| . c) Dokažme nyní (4.92). Nechť R, x P. Potom podle (4.96) je || x|| = ( x, x). Podle (4.84) je || x|| = 2 (x, x), takže || x|| = | | ||x|| . S ohledem na definici normy je tedy vztahem (4.96) skutečně definována norma na P. Uvažujme nyní lineární prostor P se skalárním součinem (x, y), kde x, y P. Jestliže x = 0, y = 0, potom ze vztahu (4.87) dostáváme |(x, y)| (x, x) (y, y) 1. (4.97) Existuje tedy takový úhel 0, , že cos() = (x, y) (x, x) (y, y) . (4.98) Takto definovaný úhel nazýváme úhlem vektorů x, y. 196 Úhel dvou vektorů Definice 4.15. ( Úhel dvou vektorů) Nechť P je lineární prostor se skalárním součinem (x, y), kde x, y P. Označme ||x|| = (x, x). Potom pro nenulové vektory x , y nazýváme úhel , definovaný vztahem cos() = (x, y) ||x|| ||y|| , (4.99) úhlem vektorů x, y. Dva vektory x, y nazýváme navzájem kolmými, jestliže (x, y) = 0. (4.100) Poznámka. Jestliže vektory x, y jsou nenulové, potom z (4.98) pro pravý úhel vyplývá (4.100). Uveďme si dvě normy ve vektorových prostorech Vn, definované pomocí skalárního součinu užitím vztahu(4.96). Příklad 4.14. Nechť ve vektorovém prostoru Vn je zaveden skalární součin vztahem (x, y) = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn. Potom ||x||2 = (x, x) = x2 1 + . . . + x2 n (4.101) je normou (euklidovskou) ve vektorovém prostoru Vn. Je tedy takto definovaná norma ||x||2 vektoru x rovna velikostí |x| vektoru x, jak byla zavedena v definici vektorového prostoru Vn. Úhel nenulových vektorů x, y Vn je pak definován vztahem (4.102) cos() = (x, y) ||x||2 ||y||2 , (4.102) resp. po rozepsání cos() = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn x2 1 + x2 2 + . . . + x2 n y2 1 + y2 2 + . . . + y2 n . (4.103) Příklad 4.15. Nechť 1, 2, . . . , n jsou daná kladná reálná čísla, x, y Vn. Nechť ve vektorovém prostoru Vn je zaveden skalární součin vztahem (x, y) = 1x1y1 + 2x2y2 + . . . + nxnyn. 197 4. Lineární prostor Potom ||x|| = (x, x) = 1x2 1 + . . . + nx2 n (4.104) je k němu odpovídající normou ve vektorovém prostoru Vn. Úhel nenulových vektorů x, y je určen vztahem cos() = (x, y) ||x|| ||y|| . (4.105) Po rozepsání dostáváme cos() = 1x1y1 + . . . + nxnyn 1x2 1 + . . . + nx2 n 1y2 1 + . . . + ny2 n . (4.106) Metrický prostor. Dříve než zavedeme pojem metrického prostoru, uveďme si tento příklad. Předpokládejme, že podnik vyrábí výrobky V1, . . . , Vn . Nechť pi značí plán výroby výrobku Vi, i = 1, . . . , n. Nechť výrobní plán je popsán vektorem p = (p1, . . . , pn). Předpokládejme, že podnik se odklonil od plánované výroby jednotlivých výrobků. Nechť realizovaná výroba je popsaná vektorem r = (r1, . . . , rn), kde ri značí zrealizovanou výrobu výrobku Vi, i = 1, . . . , n. Je otázkou, jak ohodnotit odchylku realizace celé výroby od plánu výroby, to jest odchylky vektorů p, r. K tomu si zavedeme pojem vzdálenosti dvou vektorů. Pojem vzdálenosti zavedeme napřed pro prvky libovolné množiny. Vzdálenost dvou bodů jsme zvyklí chápat jaksi intuitivně, bez jeho precizování. Označíme-li M množinu bodů, potom v našem intuitivním pojetí má vzdálenost tyto vlastnosti: M1. Vzdálenost dvou různých bodů je kladná, vzdálenost každého bodu od sama sebe je nulová. M2. Vzdálenost bodu, označme jej a M, je od druhého bodu, označme jej b M, stejná, jako je vzdálenost bodu b od bodu a. M3. Jsou-li a, b, c tři body množiny M, potom vzdálenost bodů a, b je menší nebo rovna součtu vzdálenosti bodů a, c, a vzdálenosti bodů b, c. Této vlastnosti říkáme trojúhelníková nerovnost. Je znázorněna na obr.4.8. a b c Obrázek 4.8: Trojúhelníková nerovnost Toto intuitivní chápání vzdálenosti nás inspiruje k zavedení pojmu vzdálenost na libovolné množině M takto. 198 Vzdálenost Definice 4.16. (Definice vzdálenosti) Nechť M je daná neprázdná množina a nechť je zobrazení, kterým ke každým dvěma prvkům a, b M je přiřazeno nezáporné číslo, označme je (a, b), tak, že pro a, b, c M platí (a, b) 0, přičemž (a, b) = 0 a = b,(4.107) (a, b) = (b, a), (4.108) (a, b) (a, c) + (b, c). (4.109) Potom (a, b) nazýváme vzdáleností prvků a, b a množinu M s takto zavedenou vzdáleností nazýváme metrickým prostorem. Na jedné a téže množině lze definovat vzdálenost různými způsoby. Jednou z možností jejího definování ve vektorovém prostoru je použití normy. Věta 4.14. (Vzdálenost určená normou.) Nechť P je normovaný vektorový prostor. Nechť x, y P. Potom vztahem (x, y) = ||x - y|| pro x, y P je definovaná vzdálenost v P. Důkaz: a) Dokažme (4.107). Podle definice normy je (x, y) = ||x - y|| 0, pro všechna x, y P, přičemž z (4.90) vyplývá ||x - y|| = 0 x = y. b) Vlastnost (4.108) vyplývá bezprostředně z (4.82). c) Dokažme (4.109).Podle definice je (x, y) = ||x - y||. Úpravou dostáváme (x, y) = ||(x - z) + (z - y)||. Užitím (4.91) dostáváme (x, y) ||(x - z)|| + ||(z - y)|| = (x, z) + (z, y). Věta 4.15. (Euklidovská vzdálenost) Ve vektorovém prostoru Vn je vztahem (x, y) = (x1 - y1)2 + . . . + (xn - yn)2 definována (euklidovská) vzdálenost vektorů x, y. 199 4. Lineární prostor Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem věty 4.14 užitím euklidovské normy. Posouzení přibližného řešení systému rovnic A x = b. Uvažujme systém lineárních rovnic A x = b. Označme x jeho přesné řešení a x jeho přibližné řešení (řešení obdržené např. výpočtem na počítači). Zaveďme si dva vektory a r vztahy = x - x, r = b - A x. (4.110) Norma vektoru vyjadřuje vzdálenost přibližného řešení od přesného řešení. Tento vektor však většinou v reálnách situacích nemůžeme určit, neboť neznáme přesné řešení. Existují metody na odhad normy tohoto vektoru. Vycházejí však velice pesimisticky. Vektor r se nazývá reziduálním vektorem. Vyjadřuje, jak dobře přibližné řešení vyhovuje danému systému rovnic. Ukažme si dva příklady. Příklad 4.16. Uvažujme systém lineárních rovnic 2, 5 x1 - 3, 1 x2 - x3 = 7, 31, -0, 5 x1 + 2, 0 x2 - 1, 5 x3 = -0, 25, 7, 2 x1 - 3, 1 x2 + 4, 1 x3 = 9, 18. (4.111) Přesné řešení tohoto systému je x 1 = 1, 7, x 2 = -0, 6, x 3 = -1, 2. Výpočtem jsme obdrželi jeho přibližné řešení x1 = 1, 683, x2 = -0, 571, x3 = -1, 219. V tomto případě je = 0, 017 -0, 029 0, 019 , r = -2, 5514 0, 0950 -0, 2902 . (4.112) Výpočtem dostáváme ||||1 = max(|0, 017|, | - 0, 029|, |0, 019|) ||r||1 = max(| - 2, 5514|, |0, 0950|, | - 0, 2902|), to jest ||||1 = 0, 017, ||r||1 = 2, 5514. 200 4.8 Úvod do analytické geometrie v n-rozměrném prostoru En Zavedení n-rozměrného euklidovského prostoru Nechť n je libovolné přirozené číslo. Označme Rn množinu uspořádaných n-tic reálných čísel. Dále označme Vn aritmetický vektorový prostor definovaný na množině Rn . Budeme předpoládat, že na vektorovém prostoru Vn je definován skalární součin takto: Jestliže a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) jsou vektory z prostoru Vn, potom jejich skalární součin je (a, b) = a1b1 + . . . + anbn. Pomocí tohoto skalárního součinu je pak definovaná euklidovská norma, totiž ||a|| = (a, a). Označme En množinu Rn , jejíž každý prvek má dvojí význam. Význam bodu. V toto případě uspořádanou n-tici reálných čísel dáme do hranatých závorek a případně označíme symbolem, většinou velkým písmenem, např. A = [a1, . . . , an]. Čísla ai, i = 1, . . . , n, se nazývají souřadnicemi bodu A. Význam aritmetického vektoru z prostoru Vn, takže uspořádaná n-tice reálných čísel představuje aritmetický vektor. V tomto případě ji dáváme do kulatých závorek a případně označíme symbolem, většinou malým tučně napsaným písmenem, např. a = (a1, . . . , an). Čísla ai, i = 1, . . . , n, nazýváme složkami vektoru a. Vztah mezi body z En a vektory z Vn je definován následujícím způsobem. Nechť P = [p1, . . . , pn] En, s = (s1, . . . , sn) Vn. Označme X = [x1, . . . , xn] En, pro nějž platí xi = pi + si, kde i = 1, . . . , n. (4.113) Tento vztah budeme zapisovat též jako X = P + s. (4.114) Tento prostor En nazveme n-rozměrným euklidovským prostorem. Poznámka 1. Zápis (4.114) vyjadřuje operace, které se mají provést se souřadnicmi bodů a se složkami vektoru. Poznámka 2. Z rovnice (4.114) lze vypočíst jednoznačně kterýkoliv člen pomocí zbývajících dvou členů. Např. s = X - P. (4.115) Tento vztah zapíšeme též takto s = X - P = -- XP. 201 4. Lineární prostor Budeme říkat, že uspořádaná dvojice bodů P, X tvoří umístění vektoru s. Bod P nazýváme počátečním a bod X nazýváme koncovým bodem umístění vektoru s. Poznámka 3. Prostory E1, E2, E3, jste probírali na gymnáziích a dovedte si je představit. Smyslová představa prostorů En pro n > 3 končí a musíme tyto prostory uvažovat jen ve smyslu definice. Příklad 4.17. Nechť A = [1, -2, 3, 0], B = [7, 1, 2, 3]. Potom s = AB = [7, 1, 2, 3] - [1, -2, 3, 0] = (6, 3, -1, 3). Definice 4.17. Nechť P En a nechť 1 s, . . . , d s jsou lineárně nezávislé vektory z prostoru Vn. Potom množina bodů X z En X = P + 1 t 1 s + . . . +d t d s, (4.116) kde 1 t, . . . ,d t jsou parametry (libovolná čísla), se nazývá podprostorem dimenze d vnořeným do prostoru En (pro d < n). Přímka Lineární podprostor dimenze 1 vnořený do prostoru En nazýváme přímkou. Přímku, určenou bodem P a vektorem s lze tedy zapsat ve tvaru X = P + ts, kde t (-, ) je parametr, (4.117) X je obecný bod přímky. Vektor s nazýváme směrovým vektorem přímky. Příklad 4.18. Napišme v E3 rovnici přímky danou bodem A = [2, -1, 3] a směrovým vektorem s = (2, -3, 0). Řešení. Podle (4.117) dostáváme [x1, x2, x3] = [2, -1, 3] + t(2, -3, 0), takže obecným bodem přímky je bod o souřadnicích x1 = 2 + 2t, x2 = -1 - 3t, x3 = 3, kde t (-, ). Příklad 4.19. Napišme v E4 rovnici přímky danou body A = [2, -1, 3, 2], B = [1, 0, -5, 2]. 202 Řešení. Za směrový vektor hledané přímky lze zvolit vektor s = B - A. Je tedy s = B - A. Výpočtem pak dostáváme (s1, s2, s3, s4) = [1, 0, -5, 2] - [2, -1, 3, 2], takže s = (-1, 1, -8, 0). Podle (4.117) je tedy X = A + ts, takže dosazením dostáváme [x1, x2, x3, x4] = [2, -1, 3, 2] + t(-1, 1, -8, 0), kde t (-, ). Přímka, určená body A, B, má tedy rovnici X = A + t(B - A), t (-, ) (4.118) Úsečkou AB rozumíme body přímky (4.118), pro něž platí X = A + t(B - A), t 0, 1 . (4.119) Všimněte si, že parametru t = 0 odpovídá bod A a parametru t = 1 odpovídá bod B. Vzdálenost dvou bodů v En Nechť A = [a1, . . . , an], B = [b1, . . . , bn] jsou dva body z prostoru En. Potom d = ||B - A|| nazýváme vzdáleností bodů A, B. Je tedy d = (b1 - a1)2 + . . . + (bn - an)2. Rovina Lineární podprostor dimenze 2, vnořený do prostoru En, n > 2, nazýváme rovinou. Rovinu, určenou bodem P a nezávislými vektory r, s lze tedy zapsat podle (4.116) ve tvaru X = P + u r + v s, kde u (-, ), v (-, ) jsou parametry. (4.120) (Zde X je obecný bod přímky.) Příklad 4.20. Napište rovnici roviny v E4, která prochází body P = [1, 0, 2, -5], Q = [4, 2, -7, 0], R = [0, 4, 2, 6]. 203 4. Lineární prostor Řešení. Položme r = PQ, s = - PR Dostáváme r = (3, 2, -9, 5), s = (-1, 4, 0, 11). Dosazením do (4.120) dostáváme hledanou rovnici roviny [x1, x2, x3, x4] = [1, 0, 2, -5] + u (3, 2, -9, 5) + v (-1, 4, 0, 11), kde u, v (-, ). Nadrovina v prostoru En Podprostor dimenze n - 1, vnořený do prostoru En, n > 3, nazýváme nadrovinou. Nechť P En a nechť 1 s, . . . , (n-1) s jsou lineárně nezávislé vektory z prostoru Vn. Potom množina bodů X z En, určených vztahem X =1 t 1 s + . . . +(n-1) t (n-1) s, (4.121) kde 1 t, . . . , (n-1) t jsou parametry, je nadrovinou v prostoru En. Lze dokázat, že každou nadrovinu v prostoru En danou vztahem (4.121) lze vyjádřit ve tvaru a1 x1 + . . . + an xn = b, (4.122) kde a1 . . . , an , b jsou reálná čísla. Vektor n = (a1, . . . an) je kolmý na vektory 1 s, . . . , (n-1) s. Nechť a1 x1 + . . . + an xn = b, (4.123) je nadrovinou v prostoru En. Tato nadrovina určuje v prostoru En dva poloprostory, určené nerovnicemi a1 x1 + . . . + an xn > b, a1 x1 + . . . + an xn < b. 4.9 Základní poznatky z kapitoly 4 a úlohy k procvičení 1. Zavedení pojmu lineárního (vektorového prostoru). Soustředťe se na prostor Vn. Vysvětlete pojem vektorového podprostoru. 2. Vysvětlete pojem prostor volných vektorů. 204 3. Vztah mezi prostorem V2 a prostorem volných vektorů U2. Vztah mezi prostorem V3 a prostorem volných vektorů U3. 4. Lineární kombinace vektorů. 5. Lineární závislost a lineární nezávislost vektorů. 6. Hodnost skupiny vektorů. Soustředťe se na řádkovou a na sloupcovou hodnost matice. 7. Elementární transformace. Speciálně elementární transformace matic. 8. Určení hodnosti matice užitím elementárních transformací. 9. Skalární součin vektorů. Stačí znát v učebním textu uvedené dva typy skalárních součinů v prostoru Vn. 10. Kolmost vektorů. 11. Pojem normy ve vektorovém prostoru. Znát normy ||.||1, ||.||2, ||.||3 v prostoru Vn. 12. Co je to báze vektorového prostoru, co je to dimenze vektorového pro- storu. 13. Zavedení pojmu vzdálenosti dvou prvků v dané množině. Určení vzdálenosti ve vektorovém prostoru Vn pomocí normy. 14. Metrický prostor. 15. Prostor En. 16. Co je to přímka, rovina, nadrovina v En. Úlohy 1. Určete vektor 2 (2, -1, 6) + 3 (4, 2, -5) - (4, 2, 4). [(12, 2, -7)] 2. Na množině uspořádaných trojic reálných čísel R3 definujme operaci sečítání takto: nechť (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) R3 , potom definujme jejich součet vztahem (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (max(a1, b1), max(a2, b2), max(a3, b3)) a součin reálného čísla a uspořádané trojice reálných čísel (x1, x2, x3) R3 vztahem (x1, x2, x3) = (x1, x2, x3). Zjistěte, zda množina R3 společně s takto definovaným součtem dvou prvků z R3 a násobením prvků z R3 reálnými čísly je vektorovým prostorem. [Není, neboť neplatí např. (c + d) x = c x + d x pro x = (1, 2, 3) a pro c = 2, d = -3.] 3. Zjistěte, zda v prostoru V4 vektor a) (2, 3, 4, 1) je lineární kombinací vektorů (1, 2, 0, 5), (1, 1, 4, 0), b) (4, -1, 0, 2) je lineární kombinací vektorů (1, 2, 5, 7), (2, -5, -10, -12), (0, 0, 0, 0). 205 4. Lineární prostor [a) není, b) je.] 4. Určete největší počet lineárně nezávislých vektorů v systému vektorů: (0, 1, 2, 3, 4, 6), (1, 2, -1, 4, 2, 0), (2, 4, -2, 1, 0, 8), (2, 6, 2, 7, 8, 20). [3] 5. Dokažte, že pro hodnosti matic A, B platí h(A) = 4 a h(B) = 3, je-li A = 1 2 3 4 2 4 6 1 4 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1 , B = 1 2 3 4 5 6 8 2 0 1 2 5 . 6. Zjistěte hodnosti matic A = 1 2 -2 1 0 1 2 5 2 5 -2 7 , B = 1 2 3 4 5 6 7 8 . [h(A) = 2, h(B) = 2.] 7. a) Uvedťe nějakou bázi ve vektorovém prostoru V5. b) Uvedťe nějakou bázi vektorového prostoru Vn. [a) (1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1), b) (1, 0, 0, . . . , 0, 0), (0, 1, 0, . . . , 0, 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 1).] 8. Tvoří množina P V3, jejíž každý prvek má na druhém místě sudé číslo, s operacemi sečítání a násobení prvků zavedenými stejně jako ve vektorovém prostoru R3 vektorový podprostor prostoru V3? [Ne, například pro (0, 2, 3) V3, a pro reálné číslo 0, 3 nepatří 0, 3 (0, 2, 3) do P.] 9. Nechť M = {(1, 0, 2), (2, 1, 0), (4, 1, 4)}. Označme M vektorový podprostor prostoru V3, generovaný množinou M V3. Patří vektor (3, 1, 1) do tohoto podprostoru? Určete nějakou jeho bázi. [Nepatří. Bázi tvoří např. vektory (1, 0, 2), (2, 1, 0).] 10. Určete bázi ve vektorovém prostoru generovaném vektory (1, 2, 3, 4), (0, 5, 2, 1), (2, 9, 8, 9), (3, 16, 13, 14). [Např. (1, 2, 3, 4), (0, 5, 2, 1).] 11. Nechť a = (1, 5, -3), b = (-4, 2, 4) V3. Určete jejich skalární součiny (které znáte) a vypočítejte odpovídající normy těchto vektorů. Dále určete 206 jejich vzdálenost pomocí metriky určené touto normou. Určete též velikost úhlu, který tyto vektory svírají. [Např. (a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 = -6, ||a|| = 35, a - b = 83.] 12. Nechť V3 je vektorový prostor se skalárním součinem definovaným vztahem (a, b)= a1b1 + a2b2 + a3b3. a) Zjistěte, zda jsou vektory a = (1, -2, 3), b = (2, 3, 5) navzájem kolmé. [(a, b) = 11; vektory nejsou na sebe kolmé.] b) Zjistěte, zda jsou vektory c = (0, -2, 3), d = (2, 3, 2) V3 na sebe kolmé. [(c, d) = 0; vektory c, d jsou na sebe kolmé.] c) Určete reálné číslo p tak, aby vektory e = (2, p, 1), f = (-1, 2, 3p) V3 byly na sebe kolmé. [(e, f) = -2 + 5p; vektory e, f jsou na sebe kolmé pro p = 2 5 .] 13. Ve vektorovém prostoru V3 určete vzdálenosti vektorů a = (1, -2, 3), b = (2, 3, -3) pomocí norem ||x||1 , ||x||2 , ||x||3. [) 1(a, b) = ||b - a||1 = |b1 - a1| + |b2 - a2| + |b3 - a3| = 1 + 5 + 6 = 12; ) 2(a, b) = (b1 - a1)2 + (b2 - a2)2 + (b3 - a3)2 = 12 + 52 + 62 = 62; ) 3(a, b) = max(|b1 - a1| , |b2 - a2| , |b3 - a3|) = max(1, 5, 6) = 6)] 14. Nechť P je vektorový prostor a x P, x = 0 je zvolený vektor. Označme M = {u P : u = c x, c R}. a) Dokažte, že operace " +, ", které na množině P určují vektorový prostor P, určují na M vektorový podprostor prostoru P. b) Nechť y P, y = 0. Vektor p M , pro který je vektor y -p ortogonální na M (to jest je kolmý na každý vektor z M), nazýváme projekcí vektoru y na M. Dokažte, že p = (x, y) (x, x) x. c) Označme ||v|| = (v, v). Dokažte, že ||p - y|| ||v - y|| pro všechna v M. Jinými slovy řečeno, ||p - y|| je vzdálenost vektoru y od podprostoru M. [b) Položme p = c x. Ze vztahu (x, y - p) = 0, vypočítáme c = (x,y) (x,x) .] p y P M 207 4. Lineární prostor 208