Seminar 10
Model
Uvažujte následující model
yt = Etyt+1 - t(it - Ett+1) + ut (1)
t = Ett+1 + yt + et (2)
Lt =
1
2
2
t + y2
t (3)
kde ut a et jsou bílé šumy.
Problem 1
Předpokládejte, že poptávkový šok ut nemůže být dokonale pozorován centrální bankou
(centrální banka může sledovat vše ostatní). Dále předpokládejme, že centrální banka
obdrží signál o šoku. Její odhad je dán jako ~ut = ut + zt, kde zt je bílý šum s rozptylem
E(z2
t ) = var(zt) = 2
z .
Napište podmínky prvního řádu pro optimální dikreční politiku. Vyřešte pro úrokovou
míru. (Hint: Všechny budoucí očekávané proměnné jsou rovny nule kvůli dikreční politice
a nepřítomnosti autokorelace) Jak nejistota ohledně ut ovlivní monetární politiku?
V podmínkách diskrece je optimální politika v čase t určena minimalizací ztrátové
funkce v obodbí t. Vzhledem k tomu, že ut je nepozorovatelná veličina, nemůže CB přesně
pozorovat yt. Pracujeme tedy s očekávánými veličinami. Řešíme problém
min
it
EtLt =
1
2
Et 2
t + y2
t
s.t. Etyt = Et [yt+1 - t(it - t+1) + ut]
s.t. Ett = Et [t+1 + yt + et]
Vzhledem k tomu, že očekávané hodnoty jsou rovny nule, lze problém zjednodušit na:
min
it
EtLt =
1
2
Et 2
t + y2
t
s.t. Etyt = -tit + Etut
s.t. Ett = Etyt + et
Podmínka prvního řádu je pak
EtLt
it
= Ett
Ett
Etyt
Etyt
it
+ Etyt
Etyt
it
= 0
= Et [t(-t) + yt(-t)] = 0
= Et [t + yt] = 0
1
Můžeme dosadit za Ett a Etyt z IS křivky a Phillipsovy křivky
Et [t + yt] = 0
Et [((-tit + ut) + et) + (-tit + ut)] = 0
Vzhledem k tomu, že Etut = ~ut - zt = ~ut dostaneme
((-tit + ~ut) + et) + (-tit + ~ut) = 0
Což již můžeme vyřešit pro úrokovou míru
2
(-tit + ~ut) + et + (-tit + ~ut) = 0
2
tit + tit = 2
~ut + et + ~ut
it t(2
+ ) = (2
+ )~ut + et
it =
1
t
~ut +

t(2 + )
et
Nejistota ohledně ut neovlivňuje monetární politiku. Rozptyl ut nevstupuje do reakční
funkce CB (srovnej s druhým případem). Centrální banka reaguje na signál, který obdrží
~ut, nemůže si nijak polepšit jiným chováním. Platí ,,ekvivalence jistoty .
Problem 2
Předpokládejme, že t je dána jako t =  + t, kde t je šok s vlastnostmi bílého šumu
s rozptylem E(2
t ) = var(t) = 2
 . Dále předpokládejme, že centrální banka nastaví
úrokové míry ještě před tím, než je šok t realizován. Napište podmínky prvního řádu pro
optimální diskreční politiku. Řešte pro úrokovou míru.
Jak ovlivní nejistota ohledně t monetární politiku? Vysvětlete rozdíl mezi aditivní
nejistotou a multiplikativní nejistotou.
Řešíme podobný problém
min
it
EtLt =
1
2
Et 2
t + y2
t
s.t. Etyt = Et[yt+1 - t(it - t+1) + ut]
s.t. Ett = Et[t+1 + yt + et]
Což můžeme zjednodušit na
min
it
EtLt =
1
2
Et 2
t + y2
t
s.t. Etyt = Et[-tit + ut]
s.t. Ett = Et[ut + et]
2
Podmínka prvního řádu je
EtLt
it
= Ett
Ett
Etyt
Etyt
it
+ Etyt
Etyt
it
= 0
= Et[t(-t) + yt(-t)] = 0
Pozn. t je náhodná veličina, nelze vykrátit jako v předchozím případě.
Můžeme dosadit za t a yt
Et[t(-t) + yt(-t)] = 0
Et[-t(-tit + ut + et) - t(-tit + ut)] = 0
Et[2
2
t it - 2
tut - tet + 2
t it - tuy] = 0
Dosazením Ett = Et(+t) =  a za Et2
t = Et[+t]2
= Et(2
+2t+2
t ) = 2
+2

2
(2
+ 2
 )it - 2
ut - et + (2
+ 2
 ) it - ut = 0
it[2
(2
+ 2
 ) + (2
+ 2
 )] = 2
ut + et + ut
it[(2
+ 2
 )(2
+ )] = [(2
+ )ut + et]
it =
[(2
+ )ut + et]
(2 + 2
 )(2 + )
=

2 + 2

ut +

(2 + 2
 )(2 + )
et
Všiměte si, že pokud je 2
 = 0 (nulová nejistota), pak se reakční funkce zjednodušší
na
2
  0  it =
1

ut +

(2 + )
et
Ze srovnání výrazů vyplývá, že nejistota ohledně t způsobuje, že centrální banka
méně reaguje na šoky ut a et. Centrální banka je opatrnější. Není si jistá ohledně fungování
ekonomiky (vyjádřeno modelem a parametry), takže změní úrokovou míru jen málo.
Neplatí ,,ekvivalence jistoty . Banka mění své chování při existenci nejistoty.
Aditivní nejistota je ilustrována v problému 1. Nejistá proměná u vstupuje do podmínky
prvního řádu aditivně (jako součet). Multiplikativní nejistota je ilustrována v problému
2. Nejistá proměnná t vstupuje v podmínce prvního řádu multiplikativně (jako
násobek).
3