Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
Václav Studený
Department of Applied Mathematics, Faculty of Economics
and Administration, Masaryk University
Lipová 24a, 602 00 Brno
studeny@econ.muni.cz
Abstract: Ve finanční matematice se používá pojem úroková míra, někdy ve více
různých významech pro míru růstu stavové funkce, nejčastěji na nějakém intervalu,
přičemž tato míra vyjadřuje jen změnu hodnot v krajních bodech tohoto intervalu.
(Například relativní přírůstek na účtu s konstantní úrokovou mírou za jednotku času)
V Makroekonomii se používá pojem míra růstu pro lokálně definovanou veličinu (která
závisí na hodnotách stavové funkce jen v libovolně malém okolí nějakého bodu).
Tyto pojmy jsou mírně nekonzistentní a v literatuře se často zaměňují, což může vést
ke kvantitativním chybám v případných výpočtech.
Cílem této poznámky je ukázat vztah mezi těmito pojmy a najít obecnou explicitní
formuli, která všechny tyto pojmy zahrnuje jako speciální případy a ukázat, jakou
formulí je třeba nahradit makroekonomickou formuli pro míru růstu, aby v limitním
tvaru přecházela ve formuli pro složené úročení.
Keywords: Úroková míra, míra růstu, míra inflace.
MSC 2000 Classification: 26E60 Means 43A07 Means on groups, semigroups, etc.; amenable groups
JEL Classification: E400 - Money and Interest Rates: General (includes measurement and data) E430
- Determination of Interest Rates; Term Structure of Interest Rates E470 - Money and Interest Rates:
Forecasting and Simulation O400 - Economic Growth and Aggregate Productivity:
1. Axiomy: Uvažujme veličinu jejíž hodnoty y1 a y2 jsou známy ve dvou bodech x1 a x2 (tyto hodnoty
mohou být například výsledek měření). Funkce : R4
 R, která bude kvantifikovat přírůstek této
veličiny by měla mít následující vlastnosti
axiom 1 invariance vůči posunutí (v čase)
 (x1, y1, x2, y2) =  (x1 + t, y1, x2 + t, y2) (1)
axiom 2 invariance vůči homotetiím (například vůči volbě měny)
k > 0 =  (x1, y1, x2, y2) =  (x1, y1  k, x2, y2  k) (2)
Dále požadavek symetrie v růstu a poklesu:
 (x1, y1, x2, y2) = - (x1, -y1, x2, -y2) (3)
vynucuje podmínku axiomu 2 i pro k < 0
axiom 3  je rostoucí v první a čtvrté proměnné a klesající ve druhé a třetí proměnné.
axiom 4 Počáteční podmínka:  (x1, y, x2, y) = 0. (Míra růstu konstantní funkce je nulová.)
1.1. Poznámka: Z uvedených axiomů přímo plyne:
 (x1, y1, x2, y2)
Ax1
=  (0, y1, x2 - x1, y2)
Ax2
=  0, 1, x2 - x1,
y2
y1
(4)
tak že existuje : R  R
 (x1, y1, x2, y2) =  x2 - x1,
y2
y1
(5)
A  je klesající v první a rostoucí ve druhé proměnné podle Ax3 a funkce  (x, 0)  0 podle Ax4.
2. Funkce v ustáleném stavu:
2.1. Definice: Řekneme, že funkce f je v ustáleném stavu vzhledem k míře růstu  je-li (x1, x2) 
 (x1, f (x1) , x2, f (x2)) konstantní funkce. Podle Ax4 je každždá konstatní funkce v ustáleném stavu.
1
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
Hledáme další funkce f takové, že
 (x1, f (x1) , x2, f (x2)) = konst. (6)
Předpokládejme, že už známe hodnotu f (x1) a f (x2) funkce f ve dvou bodech x1 a x2 = x1 + h
 (x2, f (x2) , x2 + h, f (x2 + h)) =  (x1 + h, f (x1 + h) , x1 + 2h, f (x1 + 2h)) (7)
a podle (6)
 (x2, f (x2) , x2 + h, f (x2 + h)) =  (x1, f (x1) , x1 + h, f (x1 + h)) (8)
a tedy
 h,
f (x1 + 2h)
f (x1 + h)
=  h,
f (x1 + h)
f (x1)
(9)
A protože  je prostá v každé proměnné (Ax 3, viz pozn. za Ax. 4) je
f (x1 + 2h)
f (x1 + h)
=
f (x2 + h)
f (x2)
=
f (x1 + h)
f (x1)
(10)
a tedy
f (x1 + 2h) =
(f (x1 + h))
2
f (x1)
(11)
a dále indukcí:
f (x1 + nh) =
f (x1 + h)
f (x1)
 f (x1 + (n - 1) h) =
f (x1 + h)
f (x1)
n
(12)
takže v dalších ekvidistantních bodech tvoří hodnoty funkce f geometrickou posloupnost. Stejně ovšem:
f (x1 + h/2)
f (x1)
=
f (x1 + h)
f (x1 + h/2)
=
f (x1 + h)
f (x1)
=
f (x1 + h/2)
f (x1)
2
(13)
Takže f má hodnoty exponenciální funkce i ve všech bodech množiny {ah
2b , a  N, b  N}. A protože tato
množina je hustá (dense) v R, platí:
2.2. Lemma: Je-li nějaká spojitá funkce f v ustáleném stavu vzhledem k míře růstu, která splňuje
axiomy Ax1 ­ Ax4, pak je to exponenciální funkce f: x  AeBx
s nějakými konstantami A a B.
Pokud chceme, aby všechny exponenciální funkce x  AeBx
byly v ustáleném stavu, máme (označímeli
h = x2 - x1)
B:  x1, AeBx1
, x2, AeBx2
=  x2 - x1,
AeBx2
AeBx1
=  h, eBh
= konst (14)
a platí:
 (h, z) =  h, eh ln(z1/h
) B=ln(z1/h
)
===================  1, eln(z1/h
) =  1, z
1
h (15)
a
 (x1, y1, x2, y2) =  0, 1, 1,
y2
y1
1
x2-x1
(16)
a tedy pro každou míru růstu  splňující axiomy Ax1 ­ Ax4, k níž jsou všechny exponenciální funkce
x  AeBx
v ustáleném stavu existuje nějaká rostoucí funkce  tak, že
 (x1, y1, x2, y2) = 
y2
y1
1
x2-x1
(17)
2.3. Poznámka: Ve finanční matematice se používá translace
: x  x - 1
2
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
a míra růstu
1: (x1, y1, x2, y2) 
y2
y1
1
x2-x1
- 1 (18)
je tzv. úroková míra složeného úročení za jednotku času.
Ve finanční matematice se také částečně z historických důvodů, částečně z rigidity některých obchodních
vztahů a zákonů používá tzv. úroková míra jednoduchého úročení:
f: ^ (x1, y1, x2, y2) =
y2
y1
- 1 
1
x2 - x1
- 1 (19)
Podle této míry jsou funkce v ustáleném stavu polynomy prvního stupně:
f: z - K (z - x1) + f (x1) ; (20)
3. Infinitezimální verze, (Limitní tvar):
V makroekonomii často potřebujeme vyjádřit rychlost  růstu nějaké veličiny f v bodě a ne na
intervalu: Pokud budeme chtít aby míra růstu veličiny f v bodě x0 byla limitou její míry na intervalu
pro průměr intervalu jdoucí k nule, máme:
 (f) (x0) = lim
xx0
 (x0, f (x (0)) , x, f (x)) = lim
xx0


 f (x)
f (x0)
1
x-x0

 =  e
D(f)(x0)
f(x0)
(21)
A pro  = 1 máme
1 (f) (x0) = e
D(f)(x0)
f(x0)
- 1 (22)
V makroekonomii se často používá míra, kterou dostaneme volbou  = ln v (21). V takovém případě
jest
~ (f) (x0) =
D (f) (x0)
f (x0)
(23)
a pokud bychom tutéž funkci použili jako míru růstu v (17) míra růstu na intervalu x0, x1 by byla:
~ (x0, f (x0) , x1, f (x1)) = ln

 f (x0)
f (x1)
1
x0-x1

 =
ln (f (x0)) - ln (f (x1))
x0 - x1
(24)
Což je relativní přírůstek funkce ln f (nikoliv funkce f) vzhledem k přírůstku argumentu této funkce.
Tuto limitu v bodě x2  x1 má i úroková míra jednoduchého úročení (viz. za jednotku času ^.
3.1. Poznámka: Označme tedy
^ = lim
xx0
^ (x0, f (x0) , x1, f (x1)) = ~ (f) (x0) (25)
Platí
^ =  (26)
Volíme-li v (17)
 (x) = xt
- 1 (27)
dostaneme, označíme-li vzniklou funkci t
t (x1, y1, x2, y2) =
y2
y1
1
x2-x1
- 1 (28)
což je tzv. úroková míra složeného úročení za dobu délky t a platí známé vztahy
 = 1 = 1
t
+ 1
t
(29)
3
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
Podobně jako t můžeme definovat i
^t = f: ^ (x1, y1, x2, y2) =
y2
y1
- 1 
1
x2 - x1
1
t
- 1, (30)
což je míra jednoduchého úročení za dobu délky t a platí známé vztahy:
^1
t
=
^1
t
(31)
Funkce   
t je Taylorovým polynomem stupně 1 v bodě 0 funkce   ( + 1)(1
t ) - 1 a historicky
se používala k aproximaci při výpočtu úrokových měr za krátkou dobu. K legitimizaci této nepřesnosti
vedlo zavedení pojmu interval připisování úroků. Dosazením 1
t za 1
t
s nezanedbatelnou chybou, která
je rostoucí v t > 0, dostaneme
1  1 -

t
t
- 1 = 1 (32)
Chyba 1 - 1 ovšem neroste přes všechny meze, ale má konečnou limitu e
- 1 -  v nekonečnu a platí
lim
t
1 = lim
t
1 =

t
t
- 1 = lim
t
1 =

t
t


- 1 = e
- 1
Působivost magického zjevení Eulerovy konstanty v tomto výpočtu dalo kdysi vzniknout pojmu
spojité úročení. Je to obyčejné složené úročení, ale místo úrokové míry 1 z (18) se pod jménem úroková
míra uvádí hodnota ln (1 + 1).
Číslo ln (1 + 1) dostaneme jako míru růstu, pokud v (17) volíme  = ln a v limitě dostaneme míru
~ jako v (23).
4. Inverzní problém:
Použijeme-li jako míru růtu funkce f zobrazení  máme
 (f) (x) = e
D(f)(x0)
f(x0)
- 1 (33)
Což je explicitnín vyjádření pro míru růstu  pokud známe f a differenciální rovnice pro stavovou funkci
f, pokud známe její míru růstu . Tuto rovnici můžeme ekvivalentě psát ve tvarech:
ln ( (t) + 1) = D (ln f) (t)
nebo
D (f) (t) = ln ( (t) + 1)  f (t)
Rovnici můžeme vyřešit a její řešení je:
f: x  e
x
0
ln((s)+1)ds
f (0) (34)
kde  (t) je úroková míra z jednotku času v okamžiku t.
Provedeme-li tentýž výpočet pro míru ~ dostaneme rovnici (23),
~ (f) (x0) =
D (f) (x0)
f (x0)
a její řešení je
f: x  e
x
0
(s)ds
f (0) (35)
Výhodou formule (35) je, že je jednodužší, než (34), její nevýhodou ovšem je, že pokud do ní
dosadíme konstantní úrokovou míru, nedostaneme obvyklou formuli pro složené úročení. Následující
příklad ukazuje, použití formule (34).
4
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
4.1. Example: Předpokládejme, že známe míru míru inflace za jednotku času (například roční míru
inflace, pokud jednotkou zvolíme rok) v okamžiku 0 a v okamžiku 1. Předpokládejme, že v okamžimu 0
byla míra inflace za jednotku času rovna 0.1 a oamžiku 1 byla míra inflce 0.2.
Zajímá nás míra inflace za dobu 1, 0 . Je zřejmé, že tato míra inflace závisí na tom, jak se míra
inflce měnila uvnitř intervalu 1, 0 . Tuto informaci můžeme získat z nějaké obecné teorie časových řad
nebo aproximací. Uvažujme čtyři možnosti: že byla po celou dobu konstatní a měnila se skokem v
jednom, nebo ve druhém krajním bodě intervalu, že se měnila v afinní závislosti na čase a v kvadratické
závislosti na čase. V těchto čtyřech případech jsou hodnoty míry inlace za jednotku času dány jednou ze
čtyř následujících funkcí:
1 (u) :=
0.1, if u < 1
0.2, if u  1
, 2 (u) :=
u2
10
+ 0.1, 3 (u) :=
u
10
+ 0.1, 4 (u) :=
0.1, if u  0
0.2, if u > 0
(36)
Přitom první poslední možnost jsou triviální případy -- míra za jednotku času je konstantní a interval, za
který počítáme inflaci má jednotkovou délku, tedy míra inflace za tuto dobu by měla být tatáž konstanta.
Obecný vzorec tedy musí dávat stejný výsledek. Máme:
 ( 0, 1 ) = e
1
0
(ln(1+(u) d u))
- 1 (37)
takže postupně v našich čtyřech příkladech vzchází:
 = 1 = 0.1: X (1) = e
1
0
ln(1.1) d u
- 1 = 0.1 (38)
 = 2 = u 
1
10
u2
+ 0.1: X (1) = e
1
0
ln(1.1+u2
/10) d u
- 1 = 0.132945354 . . . (39)
 = 3 = u 
1
10
u + 0.1: X (1) = e
1
0
ln(1.1+u/10) d u
- 1 = 0.149637533 . . . (40)
 = 4 = 0.2: X (1) = e
1
0
ln(1.2) d u
- 1 = 0.2 (41)
s kvantitativní shodou výsledku v prvním a posledním případě s výsledkem, který jsme očekávali. Této
shody bychom, bohužel, nedosáhli, kdybychom použili formuli (35). Dostaneme:
e
1
0
0.1du
- 1 = 0.105170918 (42)
e
1
0
1/10 u2
+0.1du
- 1 = 0.142630812 (43)
e
1
0
1/10 u+0.1du
- 1 = 0.161834243 (44)
e
1
0
0.2du
- 1 = 0.221402758 (45)
a první a poslední výsledek jsou zřejmě bezpochyby špatné. Můžeme říci že inflace se nechová jako
takzvané spojité úročení.
Obvyklá formule pro budoucí hodnotu složeného úročení v případě, že úroková míra je konstantní
je
x (t) = x (0)  (1 + )
t
, (46)
a v případě, že je po částech konstantní, tedy If Ii jou roční úrokové míry konstntní na intervalech
Ii = (ti, ti+1) ; i = 0 . . . n pak úroková míra za n
i=0Ii je
n-1
i=0
(1 + Ii)
(ti+1-ti)
(47)
4.2. Theorem: Formule (46) je speciální případ formule (47) pro konstantní úrokovou míru a formule
(47) je speciální případ formule (34) po částech konstantní úrokovou míru.
Proof: Předpokládejme že  (t) = I je konstantní:
e
t
0
ln(1+I) d u
= e(tln(1+I))
= e(ln(1+I)t
) = (1 + I)
t
(48)
5
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
Nyní předpokládejme, že  je po částech konstantní a má hodnoty Ii v každém bodě intervalu
Ii = (ti, ti+1) ; i = 0 . . . n. Buď A charakteristická funkce množiny A, pak  (t) = (ti,ti+1)  Ii
= e
t
0
ln 1+(ti,ti+1) Ii d u
= e
n-1
i=0
(ti+1 ln(1+Ii)-ti ln(1+Ii))
=
=
n-1
i=0
e(ti+1-ti)ln(1+Ii)
=
n-1
i=0
eln
(1 + Ii)
(ti+1-ti)
=
n-1
i=0
(1 + Ii)
(ti+1-ti)
(49)
q. e. d.
Funkcionál
  e
t
0
ln(1+(s))ds
je spojitý v topologii stejnoměrné konvergence.
Význam věty 4.2 plyne z následujícího lemma:
4.3. Lemma: Pro každou spojitou funkci  definovanou na uzavřeném intervalu existuje posloupnost
po částech konstantních funkcí i taková, že i  
Proof: Předpokládejme, že f je spojitá. vzhkledem k předpokladu je Dom (f) kompaktní. Zvolme 
reálné kladné. Pro každé x  Dom (f) najdeme okolí O (x) takové že F (O (x))  O/2 (f (x)). O (x) toří
pokrytí Dom (f). Vybrereme konečné podpokrytí . Definujeme  = minU (Diam (U)), kde Diam (U)
je průměr množiny U. Rozdělíme Dom (f) na n disjunktních podintervalů (J
i )
n
i=1 délky . Z každého
intervalu J
i vybereme bod xi, a označíme yi = f (xi). Definujme: x  J
i =  (x) = yi. Pak
x  Dom (f) : |f (x) -  (x) |  . A pro n =  1
2n
je splněn předpoklad lemmatu.
4.4. Corollary: (4.2) říká, že formule (46) je speciápní případ formule (34). Pro funkci, která má jen
konečně mnoho bodů nespojitosti můžeme provést aproximaci na každém intervalu na němž je funkce
spojitá jako v lemmatu (4.3). To znamená, že formule (34) je limitním případem formule (46).
5. Hraniční úroková míra: Je-li úroková míra konstantní a kladná je stavová funkce rostoucí a
konvexní. Je-li úroková míra kladná, ale velice rychle klesá, je stavová funkce rostoucí, ale konkávní.
Otázka je, jaká musí být úroková míra, aby byla stavová funkce afinní (tj. polynom stupně 1 tj. stavová
funkce jednoduchého úročení s konstantní úrokovou mírou)?
Stavová funkce je
t  x (0) e
t
0
ln(1+(s))ds
(50)
Její derivace je
t  x (0) ln (1 +  (t)) e
t
0
ln(1+(s))ds
(51)
a druhá derivace je
t 
x (0) e
t
0
ln(1+(s))ds d
dt  (t) + (ln (1 +  (t)))
2
+ (ln (1 +  (t)))
2
 (t)
1 +  (t)
(52)
Hledáme úrokovou míru, při které je druhá derivace rovna nule: Je-li x (0) = 0 a  > 0, je druhá derivace
rovna nule pro taková , která jsou řešením diferenciálání rovnice
d
dt
 (t) + (ln (1 +  (t)))
2
+ (ln (1 +  (t)))
2
 (t) = 0 (53)
t. j. řešíme diferencíální rovnici
d
dt
 (t) = - (ln (1 +  (t)))
2
(1 +  (t)) . (54)
Řešení je každá funkce
t   (t) = e( 1
t-C ) - 1 (55)
pro každou volbu konstanty C. Vyjáříme C vyživše počáteční podmínku (tj. hodnotu  v 0)
C = -
1
ln (1 +  (0))
6
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
a dostáváme
 (t) = e
1
t+ 1
ln(1+(0))
- 1 = (1 +  (0))
1
t ln(1+(0))+1
- 1 (56)
Pokud dosadíme tuto úrokovou míru do vzorce pro úročení (34) dostaneme
x (t) = x (0) e
t
0
ln (1+(0))
1
s ln(1+(0))+1 ds
= x (0) (t ln (1 +  (0)) + 1) (57)
což vskutku je afinní funkce. Tedy můžeme říci: Pokud úroková míra v čase 0 má hodnotu  (0) a pokud
v závislosti na čase roste rychleji (klesá pomaleji) než funkce
t  (1 +  (0))
1
t  1
ln(1+(0))+1
- 1 (58)
je stavová funkce konvexní. Pokud klesá rychleji, je konkávní.
Citace:
[1] Aczél, J.: Lectures on functional Equations and Their Applications, New York, Academic Press 1966
[2] Dieudonné, J.: Treatise on analysis, Vol. III, Pure and Applied Mathematics, Vol. 10-III, Academic
Press. New York ­ London, 1972
[3] Dupačová, J., Hurt, J., Šťepán, J.: Stochastic Modeling in economics and Finance, Kluwert Academic
Publishers, 2002, ISBN 1-4020-0840-6.
[4] Studený V.: Functional Equation of the Rate of Inflation, e-print archive of Coronell University, 2003,
www.arxiv.org
7