Mra rstu v makroekonomii a ve finann matematice
Míra růstu v makroekonomii a ve finanční matematice
Václav Studený
Department of Applied Mathematics, Faculty of Economics and Administration, Masaryk University Lipová 24a, 602 00 Brno studeny@econ.muni.cz
1. Axiomy: Uvažujme veličinu jejíž hodnoty y\ a t/2 jsou známy ve dvou bodech x\ a X2 (tyto hodnoty mohou být například výsledek měření).   Funkce k: R4 —> R, která bude kvantifikovat přírůstek této veličiny by měla mít následující vlastnosti axiom 1 invariance vůči posunutí (v čase)
K(Xl,y1,oc2,y2) = k(xx +t,y1,x2 +t,y2) (1)
axiom 2 invariance vůči homotetiím (například vůči volbě měny)
k > 0      k (xx, yi, x2, y2) = « (zi, ž/i ■ k, x2, y2 ■ k) (2)
Dále požadavek symetrie v růstu a poklesu:
k (x1,y1,x2, y2) = -k (xx, -y\,x2, -y2) (3)
vynucuje podmínku axiomu 2 i pro k < 0 axiom 3 k je rostoucí v první a čtvrté proměnné a klesající ve druhé a třetí proměnné, axiom 4 Počáteční podmínka: k (a;i, y, x2, y) = 0. (Míra růstu konstantní funkce je nulová.) Máme
k(x1,y1,x2,y2) a= k(0,yi,x2 - x1,y2) A= k ( 0,1,x2 - xx, — ) (4)
V vij
tak že existuje A: 1
1/2
K(x1,y1,x2,y2) = A I x2 - xx, — ) (5)
Ví
A A je klesající v první a rostoucí ve druhé proměnné.
2. Funkce v ustáleném stavu:
DEFINICE Řekneme, že funkce / je v ustáleném stavu vzhledem k míře růstu k je-li (xi,x2) k (xi, f (xi), x2, f (x2)) konstantní funkce. Hledáme funkce / takové, že
k (xi, f (xi), x2, f (x2)) = konat. (6) Předpokládejme, že už známe hodnotu / (x\) a / (x,2) funkce / ve dvou bodech x\ a X2 = x\ + h
Pak
K(x2,f (x2) ,x2 + h,f (x2 + h)) = \ (h, ) = A (h, l^±R) (7)
A protože A je prostá v každé proměnné (Ax 3, viz pozn. za Ax. 4) je
/ (xi + 2h) = f (x2 + h) = f (Xl + h)
f{X!+h) f(x2) f(Xl)
a dále indukcí:
(8)
f {xi+nh) = ~i^r -fixi+{n-1} h) =      ) (9)
takže v dalších ekvidistantních bodech tvoří hodnoty funkce / geometrickou posloupnost. Stejně ovšem: /(si+fe/2)  f(x1 + h) f(x1 + h) _ ff(x1+h/2)y
f(Xl)     f(Xl) + h/2 f(Xl)       \    f(Xl) )
Mra rstu v makroekonomii a ve finann matematice
Takže / má hodnoty exponenciální funkce i ve všech bodech množiny {fír,a e N, b e N}. A protože tato množina je hustá (dense) v R, platí:
2.1.  Lemma: Je-li nějaká spojité funkce / v ustáleném stavu vzhledem k míře růstu, která splňuje axiomy Axl - Ax4, pak je to exponenciální funkce f:x >—> AeBx s nějakými konstantami A a B.
Pokud chceme, aby všechny exponenciální funkce x >—> AeBx byly v ustáleném stavu, máme (označíme-|
li h = X2 — x\)
VB:K(x1,AeBxi,x2,Ae
a platí:
)=XÍx2-x1,j-s^j=X(h,eBh)=konSt (11) A (h, z) = X (h, eh^1/h))^k=lx (i, e^1/h)) = X (l, zi) (12)
K(x1,y1,x2,y2) = k \ 0,1,1, \~J I (13)
a tedy pro každou míru růstu k splňující axiomy Axl - Ax4, k níž jsou všechny exponenciální funkce x i—> AeBx v ustáleném stavu existuje nějaká rostoucí funkce <f> tak, že
K(x1,y1,x2,V2) = <í> | ( ^) ) (14)
2.2. Poznámka: Ve finanční matematice se používá translace
4>: x i—> x — 1
a míra růstu
Ki: (x1,y1,x2,V2) <-> ( —) -1 (15)
je tzv. úroková míra složeného úročení za jednotku času.
Ve finanční matematice se také částečně z historických důvodů, částečně z rigidity některých obchodních vztahů a zákonů používá tzv. úroková míra jednoduchého úročení:
f:k(x1,y1,X2,y2) = (—- l)-----1 (16)
Podle této míry jsou funkce v ustáleném stavu polynomy prvního stupně:
f:z^K(z-Xl) + f(Xl); (17)
3. Infinitezimální verze, (Limitní tvar):
V makroekonomii často potřebujeme vyjádřit rychlost v růstu nějaké veličiny / v bodě a ne na intervalu: Pokud budeme chtít aby míra růstu veličiny / v bodě xq byla limitou její míry na intervalu pro průměr intervalu jdoucí k nule, máme:
(/ f (x) \(^^)\ (   c(/)i>o) \
XJW))       =^(e /(*0) ) (18)
A pro k = Ki máme
-P(/)l>0)
vi(f)(x0) = e /(-o)   -1 (19)
V makroekonomii se často používá míra, kterou dostaneme volbou <f> = ln v (18). V takovém případě
jest
2
Mra rstu v makroekonomii a ve finann matematice
a pokud bychom tutéž funkci použili jako míru růstu v (14) míra růstu na intervalu {xq, x\) by byla:
~,     f f   ,       r,   k    ,   (ff(*o)\(^A     ln (/(%))-ln (/ (Xl)) k{xoj{xo),xlj{xi)) = ln^—) j =-——- (21)
Což je relativní přírůstek funkce ln o f (nikoliv funkce /) vzhledem k přírůstku argumentu této funkce. Tuto limitu v bodě X2 —> X\ má i úroková míra jednoduchého úroení za jednotku času k.
3.1. Poznámka: Označme tedy
z>= lim k(Xo,f(Xo),Xl,f(Xl)) = v(f)(Xo) (22)
X—rXQ
Platí
v ^ v (23)
Volíme-li v (14)
<j)(x) = xt -1 (24)
dostaneme, označíme-li vzniklou funkci Kt
Kt (x1,y1,x2,y2) = \~J        ~l (25) což je tzv. úroková míra složeného úročení za dobu délky t a platí známé vztahy
k = kí = (kí + 1^* (26)
Podobně jako Kt můžeme definovat i
kt = f:k(Xl,y1,X2,y2) = (— - 1 )----7 - 1, (27)
což je míra jednoduchého úročení za dobu délky t a platí známé vztahy:
ki
ki = Y (28)
Funkce k h-> j je Taylorovým polynomem stupně 1 v bodě 0 funkce kh (k+1)(~) —1 a historicky se používala k aproximaci při výpočtu úrokových měr za krátkou dobu. K legitimizaci této nepřesnosti vedlo zavedení pojmu interval připisování úroků. Dosazením ^ za k 1 s nezanedbatelnou chybou, která je rostoucí v t > 0, dostaneme
kí ~ (l - jj* - 1 = Ai (29)
Chyba Ai — k\ ovšem neroste přes všechny meze, ale má konečnou limitu eK — 1 — k v nekonečnu a platí
t / — \K
lim Ai = lim (l = -) - 1 = lim ( (l = -v )   - 1 = eK - 1
t—>oo t—>oo V t / í—^oo \ V t
Působivost magického zjevení Eulerovy konstanty v tomto výpočtu dalo kdysi vzniknout pojmu spojité úročení. Je to obyčejné složené úročení, ale místo úrokové míry K\ z (15) se pod jménem úroková míra uvádí hodnota ln (k\ + 1).
Číslo ln (ki + 1) dostaneme jako míru růstu, pokud v (14) volíme <f> = ln a v limitě dostaneme míru v jako v (20).
4. Inverzní problém:
3
Mra rstu v makroekonomii a ve finann matematice
Použijeme-li jako míru rútu funkce / zobrazení v máme
-P(/)l>0)
(x) = e /(-o)   - 1 (30)
Což je explicitnín vyjádření pro míru růstu v pokud známe / a differenciální rovnice pro stavovou funkci /, pokud známe její míru růstu v. Tuto rovnici můžeme ekvivalente psát ve tvarech:
ln (z, (í) + l) = D(lno/)(í)
nebo
D(/) (í)=ln(z,(í) + l)./(í) Rovnici můžeme vyřešit a její řešení je:
/:a;^e(rin^+iH/(o) (3i)
kde v (ť) je úroková míra z jednotku času v okamžiku t.
Provedeme-li tentýž výpočet pro míru v dostaneme rovnici (20),
a její řešení je
/ v(s)ů.s
f:x„ eJo "wai/(0) (32)
Výhodou formule (32) je, že je jednodužší, než (31), její nevýhodou ovšem je, že pokud do ní dosadíme konstantní úrokovou míru, nedostaneme obvyklou formuli pro složené úročení. Následující příklad ukazuje, použití formule (31).
4.1. Example: Předpokládejme, že známe míru míru inflace za jednotku času (například roční míru inflace, pokud jednotkou zvolíme rok) v okamžiku 0 a v okamžiku 1. Předpokládejme, že v okamžimu 0 byla míra inflace za jednotku času rovna 0.1 a oamžiku 1 byla míra inflce 0.2.
Zajímá nás míra inflace za dobu (1,0). Je zřejmé, že tato míra inflace závisí na tom, jak se míra inflce měnila uvnitř intervalu (1,0). Tuto informaci můžeme získatž z nějaké obecné teorie časových řad nebo aproximací. Uvažujme čtyři možnosti: že byla po celou dobu konstatní a měnila se skokem v jednom, nebo ve druhém krajním bodě intervalu, že se měnila v afinní závislosti na čase a v kvadratické závislosti na čase. V těchto čtyřech případech jsou hodnotz míry inlace za jednotku času dány jednou ze čtyř následujících funkcí:
_ , . J 0.1, if«<l _ , . M2,ni - < \ M,m - < \ J O-1' ifM<0 /qq\ 41 M := (0.2,   if«>ľ    ^(«)==iô+0-1'    'a («) ==^ + 0.1,    ^(«):=|02;   ifM>Q (33)
Přitom první poslední možnost jsou triviální případy — míra za jednotku časuje konstantní a interval, za který počítáme inflaci má jednotkovou délku, tedy míra inflace za tuto dobu by měla být tatáž konstanta. Obecný vzorec tedy musí dávat stejný výsledek. Máme:
i((0,l)) = e(/o1(ln(1+r^d"») -1 (34) takže postupně v našich čtyřech příkladech vzchází:
T=T1 = 0.1:X(l) = e&H1-1Uu) -1 = 0.1 (35)
1
Z = i2 = u ^ ^ u2 + 0.1: X (1) = edo H1-^2/10) d«) _ 1 = 0.132945354 ... (36) Z=T3 = u» -^u + 0.1:X(l) = e(follí(-1-1+u/1Vdu) - 1 = 0.149637533... (37) 1= r4 = 0.2: X(l) = e(/olln(1'2) du) - 1 = 0.2 (38)
4
Mra rstu v makroekonomii a ve finann matematice
s kvantitativní shodou výsledku v prvním a posledním případě s výsledkem, který jsme očekávali. Této shody bychom, bohužel, nedosáhli, kdybychom použili formuli (32). Dostaneme:
eJo 0Adu _ i = 0.105170918 (39)
Jh/iOu*+o.idu _ 1 = Q 142630812 (40)
e/o1i/io«+o.id« _ 1 = 0.161834243 (41)
eJo °-2du _ i = 0.221402758 (42)
a první a poslední výsledek jsou zřejmě bezpochyby špatné. Můžeme říci že inflace se nechová jako takzvané spojité úročení.
Obvyklá formule pro budoucí hodnotu složeného úročení v případě, že úroková míra je konstantní
je
x (í) = x (0) • (1 + £)*, (43)
a v případě, že je po částech konstantní, tedy If li jou roční úrokové míry konstntní na intervalech h = (U, U+i) ; i = 0... n pak úroková míra za U™=07i je
n-l
n (i+^)(t*+i_t*) (44)
i=0
4.2. Theorem: Formule (43) je speciální případ formule (44) pro konstantní úrokovou míru a formule (44) je speciální případ formule (31) po po částech konstantní úrokovou míru.
Proof: Předpokládejme že i{ť) = I je konstantní:
e(Jo ln(1+J) áu) = e(*-Wi+-f)) = e(MW)') = (i + /)* (45)
Nyní předpokládejme, že l je po částech konstantní a má hodnoty li v každém bodě intervalu h = (U, U+i) ; i = 0... n. Buď \a charakteristická funkce množiny A, pak l (í) =     X(t,,tl+1) " h
= e(/o ln(1+*(t„*,+1))-J* áu) = eE^CHiMi+iO-tiMH/O)) =
n—1 n—1 n—1
= Y[ e(t.+1-t.)-m(i+i,) = "Q em (1 + j^u+r-u) = Y[(1 + Iif^-^ (46)
i=0 i=0 i=0
q. e. d.
Funkcionál
f * ln(l + t(s))ds
je spojitý v topologii stejnoměrné konvergence.
Význam věty (44) plyne z následujícího lemma:
4.3. Lemma: Pro každou spojitou funkci l definovanou na uzavřeném intervalu existuje posloupnost po částech konstantních funkcí £j taková, že £j —> i
Proof: Předpokládejme, že / je spojitá, vzhkledem k předpokladu je Doni (/) kompaktní. Zvolme e reálné kladné. Pro každé x G Dom (/) najdeme okolí O (x) takové že F (O (x)) C Oe/2 (/ (x))- O (x) toří pokrytíDom (/). Vybrereme konečné podpokrytí O. Definujeme 5 = minu^ft (Diam (U)), kde Diam (U) je průměr množiny U. Rozdělíme Dom (/) na n disjunktních podintervalů (Jf)"=1 délky 5. Z každého intervalu J| vybereme bod Xi, a označíme iji = f (xí). Definujme: x € J| => Ce{%) = Ví- Pak \/x G Dom (/): |/ (a;) — (e (x)  < e. A pro     =      je splněn předpoklad lemmatu.
4.4. Corollary: (44) říká, že formule (43) je speciápní případ formule (31). Pro funkci, která má jen konečně mnoho bodů nespojitosti můžeme provést aproximaci na každém intervalu na němž je funkce spojitá jako v lemmatu (46). To znamená, že formule (31) je limitním případem formule (15).
5. Hraniční úroková míra: Je-li úroková míra konstantní a kladná je stavová funkce rostoucí a konkávni. Je-li úroková míra kladná, ale velice rychle klesá, je stavová funkce rostoucí, ale konkávni.
5
Mra rstu v makroekonomii a ve finann matematice
Otázka je, jaká mus být úroková míra, aby byla stavová funkce afinní (tj. polynom stupně +. tj stavová funkce jednoduchého úročení s konstantní úrokovou mírou)? Stavová funkce je
t „ x (0) eJ>(1+«s»ds (47)
Její derivace je
t ~ x (0) ln (1 + £ (í)) e/o Wi+«W)d« (48)
a druhá derivace je
x
(0) cJ><1+«'»'" {±C (() + (ta (1 + { (t)))2 + (ta (1 + í (t)))2í (())
-5-1+5(1)-<49»
Hledáme úrokovou míru, při které je druhá derivace rovna nule: Je-li x (0) ^ 0 a £ > 0, je druhá derivace rovna nule pro taková £, která jsou řešením diferenciálání rovnice
|e (*) + (in (i + £ (í)))2 + (in (i + £ (í)))2 £ (*) = o (50)
t. j. řešíme diferenciální rovnici
|e(í) = -(in(i+e(í)))2(i+e(í)). (51)
Řešení je každá funkce
íi-»í(í)=e(^)-l (52) pro každou volbu konstanty C. Vyjáříme C vyživše počáteční podmínku
1
C
ln(l + £(0)) a dostáváme
£(t) = e\   1"<1+«t») / - 1 = (1 + ^ (0)) V * in(i+«o))+i) - 1 (53) Pokud dosadíme tuto úrokovou míru do vzorce pro úročení(31) dostaneme
po ln ^(1+í(0)) (s l»(l+í(0)) + l)^ d)j
x (t) = x (0) e \      \ /   / =x(0) (íln(l + £(0)) + l) (54)
což vskutku je afinní funkce. Tedy můžeme říci: Pokud úroková míra v čase 0 má hodnotu £ (0) a pokud pokud v závislosti na čase roste rychleji (klesá pomalejin) než funkce
i _i
in (1 + £ (0))^' J - 1 (55)
je stavová funkce konveksní. Pokud klesá rychleji, je konkávni.
Citace:
[1] Aczél, J.: Lectures on functional Equations and Their Applications, New York, Academic Press 1966 [2] Dieudonné, J.: Treatise on analysis, Vol. Ill, Pure and Applied Mathematics, Vol. 10-111, Academic Press. New York - London, 1972
[3] Dupačová, J., Hurt, J., Stepán, J.: Stochastic Modeling in economics and Finance, Kluwert Academic Publishers, 2002, ISBN 1-4020-0840-6.
[4] Studený V.: Functional Equation of the Rate of Inflation, e-print archive of Coronell University, 2003, w w w. arxi v .org
6