3. písemka - Matematika I, VZOR
90 minut na vypracování, maximum bodů=30, minimum bodů=15
Poznamka: první, druhý a pátý příklad bude tvořen vždy jednou z uvedených
alternativ.
1. Alternativa I
Napsat libovolnou soustavu rovnic, která má nekonečně mnoho, právě
jedno, nebo nemá žádné řešení.
Alternativa II
Nalézt řešení soustavy lineárních rovnic. Ukázka zadání viz vzor druhého
testu příklad 2 alternativa I.
Alternativa III
Vybrat ze zadaných vektorů maximální podmnožinu lineárně nezávislých
vektorů. Ukázka zadání viz vzor druhého testu příklad 2 alternativa II.
2. Alternativa I
Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice
A =


0 3 -1
0 2 0
-1 3 0


Alternativa II
Výpočet inverzní matice. Ukázka zadání viz vzor druhého testu příklad 4
alternativa I.
3. Výpočet determinantu. Ukázka zadání viz vzor druhého testu příklad 3.
4. Vypočtěte
lim
x0
cotgx -
1
x
5. Alternativa I
Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce f(x) = x
x3+1
v bodě
T = [1, ?].
Alternativa II
Derivujte a upravte
f(x) = e
2
x
x2
- 2x + 2
x2
6. Vyšetřete průběh funkce1
f(x) =
1
x2
- x
1
Pro zajímavost a procvičení si můžete vyšetřit i funkci f(x) = x - 2arctgx, která
má různé asymptoty se směrnící. Nicméně tento příklad je mírně náročnější než příklad
vzorový a příklady, které budou v testu.