W. GREEN: strana 711, příklad 6

Máme specifikován následující model

(1)

(2)                                                  .

Všechny proměnné jsou měřeny jako odchylky od svých průměrů. Vzorek 25 pozorování poskytl
následující matici součtů čtverců a křížových součinů (proměnných) :

                                                                    (   y[1]      y[2]     x[1]
x[2]     x[3   )]

(3)

Úlohy k řešení :

A)  Odhadněte obě rovnice metodou OLS.

B) Odhadněte parametry obou rovnic metodou 2SLS. Odhadněte také asymptotickou kovarianční matici
2SLS-odhadové funkce.

C)  Získejte LIML odhady parametrů první rovnice.

D)  Odhadněte obě rovnice pomocí 3SLS.

E) Odhadněte matici koeficientů redukovaného tvaru pomocí OLS a nepřímo s použitím strukturních
odhadů z části B).




















A1)  Odhad parametrů 1. rovnice metodou OLS

(1)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou OLS pro danou situaci:

(4)       , kde   , , .

konkrétně



Po dosazení do výpočetního vzorce (4) dostaneme:





A2)  Odhad parametrů 2. rovnice metodou OLS

(2)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou OLS pro danou situaci:

(5)    , kde    , , .



Po dosazení do výpočetního vzorce  (5)  dostaneme:


              ,

B1) Odhad parametrů 1.rovnice metodou 2SLS


(1)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou 2SLS pro danou situaci:

(6)           , kde

                                                     ,



Po dosazení do výpočetního vzorce  (6) dostaneme:


                                         , takže máme

 , protože


B2) Odhad parametrů 2.rovnice metodou 2SLS

(2)

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou 2SLS pro danou situaci:

, kde






A po vyčíslení tedy










F1)  Odhad parametrů 1. rovnice metodou IV

(1)

Za instrumenty vezmeme (vzhledem ke dvěma  vysvětlujícím proměnným první rovnice) proměnnou
z první rovnice a (např.) proměnnou  z druhé rovnice

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou IV pro danou situaci je následující :



(4)

přičemž                            ,  ,  ,  , takže

            ,  ,

Po dosazení do výpočetního vzorce  ((4)) dostaneme:


F2) Odhad parametrů 2.rovnice metodou IV

(2)

Za instrumenty tentokrát vezmeme (rovnice má 3 vysvětlující proměnné) všechny exogenní: proměnnou
z první rovnice a proměnné  z druhé rovnice

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou IV nyní máme:

                                                   , neboli rozepsáno

(6)                   ,    při rozepsání



Dostali jsme tedy (ve shodě s teoretickými poznatky) shodný výsledek s 2SLS :


Zobecněná metoda nejmenších čtverců GLS - parametrů  1. regresní rovnice

(1)

Příslušný GLS-estimátor má tvar

                  , v němž však musíme

specifikovat tvar kovarianční matice (ze zadaných dat to přirozeně nelze). Vezměme tedy např.

                    , odkud máme

V našem případě máme (shodně jako u OLS):          ,

                            , po dosazení




















 Zobecněná metoda nejmenších čtverců GLS - parametrů  2. regresní rovnice

(2)                                 .

    , kde zvolíme S např. jako


















Kovarianční matice OLS-odhadové funkce parametrů  1. regresní rovnice


V našem případě tedy  využijeme platnost vztahu

   neboli  po dosazení patřičných proměnných

 . Vyčíslíme:

    , z čehož


   pro porovnání


Kovarianční matice OLS-odhadové funkce parametrů 2. regresní rovnice


Nyní opět  využijeme platnost vztahu  neboli  po dosazení

  Vyčíslíme:

  , z čehož plyne


  pro porovnání


B3)   Asymptotická kovarianční matice 2SLS-odhadové funkce parametrů

1. regresní rovnice

má tvar

 ,

Výpočetní vzorec pro odhad parametrů metodou 2SLS pro danou situaci:

                                                           , kde

a


V našem případě tedy  využijeme platnost vztahu

                             neboli





B4)  Asymptotická kovarianční matice 2SLS-odhadové funkce parametrů

2. regresní rovnice

                                                                                    , kde
















E) Odhad matice parametrů redukovaného tvaru

Odhad (OLS) matice parametrů redukovaného tvaru:



Vypočteme inverzi k   :

























D) Simultánní odhad parametrů 1. a 2. rovnice metodou 3SLS


Příslušný estimátor má tvar ,resp.rozvedeno do detailní podoby


     ,  kde





Začneme-li postupně naplňovat tento výraz číselnými hodnotami, dostaneme:

Po dosazení za jednotlivé jednoduché momenty:

Po dosazení hodnot inverze momentové matice X’X

                      , budou výrazy

 =



Po dosazení jednotlivých momentů do matice (   ). Dostaneme [1]:

(*)

Závěrečným krokem pak bude dosazení prvků 2SLS- kovarianční matice reziduí do (*)  a následné
vyčíslení této matice :

.kde


neboť




      Takže výsledný 3SLS-odhad parametrů celé pětice parametrů je (bez záruky) :

        ,  zatímco  a




E) Odhad parametrů 1. rovnice metodou LIML

Nejprve sestavíme obě matice  z výchozí momentové matice:


                     ,      ,  ,

                    , tedy

Takže máme                    a

Druhá matice  má tvar


                     ,      ,  ,

                                        , tedy


Dále určíme vlastní vektor k nejmenšímu vlastnímu číslu matice  v metrice matice :

                                                                           , neboli číselně


Užijeme k tomu matlabovskou proceduru eig.

                                                          ,

v níž za   dosadíme matici     a za   dosadíme matici    a  pomocí které dostaneme


Hledaný vektor vlastních čísel bude obsažen v 1. sloupci matice , k němu příslušné vlastní číslo je
to nejmenší. Jednoznačnosti vlastního vektoru lze dosáhnout normováním . Po tomto normování
dostaneme hledaný vektor  jako

                                         neboli

Následně určíme vektor parametrů  příslušných predeterminovaným proměnným:.














E) Odhad parametrů 2. rovnice metodou LI ML

Nejprve určíme obě matice  z výchozí momentové matice:


                     ,      ,  ,

                   , tedy

Takže máme

a

Druhá matice  má tvar


                    ,      ,  ,

                                      , tedy


Dále určíme vlastní vektor k nejmenšímu vlastnímu číslu matice  v metrice matice :

                                                                           , neboli číselně


Opět k tomu užijeme matlabovskou proceduru
eig.

                                                           ,

do níž za   dosadíme matici     a za   dosadíme matici    a  pomocí které dostaneme


Hledaný vektor vlastních čísel je obsažen v 1. sloupci matice , k němu příslušné vlastní číslo  je
to nejmenší. Jednoznačnosti vlastního vektoru dosáhneme normováním . Po tomto normování dostaneme
hledaný vektor  jako

                                        neboli

Následně určíme LIML-odhad vektor parametrů  příslušných predeterminovaným proměnným:.


________________________________

[1] Tato  matice je rozměrů [5x5] , dimenze odpovídá počtu všech odhadovaných parametrů modelu.