1 Časová hodnota peněz
Při výpočtech vycházíme ze standardu 30E/360 (evropský standard) kdy používáme měsíce s
30dny a u jednoho roku uvažujeme 360 dní.
1.1 Inflace, reálná a nominální úroková míra
Při výpočtu reálné úrokové míry vycházíme ze vzorce ireal =
inominal-iinflace
1+iinflace
.
1.1.1 Řešené příklady
Jaká je reálná úroková míra na termínovém účtu, pokud je nominální úroková míra na tomto
účtu 12,5 % a míra inflace činí 10,5 %.
Řešení
ireal =
inominal - iinflace
1 + iinflace
ireal =
0, 125 - 0, 105
1 + 0, 105
ireal = 0, 018
Reálná úroková míra na termínovém účtu je 1,8%.
1.1.2 Neřešené příklady
* Reálná úroková míra činí -0,05 %, nominální úroková míra byla 3,8 %. Jaká byla v daném
roce výše inflace v ekonomice?
[iinflace=3,85%]
* Dle makroekonomické predikce MF bylo možné v roce 2001 očekávat inflaci 5,1 % a v
roce 2002 inflaci ve výši 4,6%. Jakou cenu můžeme očekávat na konci roku 2002 u zboží,
které na konci roku 2000 stálo 10.000 Kč. Pokud změna ceny zboží bude odpovídat pouze
inflaci v ekonomice. [10.993,46 Kč]
1.2 Jednoduché úročení
Základní vzorec pro jednoduché úročení:
u = P  i  t.
Kde P je počáteční investice, i je úroková míra p.a. a t je doba úročení.
1
1.2.1 Řešené příklady
Jakou částku musíme vrátit bance, pokud jsme si půjčili 35.000 Kč na 6 měsíců při roční úrokové
sazbě 8 %?
Řešení
P = 35.000, t = 6, i = 8 % p.a.
u = P  t  i
u = 35.000 
6
12
 0, 08
u = 1.400
Dlužník tedy musí vrátit půjčenou sumu navýšenou o úrok, tedy Pn = 1.400+35.000 tj. 36.400
Kč. Pro výpočet lze rovněž použít upravený vzorec Pn = P  (1 + i  n), kde Pn je výše kapitálu,
kterou musí dlužník vrátit tzv. splatná částka.
Pn = 35.000  (1 + 0, 08 
6
12
)
Pn = 35.000 + 1.400
Pn = 36.400
Za jakou dobu vzroste vklad 1.000 Kč na 1.050 Kč při roční úrokové míře 10 % p.a. a při
standardu 30E/360.
Řešení
P = 1.000, Pn = 1.050, t, i = 10 % p.a.
u = 1.050 - 1.000
u = 50
u = P  t  i
50 = 1.000 
t
360
 0, 1
t = 180
Vklad vzroste z 1.000 Kč na 1.050 Kč za 181 dní.
Respektive je možno vycházet také z druhého vzorce.
Pn = P  (1 + i  t)
1.050 = 1.000  (1 + 0, 1 
t
360
)
t = 180
2
1.2.2 Neřešené příklady
* Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výši 200.000 Kč, který je jednorázově splatný za 8
měsíců tj. 240 dní a to včetně úroků. Pokud víme, že úroková sazba je 9 % p.a.
[12.000 Kč]
* Odběratel nezaplatil fakturu na částku 193.000 Kč, která byla splatná 7. července 2009.
Penále je stanoveno na 0,05 % z fakturované částky za každý den. Jak vysoké bude penále
k 9. září 2009?
[5.983 Kč]
* Jaký bude stav na účtu s 1.000.000 Kč za 210 dní, pokud je úrok stanoven na 1,5 % p.a.?
[1.008.750 Kč]
* Jak velký byl počáteční vklad, který od 12.4.2009 do 24.6. 2009 vzrostl o 1.500 Kč. Pokud
víme, že úroková sazba jsou 2 % p.a. a úroky jsou připočítávány jednou ročně?
[375.000 Kč]
* Vypočítejte dobu splatnosti při jednoduchém úročení, pokud vklad ve výši 3.960 Kč
narostl na 4.000 Kč. Úroková míra činí 2 % p.a.
[181 Kč]
* Jak dlouho byla po splatnosti faktura, pokud původní fakturovaná částka 65.000 Kč
narostla započítáním penále na 68.000 Kč. Penále bylo stanoveno na 0,05 % denně z
fakturované částky.
[92 dnů]
* Po jakou dobu byl úročen vklad ve výší 3.960 Kč, jestliže vzrostl pří úrokové sazbě 2 %
p.a. připsáním úroků na konci roku na hodnotu 4.000 Kč.
[181 dní]
* Při jaké úrokové sazbě bude činit úrok z vkladu 100.000 Kč za 7 měsíců 1.500 Kč?
[2,57 %]
1.3 Jednoduché diskontování
Základní vzorec pro jednoduché diskontování:
D = Pn  id  t
Kde D je, kde Pn je, id je a t je.
1.3.1 Řešené příklady
Podnikatel eskontoval dne 15.9.2009 na banku směnku znějící na částku 1.500.000 Kč se splatností
dne 15.10.2009. Jakou částku mu banka dne 15.9. připsala na účet? banka používá diskontní
míru 10 % p.a.
Řešení
D = Pn  id  t
3
D = 1.500.000  0, 1 
30
360
D = 12.500
Banka podnikateli vyplatí hodnotu uvedenou na směnce sníženou o diskont, tzn. 1.500.000 -
12.500 = 1.487.500 Kč.
Rovněž je tento příklad možno řešit vzorcem P = Pn  (1 - id  t), kde P představuje současnou
hodnotu kapitálu neboli jistinu.
P = 1.500.000  1 - 0, 1 
30
360
P = 1.487.500
Oběma vzorci dojdeme ke stejnému výsledku. Na účet bude připsána částka 1.487.500 Kč.
Banka odkoupila směnku znějící na 230.000 Kč s dobou splatnosti 1 rok. Jakou banka používá
diskontní sazbu, pokud za směnku vyplatila 200.000 Kč?
Vyjdeme ze vzorce D = Pn  Id  t
230.000 - 200.000 = 230.000  id  1
id =
230.000 - 200.000
230.000
id = 0, 1304
Diskontní sazba banky je 13 %.
1.3.2 Neřešené příklady
* Osoba A vystavila směnku na osobu B. Směnka je na částku 10.000 Kč s dobou splatností
1 rok a diskontní mírou 8 %. Jak vysoký úvěr osoba A obdrží?
[9.200 Kč]
* Dlužník postupuje bance směnku znějící na 100.000 Kč a zavazuje se ji splatit za 3 měsíce.
Jakou má banka diskontní sazbu, pokud dlužník obdrží úvěr ve výši 97.000 Kč.
[12 %]
* Kolik dní před dnem splatnosti eskontovala banka směnku, pokud její nominální hodnota
byla 1.000.000 Kč a klient získá úvěr ve výší 996.111 Kč. Diskontní sazba banky jsou 4
%.
[35 dní]
1.4 Složené úročení
Základní vzorec pro složené úročení:
Pn = P  (1 + i)n
.
Kde P je počáteční vklad, Pn je konečná částka, i roční úroková sazba je a n počet období
úročení.
4
1.4.1 Řešené příklady
Na dvouletý termínovaný vklad u Komerční banky jste uložili 10.000 Kč. Úroky jsou připisovány
pololetně. Kolik si budete moci vybrat za 2 roky, pokud je úroková sazba 4 % p.a.?
Pn = P  (1 + i)n
Pn = 10.000  1 +
0, 04
2
4
Pn = 10.824, 3
Za dva roky si klient může vybrat 10.824,3 Kč.
Při jaké výši roční úrokové sazby se zúročí částka za 5 let z 50.000 na 70.000 Kč. Úroky jsou
připisovány čtvrtletně.
Pn = P  (1 + i)n
Pn = P  (1 + i)20
70.000
50.000
= (1 + i)20
20 70.000
50.000
= (1 + i)
i = 0, 017
Výsledná úroková míra je ovšem čtvrtletní - p.q., pokud ji chceme převést na roční pak i =
4  0.017 = 0, 0678 tj. 6,78 %.
1.4.2 Neřešené příklady
* Jaký bude rozdíl za 3 roky v konečné výši kapitálu, pokud byl počáteční vklad 120.000
Kč, úroková míra činí 1,5 % p.a. a pokud jsou úroky připisovány:
­ půlročně
­ ročně
[125.502,3 Kč a 125.481,4 Kč, rozdíl činí 20,9 Kč]
* Jaká byla roční úroková sazba z vkladu 20.000 Kč, pokud za 4 roky máme na účtě 23.400
Kč. Úroky byly připisovány jednou ročně a byly ponechány na účtu k dalšímu zhodnocení.
[ i = 4 %]
* Uložili jsme částku 12.000 Kč. Jaká bude konečná výše vkladu za 4 roky při složeném
úročení, jestliže úroková sazba činí 11,4 % p.a. a úroky jsou připisovány čtvrtletně. [
18.813 Kč]
5
1.5 Efektivní úroková míra
Základní vzorec pro výpočet efektivní úrokové míry:
iefekt = 1 +
i
m
m
- 1.
Kde iefekt je efektivní úroková míra, i je roční úroková sazba a m je frekvence úročení (kolikrát
do roka jsou připisovány úroky)
1.5.1 Řešené příklady
Chcete si uložit peníze a máte možnost si zvolit ze tří účtů:
1. banka A nabízí úrokovou sazbu 13 % p.a. a denní připisování úroků
2. banka B nabízí úrokovou sazbu 13,5 % p.a. s půlročním připisováním úroků
3. banka C nabízí úrokovou sazbu 14 % p.a. s ročním připisováním úroků
Kterou banku si vyberete?
1.
iefektA
= 1 +
0, 13
360
3
60 - 1
2.
iefektB
= 1 +
0, 135
2
2
- 1
3.
iefektC
= 1 +
0, 14
1
1
- 1
1. iefektA
= 0, 1388 tj. 13,88 %
2. iefektB
= 0, 1396 tj. 13,96 %
3. iefektB
= 0, 14 tj. 14 %
1.5.2 Neřešené příklady
* Jaké jsou efektivní úrokové sazby obvyklých obdobích připisování úroků pro nominální
sazbu i = 12 %, při konvenci 30E/360? Obvyklými obdobími chápeme:
1. den
2. měsíc
3. čtvrtroku
6
4. půlroku
5. rok
[ 12,74 %, 12,68 %, 12,55 %, 12,36 %, 12,00 %]
* Chcete si uložit 10.000 Kč na 3 roky. Máte dvě možnosti:
1. i=12 % p.a, připisování úroků pololetně
2. i=11 % p.a, připisování úroků čtvrtletně
Kterou možnost si vyberete?
[iefekt = 12, 36 %, iefekt = 11, 46 %] klient si zvolí možnost číslo 1
1.6 Současná a budoucí hodnota anuity
Pro výpočet současné hodnoty polhůtní anuity vycházíme ze vzorce PV A = P  1-(1+i)-n
i
. Pro
výpočet současné hodnoty předlhůtní anuity vycházíme ze vzorce PV A = P  1-(1+i)-n
i
 (1 + i)
1.6.1 Řešené příklady
Jaká je současná hodnota důchodu, která nám zajistí polhůtní důchod 16.000 Kč ročně po dobu
20let při úrokové sazbě 4 % p.a. s ročním připisováním úroků.
Vycházíme ze vzorce PV A = P  1-(1+i)-n
i
PV A = 16.000  1-(1+0,04)-20
0,04
PV A = 217.445, 22 Kč. Současná hodnota takového důchodu je 217.445,22 Kč.
Kolik budeme ochotni zaplatit za investici s životností 50 let, z které nám vždy počátkem
roku bude plynout důchod ve výši 80.000 Kč. Úroková sazba činí 5 %. Vycházíme ze vzorce
PV A = P  1-(1+i)-n
i
 (1 + i)
PV A = 80.000 
1 - (1 + 0, 05)-50
0, 05
 (1 + 0, 05)
PV A = 1.533.497, 7
Za investici, která nám ročně ponese 80.000 po dobu 50let jsme ochotni při dané úrokové míře
zaplatit 1.533.497,7 Kč.
Po kolik let vynášela počáteční investice ve výši 1.250.000 Kč roční výnos 80.000 Kč,
který byl vyplácen počátkem každého roku. Úroková sazba činí 4,5 %. Vycházíme ze vzorce
PV A = P  1-(1+i)-n
i
 (1 + i)
1.250.000 = 80.000 
1 - (1 + 0, 045)-n
0, 045
 (1 + 0, 045)
7
0, 3271 = (1 + 0, 045)-n
ln(0, 67284) = -n  ln(1, 045)
n = 25, 4
Výnos 80.000 Kč z počáteční investice 1.250.000 Kč bude plynout po dobu 25,4 let.
1.6.2 Neřešené příklady
* Jaká je současná hodnota investice, pokud při úrokové míře 3 % z ní bude vždy koncem
roku plynout výnos 160.000 Kč a to po dobu 15let.
[1.910.070 Kč]
* Jak velký důchod splatný vždy počátkem roku bude plynout pod dobu 16let z investice
ve výši 2.000.000 Kč při úrokové míře 4 %.
[165.038,5 Kč]
* Po kolik let bude plynout roční důchod 120.000 Kč z investice 1.000.000 Kč. Důchod je
vyplácen vždy koncem roku. Úroková míra činí 5 %.
[11 let]
Pro výpočet budoucí hodnoty polhůtní anuity vycházíme ze vzorce FV A = P  (1+i)n-1
i
. Pro
výpočet současné hodnoty předlhůtní anuity vycházíme ze vzorce FV A = P  (1+i)n-1
i
 (1 + i)
1.6.3 Řešené příklady
Jaká bude hodnota na spořícím účtu, pokud koncem každého roku ukládáme částku 16.000 Kč
pod dobu 20let při úrokové sazbě 4 %.
Vycházíme ze vzorce: FV A = P  (1+i)n-1
i
.
FV A = 16.000 
(1 + 0, 04)20
- 1
0, 04
FV A = 476.449, 23
Po 20letech bude na účtu částka 476.449,23 Kč.
Jaká bude hodnota na spořícím účtu, pokud počátkem každého roku ukládáme částku 16.000
Kč pod dobu 20let při úrokové sazbě 4 %.
Vycházíme ze vzorce FV A = P  (1+i)n-1
i
 (1 + i)
FV A = P 
(1 + i)n
- 1
i
 (1 + i)
FV A = P 
(1 + 0, 04)20
- 1
0, 04
 (1 + 0, 04)
8
FV A = 495.507, 2
Po 20letech bude na účtu částka 495.502,22 Kč.
Po jaké době bude na spořícím účtu částka 500.000 Kč, pokud klient koncem každého roku
uloží 20.000 Kč. Úroková míra je 3,5 % p.a.
Opět vycházíme ze vzorce PV A = P  (1+i)n-1
i
FV A = 20.000 
(1 + 0, 035)n
- 1
0, 035
1, 875 = (1, 035)n
ln(1, 875) = n  ln(1, 035)
n = 18, 3
Na účtu bude 500.000 Kč za 18,3 let.
1.6.4 Neřešené příklady
* Jaká je budoucí hodnota investice, jejíž životnost je 15let a koncem každého roku z ní
plyne platba 16.000 Kč. Požadujeme výnosovou míru 9 % p.a.
[469.775 Kč]
* Za kolik let budeme mít na spořícím účtu částku 4.000.000 Kč, pokud počátkem každého
roku ukládáme 120.000 Kč a úroková sazba činí 3,8 % p.a.
[za 21 let]
9