Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 1
3. Geld
,,Die Phönizier haben das Geld erfunden - aber warum so wenig?"
Johann Nepomuk Nestroy
,,Money makes the world go around" hätte als fremdsprachiges geflügeltes Wort am
Eingang zu diesem Kapitel auch gut gedient. Die Rolle des Geldes als zentrales
Element einer Volkswirtschaft haben wir ja schon in Kapitel 1 an Hand einer
Extremsituation beleuchtet. Selbstverständlich ist es mindestens ebenso interessant zu
analysieren, welchen Gesetzmäßigkeiten die monetären Aspekte einer Ökonomie unter
normalen Umständen unterliegen. Von nahezu historischem Interesse ­ in an der
Entwicklung der Ökonometrie gemessenen Zeitbegriffen ­ sind dabei die
Mechanismen der Generierung von Nachfrage nach Geld.
Die Geldnachfragefunktion ist ein Eckpfeiler des IS-LM Modells. Die Reaktion
des ganzen Modells auf wirtschaftspolitische Eingriffe hängt unter anderem von
den Parametern der Geldnachfragefunktion ab. Mittlerweile ist es ein
Gemeinplatz, dass die Geldnachfrage im Wesentlichen von zwei Faktoren
bestimmt wird: einem Indikator für das Transaktionsvolumen in der Wirtschaft
und einem Indikator für die Kosten der Geldhaltung. Je mehr Transaktionen in
einer Wirtschaft abgewickelt werden, desto höher ist der Bedarf privater
Haushalte und Unternehmen nach dem allgemeinen akzeptierten
Transaktionsmittel Geld. Je höher die Kosten der Geldhaltung sind, desto
geringer wird die Geldnachfrage sein, weil man durch Geldhaltung z. B. auf
Zinserträge verzichtet.
Nach der Veröffentlichung der General Theory von John M. Keynes (1936)
entbrannte um diese Fragestellung eine heftige theoretische und empirische
Auseinandersetzung, die sich vor allem darum drehte, ob die Geldnachfrage
vom Zinssatz abhängt oder nicht, bzw. ob die Zinselastizität der Geldnachfrage
hoch oder niedrig ist. Wenn die Zinselastizität der Geldnachfrage besonders
hoch ist, ist die Geldpolitik tendenziell unwirksam. Wenn die Zinselastizität
niedrig ist, ist sie tendenziell sehr wirksam (vgl. Blanchard, 2000, Kap. 5).
Unser Beispiel für dieses Kapitel ist ein Modell für die Geldnachfragefunktion
des Vereinigten Königreiches von Milton Friedman und Anna Schwartz (1982),
das wegen der aufwendigen Dokumentation der Daten besonders
aufschlussreich ist. Es ist die Fortsetzung einer Arbeit von Milton Friedman
(1959) in der er folgerte, dass die Geldnachfrage nicht zinsabhängig ist.
Welche Formen von Geld werden in der Geldnachfragefunktion eigentlich
berücksichtigt?
Unter Geldnachfrage versteht man im Allgemeinen nicht nur die Nachfrage
nach Münzen und Banknoten, sondern auch die auf Girokonten gehaltenen
Beträge. Die Summe aus diesen drei Kategorien von Geld bezeichnet man als
M1.
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In englischsprachigen Texten wird dies oft auch als high powered money bezeichnet.
Wenn man alle Sparguthaben ­ also alle Einlagen auf Sparbüchern hinzurechnet,
gelangt man zum Geldmengenaggregat M2. Das am häufigsten
verwendete Geldmengenaggregat ist M3. Es beinhaltet alle Komponenten von
M2 und zusätzlich die Termineinlagen. Das sind zeitlich befristet Bankeinlagen,
üblicherweise mit höherer Verzinsung. Die Europäische Zentralbank rechnet in
die Geldmenge M3 auch die in Geldmarktfonds veranlagten Mittel, weil sie
gleichzeitig verzinst sind und ein hohes Ausmaß an Liquidität aufweisen. Die
Wachstumsrate von M3 ist eine Zielgröße der Europäischen Zentralbank. In der
geldpolitischen Strategie ist dieser Referenzwert in die 2. Säule der europäischen
Geldpolitik integriert (European Central Bank, 2004).
Warum gibt es eigentlich so viele unterschiedliche Geldmengenkonzepte?
Im Prinzip wegen der möglichen Substitutionsbeziehung zwischen den
einzelnen Komponenten der Geldmenge: Je größer die Substitutionsbeziehung
zwischen den Einzelkomponenten der Geldmenge ist, desto umfassender muss
die Definition der Geldmenge erfolgen. Diese Substitutionsbeziehung ändert
sich auch über die Zeit: teilweise wegen technischer Neuerungen und teilweise
als Reaktion auf geldpolitische Maßnahmen. Die Entwicklung und Nutzung von
Geldmarktfonds ist ein Beispiel für eine technische Neuerung. In Kombination
mit elektronischen Bankkonten (Online Banking) wird der Transfer zwischen
unterschiedlichen Veranlagungsformen immer leichter und schneller. Damit ist
ein rascher und kostengünstiger Umstieg von Geld zu einer verzinsten
Veranlagung, bei gleichzeitig hoher Liquidität, möglich.
Neue Technologien erzeugen also neue Substitutionsmöglichkeiten und erschweren
einer Zentralbank mit einem Geldmengenziel die Definition der für die
Preisentwicklung relevanten Geldmenge?
Stimmt, und das bringt mich auf die zweite Erklärung für die Vielfalt an
Geldmengendefinitionen. In den Jahren 1974-1979 verfolgte die LabourRegierung
im Vereinigten Königreich ein Geldmengenziel. Charles Goodhart
(1984) formulierte aus dieser Erfahrung das nach ihm benannte Goodhart's
Law. Es besagt, dass wann immer eine Regierung oder eine Nationalbank eine
statistische Regelmäßigkeit für Kontrollzwecke benützen möchte und zur
Erreichung des wirtschaftspolitischen Zieles Druck ausübt, diese
Regelmäßigkeit zusammenbricht. Maßnahmen zur Erreichung des
Geldmengenzieles, veranlassen die davon betroffenen Wirtschaftssubjekte zur
Suche nach Umgehungsmöglichkeiten.
In diesem Sinn ist Goodhart's Law eine Version der Lucas Kritik und zeigt, dass
zur Schätzung einer Geldnachfragefunktion sowohl das Angebot als auch die
Nachfrage am Geldmarkt berücksichtigt werden müssen. Die simultane
Beziehung zwischen Geldmenge und Bruttoinlandsprodukt kann
Identifikationsprobleme bereiten. Zusätzlich können geänderte institutionelle
Rahmenbedingungen ­ wie etwa die Liberalisierung des Kapitalverkehrs oder
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eine Änderung des Wechelkursregimes ­ die Geldnachfrage beeinflussen.
Laidler (1985) gibt einen sehr guten Überblick der praktischen Probleme in der
Schätzung von Geldnachfragefunktionen.
Wenn schon der Indikator für die Geldnachfrage umstritten ist, gibt es wenigstens
Einigkeit über die Indikatoren für das Transaktionsvolumen oder die
Opportunitätskosten?
Üblicherweise nimmt man das reale Bruttoinlandsprodukt als Indikator für das
Transaktionsvolumen. Das entspricht zwar nicht dem tatsächlichen
Transaktionsbedarf ­ das wären die schwer messbaren nominellen Umsätze der
Unternehmen bzw. der privaten und öffentlichen Haushalte ­ aber die Umsätze
sollten in der Regel proportional zum Bruttoinlandsprodukt sein. Dass dieses
Verhältnis nicht immer konstant ist, zeigt das hohe Wachstum der Geldmenge
in der Europäischen Währungsunion und den USA während des Rückgangs der
Börsenkurse zwischen 2000 und Mitte 2003. Private Haushalte und
Investmentfonds bauten in dieser Periode ihre Geldhaltung aus, um das hohe
Risiko von Kursverlusten auf den Aktienmärkten zu vermeiden. In diesem Fall
kann der Bestand an Finanzvermögen ein besserer Indikator für den
Transaktionsbedarf sein.
Was den Zinssatz betrifft, muss man zwischen direkten und indirekten Kosten
der Geldhaltung unterscheiden. Die direkten Kosten bestehen aus der
Möglichkeit eines Verlustes und z. B. Buchungsgebühren bei Abhebungen.
Vereinfachend werden sie meistens vernachlässigt und Null gesetzt. Die
indirekten Kosten beziehen sich auf Opportunitätskosten der Geldhaltung in
Form entgangener Zinsen. Da jede Komponente der Geldmenge andere
Opportunitätskosten hat (Zinsen auf Girokonten, Sparbücher usw.), kann diese
Frage eigentlich nur gemeinsam für alle Komponenten gelöst werden. Im ISLM-Modell
wird vereinfachend angenommen, dass es nur zwei mögliche
Veranlagungsformen gibt. Entweder halten die Wirtschaftssubjekte Geld und
verzichten damit auf eine Verzinsung oder sie veranlagen ihr Vermögen in einer
Einheitsanleihe zu einem einheitlichen Zinssatz. In der Realität gibt es allerdings
viele sich mehr oder weniger stark hinsichtlich Liquidität und Verzinsung
unterscheidende Veranlagungsformen. Friedman und Schwartz haben immer
ein sehr weit gefasstes Verständnis alternativer Veranlagungsformen; es reicht
von Bargeld bis zur Veranlagung in physische Vermögenswerte. Eigentlich
sollten in der Geldnachfragefunktion die erwarteten ex ante Zinssätze
einbezogen sein. Weil die aber schwer zu berechnen sind, werden oft die ex post
beobachteten Zinssätze und Inflationsraten eingesetzt.
In unserem Beispiel untersuchen Milton Friedman und Anna Schwartz (1982)
den Zusammenhang zwischen Geldnachfrage, Einkommen, Preisen und
Zinssätzen für das Vereinigte Königreich. Mit Jahreswerten von 1868 bis 1975
erreichen sie eine in der Ökonometrie unübliche Stichprobengröße von mehr als
einem Jahrhundert. Ihr theoretischer Ausgangspunkt ist die folgende
individuelle Nachfragefunktion nach Geld
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M/P = f(Y, w; E(rM), E(rB), E(rE), e
; u).
Die reale Geldnachfrage M/P eines Wirtschaftssubjektes hängt vom realen
Einkommen Y, dem Anteil w dieses Einkommens, das aus Vermögenserträgen
entsteht, und dem erwarteten nominellen Zinssatz auf geldnahe Anlagen rM,
sowie den nominellen Renditen auf festverzinsliche Anleihen rB und Aktien rE,
wobei die Ertragsraten auf Anleihen und Aktien die erwarteten Preis- bzw.
Kursänderungen beider Anlageformen beinhalten. Die erwartete Inflationsrate
e
dient zur Ermittlung von ex ante Realzinssätzen. Das letzte Element in der
Geldnachfragefunktion u beschreibt alle Variablen, die den Nutzen von Geld
beeinflussen können, z. B. die Dichte von automatischen
Geldausgabeautomaten.
Die abhängige Variable ist in diesem Modell die reale Geldmenge. Dadurch
wird implizit angenommen, dass Preisänderungen nur eine Veränderung der
Zähleinheit darstellen. Die nominelle Geldnachfrage sollte also auf eine
Preissteigerung von 10% mit einem Anstieg von 10% reagieren. Damit bleibt
die reale Geldnachfrage von Preisänderungen unabhängig. Technisch wird
damit die direkte Preiselastizität der Geldnachfrage auf Eins gesetzt, bzw. die
Geldnachfrage ist homogen vom Grad Eins in Bezug auf das Preisniveau. Eine
für Monetaristen typische Annahme, die eigentlich nur langfristig gilt, aber von
Friedman und Schwartz getestet und nicht abgelehnt wird.
Friedman und Schwartz schätzen eine aggregierte Geldnachfrage für die
Gesamtwirtschaft. Wie kommen sie von der individuellen Geldnachfragefunktion zur
gesamtwirtschaftlichen?
Sie verwenden anstelle individueller Werte die reale Geldmenge und das
Bruttoinlandsprodukt und normieren diese Größen auf die Bevölkerung.
Dadurch erreichen sie eine Funktion für die Realkasse und das Realeinkommen
in Pro-Kopf-Werten, die sie in einer herkömmlichen Regression verwenden.
Diese Vereinfachung unterstellt, dass Geld und Einkommen gleichmäßig über
die Bevölkerung verteilt sind, bzw. dass man Verteilungseffekte
vernachlässigen kann.
Friedman und Schwartz (1982) wollen die langfristige Beziehung zwischen Geld,
Einkommen und Zinssätzen untersuchen und bereinigen die Daten daher von
zyklischen Schwankungen. Die kurzfristigen Schwankungen innerhalb eines
Konjunkturzyklus können in einem langfristigen Vergleich der Daten starke
Verzerrungen bewirken, wenn die erste und die letzte Beobachtung der Stichprobe aus
einer anderen Phase des Konjunkturzyklus stammen. Friedman und Schwartz folgen in
der Bereinigung einer damals im National Bureau of Economic Research (NBER)
beliebten Methode. Sie nehmen die Beginn- und Endpunkte aller Konjunkturzyklen
zwischen 1868 und 1975 und bilden aus den Beobachtungen jeder Aufschwung- bzw.
jeder Abschwungphase jeweils einen Durchschnittswert. Dadurch verkleinert sich die
Anzahl der Beobachtungen von 108 Jahreswerten auf 38 und letztendlich 36
brauchbare Phasenwerte.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 5
Die Daten stehen aus diesem Grund auch nur als ,,irreguläre" Zeitreihen in Eviews zur
Verfügung, die entsprechenden Phasenmittelpunkte sind in der Variable t dokumentiert.
Obwohl die Datendokumentation schon in Friedman und Schwartz ausgezeichnet ist sämtliche,
auch transformierte Reihen sind abgedruckt ­ verwenden wir in diesem
Kapitel den von Ericsson et al. (1998) aus den Originaljahresdaten rekonstruierten und
von David Hendry freundlicherweise zur Verfügung gestellten Datensatz. Die von
Friedman und Schwartz (1982) erzielten Ergebnisse lassen sich damit qualitativ richtig
wiedergeben, kleinere Abweichungen sind laut Ericsson et al. (1998) vor allem auf
Rundungsfehler zurückzuführen.
Weil Ericsson et al. die Zeitreihen noch bis ins Jahr 1993 (Beobachtungszahl 44) verlängert
haben, muss zu Beginn der Analyse der Zeitbereich (sample) auf 1 - 36 gesetzt werden.
Im Einklang mit ihrer theoretischen Geldnachfragefunktion verwenden
Friedman und Schwartz den Logarithmus der realen pro Kopf Geldmenge als
abhängige Variable. Als Indikator für das Transaktionsvolumen verwenden sie
das reale pro Kopf Einkommen Yc, ebenfalls in Logarithmen. Die Kosten der
Geldhaltung messen sie als Unterschied zwischen hypothetischen direkten
Kosten der Geldhaltung und den Opportunitätskosten in Form des kurzfristigen
Zinssatzes. Dieser Unterschied misst die Grenzkosten für das Halten einer
zusätzlichen Geldeinheit und wird mit RN bezeichnet. Da sie keinen großen
Einfluss des Anleihezinssatzes auf die Geldnachfrage feststellen konnten,
verzichten sie auf diesen Indikator.
Die Breite der Substitutionsmöglichkeiten im monetaristischen Verständnis
zeigt sich in der Berücksichtigung von Aktienerträgen in der
Geldnachfragefunktion. Sie sollen alternative Veranlagungsformen in Form von
Investitionen in physische Anlagen oder langfristige Konsumgüter in die
Analyse integrieren. Weil die Ertragskennziffern börsennotierter Unternehmen
einen viel zu engen Kreis von Anlagemöglichkeiten beschreiben, verwenden sie
die Wachstumsrate gY des nominellen Einkommens. Sie soll den nominellen
Ertrag auf physische Vermögensanlagen für die Gesamtwirtschaft abbilden.
3.1 Multiple Regression
Sehen wir uns doch zunächst die Zeitreihenplots dieser vier Kenngrößen an.
Hierbei darf in EViews nicht einfach die Line_Plot Option gewählt werden, da ja die
Zeitabstände zwischen den Beobachtungen unregelmäßig sind. Abhilfe schafft die Definition
einer Gruppe mit t (den Phasenmitteln) als erster Variable und danach ein Plot mittels View Multiple_Graphs
­ XY_line.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 6
Es ist naturgemäß schwierig daraus bereits Zusammenhänge zu erkennen, vor
allem auch deshalb weil die Reihen trendbehaftet erscheinen. Einen besseren
Überblick sollte uns eine Reihe von Streudiagrammen liefern. Am
Interessantesten sind für uns ist sicher jene zwischen dem Regressanden und
den einzelnen Regressoren.
In EViews gibt es zwar die Möglichkeit aus einer vorher definierten Gruppe mittels
View_Multiple-Graphs-Scatter-First_series_against_all eine einzelne Zeitreihe in einer
Reihe von Streudiagrammen gegen mehrere andere zu plotten, dabei wird aber die betreffende
Zeitreihe auf der horizontalen Achse aufgetragen. Da es sich in unserem Fall ja um den
Regressanden handelt, entspräche dies nicht der Konvention und vertrauten Sichtweise. Es
bleibt uns also nichts anderes übrig, als die Streudiagramme einzeln zu erzeugen und dann wie
folgt nebeneinander zu stellen.
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980
phase midpoints
log_m:logrealpercapitademandformoney
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980
phase midpoints
log_y:logrealpercapitaincome
.000
.004
.008
.012
.016
.020
.024
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980
phase midpoints
rn:differentialyieldonnominalvalueassets
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980
phase midpoints
gy:rateofchangeofnominalincome
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 7
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
4.0 4.5 5.0 5.5 6.0
log_y: log real per capita income
log_m:logrealpercapitademandformoney
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
0.00 0.01 0.02 0.03
rn : differential yield on nominal value assets
log_m:logrealpercapitademandformoney
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
-0.1 0.0 0.1 0.2
gy: rate of change of nominal income
log_m:logrealpercapitademandformoney
In dieser Sichtweise erwecken alle drei Regressoren den Eindruck sie wären mit
dem Regressanden mehr oder weniger stark verbunden (am wenigsten sicherlich
RN, am stärksten wohl LOG_Y). Wir wissen nun schon, dass wir die
Einzelzusammenhänge mittels einfacher Regressionen analysieren können. Es
ergeben sich die Outputs:
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.362372 0.371001 0.976743 0.3356
LOG_Y 0.801767 0.080932 9.906715 0.0000
R-squared 0.742703 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.735135 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.157402 Akaike info criterion -0.806079
Sum squared resid 0.842360 Schwarz criterion -0.718106
Log likelihood 16.50942 F-statistic 98.14301
Durbin-Watson stat 0.205516 Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 4.002880 0.112355 35.62709 0.0000
RN 2.834092 11.00699 0.257481 0.7984
R-squared 0.001946 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared -0.027408 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.310005 Akaike info criterion 0.549497
Sum squared resid 3.267510 Schwarz criterion 0.637471
Log likelihood -7.890954 F-statistic 0.066297
Durbin-Watson stat 0.063624 Prob(F-statistic) 0.798359
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 8
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 3.909157 0.063412 61.64683 0.0000
GY 2.853887 1.025829 2.782031 0.0088
R-squared 0.185428 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.161470 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.280064 Akaike info criterion 0.346353
Sum squared resid 2.666813 Schwarz criterion 0.434327
Log likelihood -4.234359 F-statistic 7.739699
Durbin-Watson stat 0.156595 Prob(F-statistic) 0.008750
Diese Regressionen bestätigen die theoretisch erwarteten Beziehungen nur
teilweise. Die Schätzgleichung mit Yc als erklärender Variable hat das höchste
Bestimmtheitsmaß und der entsprechende Koeffizient ist statistisch signifikant.
Letzteres trifft auch für die Gleichung mit gY zu, nicht aber für jene mit RN.
Direkte Kosten der Geldhaltung und kurzfristige Opportunitätskosten haben
keinen signifikanten Einfluss auf die reale Geldnachfrage.
Dieses Ergebnis verleitet zur Vermutung, dass eine Spezifikation mit
Transaktionsvolumen und Ertragsraten auf Veranlagungen in physische
Vermögensgegenstände das bestmögliche Modell ist, also
log(M/Pc) = 0 + 1 log(Yc) + 2 gY + ,
womit im Raum steht, dass nur die Substitutionsbeziehung zwischen
Geldmenge und physischen Veranlagungen praktisch relevant sind; eine doch
etwas unerwartete Schlussfolgerung.
Ja, diese Schlussfolgerung ist unplausibel, dies kann jedoch in Modellen mit
mehr als einem Regressor, so genannten multiplen Regressionsmodellen,
durchaus auftreten. Um zu verstehen, warum dies so ist, müssen wir zuerst
überlegen, wie wir im obigen Fall zu vernünftigen Schätzern kommen.
Nun, das sollte kein Problem sein, da wir ja die Kleinst-Quadrate Lösung
ohnehin schon in einer allgemeinen Matrixform dargestellt haben.
Ganz genau, wir setzen also im allgemeinen Regressionsmodell  ={0,1,2}'
und X={, log(Yc), gY}, sowie y = log(M/Pc) ein und erhalten den gewünschten
Schätzer wieder mit ^
= (X'X)-1
X'y. Dabei haben wir nun geometrisch statt
einer Geraden an eine zweidimensionale Punktwolke eine Ebene an eine
dreidimensionale Punktwolke angepasst. Die Parameterschätzer ^
1 und ^
2 sind
deshalb auch nicht als (marginale) Steigung der individuellen Geraden zu
interpretieren sondern als (bedingte) Steigung für den Fall, dass die jeweils
andere Einflussgröße einen konstanten Wert annimmt. Genau darum aber sind
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 9
diese Schätzer im Allgemeinen von einander abhängig und es ist nicht klar, dass
die Kombinationen von individuell ,,guten" oder ,,schlechten" Regressoren auch
insgesamt ,,gute" oder ,,schlechte" Modelle ergeben.
Im vorliegenden Fall ergibt sich für die multiple Regression mit LOG_Y und GY
als Regressoren der Output:
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.161671 0.437417 0.369604 0.7140
LOG_Y 0.851301 0.099034 8.596079 0.0000
GY -0.616611 0.705491 -0.874017 0.3884
R-squared 0.748524 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.733283 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.157951 Akaike info criterion -0.773408
Sum squared resid 0.823301 Schwarz criterion -0.641448
Log likelihood 16.92135 F-statistic 49.11271
Durbin-Watson stat 0.224265 Prob(F-statistic) 0.000000
Die den Koeffizienten zugeordneten Kenngrößen sind genau wie im Fall der
Einfachregression interpretierbar, das heißt in dieser Spezifikation hat die
Wachstumsrate gY keinen statistisch signifikanten Einfluss (zusätzlich zu dem
vom Einkommen log(Yc) generierten). Der in der Einzelgleichung festgestellte
Effekt von gY wurde also von log(Yc) sozusagen überlagert.
Algebraisch lässt sich diese Möglichkeit im Zwei-Regressoren-Modell leicht zeigen. Es folgt
zum Beispiel aus  = X0,1^
0,1 + x2^
2 sofort X0,1' = X0,1' X0,1^
0,1 + X0,1'x2^
2 und daraus
^
0,1 = 0,1 - ( X0,1' X0,1)-1
X0,1'x2^
2 . Hierbei steht 0,1 für den Schätzer aus der
Einfachregression und die Abweichung verschwindet (bei geeigneter Skalierung) entweder,
wenn die Regressoren unkorreliert sind (x1'x2 = 0) oder wenn der zweite Regressor keinen
Einfluss hat (^
2=0).
Das bedeutet also, dass auch die Beziehungen der Regressoren untereinander
die Schätzergebnisse wesentlich beeinflussen.
Deshalb macht es auch Sinn, die Scatterplots der Regressoren untereinander in
die explorative Analyse einzubeziehen. In unserer Anwendung ergeben sich die
Plots
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 10
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
4.0 4.5 5.0 5.5
log_y: log real per capita income
gy:rateofchangeofnominalincome
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
gy : rate of change of nominal income
rn:differentialyieldonnominalvalueassets
4.0
4.5
5.0
5.5
0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025
rn : differential yield on nominal value assets
log_y:logrealpercapitaincome
aus denen ganz klar positive Beziehungen zwischen den Regressoren zu
erkennen sind.
Am besten ist es wohl, gleich zu Beginn, sämtliche in die Analyse ein zu
beziehende Variablen paarweise gegeneinander zu plotten. Dies lässt sich
übersichtlich in einer Matrixform zusammenstellen und wird in EVIEWs
überdies nach dem Definieren einer Gruppe automatisch durch den Befehl View
­ Multiple Graphs ­ Scatter ­ Matrix of all pairs (SCATMAT) erzeugt.
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
log_m:logrealpercapitademandformoney
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
log_y:logrealpercapitaincome
.000
.004
.008
.012
.016
.020
.024
rn:differentialyieldonnominalvalueassets
-.10
-.05
.00
.05
.10
.15
3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6
log_m : log real per capita demand for money
gy:rateofchangeofnominalincome
4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2
log_y : log real per capita income
.000 .005 .010 .015 .020 .025
rn : differential yield on nominal value assets
-.1 .0 .1 .2
gy : rate of change of nominal income
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 11
Für die Analyse hilft uns dies nun aber nur beschränkt weiter, wir wollen ja
herausfinden, welche von den Regressoren wir zur Erklärung von log(M/Pc)
heranziehen sollen und auf welche wir verzichten können. Bis jetzt wissen wir
nur, dass wir aufgrund der Beziehungen der Regressoren untereinander bei der
Bewertung ihrer Relevanz vorsichtig sein müssen. Gibt es auch grafische
Verfahren, die es uns ermöglichen darüber hinaus noch Rückschlüsse zu ziehen
und ein ,,gutes" Modell zu finden?
3.2 Added Variable Plots
Zu diesem Zweck gibt es mehrere Verfahren, von denen die von Cook &
Weisberg (1982) eingeführten, so genannten Added Variable Plots (A-V-P's)
am meisten verbreitet sind. Sie geben den partiellen Einfluss eines einzelnen
Regressors auf den Regressanden wieder und lassen sich in einfacher Weise
motivieren. Dazu ist es wieder nützlich, den Regressor ,,unter Beobachtung"
herauszuheben und das lineare Modell in der Form y = X0,10,1 + x22 + 
darzustellen. Der Schätzer für den ,,interessanten" Parameter lässt sich nun als
^
2 = [x2'(I-H0,1)x2]-1
x2'(I-H0,1)^0,1
schreiben, also als Koeffizienten der Regression (ohne Interzept) der Residuen
^0,1=(I-H0,1)y aus der Regression von y auf X0,1 auf die Residuen (I-H0,1)x2 der
Regression von x2 auf X0,1 (H0,1 bezeichnet hier die dem Modell mit Interzept
und Regressor x1 zugeordnete ,,Hat"-matrix).
Diese Darstellung ergibt sich aus y = X0,1^
0,1 + x2^
2 + ^ durch Vormultiplizieren mit x2'(IH0,1)
wegen der Orthogonalität von Regressoren und Residuen (also sowohl x2'^ als auch
X0,1'^ = 0); also vorerst x2'(I-H0,1)y = x2'(I-H0,1)x2^
2 und wegen der Idempotenz von (I-H0,1)
auch wie oben. Man bemerke, dass man hier nicht auf das Zwei-Variablen Modell beschränkt
ist, da sich X0,1 durch jede beliebige mehrspaltige Matrix ersetzen lässt. Die obige Form bietet
somit also die in Kapitel 1 erwähnte Verallgemeinerung des auf den Fall x2=t bezogenen
Resultats von Frisch und Waugh (1933).
Als Kandidat für einen partiellen Residualplot ergibt sich also ein
Streudiagramm der Residuen (I-H0,1)y, also des um den Erklärungsanteil von
X0,1 bereinigten Regressanden, gegen die Residuen (I-H0,1)x2, also des
,,Erklärungsrestes" im hinzugefügten (added) Regressor x2. Aus diesem Grund
werden diese Streudiagramme eben A-V-P's genannt.
In den meisten Softwarepaketen (so auch in EViews) müssen die Regressionen
leider einzeln durchgeführt und danach die entsprechenden Residuen
gegeneinander geplottet werden. Im konkreten Fall regressiert man zur
Eliminierung des Einflusses von log(Yc) dies gegen log(M/Pc) und gegen gY. Die
resultierenden Residuen wurden mit RESIDM_Y und RESIDGY_Y bezeichnet.
Analoges kann man für gY machen.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 12
Aus den Resultaten ist nun, wie zuvor schon festgestellt wurde, deutlich
ersichtlich, dass der partielle Einfluss von gY auf log(M/Pc) kaum vorhanden ist,
während umgekehrt jener von log(Yc) auf log(M/Pc) besonders stark ausgeprägt
ist.
Das ist aus der diffusen Punktewolke im linken Bild und der fast diagonalen
Anordnung im rechten Bild erkennbar. Könnte es also sein, dass wegen der
Beziehungen zwischen den Regressoren die bereits als nichtsignifikant
ausgeschiedene Variable RN doch ins Modell aufgenommen werden müsste?
Dies lässt sich durch Hinzunahme von RN zur multiplen Regression leicht
überprüfen. Dort ergibt sich nämlich:
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.625109 0.281156 -2.223351 0.0334
GY -1.137629 0.428107 -2.657347 0.0122
LOG_Y 1.086674 0.066687 16.29503 0.0000
RN -29.53291 3.816182 -7.738863 0.0000
R-squared 0.912425 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.904215 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.094655 Akaike info criterion -1.772709
Sum squared resid 0.286709 Schwarz criterion -1.596762
Log likelihood 35.90876 F-statistic 111.1344
Durbin-Watson stat 0.488062 Prob(F-statistic) 0.000000
also der gegenteilige Effekt zu gY, der partielle Einfluss von RN ist sehr wohl
signifikant. Eine schöne Übersicht würde hier selbstverständlich wieder eine
Aufstellung der A-V-P's bieten.
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
-.2 -.1 .0 .1 .2
RESIDGY_Y
RESIDM_Y
-.6
-.4
-.2
.0
.2
.4
.6
-.6 -.4 -.2 .0 .2 .4 .6
RESIDY_GY
RESIDM_GY
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 13
3.3 Der F-Test
Es könnte doch nun allerdings ­ eben wegen der Korreliertheit der Regressoren
­ auch vorkommen, dass t-Tests für individuelle Koeffizienten (Variable) aus
einer Gruppe signifikante bzw. nicht signifikante Resultate liefern, während
man, wenn man den Einfluss der Kombination aller Koeffizienten
berücksichtigt, zum gegenteiligen Ergebnis kommt.
In seltenen Fällen kann dies geschehen. Deshalb benötigen wir Testverfahren
zum Überprüfen von Hypothesen der Form i= ...= j= 0, also unter
gleichzeitiger Auslassung mehrerer potenzieller Einflussfaktoren. Dies leisten
so genannte F-Statistiken, die in ihrer allgemeinsten Form
F = (SSRR-SSR)/SSR  (T-k-1)/g
geschrieben werden können. Die Abkürzung SSR steht hier für die
Residuenquadratsumme (sum of squared residuals) unter dem allgemeineren
Modell, SSRR für jene unter dem eingeschränkten (restricted) Modell, bei dem
die betreffenden Regressoren weggelassen wurden. Der Wert k bezeichnet die
Gesamtzahl der Regressoren (ohne Interzept), der Wert g die Zahl der (Null)Restriktionen
(weggelassenen Regressoren). Unter der
Normalverteilungsannahme und der Nullhypothese folgen diese Zufallsgrößen
einer F-verteilung, die durch die Parameter g und T-k-1, die so genannten
Freiheitsgrade, bestimmt ist, aus der sich durch Transformation wieder die
bereits bekannten p-Werte bestimmen lassen.
Übrigens ist die obige F-Statistik bereits so allgemein formuliert, dass sie auch für andere
(lineare) Restriktionen als nur einfache Nullrestriktionen anwendbar ist.
Wenn wir also in unserem konkreten Beispiel überprüfen wollen ob gY und RN
gemeinsam einen in Bezug auf Yc zusätzlichen signifikanten Erlärungsbeitrag
für M/Pc liefern, müssen die Residuenquadratsumme unserer ersten Schätzung
0.842 mit der unserer letzten Schätzung 0.287 verglichen werden.
Wir erhalten einen F-Wert von (0.842-0.287)/0.28732/2  30, welcher einem
p-Wert nahe bei 0 entspricht; die Hypothese, dass beide Regressoren nicht
signifikant sind, muss also abgelehnt werden.
In EViews lässt sich dieser p-Wert direkt durch Eingabe von
scalar p=1-@cfdist( (eq02.@ssr - eq01.@ssr) /eq01.@ssr*32/2,2,32)
in der Kommandozeile generieren, nachdem zunächst die beiden Modellgleichungen unter
eq01 und eq02 gespeichert wurden. Generell lassen sich in EViews mittels der Funktionen
@c?(Wert,Freiheitsgrade) die Verteilungsfunktionen verschiedener Verteilungen
bestimmen.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 14
Der Befehl
show p
(oder Anklicken des
Objekts) führt dann zur
Anzeige des Wertes links
unten.
Diese Testtechnik müsste aber auch anwendbar sein, um zu überprüfen, ob alle
Regressoren in einem Modell nicht signifikant sind, oder?
Dies ist ein wichtiger Spezialfall, bei dem SSRR durch eine
Residuenquadratsumme aus einem Nur-Interzept Modell gegeben ist. Dies wird
üblicherweise als totale Residuenquadratsumme SST (sum of squares total)
bezeichnet, und kann mit Var(y)T bestimmt werden.
Wir verwenden zur Berechnung von SST die Funktionen @var(.) und @obs(.) und erhalten
hier also scalar sst=@var(log_m)*@obs(log_m).
Dieser Test wird oft als Overall-Test bezeichnet und die zugehörige Testgröße
findet man in den Standardoutputs unter F-statistic mit dem zugehörigen p-Wert
unter Prob(F-statistic).
Diese F-Werte stehen in enger Beziehung zu den Bestimmtheitsmaßen. Es gilt ja die
Quadratsummenzerlegung SST = SSR + SSE (sum of squares explained). Aus der Definition
von R2
= SSE/SST = SSE/(SSE+SSR) ergibt sich 1-R2
= (SSE+SSR)/(SSE+SSR) SSE/(SSE+SSR)
= SSR/(SSE+SSR), also R2
/(1-R2
) = SSE/SSR. Wegen F = SSE/SSR (T-k-1)/k
gilt deshalb auch F = R2
/(1-R2
) (T-k-1)/k.
3.4 Gewichtete (verallgemeinerte) Kleinst-Quadrate-Schätzung
Lass uns zu unseren Added-Variable-Plots zurückkommen. Wir haben schon
angesprochen, dass die verwendeten Daten keinen einheitlichen
Erhebungszeiträumen entsprechen, sondern Durchschnittswerten über einzelne
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Konjunkturzyklen entsprechen. Sollten wird diese Tatsache bei der
Interpretation unserer Plots nicht auch in Betracht ziehen?
Das ist ein ganz wichtiger Punkt, denn die Herkunft und das
Konstruktionsprinzip der Daten hat nicht nur für die explorative, grafische
Analyse Bedeutung, sondern wirkt sich auch bezüglich der verwendeten
schließenden Verfahren, also der Schätz- und Testmethoden entscheidend aus.
Wie wir aus der elementaren Statistik wissen (vgl. Hackl und Katzenbeisser,
1994) ist unter der Annahme statistisch unabhängiger Messungen xi mit gleicher
Varianz, die Varianz eines Durchschnitts stets umgekehrt proportional zur
Anzahl der Jahre n, über die dieser Durchschnitt gebildet wird, also Var(n
xi/n) = nVar(xi)/n2
.
Für unsere Zyklusphasen bedeutet dies also, dass ­ für Ursprungsmessungen
von ähnlicher ,,Genauigkeit" ­ die verwendeten Durchschnittsdaten sozusagen
unterschiedliche Genauigkeiten (weniger oder mehr Variabilität) aufweisen.
Diese Genauigkeit verhält sich in etwa proportional zur Dauer eines
Konjunkturzyklus.
Man nennt diese Eigenschaft der Daten ganz generell Heteroskedastizität. Sie
lässt sich an Hand der von Friedman und Schwartz zur Verfügung gestellten
Information noch expliziter machen. Es wird dort nämlich ausgeführt, dass bei
der Erstellung der Phasenmittel, die erste und letzte Beobachtung jeder Phase
nur mit halbem Gewicht berücksichtigt wurde, weshalb sich für die
entsprechende Varianz ein Proportionalitätsfaktor von (2ni-1)/2ni
2
ergibt.
Aus der Definition xi = (xi,1/2 + j=2,ni xi,j + xi,ni+1/2)/ni ergibt sich für die Varianz: Var(xi) =
(Var(xi)/4 + j=2,ni Var(xi) + Var(xi)/4)/ni
2
= (ni-1/2) Var(xi)/ni
2
= (2ni-1)/2ni
2
Var(xi).
Wenn man also die Phasendurchschnitte standardisiert, kann man mit der
Analyse wie bisher fortfahren. Dazu muss man nur alle Beobachtungen durch
die Standardabweichung dividieren, das heißt durch die Wurzel des
Proportionalitätsfaktors (2ni-1)/2ni
2
.
Zu diesem Zweck konstruiert man
sich in unserem Workfile am besten
diesen Standardisierungsfaktor als
neue Reihe mit dem Befehl series
V0=@sqrt((2*dur-1)/(2*dur^2)),
wobei die Variable dur die
Phasendauern ni beinhält. Danach
müssen alle Variablen, sowohl
Regressand als auch Regressoren inklusive
der Konstante standardisiert
werden. Man kann dies
direkt bei der Spezifikation der
Gleichung durchführen.
Als Resultat der Schätzung erhält man nun den korrigierten Output:
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Dependent Variable: LOG_M/V0
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
1/V0 -0.763842 0.281027 -2.718039 0.0105
LOG_Y/V0 1.114142 0.066509 16.75166 0.0000
RN/V0 -30.05410 3.790253 -7.929312 0.0000
GY/V0 -0.996446 0.470155 -2.119399 0.0419
R-squared 0.987624 Mean dependent var 7.333740
Adjusted R-squared 0.986464 S.D. dependent var 1.530226
S.E. of regression 0.178032 Akaike info criterion -0.509268
Sum squared resid 1.014252 Schwarz criterion -0.333322
Log likelihood 13.16683 F-statistic 851.2442
Durbin-Watson stat 0.673531 Prob(F-statistic) 0.000000
Diese Vorgangsweise ist völlig äquivalent zur so genannten gewichteten
Kleinst-Quadrate Schätzung mit Gewichten vt, in der die Zielgrösse t vt(yt ­
t)2
minimiert wird (der Sonderfall v1=...=vT führt uns zurück zur gewöhnlichen
Kleinst-Quadrateschätzung).
Um dies deutlich zu machen schreiben wir in einem linearen Regressionsmodell die Varianz(Kovarianz)matrix
Var(y|X)=Var()=2
V, wobei V hier eine Diagonalmatrix mit den
(positiven) Einträgen v1,...,vT bezeichnet.Wir suchen nun eine Matrixzerlegung der Form
L'L=V-1
damit LVL'=IT und aus dem transformierten Modell Ly=LX+L der KleinstQuadrate
Schätzer 
^
GLS =(X'L'LX)-1
X'L'Ly gebildet wird, was dem besten linearen
unverzerrten Schätzer aus dem gewichteten Kleinst-Quadrate Problem (siehe Greene, 2000)
entspricht. Für eine Diagonalmatrix V enthält die Zerlegung L gerade die Kehrwerte der
Quadratwurzeln also 1/v1,...,1/vT in der Diagonale, was der Division aller Variablen durch
diese Kehrwerte entspricht. Bemerke, dass der Schätzer 
^
GLS =(X' V-1
X)-1
X' V-1
y für jedes auch
nicht diagonale ­ positiv definite V definiert ist. Man spricht in diesem Fall von
verallgemeinerter Kleinst Quadrate Schätzung (generalized least squares ­ GLS).
Der gewichtete KleinstQuadrate
Schätzer ist in
EViews auch einfacher zu
erhalten. Bei der Spezifikation
der zu schätzenden
Gleichung muss zunächst
die Schaltfläche Options
angeklickt werden, anschließend
wird in neben
stehendem Panel die Option
Weighted LS/TSLS
markiert und im darunter
liegenden Feld der Name
oder die Funktion der
Gewichtungsvariable, hier
also 1/V0 angegeben.
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Der resultierende Output gibt neben den Kenngrößen aus der transformierten
Regression zum Vergleich auch die der untransformierten Regression an:
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Weighting 1/V0
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.763842 0.281027 -2.718039 0.0105
LOG_Y 1.114142 0.066509 16.75166 0.0000
RN -30.05410 3.790253 -7.929312 0.0000
GY -0.996446 0.470155 -2.119399 0.0419
Weighted Statistics
R-squared 0.987624 Mean dependent var 4.017565
Adjusted R-squared 0.986464 S.D. dependent var 0.838288
S.E. of regression 0.097529 Akaike info criterion -1.712888
Sum squared resid 0.304383 Schwarz criterion -1.536941
Log likelihood 34.83198 F-statistic 851.2442
Durbin-Watson stat 0.673531 Prob(F-statistic) 0.000000
Unweighted Statistics
R-squared 0.909011 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.900481 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.096483 Sum squared resid 0.297886
Durbin-Watson stat 0.470633
Man sollte hier beachten, dass EViews leider die der ungewichteten Schätzung
entsprechenden Residuen in das Objekt RESID speichert!
Für den Fall, dass nichts über die Struktur der Heteroskedastie bekannt ist, kann
nach wie vor der auch hier noch erwartungstreue OLS Schätzer verwendet
werden. Allerdings liefert er verzerrte Standardfehler (in der Regel nach oben),
da ja nun Var(
^
OLS|X) = 2
(X'X)-1
X' VX(X'X)-1
 2
(X'X)-1
ist. Abhilfe schafft
hier die Heteroskedastiekorrektur von White (1980), der einfach die Diagonale
von V durch die Quadrate der standardisierten OLS-Residuen, also V
^
tt =
T^t
2
/^t
2
, abschätzt. Die entstandenen Standardfehler werden oft als robust
bezeichnet.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 18
In EViews lässt sich dies
wieder über das Menü
Estimation Options regeln.
Hierzu muss Heteroskedasticity
und dann
White markiert werden.
Die zugehörige Schätzung liefert aber im vorliegenden Fall nur geringfügige
Korrekturen:
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.625109 0.264925 -2.359572 0.0246
LOG_Y 1.086674 0.064017 16.97467 0.0000
RN -29.53291 3.589260 -8.228133 0.0000
GY -1.137629 0.396766 -2.867253 0.0073
R-squared 0.912425 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.904215 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.094655 Akaike info criterion -1.772709
Sum squared resid 0.286709 Schwarz criterion -1.596762
Log likelihood 35.90876 F-statistic 111.1344
Durbin-Watson stat 0.488062 Prob(F-statistic) 0.000000
Falls gar nicht bekannt ist, ob in einem spezifischen Fall Heteroskedastizität
vorliegt, lässt sich dies mit einem auch von White (1980) vorgeschlagenen Test
überprüfen. Auch der beruht auf der Idee, dass die quadrierten OLS Residuen
die Heteroskedastie reflektieren und diese sich recht unspezifisch als Polynom
(zweiten Grades) in den Regressoren manifestieren. Man führt also die
zusätzliche Regression
^t
2
= 0 + 1x1t + ... + mxmt + m+1x1t
2
+ ... + 2mxmt
2
+ 2m+1xt1xt2 + ... + t
durch und überprüft die Hypothese anschließend mittels Overall F-Test.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 19
Eviews bietet uns hier direkt zwei Möglichkeiten, nämlich einmal mit, das andere mal ohne
Einbeziehung von Wechselwirkungen. Man wählt dazu nach erfolgter Schätzung einfach aus
dem Menu View-Residual Tests zum Beispiel White Heteroskedasticity (no cross terms) und erhält
dann sofort nachstehenden Output.
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic 0.847128 Probability 0.544445
Obs*R-squared 5.368684 Probability 0.497468
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.455250 0.275624 -1.651708 0.1094
LOG_Y 0.200017 0.125852 1.589304 0.1228
LOG_Y^2 -0.021608 0.014289 -1.512241 0.1413
RN 0.836425 1.389004 0.602176 0.5517
RN^2 -39.31663 73.61233 -0.534104 0.5973
GY 0.012665 0.027326 0.463475 0.6465
GY^2 -0.350086 0.193145 -1.812558 0.0803
R-squared 0.149130 Mean dependent var 0.007964
Adjusted R-squared -0.026912 S.D. dependent var 0.007417
S.E. of regression 0.007516 Akaike info criterion -6.770767
Sum squared resid 0.001638 Schwarz criterion -6.462860
Log likelihood 128.8738 F-statistic 0.847128
Durbin-Watson stat 1.696422 Prob(F-statistic) 0.544445
In vorliegendem Fall ergibt sich (trotz gegenteiligen Wissens) kein Hinweis auf
Heteroskedastie, was nicht weiter verwunderlich ist, da die entscheidende
Größe ­ die Dauer der Zyklusphasen ­ in der Regression nicht aufscheint.
3.5 Dummy Variable
Friedman und Schwartz untersuchen die Beziehung zwischen realer Pro-Kopf
Geldmenge und dem realen Pro-Kopf Einkommen sehr eingehend und
bemerken drei Phasen mit ungewöhnlichen Abweichungen von der ansonsten
konstanten Einkommenselastizität der Geldnachfrage. Im Vereinigten
Königreich fallen ihnen die 1920er Jahre und die Zeit jeweils nach den beiden
Weltkriegen durch außergewöhnlich hohe Geldnachfrage auf.
Sie schreiben die Abweichung in den 1920er Jahren den Auswirkungen der
Weltwirtschaftskrise zu. Im Vereinigten Königreich begann die
Wirtschaftskrise bereits zu Beginn der 1920er Jahre und endete 1932 etwas
früher als in den USA und im restlichen Europa. In dieser Periode kam es zu
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 20
Deflation, d. h. zu einem fallenden Preisniveau, sodass selbst Bargeldhaltung
einen positiven Ertrag hatte. Bei fallenden Preisen entsteht dieser Ertrag durch
Aufschieben der Konsumentscheidung in die Zukunft.
Kennen wir dieses Phänomen nicht auch heute noch? Elektronische Geräte, wie
z. B. PCs, machen nach der Neueinführung doch regelmäßig eine Phase mit
starkem Preisrückgang durch.
Ja, die Ertragsrate aus der Verschiebung des Kaufes in die Zukunft entspricht
genau dem prozentuellen Preisrückgang. Zusätzlich zum positiven Ertrag der
Geldhaltung erwähnen Friedman und Schwartz die hohe Unsicherheit durch
Arbeitslosigkeit und Bankenzusammenbrüche, die ebenfalls zu gesteigerter
Bargeldnachfrage führte.
Die Periode während und nach den beiden Weltkriegen fällt auch durch höhere
Geldnachfrage auf. Erhöhte Unsicherheit in Kriegszeiten und das kleinere
Angebot an Waren während des Krieges und danach belebten die
Geldnachfrage. Jeweils die ersten drei Konjunkturphasen nach dem I. und II.
Weltkrieg unterscheiden sich von den anderen Phasen.
Als nahe liegendste Lösung fällt mir ein, das Modell über diese Perioden
separat zu schätzen, was allerdings zu erheblichen Verlusten in den
Freiheitsgraden führt. Es gibt allerdings ein Instrument mit dem wir zeitlich
begrenzte Abweichungen vom Normalzustand in einer Regressionsgleichung
berücksichtigen können ohne die Schätzer in den unterschiedlichen Perioden
vollständig von einander zu trennen: die so genannte Dummy Variable. Als
solches werden in der Mathematik ja üblicherweise Größen genannt, die nur
während eines Kalkulationsvorgangs vorübergehend verwendet werden und im
Ergebnis nicht mehr aufscheinen, daher der ursprünglich von ,,dumb"
abgeleitete Name. Die Bedeutung in der Ökonometrie ist etwas anders. Hier
bezeichnet Dummy eine einfach strukturierte, üblicherweise binäre, Variable
zur Unterscheidung beziehungsweise Modellierung von Unterscheidungen.
Im einfachsten Fall ­ zur Differenzierung zweier unterschiedlicher Perioden, so
genannter Regime ­ weist die Dummy Variable die Werte 0 (für die
Referenzperiode) und 1 (sonst) auf. Im Fall von Friedman und Schwartz wird
also eine Größe St mit den Eigenschaften S1=...=S15=0, S16=...=S28=1,
S29=...=S36=0 eingeführt, wobei die mit dem Wert 1 ausgeflaggten Daten den
Perioden 1923-1954 entsprechen. Wenn nun eine einfache Verschiebung der
Geldnachfrage in dieser Periode modelliert werden soll, muss die
Schätzgleichung einfach um die Variable S ergänzt werden (vorerst mal
ungewichtet):
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 21
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -0.121560 0.188028 -0.646497 0.5227
LOG_Y 0.924542 0.047119 19.62137 0.0000
RN -14.74058 3.134206 -4.703130 0.0001
GY -0.371056 0.286295 -1.296060 0.2045
S 0.198453 0.027521 7.210842 0.0000
R-squared 0.967290 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.963069 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.058775 Akaike info criterion -2.701961
Sum squared resid 0.107089 Schwarz criterion -2.482028
Log likelihood 53.63531 F-statistic 229.1804
Durbin-Watson stat 1.249423 Prob(F-statistic) 0.000000
Der der Dummy zugeordnete Koeffizient bezeichnet nun den Unterschied im
Interzept zwischen der Referenz- und der Restperiode, es gab also laut obiger
Gleichung zwischen 1923 und 1954 eine deutlich erhöhte Geldnachfrage, was
sich ­ wegen der logarithmischen Natur des Modells ­ siehe Kennedy, 1981 in
einer durchschnittlichen Steigerung um etwa 100×[exp(^
4) ­ 1]  22%
niederschlägt.
Obiges ergibt sich wenn der relative Effekt der Dummy über [y(St=1)-y(St=0)]/y(St=0)
bestimmt wird. Kennedy, 1981 weist allerdings darauf hin, dass eine bessere Abschätzung des
Effekts durch 100×[exp(^
4 -^{^
4}/2) ­ 1] erzielt wird, was hier allerdings keinen wesentlichen
Unterschied macht.
Letztendlich verwenden Friedman und Schwartz noch eine zweite Dummy
Variable W, nämlich zur Modellierung zweier Anpassungsperioden in den
Nachkriegsjahren. Es ergibt sich damit ­ nach korrekter Gewichtung - auch das
von Ericsson et al. in deren Gleichung (6) replizierte Modell:
Dependent Variable: LOG_M
Method: Least Squares
Sample: 1 36
Included observations: 36
Weighting series: 1/V0
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.021083 0.193736 0.108825 0.9141
LOG_Y 0.882881 0.048982 18.02473 0.0000
RN -11.21374 3.285429 -3.413172 0.0019
W 0.013782 0.005821 2.367800 0.0245
S 0.205901 0.027388 7.517951 0.0000
GY -0.212149 0.291022 -0.728979 0.4717
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 22
Weighted Statistics
R-squared 0.996072 Mean dependent var 4.017565
Adjusted R-squared 0.995417 S.D. dependent var 0.838288
S.E. of regression 0.056751 Akaike info criterion -2.749292
Sum squared resid 0.096619 Schwarz criterion -2.485372
Log likelihood 55.48726 F-statistic 1521.371
Durbin-Watson stat 1.503403 Prob(F-statistic) 0.000000
Unweighted Statistics
R-squared 0.966056 Mean dependent var 4.028569
Adjusted R-squared 0.960399 S.D. dependent var 0.305842
S.E. of regression 0.060863 Sum squared resid 0.111128
Durbin-Watson stat 1.325585
Jetzt wo wir die Phasenlänge und abweichende Teilperioden in die Gleichung
eingearbeitet haben, können wir einen näheren Blick auf die Ergebnisse werfen
und zu einer Interpretation schreiten. Erstens, wir konnten eine
Geldnachfragefunktion mit hohem Erklärungswert identifizieren. Zweitens alle
Koeffizienten haben das erwartete Vorzeichen. Die Einkommenselastizität der
Geldnachfrage ist positiv, während die Opportunitätskosten der Geldhaltung die
Geldnachfrage senken.
Mit 0,88 ist der Koeffizient des logarithmierten Pro-Kopf-Einkommens etwas
kleiner als Eins. Weil beide Größen logarithmiert sind, ist dieser Wert als eine
Elastizität zu interpretieren. Sie zeigt an, dass eine Steigerung des
Realeinkommens um 1% mit einer Erhöhung der realen Geldnachfrage um
etwa 0,9% einhergeht. Ein Wert in der Nähe von 1% erscheint plausibel, wenn
man davon ausgeht, dass ein höheres Einkommensniveau mit mehr
Transaktionen verbunden ist. Ein Wert kleiner als 1% kann durch eine mit der
Einkommenssteigerung verbundene Weiterentwicklung von
Finanzdienstleistungen erklärt werden. In diesem Fall wirkt das
Realeinkommen als ein dynamischer Indikator für den technischen Fortschritt in
den Finanzdienstleistungen einer Wirtschaft.
Die Maßeinheiten für die Opportunitätskosten sind Prozentpunkte. Daher ist der
betreffende Koeffizient ein semilogarithmischer Parameter mit etwas anderer
Interpretation. Diese Wahl der Maßeinheit garantiert, dass eine Zinsänderung
von einem halben Prozentpunkt dieselbe prozentuelle Wirkung auf die reale
Geldnachfrage erzeugt, unabhängig davon, ob der Zinssatz ursprünglich 5%
oder 10% beträgt. Es wird also unterstellt, dass die absolute Veränderung des
Zinssatzes die relevante ökonomische Größe ist und nicht die relative
Veränderung.
Ein halber Prozentpunkt entspricht 10% des ursprünglichen Zinsniveaus, wenn im
Ausgangszeitpunkt der Zinssatz 5% beträgt, aber nur 5% des ursprünglichen Zinsniveaus, wenn er
im Ausgangszeitpunkt 10% beträgt. Zinssätze werden üblicherweise in Prozentpunkten (z. B. 5.0)
oder in mathematischen Prozent (z. B. 0.05) ausgedrückt.
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Die Reaktion der Geldmenge auf Zinsänderungen wird damit allerdings von der
Einheit abhängig, in der der Zinssatz gemessen wird. Das sieht man ganz
deutlich am Unterschied zwischen den Koeffizienten für die kurzfristigen
Opportunitätskosten RN und dem Ertrag auf physische Veranlagungen gY.
Obwohl der Koeffizient für gY um einen Faktor 100 kleiner ist als der für RN,
wirkt eine Änderung des Alternativertrags um einen halben Prozentpunkt
doppelt so stark auf die reale Geldnachfrage wie eine gleich große Änderung der
kurzfristigen Opportunitätskosten. Der einfache Grund ist der unterschiedliche
Maßstab. Im Unterschied zu den Originalergebnissen von Friedman und
Schwartz (1982) ist der Koeffizient für physische Veranlagungen mit den
rekonstruierten Daten von Ericsson et al. (1998) nicht mehr signifikant.
Die Ergebnisse und Schlussfolgerungen von Friedman und Schwartz haben
David Hendry und Neil Ericsson (1991) dazu veranlasst, die alten
Berechnungen nachzuvollziehen. Sie zeigen einige Mängel dieser
Schätzgleichung auf, die an dieser Stelle nicht aufgegriffen werden. Hier
erscheint jedoch wichtig, dass sie eine der zentralen Schlussfolgerungen von
Friedman und Schwartz widerlegen: sie können keine über die Zeit stabile
Geldnachfragefunktion identifizieren. Wie schon erwähnt ist eine stabile
Geldnachfragefunktion Grundlage für jede Geldpolitik, die ein Geldmengenziel
verfolgt. Weiters finden Hendry und Ericsson Hinweise auf Geldillusion im
Vereinigten Königreich. Die Preiselastizität der Geldnachfrage kann also nicht
per Annahme auf 1 gesetzt werden, sondern sollte durch eine eigene
Preisvariable als Regressor berücksichtigt werden. Friedman und Schwartz
(1991) geben eine interessante Replik auf diese Vorwürfe.
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Übungsaufgaben
* Erstellen Sie A-V-P's für alle relevanten Regressorvarianten im korrekt
gewichteten Modell und interpretieren Sie sie.
* Ericsson et al. (1998) haben die Schätzungen auf einer erweiterten
Datenbasis bis 1993 erneut durchgeführt. Replizieren Sie deren Ergebnisse
(phase-average daten) und diskutieren Sie die Unterschiede zur
vorherigen Schätzung.
* Führen Sie dafür einen Goldfeld-Quandt Test auf Heteroskedastie durch.
* Welche Schwierigkeiten geben sich beim Vergleich gewichteter KleinstQuadrate
Regressionen?
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 07.01.2009, Kap.3, Seite 25
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