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4. Skalenerträge
,,Wo immer etwas falsch ist, ist es zu groß"
Leopold Khor
Mergers und Aquisitions werden vom Management meist durch Synergien und
große damit verbundene Einsparungspotentiale motiviert. Viele Studien in der
Industrieökonomie zeigen allerdings, dass Unternehmensverschmelzungen oft
den Aktienkurs dämpfen und die versprochenen Einsparungen durch
Reibungsverluste während der Integrationsphase verloren gehen (Moeller Schlingemann
­ Stulz, 2004; Tichy, 2001). Kleine und überschaubare
Unternehmen leiden nicht unter Informations- und Koordinationsproblemen
und können daher besser auf Marktänderungen reagieren.
Größenvorteile in der Produktion von Gütern oder Dienstleistungen sind ein
wichtiges Thema für die strategische Entscheidung des Managements über die
Kapazität eines Betriebes und gleichzeitig ein altes Thema der
Wettbewerbspolitik. Größenvorteile entstehen, wenn es einem Unternehmen
gelingt, durch die Ausweitung der Produktionskapazität den Output
überproportional zu steigern. Die wirtschaftliche Konsequenz so genannter
steigender Skalenerträge sind mit dem Produktionsniveau fallende
Durchschnittskosten. Aus der Sicht des Managements kann also durch die Wahl
der Betriebsgröße der Durchschnittskostensatz gesteuert werden. Die
Beschleunigung von Investitionsplänen begleitet von Preissenkungen und damit
einer Ausweitung des Absatzes ist bei steigenden Skalenerträgen profitabel, weil
niedrigere Durchschnittskosten anfallen.
Besonders interessant ist die Eigenschaft des Produktionsprozesses in einem neu
entstehenden Markt. Durch die Wahl der Produktionskapazität kann der
Ersteintretende in einem Markt potenzielle weitere Markteintritte abschrecken,
und schafft sich damit ein Freiraum in der Festlegung des Absatzpreises. Ein
Nebeneffekt von Größenvorteilen in der Produktion betrifft die Anzahl
potenzieller Anbieter im betreffenden Markt. Wenn die Betriebsgröße, bei der
die Durchschnittskosten ihr Minimum erreichen, fast gleich groß ist wie das
gesamte Marktvolumen, kann nur ein Unternehmen diesen Markt profitabel
versorgen. In diesem Fall spricht man von einem natürlichen Monopol (Varian,
1993).
Die durch New Economy Welle neu geschaffenen Märkte sind ein gutes
Beispiel für Vorteile eines First Movers bei steigenden Skalenerträgen.
Amazon, E-bay und Google konnten mit ihrem Geschäftsmodell durch die
rasche internationale Expansion sowohl die kritische Anzahl der Nutzer
überschreiten als auch die Geschäftsmöglichkeiten für nachfolgende
Unternehmen einengen. Das Profitpotential aus steigenden Skalenerträgen auf
elektronischen Märkten hatte in den späten 1990er Jahren dementsprechend
hohe Bewertungen der Aktien solcher Unternehmen zur Folge.
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Die vielen Pleiten am Ende der Internet-Bubble zeigen aber, dass nur wenige
Märkte die notwendigen Voraussetzungen zum Ausnutzen steigender
Skalenerträge haben. Aus der Sicht der Wettbewerbspolitik ist in einem
monopolistisch oder oligopolistisch strukturierten Markt die
gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt kleiner als in einem Markt mit perfektem
Wettbewerb. Daher gibt es in fast allen Ländern eine von zwei Formen des
staatlichen Eingriffs. Entweder gibt es für einen Markt eine
Regulierungsbehörde, die die dort aktiven Privatunternehmen beaufsichtigt und
entsprechende Rahmenbedingungen festlegt (z. B. Telefon, Strom, Gas), oder
die Produktion erfolgt direkt im öffentlichen Sektor durch Körperschaften oder
ausgegliederte Unternehmen (z. B. öffentliche Verkehrsmittel,
Wasserversorgung, Abfallentsorgung). Die Europäische Kommission versucht
im Rahmen des Binnenmarktprojektes eine Harmonisierung der
Produktionsbedingungen und einen stärkeren Wettbewerb auch in vormals
verstaatlichten oder regulierten Industrien zu bringen.
Für die Wettbewerbspolitik sind zwei Informationen von zentraler Bedeutung.
Erstens, gibt es in einem Markt steigende Skalenerträge oder nicht? Ein
Regulator als ordnungspolitische Instanz oder die öffentliche Hand als direkter
Produzent müssen also die Produktionsfunktion einer Industrie kennen.
Zweitens, sind die Eigenschaften der Nachfragefunktion in diesem Markt
relevant. Aus der Kombination beider Informationen können die Vorgaben für
einen Wirtschaftsbereich festgelegt werden, z. B. die Durchleitungsgebühren,
die Absatzpreise oder auch die Produktionsmengen.
Wir werden uns in diesem Abschnitt nur mit der Angebotsseite der
Energiewirtschaft beschäftigen. Wodurch entstehen eigentlich steigende
Skalenerträge in einer Industrie?
Für Größenvorteile gibt es rein technische Ursachen oder wirtschaftliche
Gründe durch hohe Anfangsinvestitionen vor Beginn der eigentlichen
Produktion. Zur praktischen Veranschaulichung technisch bedingter
Skalenerträge wird oft die Auswirkung einer Erweiterung des
Rohrdurchmessers auf eine Pipeline angeführt. Bei einer Verdoppelung des
Durchmessers von 50cm auf 100cm steigt zwar das Material zur Erstellung der
Pipeline um das Doppelte (Kreisumfang), das Durchgangsvolumen der Röhre
nimmt hingegen um den Faktor vier zu (Kreisfläche). Daher steigt bei einer
Vervielfachung des Rohrdurchmessers die Menge an gepumptem Öl oder Gas
überproportional zum verwendeten Material für die Pipeline.
Das Beispiel einer Pipeline macht gleichzeitig deutlich, dass steigende
Skalenerträge in der Regel ein lokales Phänomen sind. Wenn der
Rohrdurchmesser tatsächlich immer wieder verdoppelt werden würde, müsste
die Konstruktion letztendlich unter ihrem eigenen Gewicht zusammenbrechen.
Zusätzlich müssen Pumpen, Zulauf- und Ablaufspeicher usw. auf die
Durchlaufmenge ausgerichtet werden. Für die erwartete Transportleistung
bedeutet das, dass im Fall einer Pipeline ein technisch optimales
Produktionsniveau existiert, welches nicht überschritten werden kann. Weiters
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kann technischer Fortschritt die Relation zwischen allen diesen Größen
verschieben.
Produktionsfunktionen haben gewöhnlich sinkende Grenzerträge, d. h. wenn die
eingesetzte Menge eines Produktionsfaktors steigt, wird die zusätzlich
produzierte Menge immer geringer. Wie passen sinkende Grenzerträge mit
steigenden Skalenerträgen zusammen?
In der mikroökonomischen Analyse unterscheidet man zwischen kurz- und
langfristiger Analyse. Die kurze Frist zeichnet sich dadurch aus, dass ein oder
mehrere Entscheidungsvariablen durch das Management nicht verändert
werden können. Der Bestand an Gebäuden oder Maschinen in einem
Unternehmen ist z. B. kurzfristig gegeben. Unter diesen Umständen ist eine
ceteris paribus Analyse sinnvoll, d. h. wir konzentrieren uns auf die marginale
Wirkung eines Eingriffs in das System und interessieren nur z. B. nur für den
Grenzertrag eines Produktionsfaktors. Damit sind die Ergebnisse unserer
Analyse von der Ausgangslage abhängig und nicht allgemein gültig.
Betriebswirtschaftliche und wirtschaftspolitische Maßnahmen bestehen aber oft
aus der gleichzeitigen Änderung aller Rahmenbedingungen im selben Ausmaß,
z. B. werden zur Ausweitung der Produktionskapazität eines Unternehmens
sowohl die Gebäude als auch die Maschinen und Arbeitnehmer aufgestockt.
Solche Schritte kann ein Unternehmen aber nicht kurz-, sondern nur nur mittelbis
langfristig setzen, weil Umbauten, Installationen, Personalsuche sowie
Einschulungen Zeit kosten. Das Konzept der Skalenerträge wird zum
Verständnis der Reaktion des Produktionsvolumens auf die Veränderung aller
Inputs im gleichen Ausmaß verwendet.
Die Konzept der Skalenerträge kann mit einer einfachen Fragestellung
dargestellt werden (Varian, 1993 Kap. 17): Um wie viel steigt die Produktion
eines Unternehmens, wenn wir gleichmäßig alle Inputs um denselben Faktor
erhöhen? Eine nahe liegende Antwort wäre, dass eine Verdoppelung der Inputs
zur zweifachen Produktionsmenge führt. Wenn ein Zwillingsbetrieb neben das
Originalwerk gestellt wird, sollte die Produktion dieser völlig gleichartigen
Betriebe genau doppelt so hoch sein. Diesen Fall bezeichnen wir als Produktion
mit konstanten Skalenerträgen. Konstante Skalenerträge unterstellen, dass ein
Unternehmen in der Lage sein sollte, das aktuelle Produktionsniveau mit Hilfe
der um den Faktor k vervielfachten Inputs um denselben Faktor k zu vermehren.
Wenn wir eine Produktionsfunktion f(.) für den Output Y mit zwei Inputs x1 und
x2 ganz allgemeinen als
Y = f(x1, x2),
definieren, können wir konstante Skalenerträge unter der Annahme verdoppelter
Inputs mathematisch einfach als
2 f(x1, x2) = f(2x1, 2x2),
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darstellen. Dieser Ansatz kann ganz einfach verallgemeinert werden, indem wir
die Verdoppelung durch eine Vervielfachung um einen beliebigen Faktor k
ersetzen:
k f(x1, x2) = f(kx1, kx2).
Wir haben jetzt gesehen, wie eine Technologie mit konstanten Skalenerträgen
aussieht, wie kann man eigentlich eine Produktionsfunktion mit steigenden
Skalenerträgen darstellen?
Das ergibt sich eigentlich schon durch die Bezeichnung ,,steigend". Darunter
versteht man eine Produktionsfunktion, die auf eine gleichzeitige Steigerung
aller Inputs um einen Faktor k mit einer überproportionalen Erhöhung der
Produktion reagiert:
f(kx1, kx2) > k f(x1, x2) für k>1.
Wie schon gesagt, steigende Skalenerträge sind in diesem Fall rein durch die
Technologie, also die Produktionsmöglichkeiten erklärt! Wenn wir
wirtschaftliche Gesichtspunkte in die Analyse einbringen wollen, müssen wir
Annahmen über die Verhaltensweise der Unternehmen treffen. Ein nahe
liegendes Verhalten für ein Management ist Kostenminimierung.
Wir wissen aber aus dem Dualitätsprinzip, dass die aus einer Kostenminimierung abgeleitete
Kostenfunktion im Grunde dieselbe Information enthält wie die Produktionsfunktion. Damit fasst
die Kostenfunktion alle wirtschaftlich relevanten Eigenschaften einer Produktionsfunktion
zusammen. Aus einer Kostenfunktion kann die dazu gehörende Technologie abgeleitet werden.
Unter bestimmten Regularitätsbedingungen gibt es sogar einen eindeutigen Zusammenhang
zwischen Kosten- und einer bestimmten dazu gehörenden Produktionsfunktion (Varian, 1992).
Das Dualitätsprinzip ist für die empirische Analyse sehr wichtig, weil viele Probleme in der
direkten Analyse der Produktionsfunktion nicht oder schwierig untersucht werden können,
während Kostenfunktionen einen leichten Ansatz bietet.
Die Kostenfunktion für ein Unternehmen ergibt sich aus der Lösung des
Optimierungsproblems mit einer Nebenbedingung:
2211
, 21
min xpxp
xx
+ ,
s.t. f(x1, x2) = Y,
wobei p1 und p2 die Preise der beiden Produktionsfaktoren sind. Die daraus
folgende Kostenfunktion c(p1, p2, Y) zeigt die minimalen Kosten zu denen ein
Produktionsniveau von Y erreicht werden kann (Varian, 1993 Kap. 19). Die
Auswirkung konstanter Skalenerträge auf die Kostenfunktion ist klar erkennbar,
wenn wir von der Produktion einer Einheit von Y ausgehen. In diesem Fall sieht
die Kostenfunktion folgendermaßen aus: c(p1, p2, 1). Der billigste Weg zur
Produktion von Y Einheiten erfordert unter konstanten Skalenerträgen einfach
die Vervielfachung der Inputs um Y gegenüber dem Fall mit einer Output-
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Einheit. Die Kostenfunktion ist dann c(p1, p2, Y) und die Kosten steigen linear
mit dem Produktionsniveau.
Wenn wir steigende Skalenerträge annehmen, steigen die Kosten
unterproportional zur Produktionsmenge, d. h., wenn ein Unternehmen die
doppelte Produktionsmenge erzielen möchte, steigen die Kosten um weniger als
das Doppelte.
Voraussetzung dafür ist selbstverständlich, dass das Unternehmen keinen
Einfluss auf die Inputpreise hat!
Besonders anschaulich wird die Wirkung von Skalenerträgen auf die
Kostenfunktion, wenn wir die Durchschnittskosten (average costs) AC(Y)
betrachten. Dazu dividieren wir einfach die Kostenfunktion durch die Anzahl
der produzierten Einheiten Y:
( ) ( )
Y
Yppc
YAC
,, 21
= ,
und nutzen unser Wissen, dass unter konstanten Skalenerträgen die
Kostenfunktion folgende Form hat: c(p1, p2, Y)= c(p1, p2, 1) Y. Unter konstanten
Skalenerträgen ist die Durchschnittskostenkurve also konstant und von der
Anzahl der erzeugten Einheiten völlig unabhängig:
( ) ( ) ( )1,,
1,,
21
21
ppc
Y
Yppc
YAC == .
Steigende Skalenerträge sind mit sinkenden durchschnittlichen
Produktionskosten bei einer Steigerung der Produktionsmenge verbunden. Es ist
aber klar, dass die Durchschnittskosten in den seltensten Fällen ewig sinken.
Üblicherweise gibt es ein Minimum der langfristigen Durchschnittskostenkurve,
welches die langfristig optimale Produktionsmenge anzeigt.
Wir haben bisher nur allgemeine Produktions- und Kostenfunktionen f(.) bzw.
c(.) benutzt. Eine sehr beliebte Form der Produktionsfunktion ist die CobbDouglas-Funktion,
benannt nach ihren beiden Schöpfern Charles Cobb und Paul
Douglas (1928). Dieser Funktionstyp hat sehr angenehme analytische
Eigenschaften und ist in Anwendungen leicht umsetzbar. Marc Nerlove (1963)
verwendet eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion mit drei Inputs als
Grundlage für seine Schätzung der Skalenerträge in der US
Elektrizitätswirtschaft.
Marc Nerlove untersuchte die Eigenschaften der US-Elektrizitätsindustrie
während seiner Militärzeit. Es war die erste Arbeit in der die dualen
Eigenschaften der Produktions- bzw. Kostenfunktion empirisch umgesetzt
wurden. Nerlove geht von einer allgemeinen Cobb-Douglas
Produktionsfunktion für Elektrizitätsversorgungsunternehmen aus:
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uxxxaY fkl
a
f
a
k
a
l0= ,
wobei die Elektrizitätsproduktion Y in kwh gemessen wird. Strom wird mit
Hilfe von Arbeit, xl, Kapital, xk, und Brennstoffen, xf, erzeugt. Der Lohnsatz, pl,
der Preis für Kapital, pk, und die Brennstoffkosten, pf, bestimmen die Kosten der
Produktion. Die Skalierungsvariable a0 entspricht einer Konstante und die
Variable u beschreibt die Unterschiede in der Effizienz zwischen den
Versorgungsunternehmen. Kostenminimierung unter der Nebenbedingung
dieser Produktionsfunktion impliziert die folgende Kostenfunktion:
( ) rr
a
f
r
a
k
r
a
l
rra
f
a
k
a
l upppYaaaarc
fkl
fkl
111
0
=
,
wobei
r = al + ak + af,
das Ausmaß der Skalenerträge misst. Wenn die Summe der drei Elastizitäten
gleich 1 ist, sind die Skalenerträge konstant. Bei r>1 bestehen steigende
Skalenerträge und für r<1 weist die Kostenfunktion sinkende Skalenerträge auf.
Durch Logarithmieren der Kostenfunktion kann man diesen komplizierten
Ausdruck vereinfachen:
u
r
p
r
a
p
r
a
p
r
a
Y
r
ac f
f
k
k
l
l
log
1
loglogloglog
1
loglog 0 +++++= .
Eine Cobb-Douglas Produktionsfunktion erscheint mir für die
Elektrizitätswirtschaft eigentlich ungeeignet. Sie unterstellt doch eine
Substitutionsmöglichkeit zwischen den Inputs, die z. B. in einem kalorischen
Kraftwerk unmöglich ist. Das Verhältnis zwischen Brennstoff, Kapital und
Arbeit kann doch nicht beliebig verändert werden.
Deshalb verwendet Nerlove auch keine Betriebe als Beobachtungen, sondern
ganze Versorgungsunternehmen, die über mehrere Betriebsstätten verfügen. In
diesem Fall kann die Produktion schon zwischen den Standorten verschoben
werden, sodass jene Technologie eingesetzt wird, die gerade die
Kostenverhältnisse zwischen den Inputs am besten ausnützt.
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4.1 Likelihoodschätzung, Konfidenzintervalle und die Delta Methode
Aus ökonometrischer Sicht ist die obige Gleichung für eine erste Schätzung gut
geeignet: sie ist linear und der Schätzer für die Skalenerträge ist direkt ablesbar
als Kehrwert des Koeffizienten für logY. Die einzelnen Reihen stehen uns im
file 04nerlove.wf1 zur Verfügung, wobei die Variable TC für die Kosten c
steht, die anderen
Variablen sind namensgleich.
Die Variable
ORDER bezeichnet
hier die an
sich unbedeutende
Ordnungszahl aus
einer größeren Gesamtheit
an Betrieben.
Nerlove hat vor allem
nach Maßgabe der
Datenverfügbarkeit
145 davon ausge-
wählt.
Eine erste Kleinst-Quadrateschätzung der obigen Gleichung ergibt folgendes
Resultat:
Dependent Variable: LOG(TC)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -3.526503 1.774367 -1.987471 0.0488
LOG(Y) 0.720394 0.017466 41.24448 0.0000
LOG(PL) 0.436341 0.291048 1.499209 0.1361
LOG(PK) -0.219888 0.339429 -0.647819 0.5182
LOG(PF) 0.426517 0.100369 4.249483 0.0000
R-squared 0.925955 Mean dependent var 1.724663
Adjusted R-squared 0.923840 S.D. dependent var 1.421723
S.E. of regression 0.392356 Akaike info criterion 1.000578
Sum squared resid 21.55201 Schwarz criterion 1.103224
Log likelihood -67.54189 F-statistic 437.6863
Durbin-Watson stat 1.013062 Prob(F-statistic) 0.000000
Wir erhalten also für den Koeffizientenschätzer von logY einen signifikant von
0 verschiedenen Wert von etwa 0.72. De facto sind wir aber an ganz etwas
anderem interessiert, nämlich zunächst an einem Schätzer für den Kehrwert
dieses Koeffizienten, also r^ und dann an einem Test, ob dieser Schätzer
signifikant von 1 verschieden ist, was konstanten Skalenerträgen entspräche.
Um zu verstehen, warum die Informationen aus obiger Ergebnistabelle doch recht direkt dafür
verwendbar wären, muss etwas weiter ausgeholt werden. Wir haben ja schon zur Ableitung
des t-Tests die Annahme normalverteilter Störterme eingeführt. Diese Annahme lässt sich nun
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für die Definition einer neuen Schätzmethode nützen, des so genannten MaximumLikelihoodprinzips.
Auf Basis der Normalverteilung lässt sich nun nämlich die gemeinsame
Dichtefunktion aller Beobachtungen in einem linearen Regressionsmodell y=X+ schreiben
als (22
)-n/2
exp[-2-2
(y-X)'(y-X)], was als Funktion in den unbekannten Parametern
bedingt auf die Daten L(,2
|y,X) interpretiert werden kann. Maximiert man nun diese
Likelihood genannte Funktion (oder einfacher noch ihren Logarithmus) nach den Parametern,
so erhält man dafür quasi jene Werte auf die die Daten am besten passen, die so genannten
Maximum-Likelihood-(ML)-Schätzer. Der unter der Normalverteilungsannahme zu Stande
gekommene ML-Schätzer für die Koeffizienten  entspricht übrigens exakt dem KleinstQuadrate-Schätzer
(für eine Ableitung siehe etwa Hackl, 2005, S.51).
Mit Hilfe des ML-Prinzips lässt sich nun aber gut begründen, warum wir den
Kehrwert 1/0.720394=1.388 als Schätzer für r heranziehen können. Die inverse
Transformation ist nämlich monoton im Parameterraum und hat deshalb keine
Auswirkungen auf die Maximierung der ansonsten unberührten Likelihoodfunktion.
Das Gleiche gilt auch (annähernd) für den korrespondierenden
statistischen Test, d.h. um zu überprüfen ob r^ = 1.388 signifikant von 0
verschieden ist kann einfach der oben angegebene p-Wert herangezogen
werden. Auch ein Test gegen den Wert 1 lässt sich einfach erstellen, zu diesem
Zweck muss einfach eine neue t-Statistik aus (
^
i-1)/^(X'X)-1
ii erstellt werden.
In EViews lässt sich das über die Kommandozeile
bewerkstelligen. Zunächst
muss die obige Gleichung über Name
benannt werden (z.B. eq01). Danach
kann man über die Funktionen
eq01.@coef(2) und eq01.@stderr(2)
auf den Koeffizienten von log Y, respektive
dessen Standardfehler zugreifen und
sich dann direkt über die Verteilungsfunktion
der t-Verteilung in der Kommandozeile
über
show 2*(1-@ctdist(@abs(eq01.@coef(2)-1)/eq01.@stderr(2),140))
der p-Wert bestimmen lassen, welcher in vorliegendem Fall 0 ergibt, also zu einer Ablehnung
der Hypothese konstanter Skalenerträge führte. Der Faktor 2 beziehungsweise die
Verwendung der Absolutbetragsfunktion ergeben sich aus der Notwendigkeit einen
zweiseitigen Test durchzuführen.
Gibt es nicht noch eine Möglichkeit Tests gegen andere Werte als 0
durchzuführen, ohne ständig die Testgrößen oder p-Werte neu bestimmen zu
müssen?
Ja, man kann das so genannte Konfidenzintervall dafür verwenden. Dies
bestimmt sich aus [ 
^
i  ^(X'X)-1
ii t1-a/2], wobei t1-a/2 das t-Verteilungsquantil
für einen ­Fehler mit entsprechenden Freiheitsgraden, nämlich T-m-1
bezeichnet.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 9
In Eviews kann dies etwa für LOG(Y) wieder durch Eingabe in der Kommandozeile von
show eq01.@coef(2)-eq01.@stderr(2)*@qtdist(0.975,140)
show eq01.@coef(2)+eq01.@stderr(2)*@qtdist(0.975,140)
unter Verwendung der Verteilungsquantilfunktion @q?dist(1-/2,Freiheitsgrade) errechnet
werden, was ein Konfidenzintervall von [0.686, 0.755] ergibt.
Das Konfidenzintervall gibt also die Menge jener Werte an gegen die ein
entsprechender t-Test mit einem ­Fehler von 5% zu keiner Ablehnung der
Nullhypothese käme. Da in unserem Fall sowohl 0 als auch 1 außerhalb dieses
Intervalls liegen, kommt es für beide Fälle zu einer Ablehnung.
Haben wir uns die Sache nicht doch ein wenig zu leicht gemacht, indem wir
immer den Koeffizienten von LOG(Y) getestet haben ­ in Wirklichkeit sind wir
doch an seinem Kehrwert also einer Transformation interessiert?
Das ist grundsätzlich richtig und muss beim Errechnen des Konfidenzintervalls
natürlich auch berücksichtig werden (im vorliegenden Fall bleibt dies jedoch fast
­ ohne Konsequenzen). Zu diesem Zweck muss der Standardfehler (bzw.
die Stichprobenvarianz) für den transformierten Schätzwert r^ = f(
^
1)= 1/
^
1
bestimmt werden. Im vorliegenden Fall ergibt sich Vâr(r^) = (f /
^
1)2
Vâr(
^
1 )
= Vâr(
^
1 )/ 
^
1
4
, was ein Konfidenzintervall von [1.322, 1.454] für r zur Folge
hat.
Die obige Varianzformel ergibt sich aus der so genannten Delta-Methode zur Bestimmung der
Standardabweichung von transformierten Zufallsgrößen. Diese motiviert sich aus einer
Taylorreihenentwicklung um den geschätzten Erwartungswert der Größe, also f()  f(
^
)+
(-
^
) f / und damit auch für eine Varianz-Kovarianzmatrix Kov(f,f')  Kov(,')',
wobei  die Matrix mit den Gradientenvektoren gj = fj / für verschiedene
Transformationen f=(f1,...,fj,...) bezeichnet. Nach Einsetzen der Schätzwerte kann man dann in
der Diagonale von Kôv(f,f') die (Delta-)geschätzten Varianzen ablesen. Die Delta-Methode
funktioniert umso besser, umso stärker die wahre Verteilung der Originalparameter um den
Schätzwert konzentriert ist und liefert asymptotisch normalverteilte Zufallsgrößen. Im obigen,
noch dazu einfachen skalaren Fall errechnet sich das korrigierten Konfidenzintervall mit
Standardfehler Vâr(r^) = 0.024 über Eviews also aus
show 1/eq01.@coef(2)-eq01.@stderr(2)*@qnorm(0.975)/eq01.@coef(2)^2
show 1/eq01.@coef(2)-eq01.@stderr(2)*@qnorm(0.975)/eq01.@coef(2)^2
Im nicht-skalaren Fall ist diese Vorgangsweise in Eviews mühsam und mit
Programmieraufwand verbunden. Papke und Wooldridge (2005) allerdings empfehlen einen
einfachen Trick zur Bestimmung des Standardfehlers bei ­ auch nichtlinearen Transformationen
der Parameter. Man schätzt zuerst die Parameter untransformiert und
evaluiert dann den Gradienten an dieser Stelle, anschließend transformiert man die
Regressoren so, dass i = [xi - (
^
i/ 
^
k)xk] für ik und k = xk /
^
k und regressiert den
Regressanden darauf. Der gesuchte Standardfehler lässt sich dann aus der Tabelle in der Zeile
für k ablesen. Da im vorliegenden Beispiel 
^
=(0,1/0.72,0,0,0) gilt, braucht nur die Variable
logY entsprechend multipliziert zu werden:
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Dependent Variable: LOG(TC)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -3.526503 1.774367 -1.987471 0.0488
LOG(Y)*0.720394 1.000000 0.024246 41.24448 0.0000
LOG(PK) -0.219888 0.339429 -0.647819 0.5182
LOG(PL) 0.436341 0.291048 1.499209 0.1361
LOG(PF) 0.426517 0.100369 4.249483 0.0000
R-squared 0.925955 Mean dependent var 1.724663
Adjusted R-squared 0.923840 S.D. dependent var 1.421723
S.E. of regression 0.392356 Akaike info criterion 1.000578
Sum squared resid 21.55201 Schwarz criterion 1.103224
Log likelihood -67.54189 F-statistic 437.6863
Durbin-Watson stat 1.013062 Prob(F-statistic) 0.000000
4.2 Restriktionen, der Wald-Test
Was bei der bisherigen Analyse auffällt ist, dass nicht berücksichtigt wurde, ob
die logarithmierte Kostenfunktion die Homogenitätsbedingung an die Preise
erfüllt, nämlich dass die Koeffizienten aller Preisvariablen sich auf 1 summieren
müssen, damit wie aus dem Modell gefordert gilt, dass r = al + ak + af.
Es handelt sich dabei um eine lineare Restriktion auf den Parametern, d.h. man
kann sie allgemein in der Form H=h darstellen, wobei H eine g×m Matrix mit
den Restriktionskoeffizienten für g Nebenbedingungen darstellt. Solche Nebenbedingungen
können statistisch auf verschiedene Arten überprüft werden. Im
Wesentlichen haben sich dafür drei Arten von Tests etabliert: der Wald-Test,
der Lagrange-Multiplikator (LM) Test und der Likelihood-Ratio (LR) Test. Die
Teststatistik für den Wald-Test basiert auf der Abweichung von der Restriktion
an der Stelle des unrestringierten Schätzers, also d = H
^
-h, da unter der Nullhypothese
erfüllter Restriktionen näherungsweise d ~ N(0,2
H(X'X)-1
H') gilt.
Asymptotisch folgt also die Testgröße TW=d'(H(X'X)-1
H')-1
/^2
einer ChiQuadrat
Verteilung mit g Freiheitsgraden.
Dieser recht einfach zu konstruierende
Test ist in EViews verfügbar. Man
erhält ihn aus dem Gleichungsmenü
über View Coefficient_Tests
Wald_Coefficient_Restrictions. Im
geöffneten Panel muss man dann die
Restriktionen in Gleichungsform
eingeben, wobei c(i) den jeweils i-ten
Parameter bezeichnet. Als Resultat
ergibt sich der folgende Output:
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Wald Test:
Equation: EQ01
Test Statistic Value df Probability
F-statistic 0.026985 (1, 140) 0.8698
Chi-square 0.026985 1 0.8695
Null Hypothesis Summary:
Normalized Restriction (= 0) Value Std. Err.
C(2) - C(3) - C(4) - C(5) 0.077424 0.471323
Restrictions are linear in coefficients.
Der Wald-Test liefert also mit einem p-Wert von 0.87 keine Ablehnung der
Homogenitätshypothese.
Die in EViews nicht direkt implementierten und hier nicht näher behandelten beiden anderen
Tests sind übrigens asymptotisch äquivalent, die Teststatistiken sind also auch asymptotisch
Chi-quadrat verteilt mit g Freiheitsgraden. Allerdings zeigt sich, dass bei linearen Modellen
für kleine Stichproben gilt, dass W  LR  LM gilt, der Wald-Test also am wenigsten an der
Nullhypothese festhält.
Nun haben wir also gezeigt, dass die Homogenitätshypothese von unserer
Schätzung nicht verletzt ist, trotzdem wäre es aber doch modellkonformer,
könnten wir diese gleich bei der Schätzung mitberücksichtigen. Naheliegend
wäre doch diese Bedingung durch Einsetzen eines der als Funktion der anderen
Parameter ausgedrückten drei Preiskoeffizienten in die Gleichung. Nerlove
verwendet dafür zum Beispiel den Brennstoffpreis pf , also af = r - al - ak .
Nach Umformungen ergibt sich somit, was Nerlove Modell A nennt:
( ) ( ) .log
1
logloglogloglog
1
logloglog 0 u
r
pp
r
a
pp
r
a
Y
r
apc fk
k
fl
l
f +-+-++=-
oder
( ) ( ) .log
1
/log/loglog
1
log)/log( 0 u
r
pp
r
a
pp
r
a
Y
r
apc fk
k
fl
l
f ++++=
Bei der Schätzung dieser Gleichung muss angenommen werden, dass für alle
Versorger der Preis des Kapitals bekannt ist, und dass dieser Preis über die
einzelnen Unternehmen schwankt. In Bezug auf die Finanzierungskosten
erscheint diese Annahme unplausibel. Die Kreditzinssätze oder die Zinssätze
von Unternehmensanleihen desselben Sektors sollten keine großen
Unterschiede zeigen. Über unterschiedliche Abschreibungsraten auf das
physische Kapital können jedoch durchaus unterschiedliche Kapitalkosten
zwischen den Versorgern entstehen.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 12
Die entsprechende OLS-Schätzung dieses restringierten Modells A liefert in
EViews nun:
Dependent Variable: LOG(TC/PF)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -4.690789 0.884871 -5.301098 0.0000
LOG(Y) 0.720688 0.017436 41.33398 0.0000
LOG(PK/PF) -0.007381 0.190736 -0.038698 0.9692
LOG(PL/PF) 0.592910 0.204572 2.898291 0.0044
R-squared 0.931585 Mean dependent var -1.484195
Adjusted R-squared 0.930129 S.D. dependent var 1.482087
S.E. of regression 0.391762 Akaike info criterion 0.990874
Sum squared resid 21.64032 Schwarz criterion 1.072991
Log likelihood -67.83836 F-statistic 639.9802
Durbin-Watson stat 1.015369 Prob(F-statistic) 0.000000
Dieses Resultat enthält nun implizit die Homogenitätsrestriktion. Der für uns
relevante Schätzwert des Koeffizienten von log Y ist nahezu unverändert, was
als Modellbestätigung gewertet werden kann. Zudem kann nun definitiv die
Hypothese konstanter Skalenerträge abgelehnt werden.
Wir benennen diese Spezifikation mit eq02, weil wir später noch darauf zurückgreifen werden.
Der Outputtabelle können zwar nach wie vor die Schätzer und Standardfehler für al/r sowie
für ak/r direkt entnommen werden, der Schätzer für af/r muss jedoch aus der Nebenbedingung
bestimmt werden. Durch Einführen der Restriktion haben wir die Matrix H und den
Parametervektor  quasi in zwei Teile H = HŚŚ + HSS=h zerlegt, wobei S nun die
substituierten Parameter bezeichnet. Folglich ergibt sich für den Schätzer 
^
S = HS
-1
(h- HŚ
^
Ś),
was im Fall mit nur einer Bedingung einfach Einsetzen in die Restriktion, also hier
1+0.007-0.593 = 0.414, ergibt.
Zur Bestimmung des Standardfehlers muss man auf die Kovarianzmatrix der Koeffizienten
zugreifen, da ja Var(S) =
HS
-1
HŚ Var(Ś) HŚ'HS
-1
'.
Diese kann man sich
zuerst über VIEW Covariance_Matrix
ansehen. Da
in unserem Fall gilt, dass
h=1, HS=1 und
HŚ=(0,0,1,1), bestimmt
sich der Standardfehler
für af/r einfach zu 0.099
aus:
rowvector(4) hsp
hsp.fill 0,0,1,1
matrix sterr_af=@sqrt(hsp*eq02.@cov*@transpose(hsp)v)
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 13
Hierzu musste in EViews zuerst der
Zeilenvektor hsp definiert und dann
entsprechend befüllt werden. Es ist
auffällig, dass der skalare Wert
sterr_af als 1×1 Matrix gespeichert
werden muss. EViews kennt zwar den
Datentyp Skalar, eine Überführung ist
aber nicht möglich, was diesen Typus
für praktische Zwecke ziemlich obsolet
macht.
Man bemerke überdies, dass auch für die Bestimmung dieser Standardabweichung der
Transformationstrick von Papke und Wooldridge (2005) angewendet werden kann, nämlich
durch Durchführung der nebenstehenden Regression, da ja hier  = (0,0,-1,-1).
4.3 Nichtlinearitäten, Feasible Generalized Least Squares
Damit haben wir nun praktisch ein modellkonformes Schätzresultat. Es stellt
sich nur mehr die Frage wie
zuverlässig dies ist. Eine
erste Inspektion des Standardresidual-diagrammes
in
EViews, durch Klicken auf
die Schaltfläche Resids im
Fenster für equ02 zeigt
verschiedentlich aufälliges
Verhalten: die Reihe der
Residuen weist eine leichte
U-Form auf, die Streuung
der Residuen scheint ebenfalls
abzunehmen und die
Reihe der beobachteten und
der prognostizierten Werte
zeigt einen Trend.
Letzteres kommt offenbar daher, dass die Beobachtungen dem Output nach
geordnet sind und der Trend nur den Skaleneffekt widerspiegelt. Dieser
Skaleneffekt hat natürlich auch Einfluss auf die Anpassungsgütemaße wie das
R2
. Es ist daher empfehlenswert, diese auf Basis der Durchschnittskosten TC/Y,
die von dem Skaleneffekt befreit sind, zu evaluieren. Eine entsprechende
Regression liefert gleich bleibende Koeffizienten, nur für LOG(Y) nun natürlich
1/r-1, das R2
sinkt nun aber von 0.93 auf 0.65.
-2
-1
0
1
2 -6
-4
-2
0
2
25 50 75 100 125
Residual Actual Fitted
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 14
Dependent Variable: LOG(TC/Y/PF)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -4.690789 0.884871 -5.301098 0.0000
LOG(Y) -0.279312 0.017436 -16.01956 0.0000
LOG(PK/PF) -0.007381 0.190736 -0.038698 0.9692
LOG(PL/PF) 0.592910 0.204572 2.898291 0.0044
R-squared 0.653553 Mean dependent var -8.040846
Adjusted R-squared 0.646182 S.D. dependent var 0.658616
S.E. of regression 0.391762 Akaike info criterion 0.990874
Sum squared resid 21.64032 Schwarz criterion 1.072991
Log likelihood -67.83836 F-statistic 88.66281
Durbin-Watson stat 1.015369 Prob(F-statistic) 0.000000
Die erwähnte Nichtlinearität und
Heteroskedastizität in den Residuen lässt sich
dadurch aber nicht erklären, was sehr deutlich
zu Tage tritt, wenn man die aus dieser
Regression entstandenen Residuen gegen
LOGY plottet.
Nein, hierzu muss man wieder etwas Modellierungsarbeit leisten. Die U-Form
erklärt Nerlove dadurch, dass die Skalenerträge für verschiedene Größen von
Unternehmen unterschiedlich sind. Er schlägt deshalb zur Behandlung des
Problems zwei Lösungen vor: zuerst teilt er die Daten in 5 Größengruppen auf
um separate Analysen durchzuführen (dies werden wir im nächsten Abschnitt
besprechen). Dann erweitert er das Modell, in dem er als zusätzliche Variable
das Quadrat von LOGY ins Modell aufnimmt, also
( ) ( )21
20log( / ) log log log log / log /l k
f l f k f
a a
c p a Y Y p p p p
r r
  = + + + + +
schätzt.
Dies motiviert sich aus der ad-hoc Annahme, dass die Skalenerträge invers proportional einer
linearen Funktion der logY entsprechen, also r(Y)=(+ logY)-1
.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 2 4 6 8 10
LOGY
RESID
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 15
Die Nichtlinearität der Residuen soll dadurch abgefangen werden. Man bemerke jedoch, dass
das Modell im statistischen Sinn ein Lineares bleibt ­ die Nichtlinearität beschränkt sich auf
die Regressoren und betrifft nicht die Parameter ­ also weiterhin mittels OLS geschätzt
werden kann. Wir speichern die folgende Gleichung unter eq03, weil wir auch sie später noch
benötigen.
Dependent Variable: LOG(TC/PF)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -3.764649 0.701727 -5.364837 0.0000
LOG(Y) 0.152547 0.061860 2.465992 0.0149
LOG(PK/PF) 0.074166 0.150016 0.494390 0.6218
LOG(PL/PF) 0.480586 0.161072 2.983663 0.0034
LOG(Y)^2/2 0.101028 0.010727 9.417823 0.0000
R-squared 0.958118 Mean dependent var -1.484195
Adjusted R-squared 0.956922 S.D. dependent var 1.482087
S.E. of regression 0.307612 Akaike info criterion 0.513919
Sum squared resid 13.24751 Schwarz criterion 0.616565
Log likelihood -32.25909 F-statistic 800.6873
Durbin-Watson stat 1.665259 Prob(F-statistic) 0.000000
Wie sieht das nun noch mit der Streuung aus? Die Fälle genau spezifizierter und
völlig unspezifizierter Heteroskedastizität haben wir ja schon kennen gelernt.
Hier kann man bestenfalls annehmen, dass die Varianz der Fehler mit steigendem
Output fällt. Hayashi, 2000 schlägt die Spezifikation Var()0+1Y-1
vor.
Ist die Form der Varianz-Kovarianzmatrix V also nicht, wie im vorigen Kapitel,
exakt bestimmbar, aber eine vorgegebene funktionale Struktur bekannt, könnte
man sie ­ etwa aus den OLS-Residuen ­ vorschätzen, um anschließend mit

^
FGLS =(X' V
^-1
X)-1
X' V
^ -1
y den so genannten feasible GLS Schätzer (FGLS) zu
bilden. Im Fall Heteroskedastizität geht es nur um die Diagonale von V und wir
haben also ein einfaches zweistufiges Verfahren: zuerst regressiert man die
Quadrate der Residuen auf die Kehrwerte des Outputs Y.
Dependent Variable: RESID03^2
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0.056497 0.016285 3.469252 0.0007
1/Y 2.137700 0.260265 8.213564 0.0000
R-squared 0.320544 Mean dependent var 0.091362
Adjusted R-squared 0.315793 S.D. dependent var 0.228877
S.E. of regression 0.189320 Akaike info criterion -0.477059
Sum squared resid 5.125414 Schwarz criterion -0.436001
Log likelihood 36.58678 F-statistic 67.46264
Durbin-Watson stat 2.036631 Prob(F-statistic) 0.000000
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 16
Nun kann man sich über series v0=@sqrt(0.056497+2.137700/Y) die geschätzten
Standardabweichungen bestimmen und dann neu mittels WLS mit
Gewichtungsvariable 1/v0 schätzen, was aber hier sowohl bei den
Parameterschätzern als auch in Bezug auf die Varianzstabilisation nur sehr
geringe Effekte hat.
4.4 Chow-Test, Multikollinearität, Ridge Regression
Kommen wir nun zu der von Nerlove zusätzlich durchgeführten, bereits
erwähnten Aufteilung der Daten in Größengruppen. Diese lässt sich einfach
bewerkstelligen, da der Datensatz bereits der Outputgröße y nach geordnet ist,
siehe auch die Variable order. Es würde also genügen, jeweils den sample
Bereich um 29 Beobachtungen zu verschieben (so erhalten wir aus den 145
Beobachtungen fünf Gruppen) und separate Analysen durchzuführen.
Das klingt aber doch sehr umständlich. Wir können doch auch durch geeignetes
Setzen von Dummyvariablen alles in einer Gleichung schätzen.
Das ist richtig, aber auch etwas mühsam,
da wir fünf Dummyvariablen
erzeugen müssen, die in den entsprechenden
Gruppen jeweils den Wert
1, sonst 0 aufweisen.
Per ,,Hand" wäre das zu viel Arbeit. Es gibt
jedoch die Möglichkeit in Eviews kleine
Programme zu definieren, die solche Aufgaben
erledigen. Über New_Program öffnet
sich ein Programmfenster. Hier können
Befehlssequenzen wie in der Befehlszeile
eingegeben werden, welche dann bei der
Programmausführung (durch Klicken auf
Run) hintereinander exekutiert werden. So
kann auch Komplexeres erledigt werden,
nebenstehendes Fenster enthält z.B. den
Code zur Erzeugung der gewünschten fünf
Dummyvariablen mit den Namen q1 bis q5.
Sind diese Dummyvariablen erzeugt, braucht man Sie nur mit den gewünschten
Regressoren inklusive Interzept multiplizieren und diese dann in die Gleichung
aufnehmen. Der entstandene Output enthält dann die entsprechenden Schätzer
für alle Größengruppen. Durch Manipulation mit den Dummyvariablen können
jetzt auch Hypothesen zur Rechtfertigung der getroffenen Aufteilung, etwa
mittels der üblichen Wald- und F-Tests durchgeführt werden.
Ein sehr einfache Version lässt sich ohne Generierung der Dummys bereits im Vorhinein in
Eviews bestimmen: der so genannte Chow-Bruchpunkt-Test überprüft einfach die Hypothese,
ob sich die Koeffizienten des Modells in den einzelnen Untergruppen signifikant voneinander
unterscheiden. Dieser spezifische Wald-Test lässt sich in Eviews im Gleichungsfenster über
View-Stability_Tests-Chow-Breakpoint-Test aufrufen. Im Dialogfenster müssen anschließend
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 17
die Startwerte für die Unterteilungen angegeben werden (hier
siehe die nebenstehenden Einträge). Das Resultat gibt dann
an, ob in den in den fünf Teilgruppen zu je 29
Beobachtungen die gleiche lineare Struktur vorliegt.
Aufgrund der kleinen p-Werte für Gleichung eq02 kann ohne
Zweifel diese Nullhypothese abgelehnt und bestätigt werden,
dass bei den 145 Unternehmen unterschiedliche
Skaleneffekte vorliegen (für Gleichung eq03 ergibt sich
jedoch eine Ablehnung des Chow-Tests).
Chow Breakpoint Test: 30 59 88 117
F-statistic 5.974731 Probability 0.000000
Log likelihood ratio 82.36260 Probability 0.000000
Es bietet sich also nun zumindest eine Analyse des Modells eq02 für die 5
Untergruppen mittels Dummy-Regression an:
Dependent Variable: LOG(TC/PF)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
Q1 -3.343348 1.652646 -2.023027 0.0452
Q1*LOG(Y) 0.400290 0.044370 9.021601 0.0000
Q1*LOG(PK/PF) -0.081356 0.371103 -0.219227 0.8268
Q1*LOG(PL/PF) 0.615173 0.383176 1.605461 0.1109
Q2 -6.488974 1.825601 -3.554432 0.0005
Q2*LOG(Y) 0.658151 0.150263 4.380006 0.0000
Q2*LOG(PK/PF) 0.377936 0.357290 1.057785 0.2922
Q2*LOG(PL/PF) 0.093800 0.354396 0.264675 0.7917
Q3 -7.332942 2.671684 -2.744689 0.0069
Q3*LOG(Y) 0.938279 0.313146 2.996304 0.0033
Q3*LOG(PK/PF) 0.250008 0.295837 0.845087 0.3997
Q3*LOG(PL/PF) 0.402258 0.315467 1.275119 0.2046
Q4 -6.546049 3.025269 -2.163791 0.0324
Q4*LOG(Y) 0.912044 0.279177 3.266899 0.0014
Q4*LOG(PK/PF) 0.093352 0.426200 0.219033 0.8270
Q4*LOG(PL/PF) 0.506958 0.486941 1.041106 0.2998
Q5 -6.714258 2.181091 -3.078394 0.0026
Q5*LOG(Y) 1.044390 0.135455 7.710217 0.0000
Q5*LOG(PK/PF) -0.289436 0.364519 -0.794021 0.4287
Q5*LOG(PL/PF) 0.602588 0.411281 1.465149 0.1454
R-squared 0.961233 Mean dependent var -1.484195
Adjusted R-squared 0.955340 S.D. dependent var 1.482087
S.E. of regression 0.313208 Akaike info criterion 0.643546
Sum squared resid 12.26243 Schwarz criterion 1.054130
Log likelihood -26.65706 Durbin-Watson stat 1.774708
Dabei zeigt sich, dass bis auf die höchste Gruppe (r^=1/1.044=0.96) alle anderen
steigende Skalenerträge aufweisen.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 18
Man bemerke, dass auch die Spezifikation eq03 mit dem zusätzlichen Regressor logY2
/2 in der
Dummyversion geschätzt werden kann. Die aus dieser Gleichung ableitbaren Skalenerträge für
die verschiedenen Firmen an den Medianen der Größengruppen entsprechen aber nicht den in
Nerloves Tabelle 8 wiedergegebenen Werten, weil dieser fälschlicherweise r(Y)=(+logY)-1
zur Berechnung verwendete.
Bei einer Verwendung von Dummies wie oben ist es auch immer nötig, darauf
Acht zu geben, nicht in die sogenannte Dummyvariablenfalle zu tappen, und
damit die Kleinst-Quadrateschätzung unmöglich zu machen. Dies geschieht
dann, wenn man die Dummies so kodiert, beziehungsweise ins Modell aufnimmt,
dass sie untereinander oder mit
anderen Regressoren Linearkombinationen
bilden.
In obigem Beispiel wäre dies etwa bei der
zusätzlichen Aufnahme eines Interzepts der Fall,
da ja dann einfach C=Q1+Q2+Q3+Q4+Q5.
EViews liefert allerdings in einem solchen Fall
die adäquate nebenstehende Fehlermeldung.
Leider kann dieses Phänomen ­ der sogenannten perfekten Kollinearität ­ aber
nicht nur bei der Verwendung von Dummies sondern ganz generell auftreten,
und zwar immer dann, wenn die Designmatrix X´X nicht vollen Rang aufweist,
das heißt singulär ist. In der Regel passiert das jedoch nur, wenn bei der
Festlegung der Regressoren ein Designfehler begangen wird. Allerdings tritt
eine abgeschwächte Form dieses Problems durchaus in der Praxis auf, nämlich
dann, wenn einzelne Regressoren annähernd kollinear sind, also stark
miteinander (multivariat) korrelieren. Dieser Zustand erhielt in der
Ökonometrie den Namen Multikollinearität.
Eigentlich braucht man sich vor diesem Phänomen wohl nicht zu fürchten, da
die Optimalitätseigenschaften der Kleinst-Quadrate Schätzung, also das Faktum
dass diese beste lineare unverzerrte Schätzer liefert, unberührt bleibt. Allerdings
kann Multikollinearität dazu führen, dass dieser Schätzer nur mehr sehr ungenau
ist, das heißt, seine Varianz sehr groß wird.
Am besten lässt sich dieser Effekt an Hand eines zwei-Variablen Modells ohne Interzept
illustrieren. Hier gilt nämlich, dass man den Schätzer für die Varianz des KleinstQuadrateschätzers

^
i für i=1,2 schreiben kann als Vâr(
^
i) = {(1-R2
)my}/{n(1-r2
)mi}, wobei r
den Korrelationskoeffizienten der Regressoren und my und mi die zweiten zentralen
Stichprobenmomente von Regressand und Regressoren bezeichnet. Diese Darstellung zeigt
klar das ceteris paribus potenziell explosive Ansteigen dieser Varianz bei wachsendem r.
Aber nicht nur die geschätzte, auch die tatsächliche Varianz des Schätzers ist
selbstverständlich betroffen, denn man kann sie allgemein schreiben als
( )
2
2
1
^Var( )
(1 )
j T
j ij j
i
R x x


=
=
- -
,
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 19
wobei Rj
2
wieder das Bestimmtheitsmaß aus einer Hilfsregression der einzelnen
Regressoren xj auf alle übrigen Regressoren bezeichnet. Für diese Varianzen
sind also mehrere Faktoren, wie die Störgrößenvarianz, die Varianzen der
Regressoren, die Zahl der Beobachtungen (über die Summierung im Nenner)
verantwortlich; die auf die Multikollinearität zurückzuführenden Faktoren sind
aber
VIFj=(1- Rj
2
)-1
.
Diese werden Varianzinflationsfaktoren genannt und dienen, wie auch die Rj
2
's
selbst, als Indikator für das Ausmaß der den jeweiligen Regressor betreffenden
Multikollinearität.
Es ist sicher hilfreich solche Indikatoren zu haben, aber wie entscheiden wir, ob
wir es diesbezüglich mit einem gravierenden Problem zu tun haben?
Nun, in der ökonometrischen Praxis geistert die durchaus umstrittene Faustregel
herum, die VIF's sollten kleiner als 10 sein, also die Varianz um weniger als
das Zehnfache aufgebläht werden. Für die Rj
2
's hat Lawrence Klein übrigens die
Faustregel aufgestellt, sie mögen den Wert des Gesamtbestimmtheitsmaßes Rj
2
nicht überschreiten.
Die Varianzinflationsfaktoren werden bei einigen Programmen im Standardregressionsoutput
ausgegeben, in EViews müssen sie leider auf recht umständliche Art erzeugt werden. Wir
verwenden in der Folge der Einfachkeit halber die Nerlove Gleichung eq03 ohne Dummies
und Heteroskedastiekorrektur. Zuerst generiert man sich eine Regressorengruppe (mit Namen
groupx). Dafür gibt es an und für sich im Eviews Gleichungsoutput über ProcsMake_Regressor_Group
eine direkte Möglichkeit, doch enthält die entstandene Gruppe
auch noch den hier nicht benötigten Regressanden, den man aber über ViewGroup_Members
(oder Spec) wieder aus der Gruppe entfernen kann. Weil wir in der ersten
Spalte wegen des Interzepts später aber ohnehin ein Element zu viel haben, können wir ihn
vorerst belassen. Danach erstellt man die Kovarianzmatrix der Regressoren über
@cov(groupx). Die Varianzen aus der Diagonale dieser Matrix müssen nun mit den
quadrierten Standardfehlern der Regression multipliziert werden. Weil in Eviews punktweise
Multiplikationen bei Vektoren und Matrizen nicht möglich sind, müssen wir recht umständlich
mit äußeren Produkten und Diagonalextraktionen arbeiten:
vector v1=@getmaindiagonal(eq03.@stderrs*@transpose(eq03.@stderrs))
vector v2=@getmaindiagonal(@cov(groupx))
vector vif=@getmaindiagonal(v1*@transpose(v2))/eq03.@se^2*@regobs
Man beachte, dass zuletzt noch die Normierung SSE2
/T
durchgeführt werden muss.
Aus dem nebenstehenden Resultat (unter Ignorieren der ersten,
bedeutungslosen Zeile) erkennen wir, dass sowohl für die
Variable logY als auch log2
Y/2 die Faustregel Multikollinearität
anzeigt (Klein's Regel wird übrigens für diese beiden Variablen
knapp nicht verletzt).
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 20
Es ist zu bemerken, dass das Verhältnis der geschätzten Varianzen (einmal im Modell mit nur der
jeweiligen Variablen plus Interzept, dann im vollen Modell) diesen Werten selbstverständlich
nicht exakt entspricht. Für den Term log2
Y/2 etwa erhalten wir einen Faktor der quadrierten
Standardfehler von (0.0107272
/0.0027222
)=15.53.
Als weiteres gebräuchliches Indiz für Multikollinearität hat sich übrigens der so genannte
Konditionsindex (CI) durchgesetzt. Dieser errechnet sich als die Quadratwurzel aus dem
Verhältnis des größten zum kleinsten Eigenwert der Designmatrix. Er lässt sich am
einfachsten über die Kovarianzmatrix der Koeffizienten bestimmen, nämlich aus
vector ev=@eigenvalues(@inverse(eq03.@coefcov))
welches einen Wert von CI=(1102187/1.867602)768 liefert, weit über dem
Faustregelschwellwert von hier 30.
Wir haben nun festgestellt, dass in unserer Gleichung vermutlich das Problem
der Multikollinearität vorliegt. Was tun wir also dagegen?
Hier kann ich mit einer Hierarchie von Vorschlägen aufwarten:
1. Nichts tun! Weil es sich bei Multikollinearität in erster Linie nicht um
ein Modellierungs- oder Schätzproblem handelt: es kann zum Beispiel
durchaus sein, dass bestimmte Linearkombinationen der Parameter
außerordentlich gut geschätzt werden können. Für den Zweck der
Vorhersage ist ihr Vorhandensein beziehungsweise Nichtvorhandensein
völlig unbedeutend. Eng verwandt mit diesem Ausweg ist natürlich:
2. Mehr Daten! Es handelt sich hier um ein Problem der Datenqualität,
welches formal völlig dem der zu kleinen Stichproben entspricht. Arthur
Goldberger hat um darauf hinzuweisen, deshalb auch den etwas
euphemistischen Begriff ,,Micronumerosity" eingeführt. Oft ist dies
Erheben zusätzlicher Daten aber nicht durchführbar, deshalb verwendet
man manchmal
3. Schätzer aus anderen Studien (Metaanalysen), bzw. formalisierte
Vorinformation (Bayesverfahren). Wenn selbst dies nicht zur Verfügung
steht, kann man auf verschiedene Arten die Komplexität des Modells
reduzieren, nämlich durch
4. Formalisieren der Beziehungen zwischen den Regressoren (Erstellung
und Schätzung von Gleichungssystemen) oder
5. Spezifizieren der Beziehungen zwischen den Parametern (Einführung
von Restriktionen und bestimmten Lagformen), schließlich
6. das Bilden von Transformationen (zum Beispiel Hauptkomponenten) der
Regressoren.
Der Versuchung Variable wegzulassen sollte man tunlichst widerstehen, sind
diese nämlich von Relevanz, kann dies zu erheblichen Verzerrungen der
Parameterschätzer führen.
Zuletzt sei noch eine ,,neutrale" Maßnahme erwähnt, die zuletzt verstärkt
angewandte wird, so genannte ,,shrinkage-estimators". Die einfachste Variante
davon ist die von Hoerl und Kennard (1970) eingeführte ridge regression. Dabei
wird einfach bei der Bestimmung der Schätzer zur Regularisierung der
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 21
Designmatrix X´X ein Vielfaches der Einheitsmatrix dazu addiert, welches
automatisch die Kollinearität der Regressoren reduziert.
Die Schätzwerte ergeben sich dann also aus:
( )
1
^ ´ T
R X X kI X Y
=
+ .
Wie bestimmt man aber den konkreten Wert des Vielfachen k?
Dies ist genau das Problem bei der Sache. Man kann natürlich das k gerade so
klein wählen, so dass die Multikollinearitätsfaustregeln gerade nicht mehr
verletzt werden. Dann hat man zwar dieses Problem in den Griff gekriegt, aber
man weiß natürlich nicht, wie viel arbiträrer Einfluss durch die Einheitsmatrix
in die Schätzung letztendlich eingeht.
Gut, wir können aber doch das k dann innerhalb dieses Bereichs variieren, um
eine Vorstellung dafür zu gewinnen, ob die eingesetzte Korrektur zu zu starken
Verzerrungen führt, beziehungsweise ab wann die Parameterschätzungen
auffälligen Veränderungen unterworfen sind.
Dazu brauchen wir aber eine Möglichkeit diese Schätzer in EViews zu bestimmen. Es zeigt
sich, dass die Verwendung der Ridge-regression gleichbedeutend mit der Aufnahme der
nichtlinearen Parameterrestriktion ´ =c(k) ist. Durch Auflösen nach dem Interzept und
anschließendem Einsetzen ergibt sich das neue, nun nichtlineare Modell zu
{ } { } { } { }0 0 0 0 0
sign( ) ( ) ´Y c k X   = - + ,
wobei der Index {0} für das Weglassen des Interzepts steht. Dies lässt sich in EViews nun
direkt mit der (nichtlinearen) Kleinst-Quadrate Methode schätzen, wir benötigen hier nur die
algebraische Modellschreibweise, bei der c(1), c(2), ... für die Parameter stehen. Setzen wir
zum Beispiel c(k)=1.5 für unser Modell aus Gleichung eq03 ergibt sich dann:
Dependent Variable: LOG(TC/PF)
Method: Least Squares
Sample: 1 145
Included observations: 145
Convergence achieved after 94 iterations
LOG(TC/PF) =-@SQRT(1.5-C(1)^2-C(2)^2-C(3)^2-C(4)^2)+C(1)* LOG(Y)
+C(2)*LOG(PK/PF)+C(3)*LOG(PL/PF)+C(4)*LOG(Y)^2/2
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) -0.126783 0.048722 -2.602153 0.0103
C(2) -0.484111 0.137611 -3.517969 0.0006
C(3) 1.032177 0.153576 6.720935 0.0000
C(4) 0.143087 0.009481 15.09227 0.0000
R-squared 0.946138 Mean dependent var -1.484195
Adjusted R-squared 0.944992 S.D. dependent var 1.482087
S.E. of regression 0.347604 Akaike info criterion 0.751693
Sum squared resid 17.03682 Schwarz criterion 0.833810
Log likelihood -50.49773 Durbin-Watson stat 1.501916
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 22
Der Wert c(k) ist umgekehrt proportional zu k, das bedeutet, dass jede
Reduktion von c(k) zu einer Reduktion der Multikollinearität führt, aber auch zu
einer potenziell stärkeren Veränderung der Schätzwerte, wie in diesem Fall.
Deshalb wird die Ridge-Regression oft auch als zu rigide kritisiert, siehe etwa
Jensen und Ramirez (2008). Insbesondere erlaubt diese Technik nicht, dass
störende Variable eliminiert werden, was zum Beispiel eine Variante, das so
genannte ,,lasso" von Tibshirani (1996) leistet. Hier lautet die nötige
Parameterrestriktion einfach|i| = c(k).
Nach entsprechender Transformation und der Wahl c(k)=3.6 ergibt sich in
unserem Fall dann:
Dependent Variable: LOG(TC/PF)
Method: Least Squares
Date: 03/20/08 Time: 15:18
Sample: 1 145
Included observations: 145
Convergence achieved after 4 iterations
LOG(TC/PF) =-(3.6-@ABS(C(1))-@ABS(C(2))-@ABS(C(3))-@ABS(C(4)))
+C(1)* LOG(Y)+C(2)*LOG(PK/PF)+C(3)*LOG(PL/PF)+C(4)*LOG(Y)^2/2
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C(1) 0.100061 0.055717 1.795878 0.0747
C(2) -0.154582 0.088768 -1.741419 0.0838
C(3) 0.739026 0.085006 8.693801 0.0000
C(4) 0.108797 0.009991 10.88994 0.0000
R-squared 0.957058 Mean dependent var -1.484195
Adjusted R-squared 0.956144 S.D. dependent var 1.482087
S.E. of regression 0.310375 Akaike info criterion 0.525124
Sum squared resid 13.58286 Schwarz criterion 0.607241
Log likelihood -34.07153 Durbin-Watson stat 1.682427
Dieses Ergebnis entspricht inhaltlich viel stärker der OLS-geschätzen Gleichung
eq03. Zudem wurden die Multikollinearitätsmaße stark reduziert; der größte
VIF-wert beträgt etwa nur noch 13.08.
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Übungsaufgaben
* Erstellen Sie eine Schätzung, bei der nur die Konstante und der
Outputkoeffizient über die fünf Gruppen variieren (Nerlove nennt dies
neutrale Variationen in Skalenerträgen). Testen Sie die zugrunde
liegende Restriktion.
* Da die Datengrundlage für den Preis des Kapitals in der Stichprobe von
Nerlove nicht besonders gut ist, schätzt Nerlove auch eine zweite
Variante der Kostenfunktion. Unter der Annahme, dass der Preis des
Kapitals für alle Versorger gleich hoch ist, kann die Restriktion auf die
Koeffizienten des Outputs und der Preise dazu genutzt werden, die
Elastizität des Outputs auf den Kapitalinput zu schätzen. Unter der
Annahme identischer Kapitalpreise sieht die Kostenfunktion
folgendermaßen aus:
u
r
p
r
a
p
r
a
Y
r
kc f
f
l
l
log
1
logloglog
1
log ++++=
,
wobei die Konstante nun k=loga0+(ak/r)pk ist. Diese Gleichung nennt
Nerlove Modell B.
* Christensen und Greene (1976) analysierten den US-Elektrizitätsmarkt
erneut. Unter Benützung des Workfiles 04ch&h.wf1 versuchen Sie
deren Analyse nachzuvollziehen. Erstellen Sie insbesonders
entsprechende Durchschnittskostenkurven.
Vorabversion von ,,Ökonometrie Praxis" von W.G. Müller & T. Url, 28.01.2009, Kap.4, Seite 24
Literaturhinweise:
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18, 139-165, 1928.
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Hackl, P. ,,Einführung in die Ökonometrie", Pearson Studium, 2004.
Hayashi, F., "Econometrics", Princeton University Press, 2000.
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Problems", Technometrics 12, 55-67, 1970.
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Study of Acquiring-Firm Returns in the Recent ­Merger Wave", National Bureau of Economic
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Mathematical Economics and Econometrics in Memory of Yehuda Grunfeld", Stanford
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Company, New York, 1993.
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