Racionální chování spotřebitele maximalizace užitku vs. minimalizace výdajů Spotřebitel si při nákupu komodit počíná tak, že svůj peněžní příjem rozdělí beze zbytku na nákup s komodit , a to tak, aby dosáhl maximálního užitku. Jinými slovy: komodity kupuje v takových množstvích (ne však nutně všechny dostupné), aby žádoucí hladiny užitku dosáhl co nejlevněji. Bude preferovat - při variantní možnosti dosáhnout hladiny užitku různými kombinacemi komodit - takovou kombinaci, při níž celkový výdaj na pořízení všech užitek mu přinášejících statků (závisející zřejmě na množstvích statků a na jejich jednotkových cenách) bude nejmenší možný. Je tedy mj. zřejmé, že při jinak stejném příspěvku několika komodit k užitku (při shodných mezních užitcích těchto komodit) bude preferovat nákup komodity nejlevnější. Formulace maximalizačního problému Pokud situaci zformalizujeme, máme optimalizační problém řešící nalezení maxima (1A) za podmínky (1B) a za podmínek nezápornosti (1C) pro všechna . Z matematického pohledu jde o úlohu nalezení vázaného extrému (zde maxima) obecně nelineární funkce na množině rozpočtového omezení . Jak je známo, vzhledem k tomu, že omezující podmínka spolu s podmínkami nezápornosti proměnných (1C) představuje kompaktní (tj. omezenou a uzavřenou) množinu, nabývá jakákoliv spojitá a ve všech proměnných rostoucí nelineární funkce svého maxima na hranicích takovéto množiny. Lze tedy rozpočtové omezení stejně dobře psát ve tvaru . Úloha uvedeného typu se standardně řeší s použitím Lagrangeova multiplikátoru. Při této reformulaci nabývá kriteriální funkce tvar (2) , kde je právě zmíněný Lagrangeův multiplikátor. S touto (hodnotou neznámou) veličinou se zachází obdobně jako s jinými proměnnými: v dalším ji budeme považovat za funkci implicitně závislou na „parametrech úlohy“ tzn. na cenách obsažených v cenovém vektoru a na příjmu jednotlivce . Řešení maximalizačního problému (1A) – (1C) Stejně jako v jiných extremálních úlohách postupujeme tak, že všechny parciální derivace extremalizované funkce v (2) podle proměnných [] a položíme rovny nule. Po přeskupení členů dostaneme: (3A) pro[ ] ( derivace podle [ ]) (3B ) ( derivace podle [ ]). Rovnice (3A) a (3B) jsou nutnými podmínkami k tomu, aby pro řešený optimalizační problém existovalo řešení, tedy maximum. Těchto podmínek je právě stejný počet ( ), jako je neznámých veličin modelu (velikostí poptávek po jednotlivých komoditách a pomocná proměnná ). V „lineární situaci“ by se dalo očekávat, že řešení bude dáno jednoznačně. Zde však vztahů (3A) nebude až na výjimky lineárními funkcemi. Jejich podoba závisí na tvaru užitkové funkce , v níž jako argumenty vystupují neznámé . Poznámka 1 Od úlohy lineárního programování se tento problém liší ve dvou směrech: a)Tvar omezení: (1B) je představováno jednou nadrovinou -rozměrného prostoru (omezující množství komodit jen "shora") b) Užitková funkce bude mít zpravidla komplikovanější tvar, než je obvykle lineární funkce problému lineárního programování a problém nalezení optima bude představovat zpravidla komplikovanější analytickou úlohu než je ta, která může být řešena technikami matematického programování ( např. simplexovou metodou ). Z podmínek (3A) tedy plyne, že v rovnovážné situaci (kdy se poptávka spotřebitele po komoditách při maximálním užitku přizpůsobí cenovým relacím) bude platit vztah (4) Vztahy (4) představují soustavu podmínek nutných pro dosažení rovnovážného stavu. Vyjadřují požadavek, aby podíl mezního užitku kterékoliv komodity a její jednotkové ceny byl konstantní pro všechny uvažované komodity. Je odtud vidět, že veličina (uplatňující se jako Lagrangeův multiplikátor) je rovna všem těmto podílovým hodnotám. O rovnováze lze oprávněně mluvit tehdy, jestliže je dosaženo maximálního užitku při daném příjmu a dané množině relativních cen. Jakékoliv vychýlení z rovnováhy vede vždy ke snížení hodnoty užitku spotřebitelem pociťovaného. Jestliže tedy každé představuje mezní užitek (úměrný v rovnovážné situaci ceně -té komodity), můžeme veličině přisoudit interpretaci jako „mezní užitek peněz“ (který je ovšem také funkcí cen , a příjmu ). Za těchto okolností pak platí pro podíl mezních užitků (tedy mezní mírou substituce mezi -tým a -tým statkem) vztah (5A) a podobně (5B) [] Můžeme tedy říci, že mezní míra substituce mezi -tou a -tou komoditou je v rovnovážné situaci rovna podílu jednotkových cen těchto komodit. Cenu [ ]lze interpretovat jako mezní míru substituce mezi -tou komoditou a penězi. Duální úloha – minimalizační problém Maximalizační problém, tak jak byl představen vztahy (1A-1C), může být formulován i obráceným způsobem. Maximalizace účelové funkce (1A) za podmínek (1B)-(1C) má svou duální formulaci následujícím tvaru (6A) za podmínky (6B) opět při pro libovolné . (6C) pro všechna . Maximalizuje-li spotřebitel svůj užitek z komoditní kombinace při rozpočtovém omezení (1B), řeší v podstatě tentýž problém, jako je minimalizace jím vynaložených výdajů spojených pořízením komodit v množstvích, která zaručují dosažení užitku na požadované hladině ^ . V tomto smyslu lze mluvit o dvojici duálních úloh. Řešení minimalizačního problému (6A-6C) Obdobně jako při řešení maximalizační úlohy řešíme i tuto úlohu po reformulací úlohy užitím Lagrangeova multiplikátoru ( zde označeného . Kriteriální funkce má v tomto případě tvar (7) , Opět položíme parciální derivace rovny nule. Dostaneme (8A) , (8B) a odtud (9) neboli pro[ ] Poznámka 2: Mezi Lagrangeovým multiplikátorem (maximalizační úlohy (1)) a Lagrangeovým multiplikátorem (maximalizační úlohy (6)) platí vztah reciprocity (10) Maximalizace užitku a minimalizace s tím souvisejících nákladů vedou k téže (optimální) volbě komoditních množství [ ](parametry úlohy jsou a ), výdaj při prvé z úloh se musí rovnat minimálním nákladům v duálním problému. v Řešením maximalizační úlohy je soustava Marshallových poptávkových funkcí , v nichž příjem a cenový vektor vystupují jako parametry. V duálním minimalizačním problému jsou determinujícími veličinami - argumenty poptávkových funkcí - úroveň užitku a cenový vektor . v Řešení minimalizačního problému tvoří soustava Hicksových (někdy také kompenzovaných) poptávkových funkcí, v nichž jako parametry vystupují hladina užitku¨ a cenový vektor . Z interpretačního hlediska jsou tyto funkce charakteristické tím, že informují o tom, jak jsou poptávky ovlivněny/kompenzovány cenami (při pevném ) . Řešení obou výše definovaných problémů musí být tedy táž. Proto lze psát (11) pro . Každé z těchto řešení přitom můžeme zpět dosadit do výchozího příslušného problému. V prvém případě obdržíme nejvyšší dosažitelný užitek, ve druhém případě nejmenší dosažitelné náklady. Lze tedy psát : (12) (13) Funkce v (12) vyjadřuje maximální dosažitelný užitek (při pevně daném příjmu a cenovém vektoru ). Nazývá se nepřímá užitková funkce (indirect utility function)[1] a je takto definována vztahem (14) Funkce v (13) vyjadřuje minimální dosažitelný výdaj (při požadované úrovni užitku a vektoru cen ). Nazývá se výdajová funkce (expenditure function) a lze ji definovat vztahem (15) Nepřímá užitková a výdajová funkce jsou vzájemně velmi úzce propojeny. Protože platí , můžeme invertovat argument , abychom dostali jako funkci a , což nám dá . Úplně obdobně inverze vztahu povede přímo k relaci . Obě funkce obsahují v podstatě tutéž informaci (zapsanou ale pomocí jiných argumentů, přičemž zůstává v obou ). ________________________________ [1] Pojem nepřímé užitkové funkce zavedl poprvé italský matematik Giovanni Antonelli, nezávisle na něm pak Harold Hotteling [1932]: Edgeworth’s Taxation Paradox and the Nature of Demand and Supply Functions. Journal of Political Economics. 40-1932. s.577-616.