4.1 Výdajová funkce a její vlastnosti Definice 13 Máme dánu spojitou užitkovou funkci , cenový vektor a mějme dále určenu konkrétní velikost užitku (skalární, v ordinálním pojetí). Potom funkci (4.1) nazveme výdajovou funkcí [expenditure function] ve vztahu k užitkové funkci . Argumenty výdajové funkce je cenový vektor a velikost užitku požadovaná spotřebitelem. Výdajová funkce představuje minimální možné náklady (spojené s nákupem nanejvýš statků při exogenně stanovených cenách ) vynaložené na komoditní kombinaci, která poskytuje užitek přinejmenším o velikosti . Spotřebitel přitom nemusí nakupovat všechny komodity a s ohledem na kriteriální funkci v (3.11) dá přednost těm, u kterých dosažení užitku na žádané výši docílí nejlevněji. Definice 13A Výdajová funkce příslušná užitkové funkci s přijatými vlastnostmi (U1) - (U5) má tyto vlastnosti : (V1) je reálná konečná a nezáporná funkce, přičemž pro libovolnou úroveň užitku . (V2) je rostoucí v ^ pro jakýkoliv cenový vektor . je neklesající v a rostoucí aspoň v jedné z cen [ ]pro libovolnou úroveň užitku . (V3) je spojitá v ^ pro jakýkoliv cenový vektor . je spojitá v [ ]pro libovolnou úroveň užitku . (V4) je lineárně homogenní v pro libovolnou úroveň užitku . Znamená to, že platí pro libovolné (V5) je konkávní v cenách pro libovolnou úroveň užitku . Znamená to, že platí pro libovolné dva cenové vektory a libovolné . Vlastnost (V2) konstatuje, že s růstem velikosti užitku požadovaného spotřebitelem (ostře) roste i výdaj na pořízení komodit. Tatáž vlastnost ve vztahu k připouští, že růst některých cen (zpravidla těch, které právě nejsou ve vybírané kombinaci statků pro poskytujících užitek ) nemusí nutně vést k růstu výdajů spotřebitele. Očekávaný (=úměrný) vývoj nákladů na komoditní kombinaci při změně cenového měřítka všech komodit pak vyjadřuje (V4), zatímco vlastnost (V5) obrazně charakterizuje „ne vyšší než lineární“ tendenci vývoje výdajů při růstu kterékoliv z cen , . Vlastnost (V1) zahrnuje matematická omezení funkce proměnných v kontextu ekonomického významu a konstatuje, že kladnou hodnotu užitku nelze dosáhnout zdarma. Spojitost (V3) v užitku i cenách konstatuje, že náklady nemohou skokovitě růst (ani klesat) tehdy, jestliže se jen nepatrně změní některá z cen nebo úroveň užitku . Jestliže máme definovánu výdajovou funkci s výše uvedenými vlastnostmi (jmenovitě vlastností (V2)), máme tím zaručeno, že k této výdajové funkci existuje funkce inverzní, která bude vyjadřovat hladinu užitku v jako funkci výdajů a cen komodit. Význam výdajové funkce spočívá mj. v tom, že pomocí ní lze generovat celý systém poptávkových funkcí v tzv.Hicksově smyslu. Uvedená možnost (pro diferencovatelnou výdajovou funkci) vychází z modifikace tzv. Shephardova lemmatu. Z uvedeného lemmatu vyplývá, že lze psát : (4.2) , kde funkce na pravé straně vyjadřuje Hicksovskou poptávku po komoditě [1]. 4.2 Nepřímá užitková funkce a její vlastnosti Definice 14 Máme dánu výdajovou funkci s cenovým vektorem a současně tím určenu konkrétní velikost výdajů . Potom funkci (4.3) nazveme nepřímá užitková funkce [indirect utility function] ve vztahu k výdajové funkci . Argumenty této funkce jsou tedy cenový vektor a velikost příjmu spotřebitele vynaloženého na nákup komodit v množstvích . Definice 14A Nepřímá užitková funkce příslušná k výdajové funkci s vlastnostmi (V1) - (V5) je charakterizována těmito vlastnostmi: (W1) je reálná konečná a nezáporná funkce, přičemž . (W2) je rostoucí v pro jakýkoliv cenový vektor . Dále je nerostoucí v (pro libovolnou pevnou hodnotu výdajů ) . (W3) spojitá v pro jakýkoliv cenový vektor a spojitá v pro libovolnou pevnou hodnotu výdajů . (W4) je homogenní funkce stupně současně v cenách a výdajích . Znamená to, že platí pro libovolné (W5) je konkávní funkce v pro jakoukoliv úroveň výdajů . Znamená to, že platí pro . (W5*) je kvazikonvexní funkce v pro jakoukoliv úroveň výdajů . Znamená to, že platí pro Prvá z vlastností (W1) konstatuje mj. že s nulovými peněžními prostředky žádný kladný užitek nezískáme: při kladných cenách statků nejsme bez peněz prostě žádné statky schopni zakoupit. (W2) Ve vztahu k se předpokládá, že zvýšený příjem je vynaložen účelně a není alokován do neužitečných komodit. Dle téže (W2), se zvýšením kterékoliv z cen [ ](při neměnných výdajích) užitek nemůže nikdy vzrůst (nemusí však ani nutně klesnout, neboť ke zdražení cen může dojít u nenakupovaných statků).[2] Spojitost (W3) v cenách i příjmu odpovídá reálné situaci, že „nepatrná změna“ kterékoliv z cen [ ]ani příjem nemůže vyvolat skokovitou (nespojitou) změnu užitku plynoucího z nakupovaného spotřebního koše. Vlastnost (W4) lze chápat tak, že pokud by došlo k tomu, že by se všechny ceny i příjem změnily v témže poměru (např. -násobně), nezmění se na situaci viděné očima spotřebitele vůbec nic: při nezměněných relativních cenových poměrech není ze strany spotřebitele zřejmý důvod ke změně poptávkového chování po potenciálně dostupných komoditách. (Spotřebitel se bude řídit stejnými preferenčními hledisky jako dříve.) Konečně poslední z vlastností (W5) interpretována v první verzi (konkávnost) obrazně znamená, že při libovolné změně cen bude užitek z „lineární směsi“ obou cenových vektorů přinejmenším roven „lineární směsi“ dílčích užitků získaných s jedním, resp. druhým cenovým vektorem. Ve vlastnosti se nepřímo odráží „zisk v užitku“ plynoucí z toho, že při cenových změnách lze aspoň něco „ušetřit“ tím, že při substitučních možnostech lze kupovat méně z více zdražených statků a více z méně zdražených (či zlevněných nebo těch, u kterých se cena nezměnila). Druhá interpretace (kvazikonvexnost) pak určuje horní mez, kterou užitek ze směsi nemůže přesáhnout ( ta je dána velikostí užitku z „užitkově příznivější“ cenové situace ). Vlastnost (W5*), která je ... , naopak omezuje dosažený užitek při „promíchání“ cen ze dvou cenových vektorů hodnotou většího z užitků dosaženého při použití každého cenového vektoru samostatně. Poznámka: Všechny zde uvedené vlastnosti lze vyvodit z vlastností U(1) - U(4) přímé užitkové funkce a z vlastností matematické funkce Minimum. Doplněk Konvexnost, konkávnost, kvazikonvexnost a kvazikonkávnost Řekneme, že spojitá funkce n proměnných (definovaná na konvexní množině X ) je pro dva body (aniž víme, zda nebo naopak) (A1) ryze konvexní, jestliže platí ostrá nerovnost (B1) ryze konkávní, jestliže platí ostrá nerovnost (C1) ryze kvazikonvexní, jestliže platí ostrá nerovnost (D1) ryze kvazikonkávní, jestliže platí ostrá nerovnost ve všech případech pro libovolné skalární . (A2) konvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (B2) konkávní, jestliže platí neostrá nerovnost (C2) kvazikonvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (D2) kvazikonkávní, jestliže platí neostrá nerovnost ve všech případech pro libovolné skalární . Je-li známo, ve kterém z obou bodů je hodnota funkce větší, např. platí-li , pak lze výše uvedené definice modifikovat např. takto: (A3) konvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (B3) konkávní, jestliže platí neostrá nerovnost (C3) kvazikonvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (D3) kvazikonkávní, jestliže platí neostrá nerovnost . 4.3 Marshallovské poptávkové funkce a jejich vlastnosti Řešením rovnic (3.1A) s podmínkou (3.1B) pro neznámé , případně i veličinu obdržíme pro každou komoditu Definice 15 Poptávkovou funkci po i-té komoditě [commodity demand function] v Marshalovském tvaru [in the Marshallian form], zapsatelnou ve tvaru (4.4) , která je základní charakteristikou informující o tvaru závislosti spotřebitelovy poptávky na cenovém vektoru a příjmu spotřebitele . Definice 15A Máme-li poptávku po komoditě vyjádřenu zápisem (4.4) s nějakou poptávkovou funkcí proměnných a , pak každá taková poptávková funkce ze soustavy poptávkových funkcí [ ]má následující vlastnosti : (D1M) je reálná konečná nezáporná funkce a platí pro ni . (D2M) je nerostoucí v ceně -té komodity a neklesající v příjmu . (D3M) je spojitá v příjmu a spojitá v . (D4M) Marshallovské poptávkové funkce jsou homogenní stupně současně v cenách a příjmu. Platí tedy . (D5M) Úplná soustava marshallovských poptávkových funkcí je aditivní a součtovatelná. Znamená to platnost rovnosti . (D6M) "Křížové" derivace marshallovských poptávek (podle jednotlivých cen) jsou symetrické, tzn. platí pro všechna (D7M) Matice rozměrů sestávající z prvků je negativně semidefinitní, tzn. pro libovolný vektor , ne však identicky nulový, splňuje kvadratická forma určená maticí podmínku takže lze psát . Přímým důsledkem negativní semidefinitnosti jsou podmínky ). Vlastní cenové pružnosti jsou nekladné. 4.4 Hicksovské poptávkové funkce a jejich vlastnosti Řešením rovnic (3.6A) s podmínkou (3.6B) pro neznámé , (případně i výraz pro Lagrangeův multiplikátor ) obdržíme pro každou komoditu Definice 16 Poptávkovou funkci po i-té komoditě [commodity demand function] v Hicksovském tvaru [in the Hicksian form] , zapsatelnou ve tvaru (4.5) , která je základní charakteristikou informující o tvaru závislosti spotřebitelovy poptávky na cenovém vektoru a na spotřebitelem žádané hladině užitku . Definice 16A Máme-li poptávku po komoditě vyjádřenu zápisem (4.5) s nějakou poptávkovou funkcí proměnných a , pak každá taková poptávková funkce ze soustavy poptávkových funkcí [ ]má následující vlastnosti : (D1H) je reálná konečná a nezáporná funkce a platí pro ni . (D2H) je nerostoucí v ceně -té komodity a neklesající v užitku . (D3H) je spojitá v užitku a spojitá v . (D4H) Hicksovské poptávkové funkce jsou homogenní stupně v cenách [3]. Znamená to, že platí (D5H) Úplná soustava Hicksovských poptávkových funkcí je aditivní a součtovatelná. Znamená to platnost rovnosti (D6H) "Křížové" derivace hicksovských poptávek (podle jednotlivých cen) jsou symetrické, tzn. platí pro všechna (D7H) Matice rozměrů sestávající z prvků je negativně semidefinitní, tzn. pro libovolný vektor , ne však identicky nulový, splňuje kvadratická forma určená maticí podmínku Matice je tvořena prvky , kde [], takže lze psát . Důsledkem negativní semidefinitnosti jsou podmínky . Poslední výrok tvrzení ad (D1) vyjadřuje skutečnost, že s nulovým příjmem nelze pořídit ani nejmenší množství žádného užitečného statku. Dvě vlastnosti obsažené v (D2) charakterizují závisle proměnnou (poptávku) jako monotónní funkce ceny [ ]a příjmu , přičemž zvýšení ceny neznamená nutně snížení poptávky (zájem spotřebitele může být upřen na jiné komodity) a zvýšení příjmu nemusí nutně vést (ze stejného důvodu) ke zvýšení poptávky po -tém statku. Spojitost (D3) ve všech argumentech vylučuje skokovitý přírůstek poptávky při nepatrné změně ceny či příjmu. Vlastnosti uvedené v (D5) vyjadřují úplné rozdělení disponibilního příjmu na nákup (ne však nutně všech) komodit bez ohledu na to, jakou formulaci poptávkových funkcí přijmeme. V podmínkách (D4) je obsažena zásada, že proporční změna důchodu a cen neovlivní nijak chování poptávky po žádné z komodit. Součtovatelnost (D5M) a homogenita nultého stupně (D4M) jsou důležitým nástrojem v teoretické analýze poptávkových vztahů, nicméně častěji se vyjadřují zprostředkovaně v zápisech s derivacemi poptávkových funkcí (místo původních poptávkových funkcí). Z podmínky součtovatelnosti (D5M) takto vyplývají vztahy (platné pro ) : (4.6A,B) takže změna v příjmu a cenách způsobí přeskupení v nákupech, které neporuší výdajové omezení. Získáme je derivováním rozpočtového omezení podle příjmu, resp. podle ceny . Identity (4.6A) a (4.6B) se nazývají Engelova resp. Cournotova agregační podmínka. Z podmínky homogenity nultého stupně (D4M) Marshallovských poptávek obdobně vyplývá, že pro platí (4.7) Ověření: Z podmínky homogenity 0-stupně vyplývá a tedy Speciální volbou dostaneme Chování poptávky spotřebitele vůči každé komoditě jen v závislosti na jeho příjmu (tzn. při pevném cenovém vektoru ) pak udávají Engelovy křivky. 4.5 Engelovy křivky Fixujeme-li ceny v Marshallovské poptávkové funkci (4.4), získáme Definice 17 Engelovu křivku pro i-tou komoditu [Engel curve] zapsatelnou ve tvaru (4.8) , která je charakteristikou informující o tvaru závislosti spotřebitelovy poptávky na jeho příjmu a odvoditelné z poptávkových funkcí poté, co do nich dosadíme jako pevné hodnoty ceny jednotlivých komodit . Definice 17A Máme-li poptávku po -té komoditě vyjádřenou zápisem (4.8) s nějakou Engelovou křivkou ^ jedné proměnné, pak každá tato Engelova křivka má následující vlastnosti : (E1) Engelova křivka je reálná, konečná nezáporná funkce a platí . (E2) Engelova křivka je neklesající v příjmu . (E3) Engelova křivka je spojitá v . (E4) Engelova křivka je konkávní v . (E5) Úplná soustava Engelových křivek je součtovatelná, tzn. platí . (E6) Platí Engelova agregační podmínka Vlastnosti Engelovy křivky jsou vesměs konformní s vlastnostmi Marshallovské poptávkové funkce , pokud při pevném omezíme pozornost na chování poptávky ve vztahu k příjmu. Navíc se předpokládá konkávnost (E4) jako funkce jedné proměnné a úplné vynaložení spotřebitelova příjmu na pořízení komodit (ne nutně všech) při jakékoliv úrovni . Engelova křivka je (jen) slabě monotónní, neboť zvýšení příjmu nemusí nutně vést ke zvýšení poptávky právě po -té komoditě. Tečna k Engelově křivce vyjadřuje hodnotu mezního sklonu ke spotřebě dané komodity, tzn. poměr mezi (limitně chápanou) změnou spotřeby (realizované poptávky) [ ]a změnou důchodu tj. . Připomeňme, že výraz [ ]nazýváme příjmová pružnost poptávky. Na její hodnotě závisí klasifikace ekonomických statků: V rámci nich a) je-li příjmová pružnost poptávky větší než 1, pak jde o luxusní statek . b) je-li příjmová pružnost poptávky v intervalu , jde o normální statek. c) je-li příjmová pružnost poptávky rovna 0, jde o příjmově inertní statek d) je-li příjmová pružnost poptávky menší než 0, jde o inferiorní statek. 4.6 Shephardovo lemma a Royova identita Nejdůležitějším tvrzením, které platí mezi výdajovou funkcí a soustavou Hicksovských poptávkových funkcí v rovnovážné situaci, je Shephardovo lemma. Ronald W.Shephard [1953] je formuloval původně pro vztah mezi nákladovou funkcí (jako obdobou výdajové funkce) a poptávkovými funkcemi (po výrobních faktorech) v teorii produkce. Tvrzení 6 Shephardovo lemma [Shephard lemma] Máme dánu výdajovou funkci příslušnou k užitkové funkci s vlastnostmi (V1), (V2), (V3), (V4), (V5). Potom každou ze soustavy poptávkových funkcí po komoditách získáme tímto způsobem (4.9) což znamená, že tvar poptávkové funkce po komoditě je určen jako parciální derivace výdajové funkce podle ceny této komodity. Toto fundamentální tvrzení je základním východiskem při konstrukci soustavy poptávkových funkcí po užitek přinášejících statcích z výdajové funkce. Důkaz tvrzení 6 Zvolme pevně, ale jinak libovolně cenový vektor , hladinu užitku a příslušný vektor optimálních (ve vztahu ^ ) n komoditních množství . Dále pro jakýkoliv jiný cenový vektor definujme funkci vztahem (4.10) Protože není nutně optimální ve vztahu k , výdaje na pořízení množství při cenách musí vždy být přinejmenším tak velké, jako jsou analogické výdaje na pořízení těch množství, která jsou optimální vzhledem k - tyto minimální výdaje udává výdajová funkce . Tedy je vždy větší nebo nejméně rovna . Dále víme, že je rovna , tj. nabývá svého minima, pokud je rovno . Proto všude tam, kde existují derivace , musí platit v komoditní kombinaci podmínka: (4.11) Protože jsme pevnou hodnotu volili libovolně, je tím vztah (4.9) dokázán. ÿ . Poznámka 1 I když výdajová funkce splňuje všechny vlastnosti (V1),..., (V5), nelze nijak obecně zaručit, že pomocí Shephardova lemmatu odvozený systém poptávkových funkcí splňuje všechny vlastnosti předpokládané u funkcí deklarovaných jako (Hicksovské) poptávkové, tj. (D1H) ,... , (D7H). Poznámka 2 Opačný postup - tzn. sestrojení výdajové funkce integrací systému poptávkových funkcí (aniž trváme na splnění vlastností (D1M),... , (D7M) - není obecně uskutečnitelný, a to ani tehdy ne, jestliže s jistotou víme, že taková výdajová funkce existuje a že ji lze vyjádřit v explicitním tvaru. Pokud lze takovou výdajovou funkci zkonstruovat ze soustavy poptávkových funkcí, říkáme, že tato soustava splňuje tzv. "podmínku integrability". Dalším užitečným tvrzením je věta, která charakterizuje určitou „příbuznost“ struktury mezi funkčními tvary u jednotlivých poptávkových funkcí. Tvrzení 7 Symetrie Hicksovských poptávkových funkcí [symmetry of the Hicksian demand functions] Mějme dánu výdajovou funkci příslušnou k přímé užitkové funkci s vlastnostmi (V1), (V2), (V3), (V4), (V5), která má navíc spojité všechny parciální derivace aspoň do 2. řádu včetně. Potom pro systém poptávkových funkcí vyvozených pomocí Shephardova lemmatu ( 4.9) platí: (4.12) Důkaz tvrzení 7 Okamžitě vyplývá z tzv. Youngovy věty známé z matematické analýzy deklarující nezávislost druhých parciálních derivací na pořadí derivování, jestliže jsou tyto druhé parciální derivace spojité. Pak platí: (4.13) čímž je důkaz tvrzení proveden. ÿ.[] V tomto smyslu lze tedy mluvit o podmínce symetrie každé funkce ze soustavy poptávkových funkcí. Je tedy zřejmé, že všechny poptávkové funkce musí mít formálně příbuznou funkční podobu, která se může u jednotlivých funkcí systému lišit různými hodnotami parametrů těchto funkcí, nemůže jit však o principiálně odlišný funkční typ. (např. jedna poptávková funkce nemůže být logaritmem součtu kvadrátů svých argumentů, zatímco druhá by byla arkustangentou součinu odmocnin těchže argumentů). Uvedená podmínka tedy výrazně snižuje „rozmanitost“ v možných vzájemných odlišnostech jednotlivých poptávkových funkcí. Shephardovo lemma umožňuje generovat Hicksovy poptávkové funkce z výdajové funkce. Pokud bychom chtěli odvodit Marshallovské poptávkové funkce, stačí k tomu substituovat za argument ve výdajové funkci hodnoty nepřímé užitkové funkce , která má argumenty a . Dostaneme (4.14) tzn. soustavu poptávkových funkcí ( pro ) v Marshallovském tvaru. Pokud bychom byli postaveni před opačný problém, tj. vyvodit Hicksovy poptávkové funkce z Marshallovských, potom lze postupovat v inverzním směru. Máme-li dány , , dosadíme za argument -výdaj je plně vynaložen na nákup - hodnotu výdajové funkce . (4.15 ) Vztah mezi nepřímou užitkovou a výdajovou funkcí, jež jsou vzájemně inverzní, lze zapsat identitou (4.16) Obdobou Shephardova lemmatu formulovaného ve vztahu k výdajové funkci pro vyvození poptávkových funkcí (tentokrát v Marshallovském tvaru) z nepřímé užitkové funkce je vztah známý jako Royova identita. Je pojmenována po francouzském ekonomu a matematikovi René Royovi [1943]. Nezávisle na něm ji formuloval jiný francouzský matematik Jean Villé [1941]. Tvrzení 8 Royova identita [Roy-Villé identity] Máme dánu nepřímou užitkovou funkci příslušnou užitkové funkci s vlastnostmi (W1), (W2), (W3), (W4), (W5). Potom soustavu Marshallovských poptávkových funkcí po komoditách získáme tímto způsobem (4.17) To znamená, že Marshallovskou poptávkovou funkci po -té komoditě obdržíme jako záporně vzatý podíl dvou parciálních derivací nepřímé užitkové funkce , a to jednak podle ceny -té komodity, jednak podle spotřebitelova příjmu . Důkaz tvrzení 8 Vztahem (4.7) jsme zapsali, že výdajová funkce a nepřímá užitková funkce jsou vzájemně v inverzním vztahu. Ten můžeme vyjádřit zápisem identity: (4.18) . Když tuto identitu (platící pro libovolnou dvojici pevných hodnot a ) derivujeme podle pevně zvolené ceny , dostaneme uplatněním řetězového pravidla pro derivaci složené funkce (4.19) , neboť při pevném je a , neboť [ ](Kroneckerovo ), a dále , neboť příjem je rozdělen beze zbytku.[] Vztah (4.19) můžeme tedy po substituci přepsat do tvaru (4.20) Ze Shephardova lemmatu dále víme, že [ ]( tj.Hicksovská poptávka po -tém statku). Odtud tedy již snadno odvodíme (4.17) [4] ÿ . Poznámka 3 Jestliže nepřímou užitkovou funkci vyjádříme v normalizovaném tvaru, tzn. argumenty představujícími jednotkové ceny statků dělené příjmem, tj. , kde pracujeme s -členným vektorem normovaných cen , pak lze Royovu identitu zapsat jako (4.21) tedy ve tvaru vyjadřujícím rozpočtovou účast -té komodity na celkovém příjmu jako podíl parciální derivace nepřímé užitkové funkce podle logaritmované ceny této komodity a součtu analogicky vyjádřených parciálních derivací podle všech logaritmovaných cen. */ Podrobněji R.W. Shephard: Cost and Production Functions [1953] nebo tentýž autor: Theory of Cost and Production Functions. Princeton U.P. [1970]. 4.7 Schématické vyjádření vztahů mezi přímou užitkovou, nepřímou užitkovou a výdajovou funkcí a soustavami poptávkových funkcí v Marshallovském a Hicksovském tvaru K vyjádření vztahů mezi ekonomickými funkčními typy může sloužit schéma rozpočtové omezení spotřebitel užitková funkce Minimalizační úloha Maximalizační úloha substituce substituce VÝDAJOVÁ FUNKCE NEPŘÍMÁ UŽITKOVÁ FUNKCE ¬ inverze ® Shephardovo lemma Royova identita derivace podle záporný podíl derivací podle [] SOUSTAVA POPTÁVKOVÝCH FUNKCÍ PO KOMODITÁCH v MARSHALLOVĚ TVARU SOUSTAVA POPTÁVKOVÝCH FUNKCÍ PO KOMODITÁCH V HICKSOVĚ TVARU ¬substituce® 4.8 Problém „integrability“ Poznámka 4 Poptávkové funkce v Marshallovském tvaru lze získat v podstatě třemi způsoby: (A) Z přímé užitkové funkce přímým řešením maximalizačního problému (1A) při rozpočtovém omezení (1B). (B) Z nepřímé užitkové funkce pomocí Royovy identity (4.15) (C) Z Hicksovských poptávkových funkcí (4.5) substitucí (4.13) Jen u druhého způsobu je však zajištěn úspěch. Cesta řešením maximalizačního problému zpravidla nevede k vyjádření Marshallovských poptávkových funkcí v explicitním tvaru a pokud je toto možné, bude zpravidla zejména v obecných n-komoditních případech výsledný výraz pro poptávky komplikovaný (obecně se všemi parametry výchozí přímé užitkové funkce, všemi cenami a příjmem). Ani v případě (C) nemusíme vždy získat explicitní tvar poptávek (Problém je ale méně vážný než v případě (A). Poznámka 5 Poptávkové funkce v Hicksovském tvaru lze získat rovněž třemi způsoby: (A) Z přímé užitkové funkce přímým řešením minimalizačního problému (6A) při užitkovém omezení (6B). (B) Z výdajové funkce pomocí Shephardova lemmatu (4.9) (C) Z Marshallovských poptávkových funkcí (4.4) substitucí (4.13) I zde je úspěch zajištěn jen ve druhém případě. Řešení minimalizačního problému nemusí vést k vyjádření Hicksovských poptávkových funkcí v explicitním tvaru a pokud to tak bude, budou v obecných n-komoditních případech výsledné výrazy pro poptávky komplikované (se všemi parametry přímé užitkové funkce, všemi cenami a užitkem). Ani zde u (C) nemusíme obecně získat explicitní tvar poptávek (byť problém je méně vážný než v (A). Vztah (11) a Shephardovo lemma (4.9) dovolují psát obě soustavy (Hicksovských i Marshallovských) poptávkových funkcí vyjádřeními v parciálních diferenciálních rovnicích (4.22A,B) resp. . Řešením jedné či druhé soustavy (4.22) pro , resp. bychom tedy mohli – aspoň v principu – získat výdajovou, resp. nepřímou užitkovou funkci. Vytvoření výdajové funkce z úplné soustavy Hicksovských poptávkových funkcí z (4.5) je však možné jen za předpokladů (D6H), (D7H), tzn., že matice musí být symetrická a pozitivně semidefinitní. Zpětná rekonstrukce nepřímé užitkové funkce z úplné soustavy marshallovských poptávkových funkcí z (4.4) je možné jen za předpokladů (D6M), (D7M), tzn. pokud Sluckého substituční matice bude symetrická a pozitivně semidefinitní. 4.9 Alternativní vyvození Sluckého rovnice Sluckého rovnici (6.18) odvozenou v části 6 přímo můžeme vyvodit také jiným způsobem, při kterém využijeme Shephardova lemmatu. Vyjdeme přitom z identity , kterou derivujeme podle ceny j-tého statku . Dostaneme tak , Protože však zřejmě , (Kroneckerovo ) a protože dle Shephardova lemmatu (4.9) platí , dostáváme z předchozího , neboli , Poznámka 1 Povšimněme si, že výraz vlevo reprezentuje Hicksovské, zatímco oba výrazy vpravo Marshallovské pojetí. Po přeskupení členů již dostáváme Sluckého rovnici v obvyklém zápisu , resp. , ‹. Zaznamenejme, že důchodový člen je reprezentován Marshallovským zápisem, zatímco substituční člen (obecně definovaný jako ) je vyjádřen v Hicksovské notaci ( s nepřítomností ) . Poznámka 2 Vzhledem k symetrii Hicksovských poptávkových funkcí platí pro Marshallovské poptávkové funkce tato symetrie ‹. ________________________________ [1] Podrobně o nákladových funkcích pojednává monografie R.W. Shephard: Cost and Production Functions [1953] nebo týž autor: Theory of Cost and Production Functions. Princeton U.P. [1970]. [2] Již jsme zmínili, že výdaj ztotožňujeme s příjmem spotřebitele [3] Je-li výchozí (výdajová) funkce homogenní stupně 1, je její derivace (poptávková funkce) homogenní stupně 0. [4] Vzhledem k vlastnosti (W2) je ve výrazu (4.17) čitatel nekladný, zatímco jmenovatel je kladný. Výraz pro Marshallovskou poptávku na levé straně musí být přirozeně nezáporný.