8 Konzistentní výdajové systémy V této části uvedeme několik příkladů schémat s konkrétními funkčními tvary, které mohou dobře sloužit nejen jako ilustrace, nýbrž také jako konkrétní modelové specifikace pro reálné ekonometrické využití - modelování spotřebitelské poptávky. Nejprve uvedeme - v částech 8.1 - 8.3 - schémata vycházející z (prosté) užitkové funkce, poté - v částech 8.4 - 8.8 připojíme několik dalších, jejichž východiskem je nepřímá užitková funkce nebo výdajová funkce. V jednotlivých - vesměs empiricky vícekrát prověřených - modelových formulacích půjde kromě prezentace výchozího funkčního tvaru zejména o odvození příslušného systému poptávkových funkcí. 8.1 Kvadratická užitková funkce 8.2 Cobb-Douglasova užitková funkce 8.3 Stone-Gearyho užitková funkce - lineární výdajový systém 8.4 Poptávkový systém s nepřímou užitkovou funkcí přímý ADDILOG 8.5 Poptávkový systém typu TRANSLOG 8.6 Theil-Bartenův (Rotterdamský) výdajový systém 8.7 Poptávkový systém typu AIDS (Almost Ideal Demand System) 8.8 Poptávkový systém typu PIGLOG 8.1 Rozšířená kvadratická užitková funkce (dvoukomoditní) Další funkční tvar, který bude předmětem vyšetření vhodnosti uplatnění jako užitková funkce, je kvadratická funkce obsahující křížový člen. Mezní užitky jsou v tomto případě lineárními funkcemi obou komodit. Volba kvadratická funkce však není vhodná, protože, jak ukážeme, nelze najít žádnou „konstelaci“ parametrů, která by byla všestranně přijatelná vzhledem k obvyklým požadavkům kladeným na užitkovou funkci. Uvažujme dvoukomoditní kvadratickou užitkovou funkci s křížovým členem (8.1) , kde [1] jejíž (známé) parametry , , [ ]zatím nepodrobíme žádným restrikcím. Funkce zapsaná v (8.1) je spojitá a dvakrát spojitě diferencovatelná při jakékoliv volbě parametrů. Další její vlastnosti však, jsou však hodnotami parametrů silně ovlivněny. Funkci budeme nyní maximalizovat standardním způsobem, tj. použijeme k kritérium (8.2) s Lagrangeovým multiplikátorem . Výpočtem parciálních derivací a jejich následným anulováním získáme nutné podmínky pro lokalizaci rovnovážného bodu, v němž nastává maximum : (8.3A) (8.3B) . Máme tedy soustavu tří rovnic se třemi neznámými , [ ]( a ) : (8.4A) (8.4B) (8.4C) , kterou pro tyto neznámé řešíme. Zvolíme-li kteroukoliv z metod řešení soustav lineárních rovnic (např. komparační metodu s eliminací multiplikátoru ), dostaneme řešení pro obě Marshallovské poptávky (8.5A) (8.5B) (8.5C) , přičemž pro úplnost je uveden i výraz (8.5C) pro neznámou . Tímto jsme získali dvojici Marshallovských poptávkových funkcí po komoditách , , které, jak vidíme, jsou přímo úměrné příjmu a klesají s růstem ceny vlastní komodity . Potud je vše v pořádku. Kvadratická funkce (8.1) a z ní odvozené poptávkové funkce (8.5A), (8.5B) by měly splňovat podmínky, které vyplývají z ekonomického kontextu. Tak např. (vedle podmínky , která zřejmě platí) musí být užitková funkce nezáporná pro všechny kladné hodnoty statků Dále má mít kladné oba mezní užitky a být kvazikonkávní. Poptávkové funkce musí být rovněž nezáporné a měly by splňovat požadavek, aby byly klesající s cenou vlastní komodity. Ukážeme, že v případě kvadratické funkce (8.1) jsou tyto požadavky vzájemně v rozporu a nelze nalézt žádný přípustný obor parametrických hodnot , ve kterém by byly všechny podmínky splněny. A1. Nejprve vyšetříme podmínky pro nezápornost samotné kvadratické funkce. Lze je vyjádřit jako požadavek, aby kvadratická forma s maticí koeficientů byla v (nezáporných) proměnných kladně semidefinitní. To lze zapsat jako (8.6) Tento požadavek je – jak známo z teorie kvadratických forem – splněn právě tehdy, jestliže současně platí podmínky : (8.7) .[2] V jiných situacích nelze (přinejmenším ne pro všechny nezáporné hodnoty komodit , ) nezápornost zaručit. A2. Dále připojíme podmínky, za kterých jsou kladné oba mezní užitky v (8.3A,B) : Dostaneme (8.8A) neboli (8.8B) neboli Pro další rozbor uvažujme dva v úvahu přicházející případy (pro kladná ) : a) : Pak a současně Je zřejmé, že pokud pak obě nerovnosti vzhledem k nezápornosti komoditních množství platí vždy ( pravé strany jsou totiž záporné). Jestliže však máme pak z ( 8.8A), (8.8B) vyplývá, že množina komoditních kombinací, při kterých jsou tyto nerovnosti splněny, je vymezena takovou oblastí komoditního prostoru, ve které (ve vztahu k trojici parametrů) platí b) : Pak naopak , a podobně . Nyní je zřejmé, že pokud nemůže platit ani jedna z nerovností vzhledem k nezápornosti komoditních množství, zatímco jestliže je množina přípustných komoditních množství vymezena nerovnostmi . Odtud vyplývá, že obor přípustných hodnot není omezen pouze tehdy, jsou-li všechny parametry kvadratické funkce kladné. A3. Jako další vyšetříme (postačující ) podmínky stability/kvazikonkávnosti: Pro tento účel se vyjádříme příslušný determinant matice obsahující obě komodity. Dostaneme [3] Přímým výpočtem tohoto determinantu dospějeme k podmínce [] (8.11) což je zřejmě ekvivalentní s podmínkou (8.12A) Zapíšeme-li dále tento výraz jako kvadratickou formu (tentokrát s proměnnými , a s koeficienty ,^ [ ]a ), [ ]dostaneme nerovnost ( 8.12B) , v níž je vyjádřen požadavek na negativní definitnost této kvadratické formy, neboť (8.12B) musí platit pro libovolná kladná , [ ]. Jak je známo z teorie kvadratických forem - viz [Matematický Dodatek č.1] - bude matice kvadratické formy v (8.6B) negativně definitní právě tehdy, bude-li platit (8.13) a současně také [4] neboť jde o dva hlavní minory matice , z nichž první musí být kladný, druhý záporný. Z druhé podmínky plyne tj. .Poněvadž pořadí komodit lze zaměnit, vyplývá odtud (z analogie k ) podmínka . Kvazikonkávní dvoufaktorová kvadratická funkce musí tedy mít záporná znaménka u ryze kvadratických členů. Aby tato funkce byla (aspoň někde) nezáporná, musí nutně platit . Přijatelný tvar takové funkce by z tohoto hlediska mohl být např. , nezáporný v oboru který však na druhé straně nemá všude kladné mezní užitky: , . A4. Poptávkové funkce odvozené v (8.5.A) a (8.5.B) musí být zřejmě dále nezáporné, kterážto vlastnost ovšem nutně neplatí pro libovolnou volbu parametrů : Jmenovatel obou výrazů (8.5.A) , (8.5.B) lze zapsat jako kvadratickou formu tvaru (8.14) , která v případě, že jsou čitatele ve výrazech (8.5.A) , (8.5.B) kladné, musí být pozitivně definitní, naopak v případě, že tyto čitatele jsou záporné, musí být negativně definitní. Pozitivní i negativní definitnost implikují nerovnost neboli , v prvém případě za souběžných podmínek , , ve druhém za opačných podmínek Vyšetříme tedy všechny možnosti ve vztahu k těmto omezením : Nejprve uvažujme případ A) , : Čitatel výrazu (8.5.A) je kladný právě tehdy, když platí , neboli jestliže čili . (Podmínka má význam toliko v případě, že , neboť v opačné situaci platí vždy.) Čitatel v (8.5.B) je kladný právě tehdy, když platí neboli jestliže čili .Podmínka má opět význam jen v případě , Trojici předchozích podmínek lze tedy sloučit do jediné (8.15) případ B) , : Čitatel v (8.5A) je záporný právě tehdy, když platí neboli jestliže . Zde má podmínka význam pouze v případě, že , jinak je splněna automaticky. Čitatel (8.5B) je záporný právě tehdy, když platí , tj.jestliže neboli Zde má, naopak, podmínka význam jen v případě, že , neboť v opačné situaci platí vždy. Sloučením všech tří požadovaných omezení dostaneme (8.16) , tedy pravý opak podmínky (8.15). A5. Poslední úlohou, kterou se budeme zabývat, bude vyšetření podmínek nutných k tomu, aby Marshallovské poptávkové funkce, které jsem odvodili v (8.5 A,B ), byly při rostoucí ceně vlastní komodity klesající. Znamená to vyšetřit znaménka derivací a podobně . Pro první parciální derivaci po úpravách dostaneme : (8.17) Vzhledem ke kladné hodnotě jmenovatele a kladnému je zřejmé, že znaménko derivace (a tedy směr vlivu ceny ) bude určeno znaménkem výrazu , který lze dále poněkud přehledněji zapsat jako kvadratickou formu v proměnných (8.18) Z nutných podmínek pro negativní definitnost kvadratické formy vyplývají dva požadavky:[5] Jednak s důsledkem a dále , z čehož po jednoduché úpravě dostaneme podmínku ( 8.19) Znamená to tedy, že platí[ ]právě tehdy, když bude platit (8.19), neboť tato podmínka pokrývá rovněž podmínku , pokud mají i shodná znaménka. Stejnou úvahou bychom – mutatis mutandis - obdrželi podmínku pro zápornost . Na druhé straně však je podmínka (8.19) protikladná třetí podmínce (8.7) vyžadované pro globální nezápornost kvadratické funkce a rovněž podmínce vyplývající z druhého vztahu v (8.7) nutné pro to, aby byla kvadratická funkce kvazikonkávní. Souhrnně lze tedy konstatovat, že neexistuje žádná konstelace parametrů kvadratické funkce, při které by tato funkce vyhovovala všem požadovaným vlastnostem. V takovém případě říkáme, že příslušný nelineární funkční tvar není globálně teoreticky konzistentní . Nepřímá užitková funkce pro kvadratickou funkci Zabývejme se nyní otázkou, jak vypadá k přímé užitkové funkci tvaru (8.1) , pro [6] s Marshallovskými poptávkami získanými přímým výpočtem (8.5A,B) příslušná nepřímá užitková funkce. Jak známo, výraz pro získáme dosazením (8.5A,B) do (8.1). Takto máme (8.21) neboli (8.22) Algebraickými úpravami výrazu v hranaté závorce postupně obdržíme Po roznásobení výrazů v závorkách a eliminaci shodných členů dostaneme Po seřazení členů a vytknutí máme tj. Dosazením do (8.21) konečně máme (8.23) . Na první pohled je patrné, že nepřímá užitková funkce je kvadratická v příjmu, klesající s cenou každé z obou komodit a homogenní stupně nula v obou cenách a příjmu spotřebitele simultánně. Nezápornost vyžaduje vyšetření vztahů mezi jejími koeficienty obdobně jako tomu bylo u přímé kvadratické užitkové funkce. Spojitost je podmíněna platností nerovnosti , v těch bodech cenového prostoru, kde platí spojitá není. Jde body, kde . Pokud platí tj. , žádný takový případ nastat nemůže a funkce je cenách spojitá všude. Výdajovou funkci dostaneme již snadno z (8.23) dosazeními a . Odtud . a tedy (8.24) . ’ . Je okamžitě patrné, že výdajová funkce je odmocninná v příjmu, rostoucí s cenou každé z komodit a lineárně homogenní v cenách. Přípustnost definice (kladnost výrazu v odmocnině) vyžaduje vyšetření vztahů mezi jejími koeficienty obdobně jako tomu bylo u přímé kvadratické užitkové funkce. Spojitost je podmíněna platností nerovnosti ,vylučujeme tedy koeficienty, pro něž platí . Jednou z možností získání Hicksovských poptávek je dosazení výdajové funkce (8.24) do poptávkových funkcí Marshallovských (8.5A,B) (8.25) K témuž výrazu dospějeme aplikací Shephardova lemmatu na výdajovou funkci (8.24). Po drobné úpravě . 8.2 Mocninná (Cobb-Douglasova) užitková funkce (n-komoditní) Mocninná funkce - s nezbytnými omezeními na parametry - představuje další užitečný funkční tvar - použitelný přímo jako (prostá) užitková funkce. Přestože historicky jde o funkci (tzv. Cobbovu-Douglasovu), která nalezla v mikroekonomii využití nejprve při modelování chování výrobce (odtud též její druhý název spojený s oběma jmény autorů), má příznivé vlastnosti i z pohledu užitkové funkce. Zde uvedeme jen její stručnou prezentaci a odvození jí odpovídající soustavy poptávkových funkcí. Dalšími jejími charakteristikami se budeme zabývat v textu věnovaném teorii produkce. Cobb-Douglasova užitková funkce má mocninný tvar (8.21) ,^ kde je kladná konstanta a , jsou mocninné parametry, zpravidla hodnotami omezené na interval - vyjadřující pro každou komoditu tendenci, s jakou užitek vzrůstá při zvyšování množství této komodity. Z funkčního tvaru je patrné, že rostoucí užitek přináší jakkoliv malý přírůstek množství komodity. Z multiplikativního tvaru (8.21) je rovněž zřejmé, že přítomné statky působí na celkový užitek spotřebitele ve vzájemných interakcích. Jak je patrné, tato funkce splňuje všechny vlastnosti, kterou jsme pro užitkovou funkci přijali definicí 2.8. Jde o konečnou nezápornou funkci, pro niž platí , spojitou v celém definičním oboru, která je - při daných omezeních na parametry - dále rostoucí a kvazikonkávní. Jak lze ihned vidět, mezní míra substituce mezi dvěma komoditami je dána podílem , tzn. není v celém komoditním prostoru konstantní. Okamžitě je patrné, že všechny statky jsou při takto zvolené mocninné specifikaci podstatné (essential) . Nyní pro Cobb-Douglasovu (přímou) užitkovou funkci odvodíme příslušný systém poptávkových funkcí. Obvyklý způsob odvození předpokládá nalezení rovnovážného bodu tak, že se položí všechny mezní užitky rovny , kde je cena -té komodity a Lagrangeův multiplikátor. Po tomto úkonu dostaneme soustavu vztahů (8.22) pro . kde má tvar (8.21). Rozpočtové omezení má obvyklý tvar . Postup vedoucí k vyvození tvarů pro systém poptávkových funkcí vede přes vydělení jednotlivých rovnic v soustavě (8.22) (a zbavení se tak multiplikátoru a funkčního tvaru ). Dostaneme (8.23)[ ]pro a po převedení členů na protilehlé strany rovnic Nyní sečteme (pro pevné ) tyto vztahy pro všechna včetně a dostaneme (8.24) a poptávku po -té komoditě můžeme vyjádřit poptávkovou funkcí ve tvaru (8.25) Pokud přijmeme restrikci , vztah (8.25) se dále zjednoduší na (8.26) Odvodili jsme tedy soustavu poptávkových funkcí, které mají tu vlastnost, že poptávka je lineární funkcí příjmu spotřebitele , přičemž konstanta příslušné úměrnosti je rovna . Cobb–Douglasova funkce je zřejmě konečná, nezáporná a spojitá funkce s vlastností . Je v daném parametrickém oboru rostoucí, což je okamžitě patrné z kladných hodnot mezních užitků (8.22). Vyšetříme ještě, zda je u této funkce rovněž splněna podmínka negativní semidefinitnosti Sluckého substituční matice definované v části 2.6 resp. kvazikonkávnosti. K tomuto účelu sestavíme nejprve matici sestávající z prvních a druhých parciálních derivací užitkové funkce. Mezní užitky jsme již uvedli v (8.22), po dosazení za dostaneme (8.27A) Stejně snadno sestavíme matici druhých parciálních derivací (8.27B) Tyto hodnoty nyní dosadíme do matice a spočteme její determinant . Postupně dostáváme: (Protože každý prvek obsahuje , vytýkáme tento společný člen před determinant.) V dalším označíme výrazem podíl . Abychom ho spočetli, rozložíme ho na součet (nejprve) dvou determinantů podle druhého sloupce. Dostaneme : Jak je vidět, první z obou determinantů součtu má druhý sloupec, který je násobkem prvního sloupce. Uvedené dva sloupce jsou tedy lineárně závislé a tento první determinant je nulový. Druhý z determinantů součtu podrobíme stejnému rozkladu na dva dílčí determinanty podle třetího sloupce a dostaneme Opět vidíme, že u prvního z obou determinantů součtu je třetí sloupec -násobkem prvního sloupce, v důsledku čehož první je determinant nulový. Druhý determinant lze aditivně rozložit podle třetího sloupce na dva dílčí determinanty. Výsledkem procesu, při kterém je vždy první z dvojice součtu determinantů anulován, je jediný determinant Hodnoturesp.znaménko determinantu nyní určíme tak, že užijeme výraz pro determinant symetrické matice, která má nenulové prvky pouze v 1. řádku a 1. sloupci a na hlavní diagonále, u níž navíc prvek v průsečíku všech tří uvedených nenulových řad je roven nule. Obecně můžeme zapsat Rozvojem podle hlavní diagonály a Indukcí lze ukázat, že determinant nabývá velikost (8.28) , což pro případ Cobb-Douglasovy funkce a výrazů substituovaných za a [ ]dává (8.29) tzn. po úpravě vykrácením (8.30A) Protože , dále , budou členy v sumaci záviset na znaménku . S ohledem na zápornost všech bude výraz jako součin záporných hodnot kladný pro sudé a záporný pro liché . Následně bude každý z členů sumace kladný pro liché a záporný pro sudé a konečně celý výraz [ ]kladný pro sudé a záporný pro liché . Dochází tedy ke střídání znamének tohoto determinantu při postupném růstu počtu komodit. Tímto je ověřeno, že Cobb-Douglasova funkce použitá jako přímá užitková funkce je kvazikonkávní. 8.3 Stone-Gearyho (n-komoditní) užitková funkce - lineární výdajový systém Tento výdajový systém se odvodí z užitkové funkce , která má tvar (8.31) kde je vektor nezáporných parametrů (konstant) charakterizujících „prahové úrovně“ užitečnosti každé komodity; je obdobně vektor kladných parametrů charakterizujících míru (degresivní) tendence individuální užitečnosti -té komodity při zvyšování jejího množství. Pro užitek přinášející množství -té komodity je zapotřebí, aby platilo pro všechna . Uvedený výdajový systém byl poprvé použit Kleinem a Rubinem [1947-48]. Má-li být rostoucí v každé proměnné, musí platit (8.32) , z čehož mj. plyne pro všechna . Dále platí: pro resp. Je zřejmé, že má-li být konkávní v jednotlivých komoditách, musí platit . Abychom mohli odvodit rovnovážný bod, musíme položit všechny mezní užitky rovny , kde je cena -té komodity a Lagrangeův multiplikátor, tedy (8.33) pro Dostaneme soustavu vztahů: (8.34) kde má tvar ( 8.28), spolu s rozpočtovým omezením Vzájemným vydělením rovnic v soustavě ( 8.31) dostaneme vztahy (8.35) Sečteme-li (při pevné ) tyto vztahy pro všechna (včetně ), dostaneme tedy poptávku po -té komoditě můžeme vyjádřit poptávkovou funkcí ve tvaru (8.36) V případě, že jednotlivá , dávají jedničkový součet[7] , vztah (8.36) se dále zjednoduší na (8.37A) Jak je patrné, poptávka je lineární funkcí příjmu spotřebitele , přičemž konstanta příslušné úměrnosti je rovna [ ](popř. ) Poznámka: Výraz pro poptávku po je zaručeně kladný, protože při přijatých omezeních je obsah závorky v (8.33), resp. (8.34A) vždy kladný. Dále vyšetříme podmínky nutné k tomu, aby poptávka po byla klesající, jestliže cena této komodity poroste. Derivujme (8.37A) podle . Dostaneme: (8.38) . Poptávka po tém statku je s růstem ceny klesající, protože hodnota derivace v (8.38) je nutně záporná: při kladných a předpokladu platí vždy nerovnost. Příklad 2 Mějme 4-komoditní poptávkový systém popsaný užitkovou funkcí (8.39) Příslušné mezní užitky jsou Vyčíslíme podíly z čehož plyne a po zderivování Analogické výrazy bychom získal i pro pro Jak je z výsledného výrazu patrné, poptávka po 1. komoditě je nepřímo úměrná čtverci ceny této komodity. Vyšetření vlastností funkce typu (8.26) vede ke stejným závěrům jako u Cobb-Douglasovy funkce, neboť ( až na omezení přípustných hodnot komoditního prostoru podmínkami ) oba tyto funkční tvary jsou zcela analogické . 8. 4 Výdajový (n-komoditní) systém „přímý/nepřímý ADDILOG" ( Houthakker H.) Počátkem 60.let vyšetřoval Hendrik Houthakker [1960] nepřímou užitkovou funkci ve tvaru součtu mocnin, která je nazývána též "nepřímý ADDILOG" . Tuto funkci můžeme zapsat ve tvaru (8.41) [8] při , Soustavu poptávkových funkcí po jednotlivých komoditách odvodíme vcelku snadno na základě logaritmického tvaru Royovy identity. Postupně dostáváme (8.42) odkud vyplývá výraz pro podíl poptávek po -té a -té komoditě jako (8.43A) Ten můžeme alternativně zapsat v logaritmovaném tvaru^ (8.43A) Jak je patrné z (8.38), k tomu, aby poptávkové funkce klesaly s rostoucí cenou vlastní komodity , je právě nutné, aby platily podmínky , . Vůči příjmu jsou tyto poptávkové funkce (při daných omezeních na parametry) rostoucí. Jestliže použijeme odlišné definice nepřímého ADDILOGu (pro jednotkový objem výdajů, tj. , a ceny vyjádříme v přímém tvaru), dostaneme jednodušší specifikaci (8.44) opět při , Parametry [ ], budou mít zde však odlišný význam, než u modelu ( 8.xx) . Royova identita pak generuje soustavu poptávkových funkcí příslušných této verzi nepřímého ADDILOGu ( 8.45) a obdobnou cestou jako předtím lze získat rovnice pro rozpočtové účasti jako ( 8.46) neboť z (8.42) plyne, že . Pokud bychom chtěli - např. pro ekonometrické účely - využít z (8.xx) vyvozený podílový tvar , nebude jeho přímé použití výhodné, neboť jde o výraz nelineární v parametrech. Problém nicméně lze zmírnit vzetím logaritmovaného podílu , pro který lze snadno odvodit ( 8.47) což je již tvar lineární v parametrech. Pokud bychom uvažovali funkční typ přímý ADDILOG jako přímou užitkovou funkci, vyšli bychom z tvaru ( 8.48) S ohledem na vlastnosti požadované od užitkové funkce omezujeme hodnoty parametrů opět na , pro všechna . Odvození příslušných poptávkových funkcí bude však nyní podstatně obtížnějším úkolem než v předešlém případě : Mezní užitky u tohoto tvaru sice snadno získáme jako ( 8.49 ) Podmínky vymezující rovnováhu vypadají takto [] ( 8.50 pro Jejich řešení pro , popř. pro podíly je však bez dalších silných restrikcí položených na parametry (např. typu konst.) analyticky neodvoditelné a poptávkové funkce nelze tedy obecně získat v explicitním tvaru. Úpravou obou stran (8.46) sice dostaneme (8.47) pro ovšem individuální ani podílové vyjádření pro [ ]resp. [ ]odtud není možné.^ Aby nedošlo k nedorozumění, zdůrazněme, že přímý ADDILOG jako (prostá) užitková funkce reprezentuje jinou strukturu preferenčních relací než tentýž funkční tvar vzatý jako nepřímá užitková funkce. Přes zmíněný vážný problém s přímý ADDILOGem jako s (prostou) užitkovou funkcí vyšetřeme ještě, do jaké míry by (prostá) užitková funkce tohoto typu splňovala teoretické vlastnosti kladené na tuto ekonomickou funkci. Funkce přímý ADDILOG je zřejmě reálná, konečná, nezáporná a spojitá s vlastností . Funkce je v daném parametrickém oboru rovněž rostoucí, což je okamžitě patrné z hodnot mezních užitků. Kvazikonkávnost ( a současně vlastnosti Sluckého substituční matice) ověříme následovně. Nejprve určíme matici druhých parciálních derivací. Dostaneme ( 8.48) , Tyto hodnoty nyní dosadíme do matice a spočteme její determinant. Postupně dostáváme : Hodnotu, resp. znaménko determinantu je třeba nyní určit. Použijeme k tomu výraz pro determinant symetrické matice, která má nenulové prvky pouze v 1. řádku a 1. sloupci a na hlavní diagonále, přičemž prvek v průsečíku všech tří zmíněných nenulových řad je roven nule. Obecně můžeme zapsat Rozvojem podle hlavní diagonály a Indukcí lze ukázat, že tento determinant nabývá hodnotu ( 8.49) , resp. při vyjádření výrazů substituovaných za a [ ]pro případ mocninné funkce ( 8.50) Vzhledem ke skutečnosti, že , dále , budou členy v sumaci záviset na znaménku S ohledem na zápornost všech bude výraz [ ]jako součin záporných hodnot kladný pro sudé a záporný pro liché . Ze stejného důvodu bude podíl [ ]kladný pro liché a záporný pro sudé . Odtud vyplývá, že – při kladných hodnotách a - bude determinant záporný pro sudé a kladný pro liché , dochází tedy ke střídání jeho znamének při přidávání dalších komodit. Tímto je ověřeno, že pro tento funkční tvar jsou splněny Hicksovy podmínky stability – viz část 2.4 – a rovněž, že funkce typu přímý ADDILOG vzatá jako přímá užitková funkce je kvazikonkávní. 8.5 Výdajový (n-komoditní) systém typu TRANSLOG [Christensen L., Jorgenso D.W, Lau L.] Od počátku 70.let se v matematické ekonomii i ekonometrii setkáváme s tzv. flexibilními funkčními tvary, jejichž nápadným rysem je přítomnost interakčních členů jako vysvětlujících proměnných, s čímž souvisí též poměrně značný počet parametrů jakéhokoliv flexibilního tvaru. Jedním a možná nejtypičtějším představitelem flexibilních tvarů je právě tzv. transcendentní logaritmická funkce (zkráceně TRANSLOG). Lze se s ní setkat jak v prostředí modelování spotřebitelské poptávky, tak i v produkčních schématech. O jejím motivačním vyvození a teoretických vlastnostech pojednáme v oddílu věnovaném této otázce v teorii produkce. Zde se omezíme pouze na zavedení funkčního typu v kontextu modelování spotřebitelské poptávky a na přiblížení jejich vlastností v tomto ohledu. TRANSLOG, který je charakterizován interakcemi v podobě součinů logaritmovaných komodit, může být chápán též jako zobecnění Cobb-Douglasova tvaru. Nejčastěji bývá specifikován v podobě nepřímé užitkové funkce, jejíž tvar je následující : ( 8.51) s těmito omezujícími podmínkami na parametry : Požadavek na homogenitu stupně 0 implikuje podmínku : Jestliže TRANSLOG užijeme v jednodušším tvaru (jako jednotkovou výdajovou funkci), dostaneme poněkud jednodušší vyjádření ( 8.52) se stejnými podmínkami pro parametry. Uplatněním Royovy identity obdržíme pro TRANSLOG nepřímou užitkovou funkci soustavu poptávkových funkcí (v zápisu pro rozpočtové účasti) ( 8.53) ( 8.54) 8.6 Rotterdamský (n-komoditní) výdajový systém ( H.Theil – A.Barten ) Toto modelové schéma poprvé použili v krátkém rozmezí po sobě H.Theil [1965] a A.P.Barten [1966]. Přístup, který zvolili, je v mnoha směrech podobný Stoneově specifikaci (8.28), liší se však tím, že místo zacházení s logaritmy (jak to učinil R. Stone) operují s diferenciály. Logaritmická poptávková funkce (zapsaná jako logaritmovaná mocninná funkce) má tvar ( 8.55) odpovídající mocninné specifikaci ( 8.56) kde [ ]je příjmová pružnost poptávky ( ) a jsou křížové cenové pružnosti poptávky ( ) pro . Jako jsme označili . [ ] Jestliže tuto specifikaci vyjádříme v totálních diferenciálech, získáme tvar ( 8.57) V tomto případě netrváme na předpokladu, že elasticity [ ]a [ ]jsou konstantní. Podobně jako v původní Stoneově analýze se uplatní pro vyjádření Sluckého dekompozice s kompenzovanými křížovými cenovými elasticitami (v zápisu ), takže (8.57) přejde na tvar[] ( 8.58) , kde označuje komoditní rozpočtové účasti . Zápis (8.48) tak odpovídá diferenciálu Stoneovy rovnice tvaru ( 8.59) kde vyjadřuje nějaký obecný cenový index. Avšak v ( 8.49) nelze uplatnit symetrii, protože díky relaci (8.60) restrikce také obsahují proměnné rozpočtové účasti. Tento problém lze obejít násobením (8.35) rozpočtovými účastmi , takže nakonec dostaneme ( 8.61) , kde ( 8.62) [] [ ] (8.63) [] ( 8.64) , kde je -tý prvek Sluckého substituční matice. První rovnost v (8.64) představuje definici , druhá plyne z rozpočtového omezení. Veličinu bychom mohli chápat jako index reprezentující proporční změnu ve skutečných celkových výdajích. Dá se ukázat, že může být považována za míru změny užitku takže - stejně jako ve Stoneově rovnici - (8.x ) reprezentuje Hicksovy poptávkové funkce. Rovnice (8.63) ukazuje, že je mezní sklon ke spotřebě -tého statku. [] 8.7 Výdajový (n-komoditní) systém typu AIDS ( Deaton A., Muellbauer J. ) Před více než 60 lety se zabýval Holbrook Working [1943] odhadem Engelovy křivky specifikované jako logaritmický vztah udávající závislost veličiny účast statku na rozpočtu na výdajích : (8.71) , kde a , jsou parametry. Tato specifikace je již několik desetiletí konvenčně nazývána Working-Leserovým modelem. Abychom mohli uplatnit tuto statickou specifikaci v analýze časových řad, je třeba ji doplnit o účinky cenových změn (během sledovaného období). Parametry , [ ]dříve chápané jako konstantní je proto účelné uvažovat jako funkce cen (nejlépe v podobě nějakého cenového indexu) . Dále popisovaný AIDS-model uvedeme specifikací výdajové funkce tvaru (8.72) kterážto vede k soustavě poptávkových funkcí pro právě ve tvaru (8.71). To snadno ověříme uplatněním Shephardova lemmatu na tvar (8.66*), tj. derivacemi pro . Z dále zřejmých důvodů se ukazuje za nejvhodnější volit pro parametry a interpretované jako cenové agregáty tyto konstrukty (indexy) : (8.73a) tedy cenovou indexní funkci typu TRANSLOG (8.73b) tedy cenovou indexní funkci typu Cobb-Douglas . kde , , [, ][ ] a jsou parametry[9]. Aby výdajová funkce byla lineárně homogenní v cenách , musí tyto parametry - jak lze bez obtíží ukázat - splňovat podmínky (8.74) Nyní zvolené cenové agregáty - parametry , z (8.73a.) - dosadíme do (8.72). Poté, co odvodíme rozpočtové účasti pomocí vztahů , dostaneme po následné substituci za vztahy[10] (8.75) , kde cenový index je definován jako indexní funkce typu TRANSLOG (8.76) kde "neohvězdičkované" parametry [ ]jsou zprůměrované hodnoty "ohvězdičkovaných" : (8.77) [ ]( a tudíž jsou zesymetrizovány) Model reprezentovaný vztahy (8.71) a (8.72) se nazývá model AIDS ( zkratka vytvořená z anglického Almost Ideal Demand System = téměř ideální poptávkový systém). Zvláštností a předností tohoto modelu je, že zachovává obecnost jak modelu Theilova-Bartenova (Rotterdamského) modelu tak TRANSLOG modelu. Jeho základní rovnice (8.71)) může být považována za aproximaci 1. řádu obecně neznámé relace mezi [ ]na jedné straně a veličinami a na straně druhé. Zbývá ještě uvést, do jaké míry ovlivňují podmínky kladené na obecnou výdajovou funkci přípustné hodnoty AIDS modelu. Podmínku homogenity jsme již udali skupinou vztahů (8.74), což pro symetrizované parametry představuje podmínky (8.78) Další podmínka, součtovatelnost individuálních poptávek do celkových výdajů,přináší restrikce (8.79) které jsou však již pokryty podmínkami uvedenými v (8.74) a konečně z podmínek symetrie dostáváme dříve uplatněný požadavek , tj. (8.77). Za zmínku stojí, že čtvercová matice, jejímiž prvky jsou hodnoty , nemusí být obecně negativně semidefinitní. Podmínky negativní semidefinitnosti (Sluckého substituční matice) jsou splněny, jestliže výdajová matice , jejímiž prvky jsou hodnoty , je definována jako (8.80) kde [ ]je použito pro označení Kroneckerova . Z interpretačního hlediska jsou na AIDS modelu nejzajímavější parametry , na základě nichž lze posoudit, zda jsou příslušné statky nezbytné ( , [ ]klesá[ ]) nebo luxusní. ( , roste). Parametry pak udávají míru změny -té výdajové účasti při jednotkové proporcionální změně , pokud se poměr nemění. alternativní obecnější specifikace AIDS modelu : Dle modelu uvažovaného Workingem tedy platí : (8.81) , který má obecné řešení pro výdajovou funkci ve tvaru[] (8.82) kde , přičemž (8.83) Výdajová funkce tedy představuje užitkem vážený geometrický průměr lineárně homogenních funkcí a reprezentující výdajové funkce velmi chudého ( ) a výdajové funkce velmi bohatého ( ) spotřebitele. Celý systém poptávkových rovnic tzv. Working-Leserovy třídy může být generován vhodnou konkretizací funkcí a . Jestliže zvolíme pro TRANSLOG specifikaci cenové indexní funkce (8.84) a pro (8.85) s obvykle přijímanými omezeními , a , dostaneme AIDS-výdajový systém ("Almost Ideal Demand System") [Deaton a Muelbauer 1980], pro který platí (8.86) , jehož cenová indexní funkce má TRANSLOG tvar (8.87) 8.8 Výdajový (n-komoditní) systém typu PIGL(OG) Jinou možností, jak zvolit přijatelný tvar výdajové funkce, je nahradit geometrický průměr obecnou mocninou -tého řádu.Touto modifikací dostaneme výdajovou funkci ve tvaru (8.88) kde Tato tzv. PIGL-třída[11] [Muelbauer] se mj. vyznačuje Engelovými křivkami zapsanými v ekvivalentním Box-Coxově tvaru (formulovaném pro ) (8.89) , Uvedenou konkretizaci, nazývanou též „zobecněný Workingův model“ prezentovali poprvé Tran van Hoa [1983], Ironmonger a Manning [1983]. 8.7 Exponenciální užitková funkce Mějme dvoukomoditní užitkovou funkci ve tvaru s mezními užitky Porovnáním dostaneme : a odtud neboli . Dosazením do rozpočtového omezení máme: a tedy neboli Analogicky bychom dostali druhou Marshallovskou poptávku Nepřímá užitková funkce bude mít tvar Kvazikonkávnost Funkce tedy není (v souladu s očekáváním) kvazikonkávní. ________________________________ [1] V případě připuštění nulových hodnot proměnných by již funkce nebyla dvoukomoditní. [2] Pozitivní semidefinitnost je ekvivalentní s nezápornými hlavními minory matice kvadratické formy. [3] K nahrazení mezních užitků výrazem jsme oprávněni, neboť kvazikonkávnost vyhodnocujeme v rovnovážném bodě. [4] Negativní definitnost je ekvivalentní se střídajícími se hlavními minory matice kvadratické formy. [5] Třetí podmínka je zřejmě splněna vždy. [6] V případě připuštění nulových hodnot proměnných by již funkce nebyla dvoukomoditní. [7] Tento předpoklad je docela realistický pro případ, že užitková funkce (mocninného tvaru) obsahuje všechny v úvahu přicházející statky poskytující pro danou situaci spotřebiteli užitek. Jak víme z rozboru Cobb-Douglasova tvaru (podrobně analyzovaného v teorii produkce), může být v tomto případě užitek (vyjádřený lineárně homogenní užitkovou funkcí) rozložit na součet n výdajových účastí beze zbytku. [8] Podílový tvar pro parametry [ ]je použit toliko za účelem zjednodušení následných výrazů, ve kterých vystupují mezní užitky jako parciální derivace užitkové funkce . [9] Jak patrno, indexní cenová funkce je tvaru TRANSLOG, zatímco indexní funkce je Cobb-Douglasova. [10] Jde o Marshallovské poptávkové funkce. [11] Zkratka pro Price Independent Generalized Linear