Vzorový zkušební test z Matematické mikroekonomie - verze 00/2010 1. indexní čísla 1. Zapište výraz pro zřetězené Edgeworthovo indexní číslo a spočtěte jeho velikost pro následující hodnoty: statky 1, 2, 3 : p[1] p[2] p[3] q[1] q[2] q[3] jedn.ceny/množství v roce 2001 v US$ /t: 5 8 2 10 12 20 jedn.ceny/množství v roce 2002 v US$ /t: 4 10 3 16 14 22 jedn.ceny/množství v roce 2003 v US$ /t: 3 12 4 12 10 24 2A. Vytvořte – po vzoru Fisherova indexu – analogické konstrukty z obou v něm vystupujících (cenových) indexních čísel, tentokrát však průměrkovaná aritmetickým, resp. harmonickým způsobem. Vyšetřete, zda tato indexní vyhovují testům záměny faktorů a záměny období. Komentujte zjištěné výsledky ve vztahu k Fisherovu cenovému indexu. 2B. Vytvořte – po vzoru konstrukce Stuvelova indexního čísla (prvního typu) – analogický index tak, že – při zachování požadavku na platnost testu záměny faktorů – vztáhnete druhou podmínku ne k Laspeyresovým (cenovému, resp. množstevnímu) indexům, nýbrž k indexům Paascheho. Zjistěte, zda takto získaná indexní dvojice vyhovuje testům silné identity a proporčnosti. 2. teorie hodnoty/užitku 3A. Mějme užitkovou funkci tvaru [ ]. Spočtěte oba mezní užitky a mezní míru substituce mezi statky . Nechť má spotřebitel příjem 24 [15] a jednotkové ceny komodit jsou p[1] = 3[3], p[2] = 8[15]. Nalezněte pro tuto situaci rovnovážný bod, charakterizujte jeho povahu ve vztahu k Hicksovým podmínkám stability a určete poptávkové funkce po komoditách v tomto bodě, případně i výdajovou funkci (v Hicksově pojetí) . Uveďte, zda tvar poptávkových funkcí je v souladu s očekáváním, resp. s mikroekonomickou teorií. Zjistěte, zda je přímá užitková funkce homogenní nějakého stupně. Pokuste se zjistit povahu vztahu mezi oběma statky. 3B. Odvoďte pro užitkovou funkci tvaru příslušné poptávkové funkce po statcích a odvoďte k ní nepřímou užitkovou funkci nebo výdajovou funkci. Dále ve vztahu k rozpočtovému omezení najděte rovnovážný bod a ověřte splnění Hicksových podmínek stability .Situaci znázorněte jednoduchým obrázkem. 4. Vyšetřete realističnost vlastností tranzitivity, úplnosti, konvexnosti a spojitosti u (neostré) preferenční relace srovnávající prvky (komoditního) květinového prostoru, tvořeného řezanými květinami, z nichž se má sestavit větší kytice ( např. předávaná k narozeninám ). Omezme se v uvažování na kytice do hodnoty 600 Kč. (Představte si přitom větší květinářství s nabídkou cca 20 druhů řezaných květin). Ztotožněme případnou rozdílnost hodnocení užitku pro příjemce a dárce. Při sestavování kytice budou naše preference (odděleně) posuzovat estetičnost provedení kytice (včetně „vyváženosti kompozice“) a sladění vůní (pokud ta-která květina vydává vůni). Poznámka 1: Jak se osobně díváte na tranzitivitu a úplnost při posuzování vůní). Poznámka 2: Uvažování „spojitosti“ v diskrétním prostoru (květina pro účely sestavení kytice je nedělitelná) modifikujme tak, zda přidání květiny vede vždy k vyšší preferenci nové kytice ( berme přitom v úvahu, že kytice k narozeninám má mít počet květin lichý). 3. teorie produkce 5. Máme dánu nepřímou produkční funkci tvaru Odvoďte (pomocí Royovy identity) poptávkové funkce po výrobních faktorech a vyšetřete, pokud je to možné, vztah obou výrobních faktorů (derivací poptávkových funkcí podle cen faktorů). Vyvoďte rovněž nákladovou funkci. 6A. Máme dánu nákladovou funkci tvaru kde konstantu 4 můžeme interpretovat jako úroveň fixních nákladů. Pokuste se odvodit nutné podmínky pro minimalizaci nákladů. Dále vyšetřete splnění teoretických podmínek kladených na nákladovou funkci a odvoďte poptávkovou funkci po výrobním faktoru [ ]. 6B. Spočtěte mezní produktivity, pružnosti produkce vzhledem k pracovní síle a ke kapitálu a mezní míru substituce mezi oběma těmito faktory u produkční funkce tvaru ( zobecněná Leontiefova produkční funkce ) Spočtěte dále u této produkční funkce (s využitím vztahu pružnost substituce Prověřte dále, zda lze tento vzorec korektně uplatnit.