Makroekonomické modelováni - přednáška 4
1    Chování v prostředí nejistoty
Teorie očekáváneho užitku
• Prostředí nejistoty - preference spotřebitele podle seřazení jednotlivých loterií (her), podle oCekavane hodnoty užitku
• 1 statek, spotreba c, užitková funkce u(c)
• 2 loterie, i = A,B.
• Loterie i prinese cj jednotek spotreby s pravdepodobností pi a cj jednotek spotreby s pravdepodobností (1 — pi), kde 0 <pi < 1.
Definice
OCekavaní užitek z loterie i (souCet pravdepodobnosti x užitek)
piu(cj) + (1 — pi)u(ci) Spotrebitel striktne prefereuje loterii A pred B
PAu(c\) + (1 — pa)u(c2a) > Pbu(cB) + (1 — Pb )u(c|) preferuje B pred A pokud < a je indiferentní pokud =.
1.1    Chování v prostředí rižiká
Spotrebitel, (kterí maximalizuje užitek) je rizikove averzní, když je jeho užitkova funkce (striktne) konkavní. Pokud je u(c) striktne konkívní, implikuje to Jensen-ovu nerovnost
u[E(c)] > E[u(c)] (1)
kde E je operator ocekívíní (noůžete chípat jako strední hodnotu). Jensenova nerovnost ním ríkí, že spotrebitel preferuje ocekavanou hodnotu loterie (s jistotou) pred loterií samotnou. Je rizikove averzní - je ochoten zaplatit za vyhnutí se riziku. Pokud spotrebitel obdrží konstantní spotrebu č s jistotou, tak potom (1) platí jako rovnost. V prípade, že spotreba je nahodna velicina, potom platí (1) se striktní nerovností. Vezmi tecnu k funkci u(c) v bode (E(c), u(E[c]). Tecna je díana funkcí
g(c) = a + f3c když vezmeme ocekavíní (a a (3 jsou konstatny)
a + (E[c] = u(E[c]) (2)
Protože u(c) je striktne konkavní, pak mame
a + (3c > u(c) (3)
1
pro c > 0 a se striktní nerovností pokud c = E(c). Dále pro striktní nerovnost. Operátor očekávaní je lineární operátor, mUžeme vzít očekávání rovnice (3) a vzhledem k tomu, že c je níhodní veličina dostaneme
a + (3E[c] > E[u(c)]
nebo použítím rovnice (2) dostaneme
u[E(c)] > E[u(c)]
Ukazali jsme, že Jensenova nerovnost platí.
Příklad
Loterie prinese spotrebiteli ci s pravdepodobností p a c2 s s pravdepodobností 1 — p. kde 0 < p < 1 a c2 > c1.
u(pci + (1 — p)c2) > pu(ci) + (1 — p)u(c2)
Užitek z očekávané hodnoty loterie u[E(c)] > očekávaný užitek ze hry E [u (c)]
Bod AB označuje očekavany uzitek pro danou pravdepodobnost p. Jensenova nerovnsot je fakt, ze AB lezí pod funkčí u(c). Vzdalenost DE je disutilita spojení s rizikem. Vzdalenost roste s vetsím zakrivením uzitkove funkče - vetsí averze k riziku.
1.1.1 Měření averze k riziku
Pri maximalizači očekavaneho uzitku jsou vybery delane v podmínkačh nejistoty invariantní (nemenne) pri afinníčh transformačíčh uzitkovyčh funkčí.
v (c) = a + f3u(c)
kde a, (3 jsou konstanty, (3 > 0. Pak platí
E [v(c)] = a + (3E[u(c)]
protoze E je lineírní operítor. Z toho vyplíví, ze loterie jsou serazeny stejnym zpusobem, az uvazujeme funkči v(c) nebo transformovanou u(c). Jakekoliv merítko averze vuči riziku by melo zahrnovat druhou derivači u"(c), protoze averze roste, kdyz se zvysuje zakrivení funkče. Ale, pro transformovanou funkči v (c) míme
v"(c) = (u"(c)
Druha derivače není invariantní vuči afinním transformačím. Merítko, které naopak je invariantní vuči afinním transformačím je:
1.1.2 Absolutní averze vuči riziku
ARA(c) = —
u'(c)
napr. funkče, kterí mí konstatní ARA pro vsečhna c je
u(c) = —e-ac
(empiričky + experimentalne, uzitkova funkče s klesajíčí ARA)
2
1.1.3   Relativní averze vůči riziku
RRA(c) = -c^^l u'(c)
např. funkce s konstatní RRA (CRRA) pro všechna c je
c1-7 - 1 u(c) = ~L=Y~
U meziCasoveho výberu, tzv. ISO elastická funkce, elasticita intertemporainí substituce a = -.
7
Speciainí prípad je logaritmicka funkce (RRA(c) = 1). Důchodový a substitucní efekt se výkratí.
Rizikové neutrální spotřebitel
Uzitkova funkce je lineární ve spotrebe u(c) = (3c, (3 > 0. Riziko zde nehraje zadnou roli.
ARA(c) = RRA(c) = 0
Anomálie
Teorie ocekavaneho užitku - výsvetluje chovíní lidí v riziku (napr. pri nakupu pojistení). Teorie se bezne v ekonomii pouzíví, ale existují urcite jevý, které nejsou s touto teorií konzistenstní. napr. Allaisuv paradox.
3