Bayesiánská analýza
V. Nelineární regresní model
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 1 / 42
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 2 / 42
Úvod
Pátá kapitola z Koop (2003) resp. učebního textu.
Doposud:
yi = β1 + β2xi2 + . . . + βkxik + i .
Cobb-Douglasova produkční funkce:
y = α1xβ2
1 · . . . · xβk
k .
Logaritmování
ln(yi ) = β1 + β2 ln(xi2) + . . . + βk ln(xik) + i .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 3 / 42
CES funkce
CES produkční funkce:
yi =


k
j=1
γjx
γk+1
ij


1
γk+1
.
Model:
yi =


k
j=1
γjx
γk+1
ij


1
γk+1
+ i .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 4 / 42
Obecně
Předpoklady:
1 ∼ N(0N, h−1
IN).
2 Všechny prvky matice X jsou pevná čísla (tj. nenáhodné proměnné)
nebo náhodné veličiny nezávislé se všemi prvky vektoru + p(X|λ),
kde λ je vektor parametrů, který neobsahuje žádný s ostatních
parametrů modelu.
Obecně pracujeme s modelem:
y = f (X, γ) + .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 5 / 42
Nelineární regresní model
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 6 / 42
Nelineární regresní model
Věrohodnostní funkce
Z normality náhodných složek:
p(y|γ, h) =
h
N
2
(2π)
N
2
exp −
h
2
{y − f (X, γ)} {y − f (X, γ)} .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 7 / 42
Nelineární regresní model
Apriorní hustota
Obecně p(γ, h).
Neinformativní varianta:
p(γ, h) =
1
h
.
Uniformní rozdělení pro γ a ln(h).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 8 / 42
Nelineární regresní model
Posteriorní hustota
Součin věrohodnostní funkce a apriorní hustoty:
p(γ, h|y) ∝ p(γ, h)
h
N
2
(2π)
N
2
exp −
h
2
{y − f (X, γ)} {y − f (X, γ)} .
Marginální hustota pro γ (při neinformativní apriorní hustotě):
p(γ|y) ∝ {y − f (X, γ)} {y − f (X, γ)}
−N
2 .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 9 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 10 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus
Obecný algoritmus
1 Zvolíme počáteční hodnotu, θ(0).
2 Vygenerujeme kandidátský výběr θ∗ ze zvolené kandidátské hustoty
q(θ(s−1); θ).
3 Spočítáme akceptační pravděpodobnost (acceptance probability),
α(θ(s−1), θ∗).
4 Přiřadíme θ(s) = θ∗ s pravděpodobností α(θ(s−1), θ∗) a θ(s) = θ(s−1) s
pravděpodobností 1 − α(θ(s−1), θ∗).
5 Opakujeme Krok 1, 2 a 3 celkem S krát.
6 Spočítáme průměr S výběrů g(θ(1)), . . . , g(θ(S)).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 11 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus
Akceptační pravděpodobnost
1 Princip: procházet hlavně oblast vysoké hustoty (ale nejen ji) +
tendence vracet se do této oblasti.
2 Více zamítat kandidáty z oblasti nízké hustoty.
3 Podoba akceptační pravděpodobnosti:
α(θ(s−1)
, θ∗
) = min
p(θ = θ∗|y)q(θ∗; θ = θ(s−1))
p(θ = θ(s−1)|y)q(θ(s−1); θ = θ∗)
, 1
4 Kandidátská hustota: q (obecně nemusí být symetrická).
5 Potřeba dobré volby kandidátské hustoty!
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 12 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Independence Chain M-H algoritmus
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 13 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Independence Chain M-H algoritmus
Princip
Kandidátské hustoty nezávislé na výběrech.
q(θ(s−1); θ) = q∗(θ).
Užitečný v případech, kdy existuje vhodná aproximace posteriorní
hustoty (kandidátská hustota).
Zjednodušení kandidátské hustoty:
α(θ(s−1)
, θ∗
) = min
p(θ = θ∗|y)q∗(θ = θ(s−1))
p(θ = θ(s−1)|y)q∗(θ = θ∗)
, 1 .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 14 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Independence Chain M-H algoritmus
Souvislost s importance sampling
Pokud definujeme váhy:
w(θA
) =
p(θ = θA|y)
q∗(θ = θA)
.
q(θ(s−1); θ) = q∗(θ).
Akceptační pravděpodobnost:
α(θ(s−1)
, θ∗
) = min
w(θ∗)
w(θ(s−1))
, 1 .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 15 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Independence Chain M-H algoritmus
Volba kandidátské hustoty
Není obecné pravidlo.
Obvykle využití „klasické“ metody maximální věrohodnosti (maximal
likelihood).
Klasická ekonometrie: ML estimátor asymptoticky normální s
kovarianční maticí
var(θML) = I(θ)−1
.
Informační matice:
I(θ) = −E
∂2 ln(p(y|θ))
∂θ∂θ
.
Záporný inverzní Hessián: var(θML).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 16 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Independence Chain M-H algoritmus
Volba kandidátské hustoty – pokračování
Pokud velikost vzorku dostatečně velká + relativně neinformativní
apriorní hustota ⇒ posteriorní hustota aproximativně normální se
střední hodnotou θML a kovarianční maticí aproximativně var(θML).
Někdy maximalizace posteriorní hustoty → θmax a kovarianční maticí
aproximativně var(θmax) (lepší v případě informativního prioru).
q∗(θ) = fN(θ|θML, var(θML)) dobrá × obvyklejší
q∗(θ) = ft(θ|θML, var(θML), ν) (důležitost konců hustoty; nejméně tak
tlusté jako posteriorní hustota).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 17 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Independence Chain M-H algoritmus
Další otázky
Konvergenční diagnostiky.
Problémy: multimodální rozdělení nebo posterior jen v omezené
oblasti (např. gama rozdělení).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 18 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Random Walk Chain M-H algoritmus
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 19 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Random Walk Chain M-H algoritmus
Princip
Pokud nenalezneme dobrou aproximaci posteriorní hustoty.
Kandidátské výběry dle:
θ∗
= θ(s−1)
+ z.
z: increment random variable.
θ∗ a θ(s − 1) vstupují do vztahu symetricky ⇒
q(θ∗; θ = θ(s−1)) = q(θ(s−1); θ = θ∗) (Metropolis algoritmus).
Akceptační pravděpodobnost:
α(θ(s−1)
, θ∗
) = min
p(θ = θ∗|y)
p(θ = θ(s−1)|y)
, 1 .
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 20 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Random Walk Chain M-H algoritmus
Volba z
Obvykle vícerozměrné normální rozdělení.
θ(s−1) je střední hodnota.
Potřeba kovarianční matice Σ!
q(θ(s−1)
; θ) = fN(θ|θ(s−1)
, Σ).
Problém s akceptační pravděpodobností (v průměru).
Není obecné pravidlo, z praxe pro dimenzi blížící se k nekonečnu, 0.23.
Jiné pravidlo: zhruba 0.5.
Použití konvergenčních diagnostik!
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 21 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Random Walk Chain M-H algoritmus
Volba Σ
Snadné experimenty pro skalární Σ.
Jinak obvyklé Σ = cΩ, kde c skalár a Ω odhad posteriorní kovarianční
matice → experimenty s různými c.
Nalezení Ω jako odhadu var(θ|y):
První způsob: začít s Σ = cIp a najít c pro které neextrémní akceptační
pravděpodobnost (0.000001 nebo 0.99999) → hrubý odhad Ω a volba
Σ = cΩ a hledání nové hodnoty c (nalézání lepších Ω a následně Σ).
Alternativně: Ω = var(ΩML).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 22 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Metropolis-within-Gibbs
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 23 / 42
Metropolis-Hastings algoritmus Metropolis-within-Gibbs
Princip
Kombinace Gibbsova vzorkovače a M-H algoritmu.
V nelineárním regresním modelu volba neinformativní nebo nezávislé
gama apriorní hustoty pro h implikue p(h|y, γ) jako gama hustotu.
p(γ|y, h) není známá hustota ⇒ M-H algoritmus.
Následně p(h|y, γ) jako gama rozdělení → platné výběry γ(s) a h(s)
pro s = 1, . . . , S.
Obecně: systém plně podmíněných posteriorních hustota, kdy z
některých výběry snadné, z jiných M-H algoritmem.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 24 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 25 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Princip
Analýza kvality modelu, alternativa k posteriornímu podílu šancí.
Rozlišení mezi aktuálně pozorovanými daty y a pozorovatelnými daty
y◦ generovanými modelem → y◦ náhodný vektor rozměru N × 1 s
funkcí hustoty pravděpodobnosti p(y◦|θ) .
Funkce g(·)→ p(g(y◦)|y) jako souhrn veškeré informace z modelu o
g(y◦) po shlédnutí dat.
Snadno g(y) pro pozorovaná data → pokud g(y) je z odlehlého
konce p(g(y◦)|y), potom model nemůže dobře vysvětlovat g(y), tedy
g(y) není tím typem charakteristiky dat, které lze přijatelně generovat
modelem.
Formální získání pravděpodobnosti okrajových oblastí způsobem
podobným p-hodnotě z klasické statistiky.
Posteriorní predikční p-hodnota je pravděpodobnost modelu generovat
datovou sadu, která bude mít extrémnější vlastnosti než ta, kterou
skutečně pozorujeme (jednostranná nebo oboustranná p-hodnota).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 26 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Výpočet
p(g(y◦)|y) možno spočítat použitím simulačních metod:
p(g(y◦
)|y) = p(g(y◦
)|θ, y)p(θ|y)dθ = p(g(y◦
)|θ)p(θ|y)dθ.
Díky podmíněnosti vektorem parametrů θ, aktuální data nepřinášejí
žádnou dodatečnou informaci o y◦.
Posteriorní simulátor poskytuje výběry z p(θ|y) a jsme tak schopni
simulovat výběry z p(g(y◦)|θ) pro daný posteriorní výběr parametrů θ.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 27 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Využití
Posteriorní predikční p-hodnotu lze využít dvěma způsoby:
1 Jako měřítko souladu modelu s daty, tedy jaká je pravděpodobnost, že
data byly generována dle tohoto modelu.
2 Pro porovná různých modelů, tedy jestliže jeden model poskytuje
posteriorní predikční p-hodnoty výrazně nižší než druhý model, potom
je to důkaz v neprospěch tohoto druhého modelu.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 28 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Příklad pro test normality – úvod
Příklad z úvodu (pro i = 1, . . . , N):
y◦
i = f (Xi , γ) + i .
Z předpokladů na náhodnou složku:
p(y◦
|γ, h) = fN(y◦
|f (X, γ), h−1
IN).
Zjednodušení pro neinformativní apriorní hustotou (h lze
vyintegrovat):
p(y◦
|γ) = ft(y◦
|f (X, γ), s2
IN, N),
kde
s2
=
[y − f (X, γ)] [y − f (X, γ)]
N
.
Nalezení příslušného percentilu, který vytváří g(y) v rámci hustoty
p(g(y◦)|y).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 29 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Příklad pro test normality – definice
Možnosti volby g(·): analýza reziduí z hlediska vlastností (splnění
předpokladů).
V bayesovském kontextu jsou chyby i pro i = 1, . . . , N dány jako
i = yi − f (X, γ)
Předpoklad normality = nulovost
Skew =
√
N N
i=1
3
i
N
i=1
2
i
3
2
Kurt =
N N
i=1
4
i
N
i=1
2
i
2 − 3.
Nepozorujeme i → na základě posteriorního simulátoru:
E[Skew|y] = E



√
N N
i=1[yi − f (Xi , γ)]3
N
i=1[yi − f (Xi , γ)]2
3
2
y



.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 30 / 42
Posteriorní predikční p-hodnota
Příklad – praktický postup
1 Vezmeme výběr γ(s) využitím posteriorního simulátoru.
2 Vygenerujeme reprezentativní datovou sadu y◦ z p(y◦|γ(s)) užitím
odpovídajících vztahů.
3 Definujeme
(s)
i = yi − f (Xi , γ(s)) pro i = 1, . . . , N a vyhodnotíme
hodnotu šikmosti v tomto bodě, abychom získali Skew(s).
4 Definujeme
◦(s)
i = y
◦(s)
i − f (Xi , γ(s)) pro i = 1, . . . , N a vyhodnotíme
hodnotu špičatosti v tomto bodě, abychom získali Skew◦(s).
5 Opakujeme Krok 1, 2, 3 a 4 celkem S krát.
6 Spočítáme průměr S výběrů Skew(1), . . . , Skew(S) pro odhad
E[Skew|y].
7 Spočítáme podíl S vzorků Skew◦(1), . . . , Skew◦(S), které jsou menší
než odhad E[Skew|y]. Odhad p-hodnoty, pokud výsledek menší než
0.5 (jinak jedna mínus).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 31 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 32 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Princip
Pro porovnání nevnořených modelů, či vnořených modelů, kdy nelze
snadno využít Savage-Dickey density ratio.
Obecnější metoda vyhodnocení posteriorního podílu šancí.
Porovnání různých funkčních vztahů f (·).
Princip: inverzi marginální věrohodnosti pro model Mi , který závisí na
vektoru parametrů θ, lze zapsat jako E[g(θ)|y, Mi ] pro specifickou
volbu g(·).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 33 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Metoda Gelfanda a Deye
Nechť p(θ|Mi ) označuje apriorní hustotu, p(y|θ, Mi ) věrohodnostní
funkci a p(θ|y, Mi ) posteriorní hustotu pro model Mi definovaný v
oblasti Θ. Pokud f (θ) je funkce hustoty pravděpodobnosti definovaná
na oblasti obsahující Θ, potom
E
f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ, Mi )
y, Mi =
1
p(y|Mi )
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 34 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Důkaz
E
f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ, Mi )
y, Mi
=
f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ, Mi )
p(θ|y, Mi )dθ
=
f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ, Mi )
p(θ|Mi )p(y|θ, Mi )
p(y|Mi )
dθ
=
1
p(y|Mi )
f (θ)dθ
=
1
p(y|Mi )
.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 35 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Problémy
Na první pohled lze pro jakoukoliv p.d.f f (θ) nastavit:
g(θ) =
f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ, Mi )
.
Následné využití výsledků posteriorního simulátoru k odhadu
E[g(θ)|y, Mi ].
Pro úspěch potřeba obezřetné volby f (θ).
Geweke (1999): f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ,Mi ) musí být shora omezena, tedy musí
nabývat konečných hodnot pro jakoukoliv volbu θ.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 36 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Geweke (1999) – úvod
Strategie definování f (θ) jako funkce normální hustoty
pravděpodobnosti s ohraničenými okraji.
Důvod: obtížné ověřit, zda-li f (θ)
p(θ|Mi )p(y|θ,Mi ) je konečné na okrajích
hustoty normálního rozdělení → odříznutím je f (θ) pro tyto
potenciálně problematické oblasti nulová.
Formálně: θ a Σ jsou odhady E(θ|y, Mi ) a var(θ|y, Mi ) z posteriorní
simulace.
Pro určitou oblast pravděpodobnosti p ∈ (0, 1) označuje Θ oblast
definičního oboru funkce f (θ):
Θ = {θ : (θ − θ) Σ−1
(θ − θ) ≤ χ2
1−p(k)}.
χ2
1−p(k) je (1 − p) procentní kvantil rozdělení chí-kvadrát s k stupni
volnosti (k je počet prvků vektoru θ).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 37 / 42
Metoda Gelfanda-Deye
Geweke (1999) – dokončení
Geweke doporučuje f (θ) jako funkci vícerozměrné normální hustoty
pravděpodobnosti omezené do oblasti Θ:
f (θ) =
1
p(2π)
k
2
|Σ|−1
2 exp −
1
2
(θ − θ) Σ−1
(θ − θ) 1(θ ∈ Θ).
1() je indikační funkce + očekává se, že nejlepších výsledků
dosahujem při volbě nízkých hodnot p (např. p = 0.01) (při odhadu
marginální věrohodnosti zahrnujeme mnohem více vzorků).
Dodatečný náklad zkoušení různých hodnot p je velmi malý.
Standarní způsob spočítání NSE – využití pro vyhodnocení přesnosti
odhadu marginální věrohodnosti (např. balík BACC).
Metoda pro jakýkoliv model: nutný posteriorní simulátor a známé
p(θ|Mi ) a p(y|θ, Mi ) (netriviální, někdy známe jen jádrové hustoty).
Gewekova implementace jen v případě Θ ∈ Θ (pokud ne, nabízeny
další postupy).
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 38 / 42
Predikce
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 39 / 42
Predikce
Princip
Využijeme výběry z p(γ|y), které nám poskytuje M-H algoritmus.
Tvorba vzorků z podmíněné predikční hustoty p(y∗|y, γ(s)).
Lze ověřit:
p(y∗
|y, γ) = ft(y∗
|f (X∗
, γ), s2
IT , N).
Výběry z y∗ podmíněné vektorem γ lze tedy získat velmi snadno.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 40 / 42
Empirická ilustrace
Obsah tématu
1 Nelineární regresní model
2 Metropolis-Hastings algoritmus
Independence Chain M-H algoritmus
Random Walk Chain M-H algoritmus
Metropolis-within-Gibbs
3 Posteriorní predikční p-hodnota
4 Metoda Gelfanda-Deye
5 Predikce
6 Empirická ilustrace
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 41 / 42
Empirická ilustrace
Příklad
CES produkční funkce.
Bayesiánská analýza (BAAN) V. Nelineární regresní model Podzim 2011 42 / 42