Makroekonomické modelování - cvičení 3
1 Teorie
Uvažujte domácnost, která žije čtyři období a její užitková funkce je ln(ci) + ln(c2) + ln(c3) + ln(c4)
Její důchod v těchto čtyřech obdobích je yi — 10, y? — 40, j/3 — 20 a j/4 — 10. Předpokládejme, že úroková míra je dána exogénne a je konstatní a rovna 0.
(a) Napište mezičasové rozpočtové omezení
(b) Vypočítejte optimální spotřebu (ci, C2, 03004)
(c) Předpokládejte, že domácnost si nemůže půjčovat. Jaká bude optimální spotřeba nyní?
(d) Nyní rozdělíme členy téže dynastie (rodinného klanu) na dva druhy -rodiče a děti. Každý žije dvě období. Děti mají užitkovou funkci
ln(c3) + ln(c4)
a rodiče mají užitkovou funkci
ln(ci) +ln(c2) +v(b)
kde b je děditctví (bequest) zanechané dětem a v(b) je maximální užitek dětí, které mohou získat při daném dědictví b. Důchod rodičů je (yi, j/2) — (10; 40) a důchod dětí je (y3, y4) = (20; 10)
Vyřešte maximalizační problém dětí, abyste získaly v (b), tj vyřešte v(b) — max {ln(cs) + ln(c4)}
vzhledem k
C3 + C4 = ^3 + U4 + b.
(e) Použijte svou odpověď z předchozí otázky k vyřešení maximalizačního problému rodičů. (Dědictví může být i záporné).
(f) Nyní uvažujte, že vláda zavede daně v období 2 ve výši 30 a rozdělí je paušálně v období 3. Jaká je optimální výše dědictví a výše spotřeby nyní?
2 Počítání
(viz předpřipravený m-file seminar3.m a soubor priloha_cv3.pdf s obrázky)
Ekonomika se sociálním plánovačem, který vybírá nekonečnou sekvenci dvou proměnných: spotřeby a kapitálové zásoby {ct, kt+i}^L0 aby maximalizoval
00
max 2_.Ptu(ct)
{ct,fet+i}^0 t=Q
1
vzhledem k
ct + kt+1 = f(kt) + (1 - 5)kt ct,kt>0    ko > O dáno Předpokládejte následující formu užitkové funkce
c1-0 - 1
Vt = 7&f , a G (0,1)
kde a = .35, /3 = .98, ô = .025, 6» = 2 a 7 = 5.
Jak jsme měli na přednášce, můžeme tento optimalizační úkol přepsat jako rekurzivní problém. Bellmanova rovnice bude mít tvar
v(kt) — raax{u(kt,kt+1) + f3 v(kt+1)}
Abychom vypočítali hodnotovou funkci použijeme metodu iterace hodnotové funkce. Kapitálová zásoba může nabývat tří diskrétnícho hodnot k e {k^, k^2\ k^} — {2.85, 3.00, 3.15}. To znamená, že v(kt) a v(kt+i) jsou vektory rozměru (3 x 1) a u{kt, kt+i) je matice 3x3 (viz obrázek v příloze).
(a) Sestavte matici spotřeby c(i,j) o rozměrech (3 x 3) s hodnotami spotřeby pro všechny kt a kt+í. Poté vypočítejte matici užitku ze spotřeby u(kt, kt+i) opět o rozměrech (3 x 3) pro všechny hodnoty kt a kt+í (viz obrázek Figuře 2 v příloze).
(b) Předpokládejte
" 167.6
v{kt+i) = 168.1 168.6
Před maximalizací {u(kt, kt+i)+/3E v(kt+i)} potřebujete vypočítat součet u{kt, kt+i) a (3v{kt+\). Ale jelikož u(kt, kt+\) má rozměry (3x3) a v{kt+\) je vektor (3 x 1), musíme transformovat vektor v{kt+i) do matice (3 x 3). Výsledná matice je znázorněna na obrázku Figuře 3 v příloze. (Pozor, nutnost transpozice vektoru).
(c) Nyní máte {u(kt, kt+i) + (3E v(kt+i)} a můžete vypočítat v(kt) pomocí maximalizace výrazu
v(kt) = max{u(kt,kt+1) + (3 v(kt+1)}
Hint: nechte si zobrazit nápovědu k funkci max pomocí příkazu help max. Zajímá nás hledání maxima v řádcích (DIM = 2).
(d) Najděte rozhodovací pravidlo pro kapitál. Zjistěte, který prvek vektoru kt+i dává optimální hodnotu. Tomuto prvku (pořadí vektoru) přiřadte hodnotu kapitálu. Najděte rozhodovací pravidlo pro spotřebu (jako funkci kapitálu kt).
(e) Proveďte krok (c) v cyklu (podobně jako v cvičení 2 - hledání hodnoty firmy).
2
3 Data
První část z termpaperu. Možno pracovat ve dvojicích. Termín odevzdání 25. října 2011. Viz speciální zadání.
4 Teorie II
(když zbude čas, jinak na příště) Předpokládejte, že sociální plánovač maximalizuje
oo t=0
vzhledem k
ct = ka + kt-kt+1, t = 0,1,2...
kde ko — kg je dáno a kt > 0 pro t — 0,1, 2.... Pro parametry platí: a G (0,1) a 13 e (0,1).
(a) Odvoďte podmínky první řádu pro optimum.
(b) Co určuje, zda spotřeba bude v čase růst nebo klesat.
(c) Jak je určena steady-statová hodnota kapitálu k*l Vysvětlete, proč se akumulace kapitálu zastaví před tím, než je mezní produktivita kapitálu rovna nule.
(d) Jaká je míra úspor v steady-statu?
(e) Předpokládejte že a — 0.3 a (3 — .96. Jaká je steady-statová úroveň k* a c*? Jak se bude steady-statová úroveň lišit, pokud bude sociální plánovač trpělivější a (3 — .98?
3