Makroekonomické modelování – přednáška 11
Model překrývajících se generací
Model překrývajících se generací (Overlapping Generation model, OLG). Tak
trochu jiná třída modelů. Proč? Agenti nežijí nekonečně dlouho, ale mají životní
cyklus. V OLG modlech žijí zároveň mladí a staří agenti, staří umírají
a noví se narodí atd. Mají jiné závěry než modely s nekonečným horizontem
(konkurenční rovnováha nemusí být Pareto optimální, může existovat více
rovnováh). Podíváme se na úspory a akumulaci kapitálu, demografické změny a
na penzijní systém.
Model
Diskrétní čas, t = 1, 2, 3 . . .. Na začátku každého období t ≥ 1 se narodí nová
generace (kohorta, mladí y – index 1, staří o – index 2). Agenti žijí jen dvě
období. (V čase t=1 je tam kohorta starých, kteří dožívají).
Populace roste konstantním tempem Lt = Lt−1(1 + n).
Preference
U(c1t, c2t+1) = u(c1t) + βu(c2t+1)
Splňuje klasické vlastnosti.
Mladí mají jednu jednotku práce, kterou nabízejí na trhu práce. Staří nepracují.
(Počáteční kohorta starých je vybavena kapitálem, daným exogenně). Mladí obdrží
mzdu a rozhodují se kolik spotřebují a kolik uspoří. Staří pouze spotřebovávají,
žijí ze svých úspor (a úroků).
Technologie
Firmy najímají práci Lt a kapitál Kt a vyrábějí produkt pomocí produkční
funkce
Yt = F(Kt, Lt)
Splňuje klasické vlastnosti, včetně CRS, lze vyjádřit per capita yt = f(kt).
Předpokládáme, že kapitál nedepreciuje δ = 0.
Časový sled událostí
Obrázek.
Řešení a rovnováha
První generace a všechny další
max
c1t,c2t+1,s1
u(c1t) + βu(c2t+1)
vzhledem k
c1t = wt − s1t
c2t+1 = (1 + rt+1)s1t
1
Plus původní nultá generace
max
c21
u(c21) vzhledem k c21 = (1 + r1)¯k1
Firmy
max
Kt,Lt
F(Kt, Lt) − wtLt − RtKt
Konkurenční rovnováha
Série alokací {c1t, c2t+1, st}
∞
t=1 (spotřeby a úspor) agentů a série alokací firem
{Kt, Lt}
∞
t=1 (kapitálu, práce) a série cen {wt, rt}
∞
t=1 (mzdy a úrokové míry),
které řeší
• optimalizační problém spotřebitelů
• optimalizační problém firem
• trhy se čistí v každém obodbí (trh statků, trh práce, trh kapitálu)
Zdrojem pro kapitál v t + 1 jsou úspory generace mladých v období t, tedy
Kt+1 = Lts1t.
Vliv úrokové míry na úspory (spotřebu)
CRRA funkce
U =
c1−θ
1t − 1
1 − θ
+ β
c1−θ
2t+1 − 1
1 − θ
Celoživotní rozpočtové omezení
c1t +
c2t+1
1 + rt+1
= wt
Řešením optimalizace je (jak jinak) Eulerova rovnice
c2t+1
c1t
= [β(1 + rt+1)]
1
θ
Růst spořeby, když spotřebitelé trpělivější nebo úroková míra vyšší. Řešení pro
c1t
c1t =
1
1 + β
1
θ (1 + rt+1)
1
θ −1
wt
případně pro úspory
s1t =
1
1 + β− 1
θ (1 + rt+1)1− 1
θ
wt
Růst rt+1 způsobí (předpokládáme, že spotřebitel je v roli věřitele)
• důchodový efekt, růst důchodu, zvýšení spotřeby obou normálních statků
• substituční efekt, cena spotřeby v t je relativně vyšší (cena budoucí spotřeby
nižší), více spotřebovávat levnější statek, více c2t+1 méně c1t
Obrázek. Pro případ CRRA funkce, efekty závisí na elasticitě substituce 1
θ = σ.
2
• 1
θ = σ > 1 SE > IE, spotřeba c1t klesá, úspory s1t rostou
• 1
θ = σ < 1 IE > SE, spotřeba c1t roste, úspory s1t klesají
• 1
θ = σ = 1 IE = SE, log funkce, oba efetky se vykrátí, úroková míra
nemá vliv na spotřebu a úspory
Co když spotřebitel vydělává i ve druhém období?
c1t =
1
1 + β
1
θ (1 + rt+1)
1
θ −1
wt +
wt+1
1 + rt+1
SE i IE zůstávají, nový efekt bohatství, spotřeba c1t klesá, úspory s1t rostou.
Dynamická analýza modelu
Logaritmická užitková funkce, Cobb-Douglasova produkční funkce. Úspory jako
funkce mzdy
s1t =
β
1 + β
wt
jako funkce kapitálu
s1t =
β
1 + β
(1 − α)kα
t
Z rovnice pro vyčištění trhu kapitálu
kt+1 =
s1t
1 + n
Vývoj kapitálu v čase (jako funkce kapitálu)
kt+1 =
β(1 − α)
(1 + β)(1 + n)
kα
t
Balanced growth path
k∗
=
β(1 − α)
(1 + β)(1 + n)
1
1−α
Kapitál na hlavu (capital labor ratio) je konstatní k∗
. Jak roste Kt?
Kt+1 = Kt(1 + n)
Vliv demografických změn na míru úspor
Agregátní úspory
St = Kt+1 − Kt = nKt
Agregátní míra úspor (v steady-statu)
S∗
=
St
Yt
=
nKt
Yt
=
nk
y
=
nβ(1 − α)
(1 + β)(1 + n)
Pokles n (např. snížení porodnosti, populace stárne).
3
• Počet mladých agentů je relativně menší vůči starým. Úspory jsou dělány
mladými (úspory budou nižší). Posun nabídky vlevo.
• Menší počet mladých snižuje nabídku práce. Kapitál bude méně vybaven
prací, mezní produkt kapitálu bude menší. Posun poptávkové křivky vlevo.
Množství úspor poklesne, poklesne i výstup (ale méně). Míra úspor se tedy sníží.
Jak snížení n ovlivní rovnovážnou úrokovou míru?
r∗
=
α(1 + β)(1 + n)
β(1 − α)
Pokles n způsobí pokles r∗
.
Rovnováha OLG modelu obecně
Z našeho příkladu
s1t =
1
1 + β− 1
θ (1 + rt+1)1− 1
θ
wt
tedy úspory jsou funkcí rt+1 krát wt, tedy s1t = s(rt+1)wt. Kapitál závisí na
úsporách, což po dosazení dává
kt+1 =
s1t
(1 + n)
=
s(rt+1)wt
(1 + n)
=
1
1 + n
s(f (kt+1))[f(kt) − kf (k)t+1]
Trochu upravíme
kt+1 =
1
(1 + n)
s(f (kt+1))
[f(kt) − kf (k)t+1]
f(kt)
f(kt)
Zprava doleva. Výstup; část výstupu jako odměna práci (labor share); část výstupu,
která je uspořena (míra úspor).
Jednoduchý model, ale můžeme dostat různé typy dynamického chování. Obrázek.
Panel (a), vícenásobná rovnováha (multiple equilibria). (i) když labor share je
větší při vyšších hodnotách kt nebo (ii) když pracovníci spoří velkou část příjmu,
když je malá míra návratnosti (mezní produkt, tedy velké kt). Panel (b), konvergence
k 0. Panel (c) opět multiple equilibria, pro malé kt konvergence k 0, pro
velké kt konvergence k pozitivní hodnotě. Panel (d) ukazuje, že kt+1 není jednoznačně
určeno. Rozsah ka až kb, kde jsou možné tři hodnoty kt+1. Může nastat,
když jsou úspory klesající funkcí r. Může docházet k fluktuacím ekonomiky i
bez exogenních disturbancí. Self-fulfilling prophecies nebo sunspots.
4
Pareto neefektivnost
Srovnání OLG modelu s Ramseyho modelem.
Ekonomika s depreciací kapitálu.
Omezení ekonomiky
Kt+1 − (1 − δ)Kt + c1tLt + c2tLt−1 = F(Kt, Lt)
(1 + n)kt+1 − (1 − δ)kt + c1t +
c2t
1 + n
= f(kt)
Spotřeba na pracovníka (obou generací)
ct = c1t +
c2t
1 + n
Spotřeba v s.s.
c∗
= f(k∗
) − (n + δ)k∗
Max spotřeby
f (kgr) = n + δ
Zlaté pravidlo. Ekonomika může být
5
• dynamicky efektivní, k∗
< kgr, (zvýšení kapitálu zvýší spotřebu v dlouhém
období, ale na náklady nižší spotřeby v krátkém období)
• dynamicky neefektivní, k∗
> kgr, ekonomika akumuluje příliš mnoho kapitálu
(snížení kapitálu zvýší spoteřebu ve všech obdobích)
Ramseyho model
Bez růstu technologie, ale s růstem populace.
Eulerova rovnice z minulé přednášky (růst populace, technologie, nejistota)
γη
˜ct
= βEt
1
˜ct+1
(1 − δ)zt + α˜kα−1
t (ht)1−α
Pro náš případ vypadá
(1 + n)u (ct) = βu (ct+1)[1 + f (kt+1) − δ]
V steady statu, plus použijeme β = 1
1+ρ .
(1 + n)(1 + ρ) = (1 − δ) + f (k∗
)
f (k∗
) = n + δ + ρ
f (k∗
) = n + δ + ρ > n + δ = f (kgr) (1)
Rovnice (1) je tzv. modifikované zlaté pravidlo. Kapitál splňující modifikované
zlaté pravidlo je striktně menší než f (kgr).
Domácnost by mohla spotřebovávat více ve steady-statu, ale je netrpělivá a
nechce snížit dnešní spotřebu, aby dosáhla vyšší spotřeby dle zlatého pravidla
(raději si vybere víc vyhlazenou spotřebu).
Ramseyho model: ve steady statu nemůže být dynamicky neefektivní. Navíc je
sociálně optimální, což je důležitější než spotřeba dle zlatého pravidla.
OLG model
V OLG modelch může být k∗
> kgr. Příklad z minula. Logaritmická užitková
funkce, Cobb-Douglasova produkční funkce.
s1t =
β
1 + β
wt =
β
1 + β
(1 − α)kα
t
kt+1 =
β(1 − α)
(1 + β)(1 + n)
kα
t
k∗
=
β(1 − α)
(1 + β)(1 + n)
1
1−α
Mezní produkt kapitálu
f (k∗
) = α(k∗
)α−1
f (k∗
) = α
(1 + β)(1 + n)
β(1 − α)
=
α(2 + ρ)(1 + n)
1 − α
6
Když je α nebo ρ jsou nízké, může se stát, že steady state v OLG modlech je
dynamicky neefektivní, tzn. k∗
> kgr
f (k∗
) =
α(2 + ρ)(1 + n)
1 − α
< n + δ = f (kgr)
Co s tím? Můžeme zvýšit spotřebu ve všech obdobích přeskupením zdrojů.
Pareto optimální alokace
je sekvence alokací {c1t, c2t+1, st}
∞
t=1 která splňuje rozpočtové omezení ekonomiky
a má následující vlastnost: neexisuje žádná jiná alokace {˜c1t, ˜c2t+1, ˜st}
∞
t=1, která
splňuje rozpočtové omezení a
u(˜c1t, ˜c2t+1) ≥ u(c1t, c2t+1) ∀ t ≥ 1
s ostrou nerovností alespoň pro jeden případ (t ≥ 1).
(Problémy: Může existovat PO steady-state, ale nikoliv cesta, která k němu
vede. Máme dva steady-staty, které můžeme porovnat z hlediska blahobytu, ale
ne z hlediska cesty, která k nim vede.)
Pareto zlepšující alokace (formálně)
Předpoklad, že ekonomika je ve steady statu (k∗
). Provedeme realokaci, snížíme
kapitálovou zásobu o ∆k∗
< 0 (dezinvestice).
k∗∗
= k∗
+ ∆k∗
Rozpočtové omezení (před změnou)
(1 + n)k∗
+ c∗
= y∗
+ (1 − δ)k∗
Rozpočtové omezení (po změně)
(1 + n)k∗∗
+ c∗∗
= y∗∗
+ (1 − δ)k∗∗
(1 + n)(k∗
+ ∆k∗
) + c∗∗
= y∗
+ f (k∗
)∆k∗
+ (1 − δ)(k∗
+ ∆k∗
)
Odečtením od sebe dostaneme
∆c∗
= f (k)∆k∗
+ (1 − δ)∆k∗
− (1 + n)∆k∗
∆c∗
= [f (k) − (n + δ)]∆k∗
Pokud jsme za kgr pak výraz f (k∗
) − (n + δ) < 0, takže ∆c∗
> 0.
Pareto zlepšující alokace (intuitivně)
Sociální plánovač zavede následujcí transfer:
• sníží úspory mladých o jednotku ∆k = 1 a dá je staré generaci (v období
t)
• mladých je (1 + n) krát starých, takže spotřeba starých se zvýší o (1 + n).
7
• podobně, mladí až zestárnou dostanou také dodatečných (1 + n) jednotek
spotřeby. Mladí si ale mohou spotřit na stáří sami. Míra návratnosti r =
R − δ = f (k∗
) − δ
• pokud je ekonomika dynamicky neefektivní, pak f (k∗
) < (n+δ), tzn. míra
návratnosti tohoto transferu je vyšší než míra návratnosti soukromých úspor.
Mladí budou tento transfer preferovat. (spotřeba v mládí nezměněna,
ve stáří jim vzroste)
V OLG modelech jsou úspory jedním způsobem přesunu spotřeby do stáří (mladí
musí spořit i když je míra návratnosti nízká). Může se stát, že ekonomika spoří
příliš (a akumuluje moc kapitálu). V Ramseyho modelu je agent „mladý (pracovník)
a „starý (kapitalista) zároveň. Transfer probíhá implicitně mezi domácnostmi
v každém období.
ALE, ale Pareto zlepšující alokace je možná pouze v případě, že je nekonečný
počet generací. Předpokládejme poslední generaci T, která se narodí v T a žije
jen toto období. Není zde potřeba úspor, spotřeba pouze v čase T.
U = u(c1T )
Rozpočtové omezení ekonomiky
cT = f(kT ) + (1 − δ)kT
Snížení kapitálu způsobí pokles spotřeby
∆cT = f (k∗
)∆k∗
+ (1 − δ)∆k∗
∆cT = [1 + f (k∗
) − δ]∆k∗
< 0
Na konci světa vezmeme od mladých v čase T, ale už jim nic nedáme v dalším
období, protože další období neexistuje. Tato poslední generaci si pohorší. Není
možné udělat Pareto zlepšující alokaci. I když můžeme zvýšit spotřebu všech
předchozích generací, poslední generace ztratí.
Zdroj Pareto neefektivity. V první přednášce jsme měli, že konkurenční rovnováha
je Pareto efektivní (platí 1. teorém blahobytu) při platnosti určitých podmínek
(absence externalit atd.). Jedním z podmínek i je i konečný počet agentů. Tady
je nekonečný počet generací. To umožňuje sociálnímu plánovači provést efektivnější
alokaci, která není dostupna trhu. Proto OLG modely mohou být Pareto
neefektivní.
Jak dosáhnout snížení úspor?
• daň z kapitálu
• vládní dluh
• nefondový system sociálního zabezpečení (Pay-As-You-Go)
8
Příklad PAYGo systému
Zjednodušená forma OLG modelu. Řešení v rámci dvou období, spotřeba když
mladý a starý, c1 a c2. Příjem mladého agenta je y, když je starý pouze si užívá
důchodu a žije z úspor s (a úroku). Populace roste tempem n, výstup roste
tempem g (technologický pokrok). Vláda zdaňuje mladé (τ) a starým vyplácí
důchod b, má vyrovnaný rozpočet.
max
c1,c2,s
log(c1) + β log(c2)
vzhledem k
c1 + s = y(1 − τ)
c2 = (1 + r)s + b
b = (1 + n)(1 + g)τy
Spotřebitel profituje z toho, že když je starý, je kolem něj více mladých k zaplacení
penze a tito lidé mají také větší příjem kvůli technologickému pokroku. Po
dosazení
c1 + s = y(1 − τ)
c2 = (1 + r)s + (1 + n)(1 + g)τy
Mezičasové rozpočtové omezení
c1 +
c2
1 + r
= (1 − τ)y +
(1 + n)(1 + g)τy
1 + r
= Y (τ)
Řešení (např. Lagrangiánem, Eulerovka, dosazení do rozpočtového omezení)
c1 =
Y
1 + β
c2 =
β
1 + β
(1 + r)Y
s = (1 − τ)y −
Y
1 + β
Jak tento systém ovlivňuje úspory? Úpravami poslední rovnice dostaneme
s =
βy
1 + β
−
(1 + n)(1 + g) + β(1 + r)
(1 + r)(1 + β)
τy
S rostoucím τ (větší PAYGo systém), soukromé úspory s klesají. Tzn. větší
pay-as-you-go systém snižuje úspory, investice a tím i akumulaci kapitálu. Může
tento systém zvyšovat blahobyt? A za jakých podmínek?
Y (τ) = (1 − τ)y +
(1 + n)(1 + g)τy
1 + r
Y (τ) = y − τy +
(1 + n)(1 + g)τy
1 + r
Y (τ) = y
(1 + n)(1 + g)
1 + r
− 1 τy
9
(1 + n)(1 + g) > 1 + r
což je aproximatinvě
n + g > r
Populační růst plus růst důchodu (ekonomiky) je větší než míra návratnosti ze
soukromých úspor. PAYGo systém dává smysl v některých zemích, s vysokým
populačním růstem. Nyní ale moc ne (příklad Německo, ale i jiné země) n = 0%,
g = 2%, průměrný výnos z akciového trhu r = 7%. Nutná reforma. Problém
chybějící generace.
Empirické testování dynamické efektivnosti: U.S. růst ekonomiky + populační
růst n+g = 3%, výnos z vládních obligací r = 1%. Z národních účtů, porovnání
(čistého) mezního produktu kapitálu f (k) − δ = R − δ s růstem n + g. R − δ =
10% > n + g = 3%. Podobně pro případ nejistoty: čistý kapitálový důchod >
investice (dynamická efetktinost).
10