Makroekonomické modelování – přednáška 7
Náklady hospodářských cyklů
Lucas (1987). Má stabilizační politika smysl?
Užitková funkce
E0
∞
t=0
βt
u(ct)
Konkrétně
E0
∞
t=0
βt c1−σ
t − 1
1 − σ
kde β ∈ (0, 1) a σ > 0 je (konstantní) koeficient relativní avergze vůči riziku.
Trend a cyklus
ct = (1 + λ)(1 + µ)t
e− 1
2 σ2
z zt
kde zt je stacionární stochastický proces s
ln(zt) ∼ N(0, σ2
z)
Střední hodnota spotřeby
(1 + λ)(1 + µ)t
λ kompenzační parametr, vysvětleno pozdeji. Pro USA, roční tempo růstu spotřeby
kolem tří procent, µ = 0.03. Směrodatná odchylka logaritmu spotřeby
σ2
z = (0.013)2
.
Růst
Náklady změny tempa růstu. Funkce f(µ, µ0), procentní změna spotřeby, aby
byl spotřebitel indiferentní mezi růstem µ a µ0. Porovnání dvou užitkových
funkcí
U(f(µ, µ0), µ, σ2
z) = U(0, µ0, σ2
z)
f(µ, µ0) =
1 + µ0
1 + µ
β/(1−β)
− 1
Tabulka. β = 0.95. Když µ = 0.02, spotřebitlé požadují kompenzaci 20 procent
spotřeby navíc.
Cykly
Náklady vyhlazení hospodářských cyklů. Funkce g(σ2
z), procentní nárůst spotřeby,
aby byl spotřebitel indiferentní mezi nestabilní (volatilní) spotřebou σ2
z a
úplně vyhlazenou spotřebou. (Náklady nestability spotřeby). Porovnání užitkových
funkcí
U(g(σ2
z), µ, σ2
z) = U(0, µ, 0)
S log aproximací dostaneme
g(σ2
z) =
1
2
σσ2
z
1
Tabulka. Závisí na parametru σ (koef. rizikové averze). Benchmark, σ = 1,
log preference. Odhady naznačují větší hodnoty (ale ne přes 20). (σ2
z = 0.013
směrodatná odchylka spotřeby od trendu (US, poválečné období).
Odstranění cyklů je ekvivalentní růstu průměrné spotřeby o 0.008 procent. Což
je celkem málo. Modifikace. Větší volatilita (před válkou). Ne jen reprezentativní
domácnost, někteří čelí větší volatilitě. (Ale jednotlivci se mohou pojistit).
Ekonomická nestabilita (fluktuace) – malý význam oproti nákladům inflace nebo
snížení ekonomického růstu.
Barlevy (2005) shrnující článek. Reakce na Lucase. Modifikace Lucasova výpočtu.
Různé přístupy. Průměr odhadů nákladů přes všechny studie 2.5 %. Má
být (agresivnější) stabilizační politika prioritou? Asi ano.
Stylizovaná fakta
Kydland and Prescott (1990). Lucasova definice hospodářského cyklu. Chování
během cyklu. Spotřeba (durables a nondurables), investice, vládní výdaje, exporty,
importy. Kapitál, odpracované hodiny (zaměstnanost, hodiny na pracovníka).
Reálná mzda.
Odpracované hodiny, volatilita jako výstup. 2/3 „způsobeny fluktuacemi v zaměstnanosti,
1/3 fluktuacemi v hodinách na pracovníka.
RBC model s nabídkou práce
Zaměstnanost (a odpracované hodiny) – důležitá součást fluktuací hospodářského
cyklu. Zavedeme do modelu práci (a technologický šoky).
E0
∞
t=0
βt
u(ct, t)
Různé specifikace užitkové funkce pro volný čas
u(ct, t) =
(cµ
t
1−µ
t )1−θ
1 − θ
u(ct, t) =
c1−γ
t − 1
1 − γ
+ ψ
1−θ
t − 1
1 − θ
Po dosazení = 1 − h
u(ct, t) =
c1−γ
t − 1
1 − γ
+ ψ
(1 − ht)1−θ
− 1
1 − θ
u(ct, t) =
c1−γ
t − 1
1 − γ
+ ψ log(1 − ht)
u(ct, t) =
c1−γ
t − 1
1 − γ
− ψ
h1+θ
t − 1
1 + θ
u(ct, t) =
c1−γ
t − 1
1 − γ
− ψht
Intratemporální rozhodování.
2
Užitková funkce
max
c,h
log(c) + ψ
(1 − h)1−θ
− 1
1 − θ
vzhledem k c = wh a 1 − h = . Parametr ψ – váha volného času v užitkové
funkci.
Intratemporální podmínka
ψ
c
(1 − h)θ
= w
Po dosazení z rozpočtového omezení
ψ
h
(1 − h)θ
= 1
Mzda není důležitá pro určení množství práce a volného času. Proč?
• Substituční efekt = růst mzdy, volný čas je dražší, proto více pracovat
• Důchodový efekt = růst mzdy, více vyrobím s danými vstupy, zvýšeím
spotřebu obou normálních statků (spotřeby, volného času) ⇒ méně pra-
covat.
• růst mzdy ⇒ vliv na spotřebu pozitivní v obou případech. vliv na volný
čas ⇒ substituční (-), důchodový (+)
• log užitková funkce (pro spotřebu) – důchodový a substituční efekt se
vykrátí
Intertemporální rozhodování: Jak agenti reagují na dočasně vyšší mzdovou sazbu?
Ekonomika trvá jen dvě období.
c1 +
c2
1 + r
= w1h1 +
w2h2
1 + r
max
c1,c2,h1,h2
U
Mezičasová podmínka (Eulerova rovnice) jinak vyjádřená
1 − h2
1 − h1
= β(1 + r)
w1
w2
1
θ
• If w1 > w2, domácnost je dnes produktivnější, bude nabízet více práce
dnes
• jaký je efekt permentntního zvýšení mzdy?
• reakce na úrokovou míru, více práce více vyrobím, uspořím a budu z toho
mít více v budoucnu
Síla reakce je ovlivňěna parametrem 1
θ . Součást Frischovi elasticiy nabídky
práce. Pro tuto užitkovou funkci je rovna h
1−h
1
θ
Nabídka práce je jedním z důležitých propagačních mezchanizmů v RBC. Model
s technologickými šoky
yt = ztf(kt, ht) = ztkα
h1−α
zt je technologický šok, TFP (total factor productivity). Dočasné zvýšení TFP
zvýší výstup (při stejných zdrojích, vyrobím více). Dojde i ke zvýšení mzdy, lidé
budou reagovat zvýšením odpracovaných hodin, což dále zvýší výstup. (mezičasový
substituční efekt). Rovněž i vliv růstu úrokové míry na nabídku práce.
3
Plnotučný RBC model
Postup:
• Najdi podmínky prvního řádu, odvoď podmínky optimality
• Najdi steady state
• Log-linearizuj podmínky optimality kolem s.s.
• Nakalibruj strukturální parametry (data)
• Najdi rozhodovací pravidlo (my použijeme Dynare)
• Nasimuluj modelovou ekonomiku v reakci na šoky
– vypočítej statistiky modelových dat
– prozkoumej chování modelu na základě impulsních odezev
– (další metody: varinační dekompozice, šoková dekompozice . . . )
• Porovnej výstupy z modelu s chováním v datech
• Interpretuj výsledky
• Najdi, kde model selhává a jak by se to dalo vylepšit
Hansenův základní model.
max
ct,ht,kt+1
E0
∞
t=0
βt
[log(c) + ψ log(1 − h)]
vzhledem k
ct + kt+1 = wtht + (1 + rt)kt
ct > 0, ht ∈ [0, 1], kt+1 > 0
zt = ρzt−1 + t
(implicitně předpokládáno, jediné aktivum je kaptiál, tedy at = kt) Můžeme
řešit jako problém sociálního plánovače. Omezení SP
ct + kt+1 = (1 − δ)kt + ztkα
h1−α
Podmínky optimality. Euler
1
ct
= βEt
1
ct+1
(1 + αzt+1kα−1
t+1 h1−α
t+1 ) − δ)
a intratemporální.
ψ
1 − ht
=
(1 − α)ztkα
t h−α
t
ct
Levá strana: mezní náklady ze zvýšení množství práce o jednotku, pravá strana:
mezní příjem ze zvýšení práce (mzda) oceněno užitkem.
4
Kalibrace
Respektovat časový rozměr parametrů (čtvrtletní, roční).
• δ . . . z rovnice pro vývoj kapitálu δ = i
k . Z dat I
K a K
Y
• α . . . podíl kapitálu (capital share) α = RK
Y . Problémy: důchody vlastníků
(proprietors’ income), příjmy za „pronájem nemovitostí v osobním
vlastnictví
• β . . . z Eulerovy rovnice, v s.s. β = 1
1+r , nebo β = [αy
k + (1 − δ)]−1
• ψ . . . empiricky lidé pracují 1/3 času. Z intratemporální podmínky ψ =
(1 − α)y
c
1−h
h
• ρ a σ vypočítáme Solowovo reziduum. Odhadneme jako AR(1) proces, ρ
je autoregresní parametr, σ z rozptylu reziduí
Log-linearizace
Příště
Porovnání model vs. data
Najdeme rozhodovací pravidla kt+1 = g(kt, zt), i pro ct a ht. Vybereme počáteční
hodnotu kapitálu k0, vygenerujeme dlouhou časovou řadu inovací { }
T
t=0 a
vytvoříme řadu šoků {zt}
T
t=0. Nasimulujeme chování modelové eknomiky (třeba
10 tis. krát). Vypočítáme statistiky a porovnáme s daty. Tabulka.
Výsledky
• modelový výstup fluktuuje méně než v datech
• investice jsou volatilnější než výstup, spotřeba méně než výstup (až moc
málo)
• odpracovavné hodiny mají asi poloviční volatilitu
• velmi vysoká korelace s výstupem (více než v datech), zejména odpracované
hodiny
Volatilita Relativni vol. Korelace xt s výstupem yt
Proměnná xt σx (M) σx (D) σx/σy (M) σx/σy (D) ρ(yt, xt) (M) ρ(yt, xt) (D)
výstup yt 1.351 1.72 1 1 1 1
spotřeba ct 0.329 1.27 0.244 0.738 0.84 0.83
investice it 5.954 8.24 4.407 4.791 0.99 0.91
odprac. hodiny ht 0.769 1.65 0.569 0.930 0.99 0.86
Důvody
• šok je velmi persistentní (abychom zajistili persistenci ve výstupu)
• na to reaguje nabídka práce (spíše permanentní růst mzdy) malá mezičasová
substituce v nabídce práce
5
• změny v nabídce práce jsou spojeny spíše se změnou r (proto je volatilita
hodin tak malá)
• snadné vyhlazovat spotřebu v čase (nejsou žádné frikce), proto málo volatilní
spotřeba a hodně volatilní investice
• v modelu je jen jeden šok, proto pozorujeme vysokou korelaci proměnných
s výstupem
Řešení některých problémů
Nízká volatilita hodin
• – opustit log specifikaci v užitkové funkci (log(1−h)), dostat větší elasticitu
nabídky práce ⇒ model s nedělitelnou nabídkou práce (lineární specifikace
užitkové funkce)
• aby fluktuace celkových hodin odpovídali datům (2/3 jsou změny zaměstnanstnanosti
– extensive margin, 1/3 jsou změny v odpracovaných hodinách
na pracovníka – intensive margin)
6