Náhodné veličiny a vektory
David Hampel
12235@mail.muni.cz
Přednáška Statistika 1 (BKMSTAI) 12. listopad 2011, Brno
Motivace
► Aparát vybudovaný na základě pravděpodobnosti se více formalizuje pomocí funkcí, které
► slouží jako teoretický model chování náhodné veličiny a
► umožňují vyčíslit teoretické vlastnosti náhodné veličiny.
► Tyto funkce, „rozdělení" náhodných veličin, lze transformovat pro různě upravené náhodné veličiny.
► S „rozdělením" souvisí pojem kvantilů, pomocí kterých se testují hypotézy o parametrech těchto „rozdělení".
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Náhodná veličina
► Náhodnou veličinu X definujeme jako zobrazení
X : íž i—> R, kde každý vzor je jevem a obraz X (oj) se nazýva číselná realizace. Obvykle se zapisuje jen symbolem X.
► Zavedení náhodné veličiny slouží zejména ke zkrácení a zpřehlednění zápisu pravděpodobností. Např. pravděpodobnost, že se náhodná veličina X realizuje
v množině B zkrátíme
P({oj g n : X (u) g B})     P (X g B)
a
P({oj g n : X(oj) g B, B = (-00, x}})     P (X < x).
<g>  <|>  <|>      1 -OQ^O
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Distribuční funkce
Funkce F : M i—> M definovaná vztahem
Vi £ 1 : F (x) = P{X < x)
se nazýva distribuční funkce náhodné veličiny X. Tato funkce má následující vlastnosti:
► je neklesající, tj. pro všechna x\ < X2 je F{x\) < F{x2),
► je zprava spojitá, tj pro všechna xq g M: lim+ F (x) = F(xq),
► lim F (x) = 1,   lim F (x) = 0,
x—*oo oo
► 0 < F (x) < 1,
► pro xq g M libovolné, ale pevně zvolené je
p (X = x0) = F(x0) - lim F (x),
pro a, b g R, a < b je P(a < X < b) = F (b) - F (a).
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Distribuční funkce - příklad
Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X, která udává, jaké číslo padlo při hodu kostkou.
x g (-00,1) : F (x) = P{X < x) = 0
x g [1, 2) : F (x) = P{X < x) = 1/6 x g [2, 3) : F (x) = P{X < x) = 2/6
x g [6, 00) : F (x) = P{X < x) = 1
Distribuční funkce - příklad
L.ii-
0,8-
Ü.Ü-
0,4-
0,2-0,0
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
i -00.0
Distribuční funkce - příklad
0.8-0.6-0.4-0.2-
-3-2-10 1 1 3 Distribuční funkce N{0,1)
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Pravděpodobnostní funkce
Náhodná veličina X se nazývá diskrétní, právě když existuje funkce p(x), která je
► nulová v M s výjimkou nejméně jednoho a nejvýše spočetně mnoha bodů,
► kladná (Vx e R : p(x) > 0),
► normovaná {J2T=-ooP(x) = 1)
► a platí pro ni Vx g R : F (x) = J2t<x Pojato funkce se nazývá pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X.
i -00.0
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Pravděpodobnostní funkce - vlastnosti
Pro pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X platí
Ví £ 1 : p(x) = P{X = x) a pro libovolný pevně daný bod xq g M.
p(xq) = F(xq) — lim F(x).
Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny má schodovitý charakter.
Pravděpodobnostní funkce - příklad
o.e—i-1-1
0.4-
* *
0.2-
0--'■■-'--
°-H—I—i—i—i—i—i—
-10 12 3 4 5 6 Pravděpodobnostní funkce £ři(5;0,5).
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Náhodná veličina X se nazývá spojitá, právě když existuje po částech spojitá funkce, která je
► nezáporná (Vx g R : f (x) > 0),
► normovaná        f{x)dx = 1),
► platí
► v5c1: P {X é6) = / <p(x) dx.
xeB
Funkce f (x) se nazývá hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X. Má i následující vlastnost:
Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je všude spojitá.
Hustota - příklad
0.4 —i-j-
0.3 -0.2-0.1 -
0---
-o-H-1-1-1—
-a     -i      o i
Hustota üs(-l,2).
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Hustota - příklad 1
ip(x)
k pro x g (980,1020), 0 jinak.
1020
Z normovanosti hustoty plyne: 1 = J kdx = 40k, tedy k = 4*.
980
Pro distribuční funkci platí:
f 0 pro x < 980,
= I   J jňdt = pro 980 < x < 1020,
I 980
l 1 pro x > 1020.
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Hustota - příklad 2
Doba (v minutách) potřebná k obsloužení zákazníka v prodejně potravin je náhodná veličina, která se řídí rozložením Ex(^). Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka v této prodejně bude v rozmezí od 3 do 6 minut?
í -00.0
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Hustota - příklad 2
X - doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka,
(f(x)
-i _ x_
3 pro x > 0, 0 jinak.
P (S < X < 6)
-e  3 dx
/
3
-e"2 -fe"1 = 0,233.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Náhodný vektor
Nechť Xi,..., Xn jsou náhodné veličiny a F±,..., Fn jsou jejich distribuční funkce. Pak definujeme náhodný vektor jako uspořádanou ra-tici X = (X±,..., Xn). Jeho distribuční funkci definujeme vztahem
V(xi,...,x„) g Mn : F(xi,...,x„) = P{Xi < XlA---AXn < xn). Platí vlastnosti distribuční funkce náhodné veličiny, navíc máme
Vi g {1,... ,n} : lim F(xľ,..., xn) = Fí(xí),
X1,...,Xi-1,Xi+1,...,Xn^CO
kde Fi(xi) se v této souvislosti nazývá marginální distribuční funkce náhodné veličiny Xi a F(xi,..., xn) se nazývá simultánní distribuční funkce náhodného vektoru X.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Diskrétní náhodný vektor
Náhodný vektor X se nazývá diskrétní, právě když existuje funkce
p{xi,.. .,xn), která je
► nulová v W1 s výjimkou nejméně jednoho a nejvýše spočetně mnoha bodů,
► kladná
► normovaná {T,f1=_00---,Elfn=_00p(x1,... ,xn) = 1)
► a platí pro ni
V(xi,...,x„) G Mn : F(Xl,...,xn) = ^ • • • ^ ... ,ín).
tl<Xl t„<x„
Funkce p(x±,... ,xn) se nazývá pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru X.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Diskrétní náhodný vektor
Pro pravděpodobnostní funkci dále platí
V(xi, ...,i„)éM": p(x!, ...,xn)= P(Xi =XlA---AXn=xn) a
Mi g {1,.. . ,n} : ^ "" "   ^2     ^2   ■■■ ^2 P(xi,.-.,xn) =Pí(xí).
Funkce pj(xj) se nazývá marginální pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Xi a p(x±,..., xn) simultánní pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X.
Pravděpodobnost, že se náhodný vektor X bude realizovat v oblasti B C W1, se vypočte podle vzorce
P(X£B) = ^".^P(n.....4
(x1,...,xn)eB
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Diskrétní náhodný vektor - příklad
X2 Xi	0	1	2	3	7Tl(xi)
-1	2c	c	0	0	3c
0	c	2c	c	0	4c
1	0	0	2c	c	3c
	3c	3c	3c	c	1
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Spojitý náhodný vektor
Náhodný vektor X se nazývá spojitý, právě když existuje po částech spojitá funkce f(x±,... ,xn), která je
► nezáporná,
oo oo
► normovaná ( J ■■■ J f(xi,...,xn)dxi---dxn = l)
— oo      — oo
► a platí pro ni
Funkce f(x±,... ,xn) se nazývá hustota pravděpodobosti
spojitého náhodného vektoru X.
V(xi,.
xn) g Rn : F(xu.
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Hustota spojitého náhodného vektoru
Pro hustotu pravděpodobnosti spojitého náhodného vektoru X dále platí
_ dnF(Xl,...,xn)
J Vxl) • • • ) J-"n) —       0 0
OXi •• • OXn
a \/i G {1,..., n}:
oo oo   oo oo
Íl   íl ^Xl} ' ' ',Xn">dXl ' ' -dxi-ldxi+l • • • dxn = fi{xi).
—oo       —oo —oo      —oo
Funkce fi(xi) se nazývá marginální hustota náhodné veličiny Xi a f(xi,..., xn) se nazývá simultánní hustota náhodného vektoru X. Pravděpodobnost, že se náhodný vektor X bude realizovat na oblasti B C W1 je rovna
P (X e B) = J ■■■ J^f{xi,...,xn)dxi---dxn.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Hustota spojitého náhodného vektoru - příklad
Vrstevnice a graf hustoty dvourozměrného normálního rozložení s parametry fii = Q, (mí = 0, <j\ = 1, a\ = 1, p = —0,75
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Stochastická nezávislost náhodných veličin
Náhodné veličiny X±,... ,Xn jsou stochasticky nezávislé právě tehdy, když pro každé x\ g M,..., xn g M platí
F{xi, ...,xn) = Fi(xi).....Fn(xn),
respektive
p{xi, ...,Xn)= pi(xi).....Pn(xn)
v diskrétním případě nebo
f{xi, . . . , Xn) = fl{xi).....fn{xn)
ve spojitém případě.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Stochastická nezávislost náhodných veličin - příklad
Náhodný vektor (X\,X2) má pravděpodobnostní funkci danou následující tabulkou.
Zjistěte, zda jsou náhodné veličiny stochasticky nezávislé či nikoliv
X2
Xi	0	1
-1	1/3	0
0	0	1/3
1	1/3	0
Stochastická nezávislost náhodných veličin - příklad
Náhodný vektor (X\,X2) má pravděpodobnostní funkci danou následující tabulkou.
Zjistěte, zda jsou náhodné veličiny stochasticky nezávislé či nikoliv
X2
Xi	0	1	pi{xi)
-1	1/3	0	1/3
0	0	1/3	1/3
1	1/3	0	1/3
	2/3	1/3	1
Stochastická nezávislost náhodných veličin - příklad
Náhodný vektor (X\,X2) má pravděpodobnostní funkci danou následující tabulkou.
Zjistěte, zda jsou náhodné veličiny stochasticky nezávislé či nikoliv.
X2
Xi	0	1	pi(xi)
-1	1/3	0	1/3
0	0	1/3	1/3
1	1/3	0	1/3
	2/3	1/3	1
Náhodné veličiny X\ a X2 nejsou stochasticky nezávislé.
<g> <|> <|>    1 -Oo^o
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Transformované náhodné veličiny a vektory
Nechť g je vhodná funkce (nejčastěji spojitá). Pak můžeme pomocí této funkce transformovat náhodnou veličinu X na (transformovanou) náhodnou veličinu Y. Formálně píšeme
V^efi: Y(u) = g(X(u)).
Stejně tak můžeme pomocí vhodné funkce h transformovat náhodný vektor X na transformovaný náhodný vektor Y nebo na transformovanou náhodnou veličinu Y.
► Pomocí transformací normálně rozdělených veličin se sestrojují veličiny pomocí nichž se testují hypotézy.
► Při analýze nelze data libovolně transformovat. Většinou se tím změní jejich rozdelenia získané výsledky budou nesmyslné.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Transformovaný náhodný vektor - příklad
Předpokládejme, že doba čekání zákazníka před pokladnou je náhodná veličina, která se řídí exponenciálním rozdělením s parametrem A. Náhodně vybereme n zákazníků. Jaká je pravděpodobnost, že nejdéle čekající zákazník čekal méně než y sekund?
Exponenciální rozdělení má hustotu
f{Xi) =
a distribuční funkci
F(xí)
Ae xxi   pro xí > 0, A > 0 0 jinak
1 — e xxi   pro xí > 0 0        pro xí < 0
i = 1,..., n
l,...,n.
Hledáme vlastně rozdělení transformované náhodné veličiny
Y = max{Xi,.. .,Xn}.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Transformovaný náhodný vektor - příklad
FY(y) = P{Y <y)= P(max{Xi, ...,Xn}<y) = = P(X! < y A • • • A Xn < y) = P(X1 < y) ■ ■ ■ P(Xn < y) = Fx(y)..- Fx(y) = [Fx(y)]n = (1 - e^f
Nejdéle čekající zákazník nečekal déle než y sekund s pravděpodobností (1 — e~Xy)n.
Podmíněná distribuční funkce
► Nechť (Xi,X2) je náhodný vektor se simultánní distribuční funkcí <í> x2).
► Podmíněná distribuční funkce ^^2 {x\ \x2) náhodné veličiny X\ za podmínky, že náhodná veličina X2 nabývá hodnoty x2, je dána vztahem
Vxi e 1: $!|2 (xi |x2) =   lim  P (Xi < Xl \x2 <X2<x2 + Ax2)
P(X1<x1/\x2<X2<x2 + Ax2)
=   lim -.
Ax2^0        P (x2 <X2<x2+ Ax2)
► Analogicky lze definovat podmíněnou distribuční funkci
$2|1 (^2 l^l).
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná distribuční funkce
Nechť (Xi,X2) je náhodný vektor s marginálními distribučními funkcemi í>i (x±) a $2 (^2)- Náhodné veličiny X\, X2 jsou stochasticky nezávislé, jestliže platí:
Vx2 6 K : $!|2 (Xl \x2) = $1 (xi)
a současné
Vxi G M : $2|l (*2 \xi) = $2 (x2)
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná pravděpodobnostní funkce
► Nechť (Xi,X2) je diskrétní náhodný vektor se simultánní pravděpodobnostní funkcí 7T (xi, X2) a marginálními pravděpodobnostními funkcemi -k\ {x\) a tt2 (2:2)-
► Fixujeme hodnotu x2.
► Podmíněná pravděpodobnostní funkce -ki\2 (xi\x2) náhodné veličiny X\ za podmínky, že náhodná veličina X2 nabývá hodnoty x2, je dána vztahem
vxi G K : 71"! 12 (xi \x2 ) =--—— pro ir2 (x2) > 0.
7T2 (X2)
► Analogicky lze definovat podmíněnou pravděpodobnostní funkci 7r2|i {x2 \x\).
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná pravděpodobnostní funkce
Z definičního vztahu je okamžitě vidět:
7T (xi,x2) = 7T2 (x2) 71"!!2 (xi \x2 ) ,
jestliže 7T2 (x2) > 0, a obdobně
7T (x1,X2) = 7Tl (Xl) 7T2|l (x2 |xi ) ,
jestliže 7Ti (xi) > 0. Z těchto dvou vztahů vyplývá, že
,    ,    ,     ^i\2 (xi\x2)tt2(x2)
7T2|1 (^2 Fl ) = -7-Ň-
TTi (Xi)
a podobně
,      ,      ,       7T2|1 (^2 |xi)7Ti (Xi)
7Tl|2 (^1 F2J = -7-Ň-•
7T2 (X2)
Jedná se o Bayesův vzorec pro diskrétní náhodjý ^^■orJKX^X2\
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná distribuční funkce
Je-li (Xi,X2) diskrétní náhodný vektor, pak pro podmíněnou distribuční funkci $i\2 (xi\x2) platí:
Vxi G M : $i|2 {xi \x2)
t<X\
7T2 (x2)
pro 7T2 (x2) > 0.
i -00.0
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná pravděpodobnostní funkce
► Nechť (Xi,X2) je diskrétní náhodný vektor s marginálními pravděpodobnostními funkcemi -k\ {x\) a tt2 (x2).
► Náhodné veličiny X\, X2 jsou stochasticky nezávislé, jestliže platí
Vx2 g R, 7t2 (x2) > 0 : Tr^ {Xi \X2 ) = 7Ti (xi) .
► Analogicky, náhodné veličiny X\, X2 jsou stochasticky nezávislé, jestliže platí
Va?i g R, 7Ti       > 0 : 7r2|i (x2 \x± ) = 7T2 (2:2) •
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná hustota pravděpodobnosti
► Nechť (Xi,X2) je spojitý náhodný vektor se simultánní hustotou pravděpodobnosti tp(xi,x2) a marginálními hustotami pravděpodobnosti Lpi (x\) a (f2(x2).
► Fixujeme hodnotu x2.
► Podmíněná hustota pravděpodobnosti ip^2 (xi\x2) náhodné veličiny X\ za podmínky, že náhodná veličina X2 nabývá hodnoty x2, je dána vztahem
vx± £ R : </?i|2 {xi \x2) =--—— pro ip2 {x2) > 0.
^2 {x2)
► Analogicky lze definovat podmíněnou hustotu pravděpodobnosti </?2|i (a^l^i)-
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná hustota pravděpodobnosti
Podobně jako v diskrétním případě lze z definičních vztahů pro podmíněné hustoty pravděpodobnosti odvodit Bayesův vzorec pro spojitý náhodný vektor:
(fll2 {x1\x2)(P2{x2) </>2|l <F2 Fl ) = -7-\-
a analogicky
,     ,     N      </>2|l <F2 kl) </>l <Fl)
Vl|2 <Fl F2    = -7-^-•
V?2 <F2j
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná distribuční funkce
Je-li (Xi,X2) spojitý náhodný vektor, pak pro podmíněnou distribuční funkci $i\2 (xi\x2) platí
Vxi G M : $i|2 [xi \x2)
f*íO0<p(t,x2)dt
¥>2 (x2)
pro (p2 (x2) > 0.
i -00.0
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Podmíněná hustota pravděpodobnosti
► Nechť (Xi,X2) je spojitý náhodný vektor s marginálními hustotami pravděpodobnosti ipi (x±) a (p2(x2).
► Náhodné veličiny X\, X2 jsou stochasticky nezávislé, jestliže platí
Vx2 g M, tp2 (x2) > 0 : (/?i|2 {xi \x2) =ifi(x1).
► Analogicky: Náhodné veličiny X\, X2 jsou stochasticky nezávislé, jestliže platí
Vxi g M, </5i (xi) > 0 : </52|i (x2 \xi) = </?2 (^2) •
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněné pravděpodobnosti
► Nechť B C M a náhodná veličina X2 nabývá hodnoty x2.
► Zajímá nás podmíněná pravděpodobnost
P{X1 eB\X2=x2).
a) Diskrétní případ:
P (Xi e B \X2 = x2) = Z^es71"^ (xi l2^)-
b) Spojitý případ:
P(Xi G B \X2 — x2) — $XieB<Pi\2 {xi \x2)dx1.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněné rozložení s n > 2 složkami náhodného vektoru
► Vybereme marginální náhodný vektor (JQ,... ,Xj) o n\ složkách a zbylý marginální náhodný vektor o n2 složkách (ni +ri2 = n) označme (X^,..., Xi).
► Pak můžeme zavést
► podmíněnou distribuční funkci náhodného vektoru
(Xi,..., Xj) za podmínky, že Xk — %k A ... A Xi — xi\
*■ podmíněnou pravděpodobnostní funkci v diskrétním případě a
► podmíněnou hustotu pravděpodobnosti ve spojitém případě pomocí analogických vztahů.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Číselné charakteristiky náhodných veličin
Číselné charakteristiky náhodných veličin popisují teoretické rozdělení náhodné veličiny. Nejčastějšími charakteristikami jsou
► Kvantily spojitých náhodných veličin Střední hodnota
► Rozptyl
► Kovariance
► Koeficient korelace
► Šikmost
► Špičatost
► Vektorová střední hodnota
► Kovarianční matice
► Korelační matice
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Kvantily spojitých náhodných veličin
Nechť 9 £ (0,1). Pak #-kvantilem spojité náhodné veličiny nazýváme takové číslo Kq(X), pro něž je
► Kvantil Kq.5o(X) se nazývá medián,
► Kvantil Kq.25(X) se nazývá dolní kvartil,
► Kvantil Kq.75(X) se nazývá horní kvartil.
► Rozdíl Kq.75(X) — Kq.25(X) se nazývá mezikvartilové rozpětí.
Kvantilové charakteristiky jsou „robustnější" než ostatní charakteristiky, je vhodné je uvádět, pokud se v rozdělení náhodné veličiny počítá s extrémními hodnotami.
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Kvantily spojitých náhodných veličin - tabulky
Pro vybrané kvantily se zavedlo speciální označení:
X~N(0,1)      Ka(X) =ua, X~X2{n) ^ Ka{X)=xl{n), X ~ t(n) =>- Ka{X) = ta(n), A-~F(m,n2) Ka{X)=Fa{n1,n2).
V tabulkách nejsou všechny kvantily, je nutné dopočítat podle vzta h ů
ua —     u]_ — a,
ta{n) = -íi-a(n),
Fa(n1,n2) =--}■-r.
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Kvantily spojitých náhodných veličin - tabulky
a) Nechť U ~ ÍV(0,1). Najděte medián a horní a dolní kvartil.
► «0,50 = 0, iío,25 = -0,67449, u0,75 = 0,67449
b) Určete xŠ,025(25).
► Xo,o25(25) = 13,12
c) Určete t0,99(30) a í0,05(24).
í0,99(30) = 2,4573, í0,o5(24) = -1,7109
d) Určete Fo,975(5,20) a F0,o5(2,10).
► F0,975(5 , 20) = 3,2891, F0,05(2,10) = 0,05156
<g> <|> <|>    1 -Oo^o
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Střední hodnota E(X)
Střední hodnota E(X) je číslo, které charakterizuje polohu číselných realizací náhodné veličiny X na číselné ose.
► Je-li X diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí p(x), pak její střední hodnota je
oo
E{X) = X'PÍX)-
x=—oo
► Je-li X spojitá náhodná veličina s hustotou f(x), pak její střední hodnota je
/oo x-f(x). -oo
► Nechť Y = g(X) je transformovaná náhodná veličina. Pak
E,Y) = { ^xeRdix) -p(x)   v diskrétním případě, 1 J^oo 9ÍX) ' f(x)    ve spojitém případě.
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Rozptyl D (X)
Rozptyl D (X) je číslo, které charakterizuje variabilitu číselných realizací náhodné veličiny X kolem střední hodnoty E (X). Definujeme
D(X)=E([X-E(X)f), ve výpočtech se častěji používá vztah
D(X) = E{X2) - [E{X))2.
Číslo ^D(X) se nazývá odchylka náhodné veličiny X.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Príklad
Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. Vypočtěte její střední hodnotu a rozptyl.
irlx)
g pro x = 1,2,... ,6 0 jinak,
6
E{X) =     X7^(x) = ^(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 = 3,5.
x=l
= J> - 3,5):
x=l
35 12
2,92.
D(X) = E{X2) - [E{X)]2 =     x^(.x) - 3,5 1
21 = 1
-(l2 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62) - 3,52 = 2,92. 6
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněné charakteristiky - diskrétní případ
Nechť (Xi,X2) je diskrétní náhodný vektor a nechť -ki\2 {x\ \x2) je podmíněná pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny X\ za podmínky, že náhodná veličina X2 nabývá hodnoty x2. Podmíněná střední hodnota je definována vztahem
oo
Vx2 g M, 7t2 (x2) > 0 : E (Xi \x2) =   ^   xitt^      |x2)
a podmíněný rozptyl je definován vztahem
Vx2 g M,7t2 (x2) > 0 :
oo
D(X1\x2)=   £   [xi - E {X^)}2 ^\2 {Xl\x2) .
xi =—oo
Tento vzorec lze upravit do výpočetního tvaru
oo
D(X1\x2)=   £   xl^i\2 (zi|x2)- [EiX^x^]2.
X\ = — OO
<g> <|> <|>    1 -Oo^o
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněné charakteristiky - spojitý případ
Nechť (Xi,X2) je spojitý náhodný vektor a nechť ip^2 {x\ \x2) je podmíněná hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X\ za podmínky, že náhodná veličina X2 nabývá hodnoty x2. Podmíněná střední hodnota je definována vztahem
/oo XW\\2 {x\ \xi) dxi -oo
a podmíněný rozptyl je definován vztahem
Vx2 G M,7r2 {x2) > 0 :
ľ°° 2
D(Xi\x2)=l    [xi - E (Xi \x2)} (pľ\2 (x1\x2)dx1.
J—oo
Tento vzorec lze upravit do výpočetního tvaru
/°° 2 -oo
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Podmíněné charakteristiky
► Při měnících se realizacích náhodné veličiny X2 je podmíněná střední hodnota E (X\ \x2) funkcí proměnné x2 a znázorňuje průběh závislosti veličiny X\ na veličině X2.
► Nazývá se regresní funkce veličiny X\ vzhledem k veličině X2.
► Tvar regresní funkce charakterizuje proměnlivost střední hodnoty veličiny X\ v závislosti na X2.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Podmíněné charakteristiky
► Podmíněný rozptyl D (X\ \x2) je funkcí hodnot veličiny X2.
► Nazývá se skedastická funkce veličiny X\ vzhledem k veličině X2.
► Tvar skedastická funkce charakterizuje proměnlivost rozptylu veličiny X\ v závislosti na X2.
► Je-li skedastická funkce konstantní, řekneme, že rozložení náhodného vektoru [X\, X2) je homoskedastické (tj. podmíněné rozptyly nezávisí na podmínce).
► V opačném případě se rozložení náhodného vektoru (Xi, X2) nazývá heteroskedastické.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Kovariance C(Xi,X2)
Kovariance C(Xi,X2) je číslo, které charakterizuje společnou variabilitu číselných charakterizací náhodných veličin X\ a X2 kolem jejich středních hodnot. Definujeme ji jako
C(X1,X2) = E{[Xi - E(X1)][X2 - E(X2)]),
užívá se i vztah
C(XUX2) = E(X!X2) - E(X1)E(X2).
Je-li C(Xi,X2) = 0, řekneme, že náhodné veličiny X\ a X2 jsou nekorelované, tj. že mezi nimi neexistuje lineární závislost.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Koeficient korelace R(Xi,X2)
Koeficient korelace R(Xi,X2) je číslo, které charakterizuje míru těsnosti lineární závislosti číselných realizací náhodných veličin X\ a X2. Nabývá hodnot z intervalu [—1,1]. Definujeme jej jako
R(X1,X2) = E
X1 - E{X{) X2 - E{X2) yjD{X{) JD{X2)
pro y/D(X1)y/D(X2)^0, R(XUX2) = 0 jinak. Často se používá vztah
C(XUX2)
R(X1,X2)
y/D(X1)y/D(X2)'
13*4&k4 = k4 = *       s -OQ^O
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Momenty
Číslo
se nazýva obecný moment fc-tého řádu. Číslo fik = E([X - E(X)]k) se nazýva centrálni moment fc-tého řádu.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Momenty
Pomocí momentů můžeme definovat šikmost (asymetrii) náhodné veličiny X jako
A3(X)
a špičatost (exces) náhodné veličiny X jako
MX) = -^=-4 " 3.
Pro normální rozdělení N(0,1) vychází A3(X) = 0 a AA(X) = 0. Šikmost a špičatost se dají využít k testování hypotéz o rozdělení.
u y 4 & v 4 = * 4 = y     -š -00.0
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Vlastnosti číselných charakteristik
► Nechť a, a\, a2, b, b\, b2 jsou reálná čísla,
X, Xi,... , Xn, Y\,... , Ym jsou náhodné veličiny definované na témž pravděpodobnostním prostoru.
► V následujících vzorcích vždy z existence číselných charakteristik na pravé straně vyplývá existence výrazu na levé straně.
Vlastnosti střední hodnoty
a) E(a) = a,
b) E{a + bX) = a + bE(X),
c) E(X - E(X)) = 0,
/ n       \ n
d) E (EXi ) = EE(Xi),
\í=i    / i=i
e) Jsou-li náhodné veličiny X\,..., Xn stochasticky nezávislé,
/ n       \ n
pak platí £   n *i  = n
\i=l   / 1=1
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory
Vlastnosti kovariance
a) C(ai,X2) = C{X1,a2) = C(ai,a2) = 0,
b) C(a1 + b1X1,a2 + b2X2)=b1b2C(X1,X2),
c) C(X,X) = D(X),
d) C(X1,X2)=C(X2,X1),
e) C(X1,X2) = E(X1X2) - E(X1)E(X2),
(n m       \ nm
E4E^ =EE cpr*,^). í=i    j=i  j i=ij=i
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Vlastnosti rozptylu
a) D (a) = 0,
b) D(a + bX) = b2D(X),
c) D(X) = E{X2) - [E{X))2,
/n       \        n n—l n
d) D   EX,   = Y.D{Xi) + 2 E   E C{Xi,Xj)
\i=l     /      i=l i=l j=i+l
e) Jsou-li náhodné veličiny X±,Xn nekorelované, pak
/n       \ n
fl = E .
\i=i   / í=i
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Vlastnosti koeficientu korelace
a) R(a1, X2) = R(X1,a2) = R(a1,a2) = 0,
b) R(ai + 61X1, a2 + b2X2) = sgn(&i&2)i?(Xi, X2),
c) R(X, X) = 1 pro D {X) ^ 0, R(X, X) = 0 jinak,
d) R(X1,X2) = R(X2,X1)
e) R(X1,X2) =
í7ä5) p~v^i)V^)>o.
f) |iž(Xi,X2)| < 1 a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, když mezi veličinami Xi,X2 existuje s pravděpodobností 1 úplná lineární závislost, tj. existují konstanty a±,a2 tak, že P{X2 = ai + a2Xi) = 1. (Uvedená nerovnost se nazývá Cauchyova-Schwarzova-Buňakovského nerovnost.)
jinak,
David Hampel
Náhodné veličiny a vektory
Charakteristiky náhodných vektorů
Nechť X = (Xi,... ,Xn) je náhodný vektor. Reálný vektor
E(X) = (E(X1),...,E(Xn))
se nazývá vektor středních hodnot. Reálná čtvercová symetrická matice
var (X)
D(X1) C(X1,X2)
C (Xi, x„
C(Xn,Xi)   C(Xn,X2)   ■■■ D{Xn)
se nazývá varianční matice a reálná čtvercová symetrická matice
1 R(Xi,X2)   ••• R(Xi,Xn
corr (X) = : : :
. R(Xn,Xi)   R(Xn,X2)   ••• 1
se nazývá korelační matice.
David Hampel        Náhodné veličiny a vektory