6. seminář:
Vícekriteriální lineární programování, nelineární optimalizace s omezením ve tvaru rovnosti
Příklad 1: Uvažujte vícekriteriální lineární model
z\ = 8x1 + 6x2 + 2x3 ~^ max
Z2 = 3xi + 4^2 + 5^3 ~^ rrán
za omezení
4xi + 2x2 + X3 < 36
xi + 2x2 - 2x3 < 12
Xu x2, xs > 0
• Nalezněte simplexovou metodou dílčí optimální řešení
• Nalezněte simplexovou metodou kompromisní řešení při agregaci kritérií s váhami v\ = 0, 5 a i>2 = 0, 5.
• Nalezněte simplexovou metodou optimální hodnotu prvního kritéria, nas-tavíme-li aspirační úroveň pro z^ na hodnotu 10.
Příklad 2: Uvažujme nutriční problém sestavení denního jídelníčku pro 100 osob, přičemž k dispozici máme 9 druhů základních potravin. Složení potravin z hlediska důležitých výživových komponent a jejich ceny (vše přepočteno na lOOg potraviny), viz tabulka:
	energ.	bflk.	Fe	vit. A	vit. C	chol	cena
	[kJ]	[g]	[mg]	[jed]	[mg]	[mg]	[Kč]
maso vepř.	1200	18,4	3,1	20	0	83	12
máslo	3000	0,6	0,2	2500	0	120	11,2
chleba	1160	7,2	0,8	0	0	1	1,5
brambory	300	1,6	0,6	40	10	0	1,2
jablka	240	0	0,5	60	2	0	1,5
eidam	1260	31,2	0,6	1100	0	71	10,6
kuře	650	20,2	1,5	0	0	57	6
jogurt	450	7	0,2	260	0	11	4,5
jahody	150	0	0,8	60	60	0	12
Nutriční odborníci stanovili, že denní dávka výživy pro dospělého by měla obsahovat minimálně 80 g bílkovin, 15mg železa, 6000 jednotek vitamínu A a 200 mg vitamínu C. Pro zajištění celodenního stravování pro 100 osob máme sestavit optimální skladbu jídelníčku při respektování doporučení nutričních expertů a současně s co nejvyšší energetickou hodnotou, co nejmenším obsahem cholesterolu a za co nejméně peněz, přitom máme k dispozici maximálně 40 kg každé potraviny. Řešte jako úlohu vícekriteriálního programování pomocí řešitele v MS Excelu.
a) najděte dílčí optimální řešení
b) řešte lexikografickou metodou, přitom považujte za nej důležitější cenu a za nejméně důležitý obsah cholesterolu. Uvažujte povolenou 10%-odchylku od optimálních hodnot.
c) postupně převeďte kritéria na omezení, opět uvažujte jako nej důležitější cenu a nejméně důležitý obsah cholesterolu a povolenou 10%-odchylku od optimálních hodnot.
Příklad 3: Uvažujte optimalizační problém firmy, která má k dispozici dva výrobní faktory (Fi, F2) s jednotkovými cenami w\ = 2 Kč a w2 = 3 Kč a rozhoduje se, jak s pomocí těchto výrobních faktorů co nejlevněji vyrobit požadované množství produktu Q = 10. Vyprodukované množství produktu se řídí Cobb-Douglasovou produkční funkcí s exponenty \& \ pro množství výrobních faktorů Fí a F2.
a) zapište matematický model úlohy
b) řešte jako jednorozměrnou úlohu bez omezení
c) řešte pomocí Lagrangeových multiplikátorů