7. seminář:
Nelineární optimalizace s omezením ve tvaru rovnosti: Lagrangeovy multiplikátory
Příklad 1: Uvažujte optimalizační problém firmy, která má k dispozici dva výrobní faktory (Fi, F2) s jednotkovými cenami w\ = 2 Kč a w<i = 3 Kč a rozhoduje se, jak s pomocí těchto výrobních faktorů co nejlevněji vyrobit požadované množství produktu Q = 10. Vyprodukované množství produktu se řídí Cobb-Douglasovou produkční funkcí s exponenty \& \ pro množství výrobních faktorů Fí a F2.
a) zapište matematický model úlohy
b) řešte jako jednorozměrnou úlohu bez omezení
c) řešte pomocí Lagrangeových multiplikátorů, ověřte i podmínky 2. řádu
Příklad 2: Uvažujte jednoduchý regresní model
Yl = (3Xl + £i, i = l,...,n
kde:
(3 je neznámý parametr
Xi,..., Xn jsou pevné hodnoty a
£i,...,en jsou nezávislé stejně rozložené chyby s nulovou střední hodnotou a rozptylem a2.
Gauss-Markovova věta, tvrdí, že odhad (3 získaný metodou největších čtverců je "BLUE", tedy nejlepší nestranný lineární odhad parametru (3. Matematicky formulováno:
• (3 je lineární, tedy (3 = X^ľ=i c^ Pr0 nějaké koeficienty c\,..., cn
• (3 je nestranný, tj. E0) = (3
• (3 je nejlepší takový odhad, tedy má mezi těmito odhady minimální střední kvadratickou chybu E{(3 — (3)2 (což je v případě nestrannosti totéž jako minimální rozptyl).
Formulujte jako optimalizační problém s omezením a najděte (3 metodou Lagrangeových multiplikátorů.
Příklad 3: Úloha o rozdělení spotřeby v čase:
Předpokládejme, že chceme maximalizovat užitek ze spotřeby během dvou období, ve kterých máme příjmy I\ a I2, přičemž nespotřebované prostředky z prvního období můžeme zúročit s úrokovou mírou r. Užitková funkce se předpokládá ve tvaru U(C\, C2) = u(C\) + (3 • ^(C^), kde (3 G (0,1) je koeficient vyjadřující subjektivní preferenci současné spotřeby před spotřebou budoucí.
a) Sestavte Lagrangeovu funkci a zapište podmínky prvního řádu, jako proměnné přitom uvažujte Ci, C2, 5i a jako omezující podmínky rozpočtová omezení
v jednotlivých obdobích.
b) Najděte řešení podmínek, předpokládáme-li užitkovou funkci ve tvaru
u{C) = InC
Příklad 4: Vyřešte úkoly 1,2 a 3 ze soutěžního příkladu MUESu, jehož kompletní zadání i s řešením naleznete v učebních materiálech ISu: soubor soutěž.pdf (použito s laskavým soulasem M. Kvasničky)
a) Předpokládejme, že Milton Friedman vlastní domeček, kde bydlí. V domečku má samozřejmé i vodovod, takže spotřebovává vodu (na pití, mytí, do bazénu apod.) a ostatní statky. Friedman má roční příjem M dolarů. Dále víme, že jeho preference je možné popsat indiferenční křivkou
U = VW+VČ
kde W je jeho spotřeba vody ve vhodných jednotkách, C je jeho spotřeba ostatních statků (opět ve vhodných jednotkách) a U je číslo indiferenční křivky, kterou mu daný spotřební koš zajistí. Předpokládejme dále, že jednotky, ve kterých je počítána voda i ostatní statky, jsou zvoleny tak vhodně, že cena jednotky vody i jednotky ostatních statků je právě 1 dolar. Zjistěte, kolik vody a kolik ostatních statku bude Milton Friedman spotřebovávat.
b) Po nějaké době bylo Friedmanovi v jeho domě smutno. Proto pozval další dva ekonomy, aby bydleli s ním. (Jména těchto pánů byla Keynes a Marx.) Domeček měl však pouze jeden vodoměr. Protože pánové byli tři, rozdělili vždy poplatky za vodu rovným dílem. Předpokládejme, že Keynes s Marxem spotřebují každý konstantní množství vody - právě tolik vody, kolik spotřebovával Friedman, dokud bydlel v domečku sám (protože Friedman je bezesporu racionální, spotřebovával právě optimální množství vody). Kolik bude za těchto okolností spotřebovávat Milton Friedman vody a kolik ostatních statků?
c) V minulém případě jsem vám ovšem trošku lhal: Keynes s Marxem samozřejmě nespotřebovávají konstantní množství vody. I oni jsou celkem racionální (aspoň když se starají o vlastní užitek), a tak kupují takové množství vody a ostatních statků, aby maximalizovali svůj užitek (jsou to ekonomové!). Každý z nich má stejné preference a příjem jako Friedman. Kolik tedy bude (v rovnováze) spotřebovávat každý z ekonomů vody a kolik ostatních statků, jestliže si budou dělit náklady na vodu rovným dílem?