9. seminář:
Kvadratické a lineární lomené programování, jednorozměrná numerická optimalizace
Příklad 1: Phillipsova křivka vyjadřuje vztah mezi mírou nezaměstnanosti (u) a inflací (tt).
Předpokládejme hyperbolický tvar Phillipsovy křivky, tj. teoretický vztah mezi u a 7í ve tvaru: tt = (5q +
a) Odvoďte obecný vztah pro určení koeficientů /?o, Pi na základě naměřených hodnot (wi, 7íi), ..., (wn, 7tn) metodou nejmenších čtverců.
b) Sestavte KKT podmínky úlohy pro obecnou úlohu s omezením (3\ > 0.
c) V letech 1960-1969 byly v USA naměřeny následující hodnoty:
year	1960	1961	1962	1963	1964	1965	1966	1967	1968	1969
u[%]	6,6	6	5,5	5,5	5	4	3,8	3,8	3,4	3,5
7t[%]	1,4	0,7	1,4	1,7	1,2	2	3,2	3,4	4,8	6
Spočtěte pomocí počítače hodnoty koeficientů pro data z tabulky.
Příklad 2: Uvažujme úlohu lineárního lomeného programování maximalizovat funkci
f(xhx2,x3) = 2aľ1tX2t3aľ3
•'V    15     Z'     °/ 2ľl+2ľ2+2ľ3
za podmínek
x\ — x2 + £3 < 5
x2 < 3
£1,^2, £3 > 0
a) Linearizujte úlohu pomocí vhodné substituce
b) Vyřešte linearizovanou úlohu
c) Zkontrolujte řešení pomocí Řešitele
Příklad 3: Seznamte se s používáním metod jednorozměrné numerické optimalizace v prostředí Matlab. Stáhněte si z ISu ze složky "numerické metody"soubory
zlaty06.m, interpolace06.m, bisekce06.m, regula06.m atecny06.m. Jde o spustitelné soubory Matlabu, které demonstrují použití jednotlivých optimalizačních metod na minimalizaci funkce — 2sin(ic) + sin(2x) — 2sin(3x)/3 na intervalu (1,3) s přesností 0,0001. Máte-li soubory uloženy v aktuálním adresáři, lze je spustit z příkazové řádky Matlabu příkazem zlaty06, apod. Výpočet je odkrokován po jednotlivých iteracích, postup výpočtu lze sledovat na grafu. Při pozastavení výpočtu se objeví prompt K>>, pokračování výpočtu se dosáhne příkazem return. Chcete-li výpočet ukončit předčasně, je možné použít příkaz dbquit. Porovnejte, kolik bylo u jednotlivých metod potřeba iterací k dosažení stanovené přesnosti.
Příklad 4: Vyzkoušejte příkaz optimtool.