1
VELKÁ JARNÍ SOUTĚŽ MUESU
Ekonomická společnost Masarykovy univerzity (MUES) vypisuje soutěž o tři lahve šampaňského pro toho
člena akademické obce Ekonomicko-správní fakulty Masarykovy univerzity, který jako první správně vyřeší
přiložený příklad.
PODMÍNKY SOUTĚŽE
1. Soutěže se může zúčastnit každý člen akademické obce
Ekonomicko-správní fakulty Masarykovy univerzity mimo
Ing. Michala Kvasničky, Mgr. Jana Vlčka a Mgr. Josefa
Menšíka.
2. Vítězem soutěže je ten účastník soutěže, který nejdříve
správně vyřeší všechny problémy uvedené v zadání soutěže
a předá je členům komise.
3. Správnost řešení posuzuje komise ve složení Ing. Michal
Kvasnička a Mgr. Jan Vlček. Proti rozhodnutí komise není
odvolání.
4. Úloha může být řešena libovolným způsobem (graficky nebo
výpočetně) s využitím libovolného softwarového nebo
jiného vybavení. Pouhá úvaha bez číselného řešení se nepovažuje
za dostatečnou.
5. Řešení musí být předáno písemně nejpozději do 12. května
2001.
6. MUES se zavazuje předat vítězi soutěže cenu na zvláštní
přednášce MUESu 22. května 2001. Vítěz soutěže se zavazuje
na této přednášce veřejně vysvětlit postup řešení.
7. Cena pro vítěze soutěže jsou tři lahve šampaňského.
8. Komise může částečně nesprávné řešení vrátit s poukazem
na nesprávná místa v libovolném termínu.
9. S jakýmikoli otázkami se obracejte e-mailem na Michala
Kvasničku (qasar@econ.muni.cz).
ZADÁNÍ ÚLOHY
1. Předpokládejme, že Milton Friedman vlastní domeček, kde
bydlí. V domečku má samozřejmě i vodovod, takže spotřebovává
vodu (na pití, mytí, do bazénu apod.) a ostatní
statky. Friedman má roční příjem M dolarů. Dále víme, že
jeho preference je možné popsat indiferenční křivkou
U =
√
W +
√
C, (1)
kde W je jeho spotřeba vody ve vhodných jednotkách, C
je jeho spotřeba ostatních statků (opět ve vhodných jednotkách)
a U je číslo indiferenční křivky, kterou mu daný
spotřební koš zajistí.
Předpokládejme dále, že jednotky, ve kterých je počítána
voda i ostatní statky, jsou zvoleny tak vhodně, že cena
jednotky vody i jednotky ostatních statků je právě 1 dolar.
Zjistěte, kolik vody a kolik ostatních statků bude Milton
Friedman spotřebovávat.
2. Po nějaké době bylo Friedmanovi v jeho domě smutno. Proto
pozval další dva ekonomy, aby bydleli s ním. (Jména
těchto pánů byla Keynes a Marx.) Domeček měl však pouze
jeden vodoměr. Protože pánové byli tři, rozdělili vždy
poplatky za vodu rovným dílem.
Předpokládejme, že Keynes s Marxem spotřebují každý
konstantní množství vody – právě tolik vody, kolik spotřebovával
Friedman, dokud bydlel v domečku sám (protože
Friedman je bezesporu racionální, spotřebovával právě optimální
množství vody).
Kolik bude za těchto okolností spotřebovávat Milton
Friedman vody a kolik ostatních statků?
3. V minulém případě jsem vám ovšem trošku lhal: Keynes
s Marxem samozřejmě nespotřebovávají konstantní množství
vody. I oni jsou celkem racionální (aspoň když se starají
o vlastní užitek), a tak kupují takové množství vody
a ostatních statků, aby maximalizovali svůj užitek (jsou to
ekonomové!). Každý z nich má stejné preference a příjem
jako Friedman.
Kolik tedy bude (v rovnováze) spotřebovávat každý z
ekonomů vody a kolik ostatních statků, jestliže si budou
dělit náklady na vodu rovným dílem?
4. Budou si chtít jednotliví ekonomové v předchozím případě
zavést každý svůj vodoměr (aby platili právě za svoji
spotřebu vody)? Předpokládejme, že se za vodoměr platí
každý rok konstantní částka. Jakou částku by byli ochotní
za takový vodoměr zaplatit?
5. Jak je všeobecně známo, Keynes byl velký hráč na burze.
Většinou vyhrával, ale někdy také prohrál. Jeho příjem
byl proto jiný než příjem zbylých dvou ekonomů a činil
nM, kde n > 0. Když Keynes vyhrával, bylo n > 1, když
prohrával, bylo n < 1. Pokud se nic jiného nezmění, kolik
bude Keynes spotřebovávat vody a kolik ostatních statků?
A kolik zbylí dva ekonomové? Jak se změní situace s vodoměrem?
Může se stát, že si některý aktér nebude vůbec
moci dovolit v domečku zůstat? Za jakých okolností?
6. Předpokládejme znovu, že příjem všech tří ekonomů je stejný
(M dolarů ročně), ale liší se jejich vztah k vodě. Je totiž
známo, že Karel Marx se nerad myl. Zatímco Friedmanovy
a Keynesovy preference popisuje rovnice (1), Marxovy
popisuje jiná rovnice:
U = w
√
W +
√
C, (2)
kde význam všech symbolů je stejný jako v rovnici (1) a w
je vhodná konstanta (platí w > 0).
Jak se nyní změní spotřeba vody a ostatních statků jednotlivých
ekonomů? Jak se změní jejich pohled na společný
vodoměr? Jaké musí být w, aby Marx byl opravdu „špinavec
? A co kdyby Marx naopak miloval vodu víc než zbylí
dva?
2
OFICIÁLNÍ ŘEŠENÍ ÚLOHY O VODĚ
1. První úloha je samozřejmě triviální. Friedmanova účelová
funkce má tvar
U =
√
W +
√
C, (3)
jeho rozpočtové omezení má tvar
M = W + C, (4)
protože Friedman utrácí veškerý svůj rozpočet M buď na
nákup vody W nebo nákup ostatních statků C (oba statky
mají cenu 1).
Snadno tedy sestavíme Lagrangeovu funkci a najdeme
optimální strutkuru a výši Friedmanovy spotřeby. Příslušná
Lagrangeova funkce má tvar
L =
√
W +
√
C + λ(W + C − M). (5)
Optimální spotřebu zjistíme tak, že položíme první parciální
derivace L podle W, C a λ rovno nule a dořešíme
(podmínky prvního řádu jsou dostatečné, protože víme,
že účelová funkce je konvexní, zatímco rozpočtové omezení
kvazikonkávní).
Optimální spotřeba je pro Friedmana W = M/2 a
C = M/2. Friedman tedy nakupuje vodu za jednu polovinu
svého rozpočtu a ostatní statky za druhou polovinu
svého rozpočtu. Situaci lze snadno znázornit graficky, viz
obrázek 1.
W
C
M
M
U1
M/2
M/2
E1
Obrázek 1 Friedmanova spotřeba, pokud žije v domečku
sám (úloha 1)
2. Nyní uvažujeme tři ekonomy. Protože mají společný vodoměr,
každý z nich platí pouze jednu třetinu vlastní spotřeby
vody, ale také jednu třetinu spotřeby ostatních dvou.
Ostatní statky si platí každý sám. Dva z ekonomů spotřebovávají
M/2 vody (tj. tolik, kolik Friedman v minulém
příkladě), poslední z nich, Friedman, opět optimalizuje.
Friedmanovy preference zůstaly zachovány, tj. stále odpovídají
rovnici 3. Změnilo se však jeho rozpočtové omezení.
Stále je jeho rozpočet M, výdaje na ostatní statky
jsou CF , jeho výdaje za vodu jsou však nyní WF /3+M/3,
protože platí pouze jednu třetinu své spotřeby vody (tj.
WF /3) plus jednu třetinu spotřeby ostatních dvou. Každý
ostatní ekonom spotřebuje M/2 vody, jsou dva, z toho jedna
třetina je M/3. Friedmanovo rozpočtové omezení je tedy
nyní
M = WF /3 + M/3 + CF . (6)
Lagrangeova funkce je tedy nyní
L = WF + CF + λF (WF /3 + M/3 + CF − M). (7)
Friedmanovu optimální úroveň spotřeby zjistíme odbobně
jako před tím, tj. položením prvních parciálních derivací L
podle WF , CF a λF rovno nule.
V tomto případě bude Friedman spotřebovávat CF =
M/6 ostatních statků a WF = 3/2M vody. Spotřebovává
tak takovou komibnaci statků, která pro něj před tím byla
nedosažitelná (k tomu by potřeboval rozpočet 5/3M, tedy
o dvě třetiny větší, než jaký má). Nyní si tuto spotřebu
může dovolit, protože větší část jeho výdajů za vodu (dvě
třetiny) platí jeho spolubydlící. Jeho užitek tak samozřejmě
výrazně stoupne – na úkor ostatních dvou ekonomů. Situaci
ilustruje obrázek 2.
W
C
2/3M
2M
U2
3/2M
M/6
E2
U1
M/2
M/2
E1
Obrázek 2 Friedmanova spotřeba, pokud žije v domečku
se dvěma ekonomy, kteří neoptimalizují (úloha
2)
Zajímavé je, že při „okrádání svých bližních potřeboval
Friedman ke zvýšení svého užitku na indiferenční křivku
U2 zvýšení svého „reálného příjmu o dvě třetiny, zatímco
kdyby bydlel v domečku sám, stačilo by mu zvýšení skutečného
příjmu o pouhou jednu třetinu. Je tomu tak proto,
že „okrádání bližních mu neumožňuje zvyšovat spotřebu
ostatních statků, pouze spotřebu vody. Z důvodu klesajícího
mezního užitku pak potřebuje více prostředků k dosažení
určité indiferenční křivky, než kdyby zvyšoval rovnoměrně
(v tomto případě!) spotřebu obou statků.
Podívejme se také na situaci zbylých dvou ekonomů. Ti
vždy spotřebovávají množství vody W = M/2. Při Friedmanově
spotřebě vody 3/2M jim na vlastní spotřebu ostatních
statků zůstává pouze M/6 dolarů (platí jednu třetinu
vlastní spotřeby, jednu třetinu spotřeby druhého neoptima-
3
lizujícího ekonoma a jednu třetinu Friedmanovy spotřeby,
tj. M − 1/2M/3 − 1/2M/3 − 3/2M/3 = M/6). Celá jejich
spotřeba je tedy tvořena množstvím M/2 vody a M/6 ostatních
statků. Jejich užitek je tedy soužitím s Friedmanem
(ve skutečnosti spíše jejich hloupostí) výrazně snížen. Při
stejném „reálném rozpočtu 2/3M by ve skutečnosti mohli
dosáhnout výrazně vyššího užitku, kdyby optimalizovali
svoji spotřebu, tj. spotřebovávali stejné (při jejich účelové
funkci) množství vody i ostatních statků.
3. Z předchozího úkolu je zřejmé, že ani Keynes, ani Marx
nemohou být se svou situací spokojení. Kdyby ji optimalizovali,
tj. spotřebovávali jinou kombinaci vody a ostatních
statků, mohli by si polepšit. Pokud každý ekonom optimalizuje
své postavení, musí vzít v úvahu chování ostatních
dvou ekonomů. Jeho rozhodnutí je pak závislé na jejich
rozhodnutí. Naším cílem je zde tedy nalezení rovnováhy,
tj. takového chování všech agentů, při kterém 1) je jejich
chování vzájemně kompatibilní a 2) si žádný z nich nemůže
pomoci změnou svého jednání.
Každý agent má nyní užitkovou funkci popsanou rovnicí
3 a rozpočet daný vztahem
M = WF /3 + WK/3 + WM /3 + Ci, (8)
kde WF je Friedmanova spotřeba vody, WK Keynesova
spotřeba vody, WM Marxova spotřeba vody a Ci jeho vlastní
spotřeba ostatních statků.
Lagrangeova funkce má pak (pro Friedmana) tvar
L = WF + CF +
+ λF (WF /3 + WK/3 + WM /3 + CF − M).
(9)
Lagrangeova funkce pro další dva ekonomy je obdobná.
Optimální chování jednoho agenta (např. Friedmana)
najdeme tak, že položíme první parciální derivace L podle
WF , CF a λF rovno nule a dořešíme. Tím dostaneme optimální
spotřebu jednoho agenta (tady Friedmana) závislou
na skutečné spotřebě zbylých dvou agentů. Friedmanova
optimální spotřeba je taková, že
CF = M/4 − WK/12 − WF /12,
WF = 9/4M − 3/4WK − 3/4WF .
(10)
Optimální chování ostatních agentů je identické. Po dořešení
rovnic 10 pro všechny agenty, získáme rovnovážné řešení
(v tomto případě existuje pouze jediná rovnováha). V rovnováze
každý agent spotřebuje stejné množství statků (to
je zřejmé – mají stejný rozpočet i preference): spotřebuje
Wi = 9/10M vody a Ci = M/10 ostatních statků.
V rovnováze tedy už žádný agent není schopen „okrádat
své bližní – jediné, k čemu dochází je změna struktury
spotřeby: místo efektivní rovnoměrné spotřeby obou statků
nastupuje neefektivní nadměrná spotřeba vody, viz obrázek
3. Díky neefektivitě ve spotřebě je na tom teď každý
ekonom hůř, než kdyby bydlel sám.
4. Už jsme viděli, že pokud všichni ekonomové optimalizují
svoji spotřebu, existence společného vodoměru vede k plýtvání,
které způsobí, že na tom jsou všichni hůře, než kdyby
měl každý svůj vlastní vodoměr. Je to tím, že společný vodoměr
snižuje náklady na vlastní spotřebu – spotřeba vody
je tak relativně levnější než spotřeba ostatních statků. To
W
C
U3
9/10M
M/10
E3 U1
M/2
M/2
E1
Obrázek 3 Friedmanova spotřeba, pokud žije v domečku
se dvěma ekonomy a každý z nich optimalizuje
svoji situaci (úloha 3)
se projeví snížením sklonu rozpočtového omezení každého
ekonoma. Toto relativní zlevnění vody motivuje ekonomy
k větší spotřebě vody. Protože více spotřebovávají i ostatní
ekonomové, odsávají si navzájem své prostředky – jejich
„disponibilní důchod klesá, což se projevuje posunem rozpočtového
omezení dolů.
Z obrázku 4 je zřejmé, že stejného užitku U3, jako v případě
s jedním vodoměrem, mohou ekonomové dosáhnout
s mnohem nižším příjmem, pokud bude každý platit právě
za svoji spotřebu, tj. když si každý koupí svůj vodoměr.
Tento příjem je 4/5M.
W
C
U3
2/5M
2/5M
E4
U3
9/10M
M/10
E3 U1
M/2
M/2
E1
Obrázek 4 Friedmanova spotřeba, pokud žije v domečku
se dvěma ekonomy a každý z nich optimalizuje
svoji situaci, ale navíc má každý svůj vodoměr (úloha 4)
Každý ekonom si tedy rád koupí vlastní vodoměr, pokud
za něm bude muset zaplatit méně než M/5. V takovém
případě totiž dosáhne vyšší indiferenční křivky než je U3.
5. Pokud má jeden z ekonomů jiný rozpočet než ostatní, je
řešení v principu stejné jako u třetí úlohy. Jediný rozdíl
je v tom, že musíme zvlášť vyřešit optimum pro tohoto
ekonoma. Jeho rozpočtové omezení má tvar
4
nM = WF /3 + WK/3 + WM /3 + CK, (11)
Lagrangeova funkce pak má tvar
LK = WK + CK + λK WF /3+
+ WK/3 + WM /3 + CK − nM .
(12)
Keynesova optimální spotřeba může být zjištěna stejným
způsobem jako v případě 3. Keynes spotřebuje
CK = nM/4 − WF /12 − WM /12
WK = 9/4M − 3/4WF − 3/4WM
(13)
Tento výsledek lze samozřejmě získat přímo úpravou rovnice
10.
Společným řešením rovnic 10 pro Friedmana a Marxe a
rovnice 13 pro Keynese dostaneme rovnovážné řešení pro
případ, kdy se jeden ekonom odlišuje od ostatních svých
rozpočtem:
WF = WM =
18
5
−
27
10
n M
WK =
63
10
n −
27
5
M
CF = CM =
2
5
−
3
10
n M
CK =
7
10
n −
3
5
M
(14)
Je zřejmé, že pokud je n = 1, tj. všichni mají stejný rozpočet,
pak rovnice 14 dává stejné výsledky jako rovnice 10.
Pokud je n < 1, tedy pokud má Keynes nižší rozpočet než
ostatní, pak je jeho spotřeba nižší než spotřeba ostatních
ekonomů, pokud n > 1 (a Keynes je bohatší než ostatní),
pak je jeho spotřeba větší.
Můžeme s jistým překvapením zjistit ještě další fakt:
v systému s jedním vodoměrem bohatší „okrádá chudšího!
Dokonce existují takové velikosti n, že si některý ekonom
nemůže soužití s ostatními vůbec dovolit, protože jeho
spotřeba by byla nulová nebo dokonce záporná. Pokud je
n ≤ 6/7, pak si soužití v „domečku nemůže dovolit Keynes,
protože by si nemohl dovolit kupovat ani vodu ani
ostatní statky a ještě by doplácel za spotřebu vody svých
bohatších sousedů; pokud je n ≥ 4/3, nemohou si ze stejného
důvodu dovolit soužití Friedman s Marxem. Bohatší
ekonom si může dovolit přenášet část svých nákladů na své
chudší spolubydlící.
Bude chtít bohatší spolubydlící zavést vodoměr? To záleží
na tom, jak velký je jeho rozpočet, přesněji řečeno,
kolikrát je větší než rozpočet jeho spolubydlících. Pokud je
menší pouze „o kousek , pak je přínos přesunu části nákladů
na ostatní menší než pokles užitku z důvodu nerovnoměrné
spotřeby statků a vodoměr by zvýšil jeho užitek;
pokud je však jeho rozpočet výrazně větší, pak je přínos
z přesunu nákladů na spotřebu vody na ostatní větší a vodoměr
by mu naopak uškodil. Hraniční poměr příjmů je
n = 24/23. Pokud má Keynes příjem větší méně než o jednu
dvaceti třetinu, pak bude spolu s ostatními hlasovat
pro zavedení individuálních rozpočtů; pokud je však jeho
příjem vyšší více než o jednu dvaceti třetinu, pak bude hlasovat
proti zavedení takových vodoměrů.
6. I řešení posledního problému je v principu stejné. Optimální
chování Friedmana a Keynese je stejné jako ve 3. úloze,
tzn. že je popsané rovnicí 10. Musíme však odhalit Marxovo
optimální chování.
Marx má stejný rozpočet jako ostatní; jeho rozpočtové
omezení tedy popisuje rovnice 4. Liší se jeho účelová funkce.
Ta je nyní dána rovnicí
UM = w WM + CM . (15)
Lagrangeova funkce má potom tvar
LM =w WM + CM + λM WF /3+
+ WK/3 + WM /3 + CM − M .
(16)
Za těchto podmínek je Marxova optimální spotřeba
CM =
3M − WF − WK
3 (1 + w2)
WM =
3w2
(3M − WF − WK)
1 + 3w2
(17)
Rovnovážné řešení opět objevíme tak, že simultánně vyřešíme
rovnice 10 pro Friedmana a Keynese a rovnice rovnice
17 pro Marxe. Tímto způsobem získáme rovnovážné
objemy spotřeby pro všechny ekonomy:
CF = CK = CM =
M
7 + 3w2
,
WF = WK =
9M
7 + 3w2
,
WM =
9Mw2
7 + 3w2
.
(18)
Velikost w určuje, zda má Marx raději vodu než ostatní
ekonomové, nebo méně rád. Pokud je w > 1, má Marx
raději vodu než ostatní (spotřebovává více vody a méně
ostatních statků), pokud je w < 1, pak je Marx „špinavec .
Čím je w větší, tím více vody Marx spotřebovává – a díky
společnému vodoměru „okrádá své bližní , kteří musejí
snížit svoji spotřebu. V tomto případě však neexistuje žádná
limitní hodnota w, při které by musel některý obyvatel
„domeček opustit. (Je zřejmé, že pokud je w > 1, pak je
Marx čistotnější než ostatní; pokud je však w < 1, pak je
Marx skutečně „špinavec , jak svědčí historici.)