10. seminář, analytická geometrie
Příklad 1: Vyšetřete vzájemnou polohu přímek p, q, (v případě různoběžek určete souřadnice
průsečíku)			
a) je-li p = {[1 + t,2 - 2t,t],t G IR},	9 =	{[4	— 2s, 1 + 4s, 3 — 2s], s G IR} [rovnoběžky]
b) je-li p = {[2 - 3t, 1 + t, 4 - t], t G		Q =	{[-4 + 3s, 3 - s, 2 + s], s G M} /p=g/
c) je-lip = {[2t,3-t,4-t],tGM},	Q =	{[2	— 2s, — 1 + s, 6 + 2s], s G IR} [mímoběžky]
d) je-lip = {[2,l+í,3],ÍGM}, q =	{[s,	4,1-	f s], s G M} [různoběžky, P[2,3,4]]
e) je-li p = {[2,4 - t, 1 + 2t], t G M}	Q =	= {[1	— s, 2 + 3s, — 1 — 2s], s G M} [mímoběžky]
Příklad 2: Jsou dány body A[2,1, 6],	£[0	-1,	-6], C[-l,2,0].
a) Dokažte, že body A, 5, C určují rovinu a napište její parametrické rovnice.
b) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina ABC protíná souřadné osy. [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,-3]]
c) Rozhodněte, zda body K[2,A, 15], L[—3,2,6] leží v rovině ABC. [K ano, L ne]
d) Vypočítejte z G IR tak, aby bod M[—2,1, z] ležel v rovině ABC. [z=-6]
Příklad 3: Rozhodněte, zda body A,B,C určují rovinu, případně napište její obecnou rovnici, je-li:
a) A[l,l,l], £[5,1,-3], C[2,0,2]. [x+2y+z-4=0]
b) A[l,-3,-l], £[2,2,0], C[-4,5,5]. [2x-y+3z-2=0]
c) A[l,2, -3], £[0,1,2], C[2,3,-8]. [neurčují rovinu]
d) A[0,0,0], £[1,2,-2], C[-3,-6,-5]. [2x-y=0]
Příklad 4: Napište obecnou rovnici roviny p, je-li určena
a) bodem A[0,-l,5] a přímkou p = {[3-í, -2 + í,4 + 2í], t G IR}
b) přímkami p = {[§, 2 + t, 0], í G IR} a g = {[3,1 + s, 2], s G IR}
c) body A[3,4, 5], £[—2,1,0] a je rovnoběžná s osou y.
Příklad 5: Vyšetřete vzájemnou polohu přímky p a roviny p, je-li
a) je-li p = {[2 + í, 3 + 2í, 1 - t], t E R}, p : x - 2y + z - 5 = 0 [různoběžné, P[0,-1,S]]
b) je-li p = {[1 - 2í, 5 - t, -3 + t], t e R}, p : 3x - y + z - 11 = 0 [rovnoběžky]
c) je-li p = {[2í, 4 + í, —1], í G M}, p : x — 2y — 3,2+ 5 = 0 [přímka leží v rovině]
d) je-li p = AB, kde A = [—2, 0,-1], -B = [2,1,4] a rovina p je určena body K = [0,0,3], M= [-2,-1,1], L = [0,1,4]. [různoběžné, P[4;l,5;6,5]]
Příklad 6: Načrtněte
a) polorovinu 2x — 3y + 2 > 0.
b) kružnici (x — 1)2 + í/2 = 16 (určete střed a poloměr).
c) elipsu 25x2 + y2 = 100 (určete střed, délky poloos, excentricitu a ohniska).
d) hyperbolu {x — l)2 — A(y + 2)2 = 16 (určete střed, délky poloos, excentricitu, ohniska a rovnice asymptot)
e) parabolu (x + l)2 + y + 2 = 0 (určete vrchol, ohnisko a rovnici řídící přímky).
Příklad 7: Napište rovnici
a) kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[l, 1]. [x2 + y2 = 2]
b) kružnice, která má střed S[2,1] a prochází bodem K[6, —2] (najděte průsečíky s osami). [(x - 2f + (y - l)2 = 25/
c) elipsy, která má ohniska v bodech -Fi[3, 2], ^[—3, 2] a hlavní poloosu délky 5.
i 25 ^     16 v
d) paraboly, která má vrchol v počátku a ohnisko F[2, 0]. [y2 = 8x[
e) paraboly, která má vrchol v počátku a řídící přímku x = 1. /í/2 = — 4rr/
Příklad 8: Úpravou na středový tvar rovnice rozhodněte, o jaký typ kuželosečky jde a načrtněte ji.
a) Ax2 - 9y2 + 18y - 45 = 0
b) 2x2 + 3y2 - 12x + 6y + 21 = 0
c) í/2 - 3x - 2y + 7 = 0
d) 4x2 + Ay2 - 16y - 9 = 0