Nejistota a rovnováha
Varian: Mikroekonomie: moderní přístup, kapitoly 12 a 16
Varian: Intermediate Microeconomics, 8e, Chapters 12 and 16
() 1 / 49
Na této přednášce se dozvíte
• jak vypadá rozhodování za rizika,
• co je to funkce očekávaného užitku a předpoklad nezávislosti,
• co je to averze k riziku a vyhledávání rizika,
• jak funguje diverzifikace a rozložení rizika.
• co je to rovnováha,
• jaký mají daně vliv na rovnováhu,
• co je to Pareto efektivní situace.
() 2 / 49
Volba podmíněného spotřebního plánu
Podmíněný spotřební plán říká, jakou spotřebu nebo bohatství
budeme mít v různých výsledných stavech určité náhodné události.
K analýze volby podmíněného spotřebního plánu můžeme použít
standardní teorii spotřebitelské volby, protože
• podmíněný spotřební plán je spotřební koš,
• máme rozpočtové omezení (např. dané pojistným),
• máme definované preference nad různými spotřebními plány.
Spotřebitel si volí nejlepší spotřební plán, který si může dovolit.
() 3 / 49
Příklad – pojištění
Spotřebitel plánuje v tomto roce utratit 35 000.
S pravděpodobností 1 % dojde k nehodě –
bude si muset koupit nové auto za 10 000.
Jeho podmíněný spotřební plán je
• spotřeba ve špatném stavu cb = 25 000 s pravděpodobností 1 %,
• spotřeba v dobrém stavu cg = 35 000 s pravděpodobností 99 %.
() 4 / 49
Příklad – pojištění (pokračování)
Pojištění umožní spotřebiteli volit mezi více spotřebními plány.
Pokud zaplatí pojistné γK, dostane v případě nehody částku K.
Spotřebitel si volbou K vybírá mezi následujícími spotřebními plány:
• cb = 25 000 + K − γK s pravděpodobností 1 %,
• cg = 35 000 − γK s pravděpodobností 99 %.
Např. pokud je γ = 0,1 a spotřebitel si zvolí K = 10 000,
jeho podmíněný spotřební plán bude
• 34 000 s pravděpodobností 1 %,
• 34 000 s pravděpodobností 99 %.
() 5 / 49
Příklad – pojištění (pokračování)
Linie rozpočtu (BL): cg = 35 000 +
γ
(1 − γ)
25 000
průsečík se svislou křivkou
−
γ
(1 − γ)
sklon BL
cb.
() 6 / 49
Příklad – pojištění (pokračování)
Jaké pojištění si spotřebitel zvolí? To záleží na jeho preferencích.
Např. vztahu spotřebitele k riziku:
• Pokud je konzervativní, zvolí si vysoké pojistné krytí.
• Pokud má rád riziko, nemusí si třeba koupit žádné pojištění.
Než budeme pokračovat v příkladu s pojištěním, ukážeme si
• jak preference za nejistoty reprezentujeme užitkovou funkcí,
• jaké mají tyto užitkové funkce vlastnosti,
• jak pomocí užitkové funkce reprezentujeme vztah k riziku.
() 7 / 49
Reprezentace preferencí pomocí užitkové funkce
Preference mezi spotřebou v různých výsledných stavech budou
záviset na pravděpodobnostech, že tyto stavy nastanou.
Např. pravděpodobnost nehody π ovlivní moji mezní míru substituce
spotřeby v obou výsledných stavech. Čím větší je π, tím víc cg jsem
ochotný obětovat za dodatečnou jednotku cb (dražší pojištění).
Obecný tvar užitkové funkce, pomocí které můžeme reprezentovat
preference pro spotřební plán se dvěma výslednými stavy, je
u(c1, c2, π1, π2),
kde
• c1 a c2 je spotřeba ve stavech 1 a 2,
• π1 a π2 jsou pravděpodobnosti, že nastanou stavy 1 a 2.
() 8 / 49
Příklady užitkových funkcí
• Dokonalé substituty:
u(c1, c2, π1, π2) = π1c1 + π2c2.
π1c1 + π2c2 je očekávaná hodnota dané události.
• Cobb-Douglasova užitková funkce:
u(c1, c2, π1, π2) = cπ
1 c
(1−π)
2 .
Někdy může být užitečné použít následující monotónní
transformaci této užitkové funkce:
ln u(c1, c2, π1, π2) = π1 ln c1 + π2 ln c2.
() 9 / 49
Von Neumann-Morgensternova užitková funkce
Von Neumann-Morgensternova užitková funkce má tvar
u(c1, c2, π1, π2) = π1v(c1) + π2v(c2),
kde v(c1) a v(c2) jsou funkce užitku v jednotlivých stavech.
V příkladech užitkových funkcí na předchozím slajdu:
• u dokonalých substitutů v(c) = c,
• u Cobb-Douglasovy užitkové funkce v(c) = ln c.
Tato funkce se také nazývá funkce očekávaného užitku –
užitek z podmíněného spotřebního plánu u(c1, c2, π1, π2) se rovná
očekávanému užitku v jednotlivých stavech πv(c1) + π2v(c2).
() 10 / 49
Pozitivní afinní transformace
Spotřebitelské preference reprezentovány funkcí očekávaného užitku
= užitková funkce má aditivní formu (součet).
Libovolná monotónní transformace funkce očekávaného užitku
popisuje stejné preference, ale nemusí mít aditivní tvar.
Např. funkce π1 ln c1 + π2 ln c2 a cπ1
1 cπ2
2 popisují stejné
Cobb-Douglasovy preference, ale cπ1
1 cπ2
2 nemá aditivní formu.
Pozitivní afinní transformace t(u) – typ monotónní transformace,
který zachovává aditivní formu užitkové funkce:
t(u) = au + b kde a > 0.
Pozitivní afinní transformace znamená vynásobení původního užitku
konstantou a nebo přičtení konstanty b.
() 11 / 49
Předpoklad nezávislosti
Abychom mohli reprezentovat preference pomocí funkce
očekávaného užitku, potřebujeme předpoklad nezávislosti.
Předpoklad nezávislosti říká, že pokud přidáme do všech
podmíněných spotřebních plánů, mezi kterými se spotřebitel
rozhoduje, třetí spotřební plán, jeho preference se nezmění.
() 12 / 49
Příklad – volba restaurace
Petr může jít na večeři do restaurace A nebo do restaurace B.
Rozlišuje tři různé kvality jídla: dobré D, průměrné P a špatné S.
Restaurace A má výborného kuchaře, který ale často nemá svůj den:
S pravděpodobností 50 % dostane D a s pravděpodobností 50 % S.
Kuchař v restauraci B není tak dobrý, ale zato podává stabilní výkony:
S pravděpodobností 90 % dostane P a s pravděpodobností 10 % S.
() 13 / 49
Příklad – volba restaurace (pokračování)
Jakou restauraci si Petr vybere? To záleží na jeho preferencích.
Předpokládejme, že má takovou funkci očekávaného užitku,
že si vybere restauraci A, tedy že
0, 5v(D) + 0, 5v(S) > 0, 9v(P) + 0, 1v(S). (1)
Jak se změní jeho volba, když se dozví, že v obou restauracích mu
s pravděpodobností 50 % uvaří Zdeněk Pohlreich výborné jídlo V ?
Nijak. Tato informace zvýší užitek obou restaurací stejně.
Pokud platí (1), pak musí také platit, že
1
2
v(V )+
1
2
0, 5v(D)+0, 5v(S) >
1
2
v(V )+
1
2
0, 9v(P)+0, 1v(S) .
() 14 / 49
Příklad – volba restaurace (pokračování)
Předpoklad nezávislosti říká, že pokud budou navíc obě restaurace
vařit V se stejnou pravděpodobností, Petrova volba se nezmění.
Pokud neplatí předpoklad nezávislosti, nemůžeme preference
spotřebitele reprezentovat funkcí očekávaného užitku.
V jaké situaci by předpoklad nezávislosti neplatil? Pokud by příchod
Pohlreicha z nějakého důvodu přiměl Petra chodit do restaurace B.
V tomto případě bychom nemohli použít funkci očekávaného užitku,
protože podle této funkce musí Petr preferovat restauraci A, protože
1
2
v(V )+
1
2
0, 5v(D)+0, 5v(S) >
1
2
v(V )+
1
2
0, 9v(P)+0, 1v(S) .
() 15 / 49
EXPERIMENT: Televizní soutěž
Představte si, že jste dva týdny po sobě vyhráli televizní soutěž a po
každé výhře jste dostali na výběr mezi dvěma různými loteriemi:
1. týden:
• 100 % – 500 000 Kč
• 10 % – 2 500 000 Kč
89 % – 500 000 Kč
1 % – 0 Kč
2. týden:
• 11 % – 500 000 Kč
89 % – 0 Kč
• 10 % – 2 500 000 Kč
90 % – 0 Kč
() 16 / 49
EXPERIMENT: Televizní soutěž – Allais paradox
Podle předpokladu nezávislosti byste si měli vybrat v obou týdnech
buď první nebo druhou možnost.
Např. pokud jste u výhry 2 vybrali loterii 2, musí platit, že
0, 11v(500 000) + 0, 89v(0) < 0, 1v(2 500 000) + 0, 90v(0). (2)
Pak byste si u výhry 1 měli vybrat také loterii 2, tedy musí platit, že
1v(500 000) < 0, 1v(2 500 000) + 0, 89v(500 000) + 0, 01v(0). (3)
Proč? Když od obou stran nerovnice (3) odečteme 0, 89v(500 000)
a k oběma stranám přičteme 0, 89v(0), dostaneme nerovnici (2).
() 17 / 49
Vztah k riziku
Spotřebitel, který má majetek v hodnotě 10 $,
• s pravděpodobností 50 % vyhraje 5 $,
• s pravděpodobností 50 % prohraje 5 $.
Jeho podmíněný spotřební plán má
• očekávanou hodnotu EV = 0, 5 × 5 + 0, 5 × 15 = 10.
• očekávaný užitek EU = 0, 5 × u(5) + 0, 5 × u(15).
Spotřebitel
• je rizikově averzní, pokud u(EV ) > EU – konkávní tvar u(c),
• vyhledává riziko, pokud u(EV ) < EU – konvexní tvar u(c),
• je rizikově neutrální, pokud u(EV ) = EU – lineární tvar u(c).
() 18 / 49
Averze k riziku
Konkávní tvar užitkové funkce =⇒ u(EV ) > EU
() 19 / 49
Vyhledávání rizika
Konvexní tvar užitkové funkce =⇒ u(EV ) < EU
() 20 / 49
Vztah k riziku – konkrétní užitkové funkce
Spotřebitel, který má majetek v hodnotě 10 $,
• s pravděpodobností 50 % vyhraje 5 $,
• s pravděpodobností 50 % prohraje 5 $.
Jaký je vztah spotřebitele k riziku pro následující užitkové funkce?
• Užitková funkce u(c) =
√
c:
u(EV ) =
√
EV =
√
10 = 3, 16.
EU = 0, 5 ×
√
5 + 0, 5 ×
√
15 = 3, 05.
u(EV ) > EU =⇒ Spotřebitel je rizikově averzní.
• Užitková funkce u(c) = c2
:
u(EV ) = EV 2
= 102
= 100.
EU = 0, 5 × 52
+ 0, 5 × 152
= 125.
u(EV ) < EU =⇒ Spotřebitel vyhledává riziko.
() 21 / 49
Příklad – pojištění (pokračování)
Zadání:
Spotřeba ve špatném stavu: cb = 25 000 + K − γK
Spotřeba v dobrém stavu: cg = 35 000 − γK
Pravděpodobnost špatného stavu (nehody) je π.
Předpokládáme, že pojišťovna nabízí spravedlivou pojistku.
Spravedlivá pojistka – výše pojistného γK, při kterém má
pojišťovna nulový zisk
P = γK − πK = 0.
Pokud pojišťovna nabízí spravedlivou pojistku, platí,
γ = π.
() 22 / 49
Příklad – pojištění (pokračování)
Optimální volba:
MRS = −
π∆u(cb)
∆cb
(1 − π)∆u(cg )
∆cg
= −
γ
1 − γ
(4)
Když γ = π dosadíme do rovnice (4) a vykrátíme γ, dostaneme
∆u(cb)
∆cb
=
∆u(cg )
∆cg
.
Tato rovnice říká, že užitek z dodatečné jednotky spotřeby musí být
stejný v obou výsledných stavech.
() 23 / 49
Příklad – pojištění (pokračování)
Rizikově averzní spotřebitel má klesající mezní užitek ze spotřeby.
Pokud by např. cb < cg , pak by muselo platit, že ∆u(cb)
∆cb
> ∆u(cg )
∆cg
.
Pokud chceme mít ∆u(cb)
∆cb
= ∆u(cg )
∆cg
, pak musí platit, že
cb = cg
25 000 + K − γK = 35 000 − γK
K = 10 000.
Když má rizikově averzní spotřebitel k dispozici spravedlivou pojistku,
pojistí se plně.
() 24 / 49
Příklad: pojištění (konkrétní zadání)
Zadání:
Spotřeba ve špatném stavu: cb = 25 000 + K − γK = 25 000 + 0, 9K.
Spotřeba v dobrém stavu: cg = 35 000 − γK = 35 000 − 0, 1K.
Užitková funkce: u(cb, cg , πb, πg ) = 0, 1 ln cb + 0, 9 ln cg .
Jaké bude optimální pojistné plnění K?
Z rovnice cg si vyjádříme K:
K = (35 000 − cg )/0,1 = 350 000 − cg /0,1
Dosadíme do rovnice cb:
cb = 25 000 + 0,9(350 000 − cg /0,1).
Linie rozpočtu je
cb + 9cg = 340 000.
() 25 / 49
Příklad: pojištění (konkrétní zadání)
Hledáme spotřební koš, kde MRS = sklon linie rozpočtu:
−
∂u
∂cb
∂u
∂cg
= −
γ
1 − γ
nebo −
∂u
∂cb
∂u
∂cg
= −
pb
pg
−
0,1cg
0,9cb
= −
0,1
0,9
cb = cg .
Dosazením do rozpočtového omezení dostaneme:
cg + 9cg = 340 000
cg = 34 000.
Optimální pojistné plnění bude
K = (35 000 − cg )/0,1 = 10 000 $.
() 26 / 49
Příklad – diverzifikace
Představte si, že máte 100 $ a rozhodujete se o investici do
• firmy S – sluneční brýle,
• firmy D – deštníky.
Je stejně pravděpodobné, že bude příští léto deštivo a slunečno.
Obě akcie stojí 10 $ za kus. Pokud je
• deštivo, akcie D stojí 20 $ za kus a akcie S 5 $ za kus,
• slunečno, akcie D stojí 5 $ za kus a akcie S 20 $ za kus.
Jak máte zainvestovat?
() 27 / 49
Příklad – diverzifikace (pokračování)
Dva scénáře: Investujete
• 100 $ do jedné firmy, pak EV = 0, 5 × 200 + 0, 5 × 50 = 125 $,
• 50 $ do každé firmy, EV = 2 × (0, 5 × 100 + 0, 5 × 25) = 125 $.
Diverzifikace snižuje riziko, ale zůstane stejná očekávaná hodnota.
Diverzifikace je možná, pokud nejsou pohyby cen dokonale
pozitivně korelované.
() 28 / 49
Příklad – rozložení rizika
Máme 1 000 sedláků s majetkem 35 000 $, kterým
s pravděpodobností 1 % chytne stodola a přijdou o 10 000 $.
Předpokládáme, že rizika požáru jsou nezávislá.
Jejich spotřební plán je pak
• 35 000 $ s pravděpodobností 99 %,
• 25 000 $ s pravděpodobností 1 %.
Očekávané bohatství sedláka je tedy
0, 99 × 35 000 + 0, 01 × 25 000 = 34 900.
Jak funguje rozložení rizika?
() 29 / 49
Příklad – rozložení rizika (pokračování)
Tito sedláci se dohodnou tak, že kdo vyhoří, dostane od všech
ostatních sedláků 10 $.
Příjem sedláka pak závisí na počtu požárů.
V průměru vyhoří 10 lidí za rok. Každý sedlák pak má očekávané
bohatství
35 000 − 10 × 10 = 34 900.
Princip vzájemného pojištění: Očekávané bohatství každého člověka
je stejné, ale riziko každého člověka se snížilo.
() 30 / 49
Princip optimalizace a rovnováhy
Až doposud jsme se zabývali optimalizací spotřebitele:
Lidé si volí nejlepší spotřební koš, který si mohou dovolit.
V další části kurzu se budeme zabývat optimalizací firem:
Firmy si volí takovou kombinaci výrobních faktorů, při které
maximalizují zisk.
Rovnováha je situace na trhu, kdy je optimální chování spotřebitelů
a firem na trhu ve vzájemném souladu.
() 31 / 49
Rovnováha - předpoklady
Máme určitý počet spotřebitelů.
Tržní poptávka D(p) = součet poptávek
těchto spotřebitelů.
Máme určitý počet nezávislých firem.
Tržní nabídka S(p) = součet nabídek
jednotlivých firem.
Dokonale konkurenční trh – každý
subjekt bere ceny jako dané. Tržní cena
je nezávislá na volbě jednoho subjektu,
ale je determinována volbami všech
těchto subjektů dohromady.
() 32 / 49
Rovnováha
V rovnováze platí pro
• poptávku D(p) a nabídku S(p), že D(p) = S(p) = q∗
.
• inverzní poptávku PD(q) a nabídku PS (q), že PD(q∗
) = PS (q∗
).
() 33 / 49
Příklady rovnováhy – vertikální a horizontální nabídka
Vertikální nabídka – množství určené nabídkou, cena poptávkou.
Horizontální nabídka – množství určené poptávkou, cena nabídkou.
() 34 / 49
Příklady rovnováhy – lineární křivky
Lineární poptávková a nabídková křivka:
D(p) = a − bp
S(p) = c + dp.
V rovnováze se musí poptávané a nabízené množství rovnat:
D(p) = a − bp∗
= c + dp∗
= S(p).
Z tohoto vztahu vypočítáme rovnovážnou cenu:
p∗
=
a − c
b + d
.
A dosazením této ceny do poptávkové nebo nabídkové funkce získáme
rovnovážné množství
q∗
=
ad + bc
b + d
.
() 35 / 49
Daně
Pokud je na trhu daň, vznikají dvě ceny:
• Poptávková cena pD – cena, kterou musí zaplatit poptávající.
• Nabídková cena pS – cena, kterou dostane nabízející.
Rozdíl mezi těmito cenami se v rovnováze
rovná velikosti daně.
Množstevní daň: pD = pS + t.
Daň ad valorem: pD = (1 + τ)pS .
() 36 / 49
Příklad – množstevní daň
V rovnováze musí platit, že q∗
= D(pD) = S(pS ) a pS = pD − t.
Množství q∗
= D(pD) = S(pD − t) nebo q∗
= D(pS + t) = S(pS ).
() 37 / 49
Příklad – množstevní daň (pokračování)
Můžeme také využít inverzních nabídkových a poptávkových křivek.
Při rovnovážném množství q∗
musí platit, že
S (q∗
) = pD(q∗
) − t (graf A) nebo pD(q∗
) = pS (q∗
) + t (graf B).
() 38 / 49
Příklad – množstevní daň u lineárních křivek
Máme lineární poptávkovou a nabídkovou křivku. Rovnováha je
určena rovnicemi
a − bp∗
D = c + dp∗
S
p∗
D = p∗
S + t.
Řešením dvou rovnic o dvou neznámých vypočítáme nabídkovou
a poptávkovou rovnovážnou cenu:
p∗
S =
a − c − bt
b + d
a p∗
D =
a − c + dt
b + d
.
Rozdíl mezi rovnovážnou cenou bez daně p∗
= (a − c)/(b + d)
a p∗
S je bt/(b + d), závisí tedy na velikosti daně t, na sklonu
poptávkové křivky −b a na sklonu nabídkové křivky d.
Podobně rozdíl mezi p∗
D a p∗
je dt/(b + d), závisí tedy na velikosti
daně t, na sklonu nabídkové křivky d a sklonu poptávkové křivky −b.
() 39 / 49
Přenášení daňového zatížení
Horizontální nabídka (d = ∞) – celé zatížení nesou poptávající:
p∗
S = p∗
a p∗
D = p∗
+ t.
Vertikální nabídka (d = 0) – celé daňové zatížení nesou nabízející:
p∗
S = p∗
− t a p∗
D = p∗
.
() 40 / 49
Přenášení daňového zatížení
Plochá nabídka – většinu daňového zatížení nesou poptávající.
Strmá nabídka – většinu daňového zatížení nesou nabízející.
() 41 / 49
Ztráta mrtvé váhy
Ztráta mrtvé váhy z daně – čistá ztráta v přebytku spotřebitelů
a výrobců kvůli poklesu množství produkce (oblast B + D v grafu).
() 42 / 49
Příklad – rovnováha trhu s půjčkami
Úroková sazba r funguje jako cena na trhu s půjčkami. Rovnováha:
D(r∗
) = S(r∗
).
Daň ad valorem z úrokových příjmů. Nabízející dostávají úrok (1−t)r.
Možnost odpočtu úrokových nákladů od daně. Pokud je odpočtová
daňová sazba zase t, pak poptávající platí také úrok (1 − t)r.
Rovnováha při stávajícím daňovém systému je dána rovnicí
D[(1 − t)r ] = S[(1 − t)r ].
Pak musí platit, že r∗
= (1 − t)r , a tedy
r =
r∗
(1 − t)
.
() 43 / 49
Příklad – rovnováha trhu s půjčkami (graf)
() 44 / 49
PŘÍPAD: Dotace na potraviny
Při neúrodě obilí v 19. století v Anglii poskytovali bohatí lidé chudým
lidem charitativní pomoc. Nakupovali celou úrodu, spotřebovávali
stále stejně a zbytek prodávali chudým za polovinu nákupní ceny.
Rovnováha bez charity:
D(p∗
) + K = S,
kde D(p∗
) je poptávka chudých, K je množství požadované bohatými
a S je fixní nabídka obilí – tedy (ne)úroda.
Rovnováha s charitou:
D(ˆp/2) + K = S.
Pokud máme na obou trzích rovnováhu, musí platit, že ˆp = 2p∗
. Byla
to pomoc? Ne. Chudí by bez této pomoci za obilí zaplatili stejně.
() 45 / 49
Paretovská efektivnost
Situace je Pareto efektivní, pokud neexistuje žádný způsob,
jak by si mohl někdo polepšit, aniž při tom byl někdo jiný poškozen.
Dokonale konkurenční trh je Pareto efektivní při množství q∗
.
() 46 / 49
APLIKACE: Čekání ve frontě
Povede fronta na lístky na fotbal k jejich Pareto efektivní alokaci?
Může být ochotný někdo, kdo vystál frontu, prodat lístky někomu,
kdo frontu nevystál?
Ano. Ochota čekat a ochota platit se v populaci liší.
Navíc čekání je forma ztráty mrtvé váhy – na rozdíl od peněžní platby
je to náklad, ze kterého nemá nikdo prospěch.
() 47 / 49
Shrnutí
• Pro zkoumání rozhodování za nejistoty
můžeme použít analytické nástroje teorie
spotřebitelské volby.
• Funkce očekávaného užitku má tvar
u(c1, c2, π1, π2) = π1v(c1) + π2v(c2).
• Tato funkce může reprezentovat preference
spotřebitele, jen když platí předpoklad
nezávislosti.
• Zakřivení užitkové funkce odráží postoj
spotřebitele k riziku.
• Finanční instituce (jako akciový trh
a pojišťovny) umožňují diverzifikaci
a rozložení rizika.
() 48 / 49
Shrnutí (pokračování)
• Při rovnovážné ceně se na trhu poptávané
množství rovná nabízenému množství.
• Rozdíl mezi poptávkovou a nabídkovou cenou
představuje velikost daně.
• Relativní strmost nabídkové a poptávkové
křivky určuje, jakou část daňové zátěže nesou
poptávající a jakou nabízející.
• Ztráta mrtvé váhy je čistá ztráta v přebytku
výrobců a v přebytku spotřebitelů.
• Pareto efektivní je situace, kdy neexistuje žádný
způsob, jak by si mohl někdo polepšit, aniž by
nikdo jiný neutrpěl ztrátu.
() 49 / 49