Teorie firmy, Dokonalá konkurence Rostislav Staněk November 15, 2012 Teorie firmy Ukážmeme si • Jak popsat technologii firmy • Jak se firma rozhoduje • Jak se odvozuje nabídka firmy a poptávka po výrobních faktorech • Jak vypadá nabídka v prostředí dokonalé konkurence Rostislav Staněk Technologie Produkce Produkční množina - kombinace takových vstupů a výstupů, které představují technologicky přijatelný způsob produkce Produkční funkce - maximální objem produkce pro danou úroveň vstupu (hranice produkční množiny) Uvažujeme 2 vstupy: xi a x^. Produkční funkce f(xi,X2). Izokvanta je množina všech kombinací vstupů xi a X2, které jsou akorát dostatečné pro výrobu určitého množství produkce - -00,0 Rostislav Staněk Dokonalá koňku n Technická míra substituce Mezní produkt faktoru 1 {MP\) - o kolik se zvýší produkce, zvýšime-li rozsah faktoru 1 o jednotku a množství ostatních faktorů se nezmění. MP=df^X2) ox\ Technická míra substituce (TRS) - jaké dodatečné množtví faktoru 2 potřebujeme, pokud chceme snížit množství faktoru 1 o malou část a přitom chceme vyrobit stejný výstup (sklon izokvanty) Sxí MP2 <|> 1 Rostislav Staněk Technologie aximalizace zisku Mi nimalizace ná kladů Nabídka firmy Nabídka i odvětví Příklad 1 Spočítejte technickou míru substituce (TRS) u následujících produkčních funkcí. Je mezní produkt faktorů x a y konstantní, klesající nebo rostoucí? O f(x,y) =x + y 0 f(x,y) =x2 + 2xy+y2 Q f (x, y) =0,2x°V'2 Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Příklad 2 Jaké jsou výnosy z rozsahu u následujících produkčních funkcí: O f{K, L) = y/K + y/L 0 f(K, L) = 1,6{K°>3 + Z.0'3)3 © ř(fC, /.,/V) = min{^,/.2,^} Rostislav Staněk Maximalizace zisku Firma si volí takový produkční plán, při kterém maximalizuje zisk. Předpokládáme dokonale konkurenční trhy VF a produkce: Firma nemůže ovlivnit ceny, za které nakupuje výrobní faktory, a za které prodává své výrobky. Zisk 7T je rozdíl mezi příjmy a náklady firmy. Pokud firma prodává n produktů (yi,... ,yn) za ceny (pi,... ,pn) a nakupuje m vstupů (xi,... ,xm) za ceny (1/1/1,..., wm), její zisk je n m Rostislav Staněk Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná kladů Nabídka firmy Nabídka i odvětví Maximalizace zisku v LR V LR jsou všechny faktory variabilní - firma nemůže být ve ztrátě. Firma v LR řeší následující problém: maxp/r(xi,X2) — wi xi — 1/1/2x2. Xl,X2 Z podmínky prvního řádu vyplývá, že p/WPi(xí,x2*) = 1/1/1 pMP2(xí,x2*) = 1/1/2. Hodnota mezního produktu každého faktoru se musí rovnat jeho ceně. Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Maximalizace zisku v SR V SR alespoň jeden faktor fixní - náklady na tento faktor firma platí, i když vyrábí nulový výstup =>■ v SR může být firma ve ztrátě. Máme dva vstupy, množství vstupu 2 X2 je fixní, f{x\,X2) je produkční funkce, p je cena výstupu, 1/1/1 a 1/1/2 jsou ceny vstupů. Pak firma řeší následující problém: maxpŕ(xi,X2) — w\x\ — 1/1/2x2. Z podmínky prvního řádu vyplývá, že p/WPi(xí,x2) = 1/1/1. Rostislav Staněk Technologie Maximalizace zisku Maximalizace zisku v SR (pokračování) Izoziskové křivky - kombinace vstupů a výstupů y, které přináší konstantní úroveň zisku tt (vyšší linie odpovídá vyššímu zisku): 7T = py — W\x\ tt 1/1/2*2 wl 1/1/2*2 <í=^ y = —i---1--*1 • P P P Teorie firmy, Dokonalá konkurence Maximalizace zisku Projevená ziskovost Firma maximalizující zisk ukazuje, že jí zvolená kombinace vstupů a výstupů je přijatelný výrobní plán, který je ziskovější, než jiné přijatelné výrobní plány. Dva různé výběry při různých cenových úrovních: • při cenách v čase í (pf, w[, 1/1/3) firma zvolí (yf,x1f,x|), • při cenách v čase s (ps, 1/1/f, w2) firma zvolí (ys, xf, x|). Slabý axiom maximalizace zisku (WAPM): Jestliže firma maximalizuje zisk a mezi časem í a s se nezmění její produkční funkce, pak musí platit, že ptyt — w{x{ — 1/1/2*2 ^ PfyS ~~ wíxí ~ W2X2 _S S SS SS\_St st st a p y — m/1x1 — w2x2 > p y — m/1x1 — w2x2. Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Teorie firmy, Dokonalá konkurence Příklad 1 Dokonale konkurenční firma má produkční funkci f{xi,X2) = + 8^/x2. Cena výrobního faktoru 1 je 100 Kč a cena výrobního faktoru 2 je 300 Kč. Cena výstupu je 600 Kč. O Jaké bude optimální množství obou výrobních faktorů? © Při jakém množství výstupu bude firma maximalizovat zisk? © Jak velký bude její zisk při tomto množství? Rostislav Staněk Příklad 3 Děda Lebeda používá při produkci sáčků s houbami h jediný vstup hodiny své práce za den /. Když jde sbírat houby, jeho produkční funkce je h = 2,5/ pro / G [0,2] a h = 3 + / pro / > 2. Cena jednoho sáčku hub je 40 Kč. Když děda zrovna nesbírá houby, pracuje v místní továrně za 120 Kč za hodinu. O Kolik sáčků hub děda nasbírá, pokud maximalizuje zisk? K vysvětlení použijte graf s produkční funkcí dědy Lebedy a izoziskovými křivkami. © Díky dešti se produkční funkce dědy Lebedy změní na h = 4/ pro / G [0,2] a h = 4 + 21 pro / > 2. Kolik sáčků hub děda nasbírá, pokud maximalizuje zisk? Rostislav Staněk Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná kladů Nabídka firmy Nabídka i odvětví Příklad 4 Jája a Pája mají firmu na sběr lesních plodů. Jediný vstup, který používají, je jejich práce. Když nesbírají lesní plody, pracují u dědy Lebedy na zahradě. V pondělí, když jim byl děda ochotný platit 30 Kč za hodinu a cena sklenice lesních plodů byla 50 Kč, sbírali lesní plody 7 hodin a nasbírali 18 sklenic. V úterý, když jim byl děda ochotný platit 40 Kč na hodinu a cena sklenice lesních plodů byla 40 Kč, sbírali lesní plody 4 hodiny a nasbírali 16 sklenic. Předpokládáme, že Jája a Pája mají pořád stejnou technologii. O Je chování J á J i a Páji konzistentní se slabým axiomem maximalizace zisku (WAPM)? @ Nakreslete jejich technologii do grafu s množstvím práce na vodorovné a množstvím sklenic lesních plodů na svislé ose. Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Minimalizace nákladů Produkční funkce je f{x\, X2), kde xi a X2 jsou množství výrobních faktorů 1 a 2, a (1/1/1,1/1/2) jsou jejich ceny. Chceme vyrobit dané množství produkce s nejnižšími možnými náklady. Tedy Izokosta - všechny kombinace vstupů xi a X2, které odpovídají dané úrovni nákladů C: mm 1/1/ixi + 1/1/2x2 Xl,X2 pro f{x1,x2) = y. C C --xi. m/2 l/l/l Xi + I/I/2X2 X2 = — m/2 Rostislav Staněk Minimalizace nákladů Minimalizace nákladů - řešení Minimalizace nákladů - nalezení bodu na izokvantě, který odpovídá nejnižší izokostě. Pokud xx*,x| > 0 a izokvanta je hladká křivka, pak MPi(xí,x2*) TRS(xí,x2*) =--i. 1/1/2 Teorie firmy, Dokonalá konkurence Podmíněná poptávka a nákladová funkce Pokud vyřešíme minimalizci nákladů, pak získáme: Funkce podmíněné poptávky po faktoru x\(w\, 1/1/2, y) a X2(wi, W2,y) - jak závisí optimální volba výrobního faktoru na cenách vstupů a množství produktu. Pokud dosadíme podmíněné poptávky do funkce 1/1/1x1 + 1/1/2x2 Nákladová funkce c{w\, 1/1/2, y) - minimální náklady potřebné k produkci y jednotek výrobku v případě, že ceny jsou (1/1/1,1/1/2). Problém optimální výroby lze řešit dvojím způsobem O Přímo maximalizací zisku © Minimalizací nákladů —> odvozením nákladové funkce —> nalezením optimálního množství produkce, aby MR = MC Rostislav Staněk Technologie Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná kladů i odvětví Příklad 1 Copycentrum vyrábí kopie s denní produkční funkcí f(L, K) = 5OOV2D?, kde L je počet hodin práce a K je počet hodin kopírek. Náklady na hodinu práce jsou 200 Kč a náklady na hodinu kopírky jsou 100 Kč. O Napište rovnici izokosty. Nakreslete do grafu izokostu pro náklady 5 000 Kč, kde hodiny práce L budou na vodorovné ose. Jaký bude sklon této izokosty? © Pokud chce firma minimalizovat náklady, kolik hodin kopírky bude připadat na každou hodinu práce? Kolik hodin práce a kopírky bude potřeba na výrobu y kopií? Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Příklad 5 Na pouť do české vesnice přijely kolotoče. Produkční funkce, která ukazuje počet prodaných lístků, je f{xi,x2) = (min{100xi,50x2})1/2, kde xi jsou hodiny kolotoče a X2 jsou hodiny práce. Jedna hodina kolotoče stojí 1 000 Kč a jedna hodina práce 200 Kč. Jaké jsou minimální náklady na prodej y lístků na kolotoč? Rostislav Staněk Technologie Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná kladů i odvětví Příklad 6 Předpokládejte, že se jablečný džus vyrábí následovně. Koše jablek J se pěstují podle produkční funkce J = P1/2S1/2, kde P jsou hodiny práce a S je počet stromů. Litry jablečného džusu D se vyrábí z jablek podle produkční funkce D = min{5J, 10P}. Pokud je cena stromu 20 Kč a cena práce 80 Kč za hodinu, jaké jsou náklady na produkci litru jablečného džusu? Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Příklad 7 Firma LIMO používá při výrobě limonády dva vstupy. Když jsou ceny vstupů {w\, 1/1/2) = (150, 70), firma používá množství vstupů (*L,x2) = (15, 45). Když jsou ceny vstupů (w[, w£) = (120, 240), firma používá množství vstupů (x{,X2) = (40, 15). V obou případech je množství výstupu stejné. Je toto chování konzistentní se slabým axiomem minimalizace nákladů (WACM)? Rostislav Staněk Příklad 1 Máme dvě firmy A a B s krátkodobými produkčními funkcemi />\(x) = 20x a /e(x) = 20^3?, kde x je množství jediného vstupu, který firmy používají ve výrobě. Cena tohoto vstupu je w = 1. O Spočítejte funkce mezního produktu MP(x) těchto firem. @ Spočítejte funkce krátkodobých mezních nákladů MC(y) u těchto firem. Rostislav Staněk Nabídka firmy Nabídka odvětví Dokonalá konkurence Trh je dokonale konkurenční, jestliže každá firma předpokládá, že je tržní cena nezávislá na akcích této firmy (na množství produkce). Firmy jsou příjemci ceny. Maximalizační problém firmy je maxpy — c(y) při omezení y > 0. y Podmínka prvního řádu a druhého řádu je p = MC{q) MC'{q) > 0 Pokud firma maximalizuje zisk, zvolí si takový výstup y, při kterém • se cena rovná mezním nákladům (podmínka prvního řádu), • isou mezní náklady rostoucí (podmínka druhého řádu). Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Technologie Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná Nabídka firmy i odvětví Křivka nabídky v krátkém období Nabídková křivka v SR - rostoucí část křivky MC, která leží nad úrovní křivky AVC. Proč nad křivkou AVC? Firma v krátkém období má dvě možnosti: • vyrábět a mít zisk py — cv{y) — F, • uzavřít firmu (vyrábět y = 0) a mít zisk — F. Firma ukončí výrobu, když: py - VC(y) - F < -F <=^ py < VC(y) <=^ p < AVC {y). Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Teorie firmy, Dokonalá konkurence Technologie Maximalizac e zisku Minimalizac e nákladů Nabídka firmy Zisk Zisk se rovná příjmy mínus náklady: Teorie firmy, Dokonalá konkurence Křivka nabídky v dlouhém období Nabídková křivka v LR - rostoucí část křivky MC, která leží nad úrovní křivky AC. Proč nad křivkou AC? Firma v dlouhém období má dvě možnosti: • vyrábět a mít zisk py — cv{y) — F, • odejít z odvětví a mít zisk 0. Firma odejde z odvětví, když je její zisk menší než 0: PY ~ p. Když má technologie firmy konstantní výnosy z rozsahu, pak je křivka LAC konstantní a nabídka ie horizontální. J A □ ► 4 fil ► Rostislav Staněk Technologie Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná Nabídka firmy i odvětví Příklad 1 Přemek pěstuje rajčata. Od Toníčka si za 10 korun na den pronajal vyhřívaný skleník, ve kterém lze snadno pěstovat malé množství rajčat. Pokud chce ale zvýšit výnos, musí používat drahá hnojiva a pesticidy. Jeho nákladová funkce je tedy c(y) = 5y2 + 10, kde y jsou kila vypěstovaných rajčat za den. Na trhu rajčat je Přemek příjemce ceny. O Odvoďte Přemkovy funkce AC(y), AVC(y), MC(y) a nabídkovou funkci jeho firmy? Nakreslete tyto křivky do grafu. © Kolik kil rajčat za den Přemek vypěstuje při tržní ceně 10 korun. Jak velký bude jeho zisk? © Po sezóně vzrostla cena rajčat na 20 korun za kilo. Kolik rajčat vypěstuje nyní a jak velký bude jeho zisk? Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Nabídka odvětví Krátkodobá nabídka odvětví V SR nemohou firmy přicházet a odcházet z odvětví, tzn. •S(p) = Zw=i Sí(p) Rovnováhu v odvětví najdeme v SR následovně Pomocí tržní poptávky a tržní nabídky získáme rovnovážnou cenu p*. Pomocí MC = P zjistíme kolik nabízí jedna firma. Zisk jednotlivých firem je pak ir = [p* — AC(q*)]q*. Firmy mohou mít nulový zisk (A), být v zisku (B) i ve ztrátě (C). Teorie firmy, Dokonalá konkurence Nabídka odvětví Rovnováha odvětví v LR Firmy v dlouhém období mohou • měnit rozsah krátkodobých fixních vstupů, • vstupovat do odvětví a vystupovat z něj. Mezi těmito dlouhodobými efekty není velký rozdíl. Např. nový výrobní závod může postavit stávající nebo nová firma. Rozdíl bude pouze ve vlastnictví tohoto závodu. V dokonale konkurenčním odvětví máme volný vstup a výstup. Dokonale konkurenční firmy pak • odchází z odvětví, když jsou ve ztrátě, • vstupují do odvětví, když očekávají, že budou v zisku. Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Nabídka odvětví Teorie firmy, Dokonalá konkurence Nabídka odvětví Nulový zisk a fixní faktory Pokud máme volný vstup do odvětví, bude zisk v LR tlačen k nule. Nulový zisk: každý výrobní faktor dostává svoje náklady příležitosti. Další výrobní faktory nemají motivaci do tohoto odvětví vstupovat. Někdy je množství některých vstupů v odvětví fixní, protože • jsou některé faktory přirozeně fixní (půda, suroviny, talent, ...), • je množství faktorů omezené zákonem (licence, povolení, ...). I v tomto případě možnost vstupu stlačuje ekonomické zisky k nule. Pokud firmy nemohou vstoupit do ziskového odvětví kvůli fixním faktorům, budou nakupovat fixní faktory, které jsou již v odvětví. Tím zvyšují ceny fixních faktorů a stlačují ekonomický zisk kjiule.^ Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Příklad 1 Farmář Charles si může pronajmout pole (300 akrů). Každé jaro se musí rozhodnout, kolik polí si pronajme a oseje obilím. Na každém osetém poli v létě sklidí max. 500 tun obilí. Náklady na pronájem a osetí pole jsou 100 000 $ a platí se v zimě za celý další rok. Další náklady související se sklizením, zpracováním a prodejem jedné tuny obilí jsou 100 $. Tržní poptávka po obilí je D{p) = 60 000 — 50p. O Charles si pronajal jedno pole. Kolik obilí sklidí, pokud bude jeho cena před sklizní 100 $ za tunu? Jaký bude zisk? © Po neúspěšné sezóně se Charles chce domluvit v zimě se svým odběratelem na pevné ceně na příští sklizeň. Jakou minimální cenu bude ochotný akceptovat? © Pokud odběratelé slíbí minimální cenu z bodu (b) všem farmářům, kolik polí osejí tito farmáři obilím? Je odvětví v dlouhodobé rovnováze? . n , Rostislav Staněk Nabídka odvětví Příklad 2 Další jaro tedy farmáři osejí množství polí, které jste spočítali v bodě (c) předchozího příkladu. Údaje o poptávce a nákladech platí jako v předchozím příkladu kromě toho, že v průběhu roku výrobci kombajnů zavedou inovaci, která sníží náklady na sklizení jedné tuny obilí ze 100 na 80 $. O Co se stane s cenou obilí? Nakreslete do grafu poptávku a krátkodobou nabídku obilí a vysvětlete její tvar. © Charlesův bratr Adam má osazené jedno pole obilím. Adam přemýšlí, že Charlesovi již osázené pole prodá. Kolik maximálně by byl Charles ochotný za toto pole zaplatit? © Pokud se poptávka po obilí nezmění, kolik polí farmáři osejí příští rok a jaká bude příští rok dlouhodobá rovnovážná cena? Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Technologie Mi aximalizace zisku Mi nimalizace ná Nabídka i odvětví Příklad 5 Máme dokonale konkurenční odvětví, kde má každá firma nákladovou funkci C(q) = q2 + 16. Poptávka je v tomto odvětví D(p) = 160 — p. Kolik firem zde bude fungovat v dlouhém období? Rostislav Staněk Teorie firmy, Dokonalá konkurence Nabídka odvětví Závěr • Projděte si autokorekční cvičení • Přijďte konzultovat (před zkouškovým obdobím) - -OQ.O Rostislav Staněk Dokonalá koňku n