3 Kategorizace výrobních faktorů v produkční funkci V tomto oddíle uvedeme stručný přehled několika důležitých vlastností, kterými může být charakterizována uvažovaná výrobní technologie daná produkční funkcí nebo jednotlivé výrobní faktory obsažené v této produkční funkci. Některé z těchto vlastností lze vyslovit, aniž použijeme předpoklad o diferencovatelnosti (případně i spojitosti) produkční, nákladové nebo jiné „ekonomické„ funkce. Výhodou hladkých (neomezeně nebo aspoň do dostatečného řádu diferencovatelných) funkcí ovšem je možnost některé tyto vlastnosti vyšetřit snadněji než přímou analýzou z definičního vztahu. Definice 9 Podstatnost výrobního faktoru Výrobní faktor jako argument v ekonomickém vztahu je podstatný [essential] tehdy, jestliže jeho přítomnost je nutná k tomu, aby hodnota produkce, kterou výrobní proces poskytuje, byla kladná. Formálně podstatnost skupiny s faktorů lze zapsat jednoduše (pro přehlednost značení předpokládáme, že podstatných je právě prvních s faktorů) vztahem : (4.1) , kde je produkční funkce reprezentující technologii a kde symboly označují libovolná dosazení z oboru přípustných hodnot ostatních (nepodstatných, non-essential) faktorů. . Je zřejmé, že je-li kombinace faktorů podstatná, je podstatná i kterákoliv kombinace pro . Tento důsledek je očividný, neboť[ ]ubráním dalšího faktoru s kladným množstvím z okruhu stávajících podstatných, jež vystupují v nulových množstvích, nemůžeme dosáhnout kladné hodnoty produkce. Podstatný faktor je z geometrického hlediska charakteristický tím, že izokvanta na kterékoliv hladině produkce nemůže přilnout k ose/osám dané/daným nepodstatným/i faktorem/y v jeho(jejich konečně velké hodnotě/velkých hodnotách. Podstatné jsou např. všechny argumenty v Cobb-Douglasově funkci a všechny výrobní faktory v ACMS-funkci s kladnou hodnotou parametru . Naopak, při záporném jsou výrobní faktory u ACMS-funkce nepodstatné, stejně jako výrobní faktory v produkční funkci typu ADDILOG, v níž jsou argumenty vázány aditivně. Definice 10 Substitučnost (nahraditelnost ) dvou faktorů Vlastnost se vztahuje k možnosti nahrazení dvou dosazovaných množství výrobních faktorů jinými dvěma množstvími vedoucími k téže hodnotě produkce. Jestliže v určitém bodě - faktorové kombinaci - existují kladné mezní produktivity dvou faktorů, pak lze říci, že tyto faktory jsou v substitučním vztahu (snížení jednoho musí být kompenzováno zvýšením druhého, má-li být úroveň produkce neměnná). Pojem substitučnosti však lze zavést i u produkčních funkcí, které nejsou diferencovatelné, případně ani nejsou spojité. F.Pokropp v [1] definuje dva plně substituční faktory (neklesající produkční funkce), např. -tý a -tý) rovností oborů funkčních hodnot (4.2) Při , , kde resp. označují obory přípustných hodnot, zpravidla interval, kterých může nabývat -tý resp. -tý faktor. Nejsou-li uvažována omezení v rozsahu přípustných hodnot faktorů, pak . Pojem lokální substitučnosti se zasazuje do prostředí mezních užitků (substitučních) faktorů v neklesající produkční funkci. Nechť máme , dva mezní produkty v bodě . Pak jsou -tý a -tý faktory tomto bodě (tedy lokálně) substituční) platí-li: , Limitovatelnost produkční funkce resp. faktoru Pojem limitující produkční funkce je jistým protějškem substituční vlastnosti a souvisí s již zavedenou vlastností podstatnosti faktorů. Je spojován se situacemi, kdy nezvyšování množství jednoho nebo skupiny faktorů znemožňuje růst celkového výnosu, i když (třeba bez omezení) zvyšujeme množství faktorů ostatních ( nelimitujících ). Lze přitom rozlišit slabou a silnou limitovatelnost, kdy slabá limitovatelnost představuje pouze nutnou zatímco silná limitovatelnost současně nutnou i postačující podmínku k tomu, aby zvýšení množství limitujícího faktoru (skupiny faktorů) implikovalo zvýšení celkové produkce[1]. Definice 11A Slabá limitovatelnost byla R.W.Shephardem v [2] definována jako podmínka: Existuje-li taková kombinace výrobních faktorů (při nelimitujících faktorech ), že pro jakýkoliv vektor ,kde , platí pro nějakou (dostatečně velkou) konstantu , (tj. je shora omezená), pak řekneme, že kombinace je slabě limitující. . Zesílením předchozí vlastnosti je Definice 11B silná limitovatelnost, která je dána podmínkou : Platí-li pro jakoukoliv kombinaci výrobních faktorů (při nelimitujících ) a jakýkoliv vektor takový, že , že je shora omezená, pak je faktorová kombinace silně limitující. . Z definice, která má globální povahu, je ihned zřejmé, že silně limitující faktor je i slabě Souvislost s podstatností faktoru je dána větou (viz [ 2 ] ) . VĚTA 1 Nechť produkční funkce splňuje axiom (P7*), tj. účinné podmnožiny jsou omezené pro libovolnou hodnotu produkce . Pak platí, že faktor/faktorová kombinace je slabě limitující právě tehdy, když je podstatný/á. Důkaz: převezmeme z publikace [2]: . Z definice, která má globální povahu, je ihned zřejmé, že silně limitující faktor je i slabě limitující ( a je tedy také podstatný, pokud je splněn axiom (P7*) ). Protikladem substituční vlastnosti je taková situace, kdy výroba může racionálně probíhat pouze tehdy, jestliže část nebo všechny výrobní faktory se účastní výrobního procesu v pevně určeném poměru. (Tento poměr může, ale nemusí záviset na velikosti úhrnné produkce). Krajním případem je pak komplementární produkční funkce. Definice 12 A Produkční funkce se nazývá ryze komplementární, jestliže představuje technologii vyjádřenou vztahem: (4.3) , v němž např. hodnota v určitém bodě (a při předem daných technologických koeficientech , ) určuje limitující hodnotu produkce). V účinných bodech izokvant je minima dosaženo současně ve všech argumentech funkce (2.1), přičemž poměr nezávisí na objemu produkce. V obecnějších komplementárních funkcích je pojem “fixních proporcí” zahrnutých faktorů chápán poněkud volněji: Jestliže definujeme produkční funkci ve tvaru , kde jednotlivé vyjadřují maximálně dosažitelnou hodnotu produkce, jestliže -tý faktor je ve výrobním procesu uplatněn v množství , pak množinu účinných bodů na jednotlivých izokvantách nemusí představovat přímka procházející počátkem. Pokud jsou všechny funkce rostoucí, pak vždy existuje právě jediná kombinace , v níž jsou všechny faktory slabě limitující. V ní pak platí přičemž poloha bodu obecně závisí na dosaženém objemu produkce . Definice 12 B Produkční funkce se nazývá slabě komplementární, jestliže představuje technologii (4.4) , kde každá je nezáporná, neklesající funkce právě jediného argumentu , přičemž platí . Je zřejmé, že funkce zapsaná pod (4.3) vyhovuje při daných omezeních na parametry též podmínce (4.3), tedy, že ryze komplementární funkce je též slabě komplementární. Poznámka: Komplementarita, stejně jako substitučnost Separabilita produkční funkce Smysl této vlastnosti se váže k určité relativní nezávislosti postavení příslušného faktoru v ekonomickém vztahu. Tato “nezávislost” má zpravidla podstatný vliv na možnost racionální agregace faktorů téže povahy do makroagregátu v makroprodukční funkci. Separabilita se buď definuje ve vztahu k monotónnosti funkce (nazvěme ji relační separabilita) nebo ve vztahu k mezní míře substituce faktorů, které mají být agregovány (tzv. funkcionální separabilita ). Definice 13A Relační separabilita Tento přístup uplatňuje např. Pokropp v [1]; vlastnost je pak představována implikací (v zápisu pro -tý faktor): Produkční funkce je separabilní, jestliže z nerovnosti (4.5) vyplývá vztah pro jakákoliv dosazení hodnot ostatních faktorů . Zvýšení, resp. snížení produkce způsobené pouze parciálním působením -tého (separabilního) faktoru, je zcela nezávislé na jakýchkoliv dosazených hodnotách ostatních faktorů. Funkcionální separabilita je definována ve vztahu k mezní míře substituce. Proveďme za tímto účelem rozdělení všech výrobních faktorů do několika, řekněme disjunktních skupin, a to tak, aby do stejné skupiny patřily faktory, které jsou v nějakém ohledu příbuzné. Dostaneme rozdělení faktorů do skupin při četnostech skupin , kde . Funkcionální separabilita je charakterizována nezávislostí mezní míry substituce (mezi dvěma uvažovanými faktory) na změnách kterékoliv jiného výrobního faktoru (mimo oba uvažované). Definice 14A Řekneme, že – při výše uvedeném rozkladu výrobních faktorů do - dvojice faktorů je slabě funkcionálně separabilní, jestliže pro mezní míru substituce platí podmínka (4.6) nebo také , [2] Definice 14B Řekneme, že produkční funkce je silně funkcionálně separabilní s ohledem na přijaté dělení výrobních faktorů do skupin, jestliže vztah (4.6) platí pro všechny faktory z -té skupiny a všechny faktory z -té skupiny ( přičemž -tá a -tá skupina jsou disjunktní )[3] Vyjádříme-li pojmy slabé a silné separability volněji,můžeme vyslovit toto: Při rozdělení všech faktorů disjunktně a vyčerpávajícím způsobem do skupin: Množina faktorů patřící do -té skupiny je slabě separabilní vůči všem ostatním faktorům, jestliže mezní míra substituce mezi kterýmikoliv dvěma z -té skupiny je nezávislá na změně kteréhokoliv jiného faktoru nepatřícího do této skupiny. Produkční funkce pak je slabě separabilní, jestliže tato vlastnost platí pro všechny skupiny z přijatého členění všech faktorů do skupin, . Silná (také aditivní) separabilita produkční funkce předpokládá, že slabá separabilita platí pro faktory z libovolné dvojice tříd ( -té, -té) vůči všem ostatním faktorům (při přijatém členění všech faktorů do tříd). Poznámka V definici aditivní separability se připouští, že (jde tedy o dvojici téže skupiny), takže ze silné separability vyplývá slabá. Nesporně zajímavým zjištěním je dále skutečnost, že funkcionální separabilita (slabá i silná) má bezprostřední vliv také na strukturní tvar produkční funkce, jestliže tato funkce je separabilní. Blíže o tom vypovídá následující věta : VĚTA 2 [Goldman a Uzawa 1964] a) Produkční funkce je globálně slabě separabilní s ohledem na přijaté dělení do disjunktních tříd, právě tehdy, když lze tuto funkci vyjádřit zápisem (4.7) , kde je rostoucí funkce a jsou nějaké funkce, z nichž každá má za argumenty pouze faktory náležející do -té třídy . b) Produkční funkce je globálně silně separabilní s ohledem na přijaté dělení do disjunktních tříd, právě tehdy, když lze tuto funkci vyjádřit zápisem (4.8) , kde je rostoucí funkce a jsou funkce, které mají za argumenty pouze faktory náležející do -té třídy . Pokud je produkční funkce separabilní, je takto umožněna jistá decentralizace při rozhodování, neboť lze optimalizovat po krocích (krok ve výběru optima v dané skupině není nijak podmíněn situací v jiné skupině). Za zmínku stojí, že z historického pohledu vymezuje určité funkční tvary. Lze totiž ukázat, že Cobb-Douglasova funkce a ACMS-funkce jsou (explicitně) silně separabilní , jakož i to, že Hanochovy CRESH a CDE- funkce jsou (implicitně) silně separabilní. Častým předmětem zkoumání je vliv proporcionálního zvyšování množství faktorů na hodnotu produkce. K tomuto účelu je nejčastěji uplatňován pojem homogenity funkce představován definicí Definice 15 - Homogenita produkční funkce Jestliže pro produkční funkci , pro kterou platí Shephardovy axiomy (P1) - (P6) platí navíc vztah (4.9) , kde je libovolná kladná skalární hodnota určující míru proporcionální změny vstupů a je pevná konstanta (může být i záporná, zpravidla se ale přijímá omezení ) udávající míru zvýšení/snížení funkční hodnoty v uvažovaném vztahu (stupeň homogenity), řekneme je produkční funkce je homogenní stupně . Jestliže , řekneme, že funkce je lineárně homogenní. Podle velikosti této konstanty se mluví o rostoucích , klesajících či konstantních výnosech z rozsahu výroby.[4] Poznámka Charakteristickou geometrickou vlastností izokvant generovaných lineárně homogenní produkční funkcí je rovnoběžnost tečen k těmto izokvantám v bodech, kterými jsou průsečíky izokvant s paprsky (polopřímkami) vycházejícími z počátku souřadnic. Je tomu tak proto, že mezní míra substituce mezi kterýmikoliv dvěma faktory zůstává při proporční změně všech faktorů konstantní. Jde o homogenní funkci stupně , což ukazuje následující lemma: Lemma Nechť produkční funkce je homogenní stupně 1. Pak je mezní míra substituce mezi faktory u této produkční funkce homogenní funkce stupně 0. ověření: Nechť platí (4.9) pro . Pak pro platí dle VĚTy 4, že je-li lineárně homogenní (produkční) funkce, pak platí pro jakoukoliv její parciální derivaci , že tato je homogenní stupně 0, tedy přirozeně i pro a . Platí-li takto pro libovolné a , pak zřejmě platí též □ . Mezi lineárně homogenní produkční funkce lze zařadit ACMS funkci (při jakékoliv hodnotě substitučního parametru ), lineární produkční funkci. Cobb-Douglasova funkce je lineárně homogenní pouze tehdy, je-li součet mocninných parametrů roven 1 (to platí pro dvou- i vícefaktorovou). Funkce ADDILOG není homogenní žádného stupně (pokud nemá všechny mocninné parametry shodné, což by byl ovšem netypický, „degenerovaný“ případ).Lineárně homogenní jsou i některé flexibilní funkční tvary jako je zobecněný Leontief a odmocnina kvadratické funkce bez ohledu na počet zařazených výrobních faktorů. Produkční funkce TRANSLOG může být homogenní při více argumentech, ne však jako dvoukomoditní). Kvadratická funkce (vzata jako produkční je nevhodná) je homogenní 2.stupně. Souvztažnou vlastností k homogenitě, je pojem homoteticita, zavedený Shephardem Definice 15 - Homoteticita produkční funkce Řekneme, že produkční funkce je homotetická, lze-li ji vyjádřit ve tvaru: (4.10) , kde je nějaká homogenní funkce stupně vstupních výrobních faktorů a je nezáporná, spojitá a rostoucí funkce jedné proměnné s vlastnostmi . Poznámka Lze snadno ukázat, že z homogenity kteréhokoliv (nezáporného) stupně vyplývá homoteticita, nikoliv však obráceně. Podobně jako u lineární homogenity vyznačuje se struktura izokvant homotetické funkce specifickou vlastností. K určení celé množiny izokvant postačuje znalost “jednotkové izokvanty”, tj. izokvanty odpovídající produkci . Všechny ostatní izokvanty můžeme získat radiální expanzí z počátku souřadnic tak, že libovolnou kombinaci faktorů na této izokvantě vynásobíme poměrem . Tvar izokvant je tedy nezávislý na objemu produkce . Ve vztahu k pružnosti substituce libovolných dvou faktorů lze u homotetické produkční funkce ukázat, že se tato může měnit při pohybu po zvolené izokvantě, avšak zůstává konstantní podél paprsku vycházejícího z počátku (tj. nemění-li se proporce faktorů). Definice16 - Linearita v parametrech (po eventuální transformaci závisle proměnné ) (4.11) Výhodnost nelineárních tvarů, jež jsou lineární v parametrech, je snadnost, se kterou se zpravidla provede odhad parametrů těchto funkčních tvarů (produkční, nákladové aj.). V regresním vztahu zde stačí vzít jako regresory transformace původních veličin , přičemž parametry odhadnuté ze vztahu (4.11A) si zachovají stejně příznivé statistické vlastnosti, jako by tomu bylo v lineárním vztahu. Typickým příkladem je mnohočlen v n transformovaných proměnných. (4.12) , u něhož po transformaci nabudeme tvar (4.12A) Vůbec nejznámější příklad funkce lineární v parametrech po transformaci je Cobb-Douglasova funkce s exponenciálním připojením náhodných složek Transformace je zde zřejmě logaritmická. Ve stochastickém zápisu . Definice 17- Kvazilinearita a zobecněná kvazilinearita Pojem lineární aditivity zobecnil Wolfgang Eichhorn v [3] tak, že na jednotlivé prvky vztahu (4.11) uplatňuje spojitou monotónní transformaci, k níž, jak známo, existuje inverzní. Ekonomický vztah (produkční, nákladová, poptávková funkce) může být za těchto okolností zapsán jako: (4.13) , kde je spojitá monotónní funkce a dále , jsou vhodné konstanty ( nenulové). ACMS – funkce (vážená střední hodnota řádu ). (4.13A) , kde , , , je zřejmě kvazilineární, vezmeme-li , , a . Zobecněním kvazilinearity je případ, kdy inverzní funkce ve vztahu (4.13) není totožná s jednoargumentními funkcemi uvnitř závorky pravé strany. Zobecněnou kvazilineární funkci lze tedy zapsat ve tvaru: (4.14) , kde jsou vesměs spojité a ryze monotónní funkce. Oproti (4.13) se nevyžaduje ani symetrie vnitřních funkcí , vůči jednotlivým argumentům. Typickou zobecněně kvazilineární funkcí je ADDILOG , který zapsaný jako (4.14A) , kde , , , vyhovuje zápisu zobecněné kvazilinearity při konkretizací , , .ADDILOG ale zřejmě není kvazilineární ve smyslu definice (4.13) . Předchozí výčet vlastnosti – ač ne vyčerpávající – umožňuje provést jistou typologii v rámci produkčních nebo nákladových funkcí. Přirozeně, některé z těchto vlastností (např. substitučnost vs. komplementarita) se vzájemně vylučují. Daný výrobní vztah je proto třeba vyšetřovat obezřetně a mít na paměti, že ne ve všech oblastech faktorového prostoru musí funkce, resp. vztah některých jejich výrobních faktorů, vykazovat stejné chování. ________________________________ [1] N.Georgescu-Roegen v této souvislosti mluví o limitující (analogicky ke slabé limitovatelnosti) resp. limitativní (obdobě silné limitovatelnosti) faktorové kombinaci. U první vlastnosti jsou určující technické důvody, zatímco druhá má zpravidla též sociální a ekonomické pozadí. [2] Je zřejmé, že anulovaný výraz obsahující jen parciální derivace produkční funkce získáme pravidlem pro derivaci zlomku podle [ ]( po na vynásobení ). [3] Slabá i silná separabilita mohou platit lokálně v bodě/konkrétní faktorové kombinaci) nebo globálně (ve všech bodech faktorového prostoru). [4] Vztah homogenity určitého stupně a povahy výnosů z rozsahu produkce byl diskutován na jiném místě.