Makroekonomické modelování - cvičení 3
1 Teorie I
Uvažujte domácnost, která žije čtyři období a její užitková funkce je
ln(ci) + ln(c2) + ln(c3) + ln(c4)
Její důchod v těchto čtyřech obdobích je yi — 10, y? — 40, j/3 — 20 a j/4 — 10. Předpokládejme, že úroková míra je dána exogénne a je konstatní a rovna 0.
(a) Napište mezičasové rozpočtové omezení
(b) Vypočítejte optimální spotřebu (ci, 02,03 a C4)
(c) Předpokládejte, že domácnost si nemůže půjčovat. Jaká bude optimální spotřeba nyní?
(d) Opět zavedeme možnost půjčování. Rozdělíme členy téže dynastie (rodinného klanu) na dva druhy - rodiče a děti. Každý žije dvě období. Děti mají užitkovou funkci
ln(c3) + ln(c4) a rodiče mají užitkovou funkci
ln(ci) +ln(c2) +v(b)
kde b je děditctví (bequest) zanechané dětem a v(b) je maximální užitek dětí, které mohou získat při daném dědictví b. Důchod rodičů je (yi, j/2) — (10; 40) a důchod dětí je (y3, y4) = (20; 10)
Vyřešte maximalizační problém dětí, abyste získaly v (b), tj vyřešte v(b) — max {ln(cs) + ln(c4)}
vzhledem k
C3 + C4 = ^3 + U4 + b.
(e) Použijte svou odpověď z předchozí otázky k vyřešení maximalizačního problému rodičů. (Dědictví může být i záporné).
(f) Nyní uvažujte, že vláda zavede daně v období 2 ve výši 30 a rozdělí je paušálně v období 3. Jaká je optimální výše dědictví a výše spotřeby nyní?
Teorie II
Předpokládejte, že sociální plánovač maximalizuje
00
t=0
vzhledem k
ct = ka + kt-kt+1, t = 0,1, 2...
kde ko — kg je dáno a kt > 0 pro t — 0,1, 2.... Pro parametry platí: a G (0,1) a /3 e (0,1).
1
(a) Odvoďte podmínky první řádu pro optimum spotřebitele (Eulerovu rovnici) .
(b) Co určuje, zda spotřeba bude v čase růst nebo klesat? (Využijte pro názornost vztah f3 — j^)
(c) Jak je určena steady-statová hodnota kapitálu k* a spotřeby c*? Vysvětlete, proč se akumulace kapitálu zastaví před tím, než je mezní produktivita kapitálu rovna nule.
(d) Jaká je míra úspor v steady-statu?
(e) Předpokládejte že a — 0.3 a f3 — .96. Jaká je steady-statová úroveň k* a c*? Jak se bude steady-statová úroveň lišit, pokud bude sociální plánovač trpělivější, tedy f3 — .98?
2 Počítání
(viz předpřipravený m-ŕile seminar3.m a soubor priloha_cv3.pdf s obrázky)
Ekonomika se sociálním plánovačem, který vybírá nekonečnou sekvenci dvou proměnných: spotřeby a kapitálové zásoby {ct, kt+i}^L0 aby maximalizoval
oo
max    ^""^ f3fu(ct)
{ct,fet+i}^0 t=Q
vzhledem k
ct + kt+1 = f(kt) + (1 - ô)kt Ct, kt > 0    ko > 0 dáno Předpokládejte následující formu užitkové funkce
c1-6 - 1
M(ct) = ^T~^' 9>0
Vt = lK , a e (0,1)
kde a = .35, /3 = .98, ô = .025, 6 = 2 a 7 = 5.
Jak jsme měli na přednášce, můžeme tento optimalizační úkol přepsat rekurzivně jako problém dynamického programování. Bellmanova rovnice bude mít tvar
v(kt) — max.{u(kt,kt+\) + 13 v(kt+1)}
Abychom vypočítali hodnotovou funkci použijeme metodu iterace hodnotové funkce. Kapitálová zásoba může nabývat tří diskrétnícho hodnot k e {k^-\ k^2\ k^} — {2.85, 3.00, 3.15}. To znamená, že v(kt) a v(kt+i) jsou vektory rozměru (3 x 1) a u{kt, kt+i) je matice 3x3 (viz obrázek v příloze).
(a) Sestavte matici spotřeby c(i,j) o rozměrech (3 x 3) s hodnotami spotřeby pro všechny kt a kt+\. Poté vypočítejte matici užitku ze spotřeby u(kt, &t+i) opět o rozměrech (3 x 3) pro všechny hodnoty kt a kt+\ (viz obrázek Figuře 2 v příloze).
2
(b) Předpokládejte
v(kt+i)
167.6 168.1 168.6
Před maximalizací {u(kt, kt+\)+j3E v(kt+i)} potřebujete vypočítat součet u{kt,kt+i) a j3v{kt+i). Ale jelikož u(kt, kt+i) má rozměry (3x3) av(kt+i) je vektor (3 x 1), musíme transformovat vektor v(&t+i) do matice (3x3). Výsledná matice je znázorněna na obrázku Figuře 3 v příloze. (Pozor, nutnost transpozice vektoru).
(c) Nyní máte {u(kt, &t+i) + /3E v(kt+i)} a můžete vypočítat v(kt) pomocí maximalizace výrazu
Hint: nechte si zobrazit nápovědu k funkci max pomocí příkazu help max. Zajímá nás hledání maxima v řádcích (DIM = 2).
(d) Najděte rozhodovací pravidlo pro kapitál. Zjistěte, který prvek vektoru kt+i dává optimální hodnotu. Tomuto prvku (pořadí vektoru) přiřadte hodnotu kapitálu. Najděte rozhodovací pravidlo pro spotřebu (jako funkci kapitálu kt).
(e) Proveďte krok (c) v cyklu (podobně jako v cvičení 2 - hledání hodnoty firmy).
Termpaper č. 1. Možno pracovat ve dvojicích. Termín odevzdání 30. října 2012. Viz speciální zadání.
v(kt)
max{u(kt,kt+1) + ß v(kt+1)}
kt+i
3 Data
3