Makroekonomické modelování - cvičení 4
1 Teorie I
Uvažujte následující problém sociálního plánovače.
max Eq
t=0
vzhledem k
ct+it= Vt kt+1 = (1 - 5)kt + it ht + lt = l ct,kt,ht,et < 0
a k0 > 0 a je dáno, a S e (0,1)
Konkrétní forma užitkové a produkční funkce je:
u{ctJt) = -:-
1 — a
yt = ztf{ktlht) = ztk?h\-a
kde cr > 0 a 5 g (0,1) a šok zt je technologický šok, který je iid a může nabývat následujících hodnot
zt e Z = [.75,1.25]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{zt — z1} — .5
7T2 = Pr{zt = z2} = .5
V (deterministickém) steady statu je hodnota šoku rovna jeho střední hodnotě. Vypočítejte steady-statové hodnoty následujících endogenních proměnných (poměry proměnných) jako funkce strukturálních parametrů, tj. parametrů technologií a preferencí („řecká písmena").
(a) poměr investic a kapitálu (investment/capital ratio, í/k)1
(b) ceny výrobních faktorů (mpk — R, mpl — w)
(c) poměr kapitálu a práce (capital/labor ratio, k/K) 2
(d) poměr kapitálu a výstupu (capital/output ratio, k/y) 3
(e) podíl kapitálu a práce na národním důchodu (capital share a labor share)
(f) podíl investic a výstupu (investment/output ratio, i/y)
(g) podíl spotřeby a výstupu (constumption/output ratio, c/y)
-•-Využijte rovnici pro vývoj kapitálu.
2 Využijte mezičasovou podmínku optimality, Eulerovu rovnici.
3 Využijte opět Eulerovu rovnici.
1
Teorie II
CRRA funkce a výběr spotřeby mezi dvěma obdobími. Mějme užitkovou funkci
u(c) = -j^-kde 9 > 0. Pro 9 — 0 je w(c) = ln c.
1. Ukažte, že w'(c) > 0 a u"(c) < 0.
2. Co se stane s u'(c) , když c^Oa když c —>• oo?
3. Předpokládejte, že spotřebitel žije jen dvě období (1 a 2). Jeho užitková funkce je
U = m(ci) + ——u(c2) 1 + p
kde u(c) je CRRA funkce a p > 0. Vysvětlete, co parametry p a. 9 (nebo (7 — 1/9) znamenají pro spotřebitelovy preference mezi obdobími.
4. Předpokládejte, že spotřebitel pracuje pouze v prvním období, jinak nemá žádný příjem. Jeho rozpočtové omezení tedy je
1
Cl + ——c2 = w 1 + r
kde w je mzdový příjem. Odvoďte podmínku prvního řádu pro maximum užitku (Eulerovu rovnici).
5. Najděte explicitní řešení pro spotřebu v období 1 a 2, tedy c\ a c2-Vysvětlete, jak spotřeba závisí na mzdovém příjmu w a úrokové míře r. Jaká je zde role parametrů p a 9 (o)!
2 Počítání
Uvažujte modelovou ekonomiku, kde sociální plánovač vybírá nekonečnou sekvenci spotřeby a kapitálové zásoby {ct, &t+i}^o, aby maximalizoval
max    Et ^ /?rm(ct)
{ct,fet + i}£0 „
t=o vzhledem k
ct + h+i = Vt + (1 - S)kt ct,kt, < 0
a k0 > 0 a je dáno, a S g (0,1).
Ekonomika je vystavena exogennímu stochastickému šoku 7, který je iid a může nabývat následujících hodnot
7t g r = [4.95,5.05]
s pravděpodobnostmi
7Ti = Pr{7t = 71} = .5
2
7T2 = Pr{7t = 72} = .5 Uvažujte následující užitkovou a produkční funkci:
w(Cf)
1
l-a
Vt = 7^0^ 1) = 7t^t
Vypočítejte hodnotovou funkci (value function) a rozhodovací pravidlo (decision rule) pomocí metody iterace hodnotové funkce (value function iteration).
1. Napište Bellmanovu rovnici pro problém sociálního plánovače. Tj. refor-mulujte problém jako problém dynamického programování. Určete, které proměnné jsou statové (endogenní/exogenní) a které řídící.
2. Odvoďte deterministický steady state pro hodnotu kapitálu, k*, jako funkci strukturálních parametrů.
3. v Matlabu: m-file >> Definujte hodnoty parametrů, vypočítejte steady-state kapitálu. Uvažujte hodnoty: a — .35, /3 — .98,6 — .025, a — 2 a
4. Diskretizujte stavovou proměnnou k, tj. vytvořte grid v okolí steady státu ki — 0.95/j, kg]„ — 1.05/j, kde gk — 101 (počet bodů).
5. Vytvořte matici spotřeby (pro každý šok jeden plást (gk x gk), tedy (gk x gk x gg), kde gg — 2, dva stavy technologického šoku). Matice spotřeby je pro každou kombinaci k a k'. Vytvořte užitkovou matici.
6. Definujte počáteční odhad hodnotové funkce f o (gk x gg). Vypočítejte novou hodnotovou funkci řešením Bellmanovy rovnice.
Řešte iterativně, do té doby, až dostanete blízkou aproximaci skutečné hodnotové funkce. Vypočítejte a vykreslete rozhodvací pravidla pro k' a c. Tj. pro poslední maximalizaci najděte index řádku, který dává maximální hodnotu pro každé k' (pro obě hodnotové funkce). Z indexu vypočítejte rozhodovací pravidlo pro kapitál k' — k (i). Rozhodovací pravidlo pro spotřebu vypočítejte residuálně.
7. Nasimulujte (100 krát) chování ekonomiky při reakci na stochastický šok 7t-
Pro tento příklad se podívejte na řešení na webu. M-file seminar4_det .m je řešením výše uvedeného problému pro deterministický případ (bez stochastického šoku). M-file seminar4_iid.m odpovídá výše uvedenému zadání. M-file seminar4_mc. m je modifikace, pokud je šok modelován jako Markovský řetězec.
7
= 5.
vi(k,j) — max{w + /3l7r[i;o(A;',7')]T}
3