Makroekonomické modelování - cvičení 5
1 Teorie
Nabídka práce
Spotřebitel se rozhoduje o spotřebě, úsporách a nabídce práce. Předpokládejte, že žije pouze dvě období a vydělává mzdu w\, když je mladý a w2 když je starý. Jeho spotřeba a nabídka práce v těchto obdobích jsou c\, c2 a h\ a h2 ■ Úroková míra je r a agent maximalizuje
U — u{c\,h\) + (3u(c2,h2)
vzhledem k rozpočtovému omezení
,    c2 í    , w2h2
ci + —— = w\hx + ——. 1 + r 1 + r
Předpokládejte, že užitková funkce je dána jako
u(ct, ht)
1-7 1
a) Odvoďte podmínky prvního řádu pro h\ a h2 a c± a C2. Odvoďte Eulerovu rovnici a intratermporální rovnici. Interpretujte je. Ilustrujte je pomocí grafu. Odvoďte i intertemporální rovnici pro volný čas (práci).
b) Nyní předpokládejte, že w2 — 0, takže spotřebitelé pracují pouze pokud jsou mladí. Jaký je vliv mzdové sazby na nabídku práce? Na jakém parametru to záleží? Hint: Najděte řešeni pro c\ (z Eulerovy rovnice vyjádřete c2 a dosadte do rozpočtového omezení). Výsledek poté dosadte do intra-temporální podmínky (za ci) a zjistěte vztah mezi w\ a h\.
c) Během posledních sta let mzdy podstatně vzrostly, zatímco pracovní úsilí pokleslo (v průměru máme více volného času než naši prarodiče). Co tento fakt svědčí o parameterech v užitkové funkci?
d) Nyní předpokládejte, že lidé pracují v obou obdobích. Pomocí podmínek optimality (z bodu a) prozkoumejte vliv na spotřebu Cf a nabídku práce ht pokud dojde k
i) dočasnému šoku ve mzdě
ii) permanetnímu šoku ve mzdě
e) Dokážete z tohoto cvičení vyvodit nějaké užitečné závěry pro model reálného hospodářského cyklu?
f) Frischova elasticita nabídky práce je definována jako
„ „     d ln h+ ,   ,, .
F E = —-- u'(c) = const.
dm w t
Frischova elasticita tedy zachycuje elasticitu odpracovaných hodin vzhledem k (reálné) mzdě, přičemž užitek ze spotřeby je konstantní. Vypočítejte FE v tomto modelu. Hint: Vyjděte z intratemporální podmínky.
1
Solowovo reziduum
Co to je Solowovo reziduum a jak se měří? Jakou hraje roli v teorii reálného hospodářského cyklu?
2 Počítání
Předpokládejte následující verzi RBC modelu. Agent má užitek ze spotřeby a volného času.
oo
t=o
přičemž
u(ct, ht) — lncf - ipht kde j3 g (0,1). Produkční funkce firem je
j/t = zt/(fct,/it)=eť*A:Q/i1-Q
kde a g (0,1) a zt je technologický šok, TFP (total factor productivity). Sok má nulovou střední hodnotu a možné stavy z — {—e, e} a je modelován jako Markovský řetězec s přenosovou pravděpodobností II.
n=(\K 1~K)
y l — k     k j
Rovnice pro vývoj kapitálu je
kt+1 = (1 - ô)kt + it kde 5 g (0,1) je míra depreciace. Omezení ekonomiky je
ct + n= y t
a) Napište Bellmanovu rovnici pro problém sociálního plánovače. Určete, které proměnné jsou stavové (endogenní/exogénni) a které řídící.
b) Vypočítejte deterministický steady state modelu. Výsledkem by měly být tři rovnice, z nichž lze vypočítat steady statové hodnoty k, c a h (jako funkce strukturálních parametrů). Hint: Vyjděte z Eulerovy rovnice, intra-temporální podmínky a rovnice (zdrojového) omezení ekonomiky. Najděte poměry k/h a c/h a výraz pro h do kterého můžete za poměry dosadit.
c) Nakalibrujte strukturální parametry modelu a, j3, ô a ip na základě dlouhodobých vztahů v datech, přičemž víte, že
• c/y = 0.85
• k/y = 3
• podíl důchodu práci je 70 %
• podíl volného času v disponibilním čase je 80 %
d) S využitím Bellmanovy rovnice najděte hodnotovou funkci a rozhodovací pravidlo pomocí metody iterace hodnotové funkce.
2
• Vytvořte grid pro stavové proměnné k\ — 0.85/j, kj-g — 1.15/j, h\ — O.8/1, hhg = 1.2/i, kde kg = 101 a hg = 51.
Vytvořte matici spotřeby (hg x kg x kg x dim), kde dim — 2 -možné stavy technologického šoku. Vytvořte užitkovou matici. Definujte počáteční odhad hodnotové funkce v0 (kg x dim). Vypočítejte novou hodnotovou funkci řešením Bellmanovi rovnice.
(Tv)(k, z) = max {U + /3 1 ir[v0(k', z)]T)
Řešte iterativně, do té doby, až dostanete blízkou aproximaci skutečné hodnotové funkce. Vypočítejte a vykreslete rozhodvací pravidla pro k , c, a h.
• Nasimulujte (10000 krát) chování ekonomiky při reakci na stochastický šok zt.
• Vypočítejte směrodatnou odchylku simulovaných veličin i vzhledem k (std) výstupu. Vypočítejte korelace mezi veličinami.
Pro tento příklad se podívejte na řešení na webu. M-file seminar5_det .m je řešením výše uvedeného problému pro deterministický případ (bez stochastického šoku). M-file seminar5_stoch_mc .m odpovídá výše uvedenému zadání.
3