Makroekonomické modelování - přednáška 11
Model překrývajících se generací
Model překrývajících se generací (Overlapping Generation model, OLG). Tak trochu jiná třída modelů. Proč? Agenti nežijí nekonečně dlouho, ale mají životní cyklus.
V OLG modelech žijí zároveň mladí a staří agenti, staří umírají a noví se narodí atd. OLG modely mají jiné závěry než modely s nekonečným horizontem (konkurenční rovnováha nemusí být Pareto optimální, může existovat více rovnováh) .
Podíváme se na úspory a akumulaci kapitálu, demografické změny a na penzijní systém.
Model
Diskrétní čas, t — 1, 2, 3 .... Na začátku každého období t > 1 se narodí nová generace (kohorta). Agenti žijí jen dvě období. Značení: mladí (young) index y nebo 1, staří (old) index o nebo 2). V čase t=l je tam kohorta starých, kteří dožívají.
Populace roste konstantním tempem Lt — Lt_i(l + n). Preference
U(cit, c2t+i) = w(cit) + l3u(c2t+i) Splňuje klasické vlastnosti.
Mladí mají jednu jednotku práce, kterou nabízejí na trhu práce. Staří nepracují. (Počáteční kohorta starých je vybavena kapitálem, daným exogénne). Mladí obdrží mzdu a rozhodují se kolik spotřebují a kolik uspoří. Staří pouze spotřebovávají, žijí ze svých úspor (a úroků).
Technologie
Firmy najímají práci Lt a kapitál Kt a vyrábějí produkt pomocí produkční funkce
Yt = F(Kt,Lt)
Splňuje klasické vlastnosti, včetně CRS, lze vyjádřit per capita yt — f(kt). Předpokládáme, že kapitál nedepreciuje ô — 0.
Časový sled událostí
Obrázek.
1
Řešení a rovnováha
První generace a všechny další
max    w(cit) + I3u(c2t+i)
Cit ,C2t+l ,Sl
vzhledem k
Cit =Wt- Sít
C2t+i = (1 +n+i)sit
Plus původní nultá generace
maxu(c2i)    vzhledem k    C21 — (1 + ri)ki
C21
Firmy
max F(Kt,Lt) - wtLt - RtKt
Kt ,Lt
Konkurenční rovnováha
Série alokací {cit, C2t+i, st}f^i (spotřeby a úspor) agentů a série alokací firem {Kt, Lt}c^1 (kapitálu, práce) a série cen {wt,rt}c^1 (mzdy a úrokové míry), které řeší
• optimalizační problém spotřebitelů
• optimalizační problém firem
• trhy se čistí v každém obodbí (trh statků, trh práce, trh kapitálu)
Podmínka vyčištění trhu kapitálu říká, že zdrojem pro kapitál v í+1 jsou úspory generace mladých v období t, tedy Kt+\ — Ltsit-
Vliv úrokové míry na úspory (spotřebu)
CRRA funkce
1-0      P 1-0
Celoživotní rozpočtové omezení
. C2t+1
cit + -r--= wt
1 + n+i
Řešením optimalizace je (jak jinak) Eulerova rovnice
C2t+1
cit
Růst spořeby, když spotřebitelé trpělivější nebo úroková míra vyšší. Řešení pro
Cit
1
1 +/3ě(l + rt+i)ě-1
2
případně pro úspory
1
sít =
l+/3-*(l+rť+i)
-wt
e
Růst rt+i způsobí (předpokládáme, že spotřebitel je v roli věřitele)
• důchodový efekt, růst důchodu, zvýšení spotřeby obou normálních statků
• substituční efekt, cena spotřeby v t je relativně vyšší (cena budoucí spotřeby nižší), více spotřebovávat levnější statek, více C2t+\ méně c±t
Obrázek. Pro případ CRRA funkce, efekty závisí na elasticitě substituce ^ — a.
• ^ — a > 1 SE > IE, spotřeba cu klesá, úspory s u rostou
• ^ — a < 1 IE > SE, spotřeba C\t roste, úspory slt klesají
• ^ — a — \ IE — SE, log funkce, oba efetky se vykrátí, úroková míra nemá vliv na spotřebu a úspory
Co když spotřebitel vydělává i ve druhém období?
SE i IE zůstávají, nový efekt bohatství, spotřeba cu klesá, úspory s u rostou. Dynamická analýza modelu
■t+i —
í+n
1     (l+/3)(l + n)
Balanced growth path
13(1 -a)
Kí
t+i —
Kt(l + n)
3
Vliv demografických změn na míru úspor
Agregátní úspory
St = Kt+1 -Kt= nKt Agregátní míra úspor (v steady-statu)
_ St _ nKt _ nk _    n/3(l — a) ~Yt~~~Y~ (l+/3)(l + n)
Pokles n (např. snížení porodnosti, populace stárne).
• Počet mladých agentů je relativně menší vůči starým. Úspory jsou dělány mladými (úspory budou nižší). Posun nabídky vlevo.
• Menší počet mladých snižuje nabídku práce. Kapitál bude méně vybaven prací, mezní produkt kapitálu bude menší. Posun poptávkové křivky vlevo.
Množství úspor poklesne, poklesne i výstup (ale méně). Míra úspor se tedy sníží. Jak snížení n ovlivní rovnovážnou úrokovou míru?
, = q(l+/3)(l + n) T /3(l-a)
Pokles n způsobí pokles r*.
Rovnováha OLG modelu obecně
Z našeho příkladu
1
1 +/3-ě(l +rt+i)1-ě
tedy úspory jsou funkcí rt+1 krát wt, tedy s n — s(rt+1)wt. Kapitál závisí na úsporách, což po dosazení dává
(1 + n)       (1 + n)       1 + n Trochu upravíme
{í + n) f{kt)
Zprava doleva: Výstup; část výstupu jako odměna práci (labor share); část výstupu, která je uspořena (míra úspor).
Jednoduchý model, ale můžeme dostat různé typy dynamického chování. Obrázek.
• Panel (a), vícenásobná rovnováha (multiple equilibria). (i) když labor share je větší při vyšších hodnotách kt nebo (ii) když pracovníci spoří velkou část příjmu, když je malá míra návratnosti (mezní produkt, tedy velké kt).
• Panel (b), konvergence k 0.
4
Pareto neefektivnost
Srovnání OLG modelu s Ramseyho modelem. Ekonomika s depreciací kapitálu. Omezení ekonomiky
Kt+1 - (1 - 5)Kt + cltLt + c2tLt-i = F(A'f, Lt) (1 + n)kt+1 - (1 - ó)kt + clt + = /(**)
Spotřeba na pracovníka (obou generací)
, c2t
Cf = Cit +
í+n
Spotřeba v s.s.
c* =f(k*)-(n + ô)k*
Max spotřeby
f'(kgr)=n + ô Zlaté pravidlo. Ekonomika může být
• dynamicky efektivní, k* < kgr, (zvýšení kapitálu zvýší spotřebu v dlouhém období, ale na náklady nižší spotřeby v krátkém období)
• dynamicky neefektivní, k* > kgr, ekonomika akumuluje příliš mnoho kapitálu (snížení kapitálu zvýší spoteřebu ve všech obdobích)
Ramseyho model
Bez růstu technologie, ale s růstem populace.
Eulerova rovnice z minulé přednášky (růst populace, technologie, nejistota)
(l-6)zt + a~k?-1(ht)
l-a
Ct Cf+i
Pro náš případ vypadá
(1 + n)u'{ct) = Í3u'(ct+1)[í + /'(fct+i) - Ô]
Ve steady státu, plus použijeme f3 — 7+^-
(l+n)(l+p) = (1-5)+ /'(*:*)
f'(k*) = n + 5 + p
f'(k*) = n + ô + p>n + ô = f'(kgr) (1)
Rovnice (1) je tzv. modifikované zlaté pravidlo. Kapitál splňující modifikované zlaté pravidlo je striktně menší než f'{kgr).
Domácnost by mohla spotřebovávat více ve steady-statu, ale je netrpělivá a nechce snížit dnešní spotřebu, aby dosáhla vyšší spotřeby dle zlatého pravidla (raději si vybere více vyhlazenou spotřebu).
Ramseyho model: ve steady státu nemůže být dynamicky neefektivní. Navíc je sociálně optimální, což je důležitější než spotřeba dle zlatého pravidla.
OLG model
V OLG modelch může být k* > kgr. Příklad z minula. Logaritmická užitková funkce, Cobb-Douglasova produkční funkce. Nulová depreciace.
Slt = TTěWt = TTp{1 ~ a)kt
kt+1~ (l+/3)(l + n)fct
6
k'
Mezní produkt kapitálu
f(k*) = a
P(l-a) (l + /3)(l + n)_
f'(k*) = a^*)"-1
(1 + /?)(! + n) _ g(2 + p)(l+n) /3(1 — a) 1 — a
Když je a nebo p jsou nízké, může se stát, že steady state v OLG modlech je dynamicky neefektivní, tzn. k* > kgr
Co s tím? Můžeme zvýšit spotřebu ve všech obdobích přeskupením zdrojů. Pareto optimální alokace
je sekvence alokací {cit, C2t+\, st}t*li která splňuje rozpočtové omezení ekonomiky a má následující vlastnost: neexisuje žádná jiná alokace {čit, Č2t+i, št}tli! která splňuje rozpočtové omezení a
u(čit,č2t+i) >u(cit,c2t+i)    V t>í s ostrou nerovností alespoň pro jeden případ (t > 1).
(Problémy: Může existovat PO steady-state, ale nikoliv cesta, která k němu vede. Máme dva steady-staty, které můžeme porovnat z hlediska blahobytu, ale ne z hlediska cesty, která k nim vede.)
Pareto zlepšující alokace (formálně)
Předpoklad, že ekonomika je ve steady státu (k*). Provedeme realokaci, snížíme kapitálovou zásobu o Ak* < 0 (dezinvestice).
k** = k* + Ak*
Rozpočtové omezení (před změnou)
(í+n)k* + c* =y* + (l-S)k*
Rozpočtové omezení (po změně)
(1 + n)k** + c** = y** + (1 - 6)k**
(1 + n)(k* + Ak*) + c** = y* + f'{k*)Ak* + (1 - 5){k* + Ak*) Odečtením od sebe dostaneme
Ac* = f(k)Ak* + (1 - ô)Ak* - (1 + n)Ak*
Ac* = [f(k) - (n + 5)]Ak* Pokud jsme za kgr pak výraz f'(k*) — (n + S) < 0, takže Ac* > 0.
7
Pareto zlepšující alokace (intuitivně)
Sociální plánovač zavede následujcí transfer:
• sníží úspory mladých o jednotku Ak — 1 a dá je staré generaci (v období t)
• mladých je (1 + n) krát starých, takže spotřeba starých se zvýší o (1 + n).
• podobně, mladí až zestárnou dostanou také dodatečných (1 +n) jednotek spotřeby.
Je tento transfer lepší?
• Mladí si mohou spotřit na stáří sami. Míra návratnosti r — R — ô — f'(k*)-ô
• pokud je ekonomika dynamicky neefektivní, pak f (k*) < (n+ô), tzn. míra návratnosti tohoto transferu je vyšší než míra návratnosti soukromých úspor. Mladí budou tento transfer preferovat, (spotřeba v mládí nezměněna, ve stáří jim vzroste)
V OLG modelech jsou úspory jedním způsobem přesunu spotřeby do stáří (mladí musí spořit i když je míra návratnosti nízká). Může se stát, že ekonomika spoří příliš (a akumuluje moc kapitálu).
V Ramseyho modelu je agent „mladý" (pracovník) a „starý" (kapitalista) zároveň. Transfer probíhá implicitně mezi domácnostmi v každém období.
ALE, ale Pareto zlepšující alokace je možná pouze v případě, že je nekonečný počet generací. Předpokládejme poslední generaci T, která se narodí v T a žije jen toto období. Není zde potřeba úspor, spotřeba pouze v čase T.
U = ií(cit)
Rozpočtové omezení ekonomiky
ct = f(kT) + (1 - 6)br Snížení kapitálu způsobí pokles spotřeby
AcT = f(k*)Ak* + (1 - S)Ak*
AcT = [1 + f'(k*) - S]Ak* < 0
Na konci světa vezmeme od mladých v čase T, ale už jim nic nedáme v dalším období, protože další období neexistuje. Tato poslední generaci si pohorší. Není možné udělat Pareto zlepšující alokaci. I když můžeme zvýšit spotřebu všech předchozích generací, poslední generace ztratí.
Zdroj Pareto neefektivity. V první přednášce jsme měli, že konkurenční rovnováha je Pareto efektivní (platí 1. teorém blahobytu) při platnosti určitých podmínek (absence externalit atd.). Jednou z podmínek je i konečný počet
8
agentů. Tady je nekonečný počet generací. To umožňuje sociálnímu plánovači provést efektivnější alokaci, která není dostupná trhu. Proto OLG modely mohou být Pareto neefektivní.
Jak dosáhnout snížení úspor?
• daň z kapitálu
• vládní dluh
• nefondový systém sociálního zabezpečení (Pay-As-You-Go) Příklad PAYGo systému
Zjednodušená forma OLG modelu. Řešení v rámci dvou období, spotřeba když mladý a starý, c\ a c2. Příjem mladého agenta je y, když je starý pouze si užívá důchodu a žije z úspor s (a úroku). Populace roste tempem n, výstup roste tempem g (technologický pokrok). Vláda zdaňuje mladé (t) a starým vyplácí důchod b, má vyrovnaný rozpočet.
max log(ci) +/31og(c2)
Cl,C2,S
vzhledem k
ci + s = y(í - t) c2 — (1 + r)s + b b = (l+n)(l + g)Ty
Spotřebitel profituje z toho, že když je starý, je kolem něj více mladých k zaplacení penze a tito lidé mají také větší příjem kvůli technologickému pokroku. Po dosazení
ci + s = y(í - t) c2 = (1 + r)s + (1 + n)(l + g)ry Mezičasové rozpočtové omezení
Pi + T^- = (l-r)y+(1+")(ľ + g)Ty=y(r)
1 + r 1 + r
Řešení (např. Lagrangiánem, Eulerovka, dosazení do rozpočtového omezení)
Y
Cl
1 + /3
Y
s = (1 - r)y -
1 + /3
Jak tento systém ovlivňuje úspory? Úpravami poslední rovnice dostaneme Py       (l + n)(l + <7) + /3(l + r)
1 + 13 (l+r)(l + /3)
-ry
9
S rostoucím t (větší PAYGo systém), soukromé úspory s klesají. Tzn. větší pay-as-you-go systém snižuje úspory, investice a tím i akumulaci kapitálu. Může tento systém zvyšovat blahobyt? A za jakých podmínek?
y(r) = (1 - t)j/+
Y(t) = y +
(í + n)(í + g)Ty í+r
(í+n)(í+g)Ty
í + r (í+n)(í+g)
což je aproximativně
í + r
(1 +n)(l +g)> í+r n + g > r
ry
Populační růst plus růst důchodu (ekonomiky) je větší než míra návratnosti ze soukromých úspor. PAYGo systém dává smysl v některých zemích, s vysokým populačním růstem. Nyní ale moc ne (příklad Německo, ale i jiné země) n — 0%, g — 2%, průměrný výnos z akciového trhu r — 7%. Nutná reforma. Problém chybějící generace.
Empirické testování dynamické efektivnosti: U.S. růst ekonomiky + populační růst n + g — 3%, výnos z vládních obligací r — 1%. To naznačuje dynamickou neefektivnost. Ale pokud vezmee data z národních účtů a porovnáme (čistý) mezní produkt kapitálu /'(k) — S — R — S s růstem n + g pak R — S — 10% > n + g — 3%. Podobně pro případ nejistoty: čistý kapitálový důchod > investice. Ekonomika je dynamicky efektivní.
10