Makroekonomické modelování - přednáška 3 1 Chování v prostředí nejistoty 1.1 Teorie očekávaného užitku Něco teorie z mikroekonomie, opakovaní?? • V deterministickém světě - spotřebitelovy preference jsou popsány dle seřazení koše statků • V prostředí nejistoty - preference spotřebitele podle seřazení jednotlivých loterií (her), podle očekávané hodnoty užitku • 1 statek, spotřeba c, užitková funkce u(c) • 2 loterie, í — A,B. • Loterie i přinese c\ jednotek spotřeby s pravděpodobností pi a cf jednotek spotřeby s pravděpodobností (1 — Pí), kde 0 < Pí < 1. Definice Očekávaný užitek z loterie i (součet pravděpodobnosti x užitek) Píu{c\) + (1 -pi)u(c}) Spotřebitel striktně prefereuje loterii A před B Pau{c\) + (1 - pa)u{c\) > pBu(cB) + (1 - Pb)u(c2b) preferuje B před A pokud < a je indiferentní pokud —. 1.2 Chování v prostředí rizika Spotřebitel, (který maximalizuje užitek) je rizikově averzni, když je jeho užitková funkce (striktně) konkávni. Pokud je u(c) striktně konkávni, implikuje to Jen-senovu nerovnost u[E(c)} > E[u(c)} (1) kde E je operátor očekávání (můžete chápat jako střední hodnotu). Jensenova nerovnost nám říká, že spotřebitel preferuje očekávanou hodnotu loterie (s jistotou) před loterií samotnou. Je rizikově averzni - je ochoten zaplatit za vyhnutí se riziku. 1 Něco jako důkaz Pro milovníky mikroekonomie, ostatní můžou přeskočit. Pokud spotřebitel obdrží konstantní spotřebu č s jistotou, tak potom (1) platí jako rovnost. V případě, že spotřeba je náhodná veličina, potom platí (1) se striktní nerovností. Vezmi tečnu k funkci it(c) v bodě (E(c), u(E[c]). Tečna je dána funkcí g(c) — a + j3c když vezmeme očekávání (a a j3 jsou konstatny) a + pE[c] = u{E[c}) (2) Protože u(c) je striktně konkávni, pak máme a + /3c> u(c) (3) pro c > 0 a se striktní nerovností, pokud c ^ E(c). Dále pro striktní nerovnost. Operátor očekávání je lineární operátor, můžeme vzít očekávání rovnice (3) a vzhledem k tomu, že c je náhodná veličina dostaneme a + /3E[c] > E[u(c)] a použitím rovnice (2) dostaneme u[E(c)} > E[u(c)} Ukázali jsme, že Jensenova nerovnost platí. Příklad Loterie přinese spotřebiteli c\ s pravděpodobností p a c2 s s pravděpodobností 1 — p. kde 0 ci. u(pc\ + (1 - p)c2) > pu(ci) + (1 - p)u(c2) Užitek z očekávané hodnoty hry u[E(c)\ > očekávaný užitek ze hry E[u(c)\ Body na úsečce AB označují očekávaný užitek agenta pro danou pravděpodobnost p. Jensenova nerovnost je fakt, že AB leží pod funkcí u(c). Vzdálenost DE je di-sutilita spojená s rizikem. Vzdálenost roste s větším zakřivením užitkové funkce - větší averze k riziku. 1.2.1 Měření averze k riziku Při maximalizaci očekávaného užitku jsou výběry dělané v podmínkách nejistoty invariantní (neměnné) při afinních transformacích užitkových funkcí. v (c) — a + j3u{c) kde a, f3 jsou konstanty, f3 > 0. Pak platí E[v{c)] = a + PE[u{c)} protože E je lineární operátor. Z toho vyplývá, že loterie jsou seřazeny stejným způsobem, ať uvažujeme funkci v(c) nebo transformovanou u{c). 2 Jakékoliv měřítko averze vůči riziku by mělo zahrnovat druhou derivaci u"(c), protože averze roste, když se zvyšuje zakřivení funkce. Ale, pro transformovanou funkci v (c) máme v"{c) = Pu"(c) takže druhá derivace není invariantní vůči afinním transformacím (je tam ta j3). Takže samotná druhá derivace k měření nestačí. Měřítko, které je invariantní vůči afinním transformacím je: 1.2.2 Koeficient absolutní averze vůči riziku ARA(c) = u'(c) např. funkce, která má konstatní ARA pro všechna c je u(c) = 1 - e-ac ARA(c) — a vzhledem k c. (empiricky + experimentálně, spíše užitková funkce s klesající ARA) 1.2.3 Koeficient relativní averze vůči riziku u"(c) RRA(c) = - : s konstatní RR všechna c je u'(c) např. funkce s konstatní RRA (Constant Relative Risk Aversion, CRRA) pro u(c) = -j^- RRA(c) — 6 vzhledem k c, ARA(c) je klesající vzhledem k c. U mezičasového výběru, mluvíme o tzv. ISO elastické funkci, elasticita inter- temporální substituce a — ^. Hodně používaná specifikace, speciální případ CRRA fce je logaritmická funkce lne, (koeficient RRA(c) — 1). Důchodový a substituční efekt se vykrátí. Rizikově neutrální spotřebitel Užitková funkce je lineární ve spotřebě u(c) — j3c, j3 > 0. Riziko zde nehraje žádnou roli. ARA(c) = RRA(c) = 0 Anomálie Teorie očekávaného užitku - vysvětluje chování lidí v prostředí rizika (např. při nákupu pojištění). Teorie se běžně v ekonomii používá, ale existují určité jevy, které nejsou s touto teorií konzistenstní, např. Allaisův paradox. Nejprve výběr mezi loterií A a B. A dává 1 milión s jistotou, B dává 5 miliónů s pravděpodobností 0.1, 1 mil s pravděpodobností 0,89 a nebo 0 miliónů s pravděpodobností 0.01. Potom výběr mezi loteriíí C a D. C dává 1 milión s pravděpodobností 0.11 nebo 0 miliónů s pravděpodobností 0.89. a loterie D dává 5 miliónů s pravděpodobností 0.1 nebo 0 miliónů s pravděpodobností 0.9. 3 Cíl: Jak vypočítat hodnotu, že se nacházíme v daném stavu? (Markovské procesy, dynamické programování a iterace hodnotové funkce) 2 Modelování nejistoty Formální zápis nejistoty Máme proces s*. st je stav (událost), množina stavů je S — {s±, S2, ■ ■ ■ ,st}-Množina je konečná (např. počasí - jasno, oblačno, zataženo, deštivo, sněžení.) Náhodný proces (to, že jsem v nějakém stavu) může být náhodné (nezávislé) nebo závislé. Jak to specifikujeme, záleží na nás. Budeme používat tyto formy: • Proces je iid (prvky jsou navzájem nezávislé a mají stejné rozdělení). Je to čistá náhoda (hod mincí, hod kostkou) • Proces s* je homogenní Markovský řetězec (Markov chain, MC). Vlastnosti MC: • Proces (řetězec) se pohybuje ze stavu do stavu. Každý pohyb se nazývá krok. • Pokud je řetězec ve stavu i, tak se přenese do stavu j s pravděpodobností Pij • Pij je podmíněná pravděpodobnost (nezávislá na ničem jiném, krom toho, že jsme ve stavu i, minulé stavy jsou irelevantní) Pij = Prob(st+i = Sj\st = Si) = Prob(st+i \st = Si,st-i = s„ .. .si = si) Pij se také nazývá přenosová pravděpodobnost. Proces může zůstat ve stavu ve kterém je, a to se stane s pravděpodobností pa Matice přenosových pravděpodobností je přenosová matice. p = Pil Pl2 [ P21 P22 např. _ ľ 0.90 0.10 " ~ [ 0.40 0.60 • Řádek i udává pravděpodobnosti při pohybu ze stavu i (dnes) do všech možných stavů (zítra). Suma po řádku dává dohromady 1 (musíme někde skončit). • Sloupec j udává pravděpodobnost, že skončíme ve stavu j (za podmínky, že jsme vyšli z arbitrárne zvoleného stavu i) Jak vypočítat pravděpodobnost stavu někdy v budoucnu? Potřebujeme znát počáteční stav a přenosovou matici. 4 Příklad s počasím Pravděpodobnost, že proces je dnes ve stavu i a bude ve stavu j za n dnů (n) označíme p- Jaká bude pravděpodobnost, že bude za 2 dny zataženo, když je dneska zataženo? Přenosová matice " 0.50 0.25 0.25 P= 0.25 0.50 0.25 0.50 0.50 0.00 Počasí dnes je zataženo, představováno vekotrem x^ = [0 1 0] Počasí zítra (jeden den ode dneška) je x« = xWp Počasí pozítří (dva dny ode dneška) je x^ = xWp x{2) = x(0)pp = ^(0)^2 x{n) = x(0)pn V limitě lim = lim x(0)P" To, co jsme odvodili pro limitní případ výše je nepodmíněná pravděpodobnost. Pravděpodobnost, že skončíme v nějakém stavu, když nevíme nic o předchozích stavech (jak často pozorujeme stav i, nezávisle na počátečních podmínkách).1 Matice P°° má všechny řádky jsou stejné, na počátečním rozdělení nezáleží. Poznámka: Markovské řetězce zajistí při simulacích větší perzisentenci (pomáhají replikovat data), ale tato persistence není vysvětlena z ekonomického hlediska. Nevíme, proč k ní dochází. 3 Dynamické programování a Bellmanova rovnice Optimalizační problémy (domácnosti, firem), které řešíme jsou stacionární -jsou nezávislé na čase (produkční funkce je stejná, rozpočtové omezení, chování domácností a firem rovněž atd.). Problém se v čase nemění, jediné co se mění jsou počáteční podmínky - hodnota proměnných určených v minulém období (rozhodnutím nebo náhodou). Tyto problémy můžeme řešit rekurzivně pomocí nástrojů dynamického programování. Co to je? Hledáme hodnotovou funkci a rozhodovací pravidlo. ^■Když je každý prvek matice P je kladný, pak existuje jediné nepodmíněnné rozdělení pravděpodobnosti. 5 • Rozhodovací pravidlo (decision rule někdy i policy function) nám říká, co máme udělat s proměnnými během tohoto období na základě počátečních podmínek (daných minulostí). Např. kolik investovat a kolik spotřebovat na základě daného stavu kapitáluů. • Hodnotová funkce je např. hodnota diskontovaného užitku při maximalizaci v nekonečném horizontu (když byl maximalizační problém vyřešen) nebo hodnota firmy (daná současnou hodnotou cash-flow). Bellmanova rovnice Takhle bude vypadat příště v(kt) — max{w(/ít, kt+1) + j3E v(kt+1)} nebo v rekursivní notaci v(k) = m&x{u(k, k') + j3Ev{k')} k je současný stav, k' je stav o krok vpřed. Dneska budeme mít trochu jednodušší případ: v(st) = c(st) + /3Pv(st+1) Příklad Jaká je čistá současná hodnota budoucího cash-flow firmy? Firma se může nacházet ve třech stavech: dobrý (Good), normální (Normál) a špatný (Bad). Hodnota cash-flow podle stavů je: pro Good 20 mil., pro Normál 10 mil. a pro Bad —5 mil. Matice přenosových pravděpodobností, která může být zjištěna z historických dat, vypadá následovně P .55 .40 .05 .35 .55 .10 .20 .20 .60 Diskontní míra je r, nejprve deterministický případ. Bellmanova rovnice v(st) = c(st) + —j— v(st+i) 1 + r Stochastický případ - známe c(st), ale budoucnost je nejistá (použijeme očekávání). v(st) = c(st) + —j— Et v(st+i) 1 + r Víme, že nejistota je Markovská, takže v(st) = c(st) + —-— Pv(st+i) 1 + r Známe možné stavy s(.), funkci c(.), parametr r a přenosovou matici P. Jediné, co neznáme je funkce v(.). 6 Použijeme postup zvaný iterace hodnotové funkce (value function iteration, VFI). Vezmeme počáteční hodnotovou funkci i>o(sf) např. vektor 0 a řešíme iterací. Vi+i(st) = c(st) + —— Pvi{st+1) 1 + r Iterujeme dokud to nezkonverguje, tj. Ih+iOt) - i'i(st) II < e kde e je malé číslo. i