Makroekonomické modelování - přednáška 4
1   Jednoduchý růstový model
Ramsey (1928), Cass, Koopmans (1965) - optimalizační chování v čase, vs. Solow (konstantní míra úspor).
Původně deterministický model => zavedení stochastiky => stochastický růstový model =>• model reálného hospodářského cyklu (RBC).
Vyřešíme v diskrétním čase, pomocí nástrojů dynamického programování. Model
Spotřebitelé (domácnosti) žijí nekonečně dlouho. Užitková funkce
oo t=0
má obvyklé vlastnosti. Produkční funkce
Vt = F(kt,nt)
má opět obvyklé vlastnosti.
Výstup je buď investován nebo spotřebován.
Vt = it + (k
Kapitál se vyvýjí dle rovnice
kt+i = (1 - S)kt + it
Míra depreciace ô je konstantní v čase, počáteční zásoba kapitálu kg je dána, Cf > 0 a kt+i > 0. (Mohou být investice záporné?) Domácnosti vlastní kapitál a pronajímají ho firmám. 1 Firmy najímají vstupy a maximalizují zisk, v každém období. Domácnosti maximalizují užitek ze spotřeby. Trhy se čistí. Výsledkem je konkurenční rovnováha (ukážeme později). Platí 1. teorém blahobytu. Konkurenční rovnováha je Pareto efektivní (stejná jako řešení SP). Řešíme jako problém sociálního plánovače.
V naší specifikaci se užitek z volného času neobjevuje ve spotřební funkci, domácnosti dodávají na trh všechen svůj čas nt — 1.
yt = F(kt,l)=f(kt)
Sociální plánovač řeší
oo
v(&□) — max y ^ f3fu(ct)
+ t=0
1 Organizace trhu => hodně způsobů, všechny vedou na stejnou konkurenční rovnováhu.
1
výhledem k
ct + kt+1 = f{kt) + (1 - ô)kt
pro t — 0,1, 2 ... a při daném /íq. f      je diskontovaný celoživostní užitek repre-zetnativní domácnosti, pokud sociální plánovač vybere optimálně {ct, kt+\ při počáteční zásobě kapitálu &o.
Nekonečný plánovací horizont. Dá se řešit pomocí Lagrangiánu (ale! může být nekonečně mnoho řešení, potřebujeme koncovou podmínku - podmínku transver-sality (transversality condition, TVC). Podíváme se později.
Nebo přejdeme na dynamické programování.
1.1    Rekurzivní formulace Terminologie
Stavová proměnná - proměnná jejíž hodnota je určena již dříve
• nějakým jednáním, tj. endogenní stavová proměnná, např. kapitál kt
• nějakým procesem, tj. exogénni stavová proměnná, např. technologie zt
Příklad se spotřebou.
Řídící proměnná - proměnná jejíž hodnotu si jednotlivec (soc. plánovač) vybírá, aby maximalizoval cílovou funkci.
Často máme na výběr, která proměnná bude stavová a která řídící. Výběr řídící proměnné může hodně zjednodušit řešení problému.
Dosadíme do užitkové funkce za ct
oo
max   Y, PHfikt) + (1 - S)kt - kt+1] Stavová proměnná? řídící proměnná?
Předpokládejme, že můžeme hodnotu diskontovaného užitku v nekonečném horizontu spočítat.
2
v(k0)
max   V pul/fa) + (1 - S)kt - kt+1]
max { u[f(k0) + (1 - 5)k0 - ^ + /3 V/^M/^t) + (1 - S)kt - kt+1] kg dáno
t=i
max kg dáno
max ki k0 dano
u[/(A;o) + (1 - S)k0 - h] +13
u[f(k0) + (í-ô)k0-k1}+l3
max V p^utfikt) + (1 - 5)feť - fct+i] &i dáno
1 oo
h=i t=i
max      y ptu[f{kt+\) + (1 - 5)&t+i - ^t+2] {kt+2J^Lo t=o ki dáno
kde výraz v hranatých závorkách je podobný původnímu maximalizačnímu problému SP. Ten začínal s daným kg, teď začíná s daným k\ a maximalizuje od dalšího období. Nic jiného se nezměnilo (technologie, užitkové funkce, ani SP), proto můžeme optimální hodnotu problému v [ ] označit jako v{k\) a dostaneme
v(k0) —    max    {u[f(k0) + (l — ô)k0 — k1] + l3v(k1)}
{k±,fcodáno}
Dostali jsme jednodušší maximalizační problém (maximalizujeme jen přes jednu proměnnou k{). Ale jelikož je funkce v(.) i na pravé straně a my ji neznáme, tak to není až tak jednoduchý.
Rekurzivní formulace problému — Bellmanova rovnice
Opět pár pojmů. Označíme dnešní stav k a zítřejší k!. (Pozor, není to značení derivace).
v(k) = max {u[f(k) + (1 - 6)k - k'] + fiv{k')}
Hodnotová funkce v(k): diskontovaný celoživotní užitek agenta, ode dneška dále, při daném kapitálu k na začátku dnešního období, když SP alokuje spotřebu optimálně. Bellmanova rovnice je funkční rovnice. Vyjadřuje trade-off mezi obdobími. Buď zvýším spotřebu dnes (vyšší užitek dnes), nebo uspořím a budu více kapitálu zítra (tudíž větší budoucí užitek).
Stacionární problém - objevuje se ve stejné podobě nezávisle na čase (mění se pouze počáteční podmínky).
Chceme problém vyřešit (pro jakékoliv dané k). Chceme najít hodnotovou funkci v(.), která jřeší Bellmanovu rovnici. Ale hlavně chceme najít optimální rozhodovací pravidlo (decision rule), což funkce, která nám říká jak se máme rozhodnout na základě daného stavu. Rozhodovací pravidlo pro kapitál
kt+i — g(kt) nebo-li k' — g(k)
3
optimální volba k' jako funkce k.
Případně rozhodovací pravidlo pro spotřebu
ct= f(kt) + (l-ô)kt-g(kt) nebo-li c = f (k) + (1 - 6) k - g{k)
Někdy se tomu říká policy function, ale my tomu budeme říkat decision rule (pře neděláme politiku, ale ekonomii).
Pomocí Bellmanovy rovnice můžeme najít v(.) a pak i g(.), protože Bellmanova rovnice splňuje contraction mapping theorem, který říká
1. Existuje jediná funkce v(.), která splňuje BE
2. když začneme s počáteční funkcí v0(k) a zadefinujeme vi+i(k)
Vi+\{k) — max [u{k, k') + j3vi{k')\
tak pro z = 0,l,2...
lim Vi+\{k) — v{k)
t—>oo
Z toho vyplývá, že máme dvě alternativy, jak najít hodnotovou funkci.
1.1.1 Uhádni a ověř (guess & verify)
Když máme štěstí a správně uhádneme v(k) můžeme ji dosadit za v(k') na pravé straně BE a ověřit, že je jejím řešením. Bohužel to funguje jen v několika málo případech (já vím jen o jednom), (výhoda - máme analytické řešení)
1.1.2 Iterace hodnotové funkce (value function iteration)
Najdeme aproximaci hodnoté funkce. Vytvoříme grid k G {k\, k^ ■ ■ ■ km}, kde kj < kj+i uděláme počáteční odhad hodnotové funkce pro každou hodnotu kapitálu f o — vo(kj) (vektor 0) a pak iterujeme podle výše uvedeného schématu, až nám to zkonverguje.
Přesnost záleží na hustotě gridu (diskretizaci), čím hustější tím lepší výsledek. V tomto případě je to celkem o.k., máme jen jednu stavovou proměnnou. Ale může být výpočetně náročné. Pro grid o délce man stavových proměnných tak hledáme maximum přes mn bodů. Jak roste n tak ohromě roste výpočetní náročnost {kletba dimenzionality).
(Výhoda: máme zakřivené rozhodovací pravidlo, platí, i když jsme dále od steady-statu)
Příklad Guess & Verify
Máme produkční funkci F(k,n) — kfn\~a, kde a G (0,1), u{ct) — ln(cf) a stoprocentní depreciace kapitálu 5=1. Produkční fci můžeme přepsat jako f(k) — ka, protože domácnosti neocení užitek z volného času a dodávají celou jednotku práce n — 1. Bellmanova ronvice
v(k) = max {ln(ka - k') + I3v(k')}
4
Řešením je rozhodovací pravidlo kt+\ — a fík" a pro ct — (1 — aj3)kf. Steady-state kapitálu k* — (a/3) 1-a Obrázek. Pro nalezené rozhodovací pravidlo můžeme vypočítat celkou sekvenci {/jt+i}^Q. (máme kroky, každý krok je jedna časová jednotka)
Odhad platí jen pro C-D produkční funkci, log užitkovou funkci a 100 % depre-ciaci. Pro jiné případy neplatí, ať budete hádat sebevíc.
Nalezení řešení diferenciací
Řešení problému sociálního plánovače pomocí podmínek prvního řádu (Eule-rova rovnice). Předpoklad, že hodnotová funkce je diferencovatelná a konkávni (Benveniste and Sheinkman, 1979)
v(k) = max {u[f(k) + (1 - 6)k - k'] + l3v(k')} Stavová proměnná k, řídící k'. Podmínka prvního řádu (FOC):
du(...) dv{k') dk'    p dk'
du(c) dc ^dv(k')
——--h /3—-—- — 0
dc   dk1 dk1
du(c) dv(k') dc dk'
Ale neznáme v(.) a tím pádem ani její derivaci ^§^r-- Naštěstí existuje teorém obálky (envelope theorem). Derivací Bellmanovy rovnice (obou stran) podle endogenní stavové proměnné (k) a použitím envelope theoremu dostaneme:
dv(k)     du(c) dc dk dc dk
dv(k) du(c)
dk
dc
df(k) dk
Máme stacionární problém. Můžeme výraz posunout o jedno období dopředu dv(k') _ du{c') \df(k')
dk'
a dosadit do FOC za dv^, -1 Eulerovu rovnici.
dc'
dk'
+ (1-5)
a dostaneme mezičasobou podmínku optimality -
du(c) du(c') P ~
dc
dc'
'df(k') dk'
du(c)
df(k') dk'
5
LHS — mezní míra substituce ve spotřebě, RHS 1 + čistá nájemní cena kapitálu. Nebo hezčí zápis
-^^T = 1 + A(A)-Ä
puc{ct+i)
Případně
uc(ct) = l3uc(ct+i)[l + fk(k) - Ô]
LHS — ztráta užitku víz konzumace o jednu jednotku méně, RHS — nárůst užitku ví+1, diskontovaného do času t, z investování do kapitálu. V optimu se přínos a ztráta musí rovnat.
Jak to vypadá ve steady-statu? Platí k — k' — k* a c — c' — c*.
LHS — 1 + nájemní cena kapitálu (mezní produkt kapitálu) - míra depreciace, RHS — úroková míra (implicitně vyjádřená v diskontním faktoru).
Pro nájemní cenu kapitálu budu používat velké R, tedy -1 — fk(k) — R, pro úrokovou míru malé r.
1.2   Konkurenční rovnováha
Vrátíme se zpět k původnímu problému, jak ho řeší spotřebitelé a firmy. 1.2.1 Domácnosti
Akumulují kaptiál a investují - pronajímají kapitál firmám a nabízejí práci. Nabídka práce — 1, protože nemají disutilitu z práce.
Řeší mezičasový problém
oo
max    V"/3*w(ct) (1)
{ct,fet+i}^0 t=Q vzhledem k rozpočtovému omezení
ct + h+i - (1 - 5)kt — wt + Rth kde ko je dané, Cf > 0, kt > 0.
Ale potřebujeme koncovou podmínku, podmínku transverzality (TVC). lim /3V(ct)[l +/'(**)-<*] kt = 0
po dosazení
hm pu'ifikt) + (1 - 6)kt - kt+1){l + f(kt) -S}kt = 0
t—>oo
diskontovaný užitek z dodatečné jednotky kapitálu * kapitálová zásoba — 0. Interpretace: hodnota kapitálu - měřena diskontovaným
6
užitkem jde v limitě k O (kapitál nemusí jít k O, stačí, když jeho stínová cena konverguje k 0).
Případně
lim ^Xtkt = 0
kde Xt je Lagrangeův multiplikátor k rozpočtovému omezení. Dosadíme do cílové funkce a řešíme
oo
max   ^2 ŕu(wt + Rth + (1 - S)kt - kt+1)
FOC
-/3V(wt + Rtkt + (1 - 5)kt - fct+i) + /3t+1ií'(ct+i)[i?t+i + 1-5) = 0
Tedy opět dostáváme Eulerovu rovnici, stejnou jako v případě řešení sociálního plánovače
—---        = 1 + Rt+i - 5
puc{ct+i)
MRS — 1 + čistá nájemní cena kapitálu Steady-state ct — ct+i — c*
l + R-S=\
Levá strana rovnice je čistá nájemní cena kapitálu, která je rovna reálné úrokové míře.
R-6 = r
víme, že pro j3 platí
l + p
a po dosazení dostaneme
R — ô — r — p
Reálná úroková míra — míra časových preferencí (diskontní míra). 1.2.2 Firmy
Maximalizují zisk v každém období
raax[F(kt, nt) - wtnt - Rtkt] (2)
kt,nt
FOC
Fk(kt,nt) = Rt
Fn(kt,nt) = wt
7
Definice konkurenční rovnováhy
1. Pro dané ceny {wt, rt}^0, alokace representativní domácnosti {ct,it, kf, nf reší její optimalizační problém (1)
2. Pro dané ceny {wt,rt}^0, alokace representativní firmy {kf, nf, yt}£L0 reší její optimalizační problém (2)
3. Trhy se čistí
• yt — Ct + H trh zboží
• nf — nf trh práce
• kf — k f trh kapitálu
Poznámka: K čemu je nám tohle řešení? Tohle jsou "jen" podmínky optimality, ne rozhodovací pravidlo. Ale dají se log-linearizovat kolem steady-statu, naka-librovat (určit parametry) a nacpat do softwaru (Dynare), který nám najde rozhodovací pravidlo. Aproximace, není zakřivené. Pokud jsme dále od steady-statu, tak je to nepřesné. Změna steady-statu se špatně zkoumá. Přesto se tento postup hodně používá. Poslední dobou ale opět frčí řešení nelineráních modelů, ale to je trochu hard core.
K něčemu je ale řešení konkurenční rovnováhy dobré. My jsme pro sociálního plánovače našli rozhodovací pravidlo, pro k a c (celkou sekvenci k), ale potřebujeme znát rovnovážné ceny. Ty zjistíme právě z řešení konkurenční rovnováhy, např. z podmínky optimality firem, w a R.
Rovnováha vs steady-state.
8