Makroekonomické modelování - přednáška 6 Náklady hospodářských cyklů Lucas (1987). Má stabilizační politika smysl? Užitková funkce oo t=o Konkrétně t=o kde j3 G (0,1) a u > 0 je (konstantní) koeficient relativní avergze vůči riziku. Trend a cyklus ct = (1 + A)(1+ nfe-^zt kde zt je stacionární stochastický proces s ln(zt) ~ ÍV(0, o\) Střední hodnota spotřeby (1 + A)(l + M)t A kompenzační parametr, bude vysvětleno později. Pro USA je roční tempo růstu spotřeby kolem tří procent, /iq — 0.03. Směrodatná odchylka (rozptyl) logaritmu spotřeby a2z — (0.013)2. Růst Náklady změny tempa růstu. Funkce A — /(/í,/ío); procentní změna spotřeby, aby byl spotřebitel indiferentní mezi růstem /i a /iq. Porovnání dvou užitkových funkcí U(f(n, Ho), V, °l) = ^(0, Ho, -—— 1 — 7 1 — a 2 1-7 _ i u(ct,£t) = ^--+Vlog(l-/it) 1-7 r1"7 - 1 h1+f> - 1 uM) = 5----At7T 1 — 7 1 + a c1-7 - 1 u(ct,£t) = -- 1-7 Intratemporální rozhodování Užitková funkce i / \ ,(l-/01_e-l max in(cj + ^-t- c,h 1 — ř? vzhledem k c — wh a 1 — h — í. Parametr ip - váha volného času v užitkové funkci. Intratemporální podmínka Po dosazení z rozpočtového omezení h (í~hy ^-—zře = 1 Mzda není důležitá pro určení množství práce a volného času. Proč? • Substituční efekt — růst mzdy, volný čas je dražší, proto více pracovat • Důchodový efekt — růst mzdy, více si vydělám s danými vstupy, zvýším spotřebu obou normálních statků (spotřeby, volného času) => méně pracovat. • Růst mzdy => vliv na spotřebu pozitivní v obou případech. Vliv na volný čas =>• substituční (-), důchodový (+) • log užitková funkce pro spotřebu - důchodový a substituční efekt se vykrátí Intertemporální rozhodování Jak agenti reagují na dočasně vyšší mzdovou sazbu? Ekonomika trvá jen dvě období. , c2 í , w2h2 ci + —— = w\hx + —— 1 + r 1 + r max U Cl ,C2 ,hi ,h2 Mezičasová podmínka (Eulerova rovnice) jinak vyjádřená l-h2 1 - hx I3(í + r)^-w2 3 • If wi > W2, domácnost je dnes produktivnější, bude nabízet více práce dnes • Jaký je efekt permentntního zvýšení mzdy? • Reakce na vyšší úrokovou míru: více práce více vyrobím, uspořím a budu z toho mít více v budoucnu Síla reakce je ovlivněna parametrem ^. Součást Frischovi elasticiy nabídky práce. Pro tuto užitkovou funkci je rovna j^-fi^ Nabídka práce je jedním z důležitých propagačních mezchanizmů v RBC. Model s technologickými šoky yt = ztf(kt,ht) = ztkah1-a zt je technologický šok, TFP (total factor productivity). Dočasné zvýšení TFP zvýší výstup (při stejných zdrojích, vyrobím více). Dojde i ke zvýšení mzdy, lidé budou reagovat zvýšením odpracovaných hodin, což dále zvýší výstup, (mezičasový substituční efekt). Rovněž i vliv růstu úrokové míry na nabídku práce. Plnotučný RBC model Postup: • Najdi podmínky prvního řádu, odvoď podmínky optimality • Najdi steady state • Log-linearizuj podmínky optimality kolem s.s. • Nakalibruj strukturální parametry (data) • Najdi rozhodovací pravidlo (my použijeme Dynare) • Nasimuluj modelovou ekonomiku v reakci na šoky — vypočítej statistiky modelových dat — prozkoumej chování modelu na základě impulsních odezev — (další metody: varinační dekompozice, šoková dekompozice ...) • Porovnej výstupy z modelu s chováním v datech • Interpretuj výsledky • Najdi, kde model selhává a jak by se to dalo vylepšit 4 Hansenův základní model oo max E0 V/3*[log(c) + V>log(l - h)] vzhledem k Q + kt+\ — wtht + (1 + rt)kt ct >0,hte [0,í],kt+1 > 0 zt = pzt-i + et (implicitně předpokládáno, jediné aktivum je kaptiál, tedy cit — kt) Můžeme řešit jako problém sociálního plánovače. Omezení SP d + kt+1 = (1 - S)kt + zt^h1-* Podmínky optimality. Euler -=PEt ct a intratemporální. ip _ (1 - a)ztk?hia l — ht ct Levá strana: mezní „náklady" (disutilita) ze zvýšení množství práce o jednotku, pravá strana: mezní příjem ze zvýšení práce (mzda) oceněno užitkem. Kalibrace Respektovat časový rozměr parametrů (čtvrtletní, roční). • 5 ... z rovnice pro vývoj kapitálu 5 — p Z dat y a y- • a ... podíl kapitálu (capital share) a — ^y-. Problémy: důchody vlastníků (proprietors' income), příjmy za „pronájem" nemovitostí v osobním vlastnictví • ,3 ... z Eulerovy rovnice, v s.s. f3 — ypp, nebo f3 — [a| + (1 — S)]~x • ij} ...empiricky lidé pracují 1/3 času. Z intratemporální podmínky ip — • p a ac vypočítáme Solowovo reziduum. Odhadneme jako AR(1) proces, p je autoregresní parametr, uc z rozptylu reziduí Log-linearizace Log-linearizujem rovnice (podmínky optimality, rozpočtová omezení ...) kolem steady-statu. (naučíme se příště). -(1 + azt+1k^h]-«) - 5) Ct+l 5 Porovnání model vs. data Najdeme rozhodovací pravidla pro kt+\ — g(kt,zt), i pro ct a ht. Vybereme počáteční hodnotu kapitálu kg, vygenerujeme dlouhou časovou řadu inovací {e}t=0 a vytvoříme řadu šoků {zt}t=0- Nasimulujeme chování modelové ekno-miky (třeba tisíckrát). Vypočítáme statistiky a porovnáme s daty. Tabulka. Výsledky • modelový výstup fluktuuje méně než v datech • investice jsou volatilnější než výstup, spotřeba méně než výstup (až moc málo) • odpracovavné hodiny mají asi poloviční volatilitu • velmi vysoká korelace s výstupem (více než v datech), zejména odpracované hodiny Volatilita Relativní vol. Korelace xt s výstupem yt Proměnná xt °x (M) °x (D) ax/ay (M) o *l°v (D) p{yt,xt) (M) p(yt,xt) (D) výstup yt 1.351 1.72 1 1 1 1 spotřeba Ct 0.329 1.27 0.244 0.738 0.84 0.83 investice it 5.954 8.24 4.407 4.791 0.99 0.91 odprac, hodiny ht 0.769 1.65 0.569 0.930 0.99 0.86 Důvody • šok je velmi persistentní (abychom zajistili persistenci ve výstupu) • na to reaguje nabídka práce (spíše permanentní růst mzdy) malá mezičasová substituce v nabídce práce • změny v nabídce práce jsou spojeny spíše se změnou r (proto je volatilita hodin tak malá) • snadné vyhlazovat spotřebu v čase (nejsou žádné frikce), proto málo vo-latilní spotřeba a hodně volatilní investice • v modelu je jen jeden šok, proto pozorujeme vysokou korelaci proměnných s výstupem Řešení některých problémů Nízká volatilita hodin • opustit log specifikaci v užitkové funkci (log(l — h)), dostat větší elasticitu nabídky práce => model s nedělitelnou nabídkou práce (lineární specifikace užitkové funkce) • aby fluktuace celkových hodin odpovídaly datům (2/3 jsou změny zaměstnanosti - extensive margin, 1/3 jsou změny v odpracovaných hodinách na pracovníka - intensive margin) 6