Teorie ekonomického růstu
S využitím materiálů od Káre Basvre, Department of Economics, University of Oslo
14   Růst prostřednictvím zvyšování rozmanitosti (Growth through increasing variety)
Základní četba: Romer (1990) Doporučená četba: BSiM 6
14.1   Myšlenky: Rivalita, vyloučitelnost a nekonvexity
• Jsou znalosti/myšlenky veřejnými statky?
• Měli bychom rozlišovat dva aspekty: Rivalita a vyloučitelnost.
• Rivalita je technologický znak statku samotného.
• Myšlenka je obecně nerivalitní.
• To samozřejmě neznamená, že např. jedna firma si prodejem produktu, který myšlenku využívá, nekonkuruje (= není rivalitní) s jinou firmou.
• Dále je třeba rozlišovat mezi znalostmi ve formě myšlenek (design), tj. naše A a znalostmi ve formě lidského kapitálu jednotlivce.
• Ta dříve zmíněná je obecně nerivalitní a částečně vyloučitelná, ta druhá je naopak jasně rivalitní a vyloučitelná.
• Dále si všimněte, že nerivalitní znalosti (A) mohou být akumulovány neomezeně (ve vyjádření per capita), zatímco lidský kapitál nikoliv, protože je omezen životem každého jednotlivce.
• Pokud má nerivalitní vstup produktivní hodnotu, vede to k porušení replikačního argumentu, který je základem pro konstatní výnosy z roz-shau a vede to na nekonvexity.
• Pokud K a, L jsou rivalitní vstupy a A je nerivalitní vstup jako např. nějaký nápad (idea) a produkční funkce je F(A, K, L), standardní replikační argument vede na konstatní výnosy z rozsahu (CRS) v K, L:
1
F(A,sK, sL) = sF(A,K,L) což také implikuje (jako speciální případ Eulerovy věty)
F(A,K,L) = KFK + LFL
(1)
(2)
Ale pokud i A je produktivní, musíme mít
F(sA, sK, sL) > sF(A, K, L)
(3)
a
F(A, K, L) < AFA + KFK + LFL
(4)
• Všimněte si, že (4) implikuje, že firma, která se řídí podle této produkční funkce nemůže přežít jako příjemce cen, když jsou všechny vstupy odměněny podle jejich mezních produktů.
• Takže za předpokladu dokonalé konkurence nedokážeme vysvětlit, proč firmy odměňují A a proč soukromé firmy (agenti) dělají výzkum.
• Zatím jsme se podívali na dva přístupy: Buď jsme považovali A za veřejný statek (poskytovaný vládou) nebo jsme bylo A jako vedlejší produkt efetku učení se děláním (learning by doing).
• Nyní se podíváme na nový přístup: znalosti budou částečně vyloučitelné a zavedeme tržní sílu.
Nápady =>- Nerivalita =>- Rostoucí výnosy z rozsahu =>- Nedokonalá konkurence
Ideas =>- Nonrivalry =^ Increasing returns =^ Imperfect competition
14.2   Monopolistická konkurence u horizontálně diferencovaných produktů
14.2.1    Sektor finálních statků
• Následující model je zjednodušená verze modelu Romer (1990).
• Produkční funkce reprezentativní firmy produkující finální statek Y je
A
y = L}-*$>? (5)
kde L\ je pracovní vstup a {rcj}^ jsou různé kapitálové statky (mezi-statky - intermediate goods).
2
• Všimněte si, že produkční funkce vykazuje konstantní výnosy z rozsahu ve všech vstupech L\ a {xí}f=1. Takže předpoklad reprezentativní firmy, která je příjemcem ceny, je opodstatněný.
• Nová inovace (vynález) v modelu souvisí s vytvořením nového kapitálového statku, který může být použit v sektoru finální produkce.
• Reprezentativní firma, která maximalizuje zisk řeší problém
A
max   S^^(L\~axf — wL\ — PiX,j)
který vede na prodmínky prvního řádu
w = (f — a) — Li
kde w je mzda placená práci a pi je nájemní cena kapitálového statku.
Interpretace je jako obvykle: firma najímá práci dokud se mezní produkt práce nerovná mzdě, a najímá kapitálové statky, dokud není mezní produkt roven nájemní ceně.
• Všimněte si, že mezní produkt x,i je MP = ctL\~axc*~1 , což je nekonečno pokud Xi = 0. Takže firma bude chtít využít všech A dostupných vstupů.
• Všimněte si také, že pokud Xi označuje různé kapitálové statky, potom rovnice (5) předpokládá, že mají aditivně separabilní vliv na produkci. Mezní produkt kapitálového statku i (traktoru) nezávisí na použitém množství ostatních kapitálových statků (např. počítačů).
• To je v protikladu s tradičním přístupem, kde jsme měřili kapitálové statky jednoduše jako sumu (^2t=i xí)a = Ka). Tato formulace předpokládala dokonalou substituovatelnost mezi traktory a počítači.
3
14.2.2   Produkce mezistatků
• (Inverzní) poptávková funkce po mezistatcích Xi je odvozena z podmínky prvního řádu z výše zmíněného problému maximalizace zisku.
aL\-ax«-1 =Pi(xi) (6)
• Každý vstup x i je dodáván jednou firmou, která má monopolní sílu v produkci mezistatků (intermediate good) x i.
• Tato monopolní sílaje založena na vlastnictví (najmutí) patentovaného designu na produkci Xi.
• Abychom si to zjednodušili, budeme předpokládat, že firma vyrábějící mezistatek x i ho může vyrobit jednoduše přeměněním kapitálového/spotřebního statku Y na Xj. (To znamená, že všechny Xi mají stejnou produkční funkci jako Y.)
• To implikuje, že    je vyráběno za fixní jednotkovou cenu, která je rovna úrokové míře r.
• Po dosazení rovnice (6) vidíme, že každý monopolista čelí maxima-lizačnímu problému
7T = max p(xi)Xi — rxi = maxaL\~axc*~1xi — rxi což nám dává
aL\-axf- 1=r/a (7)
nebo
Pí = r/a (8)
• Takže firma vyrábějící mezistatky stanovuje cenu jako přirážku k mezním nákladům r.
• Díky symetrii vstupů Xi v (5), dostaneme v rovnováze Xi = x a pi = p pro všechna i. Každý kapitálový statek je zapojen ve stejném množství.
• Zisk monopolisty vyrábějící mezistatky je tak
7T = —x — rx = -rx > 0 (9)
a a
4
• Celková poptávka po kapitálu se musí rovnat celkové zásobě kapitálu v ekonomice
A
yy]xi = K
Protože jsou kapitálové statky použity ve stejném množství, můžeme určit x
K
X = Ä
Produkční funkce pro finální statky tak může být přepsána jako
Y = L\-aAxa = L\-a{Ax)aA^-a (10)
Což je nakonec obvyklá produkční funkce
Y = LY°l(K)ol A1~OL = Ka(ALi)1~a
Vidíme, že produkční funkce má konstantní výnosy z rozsahu v L\ a K.
• Technologický pokrok je zachycen nárůstem počtu dostupných vstupů (větší rozmanitostí) do produkce, tj. prostřednictvím nárůstu A.
• Interpretace: Jak roste rozmanitost vstupů, dochází k růstu produkce díky tomu, že můžeme použít specializavanější vstupy.
14.2.3   Výzkum a vývoj (Research and development)
• Design pro nové mezistatky je vyvíjen prostřednictvím sektoru výzkumu a vývoje (R & D). Výroba nových designů je charakterizována deterministickou produkční funkcí
Á = BL2A (11)
kde L2 je množství pracovníků v sektoru R&D. Zároveň musí platit omezení L\ + L2 = L, kde celková nabídka práce je fixní.
• Všimněte si, že nápady (invence) A jsou částečně vyloučitelné. Vynálezce vlastní patent na design jak vyrobit Xi, ale ta invence samotná je nevy-loučitelná při produkci nových invencí a designů. Takže A je v rovnci (11) veřejným statkem.
5
Není úplně důležité, kdo provádí výzkum, může to být (monopolistický) výrobce mezistatků nebo někdo jiný. Důležité je, že se design může nechat patentovat.
Hodnota Va vynalezení nového designu je tak rovena čisté současné hodnotě realizovaného zisku ve všech dalších obdobích, jak je zobrazeno v rovnici (9).
Metoda arbitráže nám říká, že můžeme dát peníze do banky (v tomto modelu je to ekvivalentní nákupu jedné jednotky kapitálu) nebo si koupit patent na design na jedno období, vydělat zisk a patent prodat. V rovnováze se musí výnos z těchto dvou investic rovnat.
Arbitrážní podmínka pak vede
rVa = n + Va
LHS = úrok získaný z investování částky Va do banky, RHS = zisk plus kapitálový zisk nebo ztráta ze změny ceny patentu
V a y a
Podél BGP je r konstantní a Va je také konstantní, takže Va = 0. Z toho vyplývá
r a
Dále musí nastat situace, že jednotlivcům je jedno, jestli pracují v sektoru finálních statků nebo v sektoru výzkumu a vývoje.
Mzda v sektoru R & D je rovna meznímu produktu (BA) krát hodnota nového vynálezu Va.
wbmd = BAVa Podmínka rovnosti mezd v obou sektorech nám dává
BAVa = (1 - a)L^axaA
Va = l~^L-laXa JD
což spolu s (7) a (12) dává
r = BaLi (13)
tj. úroková míra je funkcí L\.
6
14.2.4 Spotřebitelé
• K uzavření modelu potřebujeme přidat chování spotřebitelů. Opět předpokládáme obvyklou mezičasovou optimalizaci při daných tržních cenách (w a r) s CRRA funkcí.
• Populace je konstantní (n = 0).
• Přeskočíme detaily maximalizace užitku a podíváme se rovnou na Eu-lerovu rovnici
<">
kde p a 9 jsou nám známé parametry popisující chování spotřebitelů.
• Pro jednoduchost neuvažujeme depreciaci, takže
K(t) = Y(t) - C{t)
14.2.5 Vyvážená růstová trajektorie (BGP)
• Ukážeme si, že v tomto modelu dostaneme vyvážený růst, kde r a L\ jsou konstantní.
• Nebudeme řešit přechodnou dynamiku, protože je to obtížné a ne tak zajímavé.
• Začneme předpokladem, že r je konstantní. Potom L\ je také konstantní podle (13) a tak x je také konstantní podle (7). Z (10) pak vyplývá, že tempo růstu Y je stejné tako tempo růstu A.
• Protože K = Ax a x je konstantní, pak K také roste stejným tempem jako A. Takže také K/Y je konstantní.
• Z toho pak pramení, že
C    Y-K KK
Y        Y KY což je konstanta, protože K/K i K/Y jsou konstantní. Nakonec tedy máme
č   ý   k á
7 = — = — = — = — = BLo 1    C    Y    K    A 2
7 = BL — BLi = BL — — (15)
a
7
• Takže existence rovnovážné růstové trajektorie závisí na tom, že je r konstantní. Ale konstantní r je to, co jsem předpokládali na začátku a ukázali jsme, že to implikuje BGP. Takže je zde konzistence.
Budeme chtít vyřešit r jako funkci parametrů. Z rovnic (14) a (15) dostaneme
r = ^-A0BL + p) a + t)
tj. konstanta, jak jsme požadovali.
• Takže existuje vyvážená růstová trajektorie
Č    Ý    K    Ä    aBL — p 1=Č = Y = K = A = ^TT (16)
• Ohledně steady statového tempa růstu platí následující:
1. Růst je kladný a konstantní (Model se chová špatně pokud aBL < P)-
2. Růst je způsoben tím, že soukromí agenti provádějí výzkum (L2 > 0), takže jsem endogenizovali technologický pokrok.
3. Růst závisí na ochotě spořit, která je vyjádřena v parametrech p a 9. Takže je zde prostor pro hospodářskou politiku, která může ovlivnit dlouhodobé tempo růstu.
4. Tempo růstu se zvýší, když se zvýší populace L. Takže se zde vyskytuje scale effect.
5. Dá se ukázat, že tyto dvě poslední vlastnosti závisí na produkční funkci výzkumu a vývoje (11), konkrétně na tom, že A je lineárně závislé na A.
14.3   Implikace pro hospodářskou politiku
• Nyní se podíváme na alokaci sociálního plánovače.
• Sociální plánovač vždycky vybere stejné množství, Xi = x pro všechna i.
• Produkční funkce je pak
Y = L\-aAxa = A1~aL\~aKa
kde ve druhé rovnosti jsme definovali K = Ax jako celkovou (účetní) zásobu zdrojů používaných na kapitálové statky.
8
Tato definice zásoby 'kapitálu' K se vyvíjí podle:
K = Y - C = A1~aL{~aKa - C
Nyní formulujeme problém pro nalezení společensky optimálního rovnovážného růstu (tj. opět ignorujeme přechodnou dynamiku).Sociální plánovač tedy řeší:
max    / --e-ptdt (17)
K    =    Al~aL\~aKa - C (18) Ä    =    BL2A (19) Lľ + L2    <    L (20)
Všimněte si, že (19) je produkční funkce výzkumu a vývoje (R&D).
Řídící proměnné jsou C a L2 a jsou zde dvě stavové proměnné K a A. Rozšíření teorie optimálního řízení na tento dvoudimenzionální problém je poměrně jednoduché.
Current-value Hamiltonián pro tento problém je
H =        + p[A1^a(L - L2f-aKa -C]+ qBL2A (21)
1 — u
Kostavové proměnné p a, q musí splňovat
dU , .
P  =  PP~dk (22) dU . ,
Podmínky prvního řádu pro kontrolní proměnné (princip maxima) jsou H   =  C-°-p = 0 (24) =   -(1- a)VAx-a{L- L2)-aKa + qBA = 0 (25)
oL2
Jelikož se díváme jenom na vyváženou růstovou trajektorii, musíme mít 1* = % = Protože (19) nám dává ^ = BL2 máme 7* = BL2 a pro určení rovnovážného tempa růstu 7* potřebujeme určit podíl pracovníku, kteří se podílejí na výzkumu L2.
9
Všimněte si, že (po vydělení A a vynásobení [L — L2)) rovnice (25) implikuje
(1 - a)pA-a(L - L2f-aKa = qB(L - L2)
a protože
— = (1 - a)pA-a(L - L2f-aKa + qBL2
máme
— = qB(L-L2) + qBL2 = qBL Dosazením tohoto výrazu do (23) dostáváme
p-BL (26)
£
A jako obvykle (24) dává
c p
Protože jsme na BGP, platí ^ = ^ a také musíme mít | = |, což nám dá
-«4 = ž
Dosazením do (26) a využitím ^ = 5L2 dostaneme
-0BL2 = p-BL což můžeme konečně vyřešit pro L2
což implikuje, že tempo růstu na vyvážené růstové trajektorii je
,    Č    Á BL-p
7* = — = - =-- (28)
CA        6 K '
10
• Protože a G (0,1), vyplývá z toho, že tempo růstu v decentralizované ekonomice (7) je nižší, než tempo růstu při řešení sociálního plánovče (7*). To samozřejmě pramení z toho, že v decentralizovaném řešení se provádí příliš málo výzkumu.
• Jsou dva důvody, proč je příliš málo výzkumu v decentralizovaném řešení
1. Existuje pozitivní externalita ve výzkumu. Soukromí agenti neberou v potaz, že nový vynález také znamená, že je snadnější přijít s dalším novým vynálezem (tj. tím, že dělají výzkum, přispívají k A, což je veřejný statek v produkční funkci R&D (19)).
2. Je zde monopolistické nastavování cen pro mezistatky, kde firma nastavuje cenu jako přirážku k mezním nákladům. Jejich motivací k inovacím (výzkumu) je vidina monopolního zisku, který je ale menší než zisk pro společnost (spotřebitelský přebytek). Výrobce nemá tak silnou motivaci přijít s novým vynálezem jako sociální plánovač, který maximalizuje spotřebitelský (sociální) přebytek.
• Všimněte si, že tržní síla je nutná, aby soukromí agenti měli motivaci investovat do výzkumu, ale monopolní nastavování cen vede k neop-timálnímu růstu.
15   Růst prostřednictvím zvyšování kvality
Základní četba: Aghion and Howitt (1998), Chapter 2.1-2.3.
15.1   Schumpeterovský přístup
• Místo předpokladu monopolistické konkurence s různými druhy mezi-statků se podíváme na případ, kde inovace vede k novému a lepšímu mezistatku, který nahradí ten starý.
• Pokud je (mezi) statek tím nej lepším dostupným, má jeho vynálezce monopol na jeho prodej (který je vynucen patentem). Ale tento statek vydrží na trhu pouze do té doby, dokud ho nenahradí novější a lepší statek. Takže každá inovace poskytuje pouze dočasný monopol.
• Zisk, který monopolista krátkodobě realizuje je motivací pro dělání R&D.
11
» Tento model odráží Schumpeterovu myšlenku o kreativní destrukci. Nové vynálezy jsou kreativní tím, že zvyšují produktivitu. Ale jsou zároveň destruktivní, protože vyřadí dosavadní vynálezy (statky) z trhu. A opět ten fakt, že můžete profitovat z monopolního postavení, když zničíte konkurenta, vás motivuje ke kreativitě - vynalézání.
2   Jednoduchý model bez akumulace kapitálu
» Budeme se zabývat jednoduchým modelem podle učebnice Aghion a Howitt (1998).
» Produkce spotřebních statků za jednotku (kalendářního) času je dána
Yt = Atx? (29)
kde xt je množství nejnovějšího mezistatku (vstupu), který je i jediným vstupem do produkce.
» Všimněte si, že index t zde neoznačuje kalendářní čas, ale označuje pořadové číslo inovace.
» Zásoba práce L je daná a může být použita buď ve výzkumu (n) nebo k produkci mezistatku x. Předpokládáme, že jedna jednotka práce vyrobí jednu jednotku mezistatku. Takže podmínka vyčištění trhu práce je
L = nt + xt (30)
» Když jen jednotek práce použito ve výzkumu dostaneme očekávaných Xn nových inovací za jednotku kalendářního času. Vývoj parametru A je dán Poissonovým procesem. Je to pravděpodobnost, že se objeví nová inovace (v nějakém čase) na jednoho výzkumníka.
Nová inovace má za důsledek nový mezistatek xt+1 který má vyšší produktivitu At+i = "fAt, kde 7 > 1 je parametr charakterizující velikost inovace.
» Nej důležitější vztah tohoto modelu je arbitrážní podmínka
wt = XVt+1 (31)
Ta říká, že práce musí přinášet stejnou očekávanou hodnotu při jakémkoli užití. Buď může být použita při produkci mezistatku, což přináší mzdu wt za časovou jednotku (za hodinu). Nebo může být použita ve výzkumu,
12
kde její očekávaný přínos je A nových inovací za dodatečnou časovou jednotku (hodinu). Každá nová inovace vede k vytvoření monopolního trhu nej novějšího mezistatku xt+±, což přinese příjem s čistou současnou hodnotou Vt+i.
Protože v tomto modelu neuvažujeme kapitálovou akumulaci, je úroková míra r dána exogénne.
Diskontovaná hodnota Vt+i musí splňovat
rVt+i = ttí+i - \nt+1Vt+1 (32)
Patent na (mezi)statek číslo t + 1 je aktivum s očekávnou mírou návratnosti rVt+i za jednotku kalendářního času. Na pravé straně máme zisk z výroby a monopolního prodeje xt+±, který je 7rí+i za jednotku kalendářního času. V nějakém budoucím okamžiku se aktivum stane bezcenným, protože statek se stane zastaralým poté, co došlo k nové inovaci. To se stane s pravděpodobnotí Xnt+1 za jednotku kalendářního času, takže \nt+iVt+i je očekávaná kapitálová ztráta za jednotku kalendářního času. Rovnost obou stran je opět standardní arbitrážní podmínka.
Rovnici (32) můžeme přepsat jako
Vm = (33)
zisk je tedy diskontován členem, který je větší než úroková míra r protože v nějakém budoucím okamžiku (charakterizovaným pravděpodobností Aní+i) se tok zisku zastaví.
Sektor pro produkci finálního (spotřebního) statku je dokonale konkurenční. Z toho pramení, že cena xt se bude rovnat meznímu produktu při výrobě Y, což nám dává inverzní poptávkovou křivku po vstupu xt
Pt(xt) = Atax^1
Všimněte si, že a je elasticita této poptávkové křivky takže také charakterizuje tržní sílu monopolisty vyrábějícího mezistatky.
Nyní musíme určit zisk 7rt a alokaci práce do sektoru mezistatku xt. To zjistíme z maximalizace zisku monopolisty
nt = max\pt(xt)xt - wtxt]
13
Monopolista si vybere
(34)
nebo evkivalentně
a
a tak je zisk roven
nt = ( -Í- - 1 ) uj^í = ^^(wí) (35)
kde     = Wt/At je mzdová sazba upravená o produktivitu a
1
7ľ(^í)
1 a^-^ujT a 1
takže 7r'(ci;t) < 0. Všimněte si, že z (34) plyne, že také x't(ujt) < 0.
Dosazením do (33) a přeskládáním (vzpomeňte si, že At+± = ^yAt) dostaneme
TTT^+i)
"* =   rTÄň^T (36)
což spolu s rovnováhou na trhu práce
L = nt + ž(wt) (37) kde rct = x(ut), určuje trajektorii ut a nt.
Zaměříme se na steady state kde ut = oj a nt = n pro všechna t. Protože (36) je klesající a (37) je rostoucí křivka v (n, u) diagramu, můžeme jednoznačně určit ň.
14
Jednoduchou algebraickou úpravou zjistíme, že steady statová úroveň ň splňuje
1
A
(38)
r + Xň
• Všimněte si, že množství výzkumníků (n) určuje růst. Aghion a Howitt
15.3   Motivace pro výzkum a vývoj (R&D) a implikace pro hospodársku politiku
• V tomto modelu dostáváme následující výsledky
1. Pokles úrokové míry (r) zvyšuje mezní přínosy z výzkumu (současná hodnota monopolního zisku bude vyšší) a zvyšuje ň.
2. Růst dostupné práce (L) snižuje mzdu a tím pádem mezní náklady výzkumu a zároveň zvyšuje očekávaný monopolní zisk (zvyšuje poptávku). Dochází tedy ke zvýšení ň.
3. Čím pravděpodobnější je nová inovace (vyšší A), tím méně nákladný je výzkum, ale zároveň tím méně cenná je nová inovace kvůli kreativní destrukci. V našem případě ten původní efekt převáží, takže růst A vede ke zvýšení ň.
4. Růst velikosti inovace (7) zvyšuje interval, kdy si monopolista bude užívat zisku, relativně vůči dnešní produktivitě a tím pádem zvyšuje motivaci dělat výzkum.
5. Množství výzkumu klesá s elasticitou poptávkové křivky («), které čelí monopolista. Takže konkurence na trhu je špatná pro růst.
• Když porovnáme decentralizované řešení s řešením sociálního plánovače, které je
(1998) (Section 2.2.2)
g = Xň ln 7
r — Xň*(j — 1)
(39)
vidíme zde tři efekty.
15
1. Mezičasový efekt přeléváni (The intertemporal spillover effect). Sociální plánovač bere v úvahu, že přínos další inovace bude trvat navždy, zatímco soukromá firma provádějící výzkum nedává žádnou váhu přínosům, které se realizují poté, co se objeví nová úspěšná inovace. Tento efekt vede k příliš malému soukromému výzkumu.
2. Efekt přivlastněni (The appropriability effect). Stejně jako v Ro-merově modelu, soukromý monopolista si nemůže přivlastnit celý sociální přebytek z nového vynálezu a tím pádem má slabou motivaci dělat výzkum.
3. Efekt okrádáni (The business-stealing effect). Soukromá firma nedokáže zahrnout (internalizovat) fakt, že inovací zničí předchozímu monopolistovi veškerý zisk. Tento efekt vede k příliš velké motivaci dělat výzkum v decentralizovaném řešení (laissez-faire).
• Který efekt dominuje, je otázka empirického zkoumání. Podstatný rozdíl oproti Romerově modeluje ten, že je možné dostat v decentralizovaném řešení příliš mnoho výzkumu (inovací) a tím příliš silný růst.
Reference
[1] Aghion, P., Howitt, P. Endogenous growth theory, Cambridge and London: MIT Press, 1998, Chapter 2.
[2] Romer, Paul M. Endogenous Technological Change, Journal of Political Economy, October 1990, 98 (5) . Pp. 71-102. Part 2.
16