Giniho formulace indexních čísel Rozšířením techniky řetězení je postup, který pod názvem síťová metoda uplatnil italský matematik a ekonom Carrado Gini[1]. Opět se uvažuje rozčlenění období mezi počátečním - „0“-tým - a koncovým - „m“-tým - obdobím na celkem m úseků, v nichž jsou dostupné potřebné statistické údaje o cenách a spotřebách. C. Gini formuloval (následně po něm nazvaná) indexní čísla následujících tvarů: tzv. GINIho indexní číslo 1. typu (G1) , tzv. GINIho indexní číslo 2. typu[2] (G2) , přičemž ve druhém případě může symbol []^[ ]představovat libovolné jiné, z hlediska vlastností uspokojivé výchozí indexní číslo (definice tedy není jednoznačná). Giniho konstrukty (G1), (G2) lze použít i pro data, která nemusí tvořit časové posloupnosti cen a kvantit. Určitou jejich slabinou je však okolnost, že při aktualizaci je nutný celkový přepočet indexního čísla v případě, kdy získáme statistická data za nová období (nebo individua či jiné statistické jednotky). Tato nevýhoda však nemusí být v praxi až tak citelná, neboť konstrukty byly autorem původně navrženy hlavně za účelem provádění prostorových (geografických) cenových srovnání. Předností obou indexních čísel (G1), (G2) je automatické splnění axiomu záměny období (F3) a dále skutečnost, že při velkém m (počtu dělení) se takto vytvořená veličina hodnotou zpravidla málo liší od hodnoty vzaté přímým výpočtem (bez dělení intervalu mezi „ “ a „ “). poznámka ke (G1): Všimněme si, že v případě (G1) (jde-li o cenové indexní číslo) stačí znát cenové vektory jen v počátečním " " a koncovém " " období, zatímco údaje o spotřebě komodit, které využíváme pro stanovení vah při geometrickém průměrování, je potřebné sledovat též ve všech meziobdobích Jak je bezprostředně vidět z definičního vztahu (G1), volbou dostáváme pro ^ přímo Fisherův cenový index, zatímco pro v případě obdržíme obdobně prostý geometrický průměr obou částí a generujícího cenového indexního čísla. Není obtížné ukázat, že Giniho indexní čísla vyhovují Fisherovým postulátům (F1), (F3), (F5), (F6), (F7), (F8) (v případě je ovšem musí splňovat generující indexní číslo). Axiom záměny faktorů (F2) není splněn a axiom okružnosti (F4) platí jen za velmi speciálních podmínek (nikoliv obecně). Stuvelova indexní čísla Postup navržený v polovině 50. let 20. století nizozemský statistik Gerhard Stuvel se vrací ke klasickým přístupům z počátku století. Vyložíme jeho základní myšlenku[3]: 1) Hledá se dvojice indexních čísel (cenové , kvantové ) přímo splňující axiom záměny faktorů (F2), tj. s požadavkem platnosti (S1) . poznámka 1 Ke zkrácení zápisu užijeme úspornější označení výrazu na pravé straně jako , přičemž peněžní výdaje , resp. , vyjadřují výdaje na pořízení úplné skupiny komodit v běžném resp. základním období.[4] 2) Druhou podmínkou, kterou má hledaná dvojice splňovat, je diferenční relace, která poměřuje rozdíly mezi takto konstruovanými indexními čísly , a příslušnými Laspeyresovými indexními čísly: (S2) . ^ Ve vztahu (S2) uvažoval autor dva možné případy ve specifikaci relace “ “: (S2A): relace (S2) platí přesně, tj. ” “ vezmeme jako rovnost, (S2B): relace (S2) platí s určitou, přesně specifikovanou odchylkou. poznámka 2 Uvedená úvaha je vcelku oprávněná, vezmeme-li v úvahu poznatky statistické praxe, kde zvláště pro krátká časová období ukazuje, že rozdíly ^ , ale i^ od hodnoty nejsou nijak velké. Jak víme, přesně tento požadavek nesplňuje Laspeyresovo ani Paascheho indexní číslo, avšak lze snadno ověřit, že tato indexní čísla jej „splňují“ křížovým způsobem tj. . Postup zaslouží komentář ještě z tohoto důvodu: V okruhu původních 8 Fisherových testů není známo, že by nějaká podskupina testů vedla deduktivně jednoznačně ke konstrukci určitého typu indexu. Stuvelova cesta, resp. formulace podmínky (S2) spolu s přijetím podmínky (S1) k takovému jednoznačnému určení vede (stačí právě tyto dvě podmínky, abychom konkrétní indexní konstrukt, jak uvidíme, obdrželi). Původní Stuvelův návrh Z povahy úlohy je zřejmé, že se hledá řešení dvou rovnic (pro neznámé a ^ )^ (S1) , (S2A) . Za daných předpokladů bude předmětem Stuvelovy úlohy nalezení řešení dvou rovnic (jedné lineární, druhé kvadratické) s neznámými ^ a^ ^ , které jsou vyjádřeny pomocí známých ostatních veličin, tj. . K nalezení řešení užijeme např. substituci z (S2A) , která po dosazení do (S1) dává kvadratickou rovnici s neznámou : . Následně vypočteme symetrický vztah pro ^ . Řešení získané standardním postupem, tj. nalezením kořenů kvadratické rovnice, má tvar: (St1) , (St2) . Poznámka 3 Vzhledem k tomu, že pro přijatelnou ekonomickou interpretaci mají smysl jen kladné hodnoty indexních čísel, je nutno se omezit jen na kladné kořeny kvadratické rovnice. (Výrazy v odmocninách (St1) a (St1) jsou větší než výrazy před odmocninami.) Výrazy (St1) a (St1) můžeme zapsat formou, která bude obsahovat přímo vektory cen a množství - obě indexní čísla obsahují plnou čtveřici. Dostaneme Podobně bychom získali cenový index Modifikovaný Stuvelův návrh Analogicky předchozímu se hledá řešení dvou vztahů (pro obecně jiné neznámé , ) (S1) , (S2B) , kde odchylka má přesně specifikovaný tvar (interpretovatelný jako „míra nesplnění“ axiomu (F2) Laspeyresovými indexními čísly): (S2B) . Obdobným způsobem jako dříve řešíme soustavu dvou rovnic, přičemž k řešení použijeme opět.substituci . Po dosazení z^ (S2B) do (S1) máme a stejně jako dříve odvodíme jinou dvojici indexních čísel, která mají tvar: (St3) (St4) Obě nalezená indexní čísla mohou být rovněž použita k vystižení globální změny cenového a podobně i objemového komoditního indexu. Opět jsou přijatelné pouze kladné kořeny příslušné kvadratické rovnice. poznámka 4 Jak je patrné, bylo by možné vyvodit i další indexní čísla, pokud bychom v podmínkách (A) resp. (B1-B2) uvažovali vztahy k jiným než k Laspeyresovým indexním číslům (např. k Paascheho či k Edgeworthovým). Ověření Fisherových axiomů u Stuvelových čísel Na závěr ještě vyšetříme, v jaké míře vyhovuje prvá dvojice Stuvelových indexních čísel (S1), (S2) testům Irvinga Fishera: Test identity (F1) je zřejmě splněn, neboť pro obě Laspeyresova indexní čísla platí, že , a výrazy pro , se tedy redukují na odmocninu z podílu , která je při ztotožnění obou období rovna 1: . Platnost (F2) je zřejmá, neboť jde přímo o definiční podmínku (S1), z níž je dvojice hledaných indexů odvozována. Axiom (F3) je u dvojice Stuvelových indexních čísel (St1), (St2) splněn. Zmiňuje to mj. sám autor. Naše ověření je následující: Vyžaduje se platnost vztahu Pro přehlednost zápisu označíme čtveřici skalárních součinů přítomných výše jako , , V této zkrácené symbolice můžeme psát , , , , , Potom máme . Po úpravách . . Střední dva členy v závorce se navzájem zruší, čtvrtý je odmocnina z kvadrátu, máme tedy □ . Okružnost (F4) není Stuvelovými indexními čísly (St1), (St2) splněna, což lze ověřit přímým vyšetřením příslušné podmínky. Naproti tomu axiomy určenosti (F5) a souměřitelnosti (F6) platí, neboť je splňují Laspeyresova indexní čísla v jejich definici, přičemž též výraz v odmocnině (St1) je vždy definován a není identicky nulový (dokonce i kdyby nastala náhodná shoda ). Souměřitelnosti pak vyhovují všechny výrazy vystupující v definici (St1). Pokud jde o axiom proporcionality (F7), je také splněn: Vezměme (St2) Za podmínek pro všechna i, pro konstantu dostáváme: Odtud tedy máme pro odmocninový výraz: a tedy Platnost (F8) je zřejmá. ٱ (F9) monotónnost: Znamená to ověřit platnost implikace: Jestliže platí pro všechna i, potom vždy platí . (St2) . Vyšetříme tedy chování jednotlivých výrazů vystupujících v (St2): Protože změna cen běžného období se nijak nedotkne Laspeyresova množstevního indexu: , vyšetříme chování a podílu V prvém případě za předpokladu premisy implikace platí , ve druhém podobně , protože jmenovatele obou výrazů nedoznají žádných změn a v čitatelích ve skalárních součinech vystupují jen nezáporné veličiny. Zbývá tak vyšetřit chování členu pod odmocninou: , jehož čitatel bude změnou dotčen: . Vzhledem k totožnosti obou jmenovatelů vyšetřujeme, zda Pokud předpokládáme podmínku , pak je zřejmé, že odečítané výrazy v závorkách napravo jsou větší, než ty nalevo. Zbývá tedy vyšetřit, zda platí . Protože první člen je shodný na obou stranách a třetí na pravé straně je nejméně roven třetímu členu nalevo, zbývá vyšetřit, zda, resp. za jakých podmínek platí tj. . To ale neplatí nikdy, protože při nezáporných a bude pravá strana více záporná než levá. Není tedy zatím jasné, šetření bude pokračovat. (F10) Ověření testu střední hodnoty bude obtížné: Vyjádříme nejprve některé členy v (St2) následovně: podíl : , kde rozdíl Není tedy zatím jasné, šetření bude pokračovat. (St2) . (F11) Test invariance vůči změnám v měřítkách splněn není. Vyšetříme postupně, jak odolné jsou vůči uvažovaným změnám a , a jednotlivé fragmenty vystupující v indexním čísle (St1) , Dohromady tedy máme , z čehož plyne, že pro obecný případ požadovanou shodu nedostaneme. Test (F11) tedy neplatí. Test (F12) je splněn, protože při neomezeně ubývající poslední (jinak ale libovolné) komoditě jsou limitními hodnotami všech fragmentů, z nichž sestává (St2), výrazy analogické výchozím, pouze spočtené z zbývajících komodit. . ________________________________ [1] Gini, C.: „On the Circular Test of Index Numbers“. Metron 1931. [2] Ragnar Frisch nazývá tyto konstrukty Gini' s aggregate crossing, resp. Gini´s two-point crossing. [3] Stuvel, G. : A New Index Number Formula. Econometrica 1957, Vol. 25.