Řetězení indexních čísel - Marshallův podnět [1887][1] U mnoha jinak „kvalitních“ indexních čísel činí problém nesplnění axiomu okružnosti (F4). To platí mj. pro všechna klasická indexní čísla založená na aritmetickém nebo harmonickém průměrování. Způsob, jak této slabině částečně ulehčit, nabízí postup nazývaný řetězení [chaining]. Řetězení spočívá v postupném zjemňování dělení mezi dvěma stavy (např. stavem „0“ a stavem „1“) a v následném vyjádření jisté „atomizované“ formy k původnímu indexnímu číslu tak, že se nejprve spočtou „parciální“ indexní čísla mezi jednotlivými body tohoto dělení a tato se poté vzájemně vynásobí. Název tomuto postupu však přisoudil nikoliv Alfred Marshall, ale až Irving Fisher. Vyčísleme nejprve hodnotu pro jakékoliv dva body (období) z přijatého dělení intervalu základního období „0“ a běžného období označeného „T“, kde toto druhé období odpovídá symbolu „1“ v původním (neděleném) označování. (Při této dočasné úpravě notace je možné zachovat vzestupnou tendenci v označování dělících bodů přirozenými čísly). Platí tedy: . Definujme nyní zřetězené indexní číslo (příslušné nějakému prostému IČ) výrazem (1) , resp. při (a následném částečném vykrácení zlomku výše ) zjednodušeněji jako (1A) . Buďme si vědomi toho, že jeho hodnota je obecně odlišná od prostého indexního čísla [ ]. Podílovou odchylku mezi zřetězeným a prostým indexním číslem nazveme zkreslením při zřetězení. Lze ukázat, že postupným zjemňováním dělení mezi body „1“ a „T“ volbou stále více vnitřních dělicích bodů (teoreticky při T®¥) lze postupně zmenšovat hodnotu tohoto zkreslení a přibližovat tak zřetězené indexní číslo výchozímu indexnímu číslu. Poznámka 1 Je patrné, že řetězit má smysl především indexní čísla při časovém srovnání (pozorování musí být seřazena v časových posloupnostech), postupu nelze tedy srovnatelně smysluplně využít pro geografická data. Poznámka 2 Hlavní bariérou, na kterou zjemňování dělícího intervalu naráží, je přirozená okolnost, že statistická data jsou registrována vždy pouze v určitých pevně stanovených časových okamžicích. Podnikové i makroekonomické ukazatele bývají vykazovány zpravidla v měsíčních nebo čtvrtletních intervalech. Častější vykazování hodnot lze zaznamenat pouze u burzovních indexů (vyhodnocujících cenu akciového portfolia), kde změny probíhají během hodinových či dokonce pětiminutových intervalů a údajů z oblasti měnových kursů, kde jsou dostupná denní, příp. i hodinová data. V jiných oblastech reálné ekonomiky je srovnatelná frekvence sledovanosti dat nedosažitelná. Zřetězené indexní číslo vykazuje naopak dvě teoretické přednosti: splňuje totiž Fisherovy axiomy okružnosti (F4) a záměny období (F3), a to i tehdy, když původní indexní číslo těmto testům nevyhovuje. Ukážeme to snadno: Ověření (F3): Zvolíme např. . Potom platí (2) a podobně při porovnání hodnot ve třech bodech (např. ) snadno ukážeme, že platí axiom okružnosti (F4) (3) . ÿ. Poznámka 3 Je zřejmé, že pokud prosté indexní číslo splňuje axiom okružnosti (F4), pak je hodnotou shodné s jemu příslušným zřetězeným indexním číslem (při jakémkoliv dělení), tzn. [.] Podobně snadno ověříme pro zřetězená indexní čísla platnost testů (F1) a (F7)[2]: (4) (F1) , (5) (F7) . (Pro případ tedy zřejmě dostaneme ). ÿ . Vyšetřování dalších vlastností zřetězených indexních čísel nemusí být jednoduché, resp. tyto vlastnosti budou zpravidla záviset na vlastnostech výchozích prostých indexních čísel. Otázku, zda preferovat užití indexního čísla prostého (tj. s pevným základem) nebo zřetězeného, nelze obecně zodpovědět. V souvislosti s konstatováním učiněným v souvislosti s testem (F4) lze přijmout názor, že pokud pracujeme s indexními čísly, která zacházejí symetricky s vahami (což platí mj. u ), nezáleží příliš na tom, kterou verzi použijeme, protože při praktickém použití se výsledky budou lišit jen málo. Pokud statistická metodika obměňuje základ pro výpočet cenových indexů zhruba po 5 - 8 letech a používá uvedené typy indexních čísel, nebude příliš záležet na tom, zda vezmeme index prostý nebo zřetězený. Ve statistické praxi však přetrvává tendence setrvávat na indexech s vahami „nesymetrickými“, což platí o Laspeyresovu i o Paascheho indexu. Přirozeně je však nutno přihlížet k dalším okolnostem, jako je délka užívaných časových řad, resp. časové odstupy, ve kterých se srovnání provádí, a míře variability u cen i kvantit mezi jednotlivými obdobími. Lze-li předpokládat zhruba monotónní vývoj (optimální je pozvolný růst cen i kvantit, nezbytné je vyloučení extrémního kolísání a silných kompenzačních efektů, pokud se tyto odehrají ve srovnávaných obdobích), pak mohou být rozdíly také u „nesymetrických“ indexních čísel téměř neznatelné. Čím zřetelněji bude pozorována značná rozkolísanost, tím bude nesoulad mezi oběma typy indexů pravděpodobnější. Poznámka 4 von Bortkiewiczův vztah lze u některých indexních čísel využít ke zjištění, jakým směrem jsou tato indexní čísla vychýlena při zřetězení, tzn. zda dochází k nějaké systematické odchylce (pouze však u IČ nesplňujících test okružnosti (F4)) při srovnání hodnot prostého a zřetězeného indexního čísla. Zřetězení Carliho/Sauerbeckova indexního čísla Nejprve vyjádříme u tohoto indexního čísla příslušné zkreslení při zřetězení. To má tvar (6) Nyní využijeme již dříve uvedeného vztahu v níž uplatníme následující konkretizace vektorů a . Pro sledovaný účel vezmeme a podobně neboli podíly cenových poměrů komodit vzatých ve dvou po sobě jdoucích úsecích. Výraz (6) tak přejde do tvaru (7) s tím, že na levé straně po zkrácení uvnitř sumace dostaneme . Nyní vydělíme výraz pro prvním členem pravé strany (7), což je vlastně součin . Po úpravě dostaneme (8) , kde příslušné průměry, směrodatné odchylky a korelační koeficient se vztahují (prostým, neváženým způsobem) k výše definovaným hodnotám a . S ohledem na dosazené hodnoty a můžeme říci, že výraz ve jmenovateli (8) bude menší než 1, neboť znaménko výrazu závisí jedině na znaménku . Toto znaménko bude v převážné většině situací záporné, neboť lze důvodně předpokládat, že ve dvou po sobě jdoucích obdobích (0®1) a (1®2) - nebudou-li časové odstupy příliš krátké - bude vzestup cen u komodit s podprůměrným růstem v prvém z těchto období následován (s ohledem na tendenci vedoucí k přibližování cenových úrovní) převážně nadprůměrným růstem v navazujícím období. Výraz pro ^ bude proto zpravidla větší než 1 a Sauerbeckovo indexní číslo bude tedy zkresleno směrem nahoru. Zřetězení Laspeyresova indexního čísla Obdobně jako v předešlém případě se pokusíme vyjádřit zkreslení indexního čísla výrazem vyskytujícím se na pravé straně von Bortkiewiczova poměru. Po zkrácení máme (10) . Nyní nalezneme vhodnou náplň vektorů a a pro váhy , pro kterou by platila relace (11) při použitém značení , , , [ ] , a [] a takovou, při níž by levá strana (11) byla vyjádřitelná jako výraz pro zkreslení ^ .[] Ukazuje se, že tomuto účelu vyhovují dosazení (12A) a podobně vymezení (resp. vice versa) a volba vah ve tvaru (12B) . Při uvedené konkretizaci dostaneme totiž (13) a po následném zkrácení uvnitř sumací a následně dvou ze tří přítomných výrazů dospějeme k výrazu rovnému právě : (13a) . (Je vidět, že po zkrácení odpovídá pravá strana výrazu (13a) pravé straně (10).) ÿ Také v tomto případě lze na základě přítomných výrazů provést jisté úvahy o očekávaném směru zkreslení. Opět je zřejmé, že směr zkreslení bude záviset na znaménku korelačního koeficientu mezi vektory a výše definovanými. Protože každé vyjadřuje pro příslušnou komoditu cenovou změnu mezi obdobím 1 a 2, potom lze důvodně předpokládat, že korelace cenových vektorů mezi obdobími 0®1 a 1®2 bude záporná. Na druhé straně lze přinejmenším stejně oprávněně vyslovit tvrzení, že korelace v témže období (0®1) mezi cenovými a množstevními změnami bude rovněž záporná. Odtud lze tedy dovodit, že cenové změny za období 1®2 budou se změnami kvantit v období 0®1 převážně korelovány kladně. Z těchto úvah plyne, že Laspeyresovo indexní číslo bude (shodně jako Sauerbeckovo) při zřetězení vychýleno směrem nahoru. Poznámka 5 S ohledem na skutečnost, že průměrování provádíme s pomocí vah , které mohou více nebo méně pozměnit vliv jednotlivých složek v agregátních součtech, platí výše uvedené vývody pouze s určitou podmíněností. Zřetězení Paascheho indexního čísla Obdobnými úvahami o vztazích mezi cenovými a kvantovými změnami v navazujících obdobích bychom dospěli k závěru, že Paascheho indexní číslo se při zřetězení chová tak, že se jeho zřetězená verze vychyluje hodnoty oproti přímo určenému číslu směrem dolů. Lze to prokázat touto konkrétní volbou vektorů a vah : (14) , , . Vyšetřujeme korelaci poměrových cenových změn v období 0®1 s poměrovými změnami spotřeb během období 1®2 vzatými však v časově obráceném pořadí. Při zkoumání převažujícího směru korelovanosti obou vektorů lze usuzovat takto: - cenové změny uskutečněné během období 0®1 budou negativně korelovány s cenovými změnami v navazujícím období 1®2. Tyto následné cenové změny budou opět negativně korelovány s množstevními změnami během téhož období 1®2 (shodná úvaha jako při určení směru zkreslení u Laspeyresova indexního čísla). Vzhledem k tomu, že však tentokrát uvažujeme vektor [ ]s inverzně zadanými složkami oproti předchozímu případu, bude korelace veličin a záporná. ověření: Porovnáme výsledek výše uvedeného dosazení (14) s výrazem pro : Při uvedené konkretizaci obsahu trojice vektorů dostaneme (15) , kde jsme v posledním kroku zkrátili dva ze tří přítomných výrazů . Poslední výraz zapsaný v (15) je shodný s definičním výrazem pro zkreslení ^ po zkrácení dvou skalárních součinů vyskytujících se v definičním vzorci pro : (16) ÿ . U komplikovanějších indexních čísel nelze směr tranzitivního zkreslení nijak snadno odvodit nebo o něm nelze vůbec vyslovit konkrétní a o ekonomické úvahy o možných vztazích mezi cenami s množstvími v obdobích 0,1, 2 opřený závěr. ________________________________ [1] Marshall A.: Remedies for fluctuations of prices. Contemporary Review 1887. [2] Konkrétní podobu testů musíme formulovat v kontextu obecných období s,t v m+1-bodovém úseku.