Vlastnosti užitkové funkce, geometrické znázornění Pro užitkovou funkci zavedenou výše pomocí relace „ „ přijmeme nyní některé vlastnosti, které jsou odvoditelné z vlastností preferenční relace „ „ a současně se ukazují jako opodstatněné téměř ve všech situacích spojených s rozhodováním spotřebitele na základě jeho preferenčních kritérií. Definice 1 Jestliže funkce proměnných má tyto vlastnosti (U1) je reálná konečná nezáporná funkce a platí pro ni . (U2) je neklesající ve všech proměnných, tzn. platí: Jestliže , , pak . nebo: (U2s) je rostoucí ve všech proměnných, tzn. platí: Jestliže , , pak . (U3) je spojitá v celém (n-rozměrném) definičním oboru. (U4) je kvazikonkávní funkce. (U5) je určena až na ryze monotónní (rostoucí) spojitou transformaci . potom o takové funkci řekneme, že má vlastnosti užitkové funkce. Přesný význam vlastností (U4) a (U5) nyní vyložíme formulací příslušných definicí. Definice 2 Funkce proměnných se nazývá konkávní, jestliže pro kterékoliv dva body/vektory , z definičního oboru platí nerovnost: pro libovolné reálné číslo . Konkávnost tedy znamená, že při průběhu argumentu úsečkou spojující body , komoditního prostoru nesmí hodnota funkce v žádném bodě této úsečky klesnout pod (prostorovou) úsečku spojující body a . Definice 3 Funkce proměnných se nazývá kvazikonkávní, jestliže pro kterékoliv dva body , z definičního oboru platí nerovnost: pro libovolné reálné číslo . Kvazikonkávnost tedy obrazně znamená, že při průběhu argumentu úsečkou spojující body , (v komoditním prostoru) nesmí hodnota funkce v žádném bodě na této úsečce klesnout pod menší z hodnot obou krajních bodů této úsečky , resp. . Kvazikonkávnost je zde definovaná bez ohledu na existenci derivací (resp. i spojitost) funkce proměnných. Později ukážeme, jak lze tuto vlastnost formulovat u funkcí, které jsou diferencovatelné. Poznamenejme, že konkávní funkce je vždy kvazikonkávní, zatímco kvazikonkávní funkce nemusí být nutně konkávní. Prostorová úsečka spojující body a se totiž v žádném případě nemůže „propadnout“ pod minimum vzaté ze svých krajních hodnot. Vlastnost (U5) konstatuje, že užitková funkce není určena jednoznačně, ale že za „v podstatě tutéž funkci“, resp. funkci patřící do „téže třídy jako je výchozí “ lze považovat i libovolnou transformovanou funkci , pokud je transformace spojitá a rostoucí. Znamená to tedy, že užitkovou funkci uvažujeme „jen“ v ordinálním smyslu, tzn., že při porovnání užitku, který přináší dvě komoditní kombinace a , nerozhoduje, jaké jsou konkrétní číselné velikosti užitku a , nýbrž jen to, zda vždy platí či nebo zda . Zatímco pro kterékoliv dvě komodity lze rozhodnout, která z nich je pro spotřebitele z hlediska přinášeného užitku lepší (popř. jsou-li indiferentní), nelze rozdíl mezi dvěma různými užitky (nejsou-li komodity indiferentní), kvantitativně vyčíslit tj. změřit. Každá transformace s sebou přináší obecně jinou „mezihladinovou“ škálu pro měření rozdílů. Poznámka 1 Nejednoznačnost určení užitkové funkce ve smyslu (U5) má za důsledek to, že funkce , , při vyjadřují v podstatě totéž spotřebitelovo hodnocení, které uplatňuje vůči několika komoditním kombinacím, které mu přinášejí užitek, jako původní . V případě, že chceme pojem užitkové funkce využít k hlubší analýze spotřebitelova chování s využitím prvků marginální ekonomické analýzy (a dále ve vztahu k cenám komodit a příjmu spotřebitele), potřebujeme zavést nástroje diferenciálního počtu. Proto přijímáme pro užitkovou funkci ještě dvě vlastnosti (první přitom vyplývá z druhé) : (U6) Existují spojité 1. parciální derivace (tj. podle všech proměnných) . (U6*) Existují spojité 2. parciální derivace (tj. pro ). Význam uvažovaných vlastností (P1), (P2),(P3) a (P5) pro preferenční relaci „ „ bude zřetelnější ve světle následujícího tvrzení : Věta 1 [G.Debreu, Eilenberg, Rader] Jestliže preferenční relace „ „ splňuje vlastnosti (P1), (P2), (P3) a (P5) v komoditním prostoru generovaném spočetnou bází otevřených množin, potom lze v tomto prostoru zkonstruovat spojitou užitkovou funkci . Důkaz: a) existence nechť , [ ] je posloupnost otevřených množin ve spočetné bázi . Pro jakékoliv uvažujme množinu a definujme funkci vztahem Jestliže , potom , takže . Na druhé straně, jestliže , pak existuje takové, že , ale nikoliv . Tedy a . Tedy je užitková funkce. b) spojitost Nechť označuje libovolnou množinu na rozšířené reálné přímce, která později bude brána jako . Množina stejně jako její doplněk může sestávat z nedegenerovaných a degenerovaných intervalů. Za „mezeru“ označíme maximální nedegenerovaný interval doplňku , který má horní a dolní hranici v . Podle věty vyvozené G.Debreuem [1964] platí, že jestliže je podmnožina rozšířené reálné přímky , pak existuje rostoucí funkce z do taková, že všechny mezery jsou otevřené množiny „ . Geometrická interpretace Užitková funkce je představována nadplochou v -rozměrném prostoru , v rámci něhož komoditní prostor generuje dimenzních složek a hodnotu užitku v poslední dimenzi. V této -dimenzi „měříme“ užitek, který spotřebiteli přináší kterákoliv komoditní kombinace . Geometrická místa bodů (komoditních kombinací), která poskytují stejný užitek (na určité konstantní úrovni ) vytvářejí (obrazně řečeno) „vrstevnice“, přičemž výška každé vrstevnice udává hodnotu užitku pro danou kombinaci komodit. Tyto vrstevnice budeme nazývat indiferenční křivky (ve vztahu k užitku). Při této interpretaci lze o soustavě vrstevnic mluvit jako o tzv. indiferenční mapě tvořené těmito vrstevnicemi pro všechny možné hladiny užitku.[1] S ohledem na vlastnost (U5) je indiferenční mapa nezávislá na volbě transformační funkce , neboli řečeno jinými slovy: průměty vrstevnic do -rozměrného komoditního prostoru zůstávají při změně beze změn. Je tomu tak proto, že se změnou se sice může změnit nominální hodnota užitku, ale preferenční srovnání libovolných dvou komodit se zachovává. Poznámka 2 Lze ukázat, že také naopak ze znalosti indiferenční mapy tj. vrstevnic určených jako pro libovolné ležící na některé vrstevnici, lze odvodit (opět až na transformující funkci ) tvar užitkové funkce . V tomto směru je tedy znalost užitkové funkce a znalost indiferenční mapy rovnocenná. Ekonomická historie zná mnoho polemik o oprávněnosti toho, zda lze na kvantifikaci užitku pohlížet i klasickým, tj. kardinálním způsobem. Přestože existuje řada (i nekomplikovaných) způsobů, jak přechod na kardinální vyjadřování provést, ukazuje ekonomická praxe, že důsledné kardinální pojetí měření užitku vyžaduje zpravidla vždy takové informace kvantitativní povahy, jejichž (třeba jen subjektivně posuzovanou) určitelnost či odhadnutelnost zajistit nelze. Zkuste např. ohodnotit, zda - třeba na odlehlém místě a v zimním čase - jsou pro nás teplé rukavice o 20%, 40% či 70% méně užitečné, než teplá zimní obuv, máme-li se rukavicemi chránit před omrznutím rukou a teplými botami před promrznutím nohou. Přitom už samotné ordinální srovnání může být určitým problémem. Ostatně provést úvahu s kardinální kvantifikací nejrůznějších užitkových preferenčních srovnání a následně vyslovit svůj názor či závěr může každý čtenář sám. Dopad přijímaných vlastností užitkové funkce na tvar indiferenčních křivek Vlastnost (U1) je reálná konečná funkce a platí pro ni Znamená mj., že počátek souřadnic nemůže ležet na žádné indiferenční křivce kladné hodnoty. To je ihned vidět z toho, že užitek v počátku definovaném souřadnicemi může být vždy jen nulový. Vlastnost (U2) popř. (U2s) udává, že užitek při pohybu po křivkách indiferenční mapy ve směrech doprava a nahoru nemůže klesnout. (Indiferenční křivky, nejenže tedy nemohou být „uzavřené do sebe“, ale nemohou se ani – se zvětšujícím se množstvím komodity – „odklánět„ od souřadnicových os. Další omezení na jejich tvar pak představuje kvazikonkávnost. “Uzavřenost do sebe“ by znamenala nutně existenci přinejmenším dvou bodů takových, že s vlastností , což by bylo zřejmě v rozporu s vlastností U2(S). Nesaturovanost preferenční relace pak koresponduje s tím, že „užitek s přidáváním komoditního množství stále a bez omezení stoupá“ a že tedy (přinejmenším každá polopřímka/paprsek vycházející z počátku, zn. v bodech ) protíná indiferenční křivky odpovídající vyšším a vyšším hladinám užitku. Vlastnost (U3) – spojitost zajišťuje, že indiferentní křivky jsou souvislé množiny nulové tloušťky („čáry“) a že tedy nejsou tvořeny množinami sestávajícími z izolovaných bodů. Vlastnost (U4) - kvazikonkávnost zajišťuje, že indiferentní křivky jsou vyklenuty směrem k počátku a že množiny , představující množiny bodů nad křivkou, jsou konvexní útvary. To primárně plyne z konvexnosti preferenční relace. Méně viditelným důsledkem je též to, že mezní míra substituce mezi dvěma komoditami vykazuje (při pohybu ve směru zleva shora -> doprava dolů) monotónně klesající tendenci. (U5) je určena až na ryze monotónní (rostoucí) spojitou transformaci odpovídá pohledu na ordinální pojetí užitku. S každou užitkovou funkcí patří do stejné „třídy” celá množina dalších, pokud každého reprezentanta této třídy je z původní funkce možné vytvořit pomocí spojité rostoucí transformace. Toto zobecnění nemění nic na tom, že po takovéto transformaci budou body původně ležící na téže indiferentní křivce na ní opět ležet. Této křivce bude ovšem odpovídat (obecně a zpravidla) vyšší nebo nižší hladina užitku. Znamená to mj., že v porovnání užitku dvou „komoditních“ bodů nemá smysl si pokládat otázku, „o kolik je jedna komoditní kombinace lepší než druhá“, ale jen otázku, „zda je jedna vyšší než druhá“, popř. jsou-li kombinace rovnocenné, “zda jsou obě hodnoceny shodně“. Základní charakteristiky užitkové funkce Definice 5 První parciální derivace užitkové funkce podle libovolné -té komodity vyčíslená v pevném bodě je nazývána mezním (marginálním) užitkem -té komodity v tomto bodě (kombinaci komodit). Mezní užitek značíme (2.11) Podle předpokladu o ryzí monotónnosti užitkové funkce je mezní užitek vždy kladný. Požadavek je dost restriktivní, neboť nepřipouští (v realitě snadno myslitelné) úvahy o dosažení určité saturační úrovně „užitečnosti“ některých komodit, po jejímž překročení se užitek pociťovaný spotřebitelem již nezvyšuje. Lze uvést řadu případů, kdy po nabytí jisté úrovně dané komodity užitek dokonce klesá. Definice 6 Podíl dvou mezních užitků (příslušných různým komoditám), vyčíslený v některém bodě ^ komoditního prostoru se nazývá mezní (marginální) míra substituce mezi -tou a -tou komoditou. Značíme ji a definujeme tedy jako (2.12) Mezní míra substituce je ve vztahu k pořadí komodit reciproká. Obrátíme-li pořadí komodit v substitučním vztahu, obdržíme převrácenou hodnotu původní : .[ ]Hodnota závisí jednak na analytickém tvaru užitkové funkce, jednak (a to často daleko silněji) na bodě-komoditní kombinaci, kde ji vyčíslujeme. Tvrzení 1 Pro mezní míru substituce lze snadno odvodit vztah: ověření Vyjdeme z vyjádření totálního diferenciálu funkce a jeho rozkladu na dvě aditivní komponenty u funkce dvou (substitučních) proměnných. (2.13) [2] Protože při pohybu po indiferenční křivce se úroveň užitku nemění (mění se však vzájemný poměr faktorů a ), platí pro totální diferenciál . Odtud zřejmě plyne [ ] a dále (2.14) □ .[] Mezní míra substituce mezi dvěma komoditami (při neměnících se komoditách ostatních) vyjadřuje množství zvýšení jedné komodity (při snížení druhé komodity o jednotku množství) potřebné k tomu, aby nově vytvořená komoditní kombinace poskytovala stejný užitek jako kombinace původní. Mezní míra substituce zůstane nezáporná: Jeden z diferenciálů nebo bude záporný, neboť přírůstek v množství jedné komodity musí být kompenzován úbytkem druhé a vice versa. Věta 2 Zákon klesající mezní míry substituce Při pohybu po indiferenční křivce[3] platí (2.15) pro , taková,že právě tehdy, když je užitková funkce kvazikonkávní. Důkaz Ze zápornosti diferenciálu veličiny [ ]při pohybu po indiferenční křivce vyvodíme pomocí věty o rozkladu totálního diferenciálu, že (2.16) Po dělení (kterýžto diferenciál je při pohybu ve sledovaném směru kladný, čímž se nemění povaha nerovnosti) lze klesající tendenci mezní míry substituce vyjádřit vztahem (2.17) Mezní míra substituce bude klesající právě tehdy, jestliže bude její diferenciál (při pohybu po indiferenční křivce) záporný. V následujícím budeme vyšetřovat, jakým vztahům mezi charakteristikami užitkové funkce bude podmínka (2.15) odpovídat. Převedeme tedy postupně diferenciální charakteristiky obsažené v (2.17) na výrazy obsahující charakteristiky užitkové funkce. Zapíšeme-li výraz pro v definičním vyjádření a provedeme-li výpočty parciálních derivací, dostáváme ekvivalentní vyjádření , které přejde po úpravách do podoby resp. na tvar (2.18) Během odvozování jsme uplatnili standardní pravidla derivování zlomků pro mezní užitky , , kdy se mění pouze r-tá a s –tá komodita. Znaménko levé strany (2.18) udává jeho čitatel, neboť jmenovatel je s ohledem na kladný mezní užitek kladný. Zapíšeme-li čitatel (2.18) jako „kvadratickou formu„ s proměnnými , a koeficienty , , dostaneme (2.18) jako nerovnost (2.19) Poznámka: Jiným zápisem podmínky (2.19) je vyjádření (2.20) . Podmínka pro klesající mezní míru substituce je tedy totožná s podmínkou pro kvazikonkávnost výchozí užitkové funkce (je-li tato dvakrát spojitě diferencovatelná ). Jinými slovy: Jestliže předpokládáme pro užitkovou funkci vlastnost kvazikonkávnosti, budeme mít zaručeno, že mezní míra substituce bude mít při pohybu po indiferenční křivce zleva/shora Þ doprava/dolů klesající tendenci. Uvedené lze ilustrovat na obrázku 2 : Přípustné podoby indiferenční křivky vymezující hladinu užitku ^ nalezneme na obrázku [2a], kde je patrné, že při pohybu ve směru zleva/shora Þ doprava/dolů se vždy zachovává klesající tendence poměru . Naopak na obrázku [2b] je tato relace porušena mezi („inflexními“) body B a C, kde je indiferenční křivka vyklenuta směrem „od počátku souřadnic“. (Povšimněme si však, že i v těchto případech první souřadnice bodu pohybujícího se v uvedeném směru po indiferenční křivce roste, zatímco druhá klesá). Klesající mezní míra substituce je tedy silnější vlastností, než pouhé konstatování, že . Jak je patrné, v případech 2c,2d není množina konvexní. Později ukážeme), že kvazikonkávnost má přímý vztah ke konvexnosti množin . Zavedené předpoklady (U1) - (U5),(U6*) umožňují zavést pro další úvahy velmi užitečnou čtvercovou matici řádu sestávající z prvních a druhých parciálních derivací užitkové funkce konkrétně tvaru Matice je tedy tvořena – vedle nulového prvku vlevo nahoře - vektorem prvních parciálních derivací – tzv. gradientem (s vesměs kladnými prvky) v dalších polích 1. řádku a 1. sloupce a maticí druhých parciálních derivací (tzv. Hessovou maticí) v ostatních polích. Je vzhledem k vlastnosti (U6*) symetrická (obsahuje tedy nanejvýš různých nenulových prvků). Platí dále, že pokud je původní užitková funkce kvazikonkávní, pak má tato matice následující vlastnost: posloupnost jejích determinantů mění znaménko s přidáním každé komodity do uvažovaného komoditního podprostoru, tzn. … Jinými slovy: okolnost, zda je či není daní užitková funkce kvazikonkávní, lze vyšetřit právě zjištěním znamének této posloupnosti jejích determinantů (je to v podstatě alternativní vyjádření kvazikonkávnosti, pokud je vyšetřovaná funkce dvakrát spojitě diferencovatelná). Determinant má hodnotu ), takže jeho znaménko je automaticky „ - „ ). Poznámka: Znaménka příslušných determinantů jsou nezávislá na pořadí, ve kterém jednotlivé statky vstupují do úvahy. Monotónní transformace užitkové funkce Užitková funkce je vlastností (U5) určena až na spojitou rostoucí transformaci . V dalším ukážeme, do jaké míry volba transformace (mající za následek nejednoznačnost ) ovlivňuje veličiny jako je mezní užitek a mezní míra substituce. a) mezní užitek (transformované) užitkové funkce se snadno odvodí z pravidla pro derivování složené funkce : , kde Hodnota mezního užitku při transformaci je závislá na volbě transformující funkce. Protože je rostoucí funkce, bude „transformovaný“ mezní užitek rovněž kladný. b) mezní míra substituce transformované užitkové funkce se získá podobně Hodnota mezní míry substituce je na volbě transformující funkce nezávislá. Jinými slovy: kvantitativní ocenění vztahu mezi dvěma substitučními komoditami není volbou transformující funkce dotčeno. Při transformaci se zachovává vzájemná poloha „vrstevnic“ určujících indiferenční křivky : transformace nemění nic na substitučním vztahu obou komodit při pohybu po indiferenční křivce. c) druhé parciální derivace (transformované) užitkové funkce se změní takto: d) a její determinant se změní provedením rostoucí spojité transformace takto [] přičemž příslušný determinant matice má tvar ověření: Abychom určili hodnotu determinantu , resp. pokusili se ho porovnat s determinantem , rozložíme pomocí známého součtového pravidla. To říká, že pokud je např. první sloupec čtvercové matice [ ]součtem dvou vektorů a , pak je determinant roven součtu dvou determinantů čtvercových matic se sloupci a . Aplikováno na náš případ, kdy lze 2. až -tý sloupec matice rozložit na součtové členy, dostáváme : atd. Získáme tak determinantů, které však až na jeden neovlivní výsledný výraz. Pouze první z nich, který má tvar je nenulový s hodnotou . Všechny ostatní determinanty se vyznačují vlastností, že aspoň dva jejich sloupce jsou lineárně závislé a jejich hodnota je tedy nulová. Přiblížíme to na rozkladu do čtyř součtových členů , v důsledku lineární závislosti 1. a 3. sloupce, které jsou násobky vektoru , v důsledku lineární závislosti 1. a 2. sloupce, které jsou násobky vektoru , tentokrát v důsledku lineární závislosti 1., 2. i 3. sloupce: každý z těchto sloupců je opět násobkem vektoru . Z předchozího tedy vyplývá, že můžeme psát . □ . Odtud je patrné, že i když jsou hodnoty determinantů a obecně různé, zachovává po transformaci spojitou rostoucí funkcí determinant znaménko souhlasné s původním determinantem . Znamená to dále to, že pokud je původní užitková funkce kvazikonkávní, bude i takto transformovaná užitková funkce zaručeně také kvazikonkávní, protože kvazikonkávnost je spojena jen s chováním znamének (ne už hodnot) posloupnosti determinantů (ta se – jak uvedeno výše - střídají s přidáním každé další komodity, přičemž nezáleží na pořadí přidávaných komodit.). Tedy k zajištění kvazikonkávnosti musí pro jednotlivé subdeterminanty matice platit podmínka . Poznámka 3 - lineární transformace užitkové funkce Zvolme nejjednodušší spojitou rostoucí transformační funkci, kterou je lineární funkce (s kladným koeficientem u lineárního členu), tedy , kde , libovolné. Pak platí , resp. Znamená to tedy, že jak mezní užitek, tak prvky matice 2. parciálních derivací se od původních prvků matice liší pouze vynásobením kladnou konstantou . Příslušný determinant je pak ^ - násobkem původního determinantu , tj. Definice 7 Jestliže ve třídě ordinálních užitkových funkcí , které jsou ekvivalentní s po lineární transformaci , existuje užitková funkce taková, že platí pak říkáme, že je aditivně rozložitelná užitková funkce. V takovémto případě lze vyjádřit individuální přínosy komodit k celkovému užitku samostatně pro každou komoditu, jinými slovy, celkový užitek je pak součtem těchto individuálních přínosů. Doplněk Konvexnost, konkávnost, kvazikonvexnost a kvazikonkávnost Řekneme, že spojitá funkce n proměnných (definovaná na konvexní množině X ) je pro dva body (aniž víme, zda nebo naopak) (A1) ryze konvexní, jestliže platí ostrá nerovnost (B1) ryze konkávní, jestliže platí ostrá nerovnost (C1) ryze kvazikonvexní, jestliže platí ostrá nerovnost (D1) ryze kvazikonkávní, jestliže platí ostrá nerovnost ve všech případech pro libovolné skalární . (A2) konvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (B2) konkávní, jestliže platí neostrá nerovnost (C2) kvazikonvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (D2) kvazikonkávní, jestliže platí neostrá nerovnost ve všech případech pro libovolné skalární . Je-li známo, ve kterém z obou bodů je hodnota funkce větší, např. platí-li , pak lze výše uvedené definice modifikovat např. takto: (A3) konvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (B3) konkávní, jestliže platí neostrá nerovnost (C3) kvazikonvexní, jestliže platí neostrá nerovnost (D3) kvazikonkávní, jestliže platí neostrá nerovnost . ________________________________ [1] Ne ze všech hledisek je ovšem srovnání indiferenční mapy se skutečnou (geografickou) mapou plnohodnotné: Vrstevnice indiferenční mapy - viz obrázek č. ... - nemohou být uzavřené křivky vzhledem k vlastnosti (U2) užitkové funkce a v důsledku (U4) musí vytvářet konvexní útvary: tzn. úsečkové spojnice propojující dva body na téže indiferenční křivce nesmí protnout žádný bod s nižší hladinou užitku. Spotřebitel shlížející na mapu „od počátku souřadnic“ tedy vidí „vrstevnice“ pouze směrem „do kopce“, aniž by se v této mapě mohlo vyskytnout za vrcholem či hřebenem kopce (tj. při zvýšených množstvích dosazovaných komodit) opět klesání směrem dolů. [2] Obecný výraz pro rozklad totálního diferenciálu se redukuje na dvojčlen, protože při neměnnosti jiných komodit než r-té a s-té zřejmě platí [3]rozuměno „shora zleva“ směrem „dolů doprava“. Znázornění je voleno tak, aby statek ležel na horizontální a statek na vertikální souřadnicové ose. Bod leží „nalevo a výš“ oproti lokalizaci bodu