2.4 Příklady dvoukomoditních užitkových funkcí V této části uvedeme několik příkladů z oblasti běžných analytických tvarů, které vyšetříme z hlediska vhodnosti jejich použití jako užitkové funkce. Odvodíme dále u nich analytické tvary pro nepřímou užitkovou funkci, výdajovou funkci a pro poptávkové funkce po komoditách, a to jak v Hicksově, tak v Marshallově tvaru. Odvození poptávkových funkcí provedeme buď přímou cestou (na základě využití nutných podmínek pro nalezení rovnovážného bodu), nebo nepřímo z nepřímé užitkové funkce (pomocí Royovy identity) popř. z výdajové funkce (pomocí Shephardova lemmatu). Poznamenejme, že z každého jednoduchého funkčního tvaru lze odvodit řadu dalších, uplatníme-li na tento tvar spojitou rostoucí transformaci s vědomím, že (přímá) užitková funkce je určena pouze s ordinální přesností ve smyslu vlastnosti (U5) obecné užitkové funkce. 4.1 Lineární užitková funkce Nejjednodušší možnou specifikací užitkové funkce je lineární funkce tvaru (4.1) s těmito omezeními na parametry : konstantní člen[ ]= 0 (nutné pro platnost ) a (vzhledem k požadavku kladných mezních užitků). Jak se lze ihned přesvědčit, při těchto omezeních vyhovuje lineární tvar všem požadavkům (U1)-(U4),(U6) kladeným na užitkovou funkci. Zřejmě dále pro všechna nezávisle na , (tedy rovněž nezávisle na ) a pro všechna . Jak mezní užitky, tak mezní míra substituce mezi kterýmikoliv dvěma statky jsou tedy nezávislé na poloze kombinace statků v komoditním prostoru. Přesto lineární tvar není jako užitková funkce vhodný a v aplikacích se lineární užitková funkce neužívá. Proč tomu tak je, napoví obrázek [2A], který vystihuje situaci pro dvě komodity , : Na něm jsou zakresleny tři indiferenční křivky odpovídající hladinám užitku , , při . Výdajové omezení tvaru je představováno úsečkou spojující body , . Rovnovážný bod je charakterizován stavem, v němž se některá z indiferenčních křivek (při konstantní úrovni příjmu a daných cenách , ) při přibližování zprava shora k počátku poprvé dotkne výdajového omezení. V zakresleném případě je to indiferenční křivka na hladině dotýkající se výdajového omezení v bodě . Mezní míra substituce je u dvoukomoditní lineární funkce rovna podílu a je tedy konstantní[ ]v celém komoditním prostoru. Dále je patrné, že bod bude rovnovážným bodem právě tehdy, jestliže mezní míra substituce bude větší než poměr relativních cen, tedy při . Pokud tomu bude naopak, nastane rovnováha (ustálení poptávky na rovnovážné úrovni) v bodě . Ve výjimečné situaci, kdy platí , bude existovat nekonečná množina rovnovážných bodů představovaných celou úsečkou . Jestliže cenový poměr [ ]bude mít hodnotu blízkou , pak to bude znamenat, že kolísání kolem povede ke skokovým přesunům rovnovážného bodu z do a naopak. Nevhodnost uplatnění lineární funkce jako užitkové vyplývá tedy z následujícího : a) Substituce mezi komoditami probíhá zpravidla obtížněji, než jak udává konstantní poměr . Zpravidla při dosažení určité (kriticky malé) hodnoty jedné z komodit množství druhé, která ji má nahradit, výrazně vzrůstá, čímž se substituce stává stále obtížnější. b) Není typické, aby - až na výjimku - bylo rovnovážné řešení charakterizováno stavem, kdy je poptáván jen jeden statek ( v případě, že rovnováha nastane v , resp. , pokud je rovnováha v ). c) Podobně nepřirozené je alternování (přeskakování) polohy rovnovážného bodu (z do a naopak) při malé změně poměru v okolí hodnoty . Odporuje to pozorovaným setrvačnostem v chování spotřebitelů ve vztahu k nakupovaným statkům. Navíc, rovnováha je při uvedeném poměru relativních cen vysoce nestabilní. Nepřímou užitkovou funkci příslušnou k lineární užitkové funkci nelze odvodit z nutných podmínek pro polohu rovnovážného bodu, protože mezní užitky neobsahují jako argumenty příslušné souřadnice (ani pro ani pro ). Můžeme však vyjít přímo ze souřadnic, kterými je definován rovnovážný bod (viz též obrázek). Je však třeba přitom rozlišit dva případy: a) je-li nakupován pouze první statek, pak je rovnováha určena bodem , Poptávková funkce v Marshallovském vyjádření má tedy tvar (4.2) Nepřímou užitkovou funkci obdržíme snadno dosazením této poptávky do (přímé) užitkové funkce. (4.3) Výdajovou funkci pak získáme substitucí, při níž zapíšeme levou stranu (4.3) jako a kde na pravé straně téhož výrazu nahradíme výdaj M výrazem . Odtud snadno získáme výraz (4.4) b) je-li nakupován pouze druhý statek, pak je rovnováha určena bodem . Poptávková funkce v Marshallovském vyjádření má nyní tvar (4.5) Nepřímou užitkovou funkci a výdajovou funkci obdržíme stejným postupem jako dříve : (4.6A,B) Poznámka 1 Třetí případ představovaný situací, kdy je rovnovážný „bod“ tvořen celou úsečkou AB, není třeba uvažovat zvlášť , neboť jde o jistý „průnik“ obou předchozích. V něm platí . Odvození poptávkových funkcí je možné provést též nepřímo, vyjdeme-li z již známé nepřímé užitkové nebo výdajové funkce. Protože platí (4.7) a podobně pro obdržíme výrazy (4.2) resp. (4.5) též aplikací Royovy identity, obdobně jako bychom uplatněním Shephardova lemmatu na (4.4) resp. (4.6B) dostali vztahy (4.8) , z nichž po dosazení za máme ihned (4.2), (4.5). 4.2 Kvadratická užitková funkce Ani tento funkční tvar není, jak níže ukážeme, jako užitková funkce vhodný: -komoditní ryze kvadratická užitková funkce může být zapsána ve tvaru (4.9) při , zajišťujících kladné mezní užitky. Absence konstantního členu vyplývá opět z podmínky . Ryze kvadratická funkce s kladnými koeficienty je konečná, nezáporná, rostoucí ve všech komoditách, spojitá a neomezeně diferencovatelná, není však kvazikonkávní. K přiblížení negativního důsledku nesplnění posledně jmenované vlastnosti stačí uvažovat dvoukomoditní případ (4.10) , jehož geometrickým vyjádřením je elipsa tvaru resp. (4.11) tedy se středem v počátku a s poloosami [ ]resp. . Na obrázku [2B] je zakreslena situace se třemi indiferenčními křivkami na hladinách užitku , , při . Výdajové omezení je opět znázorněno úsečkou s rovnicí spojující body , . Bod , v němž se indiferenční křivka ^ dotýká výdajového omezení, však není rovnovážným bodem v plnohodnotném slova smyslu. Naopak, posun z něj po výdajovém omezení v obou možných směrech vede k dosažení bodů (komoditních kombinací), které leží na indiferenčních křivkách o vyšších hladinách užitku, což je v protikladu s požadavkem na vlastnost rovnovážného bodu. Lze pozorovat pouze to, že jsou-li vybrány komodity v množstvích odpovídajících souřadnicím bodu , potom úbytek množství jednoho či druhého statku bude znamenat vždy přechod na nižší indiferenční křivku. To však nemá žádný vztah ke kritériu požadovanému pro rovnovážný bod, aby se komodity nakupovaly v poměrech, které zajišťují nejlevnější možný výdaj (pro danou hladinu užitku). Na uvedeném obrázku lze též dobře ilustrovat rozdílnost mezi rostoucí a kvazikonkávní funkcí. Uvažovaná ryze kvadratická funkce s kladnými , je neklesající (je dokonce rostoucí) v každé proměnné, není však kvazikonkávní. Množině dvoukomoditních rostoucích funkcí odpovídá třída indiferenčních křivek, u kterých průběh (zleva shora) po kterékoliv z nich je charakterizován klesající hodnotou [ ]a rostoucí hodnotou , zatímco kvazikonkávnost navíc mj. vyžaduje, aby mezní míra substituce při tomto pohybu kontinuálně klesala (což u kvadratické funkce splněno není) a aby všechny indiferenční křivky byly pro danou užitkovou funkci vždy "vyklenuty směrem k počátku". Mezní užitky u ryze kvadratické funkce jsou , (a jsou tedy závislé na bodu komoditního prostoru, v němž jsou vyčísleny), mezní míra substituce je rovna [ ](a je tedy rostoucí při snižování [ ]a zvyšování ). Poznámka 2 Je zřejmé, že ke zlepšení vlastností ryze kvadratické funkce nepovede specifikace se zápornými koeficienty , . Při nich bude sice tato funkce kvazikonkávní, ale funkce sama bude záporná a klesající, oba mezní užitky budou tedy záporné. Jako užitková funkce je tedy nepoužitelná. Odvození poptávkových funkcí po komoditách provedeme na základě maximalizace výrazu Parciálními derivacemi podle , a a jejich anulováním dostaneme tři podmínky : tzn. [ ], z nichž odvodíme (řešením tří rovnic pro neznámé , , ) v závislosti na parametrech úlohy, tj. , , , a poptávkové funkce po obou komoditách jako (4.12) a Lagrangeův multiplikátor daný jako V obou případech rostou poptávky přímo úměrně příjmu a nepřímo úměrně s cenou této komodity. Přistupme k odvození nepřímé užitkové funkce. K tomu stačí dosadit , [ ]z (4.12) do (4.10). Po malých úpravách dostaneme (4.13) Nepřímá užitková funkce je tedy rovněž kvadratická v a klesající se čtvercem cen , . Výdajovou funkci získáme standardně nahrazením levé strany (4.13) pevnou hodnotou a položením . Pak již snadno z (4.13) získáme výraz (4.14) Výdajová funkce je tedy odmocninná ve vztahu k hladině užitku. Marshallovský tvar poptávkových funkcí lze odvodit též pomocí Royovy identity, přičemž z (4.13) máme (4.15) a též zatímco k vyjádření poptávek v Hicksově tvaru musíme použít Shephardovo lemma, dle něhož (4.16) . Shodu obou výrazů prověříme např. dosazením výdajové funkce za . 4.3 Leontiefova užitková funkce Tento typ užitkové funkce (též užitková funkce s pevnými koeficienty) lze zapsat ve tvaru (4.17) , kde jsou kladné konstanty. Tato užitková funkce je charakterizována indiferenční mapou sestávající z indiferenčních křivek, které mají podobu „rohů“ (vrcholů a hran) neomezených -rozměrných kvádrů. Vrcholy přitom leží na polopřímce vycházející z počátku souřadnic. Pro případ dvou komodit má tato polopřímka rovnici [ ]a celou situaci lze vyjádřit obrázkem [2C], který opět obsahuje indiferenční křivky pro tři úrovně užitku , , . Jako oblast ^ označíme množinu všech , pro které platí a jako ^ oblast, v níž platí . Hranici obou množin tvaru [ ]tvoří polopřímka vycházející z počátku souřadnic pod úhlem , pro který platí . Jinak je patrné,že Leontiefovská funkce splňuje vlastnosti užitkové funkce, neboť je: (U1): reálná konečná a platí , (U2): neklesající v celé definičním oboru, přesněji rostoucí ve směru přírůstku každé komodity až do hodnoty , poté je konstantní, (U3) spojitá v celém definičním oboru a (U4) kvazikonkávní, neboť funkční hodnota v bodě ležícím na spojnici libovolných dvou bodů komoditního prostoru nikdy neklesne (jak plyne z konvexnosti množin) pod menší z obou hodnot užitku v krajních bodech. Aplikace (U5) pak vede k obecnějším strukturám komplementárních užitkových funkcí. Pokud jde o hodnoty mezních užitků, musíme rozlišit oblasti a vyznačené na obrázku [2C] : v oblasti platí [ ], resp. , zatímco v oblasti platí , resp. . Dále zřejmě v celém komoditním prostoru platí a pro mezní míry substituce platí: v oblasti : , zatímco v oblasti : . Abychom odvodili u této funkce poptávkové funkce po komoditách, musíme - při neexistenci parciálních derivací na „hřebeni“ zvolit poněkud modifikovaný postup : Je zřejmé, že při jakýchkoliv kladných cenách , a příjmu vzájemně propojených rovností bude maxima užitku dosaženo na „hřebeni“. Bod maxima tedy získáme jako průsečík úsečky a polopřímky [ ]procházející počátkem souřadnic. Řešením pro , dostaneme poptávkové funkce ve tvaru: (4.18) . Odtud je vidět, že poptávka po každé komoditě je přímo úměrná příjmu a nepřímo úměrná ceně vlastní (ale stejně tak i cizí) komodity. Povšimněme si přitom, že z tohoto hlediska jsou komodity , v typicky komplementárním vztahu. Uveďme dále, že Leontiefova užitková funkce je (pro libovolné konečné ) lineárně homogenní, neboť pro ni platí: (4.19) pro libovolné kladné . Leontiefova užitková funkce je pro určitý typ vzájemného vztahu komodit (jsou-li tyto vzájemně komplementární) výstižným analytickým nástrojem. Naopak, pro situace charakterizované vzájemnou substitučností komodit není adekvátně použitelná. Rovněž u Leontifeovy užitkové funkce lze snadno odvodit nepřímou užitkovou funkci : Stačí dosadit nalezené poptávkové funkce (4.18) do přímé užitkové funkce. Dostaneme (4.20) a vidíme, že oba výrazy v závorce jsou shodné – minima se tedy nabývá v obou bodech současně. V souladu s očekáváním roste nepřímá užitková funkce přímo úměrně s příjmem a nepřímo úměrně s cenou vlastní i nevlastní komodity (opět zaznamenáváme komplementaritu ve vztahu mezi oběma). Nyní můžeme odvodit Marshallovské poptávkové funkce alternativně pomocí Royovy identity. Protože vede výraz přesně ke tvaru poptávkové funkce v Marshallově tvaru, jak jsme ho odvodili vztahem (4.18). Dále přistoupíme k určení výdajové funkce. Stačí k tomu nahradit levou stranu v (4.20) pevnou hodnotou užitku a nahradit zápisem výdajové funkce Odtud již snadno máme (4.21) . Výdaj spojený s nákupem statků je přímo úměrný úrovni užitku a též přímo úměrný cenám komodit. Konečně rovněž snadno ověříme shodu poptávkových funkcí pro oba tvary (Marshallův i Hicksův): Nejprve odvodíme pomocí Shephardova lemmatu Hicksův tvar poptávkových funkcí. Zřejmě (4.22) pro . Tento velmi jednoduchý výraz vyjadřuje lineární závislost poptávky na hodnotě užitku. Za povšimnutí stojí, že poptávková funkce není závislá na ceně žádné z komodit. Jde o tvar korespondující s Marshallovým vyjádřením poptávek, neboť po dosazení (4.23) . □ . 4.4 Odmocninná užitková funkce Dalším funkčním tvarem, který může být vhodně uplatněn jako užitková funkce, je funkce tvaru (4.24) , resp. ve zjednodušeném zápisu pro dvě komodity (4.25) , . Opět lze snadno ukázat, že odmocninná funkce je reálná konečná spojitá rostoucí a splňující . Je také kvazikonkávní a lineárně homogenní stupně 1/2. Mezní užitky jsou rovny , , mezní míra substituce je ^ a mění se tedy významně s polohou bodu v komoditním prostoru. Poptávkové funkce odvodíme obvyklým způsobem, řešením následujících tří rovnic pro , , : , , . Některou z metod řešení soustavy lineárních rovnic (např. komparační s porovnáním a eliminací ) získáme řešení pro , a : (4.26) , Z uvedených výrazů je patrné, že každá z obou poptávkových funkcí je lineární funkcí příjmu a že poptávka je nepřímo závislá na jí příslušné ceně. Z uvedených hledisek tedy lze odmocninnou funkci přijmout jako vhodnou pro popis (přinejmenším určité části) standardních užitkových situací. Znázornění situace na obrázku [2D] představuje trojici indiferenčních křivek , , , které mají tu vlastnost, že jsou kvazikonkávní a přiléhají v konečných hodnotách k souřadnicovým osám. Každá z komodit je tedy plně substituovatelná konečným množstvím druhé komodity (stejně by tomu bylo i v -rozměrném případě). Rovnovážný bod se nachází v místě dotyku výdajového omezení s indiferenční křivkou . Vychýlení z něho v kterémkoliv směru úsečky výdajového omezení vede vždy k nižší hladině užitku než . Nyní vyšetříme kvazikonkávnost odmocninné užitkové funkce. K tomu stačí vypočíst determinant , protože ; ; ; ; Hodnota determinantu tedy je ( pouze 2 ze 6 členů Sarusova rozvoje jsou nenulové ) pro libovolná kladná . Odmocninná užitková funkce je tedy kvazikonkávní. Nepřímou užitkovou funkci získáme prostým dosazením nalezených poptávkových funkcí (v Marshallově tvaru) do užitkové funkce. Dostáváme nebo po vynásobení čitatele i jmenovatele výrazu v závorce dále (4.27) nebo (4.27A) jinak psáno . Nyní odvodíme tvar výdajové funkce příslušné odmocninné užitkové funkci. Vyjdeme z již vyvozené nepřímé užitkové funkce, kde za obecný výraz dosadíme konkrétní hodnotu užitku a obdobně (nyní hledaný tvar výdajové funkce ) substituujeme z . Získáme , z čehož snadno vyvodíme (4.28A,B) nebo také . Jak patrno, tato výdajová funkce je nezáporná (pro libovolné hodnoty parametrů ), nulová pouze při a rostoucí s (druhou mocninnou) ^0u. Nyní přistoupíme k ilustraci odvození poptávkových funkcí zprostředkovaně, z nepřímé užitkové resp. výdajové funkce. Z nepřímé užitkové funkce spočteme poptávkové funkce přes Royovu identitu Výpočtem derivací dostaneme a podobně , a tedy dosazením do Royovy identity což odpovídá prvému z výrazů uvedených v (4.26). Výraz pro bychom odvodili obdobně; obdrželi bychom druhý výraz v (4.26). Jak patrno, Marshallovská poptávková funkce je přímo úměrná příjmu spotřebitele a současně je klesající se čtvercem ceny příslušné komodity. Alternativně můžeme však získat také poptávkové funkce v Hicksově pojetí. K tomu uplatníme Shephardovo lemma. Dle něho a po úpravě (4.29) . Hicksovská poptávková funkce je tedy rostoucí se čtvercem hladiny užitku a klesající s růstem ceny . Abychom mohli porovnat oba tvary poptávkových funkcí (Hicksův a Marshallův), stačí např. dosadit do výrazu pro za Dostaneme . Obdobně bychom mohli postupovat i obráceně. Za dosadíme výraz pro nepřímou užitkovou funkci : (4.30) . Konečně ukážeme, že i třetí postup vyvození Hicksovských poptávkových funkcí řešením minimalizační úlohy – vede taktéž k tvaru shodnému s oběma předchozími: Řešíme tedy úlohu za podmínky Příslušný Lagrangián má tvar . Derivujeme nyní podle obou neznámých a obě derivace položíme rovny nule. Dostaneme ( Derivací podle obdržíme opět podmínku minimálního užitku ). Porovnáním výrazů pro z nutných podmínek získáme a odtud dále , což dosadíme do podmínky pro minimální užitek: , odkud už snadno určíme ,tedy výraz identický s (4.29). Prověříme ještě některé vlastnosti výdajové a nepřímé užitkové funkce: Je snadné ukázat, že první z nich je homogenní stupně 1 v cenách, druhá homogenní stupně 0 současně v cenách a příjmu: (4.28*) . a uplatněním (4.27A) pro nepřímou užitkovou funkci rovněž (4.29) . Pokud jde o monotónnost, je ze zápisu (4.28B) vidět, že výdajová funkce je kvadraticky rostoucí v užitku a rostoucí v každé z cen. Nepřímá užitková funkce je „odmocninně„ rostoucí v příjmu a „odmocninně„ klesající v každé z cen, jak lze názorně vidět z (4.27A). Marshallovské poptávky (4.26) jsou lineárně rostoucí v příjmu a homogenní stupně 0 v cenách a příjmu současně: , , zatímco Hicksovské poptávky jsou kvadraticky rostoucí v užitku a homogenní stupně 0 v cenách . . Dále pro Marshallovské poptávky platí podmínky součtovatelnosti, , zatímco analogický součet Hicksovských poptávek násobených příslušnými cenami vede (podle očekávání) k výrazu totožnému s nákladovou funkcí: . 4.5 Logaritmická užitková funkce Dalším funkčním tvarem, který může být vhodně uplatněn jako užitková funkce je logaritmická funkce (4.31) , u níž předpokládáme – za účelem obou kladných mezních užitků splnění podmínky . Funkční tvar opět neobsahuje aditivní konstantu, abychom dosáhli požadavku . Mezní užitky, které použijeme k výpočtu poptávkových funkcí jsou zřejmě ; [1] , takže souřadnice rovnovážného bodu dostaneme řešením tří jednoduchých rovnic pro , , : a . Jednoduchými úpravami , resp. a dosazením do rozpočtového omezení dostaneme neboli a odtud již snadno Marshallovské poptávky po obou komoditách jako (4.32) Ověření, zda je (dvoufaktorová) logaritmická užitková funkce kvazikonkávní, je velmi snadné. Hicksovy podmínky stability zde mají tvar , protože ; ; ; ; Výpočet determinantu vede k hodnotě , která je evidentně (při přijatých předpokladech ) pro kladné objemy komodit kladná. Dále odvodíme tvar nepřímé užitkové funkce. Použijeme k tomu prosté dosazení poptávkových funkcí v Marshallově tvaru do přímé užitkové funkce . Tedy (4.33) , kterýžto výraz lze vyjádřit v několika dalších ekvivalentních tvarech, např. , nebo (4.34) , kde konstanta C závisí jen na parametrech (přímé) užitkové funkce. Všimněme si, že nepřímá užitková funkce je (nehledě na aditivní konstantu C) rovněž logaritmická (v argumentech a ). Je dle očekávání rostoucí při rostoucím příjmu a naopak klesající v obou cenách . Její derivace použijeme níže při výpočtech poptávek pomocí Royovy identity: Derivace nepřímé užitkové funkce podle ceny má tvar stejně tak . Derivaci podle příjmu obdržíme jako Odtud je mj. patrné, že derivace podle cen jsou obě záporné, zatímco derivace dle příjmu nabývá kladné hodnoty. Můžeme spočíst ještě druhé derivace , , , z nichž je vidět, že druhé derivace podle cen jsou kladné, zatímco druhá parciální derivace dle příjmu je záporná. Získané hodnoty 1. parciálních derivací můžeme použít k výpočtu Marshallovských poptávek pomocí Royovy identity. Máme (4.35) ve shodě s prvním z výrazů v (4.32). Analogicky obdržíme ve shodě s druhou poptávkovou funkcí v (4.32). Nyní můžeme přistoupit k vyvození výdajové funkce : Nejprve přepíšeme nepřímou užitkovou funkci do tvaru (4.36) Nyní provedeme substituce (pevná hodnota) a naopak (výdajová funkce s argumenty ceny a hladina užitku) neboli což dává a dále po úpravách a po odlogaritmování obdržíme a konečně (4.37) Povšimněme si, že výdajová funkce (příslušná logaritmické užitkové funkci vykazuje exponenciální růst ve vztahu k užitku a má mocninný tvar vzhledem k cenám . Hicksův tvar poptávkových funkcí získáme prostřednictvím Shephardova lemmatu následovně: (4.38) resp. po dosazení je , což dokumentuje formální shodu s již vyvozenými Marshallovskými poptávkovými funkcemi. □ . V Hicksově tvaru zaznamenáváme dle očekávání růst poptávky po dané komoditě s růstem hladiny užitku – závislost je exponenciální, intenzita růstu pak nepřímo úměrná součtu parametrů Tatáž poptávka klesá s růstem ceny : mocnina u je (s ohledem na přítomnost této ceny též ve výdajové funkci) rovna Analogicky bychom dostali Hicksovskou poptávku po druhém statku jako (4.39) Pro úplnost i zde ukážeme, že i třetí postup vyvození Hicksovských poptávkových funkcí – řešením minimalizační úlohy – vede k tvaru shodnému s oběma předchozími: Řešíme tedy úlohu za podmínky Lagrangián má zde tvar . Derivujeme ho nyní podle obou neznámých a obě derivace položíme rovny nule. Dostaneme (Derivací podle bychom obdrželi zřejmě zase podmínku minimálního užitku). Porovnáním výrazů pro z nutných podmínek získáme a odtud dále , což dosadíme do podmínky pro minimální užitek: , odkud opět snadno určíme , neboli , kterýžto výraz je identický s (4.38) Jako v předchozím případě, ověříme i zde některé vlastnosti výdajové a nepřímé užitkové funkce: Také zde platí, že první je homogenní stupně 1 v cenách, druhá homogenní stupně 0 současně v cenách a příjmu: vzhledem k jedničkovému součtu mocninných členů , resp. Pokud jde o monotónnost, je ze zápisu (4.39) vidět, že výdajová funkce je exponenciální (tedy rostoucí ) v užitku a rostoucí v každé z cen individuálně, zatímco z (4.34) plyne, že nepřímá užitková funkce je logaritmická, tj. rostoucí v příjmu a „záporně logaritmicky„ klesající v cenách, jak lze názorně vidět z (4.34), upravíme-li ho na tvar (4.34) . Marshallovské poptávky (4.32) jsou lineárně rostoucí v příjmu, klesající (nepřímo úměrně) ve vlastních cenách a homogenní stupně 0 simultánně v cenách a příjmu (vše je vidět bezprostředně) Hicksovské poptávky (4.38) jsou exponenciálně rostoucí v příjmu a klesající (při mocnině ) vůči vlastním cenám ( je index druhé ceny). Dále pro Marshallovské poptávky platí podmínky součtovatelnosti, , zatímco analogický součet Hicksovských poptávek násobených příslušnými cenami vede k výrazu odvozenému pro nákladovou funkci 4.6 Zobecněná leontiefovská užitková funkce (úplná) Jde o funkční tvar zavedený Erwinem Diewertem [1971]. Jeho podoba v dvoukomoditním zápisu je: (4.51) s omezeními na parametry (ne však přijímanými jednotně ve všech situacích). Obvykle se přijímá . Má-li být tento funkční tvar uplatněn jako užitková funkce (s vlastností , musí zřejmě platit .Tedy (4.52) Mezní užitky spočteme následovně (4.53) Mezní míra substituce odtud plyne jako po úpravě (4.54) Homogenita. Pro obecný tvar (4.51) to znamená vyšetření podmínky Aby byla GL-funkce lineárně homogenní, tj. platilo pro každé kladné , musí tedy platit: , čímž se (4.52) redukuje na (4.55) Prověřit nezápornost funkce (4.55) znamená vyšetřit podmínku pro libovolné Kladnost mezních užitků Homogenita Aby byla GL-funkce lineárně homogenní, musí platit: , takže . Kvazikonkávnost pro tvar Kvazikonkávnost vyžaduje, aby . 4.6 Zobecněná leontiefovská užitková funkce (klasická) Nalezení rovnovážného bodu: za podmínek Řešíme soustavu rovnic Provedeme substituci a následně dosadíme , neboli po vynásobení , a řešíme jako kvadratickou rovnici Smysl má jenom kořen s +, protože jinak by řešení bylo záporné (nepřípustné).[2] Zřejmě máme 4.7 Užitková funkce typu TRANSLOG Dvoukomoditní Translog je v nejširším kontextu představován tímto zápisem (4.71) . jinak také (4.71A) Mezní užitky jsou dány příslušnými parciálními derivacemi (4.72) Je patrné, že nelze zaručit, aby byly mezní užitky kladné pro všechna , a to tehdy ne, ani když budou všechna kladná. Mezní míra substituce (4.73) Ani zde nelze nijak zaručit, aby byla kladná při všech hodnotách parametrů Kladnost mezních užitků můžeme posoudit s ohledem na zápis (4.72): . . Odtud je patrné, že mezní užitek 2. statku může být kladný jen v určité části komoditního prostoru Odtud je vidět, že mezní užitek druhého statku může být kladný jen v určité části komoditního prostoru. Homogenita translogu popsaného definicí (4.71) může být vyšetřena tímto způsobem: Jak vidno, Cobb-Douglasova funkce je součástí TRANSLOGU. Aby byla funkce lineárně homogenní, musí být člen označený U roven 1, tj. musí platit (4.77) neboli (l libovolné > 0) Kromě toho musí platit (4.78) , (l libovolné > 0), neboli obsah hranaté závorky [ ] musí být rovný 0. Rozepsáno to znamená podmínku . Jelikož jsou argumenty libovolné kladné, musí být (4.79AB) a současně také . Dohromady ted y Pokud tedy vezmeme a TRANSLOG musí být tvaru To je ale v rozporu s požadavkem (1), protože pak by celá trojice musela být nulová. Znamená to tedy, že dvoukomoditní TRANSLOG nemůže být homogenní za žádných okolností. 8.7 Exponenciální užitková funkce Mějme další dvoukomoditní užitkovou funkci ve tvaru s kladnými a tedy s mezními užitky , které jsou ale kladné jen za další podmínky, kdy oba parametry v exponenciále budou též kladné: . Z nutné podmínky pro existenci rovnovážného bodu dostaneme , neboli a odtud neboli . Zde vidíme, že pro splnění požadavku na to, aby se tato Marshallovská poptávka realizovala v kladné souřadnici, musíme přijmout ještě další omezení: - koeficienty musí mít shodná znaménka - je-li argument v logaritmu větší než 1, musí být koeficient kladný, resp. naopak - je-li argument v logaritmu menší než 1, musí být koeficient záporný. Následně, dosazením do rozpočtového omezení dostaneme: a tedy neboli neboli Analogicky (záměnou indexů u příslušných parametrů a cen) bychom dostali druhou Marshallovskou poptávku jako . Vlastnosti Marshallovských poptávek: Není splněno, že při nulovém M je hodnota poptávek nulová: Není obecně splněna nezápornost poptávek: platí jen pro . Evidentně platí spojitost v M i p: Platí homogenita stupně 0 v M a p: Kvazikonkávnost (přímé užitkové funkce): , pokud přijímáme podmínky (ale nezávisle na znaménkách ). Přímá užitková funkce tedy není (v souladu s očekáváním) kvazikonkávní. Nepřímá užitková funkce následně bude mít tvar Výdajovou funkci ale budeme konstruovat těžko ze vztahu: . ________________________________ [1] Mezní míra substituce je tedy zřejmě [2] No ale může být záporné, takže to tak docela není pravda.