Věk Pravděpodobnost úmrtí Pravděpodobnost dožití Počet dožívajících Počet zemřelých Počet žijících Pomocný ukazatel Střední délka života x qx px lx dx Lx Tx e 0 x 0.. ߱ xm x eq − −=1 , x x x S D m = px = 1 - qx lx+1 = px.lx dx = lx – lx +1 Lx = ½.(lx + lx +1) Lx = lx+1 + ½ dx ∑= = ω xi ix LT ܶ௫ ݈௫ Význam jednotlivých veličin uvedených v úmrtnostní tabulce: qx … vyjadřují pravděpodobnost, že právě x-letá osoba zemře před dosažením věku x + 1 mx … dosazuje tzv. specifická míra úmrtnosti získaná z empirických dat Dx … je pozorovaný počet osob daného pohlaví zemřelých ve věkové třídě x (tj. po dožití se x let a před dovršením x + 1 let) Sx … je střední stav osob daného pohlaví ve věkové třídě x podle sčítání lidu px … vyjadřuje pravděpodobnost, že osoba ve věku x let se dožije věku x + 1; lx … je hypotetický počet osob, které se dožijí věku x let ze 100 000 narozených osob (tzv. kořen tabulky - l0) při odhadnuté úmrtnosti v jednotlivých obdobích; ߱ … zvolená horní věková hranice; tedy předpokládáme, že poslední z onoho výchozího počtu 100 000 osob zemře před dosažením věku ߱ + 1 let (ČSÚ volí ߱ = 103); dx … udává počet zemřelých osob ve věkové třídě x; Lx … je průměrný počet žijících ve věku x let (L0 = l0(1 – 0,92q0), protože se většinou jedná o kojenecká úmrtí, a tak se musí k výpočtu L0 použít statistik kojenecké úmrtnosti); Tx … vyjadřuje počet let života, které má celá tabulková generace v daném věku x ještě před sebou; e 0 x … udává počet let, který má naději prožít osoba právě x-letá ve sledovaném období. ,1 x xx x x x l ll l d q +− == .1 11 x x x xx x x xx l l l ll l l qp ++ = − −=−= npx … pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku x + n, ,...... 12 3 1 21 121 x nx nx nx x x x x x x nxxxxxn l l l l l l l l l l ppppp + −+ + + + + ++ −+++ =⋅⋅=⋅⋅= nqx … pravděpodobnost, že se x-letá osoba nedožije věku x + n, ;1 x nxx x nx x x xnxn l ll l l l l pq ++ − =−=−= m|nqx … pravděpodobnost, že se x-letá osoba dožije věku x + m, ale zemře v průběhu následujících n let, , x nmxmx mx nmxmx x mx mxnxmxnm l ll l ll l l qpq +++ + ++++ + − = − ⋅=⋅= m| qx … pravděpodobnost, že x-letá osoba zemře ve věku x + m, .1 x mx x mxmx mxxmxm l d l ll qpq ++++ + = − =⋅= KOMUTAČNÍ ČÍSLA komutační čísla nultého řádu: diskontovaný počet dožívajících se věku x: ;x xx vlD ⋅= diskontovaný počet zemřelých ve věkové třídě x: ;1+ ⋅= x xx vdC komutační čísla prvního řádu: ,...1 0 ω ω DDDDN xx x j jxx +++== + − = +∑ ....1 0 ω ω CCCCM xx x j jxx +++== + − = +∑ komutační čísla druhého řádu: ܴ௫ = ෍ ‫ܯ‬௫ା௝ ఠି௫ ௝ୀ଴ ܵ௫ = ෍ ܰ௫ା௝ ఠି௫ ௝ୀ଴ diskontní faktor ‫ݒ‬ = 1 1 + ݅ JEDNOTKOVÉ NETTO POJISTNÉ – pojistné pro 1 Kč částky pojistného plnění, bez nákladů pojišťovny, ߨ (‫݈݊݁ܿܽ݌ܽݖ‬é ‫݊ݐݏ݆݅݋݌‬é) = ݆݁݀݊‫ݒ݋݇ݐ݋‬é ‫݊ݐݏ݆݅݋݌‬é ∗ ܲ‫݊ݐݏ݆݅݋‬á čá‫݈݊݌( ܽ݇ݐݏ‬ě݊í) JEDNORÁZOVĚ PLACENÉ NETTO POJISTNÉ Pojištění na dožití . x nx x x nx nx x nxn xn n xn D D vl vl l l vpvE + + ++ = ⋅ ⋅ =⋅=⋅= Pojištění pro případ smrti ‫ܣ‬௫ = ݀௫ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬ + ݀௫ାଵ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬ଶ + . . . = ݀௫ ∙ ‫ݒ‬ + ݀௫ାଵ ∙ ‫ݒ‬ଶ +. . . ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௫ = ‫ܥ‬௫ + ‫ܥ‬௫ାଵ+. . . ‫ܦ‬௫ = ‫ܯ‬௫ ‫ܦ‬௫ Dočasné pojištění pro případ smrti ‫ܣ‬௫:௡˥ ଵ = ݀௫ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬ + ݀௫ାଵ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬ଶ +. . . + ݀௫ା௡ିଵ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௡ = ݀௫ ∙ ‫ݒ‬௫ାଵ + ݀௫ାଵ ∙ ‫ݒ‬௫ାଶ+. . . +݀௫ା௡ିଵ ∙ ‫ݒ‬௫ା௡ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௫ = ‫ܥ‬௫ + ‫ܥ‬௫ାଵ+. . . +‫ܥ‬௫ା௡ିଵ ‫ܦ‬௫ = ‫ܯ‬௫ − ‫ܯ‬௫ା௡ ‫ܦ‬௫ Doživotní pojištění pro případ smrti odložené o t let ‫ܣ‬௫௧| ௔ = ݀‫ݐ+ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬1+‫ݐ‬ + ݀‫1+ݐ+ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬2+‫ݐ‬ +. . . = ݀‫ݐ+ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫1+ݐ+ݔ‬ + ݀‫1+ݐ+ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫2+ݐ+ݔ‬ +. . . ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫ݔ‬ = ‫ܥ‬‫ݐ+ݔ‬ + ‫ܥ‬‫1+ݐ+ݔ‬+. . . ‫ܦ‬‫ݔ‬ = ‫ܯ‬‫ݐ+ݔ‬ ‫ܦ‬‫ݔ‬ Dočasné pojištění pro případ smrti odložené o t let ‫ܣ‬௧| ௔ ௫:௡˥ ଵ = ݀‫ݐ+ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫1+ݐ‬ +. . . + ݀‫1−݊+ݐ+ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫݊+ݐ‬ = ݀‫ݐ+ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫1+ݐ+ݔ‬ +. . . +݀‫1−݊+ݐ+ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫݊+ݐ+ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫ݔ‬ = ‫ܥ‬‫ݐ+ݔ‬+. . . +‫ܥ‬‫1−݊+ݐ+ݔ‬ ‫ܦ‬‫ݔ‬ = ‫ܯ‬௫ା௧ − ‫ܯ‬௫ା௧ା௡ ‫ܦ‬௫ Pojištění pro případ smrti s lineárně rostoucí částkou (‫)ܣܮ‬௫ = ݀‫ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬ + 2 ∙ ݀‫1+ݔ‬ ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬2 +. . . = ݀‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫1+ݔ‬ + 2 ∙ ݀‫1+ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫2+ݔ‬ +. . . ݈‫ݔ‬ ∙ ‫ݒ‬‫ݔ‬ = ‫ܥ‬‫ݔ‬ + 2 ∙ ‫ܥ‬‫1+ݔ‬+. . . ‫ܦ‬‫ݔ‬ = ‫ܯ‬‫ݔ‬ + ‫ܯ‬‫2+ݔ‬+. . . ‫ܦ‬‫ݔ‬ = ܴ‫ݔ‬ ‫ܦ‬‫ݔ‬ Smíšené pojištění ‫ܣ‬௫:௡˥ = ݀௫ ݈௫ ∙ ‫.+ݒ‬ . . + ݀௫ା௡ିଵ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௡ + ݈௫ା௡ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௡ = ݀௫ ∙ ‫ݒ‬௫ାଵ +. . . +݀௫ା௡ିଵ ∙ ‫ݒ‬௫ା௡ + ݈௫ା௡ ∙ ‫ݒ‬௫ା௡ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௫ = ‫ܥ‬௫+. . . +‫ܥ‬௫ା௡ିଵ + ‫ܦ‬௫ା௡ ‫ܦ‬௫ = ‫ܯ‬௫ − ‫ܯ‬௫ା௡ + ‫ܦ‬௫ା௡ ‫ܦ‬௫ Speciální smíšené pojištění s různými pojistnými částkami pro dožití a smrt ߨ(‫ܣ‬௫:௡˥) = ‫ܣ‬௫:௡˥ ଵ ∙ ܲČú௠௥௧í + ‫ܧ‬௫ ∙ ܲČௗ௢ž௜௧í = (‫ܯ‬௫ − ‫ܯ‬௫ା௡) ∙ ܲČú௠௥௧í + ‫ܦ‬௫ା௡ ∙ ܲČௗ௢ž௜௧í ‫ܦ‬௫ ௡ ௔ DŮCHODOVÉ NETTO POJISTNÉ (předlhůtní äx, polhůtní ax) Doživotní důchod ä௫ = ෍ ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ఠି௫ ௞ୀ଴ = ‫ܦ‬௫ + ‫ܦ‬௫ାଵ+. . . ‫ܦ‬௫ = ܰ௫ ‫ܦ‬௫ ܽ௫ = ෍ ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ఠି௫ ௞ୀଵ = ‫ܦ‬௫ାଵ + ‫ܦ‬௫ାଶ+. . . ‫ܦ‬௫ = ܰ௫ାଵ ‫ܦ‬௫ ‫ܽݐݖݒ‬ℎ: ܽ௫ = ä௫ − 1 Dočasný důchod ä௫:௡˥ = ෍ ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ௡ିଵ ௞ୀ଴ = ‫ܦ‬௫+. . . +‫ܦ‬௫ା௡ିଵ ‫ܦ‬௫ = ܰ௫ − ܰ௫ା௡ ‫ܦ‬௫ ܽ௫:௡˥ = ෍ ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ௡ିଵ ௞ୀଵ = ‫ܦ‬௫ାଵ+. . . +‫ܦ‬௫ା௡ିଵ ‫ܦ‬௫ = ܰ௫ାଵ − ܰ௫ା௡ାଵ ‫ܦ‬௫ Odložený doživotní důchod ä௫ =௧| . ෍ ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ఠି௫ ௞ୀ௧ = ‫ܦ‬௫ା௧ + ‫ܦ‬௫ା௧ାଵ. . . +‫ܦ‬ఠ ‫ܦ‬௫ = ܰ௫ା௧ ‫ܦ‬௫ ܽ௫௧| . = ܰ௫ା௧ାଵ ‫ܦ‬௫ Odložený dočasný důchod ä௫௧| . = ෍ ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ௧ା௡ିଵ ௞ୀ௧ = ‫ܦ‬௫ା௧ + ‫ܦ‬௫ା௧ାଵ+. . . +‫ܦ‬௫ା௧ା௡ିଵ ‫ܦ‬௫ = ܰ௫ା௧ − ܰ௫ା௧ା௡ ‫ܦ‬௫ ܽ௫௧| . = ܰ௫ା௧ାଵ − ܰ௫ା௧ା௡ାଵ ‫ܦ‬௫ Předlhůtní doživotní důchod zaručený na n let ä௧| . ௡˥௜ = ‫ݒ‬௧ ∙ 1 − ‫ݒ‬௡ 1 − ‫ݒ‬ ‫݋݈݀݋‬ž݁݊ý ‫,ݐ݈݁ ݐ ݋‬ ‫ݑݎܽݖ‬č݁݊ý ݊ܽ ݊ ݈݁‫ݐ‬ , 1 1 : x nx n xninnx D N v v aaa +  + − − =+= &&&&&& Doživotní důchod rostoucí lineárně (݈ä)௫ = ෍(݇ + 1) ݈௫ା௞ ݈௫ ∙ ‫ݒ‬௞ ఠି௫ ௞ୀ଴ = ‫ܦ‬௫ + 2 ∙ ‫ܦ‬௫ାଵ+. . . +(߱ − ‫ݔ‬ + 1) ∙ ‫ܦ‬ఠ ‫ܦ‬௫ = ܵ௫ ‫ܦ‬௫ PODROČNÍ DŮCHODOVÉ NETTO POJISTNÉ področní doživotní důchod ( ) . 2 1 m m D N a x xm x − −=&&& ( ) , 2 11 m m D N a x xm x − += + & področní odložený doživotní důchod ( ) , 2 1 x nx x nxm xn D D m m D N a ++ − −=&&& ( ) , 2 11 x nx x nxm xn D D m m D N a +++ − +=& področní dočasný důchod ( ) ,1 2 1 :       − − − − = ++  x nx x nxxm nx D D m m D NN a &&& ( ) .1 2 111 :       − − + − = ++++  x nx x nxxm nx D D m m D NN a & BĚŽNÉ NETTO POJISTNÉ – placené ročně ࡼ = ࣊ ä࢞:࢓˥ = PODROČNÍ BĚŽNÉ NETTO POJISTNÉ – placené m-krát ročně Běžné pojistné doživotně placené ܲ௫ (௠) = ߨ ä௫ (௠) Pojistné dočasně placené ܲ௫ (௠) = ߨ ä௫:௡˥ (௠) Pojištění s pevnou dobou výplaty ܲ௫ = ߨ௫ ä௫:௡˥ = ‫ݒ‬௡ ∙ ‫ܦ‬௫ ܰ௫ − ܰ௫ା௡ ߨ௫ = ‫ݒ‬௡ področní dočasný důchod ( ) ( ) ( ) , 2 1:       − − −− = ⋅ = ++ +  nxxnxx nx m nx xnm xn DD m m NNm D am E Π & && pojištění pro případ smrti: ( ) ( ) ; 2 1       − − == xx x m x xm x D m m Nm M am A Π & && dočasné pojištění pro případ smrti: ( ) ( ) ( ) ; 2 1 : 1 :1 :       − − −− − == ++ +    nxxnxx nxx m nx nxm nx DD m m NNm MM am A Π & && smíšené pojištění: ( ) ( ) ( ) ; 2 1 : : :       − − −− +− == ++ ++    nxxnxx nxnxx m nx nxm nx DD m m NNm DMM am A Π & && pojištění odloženého doživotního důchodu (běžné pojistné se platí během doby odkladu n): ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 1 2 1 :       − − −− − − == ++ ++  nxxnxx nxnx m nx m xnm xn DD m m NNm D m m N am a & && && π *** pojistné plnění je vypláceno m1-krát ročně a pojistné se platí m2-krát ročně a m1 se nerovná m2. ( ) ( ) ( ) ( ) . 2 1 2 1 2 2 2 1 1 :2 2 1 2,1       − − −− − − == ++ ++  nxxnxx nxnx m nx m xnm xn DD m m NNm D m m N am a & && && π *** poplatník platí n1 let, pojišťovna platí po n2 let (n1